新人教版高中数学函数的单调性导学案

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新人教版高中数学《函数单调性的应用》导学案

第11课时函数单调性的应用1.理解函数单调性的定义,能够根据函数单调性的定义,利用作差法判断或证明函数的单调性.2.能根据函数的单调性求函数的最值及函数的值域.3.能够运用函数的单调性比较大小、解不等式,并能够解答实际应用问题.我们可以根据基本函数的图象判断出其单调性,对于不熟悉函数的单调性的判断,我们只能依据单调性的定义进行判断,那么具体有哪些步骤呢?问题1:(1)比较两个数a,b的大小可以通过作差来判断,即a-b<0⇔,a-b=0⇔,a-b>0⇔,形如这样比较大小的方法称为作差比较法.(2)判断函数f(x)在区间D上的单调性,可以先给出区间D上的任意两个数x,x2,假设x1<x2,再作差f(x1)-f(x2),通过化简、因式分解(若有分母,则先通分) 1等方法进行变形,判断出f(x1)-f(x2)的符号,若f(x1)-f(x2)<0恒成立,则f(x)在区间D上是,若f(x1)-f(x2)>0恒成立,则f(x)在区间D上是.以上通过作差法判断单调性的步骤可以简化为3个环节,即作差→变形→定号.问题2:函数的最大值与最小值是如何定义的?(1)设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足:①对于任意的x∈I,都有;②存在x0∈I,使得.那么,称M是函数y=f(x)的最大值.(2)设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足:①对于任意的x∈I,都有;②存在x0∈I,使得,那么,称M是函数y=f(x)的最小值.问题3:函数最值定义中的不等式反映了函数y=f(x)的函数值具有什么特点?其图象又有什么特征?f(x)≤M反映了函数y=f(x)的所有函数值不大于实数;这个函数的图象特征是有,并且最高点的是M.f(x)≥M反映了函数y=f(x)的所有函数值不小于实数;这个函数的图象特征是有,并且最低点的是M.问题4:函数的值域与最值有何区别?(1)函数的值域是一个集合,而函数的最值属于这个集合.(2)函数的值域一定存在,但函数并不一定有最大(小)值.例如,函数y=,x∈(0,+∞)的值域为(0,+∞),它并不存在最大(小) 值.函数单调性的判断与证明利用函数单调性的定义,证明函数f(x)=在区间[0,+∞)上是增函数.利用单调性求函数的值域或最值求函数y=在区间[3,7]上的最大值和最小值.-实际应用中的最值问题某旅行团去风景区旅游,对机票费用有如下规定:若每团人数不超过30人,飞机票每张收费900元;若每团人数多于30人,则给予优惠,每多1人,机票每张减少10元.每个团乘飞机,旅行社需付给航空公司包机费15000元,假设一个旅行团体不能超过70人.(1)写出飞机票的价格关于人数的函数式.(2)每团人数为多少时,旅行社可获得最大利润?加工爆米花时,爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”.在特定条件下,可食用率p与加工时间t(单位:分钟)满足函数关系p=at2+bt+c(a,b,c 是常数),如图记录了三次实验的数据.根据上述函数模型和实验数据,可以得到最佳加工时间为().A.3.50分钟B.3.75分钟C.4.00分钟D.4.25分钟考题变式(我来改编):第11课时函数单调性的应用知识体系梳理问题1:(1)a<b a=b a>b (2)增函数减函数问题2:(1)f(x)≤M f(x0)=M (2)f(x)≥M f(x0)=M 问题3:M 最高点纵坐标M 最低点纵坐标重点难点探究探究一:【解析】任取x1,x2∈[0,+∞),且x1<x2,则f(x1)-f(x2)=-=-=,∵0≤x1<x2,∴x1-x2<0,+>0.从而知f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2).∴函数f(x)=在区间[0,+∞)上是增函数.【小结】对于本题,很可能会认为由0≤x1<x2可直接得到0≤<,这种做法在高一初学阶段的理由是不充分的,因为这个结论的得出恰恰是利用了函数f(x)=的单调性,而此点是需要证明的.探究二:【解析】y=-=2+-,设3≤x1<x2≤7,则有f(x1)-f(x2)=---=-----=---.∵3≤x1<x2≤7,∴x2-x1>0,(x1-1)(x2-1)>0.∴f(x1)>f(x2),即函数y=-在区间[3,7]上是减函数.∴当x=3时,函数y=-在区间[3,7]上取得最大值f(3)=3;当x=7时,函数y=-在区间[3,7]上取得最小值f(7)=.【小结】如果函数在区间[a,b]上是单调函数,则可利用单调性求出该函数在区间[a,b]上的最大(小)值.探究三:【解析】(1)设旅行团的人数为x,机票价格为y元,则y=-即y=(2)设旅行社可获得利润为Q元,则Q=-≤--即Q=-≤-当x∈[1,30]时,Q max=900×30-15000=12000(元),当x∈(30,70]时,Q=-10(x-60)2+21000,即当x=60时,Q max=21000(元).故当每团人数为60时,旅行社可获得最大利润21000元.【小结】①解实际应用题要弄清题意,从实际出发,引入数学符号,建立数学模型,列出函数关系式,分析函数的性质,从而解决问题,要注意自变量的取值范围.②实际应用问题中,最大利润、用料最省等问题常转化为求函数最值来解决,本题转化为二次函数求最值,利用配方法和分类讨论思想使问题得到解决.③对于分段函数的最值,需要分段求解最值,再取其最大(或最小)即可得到答案.全新视角拓展【解析】先把三组实验数据代入函数关系式,解方程确定关系式,再由二次函数配方法求函数取最大值时的条件.根据图表,把(t,p)的三组数据(3,0.7),(4,0.8),(5,0.5)分别代入函数关系式,联立方程组得消去c化简得解得所以p=-0.2t2+1.5t-2.0=-(t2-t+)+-2=--+,所以当t==3.75时,p取得最大值,即最佳加工时间为3.75分钟.【答案】B思维导图构建f(b)f(a)f(b)f(a)。

高中数学 3.3.1函数的单调性与导数导学案新人教版选修1-1-新人教版高二选修1-1数学学案

函数的单调性与导数导学案【学习目标】1、了解可导函数的单调性与其导数的关系.2、掌握利用导数判断函数单调性的方法.【学习重难点】教学重点：利用导数判断一个函数在其定义区间内的单调性.教学难点：判断复合函数的单调区间及应用；利用导数的符号判断函数的单调性. 【学法指导】运用导数这个工具研究函数的单调性，体会导数在研究函数中的应用，并与以前知识相比较，体会导数在研究函数中优越性。

知识链接一、【自主学习】1．增函数、减函数的定义一般地，设函数f(x) 的定义域为I：如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量x1，x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是增函数．当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说 f(x) 在这个区间上是减函数．2．函数的单调性如果函数y＝f(x) 在某个区间是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x) 在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做y＝f(x) 的单调区间．在单调区间上增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的．1.观察23页图1.3.2的四副图，完成下列表格。

2、以小组为单位完成上列表格二【合作探究】1、学生以小组为单位讨论上述表格函数的单调性与其导数的正负的关系：2、抽生回答3、师总结：在区间[a’b]内，若f '(x)＞0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增；如果f '(x)＜0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递减。

备注：f '(x )＞0是函数单调递增的充分不必要条件 f '(x )＜0是函数单调递减的充分不必要条件。

f '(x )》0f '(x )《0例．确定函数f (x )＝2x 3－6x 2＋7在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数．师扮演过程：解：f (x )'＝6x 2－12x ．令6x 2－12x ＞0，解得x ＜0或x ＞2．因此，当x ∈(－∞, 0)时，函数f(x)是增函数，当x ∈(2, ＋∞)时， f (x )也是增函数．令6x 2－12x ＜0，解得0＜x ＜2．因此，当x ∈(0, 2)时，f (x )是减函数．师总结：利用导数确定函数的单调性的步骤：(1) 确定函数f (x )的定义域； (2) 求出函数的导数；(3) 解不等式f '(x )＞0，得函数的单调递增区间；解不等式f '(x )＜0，得函数的单调递减区间．练习1：教材P24面的例2 【课堂小结】1．判断函数的单调性的方法； 2．导数与单调性的关系； 3．证明单调性的方法. 【达标检测】1、求下列函数的单调区间．(1)y ＝x －ln x ； (2)y ＝12x.2、已知c bx ax x f ++=24)(的图象经过点(0,1)，且在1x =处的切线方程是2y x =- （1）求)(x f y =的解析式；（2）求)(x f y =的单调递增区间。

函数的单调性导学案-高一上学期数学人教A版

高一上数学课时导学案围7.已知函数[]2()22,5,5f x x ax x =++∈-.① 当1a =-时，求函数的最大值和最小值；② 求实数a 的取值范围，使()y f x =在区间[]5,5-上是单调函数.知识梳理1.函数的单调性的定义单调性：设函数()y f x =的定义域为I ，对于I 的某个子区间内的任意两个自变量21x x 、，（1）如图1，若当12x x <时都有()()12f x f x <，则称()y f x =在这个区间内单调递增；（2）如图2，若当12x x <时都有()()12f x f x >，则称()y f x =在这个区间内单调递减.思考：设函数在某个区间内任意两个自变量21x x 、都有 2121()()0f x f x x x ->-、1212()()f x f x x x -<-、[]0)()()(2121>--x f x f x x 、[]0)()()(2121<--x f x f x x 分别说明什么？2.单调性是函数的局部性质, 函数的单调区间是定义域的子集, 即函数的增减性是相对于函数的定义域中的某个区间而言的,函数单调性定义中的21x x 、.3.简单的判断单调性的方法：增函数+增函数=增函数.4.判断单调性的方法（1）图像法（2）定义法 5.单调性的应用（1）求值域（2）解不等式【例题一】如图:是定义在区间[5,5]上的函数()y f x =,根据图象说出函数的单调区间,以及在每一单调区间上,它是增函数还是减函数?【例题二】写出下列函数的单调区间：(1) 2()56f x x x =-+，(2,5)x ∈- (2) 2()|2|f x x x =- (3) 2()5||6f x x x =+- (4),01,()2(1),1,x x f x x x ⎧<<⎪=⎨-≥⎪⎩ (5)()22,1244,2x x f x x x x -<≤⎧=⎨-+>⎩。

人教A版必修一, 1.3 函数的单调性 ,导学案

1.3函数的基本性质第1课时函数的单调性1．理解函数的单调性及其几何意义，能运用函数图象理解和研究函数的单调性．(重点、难点)2．会用函数单调性的定义判断(或证明)一些函数的单调性．(难点)3．会求一些具体函数的单调区间．(重点)[基础·初探]教材整理1 增函数与减函数的定义阅读教材P 27～P 28，完成下列问题．增函数与减函数的定义判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)因为f (－1)<f (2)，所以函数f (x )在[－1,2]上是增函数．( )(2)若f (x )为R 上的减函数，则f (0)>f (1)．( )(3)若函数f (x )在区间(1,2]和(2,3)上均为增函数，则函数f (x )在区间(1,3)上为增函数．( )【解析】(1)×.函数的单调性强调自变量的任意性而非特殊性．(2)√.由减函数的定义可知f (0)>f (1)．(3)×.反例：f (x )＝⎩⎨⎧ x ＋1，x ∈(1，2]x －1，x ∈(2，3).【答案】(1)×(2)√(3)×教材整理2函数的单调性与单调区间阅读教材P29第一段，完成下列问题．函数的单调性与单调区间如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．函数f(x)＝x2－2x＋3的单调减区间是________．【解析】因为f(x)＝x2－2x＋3是图象开口向上的二次函数，其对称轴为x ＝1，所以函数f(x)的单调减区间是(－∞，1)．【答案】(－∞，1)[小组合作型]求下列函数的单调区间，并指出该函数在其单调区间上是增函数还是减函数．(1)f(x)＝－1x；(2)f(x)＝⎩⎨⎧2x＋1，(x≥1)5－x，(x<1)；(3)f(x)＝－x2＋2|x|＋3.【精彩点拨】(1)根据反比例函数的单调性求解；(2)根据自变量的范围分段求出相应的函数的单调区间；(3)做出函数的图象求其单调区间．【自主解答】(1)函数f(x)＝－1x的单调区间为(－∞，0)，(0，＋∞)，其在(－∞，0)，(0，＋∞)上都是增函数．(2)当x≥1时，f(x)是增函数，当x<1时，f(x)是减函数，所以f(x)的单调区间为(－∞，1)，[1，＋∞)，并且函数f(x)在(－∞，1)上是减函数，在[1，＋∞)上是增函数．(3)因为f (x )＝－x 2＋2|x |＋3＝⎩⎨⎧－x 2＋2x ＋3，x ≥0－x 2－2x ＋3，x <0. 根据解析式可作出函数的图象如图所示，由图象可知，函数f (x )的单调区间为(－∞，－1]，[0,1)，(－1,0)，[1，＋∞)．f (x )在(－∞，－1]，[0,1)上是增函数，在(－1,0)，[1，＋∞)上是减函数．1．求函数单调区间的方法(1)利用基本初等函数的单调性，如本例(1)和(2)，其中分段函数的单调区间要根据函数的自变量的取值范围分段求解；(2)利用函数的图象，如本例(3)．2．若所求出函数的单调增区间或单调减区间不唯一，函数的单调区间之间要用“，”隔开，如本例(3)．[再练一题]1．函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋3(a ∈R )的单调减区间为________.【解析】因为函数f (x )是开口向下的二次函数，其对称轴为x ＝a ，所以f (x )的单调减区间为(a ，＋∞)．【答案】(a ，＋∞)(1)下列四个函数中在(0，＋∞)上为增函数的是( ) A ．f (x )＝3－xB ．f (x )＝(x －1)2C ．f (x )＝1xD ．f (x )＝x 2＋2x(2)用单调性定义证明函数f (x )＝x 2x 2－1在区间(0,1)上是减函数．【精彩点拨】 (1)根据一次函数、反比例函数或二次函数的单调性判断．(2)利用函数单调性的定义，取值，作差，变形，定号，下结论，即可证得．【自主解答】 (1)A .f (x )＝3－x 在(0，＋∞)上为减函数．B .f (x )＝(x －1)2是开口向上的二次函数，其对称轴为x ＝1，它的单调增区间为(1，＋∞)，所以它在(0，＋∞)上不为单调函数．C .f (x )＝1x 在(0，＋∞)上为减函数．D .f (x )＝x 2＋2x是开口向上的二次函数，其对称轴为x ＝－1，则它的单调递增区间是(－1，＋∞)，所以它在(0，＋∞)上为增函数．【答案】D(2)设x 1，x 2∈(0,1)且x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 21x 21－1－x 22x 22－1＝x 22－x 21(x 21－1)(x 22－1)＝(x 2－x 1)(x 2＋x 1)(x 1－1)(x 1＋1)(x 2－1)(x 2＋1). ∵x 1＜x 2，∴x 2－x 1＞0.∵x 1，x 2∈(0,1)，∴x 1＋1＞0，x 2＋1＞0，x 1－1＜0，x 2－1＜0，∴f (x 1)－f (x 2)＞0，即f (x 1)＞f (x 2)，所以，函数f (x )＝x 2x 2－1在区间(0,1)上是减函数．利用定义证明函数单调性的4个步骤[再练一题]2．已知函数f (x )＝1a －1x ，用单调性定义证明f (x )在(0，＋∞)上是单调递增函数.【证明】设任意x 2＞x 1＞0，则x 2－x 1＞0，x 1x 2＞0.∵f (x 2)－f (x 1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1x 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1x 1＝1x 1－1x 2＝x 2－x 1x 1x 2>0，∴f (x 2)＞f (x 1)，∴f (x )在(0，＋∞)上是单调递增函数．[探究共研型]探究1若函数f (x )是其定义域上的增函数，且f (a )>f (b )，则a ，b 满足什么关系．如果函数f (x )是减函数呢？【提示】若函数f (x )是其定义域上的增函数，那么当f (a )>f (b )时，a >b ；若函数f (x )是其定义域上的减函数，那么当f (a )>f (b )时，a <b .探究2若函数f (x )＝x 2－2ax ＋3在(2，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范围是什么？【提示】因为函数f (x )＝x 2－2ax ＋3是图象开口向上的二次函数，其对称轴为x ＝a ，所以其单调增区间为(a ，＋∞)，由题意可得(2，＋∞)⊆(a ，＋∞)，所以a ≤2.(1)f (x )为(－∞，＋∞)上的减函数，a ∈R ，则( )A ．f (a )＜f (2a )B ．f (a 2)＜f (a )C ．f (a 2＋1)＜f (a )D ．f (a 2＋a )＜f (a )(2)如果函数f (x )＝x 2－2bx ＋2在区间[3，＋∞)上是增函数，则b 的取值范围为( )A ．b ＝3B ．b ≥3C ．b ≤3D ．b ≠3【精彩点拨】 (1)先比较题中变量的大小关系，再利用减函数中大自变量对应小函数值，小自变量对应大函数值来找答案即可．(2)分析函数f (x )＝x 2－2bx ＋2的图象和性质，利用二次函数的单调性即可得出b 的取值范围．【自主解答】 (1)因为a ∈R ，所以a －2a ＝－a 与0的大小关系不定，无法比较f (a )与f (2a )的大小，故A 错；而a 2－a ＝a (a －1)与0的大小关系也不定，也无法比较f (a 2)与f (a )的大小，故B 错；又因为a 2＋1－a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋34＞0，所以a 2＋1＞a .又f (x )为(－∞，＋∞)上的减函数，故有f (a 2＋1)＜f (a )，故C 对；易知D 错．故选C.(2)函数f (x )＝x 2－2bx ＋2的图象是开口向上，且以直线x ＝b 为对称轴的抛物线，若函数f (x )＝x 2－2bx ＋2在区间[3，＋∞)上是增函数，则b ≤3，故选C.【答案】(1)C (2)C1．函数单调性定义的“双向性”：利用定义可以判断、证明函数的单调性，反过来，若已知函数的单调性可以确定函数中参数的取值范围．2．已知函数的单调性求参数的取值范围的方法(1)视参数为已知数，依据函数的图象或单调性的定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数．(2)依据常见函数的单调性，如一次函数、反比例函数、二次函数的单调性求解．(3)要注意：“函数f (x )的增区间是(a ，b )”与“函数f (x )在区间(a ，b )上单调递增”是不同的，后者意味着区间(a ，b )是函数f (x )的增区间的一个子集．[再练一题]3．已知函数y ＝f (x )是(－∞，＋∞)上的增函数，且f (2x －3)>f (5x ＋6)，求实数x 的取值范围为________．【解析】 ∵f (x )是R 上的增函数，且f (2x －3)>f (5x ＋6)，∴2x －3>5x ＋6，即x <－3.【答案】 (－∞，－3)1．函数f (x )＝－x 2＋2x ＋3的单调减区间是( )A ．(－∞，1)B ．(1，＋∞)C ．(－∞，2)D ．(2，＋∞)【解析】易知函数f (x )＝－x 2＋2x ＋3是图象开口向下的二次函数，其对称轴为x ＝1，所以其单调减区间是(1，＋∞)．【答案】 B2．下列函数在区间(0，＋∞)上不是增函数的是( )A ．y ＝2x ＋1B ．y ＝x 2＋1C ．y ＝3－xD ．y ＝x 2＋2x ＋1【解析】函数y ＝3－x 在区间(0，＋∞)上是减函数．【答案】 C3．若x 1，x 2∈(－∞，0)，且x 1<x 2，函数f (x )＝－1x ，则f (x 1)与f (x 2)的大小关系是( )A ．f (x 1)>f (x 2)B ．f (x 1)<f (x 2)C ．f (x 1)＝f (x 2)D ．以上都有可能【解析】 ∵函数f (x )＝－1x在(－∞，0)上是增函数，又∵x 1，x 2∈(－∞，0)，且x 1<x 2，∴f (x 1)<f (x 2)．【答案】 B4．已知函数f (x )＝ax ＋2是减函数，则实数a 的取值范围是________．【解析】易知函数f (x )＝ax ＋2是一次函数，又因为它是减函数，所以a <0.【答案】 (－∞，0)5．证明：函数f (x )＝x ＋1x 在(－1,0)上是减函数．【证明】设－1＜x 1＜x 2＜0，则有f (x 1)－f (x 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋1x 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 2＝(x 1－x 2)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1－1x 2＝(x 1－x 2)·(x 1x 2－1)x 1x 2，由于－1＜x 1＜x 2＜0,0＜x 1x 2＜1，x 1x 2－1＜0，又x 1x 2＞0，x 1－x 2＜0，则f (x 1)－f (x 2)＞0，即f (x 1)＞f (x 2)，所以函数在(－1,0)上为减函数．第2课时函数的最大(小)值1．理解函数的最大(小)值的概念及其几何意义．(重点)2．了解函数的最大(小)值与定义区间有关，会求一次函数、二次函数及反比例函数在指定区间上的最大(小)值．(重点、难点)[基础·初探]教材整理函数的最大(小)值阅读教材P 30至“例3”以上部分，完成下列问题． 1．函数f (x )＝1x ，x ∈[－1,0)∪(0,2]( )A ．有最大值12，最小值－1B ．有最大值12，无最小值C ．无最大值，有最小值－1D ．无最大值，也无最小值【解析】函数f (x )＝1x 在[－1,0)上单调递减，在(0,2]上也单调递减，所以无最大值，也无最小值，故选D.【答案】 D2．函数f (x )＝x 2－2x ＋2，x ∈[－1,2]的最小值为________；最大值为________．【解析】因为f (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1，x ∈[－1,2]，所以f (x )的最小值为f (1)＝1，最大值为f (－1)＝5. 【答案】 1 5[小组合作型]画出函数y ＝x －|x －1|的图象，并求其值域．【精彩点拨】先把y ＝x －|x －1|化成分段函数的形式，再画出其图象，并由图象求值域．【自主解答】y ＝x －|x －1|＝⎩⎨⎧1，x ≥12x －1，x <1，画出该函数的图象如图所示．由图可知，函数y ＝x －|x －1|的值域为(－∞，1]．1．函数的最大值、最小值分别是函数图象的最高点、最低点的纵坐标．对于图象较容易画出来的函数，可借助于图象直观的求出其最值，但画图时要求尽量精确．2．利用图象法求函数最值的一般步骤作图象→找图象的最高点和最低点→确定最高点和最低点的纵坐标→确定最值[再练一题]1．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧3－x 2，x ∈[－1，2]x －3，x ∈(2，5]. (1)在如图1-3-2给定的直角坐标系内画出f (x )的图象；(2)写出f (x )的单调递增区间及值域.图1-3-2【解】(1)图象如图所示：(2)由图可知f (x )的单调递增区间为[－1,0)，(2,5]，值域为[－1,3]．求函数f (x )＝x ＋4x 在[1,4]上的最值．【精彩点拨】先利用单调性的定义判断函数的单调性，再根据单调性求最值即可．【自主解答】设1≤x 1<x 2≤2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1＋4x 1－x 2－4x 2＝x 1－x 2＋4(x 2－x 1)x 1x 2＝(x 1－x 2)·⎝⎛⎭⎪⎫1－4x 1x 2＝(x 1－x 2)x 1x 2－4x 1x 2＝(x 1－x 2)(x 1x 2－4)x 1x 2. ∵1≤x 1<x 2≤2，∴x 1－x 2<0，x 1x 2－4<0，x 1x 2>0，∴f (x 1)>f (x 2)，∴f (x )是减函数．同理f (x )在(2,4]上是增函数．∴当x ＝2时，f (x )取得最小值4，当x ＝1或x ＝4时，f (x )取得最大值5.函数的单调性与其最值的关系1．若函数f(x)在闭区间[a，b]上是减函数，则f(x)在闭区间[a，b]上的最大值为f(a)，最小值为f(b)．2．若函数f(x)在闭区间[a，b]上是增函数，则f(x)在闭区间[a，b]上的最大值为f(b)，最小值为f(a)．3．求函数的最值时一定要注意所给的区间是闭区间还是开区间，若是开区间，则不一定有最大值或最小值．[再练一题]2．已知函数f(x)＝1x－2，(1)判断f(x)在[3,5]上的单调性，并证明；(2)求f(x)在[3,5]上的最大值和最小值．【解】(1)f(x)在[3,5]上为减函数．证明：任取x1，x2∈[3,5]，有x1＜x2，∴f(x1)－f(x2)＝1x1－2－1x2－2＝x2－x1(x1－2)(x2－2).∵x1＜x2，∴x2－x1＞0.又∵x1，x2∈[3,5]，∴(x1－2)(x2－2)＞0，∴x2－x1(x1－2)(x2－2)＞0，∴f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)，∴f(x)在[3,5]上是减函数．(2)∵f(x)在[3,5]上是减函数，∴f(x)在[3,5]上的最大值为f(3)＝1，f(x)在[3,5]上的最小值为f(5)＝1 3.某旅游点有50辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日115元．根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超过6元，则每提高1元，租不出去的自行车就增加3辆．规定：每辆自行车的日租金不超过20元，每辆自行车的日租金x元只取整数，并要求出租所有自行车一日的总收入必须超过一日的管理费用，用y表示出租所有自行车的日净收入(即一日中出租所有自行车的总收入减去管理费后的所得)．(1)求函数y ＝f (x )的解析式及定义域；(2)试问日净收入最多时每辆自行车的日租金应定为多少元？日净收入最多为多少元？【精彩点拨】 (1)函数y ＝f (x )＝出租自行车的总收入－管理费；当x ≤6时，全部租出；当6＜x ≤20时，每提高1元，租不出去的就增加3辆，所以要分段求出解析式；(2)由函数解析式是分段函数，在每一段内求出函数最大值，比较得出函数的最大值．【自主解答】 (1)当x ≤6时，y ＝50x －115，令50x －115＞0，解得x ＞2.3. ∵x ∈N ，∴3≤x ≤6，且x ∈N .当6＜x ≤20时，y ＝[50－3(x －6)]x －115＝－3x 2＋68x －115，综上可知y ＝⎩⎨⎧50x －115，3≤x ≤6，x ∈N －3x 2＋68x －115，6<x ≤20，x ∈N .(2)当3≤x ≤6，且x ∈N 时，∵y ＝50x －115是增函数，∴当x ＝6时，y m ax ＝185元．当6＜x ≤20，x ∈N 时，y ＝－3x 2＋68x －115＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －3432＋8113， ∴当x ＝11时，y m ax ＝270元．综上所述，当每辆自行车日租金定在11元时才能使日净收入最多，为270元．1．本题建立的是分段函数模型，分段求出各段的最大值，两段中的最大值即为所求，其中求一次函数的最值应用单调性，求二次函数的最值则应用配方法．2．解决实际应用问题，首先要理解题意，然后建立数学模型转化成数学模型解决；分清各种数据之间的关系是正确构造函数关系式的关键．[再练一题]3．某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律：每生产产品x (百台)，其总成本为G (x )(万元)，其中固定成本为2.8万元，并且每生产1百台的生产成本为1万元(总成本＝固定成本＋生产成本)．销售收入R (x )(万元)满足R (x )＝⎩⎨⎧－0.4x 2＋4.2x (0≤x ≤5)11(x >5)，假定该产品产销平衡(即生产的产品都能卖掉)，根据上述统计规律，请完成下列问题：(1)写出利润函数y ＝f (x )的解析式(利润＝销售收入－总成本)；(2)工厂生产多少台产品时，可使盈利最多？【解】 (1)由题意得G (x )＝2.8＋x .∵R (x )＝⎩⎨⎧－0.4x 2＋4.2x (0≤x ≤5)11(x >5)， ∴f (x )＝R (x )－G (x )＝⎩⎨⎧－0.4x 2＋3.2x －2.8(0≤x ≤5)8.2－x (x >5). (2)当x ＞5时，函数f (x )递减，∴f (x )＜f (5)＝3.2(万元)．当0≤x ≤5时，函数f (x )＝－0.4(x －4)2＋3.6，当x ＝4时，f (x )有最大值为3.6(万元)．所以当工厂生产4百台时，可使盈利最大为3.6万元．[探究共研型]探究1 函数f (x )＝x 2－2x ＋2在区间[－1,0]，[－1,2]，[2,3]上的最大值和最小值分别是什么？【提示】函数f (x )＝x 2－2x ＋2的图象开口向上，对称轴为x ＝1.(1)因为f (x )在区间[－1,0]上单调递减，所以f (x )在区间[－1,0]上的最大值为f (－1)＝5，最小值为f (0)＝2.(2)因为f (x )在区间[－1,1]上单调递减，在[1,2]上单调递增，则f (x )在区间[－1,2]上的最小值为f (1)＝1，又因为f (－1)＝5，f (2)＝2，f (－1)>f (2)，所以f (x )在区间[－1,2]上的最大值为f (－1)＝5.(3)因为f (x )在区间[2,3]上单调递增，所以f (x )在区间[2,3]上的最小值为f (2)＝2，最大值为f (3)＝5.探究2 你能说明二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的单调性吗？若求该函数f (x )在[m ，n ]上的最值，应考虑哪些因素？【提示】当a >0时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－b 2a 上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a ，＋∞上单调递增；当a <0时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a ，＋∞上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－b 2a 上单调递增．若求二次函数f (x )在[m ，n ]上的最值，应考虑其开口方向及对称轴x ＝－b 2a与区间[m ，n ]的关系．已知函数f (x )＝x 2－ax ＋1，(1)求f (x )在[0,1]上的最大值；(2)当a ＝1时，求f (x )在闭区间[t ，t ＋1](t ∈R )上的最小值．【精彩点拨】 (1)根据二次函数图象的对称性求函数的最大值．(2)根据函数在区间[t ，t ＋1]上的单调性分三种情况讨论，分别求出f (x )的最小值．【自主解答】 (1)因为函数f (x )＝x 2－ax ＋1的图象开口向上，其对称轴为x ＝a 2，所以区间[0,1]的哪一个端点离对称轴远，则在哪个端点取到最大值，当a 2≤12，即a ≤1时，f (x )的最大值为f (1)＝2－a ；当a 2>12，即a >1时，f (x )的最大值为f (0)＝1.(2)当a ＝1时，f (x )＝x 2－x ＋1，其图象的对称轴为x ＝12，①当t ≥12时，f (x )在其上是增函数，∴f (x )min ＝f (t )＝t 2－t ＋1；②当t ＋1≤12，即t ≤－12时，f (x )在其上是减函数，∴f (x )min ＝f (t ＋1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋122＋34＝t 2＋t ＋1；③当t <12<t ＋1，即－12<t <12时，函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤t ，12上单调递减，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，t ＋1上单调递增，所以f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝34. 探求二次函数的最值问题，要根据函数在已知区间上的单调性求解，特别要注意二次函数的对称轴与所给区间的位置关系，它是求解二次函数在已知区间上最值问题的主要依据，如果二者的位置关系不确定，那么就应对其位置关系进行分类讨论来确定函数的最值.[再练一题]4．求f (x )＝x 2－2ax －1在区间[0,2]上的最大值和最小值.【解】f (x )＝(x －a )2－1－a 2，对称轴为x ＝a .(1)当a <0时，由图①可知，f (x )在区间[0,2]上是增函数，所以f (x )min ＝f (0)＝－1，f (x )m ax ＝f (2)＝3－4a .(2)当0≤a ≤1时，由图②可知，对称轴在区间[0,2]内，所以f (x )min ＝f (a )＝－1－a 2，f (x )m ax ＝f (2)＝3－4a .(3)当1<a ≤2时，由图③可知，对称轴在区间[0,2]内，所以f (x )min ＝f (a )＝－1－a 2，f (x )m ax ＝f (0)＝－1.(4)当a >2时，由图④可知，f (x )在[0,2]上为减函数，所以f (x )min ＝f (2)＝3－4a ，f (x )m ax ＝f (0)＝－1.1．函数f (x )＝－2x ＋1(x ∈[－2，2])的最小、最大值分别为( )A ．3,5B ．－3,5C ．1,5D ．5，－3【解析】因为f(x)＝－2x＋1(x∈[－2,2])是单调递减函数，所以当x＝2时，函数的最小值为－3.当x＝－2时，函数的最大值为5.【答案】 B2．函数y＝x2－2x，x∈[0,3]的值域为()A．[0,3]B．[－1,0]C．[－1，＋∞) D．[－1,3]【解析】∵函数y＝x2－2x＝(x－1)2－1，x∈[0,3]，∴当x＝1时，函数y 取得最小值为－1，当x＝3时，函数取得最大值为3，故函数的值域为[－1,3]，故选D.【答案】 D3．若函数y＝ax＋1在[1,2]上的最大值与最小值的差为2，则实数a的值是()A．2 B．－2C．2或－2 D．0【解析】由题意，a≠0，当a>0时，有(2a＋1)－(a＋1)＝2，解得a＝2；当a<0时，有(a＋1)－(2a＋1)＝2，解得a＝－2.综上知a＝±2.【答案】 C4．函数f(x)＝6－x－3x在区间[2,4]上的最大值为________．【解析】∵6－x在区间上是减函数，－3x在区间上是减函数，∴函数f(x)＝6－x－3x在区间上是减函数，∴f(x)m ax＝f(2)＝6－2－3×2＝－4.【答案】－45．已知函数f(x)＝2x－1(x∈[2,6])．(1)判断函数f(x)的单调性，并证明；(2)求函数的最大值和最小值．【解】(1)函数f(x)在x∈[2,6]上是增函数．证明：设x1，x2是区间[2,6]上的任意两个实数，且x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝2 x1－1－2x2－1＝2[(x2－1)－(x1－1)](x1－1)(x2－1)＝2(x2－x1)(x1－1)(x2－1).由2≤x1<x2≤6，得x2－x1>0，(x1－1)(x2－1)>0，于是f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，所以函数f(x)＝2x－1是区间[2,6]上的减函数．(2)由(1)可知，函数f(x)＝2x－1在区间[2,6]的两个端点处分别取得最大值与最小值，即在x＝2时取得最大值，最大值是2，在x＝6时取得最小值，最小值是0.4.。

数学人教版高中一年级必修1 公开函数的单调性导学案

函数的单调性导学案（三课时）三维目标：1、知识与技能：（1）建立增（减）函数的概念（2）函数单调性的研究经历了从直观到抽象，以图识数的过程，在这个过程中，让学生通过自主探究活动，体验数学概念的形成过程的真谛。

（1）通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性及其几何意义；（2）学会运用函数图象理解和研究函数的性质；（3）能够熟练应用定义判断与证明函数在某区间上的单调性．3、情态与价值，理解学习函数单调性的必要性与重要性，增强学习函数的紧迫感学习重点：函数的单调性及其几何意义难点：利用函数的单调性定义判断、证明函数的单调性学习方法：从观察具体函数图象引入，直观认识增减函数，利用这定义证明函数单调性。

通过练习、交流反馈，巩固从而完成本节课的教学目标教学流程：第一课时一、创设情景，揭示课题观察与思考问题：在0点到4点，气温随着时间的推移是怎么变化的？在4点到14点，气温随着时间的推移又是怎么变化的？二、归纳探索，形成概念1．借助图象，直观感知任务一、探究函数的单调性概念画出下列函数的图象，观察其变化规律：（1）f(x) = x+1○1从左至右图象上升还是下降______?○2在区间____________ 上，随着x的增大，函数值f(x)随着________ ．（2）()()01>=xxxf○1从左至右图象上升还是下降______?○2在区间____________ 上，随着x的增大，f(x)的值随着________ ．（3）f(x) = x2○1在区间____________ 上，f(x)的值随着x的增大而________ ．○2在区间____________ 上，f(x)的值随着x的增大而________ ．3、从上面的观察分析，能得出什么结论？yx1-11-1yx1-11-1yx1-11-1。

新人教版高中数学《函数的单调性》导学案

函数的单调性1.通过观察函数图象,从图象上感知函数的单调性,并能利用函数的图象研究函数的单调性.2.结合函数图象理解函数单调性的概念,并会运用单调性的定义判断证明函数在某一区间上的单调性.3.能够运用函数的单调性比较函数值的大小和自变量的大小,能够解抽象不等式,提高分析问题和解决问题的能力.中国传奇女子网球巨星李娜截止到2014年元旦世界排名第3,夺得了7个冠军,制造了中国网球多项纪录,她的打球特点是力量大、速度快、落点准,球在空中划过一道精美的曲线,上图是李娜的一记S球的电脑数据,我们把球在运动时的高度绘制成关于运动时间的函数图象.问题1:依据网球上升和下降的路径变化可以把图象分为部分,总体上看函数图象从左到右的变化是先上升,后下降,再,最后,利用函数的可以研究函数图象上升与下降的变化过程.问题2:(1)①增函数:设函数y=f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内的某个区间D上的两个自变量的值x1,x2,当时,都有,那么就说f(x)在区间D上是增函数,区间D称为y=f(x)的.②减函数:如果对于定义域I内的某个区间D上的两个自变量的值x,x2,当时,都有,那么就说f(x)在这个区间上是减函1数,区间D称为y=f(x)的.(2)如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数,那么我们说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性,称函数y=f(x)为.问题3:增函数和减函数的图象有什么特征?在单调区间上增函数的图象从左到右是的、减函数的图象从左到右是的.问题4:基本函数的单调性(1)一次函数f(x)=kx+b(k≠0):当k>0时,y=f(x)的单调增区间为,单调减区间;当k<0时,y=f(x)的单调增区间,单调减区间为.(2)二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0):当a>0时,y=f(x)的单调增区间为,单调减区间为.当a<0时,y=f(x)的单调增区间为,单调减区间为.(3)反比例函数f(x)=(k≠0):当k>0时,y=f(x)的单调增区间,单调减区间为, 上述的单调减区间不能用并集连接,小组讨论原因.当k<0时,y=f(x)的单调增区间为,单调减区间.利用图象研究函数的单调区间画出下列函数的图象,求下列函数的单调区间,并指出每一个单调区间上函数的单调性.(1)y=-5x+2;(2)y=3|x|;(3)y=x2+2x-3.基本函数单调性的应用已知二次函数y=ax2+bx+1的单调递减区间是[-2,+∞),则一次函数y=bx+a 的图象大致是().由函数的单调性求参数的取值范围已知y=f(x)在定义域(-1,1)上是减函数,且f(1-a)<f(2a-1),求a的取值范围.1.已知a,b,c∈R,函数f(x)=ax2+bx+c.若f(0)=f(4)>f(1),则().A.a>0,4a+b=0B.a<0,4a+b=0C.a>0,2a+b=0D.a<0,2a+b=0考题变式(我来改编):2.已知函数f(x)=x|m-x|(x∈R),且f(4)=0.(1)求实数m的值;(2)作出函数f(x)的图象并判断其零点个数;(3)根据图象指出f(x)的单调递减区间;(4)根据图象写出不等式f(x)>0的解集;(5)求集合M={m|使方程f(x)=m有三个不相等的实根}.第10课时函数的单调性知识体系梳理问题1:4上升下降单调性问题2:(1)①任意x1<x2f(x1)<f(x2)单调递增区间②任意x1<x2f(x)>f(x2)单调递减区间(2)单调函数1问题3:上升下降问题4:(1)(-∞,+∞)不存在不存在(-∞,+∞)(2)[-,+∞)(-∞,-](-∞,-][-,+∞)(3)不存在(-∞,0),(0,+∞)(-∞,0),(0,+∞)(-∞,0),(0,+∞)不存在重点难点探究探究一:【解析】(1)函数y=-5x+2的图象如图所示,其单调区间为(-∞,+∞),在(-∞,+∞)上为减函数.(2)函数y=3|x|=-其图象如图所示,单调减区间为(-∞,0),单调增区间为[0,+∞).(3)函数y=x2+2x-3=(x+1)2-4的图象开口向上,对称轴为x=-1,图象如图所示,单调减区间为(-∞,-1),单调增区间为[-1,+∞).【小结】(1)由图象的升降可判断函数的单调性;(2)熟练掌握常见函数的单调性:①一次函数y=kx+b的单调性由参数k决定;②二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的单调性与开口方向和对称轴有关.探究二:【解析】依题意可得-=-2,a<0,所以b=4a,a<0,故y=bx+a=4ax+a=4a(x+)的图象大致为D中的图象.【答案】D【小结】掌握基本函数的单调性是解决本题的关键.注意条件:函数的单调减区间为D和函数在区间D上的单调递减是不同的.探究三:【解析】由题意可知----解得0<a<1. ①又f(x)在(-1,1)上是减函数,且f(1-a)<f(2a-1),所以1-a>2a-1,即a<. ②由①②可知,0<a<.故所求a的取值范围是(0,).【小结】解决此类与抽象函数有关的变量的取值范围问题的关键是利用单调性“脱去”函数符号“f”,从而转化为熟悉的不等式.若函数y=f(x)在区间D上是增函数,则对任意x1,x2∈D,且f(x1)<f(x2),有x1<x2;若函数y=f(x)在区间D上是减函数,则对任意x1,x2∈D,且f(x1)<f(x2),有x1>x2,需要注意的是,不要忘记函数的定义域.全新视角拓展1.【解析】由题意可得a>0,结合f(0)=f(4)得c=16a+4b+c,即4a+b=0.【答案】A2.【解析】(1)∵f(4)=0,∴4|m-4|=0,即m=4.(2)∵f(x)=x|m-x|=x|4-x|=---∴函数f(x)的图象如图:由图象知f(x)有两个零点.(3)从图象上观察可知f(x)的单调递减区间为[2,4].(4)从图象上观察可知不等式f(x)>0的解集为{x|0<x<4或x>4}.(5)由图象可知若y=f(x)与y=m的图象有三个不同的交点,则0<m<4,∴集合M={m|0<m<4}.思维导图构建f(x1)<f(x2)f(x1)>f(x2)。

新人教版高中数学函数单调性导学案

§2.8函数的单调性（1）【使用说明及学法指导】1.先仔细阅读教材,再思考知识梳理所提问题，有针对性的二次阅读教材，构建知识体系，画出知识树；2.限时30分钟独立、规范完成探究部分，并总结规律方法.【把脉考点】简单函数的单调性的方法重点：简单函数单调性方法及性质；难点：含参函数单调性的判断。

【复习目标】1.了解函数单调性的概念，掌握判断一些简单函数的单调性的方法。

2.独立思考，合作学习，学会判断函数单调性的规律和方法.【构建考点】一、考点梳理：1、（1）增函数、减函数的定义是什么？（2）、函数的单调性的理解：要注意以下三点：①、单调性是与区间紧密相关的概念，一个函数在不同的区间上可以有不同的单调性②、单调性是函数在某个区间上“整体”性质，因此定义中的具有任意性，不能用特殊的值代替，③、单调性存在的前提下，自变量与函数值之间的不等式可以“正逆互推”，于是，增函数的定义等价于：减函数的定义等价于：2、判断函数单调性及求单调区间的常用方法：（1）定义法：(步骤为四步曲)（2）导数法：①如果函数y=)(xf在某个区间内可导，那么若)('xf>0()f x⇒为增函数；若)('xf<0⇒)(xf为减函数.②如果函数y=)(xf在某个区间内可导，若()f x为增函数⇒恒成立；若()f x为减函数⇒恒成立。

（3）复合函数的单调性判断方法：。

(4)运用函数的运算性质:若为(),()f xg x增函数,则①()()f xg x+为；②1()f x为(()0)f x>；为(()0)f x≥；④()f x-为；⑤()f x⋅()g x为(()0,()0)f xg x>>；(5)图像法:(6)奇函数在两个对称的区间上具有的单调性;偶函数在对称的区间上具有的单调性.二、自主体验1.下列函数中，在区间0,(-∞）上是增函数的是( ) （A ）842+-=x x y （B ）)(log 21x y -= （C ）12+-=x y （D ）x y -=1 2.已知函数()x f 为R 上的减函数，则满足()11f xf <⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛的实数x 的取值范围是（） A.()1,1- B.()1,0 C.()()1,00,1 - D.()()+∞-∞-,11, 3.若2()2f x x ax =-+与1)(+=x ax g 在区间[1,2]上都是减函数，则a 的值范围是（）A ．)1,0()0,1(⋃-B ．]1,0()0,1(⋃-C ．（0，1）D ．]1,0(4. 若函数f(x)=121x +, 则该函数在(-∞,+∞)上是 ( ) (A)单调递减无最小值 (B) 单调递减有最小值 (C)单调递增无最大值 (D) 单调递增有最大值5.定义在R 上的函数f(x)对任意两个不等实数x,y,总有f (x)f (y)<0x y--成立，则必有（）A ．函数f(x)在R 上是奇函数B ．函数f(x)在R 上是偶函数C ．函数f(x)在R 上是增函数D ．函数f(x)在R 上是减函数【课内探究】探究一、判断证明函数的单调性例1：证明函数xx y 4+=在区间(2,)+∞单调递增（定义法证明）例2. 已知函数f(x)=a x +12+-x x (a ＞1)，证明：函数f(x)在(-1,+∞)上为增函数.例3. 判断函数f(x)=12-x 在定义域上的单调性.探究二、求函数的单调区间例4.求下列函数的单调区间：（1）62-+=x x y ；（2）)32(log 221+--=x x y ；（3）)0(4>+=x x x y ；（4）)0()(>>++=b a bx a x x f ；规律方法总结：【总结提升】1.知识方面2.数学思想方法：。

函数的单调性导学案-高一上学期数学数学人教A版

【学习目标】（1）建立单调性的概念.（2）经历图形语言，自然语言到符号语言的思维过程. （3）理解函数单调性的证明过程. 【重点、难点】“任意”二字必要性的体现【教学过程】提出问题，导入新课在初中阶段学过一次函数，二次函数以及反比例函数，请根据函数图象，说说这些函数图象的性质. 师生互动，探索新知问题1：函数2=)(x x f ，x 在哪个范围变化时，y 随x 的增大而增大或者减小？你用什么方法判断的？问题2: 如何用符号语言精确描述y 随x 的增大而增大？问题3: 如果函数f (x )在给定区间I 上的图象是上升的，也就是函数值在区间I 上随着 x 的增大而增大，能用符号语言刻画这一特点吗？思考： (1)设A 是区间D 上某些自变量的值组成的集合，而且∀D x x ∈<21，都有)(<)(21x f x f 我们能说函数f (x )在区间D 上单调递增吗？(2)函数的单调性是对定义域内某个区间而言的，你能举出整个定义域内是单调递增的函数例子吗？那些函数在某些区间上单调递增但在另一些区间上单调递减？学以致用，巩固新知例1、根据定义证明函数x +1x在区间（1，+∞）上单调递增.变式训练:（1）讨论函数y = x +1x的单调性.（2）讨论函数y = x +k x(k >0)在的单调性. （3）探究函数y = ax +b x(a >0,b >0)的单调性 .例2、设函数y =f (x )的定义域为I ，区间I D ⊆，记21=x x x －Δ21=Δy y y －证明：(1)函数y =f (x )在区间D 上单调递增的充要条件是：∀D x x ∈<21，21≠x x ，都有0>ΔΔxy. (2)函数f(x)在区间D 上单调递减的充要条件是：∀D x x ∈<21，21≠x x ，都有0<ΔΔxy. 例3、设函数3+)1+(2=)(2x a x x f －－在区间(−∞，3]上是增函数，求实数a 的取值范围.变式训练：将上列函数单调性改成在区间（1，2）上是单调函数，实数a 的取值范围.例4、设函数f (x )在R 上是增函数，且f (2x 3)<f (5x 6) ，求实数x 的取值范围. 变式训练：(1)将上列函数定义在(0，+∞)上是增函数，求实数x 的取值范围.(2)若定义在R 上的奇函数f (x )在(−∞，3）上是单调递减，且f (2)=0，则满足 xf (x 1)≥0的x 的取值范围是 . 反思小结，观点提炼（1）什么叫函数的单调性？你能举出一些具体的例子吗？（2）理解函数单调性时应把握好哪些关键问题？（3）结合本节课的学习过程，你对函数性质的研究内容和方法有什么体会？布置作业，拓展提升函数单调性跟踪作业.。

高中数学 14函数的单调性复习导学案新人教版必修1

§1-4 函数的单调性【课前预习】阅读教材P27-32完成下面填空1．设函数)(x f y =的定义域为A ，区间A I ⊆如果对于区间I 内的任意两个值1x ，2x ，当21x x <时，都有)()(21x f x f <，那么就说)(x f y =在区间I 上是，I 称为)(x f y =的如果对于区间I 内的任意两个值1x ，2x ，当21x x <时，都有)()(21x f x f >，那么就说)(x f y =在区间I 上是，I 称为)(x f y =的2．对函数单调性的理解（1）函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论,所以求函数的单调区间,必须先求函数的定义域；（2）函数单调性定义中的1x ，2x 有三个特征：一是任意性；二是大小，即12x x <；三是同属于一个单调区间，三者缺一不可；（4）关于函数的单调性的证明，如果用定义证明)(x f y =在某区间I 上的单调性，那么就要用严格的四个步骤，即①取值；②作差；③判号；④下结论。

但是要注意，不能用区间I 上的两个特殊值来代替。

而要证明)(x f y =在某区间I 上不是单调递增的，只要举出反例就可以了，即只要找到区间I 上两个特殊的1x ，2x ，若21x x <，有)()(21x f x f ≥即可。

（5）函数的单调性是对某个区间而言的，所以受到区间的限制，如函数xy 1=分别在)0,(-∞和),0(+∞内都是单调递减的，但是不能说它在整个定义域即),0()0,(+∞-∞ 内是单调递减的，只能说函数xy 1=的单调递减区间为)0,(-∞和),0(+∞ （6）一些单调性的判断规则：①若)(x f 与)(x g 在定义域内都是增函数（减函数），那么)()(x g x f +在其公共定义域内是增函数（减函数）。

②复合函数的单调性规则是“异减同增”【课初5分钟】课前完成下列练习，课前5分钟回答下列问题1．设()y f x =图象如下，完成下面的填空增区间有：减区间有：2．试画出函数1y x =的图象，并写单调区间3．写出函数2(0)y ax bx c a =++≠的单调区间强调（笔记）：【课中35分钟】边听边练边落实4．若偶函数)(x f 在(]1,-∞-上是增函数，则下列关系式中成立的是A ．)2()1()23(f f f <-<-B ．)2()23()1(f f f <-<-C ．)23()1()2(-<-<f f fD ．)1()23()2(-<-<f f f5．若函数2()48f x x kx =--在[5,8]上是单调函数，则k 的取值范围是A ．(],40-∞B ．[40,64]C ．(][),4064,-∞+∞D ．[)64,+∞6.函数x x x f -=2)(的单调递减区间是____________________7. 利用函数的单调性求函数x x y 21++=的值域8. 求函数22log (23)y x x =--单调递增区间强调（笔记）：【课末5分钟】知识整理、理解记忆要点 1.2.3.4.【课后15分钟】自主落实，未懂则问1．下列函数中,在区间()0,1上是增函数的是A ．x y =B ．x y -=3C ．xy 1= D ．42+-=x y 2．已知5)2(22+-+=x a x y 在区间(4,)+∞上是增函数，则a 的范围是（）A.2a ≤-B.2a ≥-C.6-≥aD.6-≤a3．下列四个命题：(1)函数f x ()在0x >时是增函数，0x <也是增函数，所以)(x f 是增函数；(2)若函数2()2f x ax bx =++与x 轴没有交点，则280b a -<且0a >；(3)223y x x =--的递增区间为[)1,+∞；(4) 1y x =+和y =表示相等函数。

高中数学必修一《函数的单调性》导学案

§1.3.1 函数的单调性【学习目标】1．知识与技能：能从形与数两方面理解函数单调性的概念，掌握判别函数单调性的方法；2．过程与方法：通过实例让学生亲历函数单调性从直观感受、定性描述到定量刻画的自然跨越，体会数形结合、分类讨论和类比等思想方法。

3．情感态度与价值观：通过探究函数单调性，让学生感悟从具体到抽象、从特殊到一般、从局部到整体、从有限到无限、从感性到理性的认知过程，体验数学的理性精神和力量。

【学习重难点】重点：函数单调性的概念；难点：函数单调性概念的形成过程。

【学习探究过程】（一）创设情境，引入课题实例: 请观察江津区四面山某日24小时内的气温变化图，你能说出这一天的气温变化趋势吗？（二）引导探索，生成概念问题1:任意写出一个函数的解析式及定义域(1) 列出一些自变量x 的值，计算相应的y 值；(2) 画出草图，观察图像的上升、下降趋势，并指出y 值随x 的增大如何变化。

问题2：（1）如何用数学符号描述函数图象的“上升”特征，即“y 随x 的增大而增大．．”？（2）已知12a x x b <<<，若有12()()()()f a f x f x f b <<<。

能保证函数()y f x =在区间[,]a b 上递增吗？（3）已知123a x x x b <<<<，若有123()()()()()f a f x f x f x f b <<<<，能保证函数()y f x =在区间[,]a b 上递增吗？（4）已知1234a x x x x b <<<<<⋅⋅⋅<，若有1234()()()()()()f a f x f x f x f x f b <<<<<⋅⋅⋅<，能保证函数()y f x =在区间[,]a b 上递增吗？问题3：对于一般的函数()y f x =定义域为I ，在区间D 上，我们应当如何给增函数下定义？问题4：类比增函数的定义，对于一般的函数()y f x =，我们应当如何给减函数下定义？(三）学以致用，理解感悟例1. 下图是定义在区间[]5,5-上的函数()y f x =，根据函数图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？例2．反比例函数1y x =的单调性x y y=f(x)–1–2–3–4–512345–1–2123O①画出反比例函数1y x=的图象，并说出函数的定义域I 是什么？ ②它在定义域I 上的单调性是怎样的？证明你的结论．思考：物理学中的玻意耳定律k p V=(k 为正常数)告诉我们，对于一定量的气体，当其体积V 减小时，压强p 将增大．试用函数的单调性证明之．（四）回顾反思，深化认识课堂小结：通过本节课的学习，你的主要收获有哪些？（五）布置作业1.基础达标：第39页习题1.3 A 组：1、2；2.思考探究：函数()y f x =定义域内的某个区间D 上任意两个自变量12,x x 的值，当12x x <时，都有()()12120f x f x x x -<-，则函数()y f x =在区间D 上是．（填“增函数”或“减函数”）。

高中数学导数与函数的单调性导学案新人教A版选修1-1 学案

导数与函数的单调性
学习目标：1、理解导数正、负与函数单调性之间的关系；
2、能利用导函数确定函数的单调区间.
重点、难点：利用导函数求单调性.
自主学习
已知(),(,)y f x x a b =∈
（1）对任意(,)x a b ∈，有'()0f x >，则()f x 在区间(,)a b 内（2）对任意(,)x a
b ∈，有'()0f x <，则()f x 在区间(,)a b 内合作探究
1、确定函数
2()43f x x x =-+在哪个区间上是增函数，哪个区间上是减函数？
2、确定函数
32()267f x x x =-+在哪些区间上是增函数.
3、确定函数
()sin ,(0,2)f x x x π=∈的单调区间.
4、证明：当1x >时，有13x >-.
练习反馈
1、确定下列函数的单调区间
（1）2y x x =
- （2）3y x x =-
2、讨论函数
()f x 的单调性：（1）()f x kx b =+
（2）()k f x x
= （3）
2()f x ax bx c =++
3、用导数证明：
（1）
()x f x e =在区间(,)-∞+∞上是增函数；（2）()x f x e x =-在区间(,0)-∞上是减函数.。

新人教版高中数学函数的单调性导学案 (2)

课题：函数的单调性【使用说明及学法指导】利用15分钟先精读一遍教材，用红色笔进行勾画；再针对预习自学二次阅读并回答，找出自己的疑惑和需要讨论的问题准备课上讨论质疑。

【学习目标】`1.准确了解增函数，减函数的概念及其定义； 2. 掌握某些简单的函数的增减性的常用的判定方法；【学习重点与难点】重点：掌握判断函数单调性的判断方法：定义法和图象法，学会运用函数图象研究函数的性质；难点：..能够熟练的掌握用定义法证明函数单调性及其步骤. 【预习案】阅读教材第27-29页，找出疑惑之处，完成新知学习1、增函数：设函数y =f (x )的定义域为I ，如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2，当x ．1．<．x ．2．时，都有f (x 1) f (x 2)，那么就说f (x )在区间D 上是 .2、减函数：设函数y =f (x )的定义域为I ，如果对于属于I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1、x 2，当x ．1．<x ．．2．时都有f(x 1) f(x 2).那么就是f(x)在这个区间上是 .3、单调区间：如果函数f (x )在某个区间D 上是增函数或减函数，就说f (x )在这一区间上具有（严格的）单调性，区间D 叫f (x )的单调区间.【预习自测】首先完成教材上P32第1、2、3题； P39第1、3题；然后做自测题1．判断1)(2-=x x f 在（0，+∞）上是函数（填“增”、“减”）【借助图象，抛物线开口向_____，对称轴为直线_______，当∈x （0，+∞）时，图象呈_____趋势，因此，在（0，+∞）上是______函数】2．判断x x x f 2)(2+-=在（ —∞，1）上是函数（填“增”、“减”）【方法同上】3．下列函数中，在（0，2）上为增函数的是（）（A ）y=x1（B ） y=2x-1 （C ） y=1-x （D ）y=2)12(-x4．函数y=x1-1的单调递区间为 5．证明函数f(x)=3x+2在R 上是增函数。

高中数学第二章函数 21 函数 213 函数的单调性导学案新人教B版必修1 学案

2.1.3 函数的单调性【预习要点及要求】 1.函数单调性的概念；2.由函数图象写出函数单调区间；3.函数单调性的证明4.能运用函数的图象理解函数单调性和最值5.理解函数的单调性6.会证明函数的单调性【知识再现】1.22a b -=_____________2.=-33b a _____________ 3.=+33b a _____________ 【概念探究】阅读课本44页到例1的上方，完成下列问题1从直观上看，函数图象从左向右看，在某个区间上，图象是上升的，则此函数是______，若图象是下降的，则此函数是_____________-2不看课本，能否写出函数单调性的定义？______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 3对区间的开闭有何要求？4如何理解定义中任意两个字？5一个函数不存在单调性，如何说明？6完成课后练习A 第1，2题【例题解析】阅读课本例1与例2，完成下列问题 1．不看课本你能否独立完成两个例题的证明（1）证明函数()21f x x =+在R 上是增函数（2）证明函数1()f x x=，在区间(,0),(0,)-∞+∞上分别是减函数2．根据两个例题的证明，你能否给出证明函数单调性的一般步骤，在这些步骤中你认为最关键的地方是什么？3有的同学证明1()f x x=在(0,)+∞上是减函数时是这样证的，你是否认可其作法，为什么？证明：设120x x <<，则1211x x >，即12()()f x f x >，根据定义可得1()f x x =在(0,)+∞上是减函数4完成课后练习A 第3，4题，习题2-1A 第5题5证明：xx f 1)(=在),0(+∞和)0,(-∞上均为减函数，并说明)(x f 在整个定义域上是否为减函数？【典例讲解】例1．求下列函数的增区间与减区间(1)y ＝|x 2＋2x －3|例2．已知二次函数y ＝f(x)(x ∈R )的图像是一条开口向下且对称轴为x ＝3的抛物线，试比较大小：(1)f(6)与f(4)例3．利用函数单调性定义证明函数f(x)＝－x3＋1在(－∞，＋∞)上是减函数．参考答案：例1.解(1)令f(x)＝x2＋2x－3＝(x＋1)2－4．先作出f(x)的图像，保留其在x轴及x轴上方部分，把它在x轴下方的图像翻到x轴就得到y ＝|x2＋2x－3|的图像由图像易得：递增区间是[－3，－1]，[1，＋∞)递减区间是(－∞，－3]，[－1，1](2)分析：先去掉绝对值号，把函数式化简后再考虑求单调区间．当x－1≥0且x－1≠1时，得x≥1且x≠2，则函数y＝－x．当x－1＜0且x－1≠－1时，得x＜1且x≠0时，则函数y＝x－2．∴增区间是(－∞，0)和(0，1)减区间是[1，2)和(2，＋∞)(3)解：由－x2－2x＋3≥0，得－3≤x≤1．令u＝＝g(x)＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4．在x∈[－3，－1]上是在x∈[－1，1]上是．∴函数y的增区间是[－3，－1]，减区间是[－1，1]．例2．解(1)∵y＝f(x)的图像开口向下，且对称轴是x＝3，∴x≥3时，f(x)为减函数，又6＞4＞3，∴f(6)＜f(4)时为减函数．例3．证明：取任意两个值x1，x2∈(－∞，＋∞)且x1＜x2．又∵x1－x2＜0，∴f(x2)＜f(x1)故f(x)在(－∞，＋∞)上是减函数．得f(x)在(－∞，＋∞)上是减函数．【达标练习】1若函数bmxy+=在),(+∞-∞上是增函数，那么（）A.b>0B. b<0C.m>0D.m<02函数32)(2+-=mxxxf，当),2[+∞-∈x时是增函数，当]2,(--∞∈x时是减函数，则)1(f等于（）A.-3B.13C.7D.由m而定的常数3设函数)(xf在),(+∞-∞上为减函数，则 ( ))2()(.afafA>)()(.2afafB<)()(.2afaafC<+)()1(.2afafD<+4如果函数5)1()(2+--=xaxxf在区间)1,21(上是增函数，那么)2(f的取值范围是__________________. 5已知)(xfy=在定义域)1,1(-上是减函数，且),13()1(-<-afaf则a的取值范围是_____________6证明函数xxxf1)(+=在)1,0(上是减函数【达标练习答案】1、C2、B3、D4、7)2(-≥f 5．210<<a 6．证明：任取)1,0(,21∈x x 且21x x <，则12x x x -=∆，)1)(()(11)()(212112212112112212x x x x x x x x x x x x x x x x x f x f y --=-+-=--+=-=∆ )1,0(,21∈x x ∴0<∆y ∴xx x f 1)(+=在)1,0(上是减函数。

新人教A版必修1高中数学1.3.1单调性与最大(小)值导学案

高中数学 1.3.1单调性与最大(小)值导学案新人教A 版必修1学习目标：掌握函数的单调性的概念和最大值、最小值的定义学习重点：函数单调性及最值的应用学习过程：一、观察与总结观察下列函数的图象特征，分别反映了函数数与形的哪些变化规律1、增函数___________________________________ 减函数___________________________________2、最大值_______________________________________ 最小值_____________________________________ 二、理论与实践 1、已知函数xx f 1)(（1）求其定义域（2）画出其图象（3）指出它的单调区间（4）利用定义证明其在()∞，0单调递减+2、作出6xxf的图象，=x5)(2--指出其单调区间并求其值域3、函数12)(-=x x f （[]6,2∈x ），求函数的最大值和最小值 4、求函数322-+=x x y 的增区间和减区间5、已知函数2)1(2)(2+--=x a x x f（1）若)-，(xf的单调递减区间是(]4,∞求a的取值范围（2）若)-上市减函数，f在(]4,∞(x求a的取值范围三、课后感悟【课后作业与练习】一、选择题1. 下列函数中,在区间上为增函数的是( ).A ．B ．C ．D ．2．函数的增区间是（）。

A ．B ．C ．D ．3．在上是减函数，则a 的取值范围是（）。

A ．B ．C ．D ．4．当时，函数的值有正也有负，则实数a 的取值范围是（）A ．B ．C ．D ．5.若函数)(x f 在区间（a ，b ）上为增函数，在区间（b ，c ）上也是增函数，则函数)(x f 在区间（a ，c ）上（）（A ）必是增函数（B ）必是减函数（C ）是增函数或是减函数（D ）无法确定增减性6.设偶函数)(x f 的定义域为R ，当[)+∞∈,0x 时，)(x f 是增函数，则),2(-f)(πf ，)3(-f 的大小关系是（）A )2()3()(->->f f f πB )3()2()(->->f f f πC )2()3()(-<-<f f f πD )3()2()(-<-<f f f π7.已知偶函数()f x 在区间[0,)+∞单调递增，则满足(21)f x -＜1()3f 的x 取值范围是A ．（13，23） B ．（∞-，23）C ．（12，23） D ．⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,328.已知定义域为(－1，1)的奇函数y =f (x )又是减函数，且f (a －3)+f (9－a 2)<0,a 的取值范围是( )A.(22，3)B.(3，10)C.(22，4)D.(－2，3)9.若(31)41()log 1a a x ax f x xx -+≤⎧=⎨>⎩是R 上的减函数，那么a 的取值范围是（）A.(0,1)B.1(0,)3C.11[,)73D.1[,1)710.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x ， x <0，(a －3)x ＋4a ， x ≥0.满足对任意x 1≠x 2，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0成立，则a 的取值范围是 ( )A ．(0,3)B ．(1,3)C ．(0，14] D ．(－∞，3)二、填空题 1．函数,当时,是增函数,当时是减函数,则f(1)=_____________ 2．已知在定义域内是减函数，且，在其定义域内判断下列函数的单调性：① （为常数）是___________；② （为常数）是___________；③ 是____________；④是__________．3.函数f (x ) = ax 2＋4(a ＋1)x －3在[2，＋∞]上递减，则a 的取值范围是__ ．三、解答题1．求函数的单调递减区间.2.证明函数x x x f 3)(3+=在),(+∞-∞上是增函数3.讨论函数322+-=ax x f(x)在(-2,2)内的单调性。

函数的单调性导学案高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册

“教学评”导学案课题：函数的单调性与最大（小）值（第一课时）共 2 课时姓名年级班组名【学习目标】1. 会用函数语言表达函数单调性的定义.2. 会根据函数单调性的定义判断、证明一些简单函数的单调性，并能归纳出证明的一般步骤.【知识梳理】1．一般地，设函数f(x)的定义域位D，区间I⊆D:（1）如果 x1,x2∈I，当时，都有,那么就称函数f(x)在区间I上单调递增.（2）如果x1,x2∈I，当时，都有,那么就称函数f(x)在区间I上单调递减.2.函数单调性的定义：如果函数y=f(x)在区间D上，那么就说函数y=f(x)在这一区间上具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间.3.（1）当函数f(x)在它的定义域上时，我们就称它是.（2）当函数f(x)在它的定义域上时，我们就称它是.【核心任务】探究一、利用函数图像的直观性叙述函数的单调区间（指向目标一）例1 给出函数y = f (x) 的图象，如图所示，可根据图象得出函数在区间上是单调递减；在区间上是单调递增．探究二、利用定义证明简单函数的单调性（指向目标二）在区间(0,+∞）上的单调性.例2用定义证明f(x)=xx+1当堂练习：判断并证明函数f(x) = 4 x-2的单调性.【课堂评价】注：①(0,70]为第一层次.②(70,85]为第二层次.③(85,100]为第三层次.【课后作业】根据课堂评价表分层对应题型.第一层次：判断并证明函数f(x)=2x在区间(0,+∞)上的单调性.第二层次：判断并证明函数f(x)=2x的单调性.第三层次：判断并证明函数f(x)=2ax 的单调性.课堂评价表项目评价内容自评分值15分互评分值5分1 任务一：会用函数语言表达函数单调性的定义2 例题1、2；当堂练习3 任务二：会根据函数单调性的定义判断、证明一些简单函数的单调性，并能归纳出证明的一般步骤4 学后总结、口诀理解5 笔记6 总分。

高中数学 2.1.3 函数的单调性导学案新人教B版必修1

辽宁省葫芦岛市第八高级中学高中数学 2.1.3 函数的单调性导学案（无答案）新人教B版必修1【学习目标】1. 通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性及其几何意义；2. 学会运用函数图象理解和研究函数的性质；3. 能够熟练应用定义判断与证明函数在某区间上的单调性。

学习重点：函数的单调性及其几何意义。

学习难点：利用函数的单调性定义判断、证明函数的单调性。

预习案一．预习内容1. 观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律：○1 随x 的增大，y 的值有什么变化？ ○2 能否看出函数的最大、最小值？ ○3 函数图象是否具有某种对称性？ 2.画出下列函数的图象，观察其变化规律：（1）f(x) = x○1 从左至右图象上升还是下降 ______? ○2 在区间 ____________ 上，随着x 的增大，f(x)的值随着 ________ ．（2）f(x) = -x+2○1 从左至右图象上升还是下降 ______? ○2 在区间 ____________ 上，随着x 的增大，f(x)的值随着 ________ ．（3）f(x) = x 2○1在区间 ____________ 上，f(x)的值随着x ________ ○2在区间 ____________ 上，f(x)的值随着x 的增大而3.一般地，设函数y=f(x)的定义域为A ，区间M A.如果取区间M 中的任意两个自变量x 1，x 2，（1）当x 1<x 2时，都有f(x 1) f(x 2)，那么就说f(x)在区间D 上是函数（2）当x 1<x 2时，都有f(x 1) f(x 2)，那么就说f(x)在区间D 上是函数二．预习自测以下是NBA 球星姚明四个赛季的平均分，篮板数据表：表中数据和图中连线是为了体现什么？探究案一．仔细阅读教材，回答下面的问题1：增函数、减函数是如何定义的？2：增函数和减函数的图象有什么特征？3：什么是函数的单调性？什么是单调函数？4：函数的单调性是对整个定义域而言的吗？二．例题讲解例1.证明函数f(x)=2x+1在（—∞，+∞）上是增函数例2.证明函数f(x)=x1在区间（—∞，0）和（0，+∞）上是减函数？例3.已知函数f(x)=x 2+2(m —1)x+2在(]4,∞-上单调递减，则m 的取值范围是？三．拓展问题1．如图，定义在区间[—5，5]上的函数y=f(x)，根据图象说出函数的单调区间，以及在每单调区间上，它是增函数还是减函数？ [方法指导]利用单调性定义判断。