《概率统计教学资料》第4章正态分布1.ppt

则Z=X+Y的概率密度为
1(x2 (zx)2 )
fZ (z)
fX
(x)
fY
(z
x)dx
1 2
e
2
dx
z2 (x z )2
1 2
e
4
e
2 dx
(x z )2
e 2 dx
2
1 2
z2
z2
fZ
(z)
1 2
e
4
1 e 4 2
z2
2
e 1
2 2
2 2
即Z服从N(0,2).
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2
2
2 2
t2
[t e 2
|
e
t2 2
dt
]
2π
2
2
2 σ 2 .
3. 标准差 σ( X ) D( X ) σ
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12
正态分布的密度函数的性质与图形
1y
2
钟形曲线： 中间高 两边低
-
+ x
对称性 关于 x = 对称
单调性 （-，）升，（，+ ）降
拐点
( ,
1
1
e 2 );
0.1
0.5398 0.5438 0.5478 0.5517 0.5557 0.5596 0.5636 0.5675 0.5714 0.5753
0.2
0.5793 0.5832 0.5871 0.5910 0.5948 0.5987 0.6026 0.6064 0.6103 0.6141
0.3
0.6179 0.6217 0.6255 0.6293 0.6331 0.6386 0.6404 0.6443 0.6480 0.6517
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2
一、正态分布的定义
1. 正态分布 ( Normal distribution )
定义. 设随机变量X的概率密度为
f (x)
1
e
(
xμ 2σ 2
)2
,
x
,
2πσ
其中 0, , 为常数, 则称X服从正态分布
或高斯分布 ), 记作 X ~ N (, 2 ).
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3
2. 标准正态分布
(
X
,Y
)
~
N
(1,
2
,
2 1
,
2 2
,
)
其中1，2,1 0, 2 0, (| | 1)是分布参数.
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20
结论1 设二维随机变量(X,Y)服从二维正态分布
N
(1
,
2
,
12
,
2 2
,
),则X与Y的边缘分布都是
正态分布，且无论参数(| | 1)为何值，都有
X
~
N (1,12 ),
f最大（）
2
1
2
μ,σ对密度曲线的影响
相同，不同
图形相似，位置平移
１
1 21 1 22
2
1 0.75
不同，相同
2 1.25 越小，图形越陡；
越大，图形越平缓
3倍标准差原理: ( 3σ法则)
设 X ~ N (, 2 ), 求X落在( 3 , 3 ) 内的概率.
解:P( 3 X 3 ) ( 3 ) ( 3 )
17
推广到更一般的结论。 性质3 线性组合性.
设X1, X 2 ,, X n
相互独立，X i
~
N
(
i
,
2 i
),
i 1,2,, n,
则对于任意不全为零的 常数 C1, C2,, Cn，有
U C1X1 C2 X2 Cn Xn
~ N (C1 μ1 C2 μ2 Cn μn , C12σ12 C22σ22 Cn2σn2 ). 系特别设地随，机取变C量1 X1C, 2X2,,XCnn相互1n独立，且服从同一分布N (, 2 ),
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9
例3.某省高考人数是35000人考, 试成绩呈正态分布,
440分, 10分,计划招生3500人, 占考生人数的
1 1
0
,问总分应是多少算上线？
解：设X表示“考生考试成绩”X，~ N (440, 102 ),
且总分上线应为 x 分. 由题意知
P(X x) 1
10
P(X x) 1 P(X x) 1 ( x 440) 0.1
0.5 0.5
0.5
1 (2) 1 0.9772 0.0228
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四、二维正态分布
定义: 设二维连续随机变量(X,Y)的联合概率密度
f (x, y)
1
e ,
1 2(1
2
)
[
(
x
1 12
)
2
2
(
x
1 )( y 1 2
2
)
(
y
2
2 2
)
2
]
2 1 2 1 2
则称(X, Y)服从二维正态分布，记作
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Y
~
N
(2
,
2 2
).
结论2 设X,Y的相关系数为ρ
结论3 X与Y相互独立的充要条件是 相关系数 0。
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四、中心极限定理
由正态分布的线性组合性质知，相互独立的随机变量 的和仍服从正态分布。在某些相当一般的条件下，很多个 相互独立的非正态的随机变量（不管它们的分布如何）的 和近似服从正态分布。
解: 依题意求P(X≤Y)= P(X-Y≤0)
由正态分布的线性组合性质知，X-Y服从正态分
布 E(X Y ) E(X ) E(Y ) 1
D(X Y ) D(X ) D(Y ) 0.25.
即X Y ~ N (1, 0.52 )
P(X Y 0) P( X Y 1 0 1) ( 1) (2)
n
X
1 n
X
i是X1,
X
2
,,
X
的算术平均，则
n
i1
X
~
N
(
,
2 n
)
或 X - ~ N (0,1) / n
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18
例5.设内燃机气缸的直径X ~ N(41.5,0.42 ),活塞的
直径Y ~ N(40,5,0.32 ),设X与Y相互独立。若不能
装入气缸则需返工，求需返工的概率。
(3) (3) 2(3) 1
F(x)
0.9974
20.99871
0.9974.
X的取值几乎都落入以为 中心，以3为半径的区间内
X 3
3
3 是小概率事件
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15
P( X ) 2(1) 1 20.84131 68.26% P( 2 X 2 ) 2(2) 1 20.97721 95.44%. P( 3 X 3 ) 2(3) 1 20.99871 99.74%.
X* X - ~ N (0, 1).
设 X ~ N (, 2 ), 则
P( X x) P( X x ) ( x )
P( X x)1 P(X x) 1 P( X x ) 1 ( x )
P( x1
X
x2 )
P( x1
X
x2
)
( x2 ) ( x1 ).
0.7
0.7580 0.7611 0.7642 0.7673 0.7703 0.7734 0.7764 0.7794 0.7823 0.7852
0.8
0.7881 0.7910 0.7939 0.7967 0.7995 0.8023 0.8051 0.8078 0.8106 0.8133
0.9
0.8159 0.8186 0.8212 0.8238 0.8264 0.8289 0.8315 0.8340 0.8365 0.8389
2
奇函数
1
t2 =1
e 2 dt
t2
te 2 dt
2
2
0 μ
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11
2.方差D(X) D( X ) E[ X E( X )]2
1
(
x
μ)2e
(
x μ )2 2σ2
dx,
2πσ
设 t x μ , dx dt,
则
σ
2
t
e2
t2 2
dt
2
[
t2
(t)de 2 ]
2
(2) ()
1
x2
e 2 dx 1,
2
(3) Φ(x) 1 Φ(x).
Φ(x)
x o
x
x
分布函数 (x)不是初等函数,但它是一个应用非常广泛
的重要分布,一般都将 (x) 的函数值编成表, 见书本末 的附录2,该表给出了 x 0 时 (x) 的数值.
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5
[例1]已知 N (0,1), 求1) P( 0.2); 2) P( 1.5) 解 :1) P( 0.2) P(0.2 0.2) (0.2) (0.2)
10
( x 440)
10
0.9,
经查表
x
440 10
1.28,
x 452.8分.
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10
二、正态分布的数字特征
1.期望E(X) 解： E( X )
1
xe
(x μ) 2σ 2
2
dx
2πσ
设 t x μ , dx dt, 则
σ
E( X ) 1
（
t）e
t2 2
dt
1.3
0.9032 0.9049 0.9066 0.9082 0.9099 0.9115 0.9131 0.9147 0.9162 0.9177
1.4
0.9192 0.9207 0.9222 0.9236 0.9251 0.9265 0.9279 0.9292 0.9306 0.9319
1.5
0.9332 0.9345 0.9357 0.9370 0.9382 0.9394 0.9406 0.9418 0.9429 0.9441
7
性质1 (线性性)
若 X ~ N(, 2 ), 则 Y aX b ~ N(aμ b, (aσ)2 ). (a 0)
证：Y的分布函数为
FY ( y) P(Y y) P(aX b y)
①当a>0，有
FY ( y) P(X
y
a
b
)
FX
(
y
a
b
)
上式两边关于y求导，得
fY ( y)
特别地,当 0, 1时, X ~ N (0, 1), 则称N(0,1)
为标准正态分布, 其概率密度为
(x)
且其分布函数：
1
x2
e 2 , x .
2π
y
Φ(x) 1
x t2
e 2 dt .
2π
(x)
ox
x
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4
标准正态分布函数Φ( x)的性质： y
(1) (0) 1 ;
第四章 正态分布
基本内容： 一、正态分布的定义
二、正态分布的数字特征
三、正态分布性质
四、中心极限定理
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1
正态分布是最重要的概率分布(原因)：
(1) 很多随机现象可用正态分布描述或近似描述, 例如测量误差、学生成绩，人的身高、体重等 大量随机现象可以用正态分布描述. (2)一般地,大量独立随机变量的和近似地服从 正态分布.(中心极限定理) (3)某些常用分布(如卡方分布,t分布,F分布等) 是由正态分布推导得到的.
3 2 2 3
| 68.26% |
| |
95.44% |
99.74%
|
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16
性质2 可加性.
设X
~ N (1, 12 ),
Y
~
N
(2
,
2 2
),
且X与Y相互独立,
则
Z
X
Y
~
N( μ1
μ2 ,
σ12
σ
2 2
).
证明：特殊地设X和Y相互独立, 且都服从N(0,1)
1.6
0.9452 0.9436 0.9474 0.9484 0.9495 0.9505 0.9515 0.9525 0.9535 0.9545
1.7
0.9554 0.9564 0.9573 0.9582 0.9591 0.9599 0.9608 0.9616 0.9625 0.9633
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(0.2) (1 (0.2)) 2(0.2) 1 20.57931 0.1586
2) P( 1.5) 1 P( 1.5) 1 2(1.5) 1
2[1 (1.5)] 0.1336
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6
u
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0.0
0.5000 0.5040 0.5080 0.5120 0.5160 0.5199 0.5239 0.5279 0.5319 0.5359
1.0
0.8413 0.8438 0.8461 0.8485 0.8508 0.8531 0.8554 0.8577 0.8599 0.8621
1.1
0.8643 0.8665 0.8686 0.8708 0.8729 0.8749 0.8770 0.8790 0.8810 0.8830
1.2
0.8849 0.8869 0.8888 0.8907 0.8925 0.8944 0.8962 0.8980 0.8997 0.9015
0.4
0.6554 0.6591 0.6628 0.6664 0.6700 0.6736 0.6772 0.6808 0.6844 0.6879
0.5
0.6915 0.6950 0.6985 0.7019 0.7054 0.7088 0.7123 0.7157 0.7190 0.7224
0.6
0.7257 0.7291 0.7324 0.7357 0.7389 0.7422 0.7454 0.7486 0.7517 0.7549
1 a
f
X
(
y
a
b
)
1
e , [
y
(a b)]2 2(a2 2 )
2 a
(2) 当a<0，有
yb
FY ( y) P( X
) a
fY
(
y)
1 a
f
X
(
y
a
b
)
1 P(X 1
y b) a [ y(a b)]2
1
FX
(
y
a
b
)
e . 2(a2 2 )
2 (a)
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8
特别地，若X ~ N(, 2),则得将X标准化的随机变量