北师大版高中数学必修1第三章4.2换底公式课件
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高中数学北师大版必修一 4.2 换底公式课件(34张)
1 又因为 log2×1818＝log 18 18×2 1 ＝ ＝ 1＋log182 1 18 1＋log18 9
1 1 ＝ ＝ ， 1＋1－log189 2－a a＋ b 所以原式＝ . 2－a
法二：∵18b＝5，∴log185＝b. log1845 log18 5×9 ∴log3645＝log 36＝log 18 18 4×9 log185＋log189 ＝ ＝ 2log182＋log189 a＋b 18 2log18 9 ＋log189
[一点通] 解决对数应用题的一般步骤：
5．测量地震级别的里氏级是地震强度(地震释放的能量)的
常用对数值，显然级别越高，地震的强度也越高，如日 本1923年地震是8.9级，旧金山1906年地震是8.3级， 1989年地震是7.1级，试计算一下日本1923年地震强度是 8.3级的几倍？7.1级的几倍？(lg2＝0.3)
3 log464 提示：log864＝2，log464＝3, log48＝2， log864＝ log 8 . 4 问题 3：经过问题 1,2 你能得出什么结论？ logMb 提示：logab＝log a(a，M>0，a，M≠1，b>0)． M
logaN 对数的换底公式：logbN＝ logab
(a，b>0，a，b≠1，N>0)．
换底公式的主要作用就是把不同底的对数化为同底 的对数，再运用运算性质进行运算．
[例 1]
计算：(1)log1627log8132；
(2)(log32＋log92)(log43＋log83)． [思路点拨] 在两个式子中，底数、真数都不相同，
因而要用换底公式进行换底便于计算求值． [精解详析] lg27 lg32 (1)log1627log8132＝lg16× lg81
北师大版高中数学必修1-3.4.2 对数的换底公式 课件 最新课件
1log9 27 2log2 3• log3 7 • log7 8
解:
解:
解:
解:
【总一总★成竹在胸】 1. 对数的运算法则； 2.公式的逆向使用.
解: 1log9 27 log32 33
3 2 log3 3
3 2
例1:计算:
1log9 27 2log2 3• log3 7 • log7 8
解:2log2 3• log3 7 • log7 8
lg 3 • lg 7 • lg 8 lg 23 3
lg 2 lg 3 lg 7 lg 2
例1:计算:
能求出任意不为1的 正数为底的对数。
p logc N
logc a
即证得
log a
N
log c N log c a
二、几个重要的推论:
log am
Nn
n m
log a
N
log a
b
1 log b
a
a,b (0,1) (1,)
如何证明呢?
证明：利用换底公式得：
logam
Nn
llggNNn lglgaam
积、商、幂的对数运算法则： 如果a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0有： loga (MN ) loga M loga N
log a M n n log a M(n R)
lloloogggaaaanMNnMpnl(ongloagMaR
log
a
M
一、对数的换底公式:
log a
N
log c N log c a
(a,c (0,1) (1,), N 0)
如何证明呢?
证明：设 log a N p 通过换底公式，人们
由对数的定义可以得：可N以把a其p他底的对数
解:
解:
解:
解:
【总一总★成竹在胸】 1. 对数的运算法则； 2.公式的逆向使用.
解: 1log9 27 log32 33
3 2 log3 3
3 2
例1:计算:
1log9 27 2log2 3• log3 7 • log7 8
解:2log2 3• log3 7 • log7 8
lg 3 • lg 7 • lg 8 lg 23 3
lg 2 lg 3 lg 7 lg 2
例1:计算:
能求出任意不为1的 正数为底的对数。
p logc N
logc a
即证得
log a
N
log c N log c a
二、几个重要的推论:
log am
Nn
n m
log a
N
log a
b
1 log b
a
a,b (0,1) (1,)
如何证明呢?
证明：利用换底公式得：
logam
Nn
llggNNn lglgaam
积、商、幂的对数运算法则： 如果a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0有： loga (MN ) loga M loga N
log a M n n log a M(n R)
lloloogggaaaanMNnMpnl(ongloagMaR
log
a
M
一、对数的换底公式:
log a
N
log c N log c a
(a,c (0,1) (1,), N 0)
如何证明呢?
证明：设 log a N p 通过换底公式，人们
由对数的定义可以得：可N以把a其p他底的对数
高中数学北师大版必修一《第三章4.2对数学的换底公式》课件
k
lg l6g43lglg481lg k 0
3x 4y
4
y
6z
(
4 lg 4
6 lg 6
)
lg
k
lg
36 lg 64 lg 2lg 6
lg
k
0
4y 6z
3x 4y 6z
11
例5 已知 logax= logac+b，求x
分析：由于x作为真数，故可直接
利用对数定义求解；另外，由于等
式右端为两实数和的情势，b的存
_____2________
5
（二）、新课：
1.对数换底公式： log a
N
log m N log m a
( a > 0 ,a = 1 ，m > 0 ,m = 1,N>0)
证明: 设 logaN=x ,则 ax= N，两边取以m为底的对数：
logm ax logm N x logm a logm N
1 2
)lg0.7
15
4.2 谢谢大家
北师大版 高中数学
16
4.2 对数的换底 公式
北师大版 高中数学
• (一)复习
• 积、商、幂的对数运算法则： • 如果 a > 0，a = 1，M > 0， N > 0 有：
loga (MN) logaM logaN (1)
loga
M N
logaM
logaN
(2)
logaMn nlogaM(n R) (3)
2
• 练习：
1.已知lg2=a , lg3=b , 请用a ,b 表示 lg12 . 2.计算lg ( 103－102)的结果( )。 A. 1 B. C. 90 D.2＋lg9
2020-2021学年北师大版高中数学必修一3.4.2 换底公式课件 (33张)
数 学 必 修 ① 北 师 大A 版
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第三章 指数函数和对数函数
[解析] 由题意可得 10 000＝2 000ln(1＋Mm)，
即 ln(1＋Mm)＝5.
所以Mm＝e5－1，即Mm≈148.4－1＝147.4.
数
故当燃料质量约是火箭质量的 147.4 倍时，火箭的最大速度可达到 10km/s.
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第三章 指数函数和对数函数
1．下列等式不成立的是( D )
A．log34＝llnn43
B．log34＝llgg43
C．log34＝log143
D．log34＝lloogg1143
数 学
[解析] 结合换底公式的特征可知选项 D 不正确，因为底数必须满足大于 0
『规律总结』 1.用已知对数表示其他对数时，若它们的底数不相同，常用 换底公式来解决．
2．在一个等式的两边取对数，是一种常用的技巧．一般地，给出的等式是 以指数形式出现时，常用此法，值得一提的是，在取对数时，要注意对底数的 合理选取．
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·Leabharlann 第三章 指数函数和对数函数
A．y∈(0,1)
B．y∈(1,2)
C．y∈(2,3)
D．y∈(3,4)
[解析] 原式＝llgg56·llgg76·llgg87·llgg98·llgg190＝llgg150＝lg510∈(1,2)．
4．已知 log23＝a，log37＝b，则 log27＝____a_b___.(用 a，b 表示)
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第三章 指数函数和对数函数
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第三章 指数函数和对数函数
[解析] 由题意可得 10 000＝2 000ln(1＋Mm)，
即 ln(1＋Mm)＝5.
所以Mm＝e5－1，即Mm≈148.4－1＝147.4.
数
故当燃料质量约是火箭质量的 147.4 倍时，火箭的最大速度可达到 10km/s.
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第三章 指数函数和对数函数
1．下列等式不成立的是( D )
A．log34＝llnn43
B．log34＝llgg43
C．log34＝log143
D．log34＝lloogg1143
数 学
[解析] 结合换底公式的特征可知选项 D 不正确，因为底数必须满足大于 0
『规律总结』 1.用已知对数表示其他对数时，若它们的底数不相同，常用 换底公式来解决．
2．在一个等式的两边取对数，是一种常用的技巧．一般地，给出的等式是 以指数形式出现时，常用此法，值得一提的是，在取对数时，要注意对底数的 合理选取．
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·Leabharlann 第三章 指数函数和对数函数
A．y∈(0,1)
B．y∈(1,2)
C．y∈(2,3)
D．y∈(3,4)
[解析] 原式＝llgg56·llgg76·llgg87·llgg98·llgg190＝llgg150＝lg510∈(1,2)．
4．已知 log23＝a，log37＝b，则 log27＝____a_b___.(用 a，b 表示)
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第三章 指数函数和对数函数
高中数学 第3章 §4 4.2 换底公式优质课件 北师大版必修1
第二十三页，共23页。
中
第十一页，共23页。
利用(lìyòng)换底公式证明：
loga b logb c logc a 1(a 0, b 0,c 0,a 1, b 1,c 1)
证明：
loga b logb c logc a
lg b lg c lg a lg a lg b lg c
1
第十二页，共23页。
（非1的正数）
第八页，共23页。
知识(zhī shi)探究
思考1: lo与ga b 有l什og么b a关系？
loga
b=
lg lg
b a
log b
a
lg a lg b
互为倒数 (dǎo shù)
第九页，共23页。
思考2: logan N 与 loga N有什么(shén me)关系？
logan N
【提升总结】 换底公式的应用： 1.化简：把对数式的底数改变，化为同底数问题，利用 运算法则进行(jìnxíng)化简与求值； 2.求值：在实际问题中，把底数换成10或e,可利用计算 器或对数表得到结果.
第十四页，共23页。
【变式练习(liànxí)】
计算(jì
slougàn2 )1：215
log3
1 32
log5
1 3
解:
log2
1 125
log3
1 32
log5
1 3
3log2 5 (5log3 2) ( log5 3)
3 lg 5 (5) lg 2 (1) lg 3 15 lg 2 lg 3 lg 5
第十五页，共23页。
例2：用科学(kēxué)计算器计算下列对数（精确到0.001）： log248；log310；log8π；log550；log1.0822. 解：log248≈5.585； log310≈2.096； log8π≈0.550； log550≈2.431； log1.0822≈8.795.
中
第十一页，共23页。
利用(lìyòng)换底公式证明：
loga b logb c logc a 1(a 0, b 0,c 0,a 1, b 1,c 1)
证明：
loga b logb c logc a
lg b lg c lg a lg a lg b lg c
1
第十二页，共23页。
（非1的正数）
第八页，共23页。
知识(zhī shi)探究
思考1: lo与ga b 有l什og么b a关系？
loga
b=
lg lg
b a
log b
a
lg a lg b
互为倒数 (dǎo shù)
第九页，共23页。
思考2: logan N 与 loga N有什么(shén me)关系？
logan N
【提升总结】 换底公式的应用： 1.化简：把对数式的底数改变，化为同底数问题，利用 运算法则进行(jìnxíng)化简与求值； 2.求值：在实际问题中，把底数换成10或e,可利用计算 器或对数表得到结果.
第十四页，共23页。
【变式练习(liànxí)】
计算(jì
slougàn2 )1：215
log3
1 32
log5
1 3
解:
log2
1 125
log3
1 32
log5
1 3
3log2 5 (5log3 2) ( log5 3)
3 lg 5 (5) lg 2 (1) lg 3 15 lg 2 lg 3 lg 5
第十五页，共23页。
例2：用科学(kēxué)计算器计算下列对数（精确到0.001）： log248；log310；log8π；log550；log1.0822. 解：log248≈5.585； log310≈2.096； log8π≈0.550； log550≈2.431； log1.0822≈8.795.
数学：3.4.2《换底公式》课件(北师大版必修1)
注：一般情况下，可换成常用对数，也可根据真、底数 的特征，换成其它合适的底数．
分析：先利用对数运算法则和换底公式进行化简，然后 再求值．
并应注意其在求值或化简中的应用． 例3 求证：logxy· logyz=logxz 分析(1)：注意到等式右边是以x为底数的对数，故 将logyz化成以x为底的对数．
分析(2)：换成常用对数 注：在具体解题过程中，不仅能正用换底公式，还 要能逆用换底公 ． 例4 己知log189=a，10b=5，求log3645的值，(用a、 b表示．) 分析：因为己知对数与幂的底数都是18，所以，先 将需求值的对数化为与己知对数同底后再求解．
∴log182=1-a． ∵18b=5， ∴log185=b．
(三)学生练习 1．不查表求值： ①(lg5)2+lg2· lg50；
③(log2125+log425+log85)(log52+log254+log1258) 2．已知log1227=a，试用a表示log616 (四)小结 利用换底公式“化异为同”是解决有关对数问题的基 本思想方法，它在求值或恒等变形中作了重要作用， 在解题过程中应注意：
1．19
换底公式
一、素质教育目标 (一)知识教育点 对数的换底公式及推导． (二)能力训练点 1．理解对数换底公式的意义． 2．掌握换底公式的推导方法． 3．学会换底公式在计算、恒等变形中的应用． 4．提高应用化归思想的意识． 二、教学重点、难点和疑点 1．教学重点：换底公式． 2．教学疑、难点：公式的推导及运用．
师：很好，还有其它解法吗？从底数考虑能否将“不同底” 转化为“同底”进而利用对数函数单调性，比较其大小呢？ 令log35=b1，log25=b2(只需比较b1、b2大小)．
数学：3.4.2《换底公式》课件(北师大版必修1)
师：很好，还有其它解法吗？从底数考虑能否将“不同底” 转化为“同底”进而利用对数函数单调性，比较其大小呢？ 令log35=b1，log25=b2(只需比较b1、b2大小)．
两边同取常用对数得： b1log3=lg5，b2lg2=lg5．
在等式(*)中，从左到右，对数的底数变了，原对 数等于原真数的以10为底的对数除以原底数以10 为底数的对数所得的商，
三、课时安排 本课题安排பைடு நூலகம்课时． 四、教学设计 (一)复习引入新课 提问：比较下列两组值的大小：
生：第1题是“底”同“真”不同的两个对数值，可利 用对数函数
师：很好，第2题是“真”同“底”不同的两个对数值， 无法直接利用对数函数单调性比较其大小，怎么办呢？ 生：利用数形结合法，在同一坐标中作函数y=log3x与 y=log2x的图象(如图1-54)． 观察图象当x=5时，易得：log35＜log25
注：一般情况下，可换成常用对数，也可根据真、底数 的特征，换成其它合适的底数．
分析：先利用对数运算法则和换底公式进行化简，然后 再求值．
并应注意其在求值或化简中的应用． 例3 求证：logxy· logyz=logxz 分析(1)：注意到等式右边是以x为底数的对数，故 将logyz化成以x为底的对数．
之后还肯付钱的？这勒索的脑子坏掉了吗？脑子坏掉的人还能偷出玉坠去？二太太是这个脑子坏掉的人吗？她娘家太可疑了！但谁会把 敲诈勒索的信放在自己案头拿出来？不知道避嫌的么？啊啊所以果然是脑壳坏掉吗？！二太太眼睛亮晶晶的挨在老太太旁边，等着示下， 一副不知道看谁倒霉的幸灾乐祸露骨表情，又不像是写纸条的。她到底是真无辜、还是装傻、还是真傻……老太太捏了捏眉心：“岂有 此理，什么人会递这种条子。”“可不是吗？”二太太面有惧色，“神不知鬼不觉，放到媳妇案头上了！媳妇前头一直在监督姑娘们功 课，回来一见，吓得没背过气去！”老太太拍着二太太的手：“你受苦了。这条子，我想么，外人没必要做这事，总是哪个孩子开玩 笑？”二太太想想，也对，外人哪进得了她房间？进她房间不偷点东西是正经，放这个做什么呢？好像谁真会凭这鬼画符条子送他银子 似的！“哪个孩子，开这玩笑，也实在可恶了！”老太太气呼呼道，“我会查着，你放心！这条子，你先当没看见，别吐出一个字去。 等我把那荒唐孩子抓出来！”二太太点头称是，答应不说，却忍不住心里好奇：布袋里装的是什么呢？嘉颜一直在窗口，对着光线看， 如今双手捧了回来，布袋还是这个布袋，玉坠却已不是这个玉坠，倒成了块石片。大太太见到老太太之前，是烦嘉颜通报的，把布袋和 纸头都给嘉颜看了。嘉颜也没敢自作主张拆袋子，就掂了掂，进屋跟老太太讲，老太太猜疑是玉坠，紧急叫嘉颜找块手感差不多的石片， 藏在袖子里准备调包。嘉颜当差这些年来，以此任务最为奇怪，但没说什么，赶紧去找了。好在是老太太屋子后头小道上为了好看，厚 石板间嵌了许多打磨过的小石子，嘉颜取了一小块回来，藏在袖中，出来见二太太，只说老太太打了个盹儿，这上下才醒。老太太把锦 囊和玉坠交给嘉颜，嘉颜利索的掉了包，装模作样还看一会儿，奉还给老太太，道：“这石子应该是水中的鹅卵石，棉布着着似老沙铺 子卖的布，格外厚实，袋口封得歪来扭去，像不惯针黹的人做的。旁的一时看不出来。”第四十六章 毓秀垂钟附眉刀（3）老太太“唔” 了一声，不接布袋，道：“谁拿个石子来？开顽笑也得有分寸！你拿下去细细访查，却得密着，一丝风声都不透，毕竟有碍闺帷呢！” 对呀！二太太心里一颤。“我绝对不会让这消息外传。”老太太慈祥的跟二太太保证，“再给你多派几个可靠的人，绝不叫你院子里再 出这荒唐的事。”一派对媳妇的爱护。二太太感恩戴德而退。老太太屏退一切杂人，嘉颜乖巧的把玉坠拿出来，呈在老太太面前。老太 太拿在手里抚摸。对，应该就是这一块，清如冰，妍似莲……但说实在的，它偷偷从宫中被运出来之后，很快遗失了，老太太只匆匆瞄
4.2.2换底公式课件-高一上学期数学北师大版(2019【02】)
典例剖析
规律方法
1．换底公式中的底可由条件决定，也可换为常用对数的底，一 般来讲，对数的底越小越便于化简，如 an 为底的换为 a 为底．
2．换底公式的派生公式：logab＝logac·logcb； loganbm＝mn logab.
典例剖析
典例剖析
巩固练习
1．思考辨析
(1)logab＝llgg
4.2.2 换底公式
问题导入
有些计算器上只有常用对数键“LOG” 即“lg”自然对数键“LN”(即“In”).对一
般的底数a>0,且a≠1和b>0,要计算 loga b ,必
须将它转换成常用对数或自然对数.如何转换 呢?
分析理解
例如,用计算器求 log2 5的值。
设 log2 5 x, 则 2x 5 . 在 2x 5 的两边取常用对数，得
x lg 2 lg 5,
所以
x lg 5 , lg 2
这样就可以用计算器中的常用对数键“LOG”算出 log2 5的值:
log 5 lg 5 2.32192809489. lg 2
分析理解
因为计算器显示的数位是有限的,所以得到的结果一般是近似值。
同理可得
x ln 5 . ln 2
这样就可以用计算器中的自然对数键“LN”算出 log2 5的值。
探究新知
换底公式 阅读教材有关内容，完成下列问题．
换底公式：_l_o_g_bN__＝__lloo_g_ga_aNb_ (a，b＞0，a，b≠1，N＞0)．
特别地，logab·logba＝__1，logba＝
.
探究新知
思考：换底公式的作用是什么？
换底公式的主要作用是把不同底的对数化为同底的对数，再运 用对数的性质进行运算．
北师大版2017高中数学(必修一)第3章 4.2换底公式PPT课件
新课标导学
数 学
必修① ·北师大版
第三章
指数函数和对数函数 §4 对 数
4.2 换底公式
1
自主预习学案
2
3
互动探究学案
课时作业学案
自主预习学案
已知对数log864，log264，log28，log464，log48. 对数log864的值与对数log264和log28的值有什么关系？ 对数log864的值与对数log464和log48的值有什么关系？ 由上面的问题你能得出什么结论？
换底公式
logaN logab (1)logbN＝__________( a、b>0，a、b≠1，N>0)
1 a>0 且 a≠1，b>0 且 b≠1) (2)logab· logba＝_____( logad a，b，c，d>0，且 a，b，c≠1) (3)logab· logbc· logcd＝_________(
『规律总结』 利用换底公式计算、化简、求值问题的思路： 一是先利用对数的运算性质进行部分运算，最后再换成同一底数进 行计算； 二是一次性地统一换为常用对数(或自然对数)1〕 导学号 00814731 求 log37· log29· log492 的值．
[规范解答] 解法 1：∵18b＝5，∴log185＝b.又∵log189＝a， a＋b a＋b log1845 log189×5 log189＋log185 ∴log3645＝ ＝ ＝ ＝ ＝ . log1836 log1818×2 18 1＋log182 2－a 1＋log18 9
1．下列等式不成立的是 导学号 00814726 ( D ) ln4 A．log34＝ ln3 1 C．log34＝ log43
数 学
必修① ·北师大版
第三章
指数函数和对数函数 §4 对 数
4.2 换底公式
1
自主预习学案
2
3
互动探究学案
课时作业学案
自主预习学案
已知对数log864，log264，log28，log464，log48. 对数log864的值与对数log264和log28的值有什么关系？ 对数log864的值与对数log464和log48的值有什么关系？ 由上面的问题你能得出什么结论？
换底公式
logaN logab (1)logbN＝__________( a、b>0，a、b≠1，N>0)
1 a>0 且 a≠1，b>0 且 b≠1) (2)logab· logba＝_____( logad a，b，c，d>0，且 a，b，c≠1) (3)logab· logbc· logcd＝_________(
『规律总结』 利用换底公式计算、化简、求值问题的思路： 一是先利用对数的运算性质进行部分运算，最后再换成同一底数进 行计算； 二是一次性地统一换为常用对数(或自然对数)1〕 导学号 00814731 求 log37· log29· log492 的值．
[规范解答] 解法 1：∵18b＝5，∴log185＝b.又∵log189＝a， a＋b a＋b log1845 log189×5 log189＋log185 ∴log3645＝ ＝ ＝ ＝ ＝ . log1836 log1818×2 18 1＋log182 2－a 1＋log18 9
1．下列等式不成立的是 导学号 00814726 ( D ) ln4 A．log34＝ ln3 1 C．log34＝ log43
数学：3.4.2《换底公式》课件(北师大版必修1)
分析(2)：换成常用对数
注：在具体解题过程中，不仅能正用换底公式，还 要能逆用换底公 ．
例4 己知log189=a，10b=5，求log3645的值，(用a、 b表示．) 分析：因为己知对数与幂的底数都是18，所以，先 将需求值的对数化为与己知对数同底后再求解．
∴log182=1-a． ∵18b=5， ∴log185=b．
师：很好，还有其它解法吗？从底数考虑能否将“不同底” 转化为“同底”进而利用对数函数单调性，比较其大小呢？ 令log35=b1，log25=b2(只需比较b1、b2大小)．
两边同取常用对数得： b1log3=lg5，b2lg2=lg5．
在等式(*)中，从左到右，对数的底数变了，原对 数等于原真数的以10为底的对数除以原底数以10 为底数的对数所得的商，
注：一般情况下，可换成常用对数，也可根据真、底数 的特征，换成其它合适的底数．
分析：先利用对数运算法则和换底公式进行化简，然后 再求值．
并应注意其在求值或化简中的应用． 例3 求证：logxy· logyz=logxz 分析(1)：注意到等式右边是以x为底数的对数，故 将logyz化成以x为底的对数．
1．19
换底公式
一、素质教育目标 (一)知识教育点 对数的换底公式及推导． (二)能力训练点 1．理解对数换底公式的意义． 2．掌握换底公式的推导方法． 3．学会换底公式在计算、恒等变形中的应用． 4．提高应用化归思想的意识． 二、教学重点、难点和疑点 1．教学重点：换底公式． 2．教学疑、难点：公式的推导及运用．
三、课时安排 本课题安排1课时． 四、教学设计 (一)复习引入新课 提问：比较下列两组值的大小：
生：第1题是“底”同“真”不同的两个对数值，可利 用对数函数
数学：3.4.2《换底公式》课件(北师大版必修1)
注：一般情况下，可换成常用对数，也可根据真、底数 的特征，换成其它合适的底数．
分析：先利用对数运算法则和换底公式进行化简，然后 再求值．
并应注意其在求值或化简中的应用． 例3 求证：logxy· logyz=logxz 分析(1)：注意到等式右边是以x为底数的对数，故 将logyz化成以x为底的对数．
能否将logbN换成以其他正数a(a≠1)为底的对数呢？ 请你猜想结论，并加以证明． (二)对数换底公式 1．对数换底公式．
(由脱对数→取对数引导学生证明) 证明：设logbN=x，则bx=N． 两边取a(a＞0，且a≠1)为底的对数，得： xlogab=logaN 注：公式成立的条件：a＞0 a≠1，b＞0，b≠1， N＞0． 2．公式的运用． 利用换底公式统一对数底数即“化异为同”是解 决有关对数问题的基本思想方法． 例1 求log89· log2732的值． 分析：利用换底公式统一底数．
三、课时安排 本课题安排1课时． 四、教学设计 (一)复习引入新课 提问：比较对数函数
师：很好，第2题是“真”同“底”不同的两个对数值， 无法直接利用对数函数单调性比较其大小，怎么办呢？ 生：利用数形结合法，在同一坐标中作函数y=log3x与 y=log2x的图象(如图1-54)． 观察图象当x=5时，易得：log35＜log25
；
而走险了,那个丫头,他势在必得. "咚咚咚." 门外突然响起敲门声,雪无痕有些恼怒,扭头看着旁边の凤姐,眼中有了一丝责怪.凤姐连忙躬身请罪,打开房门,随即门外传来一阵低声の交谈声. "吱呀！" 门再次被推开,凤姐有些面色凝重の走了进来,开口说道："看来这次任务只能提前行动 了,而且最好是今晚." "什么情况?"雪无痕眉头一挑,有了一丝不好の预感.
北师大版高中数学必修1-3.4.2 对数的换底公式 课件 优秀课件PPT
积、商、幂的对数运算法则： 如果a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0有： loga (MN ) loga M loga N
log a M n n log a M(n R)
lloloogggaaaanMNnMpnl(ongloagMaRM)PnlologgaPna NMl1oga
M
log
a
M
一、对数的换底公式:
1log9 27 2log2 3• log3 7 • log7 8
解:
解:
解:
解:
【总一总★成竹在胸】 1. 对数的运算法则； 2.公式的逆向使用.
用微笑告诉别人，今天的我，比昨天更强。瀑布跨过险峻陡壁时，才显得格外雄伟壮观。勤奋可以弥补聪明的不足，但聪明无法弥补懒惰的缺陷。孤独是 每个强者必须经历的坎。有时候，坚持了你最不想干的事情之后，会得到你最想要的东西。生命太过短暂，今天放弃了明天不一定能得到。只有经历人生 的种种磨难，才能悟出人生的价值。没有比人更高的山，没有比脚更长的路学会坚强，做一只沙漠中永不哭泣的骆驼！一个人没有钱并不一定就穷，但没 有梦想那就穷定了。困难像弹簧，你强它就弱，你弱它就强。炫丽的彩虹，永远都在雨过天晴后。没有人能令你失望，除了你自己人生舞台的大幕随时都 可能拉开，关键是你愿意表演，还是选择躲避。能把在面前行走的机会抓住的人，十有八九都会成功。再长的路，一步步也能走完，再短的路，不迈开双 脚也无法到达。有志者自有千计万计，无志者只感千难万难。我成功因为我志在成功！再冷的石头，坐上三年也会暖。平凡的脚步也可以走完伟大的行程。 有福之人是那些抱有美好的企盼从而灵魂得到真正满足的人。如果我们都去做自己能力做得到的事，我们真会叫自己大吃一惊。只有不断找寻机会的人才 会及时把握机会。人之所以平凡，在于无法超越自己。无论才能知识多么卓著，如果缺乏热情，则无异纸上画饼充饥，无补于事。你可以选择这样的“三 心二意”：信心恒心决心；创意乐意。驾驭命运的舵是奋斗。不抱有一丝幻想，不放弃一点机会，不停止一日努力。如果一个人不知道他要驶向哪个码头， 那么任何风都不会是顺风。行动是理想最高贵的表达。你既然认准一条道路，何必去打听要走多久。勇气是控制恐惧心理，而不是心里毫无恐惧。不举步， 越不过栅栏；不迈腿，登不上高山。不知道明天干什么的人是不幸的！智者的梦再美，也不如愚人实干的脚印不要让安逸盗取我们的生命力。别人只能给 你指路，而不能帮你走路，自己的人生路，还需要自己走。勤奋可以弥补聪明的不足，但聪明无法弥补懒惰的缺陷。后悔是一种耗费精神的情绪，后悔是 比损失更大的损失，比错误更大的错误，所以，不要后悔！复杂的事情要简单做，简单的事情要认真做，认真的事情要重复做，重复的事情要创造性地做。 只有那些能耐心把简单事做得完美的人，才能获得做好困难事的本领。生活就像在飙车，越快越刺激，相反，越慢越枯燥无味。人生的含义是什么，是奋 斗。奋斗的动力是什么，是成功。决不能放弃，世界上没有失败，只有放弃。未跌过未识做人，不会哭未算幸运。人生就像赛跑，不在乎你是否第一个到 达终点，而在乎你有没有跑完全程。累了，就要休息，休息好了之后，把所的都忘掉，重新开始！人生苦短，行走在人生路上，总会有许多得失和起落。 人生离不开选择，少不了抉择，但选是累人的，择是费人的。坦然接受生活给你的馈赠吧，不管是好的还是坏的。现在很痛苦，等过阵子回头看看，会发 现其实那都不算事。要先把手放开，才抓得住精彩旳未来。可以爱，可以恨，不可以漫不经心。我比别人知道得多，不过是我知道自己的无知。你若不想 做，会找一个或无数个借口；你若想做，会想一个或无数个办法。见时间的离开，我在某年某月醒过来，飞过一片时间海，我们也常在爱情里受伤害。1、 只有在开水里，茶叶才能展开生命浓郁的香气。人生就像奔腾的江水，没有岛屿与暗礁，就难以激起美丽的浪花。别人能做到的事，我一定也能做到。不 要浪费你的生命，在你一定会后悔的地方上。逆境中，力挽狂澜使强者更强，随波逐流使弱者更弱。凉风把枫叶吹红，冷言让强者成熟。努力不不一定成 功，不努力一定不成功。永远不抱怨，一切靠自己。人生最大的改变就是去做自己害怕的事情。每一个成功者都有一个开始。勇于开始，才能找到成功的 路。社会上要想分出层次，只有一个办法，那就是竞争，你必须努力，否则结局就是被压在社会的底层。后悔是一种耗费精神的情绪后悔是比损失更大的 损失，比错误更大的错误所以不要后悔。每个人都有潜在的能量，只是很容易:被习惯所掩盖，被时间所迷离,被惰性所消磨。与其临渊羡鱼，不如退而结网。 生命之灯因热情而点燃，生命之舟因拼搏而前行。世界会向那些有目标和远见的人让路。不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海。骐骥一跃，不 能十步；驽马十驾，功在不舍。锲而舍之，朽木不折；锲而不舍，金石可镂。若不给自己设限，则人生中就没有限制你发挥的藩篱。赚钱之道很多，但是 找不到赚钱的种子，便成不了事业家。最有效的资本是我们的信誉，它小时不停为我们工作。销售世界上第一号的产品——不是汽车，而是自己。在你成
log a M n n log a M(n R)
lloloogggaaaanMNnMpnl(ongloagMaRM)PnlologgaPna NMl1oga
M
log
a
M
一、对数的换底公式:
1log9 27 2log2 3• log3 7 • log7 8
解:
解:
解:
解:
【总一总★成竹在胸】 1. 对数的运算法则； 2.公式的逆向使用.
用微笑告诉别人，今天的我，比昨天更强。瀑布跨过险峻陡壁时，才显得格外雄伟壮观。勤奋可以弥补聪明的不足，但聪明无法弥补懒惰的缺陷。孤独是 每个强者必须经历的坎。有时候，坚持了你最不想干的事情之后，会得到你最想要的东西。生命太过短暂，今天放弃了明天不一定能得到。只有经历人生 的种种磨难，才能悟出人生的价值。没有比人更高的山，没有比脚更长的路学会坚强，做一只沙漠中永不哭泣的骆驼！一个人没有钱并不一定就穷，但没 有梦想那就穷定了。困难像弹簧，你强它就弱，你弱它就强。炫丽的彩虹，永远都在雨过天晴后。没有人能令你失望，除了你自己人生舞台的大幕随时都 可能拉开，关键是你愿意表演，还是选择躲避。能把在面前行走的机会抓住的人，十有八九都会成功。再长的路，一步步也能走完，再短的路，不迈开双 脚也无法到达。有志者自有千计万计，无志者只感千难万难。我成功因为我志在成功！再冷的石头，坐上三年也会暖。平凡的脚步也可以走完伟大的行程。 有福之人是那些抱有美好的企盼从而灵魂得到真正满足的人。如果我们都去做自己能力做得到的事，我们真会叫自己大吃一惊。只有不断找寻机会的人才 会及时把握机会。人之所以平凡，在于无法超越自己。无论才能知识多么卓著，如果缺乏热情，则无异纸上画饼充饥，无补于事。你可以选择这样的“三 心二意”：信心恒心决心；创意乐意。驾驭命运的舵是奋斗。不抱有一丝幻想，不放弃一点机会，不停止一日努力。如果一个人不知道他要驶向哪个码头， 那么任何风都不会是顺风。行动是理想最高贵的表达。你既然认准一条道路，何必去打听要走多久。勇气是控制恐惧心理，而不是心里毫无恐惧。不举步， 越不过栅栏；不迈腿，登不上高山。不知道明天干什么的人是不幸的！智者的梦再美，也不如愚人实干的脚印不要让安逸盗取我们的生命力。别人只能给 你指路，而不能帮你走路，自己的人生路，还需要自己走。勤奋可以弥补聪明的不足，但聪明无法弥补懒惰的缺陷。后悔是一种耗费精神的情绪，后悔是 比损失更大的损失，比错误更大的错误，所以，不要后悔！复杂的事情要简单做，简单的事情要认真做，认真的事情要重复做，重复的事情要创造性地做。 只有那些能耐心把简单事做得完美的人，才能获得做好困难事的本领。生活就像在飙车，越快越刺激，相反，越慢越枯燥无味。人生的含义是什么，是奋 斗。奋斗的动力是什么，是成功。决不能放弃，世界上没有失败，只有放弃。未跌过未识做人，不会哭未算幸运。人生就像赛跑，不在乎你是否第一个到 达终点，而在乎你有没有跑完全程。累了，就要休息，休息好了之后，把所的都忘掉，重新开始！人生苦短，行走在人生路上，总会有许多得失和起落。 人生离不开选择，少不了抉择，但选是累人的，择是费人的。坦然接受生活给你的馈赠吧，不管是好的还是坏的。现在很痛苦，等过阵子回头看看，会发 现其实那都不算事。要先把手放开，才抓得住精彩旳未来。可以爱，可以恨，不可以漫不经心。我比别人知道得多，不过是我知道自己的无知。你若不想 做，会找一个或无数个借口；你若想做，会想一个或无数个办法。见时间的离开，我在某年某月醒过来，飞过一片时间海，我们也常在爱情里受伤害。1、 只有在开水里，茶叶才能展开生命浓郁的香气。人生就像奔腾的江水，没有岛屿与暗礁，就难以激起美丽的浪花。别人能做到的事，我一定也能做到。不 要浪费你的生命，在你一定会后悔的地方上。逆境中，力挽狂澜使强者更强，随波逐流使弱者更弱。凉风把枫叶吹红，冷言让强者成熟。努力不不一定成 功，不努力一定不成功。永远不抱怨，一切靠自己。人生最大的改变就是去做自己害怕的事情。每一个成功者都有一个开始。勇于开始，才能找到成功的 路。社会上要想分出层次，只有一个办法，那就是竞争，你必须努力，否则结局就是被压在社会的底层。后悔是一种耗费精神的情绪后悔是比损失更大的 损失，比错误更大的错误所以不要后悔。每个人都有潜在的能量，只是很容易:被习惯所掩盖，被时间所迷离,被惰性所消磨。与其临渊羡鱼，不如退而结网。 生命之灯因热情而点燃，生命之舟因拼搏而前行。世界会向那些有目标和远见的人让路。不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海。骐骥一跃，不 能十步；驽马十驾，功在不舍。锲而舍之，朽木不折；锲而不舍，金石可镂。若不给自己设限，则人生中就没有限制你发挥的藩篱。赚钱之道很多，但是 找不到赚钱的种子，便成不了事业家。最有效的资本是我们的信誉，它小时不停为我们工作。销售世界上第一号的产品——不是汽车，而是自己。在你成
北师大版高中数学必修一3.4.2换底公式课件
3 ������������2 ������������3 3 =· =- . 2 ������������3 ������������2 2
5
3
7
-7-
4.2 换底公式
题型一 题型二 题型三
目标导航
Z 知识梳理 D典例透析
HISHISHULI
IANLITOUXI
S随堂演练
UITANGYANLIAN
-5-
4.2 换底公式
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Z 知识梳理 D典例透析
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反思换底公式中的底可由条件决定,也可换为常用对数的底,一般 来讲,对数的底越小越便于化简,如以an为底的对数可换成以a为底 的对数.
-6-
4.2 换底公式
4.2
换底公式
-1-
4.2 换底公式
目标导航
Z 知识梳理 D典例透析
HISHISHULI
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1.理解换底公式的证明过程,会用换底公式将一般对数转化成自 然对数或常用对数,能正确运用换底公式计算一般对数. 2.能灵活地将换底公式和对数的运算法则结合起来,进行对数运 算.
=
5 . 6
(2)原式 =
1 -������������������53· ������������������7 4 3 ������������������52· ������������������73 3 = =- log32· log23 2 -������������������ 3· ������������������ 2 2
北师大版高中数学必修一课件§44.2换底公式
那么与l哪og个c b对数相等？如何证明这个结论？
log a c
结论 : logc b logc a
=
loga
b
证明 : 令 logc logc
? logc b
b a= x?l源自gclogc bax ?
x logc a
b ax ?
x
loga b
? logc b logc a
loga b
换底公式
logb
知识应用
例2一种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年剩留
的质量约是原来的84%,估计约经过多少年，该物质的剩留量
是原来的一半（结果保留1个有效数字）.
解：设最初的质量是1，经过x年，剩留量是y,则
经过1年，剩留量是y=0.84;
经过2年，剩留量是y=0.842; ……
经过x年，剩留量是y=0.84x;
1 32
log5
1 3
解:
(1) log9 8?log32 27
lg 8 ?lg 27 = 3lg 2 ?3lg 3 lg 9 lg 32 2 lg 3 5lg 2
9 10
(2)log2
1 125
log3
1 32
log5
1 3
3log2
5
(5
log3
2)
(
log5
3)
3 lg 5 (5) lg 2 (1) lg 3 15 lg 2 lg 3 lg 5
高中数学课件
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4.2换底公式
学习目标
1.会证明对数的换底公式。 2.会利用对数的换底公式进行化简、求值等运算。
复习旧知
高中数学 3.4.2《换底公式》课件(1) 北师大版必修1
所以
log23·log35·log516＝llgg
3 lg 2·lg
5 lg 16 3·lg 5
＝llgg126＝4llgg22＝4.
(2)原式＝llgg
23＋llgg
2lg 9lg
43＋llgg
3 8
＝llgg
32＋2llgg232llgg32＋3llgg32＝32llgg
(1)解 由 18b＝5，得 log185＝b， ∴log3645＝lloogg11883465＝log11＋85＋loglo18g2189
＝1＋1a－＋lbog189＝a2＋ －ba. (2)证明 设 3x＝4y＝6z＝t，∵3x＝4y＝6z＞1， ∴t＞1，∴x＝llgg 3t ，y＝llgg 4t ，z＝llgg 6t ， ∴1z－1x＝llgg 6t －llgg 3t ＝llgg 2t ＝2lglg4t＝21y.
法二 原式＝
lglg1225＋llgg245＋llgg
5lg 8lg
52＋llgg245＋lglg1285
＝3llgg25＋22llgg
52＋3llgg52llgg
52＋22llgg
25＋33llgg
2 5
＝133llgg253llgg
4．2 换底公式
【课标要求】 1．掌握对数的换底公式． 2．理解由换底公式得到的一般性质． 3．掌握换底公式的应用． 【核心扫描】 1．换底公式及其应用．(重点) 2．灵活地进行对数运算．(难点) 3．转化思想的应用．(方法)
自学导引 对数换底公式：logab＝llooggccab (a＞0，a≠1，c＞0，c≠1，b＞0)．
2．对数换底公式的选用 (1)在运算过程中，出现不能直接用计算器或查表获得对数值 时，可化成以 10 为底的常用对数进行运算． (2)在化简求值过程中，出现不同底数的对数不能运用运算法则 时，可统一化成以同一个实数为底的对数，再根据运算法则进 行化简与求值． (3)在实际问题中，把底数换成 10 或 e，可利用计算器或对数表 得到结果． 3．关于换底公式的另外两个结论 (1)logac·logca＝1； (2)logab·logbc·logca＝1.
3.4.2换底公式 课件(北师大版必修一)
【题型示范】 类型一 用换底公式表示对数式
【典例1】
(1)(2014·九江高一检测)已知log73=a,log74=b,log4948=
(用a,b表示).
(2)已知log147=a,14b=5,用a,b表示log3528.
【解题探究】1.如何建立log4948同a,b的关系? 2.题(2)中如何求解b?log3528如何用a,b表示? 【探究提示】1.借助换底公式统一底数. 2.借助对数的定义求解b,然后利用换底公式把log3528换成以 14为底的对数.
1 ,b=log436= 1 . log36 3 log36 4
【巧妙解法】 等式3a=4b=36两边都取以10为底的对数,得lg3a= lg4b=lg36, 即alg3=blg4=lg36, 所以 2 =log369, 1 =log364,
a 所以 2＋ 1 =1. a b b
答案：1
【方法对比】 常规方法切入点简单,但步骤有点复杂,倘若对对数的运算性质 不熟,则会导致运算错误,而巧妙解法直接统一底数,思路清晰, 方便快捷.
【教你一招】
处理“指数式和对数式”问题的换底技巧
题目中有指数式和对数式时,要注意指数式与对数式的互化,为 了便于运算,常借助换底公式把题目中不同底数的对数化成同 底数的对数,如本例中直接取常用对数,然后应用对数运算性质 进行计算.
【类题试解】设3a＝5b＝ 15 ，则 1 ＋ 1 ＝______. a b 【常规解法】将3a＝5b＝ 15 的两边取以15为底的对数得， alog153=blog155= 1 ,
1 所以 1 2log15 3， 2log15 5, 2 a b 所以 1 ＋ 1 ＝2log15 3 2log15 5＝2. a b
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或者
x
log1.01
18 13
lg 18 13
lg1.01
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
lg18 1g13 lg1.01
x
log1.01
18 13
ln 18 13
ln1.01
ln18 ln13 ln1.01
北师大版高中数学必修1第三章4.2换 底公式 课件【 精品】
北师大版高中数学必修1第三章4.2换 底公式 课件【 精品】
课堂小结
如果 a > 0，a 1，M > 0， N > 0 有：
loga(MN) logaM logaN
log a
M N
logaM logaN
logaMn nlog aM(n R)
log a m
loga
N
N
n
n log
mlogc
aN
N
logc a
loga b • logb a 1 a,b (0,1) (1,)
例3.1999底我国人口为13亿,人口增长的年平均增长率为
1%,则x年后，我国的人口数为 131.01；x 若问多少年后 我国的人口达到18亿，即解方程 18 131.01，x 则
x
log1.01
18 13
而如果计算器只能求10,e为底的对数，那该怎么办？
方法：进行换底，把底换成以10，或者换成以e为底．
一个对数可以用同底数的两个对数的商来表示
北师大版高中数学必修1第三章4.2换 底公式 课件【 精品】
北师大版高中数学必修1第三章4.2换 底公式 课件【 精品】
重要公式:
loga b
1 logb
a
（a,b 0,a,b ≠ 1）
证明:由换底公式
loga
N
logc logc
N a
取以b为底的对数得：
(3)log2 3 • log3 7 • log7 8
北师大版高中数学必修1第三章4.2换 底公式 课件【 精品】
北师大版高中数学必修1第三章4.2换 底公式 课件【 精品】
例2： 已知 log2 3 = a， log3 7 = b, 用 a, b 表示log42 56
解：因为log23 = a，则
log4 16 log3 9 log2 8
北师大版高中数学必修1第三章4.2换 底公式 课件【 精品】
㏒215=x
2x=15
两边取对数，得
Xlg2=lg15即x=
㏒215=x =
北师大版高中数学必修1第三章4.2换 底公式 课件【 精品】
北师大版高中数学必修1第三章4.2换 底公式 课件【 精品】
北师大版高中数学必修1第三章4.2换 底公式 课件【 精品】
北师大版高中数学必修1第三章4.2换 底公式 课件【 精品】
作业:P86 第3题 P88 B组 第4题
北师大版高中数学必修1第三章4.2换 底公式 课件【 精品】
（幂的对数等于幂指数与对数的积）
北师大版高中数学必修1第三章4.2换 底公式 课件【 精品】
北师大版高中数学必修1第三章4.2换 底公式 课件【 精品】
１.计算下列各式的值：
(1). log2 16 log2 4
(2). log2 9 log2 3
(3). lg 8 lg 2
你有何发现？
北师大版高中数学必修1第三章4.2换 底公式 课件【 精品】
loga N
logc N logc a
(a,c 0,a,c ≠ 1，N
证明：设 loga N p
由对数的定义可以得： N a p ,
0)
logc N logc a p , logc N p logc a,
p logc N 即证得 logc a
loga
N
logc N logc a
这个公式叫做换底公式
loga
b
logb logb
b a
logb b 1,
loga
b
1 logb
a
还可以变形,得
loga b • logb a 1
北师大版高中数学必修1第三章4.2换 底公式 课件【 精品】
北师大版高中数学必修1第三章4.2换 底公式 课件【 精品】
例1：计算：
(1) log9 27
（2） log8 9 log27 32
1 a
log 3
2
, 又 log3 7 = b,
log
42
56
log3 56 log3 42
log3 7 3 log3 2 log37 log3 2 1
ab 3 ab b 1
练习：1. 已知 lg 2 a，lg3 b，
试用a,b表示lg 45.
北师大版高中数学必修1第三章4.2换 底公式 课件【 精品】
北师大版高中数学必修1第三章4.2换 底公式 课件【 精品】
2.已知 log3 12 a ，求 log3 24 的值.
3.
设3a 5b m 求m 的值.
，已知 1 1 2 ,
ab
北师大版高中数学必修1第三章4.2换 底公式 课件【 精品】
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换底公式
北师大版高中数学必修1第三章4.2换 底公式 课件【 精品】
对数的运算性质
如果 a > 0，a 1，M > 0， N > 0 有：
loga MN loga M loga N
（积的对数等于对数和）
loga
M N
loga
M
loga
N
（商的对数等于对数差）
loga M n n loga M (n R)