列主元素消去法求解方程组
用列主元高斯消元法求线性代数方程组的解
课程设计任务书前 言回顾普通解方程组的方法，一般都是先逐个削去未知变量，最终得到只有一个未知变量的方程，解之，把得到的值回代到消去变量过程中得到的方程组，逐个求出未知变量。
这种解线性方程组的基本方法就是这里要介绍的高斯消去法。
数学上，高斯消元法（或译：高斯消去法），是线性代数中的一个算法，可用来为线性方程组求解，求出矩阵的秩，以及求出可逆方阵的逆矩阵。
当用于一个矩阵时，高斯消元法会产生出一个“行梯阵式”。
高斯消元法可以用在电脑中来解决数千条等式及未知数。
高斯消元法可以用来找出一个可逆矩阵的逆矩阵。
用关联矩阵表述网络拓扑结构,并根据厂站拓扑结构和网络拓扑结构等概念简化了电力系统的拓扑结构。
根据广义乘法和广义加法的运算规则,将改进的高斯消元算法应用于电力系统拓扑结构分析中,并引入稀疏、分块处理等技术提高了上述拓扑分析的效率。
采用上述高斯消元算法对山东电网220kV 以上的变电站进行拓扑结构分析,结果表明了运用该高斯消元法进行网络拓扑分析的正确性和有效性。
用列主元素法，选取每列的绝对值最大的元素作为消去对象并作为主元素。
然后换行使之变到主元位子上，在进行消元计算。
设)()(k k b X A ，确定第k 列主元所在位置k i ，在交换k i 行和k 行后，在进行消元，并用MATLAB 软件进行求解。
目录摘要....................................................................................... 错误！未定义书签。
第1章绪论 ......................................................................... 错误！未定义书签。
第2章高斯消元法的算法描述 (2)2.1高斯消元法的原理概述 (2)c231730658" 2.1.1高斯消元法的消元过程 (2)c231730658" 2.1.2高斯消元法的回带过程 (3)c231730658" 2.1.3高斯消元法的复杂度分析 (4)c231730658" 2.2列主高斯消元法原理简介 (5)c231730658" 2.2.1列主高斯消元法的消元过程 (6)c231730658" 2.2.2列主高斯消元法的回带过程 (6)c231730658" 2.2.3列主高斯消元法的算法描述 (6)c231730662"第3章高斯消元法的物理应用 (9)3.1c231730663"电网模型的描述 (9)c231730658" 3.2电网模型的问题分析 (9)c231730658"3.3求解计算 (11)c231730693"参考文献 (13)摘 要用列主元素高斯消去法法，选取每列的绝对值最大的元素作为消去对象并作为主元素。
列主元消去法和三角分解法之间的关系
主题：列主元消去法和三角分解法之间的关系一、概述上线性代数领域中，列主元消去法和三角分解法是两种常用的矩阵求解方法。
它们都是用于解线性方程组的工具，但在实际应用中有着不同的特点和适用范围。
本文将通过对列主元消去法和三角分解法的理论基础、求解步骤和应用场景进行比较和分析，旨在探讨它们之间的关系。
二、列主元消去法的基本原理和步骤1. 列主元消去法概述列主元消去法是一种用于求解线性方程组的方法，其基本思想是通过逐步消元的方式将增广矩阵转化为上三角形矩阵，最终获得方程组的解。
其核心步骤包括选取主元、消元和回代。
2. 列主元消去法的求解步骤（1）选取主元：在每一列中选取绝对值最大的元素作为主元，以确保消元过程中不会出现除以零的情况。
（2）消元：通过一系列行变换操作，将矩阵转化为上三角形矩阵。
（3）回代：从最后一行开始，依次求解未知数的值。
三、三角分解法的基本原理和步骤1. 三角分解法概述三角分解法是一种将矩阵分解为下三角矩阵和上三角矩阵的求解方法，其基本思想是通过矩阵的分解降低方程组求解的复杂度。
2. 三角分解法的求解步骤（1）矩阵的LU分解：将系数矩阵A分解为下三角矩阵L和上三角矩阵U，使得A=LU。
（2）求解Ly=b：先通过前代法求解Ly=b，得到y。
（3）求解Ux=y：再通过回代法求解Ux=y，得到方程组的解x。
四、列主元消去法与三角分解法的关系比较1. 算法思想比较（1）列主元消去法是通过逐步消元将增广矩阵转化为上三角形矩阵，直接求解方程组的解。
（2）三角分解法是通过将矩阵分解为下三角矩阵和上三角矩阵，再进行前代和回代求解方程组的解。
2. 适用范围比较（1）列主元消去法适用于一般的线性方程组求解，能够处理任意形状的矩阵。
（2）三角分解法适用于特定类型的线性方程组求解，对称正定矩阵具有较好的稳定性，求解速度较快。
3. 数值稳定性比较（1）列主元消去法在计算过程中容易出现主元选取不当导致的数值不稳定性问题，需要进行主元选取和行变换的操作。
列主元消去法解方程组实验报告
实验名称：列主元消去法解方程组1 引言我们知道，高斯消去法是一个古老的解线性方程组的方法。
而在用高斯消去法解Ax=b时，其中设A为非奇异矩阵，可能出现的情况，这时必须进行带行交换的高斯消去法。
但在实际计算中即使但其绝对值很小时，用作除数，会导致中间结果矩阵元素数量级严重增长和舍入误差的扩散，使得最后的结果不可靠。
因此，小主元可能导致计算的失败，我们应该避免采用绝对值很小的主元素。
为此，我们在高斯消去法的每一步应该在系数矩阵或消元后的低阶矩阵中选取绝对值最大的元素作为主元素，保持乘数，以便减少计算过程中舍入误差对计算解的影响。
一种方式是完全主元消去法，这种消去法是在每次选主元时，选择为主元素。
这种方法是解低阶稠密矩阵方程组的有效方法，但这种方法在选取主元时要花费一定的计算机时间。
实际计算中我们常采用部分选主元的的消去法。
列主元消去法即在每次选主元时，仅依次按列选取绝对值最大的元素作为主元素，且仅交换两行，再进行消元计算。
2 实验目的和要求运用matlab编写一个.m文件，要求用列主元消去法求解方程组（实现PA=LU）：要求输出以下内容：（1）计算解x；（2） L,U；（3）整形数组IP（i）（i=1,2，…，n-1）（记录主行信息）3 算法原理与流程图（1）算法原理设有线性方程组Ax=b，其中设A为非奇异矩阵。
方程组的增广矩阵为第1步（k=1）：首先在A的第一列中选取绝对值最大的元素，作为第一步的主元素:，然后交换（A，b）的第1行与第i1行元素，再进行消元计算。
设列主元素消去法已经完成第1步到第k-1步的按列选主元，交换两行，消元计算得到与原方程组等价的方程组第k步计算如下：对于k=1，2，…，n-1（1）按列选主元：即确定ik使（2）如果，则A为非奇异矩阵，停止计算。
（3）如果ik≠k，则交换[A，b]第ik行与第k行元素。
（4）消元计算消元乘数满足:（5）回代求解计算解在常数项b(n)内得到。
22列主元消去法
输入A, b , n , EPS
for k = 1 : n − 1
图2-1 列主元消元法算法框图
选取主元素 alk
| alk |≤ EPS
Yes
l≠k
换行 No
消元
No
k ← k +1
Yes
输出无解信息
Yes
| A( n , n )| EPS ≤
No
End
输出解 x
回代求解
8
x1 =
b
( 1) 1
−a x −a x = −0.491 058 20 a
( 1) 12 2 ( 1) 11 ( 1) 13 3
事实上,方程组的准确解为 事实上 方程组的准确解为
资源环境学科
x* = ( −0.491058221,−0.050886077,0.367257387 )T
7
二 、 Gauss
1 1 2 A = ( A, b ) → 0.000100 1 1
1 2 1 → 0 1.00 1.00
m21 = 0.000100
0.9999
回代后得到
0.9998
x1 = 1.00 , x2 = 1.00
这是一个相当不错的结果
10 −8 2 3 1 A = ( A, b) = − 1 3.712 4.623 2 − 2 1.072 5.643 3
资源环境学科
10 −8 很小, 绝对值最大 的列元素为a13 = −2 , 因此1,3行交换
5
− 2 1.072 5.643 3 r1 ⇔ r3 → − 1 3.712 4.623 2 10 −8 2 3 1
不定方程组的通解
不定方程组的通解一、引言在数学中，方程是研究数量关系的基本工具之一。
方程可以分为线性方程和非线性方程两大类。
而不定方程组则是非线性方程组的一个重要分支。
不定方程组是指含有未知数的多个方程的集合，其解满足所有这些方程。
本文将介绍不定方程组的通解及其求解方法。
首先会对不定方程组进行定义和分类，并介绍一些常见的不定方程组问题。
然后会详细介绍如何求解一般形式的不定方程组，并给出具体示例。
最后会总结本文所介绍的内容，并展望不定方程组在数学中的应用。
二、定义和分类2.1 定义不定方程组是指含有未知数的多个方程的集合，其解满足所有这些方程。
2.2 分类根据未知数和系数之间的关系，不定方程组可以分为以下几类：2.2.1 线性不定方程组线性不定方程组是指所有未知数都只有一次幂，并且系数都是常数的情况。
例如：3x + 4y = 75x - 2y = 12.2.2 二次不定方程组二次不定方程组是指至少有一个未知数的平方项，并且系数可以是常数或者其他未知数的情况。
例如：x^2 + y^2 = 25x^2 - y = 72.2.3 指数不定方程组指数不定方程组是指至少有一个未知数的指数项，并且系数可以是常数或者其他未知数的情况。
例如：3^x + 4^y = 135^x - 2^y = 9三、求解方法3.1 线性不定方程组的通解求解方法线性不定方程组的通解求解方法主要有以下几种：3.1.1 列主元素消去法列主元素消去法是线性代数中常用的一种求解线性方程组的方法。
通过选取系数矩阵中每一列中绝对值最大的元素作为主元，然后进行消去操作，最终得到行简化阶梯形矩阵。
根据行简化阶梯形矩阵可以直接得到线性方程组的通解。
3.1.2 克拉默法则克拉默法则是一种利用行列式求解线性方程组的方法。
通过构造增广矩阵，并计算系数矩阵和常数向量的行列式，可以得到线性方程组的解。
3.1.3 矩阵求逆法矩阵求逆法是一种利用矩阵的逆求解线性方程组的方法。
通过将系数矩阵和常数向量构造成增广矩阵，然后求出系数矩阵的逆矩阵，最后将逆矩阵与常数向量相乘，可以得到线性方程组的解。
列主元消去法与全主元消去法
k
b
k
.然后
进行该步的消元运算，消去xk .同样地，这时消去xk 系数
这个方法通常称为按列选主元的高斯消去法，简称 为列主元消去法。
Taishan University
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计算方法
例4.3 用列主元消去法求解线性方程组:
0.50 x1 1.1x2 3.1x3 6.0 2.0 x1 4.5 x2 0.36 x3 0.020 5.0 x 0.96 x 6.5 x 0.96 1 2 3
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计算方法
2. 用列主元Gauss消去法求解,消元过程为
0.50 1.10 3.10 2.00 4.50 0.360 5.00 0.960 6.50
选主元
6.00 0.020 0.960
5.00 0.960 6.50 ~ 2.00 4.50 0.360 r1 r3 0.50 1.10 3.10
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计算方法
1 Pij
1 0 1 1 1 0 1 1
1
4.3
i列
j列
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1 1
不变，此即交换增广矩阵 A b 的第一与第l行，得新矩阵
主元比起第一列中其他元素有较大的绝对值。这时，消去 x1系数所用的乘数因子 ai1 al1 的绝对值不超过1，因而在消 元过程第一步中，舍入误差的影响得以减弱。
列主元素消去法
列主元素消去法列主元素消去法（Gauss-Jordan 消元法）是一种线性代数中常用的消元方法，用于求解线性方程组的解。
这种方法的基本思想是，将线性方程组的增广矩阵通过一系列的初等变换，化为一个阶梯矩阵或行简化阶梯矩阵，从而得到线性方程组的解。
具体步骤如下：构造增广矩阵，即将系数矩阵和常数矩阵组合成一个矩阵。
将增广矩阵转化为一个上三角矩阵（也叫阶梯矩阵）。
反向消元，将阶梯矩阵转化为一个行简化阶梯矩阵。
根据简化矩阵求解方程组。
这种方法的优点是计算简单、容易理解，且可避免误差的积累。
但是，如果矩阵的规模较大，运算量会很大，计算时间较长。
此时可以使用更高效的算法，如LU分解、QR分解等。
假设有一个 $n$ 个未知量和 $n$ 个方程的线性方程组，可以写成矩阵形式如下：$Ax = b$其中，$A$ 是一个 $n \times n$ 的系数矩阵，$x$ 是一个 $n \times 1$ 的未知量向量，$b$ 是一个 $n \times 1$ 的常数向量。
为了求解 $x$，可以将方程组的增广矩阵表示如下：$\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & \cdots & a_{1n} & b_{1} \ a_{21} & a_{22} & a_{23} & \cdots & a_{2n} & b_{2} \ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \ a_{n1} & a_{n2} & a_{n3} & \cdots & a_{nn} & b_{n} \end{bmatrix}$ 其中，$a_{ij}$ 表示矩阵的第 $i$ 行第 $j$ 列的元素。
高斯列主元消元法解线性方程组
高斯列主元消元法解线性方程组一、题目：用Gauss 列主元消去法解线性方程组Ax b =，其中，A=17.031 -0.615 -2.991 1.007 -1.006 0.000-1.000 34.211 -1.000 -2.100 0.300 -1.7000.000 0.500 13.000 -0.500 1.000 -1.5004.501 3.110 -3.907 -61.705 12.170 8.9990.101 -8.012 -0.017 -0.910 4.918 0.1001.000 2.000 3.000 4.500 5.000 21.803⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ 0.230 -52.322 54.000 240.236 29.304 -117.818b ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭T X=(0.907099 -1.961798 3.293738 -4.500708 3.029344 -5.255068)二、原理及步骤分析设nn ij R a A ⨯∈=][)1(，nn Rb b b b ∈=],,,[)1()2(2)1(1 。
若约化主元素),,2,1(0)(n k a k kk =≠，则通过高斯消元法将方程b AX =约化为三角形方程组求解。
如果在消元过程中发现某个约化主元0)(=k kk a , 则第K 次消元就无法进行。
此外，即使所有约化主元全不为零，虽然可以完成方程组的求解，但也无法保证结果的可靠性，因为计算过程中存在舍入误差。
为减少计算过程中的舍入误差对解的影响，在每次消元前，应先选择绝对值尽可能大的元作为约元的主元，如果在子块的第一列中选取主元，则相应方法称为列主元消元法。
相应过程为：（1）选主元：在子块的第一列中选择一个元)(k k i k a 使)(max k ik ni k kk i a a k ≤≤=并将第k 行元与第k i 行元互换。
gauss列主元素消去法matlab
高斯列主元素消去法是一种解线性方程组的常用方法，特别在数值分析和线性代数中应用广泛。
在Matlab中，我们可以使用该方法来解决大规模的线性方程组，包括矩阵的求解和矩阵的反转。
一、高斯列主元素消去法的基本原理高斯列主元素消去法是一种基于矩阵消元的方法，它通过一系列的矩阵变换将原始的线性方程组转化为上三角形式，然后再进行回代求解。
这个方法的核心就是通过矩阵的变换来简化原始的线性方程组，使得求解过程更加简单高效。
在Matlab中，我们可以利用矩阵运算和函数来实现高斯列主元素消去法，如`lu`分解函数和`\"`运算符等。
通过这些工具，我们能够快速地求解各种规模的线性方程组并得到准确的结果。
二、高斯列主元素消去法在Matlab中的实现在Matlab中，我们可以通过调用`lu`函数来实现高斯列主元素消去法。
该函数返回一个上三角矩阵U和一个置换矩阵P，使得PA=LU。
通过对U进行回代求解，我们可以得到线性方程组的解。
除了`lu`函数之外，Matlab还提供了一些其他的函数和工具来帮助我们实现高斯列主元素消去法，比如`\"`运算符和`inv`函数等。
通过这些工具的组合使用，我们能够更加灵活地进行线性方程组的求解，并且可以方便地处理特殊情况和边界条件。
三、高斯列主元素消去法的应用与局限性高斯列主元素消去法在实际应用中具有广泛的适用性，特别是对于大规模的线性方程组或者稀疏矩阵的求解。
通过Matlab中的工具和函数，我们可以快速地求解各种规模的线性方程组，并得到高精度的数值解。
然而，高斯列主元素消去法也存在一些局限性，比如对于奇异矩阵或者接近奇异矩阵的情况时，该方法的求解精度可能会下降。
在实际应用中，我们需要结合具体的问题和矩阵特性来选择合适的求解方法，以确保得到准确的结果。
四、个人观点和总结作为一种经典的线性方程组求解方法，高斯列主元素消去法在Matlab 中具有较好的实现和应用效果。
通过对其原理和实现细节的深入理解，我们能够更加灵活地应用该方法，并且能够更好地理解其适用性和局限性。
作业一 高斯消元法和列主元消元法
用高斯消元法和列主元消去法求解线性代数方程组（X*是方程组的精确解）1 高斯消去法1.1 基本思想及计算过程高斯（Gauss ）消去法是解线性方程组最常用的方法之一，它的基本思想是通过逐步消元，把方程组化为系数矩阵为三角形矩阵的同解方程组，然后用回代法解此三角形方程组得原方程组的解。
为便于叙述，先以一个三阶线性方程组为例来说明高斯消去法的基本思想。
⎪⎩⎪⎨⎧=++II =++I =++III)(323034)(5253)(6432321321321x x x x x x x x x 把方程（I ）乘（23-）后加到方程（II ）上去，把方程（I ）乘（24-）后加到方程（III ）上去，即可消去方程（II ）、（III ）中的x 1，得同解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-II -=-I =++III)(20223)(445.0)(64323232321x x x x x x x将方程（II ）乘（5.03）后加于方程（III ），得同解方程组： ⎪⎩⎪⎨⎧-=-II -=-I =++III)(42)(445.0)(6432332321x x x x x x由回代公式（3.5）得x 3 = 2，x 2 = 8，x 1 = -13。
下面考察一般形式的线性方程组的解法，为叙述问题方便，将b i 写成a i , n +1，i = 1, 2,…,n 。
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++++=++++=+++++++1,3322111,223232221211,11313212111n n n nn n n n n n n n n n a x a x a x a x a a x a x a x a x a a x a x a x a x a（1-1）如果a 11 ≠ 0，将第一个方程中x 1的系数化为1，得)1(1,1)1(12)1(121+=+++n n n a x a x a x其中)0(11)0()1(1aa aijj=， j = 1, …, n + 1（记ij ij a a =)0(，i = 1, 2, …, n ; j = 1, 2, …, n + 1）从其它n –1个方程中消x 1，使它变成如下形式⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=++=++++++)1(1,)1(2)1(2)1(1,2)1(22)1(22)1(1,1)1(12)1(121n n n nn n n n n n n n a x a x a a x a x a a x a x a x（1-2）其中n i a m a aij i ij ij ,,2)1(1)1( =⋅-=，1,,3,211)1(11+==n j a a m i i由方程（1-1）到（1-2）的过程中，元素11a 起着重要的作用，特别地，把11a 称为主元素。
作业一 高斯消元法和列主元消元法
用高斯消元法和列主元消去法求解线性代数方程组（X*是方程组的精确解）1 高斯消去法1.1 基本思想及计算过程高斯（Gauss ）消去法是解线性方程组最常用的方法之一，它的基本思想是通过逐步消元，把方程组化为系数矩阵为三角形矩阵的同解方程组，然后用回代法解此三角形方程组得原方程组的解。
为便于叙述，先以一个三阶线性方程组为例来说明高斯消去法的基本思想。
⎪⎩⎪⎨⎧=++II =++I =++III)(323034)(5253)(6432321321321x x x x x x x x x 把方程（I ）乘（23-）后加到方程（II ）上去，把方程（I ）乘（24-）后加到方程（III ）上去，即可消去方程（II ）、（III ）中的x 1，得同解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-II -=-I =++III)(20223)(445.0)(64323232321x x x x x x x将方程（II ）乘（5.03）后加于方程（III ），得同解方程组： ⎪⎩⎪⎨⎧-=-II -=-I =++III)(42)(445.0)(6432332321x x x x x x由回代公式（3.5）得x 3 = 2，x 2 = 8，x 1 = -13。
下面考察一般形式的线性方程组的解法，为叙述问题方便，将b i 写成a i , n +1，i = 1, 2,…,n 。
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++++=++++=+++++++1,3322111,223232221211,11313212111n n n nn n n n n n n n n n a x a x a x a x a a x a x a x a x a a x a x a x a x a（1-1）如果a 11 ≠ 0，将第一个方程中x 1的系数化为1，得)1(1,1)1(12)1(121+=+++n n n a x a x a x其中)0(11)0()1(1aa aijj=， j = 1, …, n + 1（记ij ij a a =)0(，i = 1, 2, …, n ; j = 1, 2, …, n + 1）从其它n –1个方程中消x 1，使它变成如下形式⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=++=++++++)1(1,)1(2)1(2)1(1,2)1(22)1(22)1(1,1)1(12)1(121n n n nn n n n n n n n a x a x a a x a x a a x a x a x（1-2）其中n i a m a aij i ij ij ,,2)1(1)1( =⋅-=，1,,3,211)1(11+==n j a a m i i由方程（1-1）到（1-2）的过程中，元素11a 起着重要的作用，特别地，把11a 称为主元素。
线性方程组的直接解法
线性方程组的直接解法
线性方程组（linear equation system）是一类几何问题，也是解决线性系统和代数问题的重要方法，线性方程组由多个联立方程组成，这些方程中也可能含有未知量。
直接解法是把数学模型转换为数值模型，并给出实现其解题步骤的算法，它不同于间接求解的方法，既不做任何假设，也不处理不确定性问题，只是简单地直接求解线性方程组。
解线性方程组的直接解法主要分为三种，分别是高斯消元法、列主元消去法和列坐标变换法。
高斯消元法是一种比较常用的方法，主要是把线性方程组的未知量从左到右一步步求出来，其中用到的主要技术是把矩阵中部分元素消去为零，以便求解不定线性方程组的未知量。
而列主元消去法则是以一列为主元，去消除其他联立方程中出现的此列中的变量，从而最终求出其他未知变量的值。
最后，列坐标变换法是将线性方程组转换为一个更有利于求解的矩阵，其中未知量可以直接求得解答。
除了这三种常见方法外，还有一些更特殊的直接解法，比如要解常微分方程的未知函数，可以用拉格朗日方法和分部积分方法，再比如求解雅各比方程的根，可以通过主副方程互解求解，这种方法也叫作特征根法。
综上，解线性方程组的直接解法有高斯消元法、列主元消去法、列坐标变换法等；特殊问题可以采用拉格朗日方法、分部积
分法和特征根法等。
每种方法都有自己的优势，因此在使用时，可以根据问题的特点，选择适合的方法来解决。
用列主元消去法解下列方程组
用列主元消去法解下列方程组列主元消去法是一种求解线性方程组的方法，也称为高斯消元法。
它的基本思想是通过一系列的行变换将增广矩阵化为阶梯形矩阵，然后通过回代求解出未知数的值。
下面我们来详细介绍一下列主元消去法的具体步骤。
首先，我们将线性方程组的系数矩阵和常数向量组成增广矩阵，即：$$\left[\begin{matrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} & b_1 \\a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} & b_2 \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} & b_n\end{matrix}\right]$$然后，我们选择第一列中绝对值最大的元素作为主元素，并将其所在的行交换到第一行。
如果第一列中所有元素的绝对值都为0，则选择第二列中绝对值最大的元素作为主元素，并将其所在的行交换到第一行。
以此类推，直到所有列都处理完毕。
接下来，我们将第一行的主元素除以它的系数，然后用第一行的主元素消去第二行、第三行、……、第n行的主元素。
具体地，我们将第二行的第一列元素除以第一行的主元素，然后将第一行乘以这个数并减去第二行，使得第二行的第一列元素变为0。
同样地，我们将第三行、第四行、……、第n行的第一列元素都消去。
然后，我们选择第二列中绝对值最大的元素作为主元素，并将其所在的行交换到第二行。
然后，我们将第二行的主元素除以它的系数，然后用第二行的主元素消去第三行、第四行、……、第n行的主元素。
以此类推，直到所有列都处理完毕。
最后，我们得到一个阶梯形矩阵，即：$$\left[\begin{matrix}a_{11}^{'} & a_{12}^{'} & \cdots & a_{1n}^{'} & b_1^{'} \\0 & a_{22}^{'} & \cdots & a_{2n}^{'} & b_2^{'} \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\0 & 0 & \cdots & a_{nn}^{'} & b_n^{'}\end{matrix}\right]$$其中，$a_{ii}^{'}$表示第$i$行第$i$列的主元素，$b_i^{'}$表示第$i$行的常数项。
计算方法实验报告_列主元高斯消去法
row_first=A[i][i]; for(int j=0;j<n+1;j++)
计算方法实验报告
{ A[i][j]=A[i][j]/row_first;
} }
for(int k=n-1;k>0;k--) {
for(int i=0;i<N;i++) {
for(int j=0;j<N;j++) {
A_B[i][j]=A[i][j]; } A_B[i][N]=B[i][0]; } return A_B; }
3
//输出矩阵 A 的 row x col 个元素 void Show_Matrix(double **A,int row,int col) {
for(int i=0;i<N;i++)
{
int row=Choose_Colum_Main_Element(N,A_B,i);
if(Main_Element<=e) goto A_0;
Exchange(A_B,N+1,row,i);
Elimination(N,A_B,i);
cout<<"选取列主元后第"<<i+1<<"次消元:"<<endl;
double factor; for(int i=start+1;i<n;i++) {
factor=A[i][start]/A[start][start]; for(int j=start;j<n+1;j++) {
解线性方程组的列主元素高斯消去法和lu分解法
数值试验报告分析一、实验名称：解线性方程组的列主元素高斯消去法和LU 分解法二、实验目的及要求：通过数值实验，从中体会解线性方程组选主元的必要性和LU 分解法的优点，以及方程组系数矩阵和右端向量的微小变化对解向量的影响。
三、算法描述：本次试验采用的是高斯列主元消去法和LU 分解法求解线性方程组的解。
其中，高斯消去法的基本思想是避免接近于零的数作分母；能进行到底的条件:当A 可逆时，列主元Gauss(高斯）消去法一定能进行到底。
优点:具有很好的数值稳定性；具有与顺序Gauss 消去法相同的计算量。
列主元Gauss(高斯）消去法的精度显著高于顺序Gauss(高斯）消去法。
注意:省去换列的步骤，每次仅选一列中最大的元。
矩阵的三角分解法是A=LU,L 是下三角阵，U 是上三角阵,Doolittle 分解:L 是单位下三角阵，U 是上三角阵；Crout 分解:L 是下三角阵，U 是单位上三角阵。
矩阵三角分解的条件 是矩阵A 有唯一的Doolittle 分解的充要条件是A 的前n-1顺序主子式非零；矩阵A 有唯一的Crout 分解的充要条件是A 的前n-1顺序主子式非零。
三角分解的实现是通过(1)Doolittle 分解的实现； (2)Doolittle 分解的缺点：条件苛刻，且不具有数值稳定性。
（3）用Doolittle 分解求解方程组: AX=b LUX=b LY=bA=LU UX=Y ；四、实验内容：解下列两个线性方程组（1） ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--11134.981.4987.023.116.427.199.103.601.3321x x x （2） ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----15900001.582012151526099999.23107104321x x x x a 、用你熟悉的算法语言编写程序用列主元高斯消去法和LU 分解求解上述两个方程组，输出Ax=b 中矩阵A 及向量b, A=LU 分解的L 及U ，detA 及解向量x.b 、将方程组（1）中系数3.01改为3.00，0.987改为0.990，用列主元高斯消去法求解变换后的方程组，输出列主元行交换次序，解向量x及detA，并与（1）中结果比较。
用Gauss列主元消去法求解方程组
\\本程序适用于n个方程，n个未知数的线性代数方程组# include "stdio.h"# include"math.h"# define eps 1e-8# define n 2\\以上为定义部分main(){int t,i,j,k;double T,m[3][3],x[3];double A[3][3]={{2,2,3},{4,7,7},{-2,4,5}};double b[3]={3,1,-7};\\以上为输入部分for(k=0;k<n;k++){t=k;for(i=k+1;i<=n;i++){if(fabs(A[t][k])<fabs(A[i][k]))t=i;}\\寻找第k列的主元素（绝对值最大的数）for(j=k;j<=n;j++){T=A[t][j];A[t][j]=A[k][j];A[k][j]=T;}T=b[k];b[k]=b[t];b[t]=T;\\把主元素及其所在的行与第k行交换if(fabs(A[k][k])<=eps){printf("fail!");exit();}\\判断系数矩阵的行列式的值是否为0，确定是否有唯一解for(i=k+1;i<=n;i++){m[i][k]=A[i][k]/A[k][k];for(j=k+1;j<=n;j++){A[i][j]=A[i][j]-m[i][k]*A[k][j];}b[i]=b[i]-m[i][k]*b[k];A[i][k]=0.000000;}\\消元，把第k列对角线以下的系数通过矩阵变换化为0 for(i=0;i<=n;i++){for(j=0;j<=n;j++)printf("%f\t",A[i][j]);printf("%f\n",b[i]);}printf("\n");}\\输出消元后的系数矩阵和右端项\\上述过程为消元过程，以下为回代过程if(fabs(A[n][n])<=eps){printf("A[%d][%d]=0,fail!",n,n);exit(); }\\判断是否有唯一解elsex[n]=b[n]/A[n][n];\\最后一行求解xnfor(i=n-1;i>=0;i--){for(j=i+1;j<=n;j++){ b[i]=b[i]-A[i][j]*x[j];}x[i]=b[i]/A[i][i];}\\从n-1行依次求解x(n-1) (x1)printf("Result is:\n");for(i=0;i<=n;i++)printf("X%d=%f\t",i,x[i]);}\\输出结果。
列主元素消去法求解方程组
列主元素消去法求解方程组[摘 要]在自然科学和工程中有很多问题的解决归结为求解线性方程组或者非线性方程组的数学问题。
例如，电学中的网络问题，用最小二乘法求实验数据的曲线拟合问题，三次样条的插值问题等等。
求解线性方程组的直接法主要有选主元高斯消去法、平方根法、追赶法等。
列主元素消去法既是选主元高斯消去法的一种，也是实际计算中常用的部分选主元消去法。
本文即是讨论利用列主元素消去法求解线性方程组问题。
[关键词]按列选主元 交换 消元 回代一 列主元素消去法背景在科学研究和工程技术中有许多问题可归结为求解线性代数方程组，其中所产生的线性方程组，其系数矩阵大致可分为两种：一种是低阶稠密矩阵；另一类是大型稀疏矩阵（此类矩阵阶数高，但零元素较多）。
对于这两种矩阵，我们可以把线性代数方程组的数值解法大致的分为两类：直接法和迭代法。
迭代法一般用来求解大型稀疏矩阵方程组（本文不予讨论）；直接法是目前计算机上解低阶稠密矩阵的有效方法，如果计算过程中没有舍入误差，则此种方法通过有限步四则运算可求的方程组的精确解，但实际计算中由于舍入误差的存在和影响，这种方法也只能求得方程组的近似解。
直接法主要有选主元素高斯消去法、平方根法、追赶法等。
本文所要讨论的列主元素消去法就是选主元素高斯消去法中的一种。
高斯消去法是一个古老的求解线性方程组的方法，也是解线性方程组问题中较为常见的一种数值方法。
但在采取高斯消去法解方程组时，当采用绝对值很小的主元素时，可能导致计算结果的失败，故在消去法中应避免采用绝对值很小的主元素。
对于一般的线性方程组，需要引进选主元的技巧，即在高斯消去法的每一步应该在系数矩阵或消元后的低价矩阵中选取绝对值最大的元素作为主元素，保持乘数1 ik m ，以便减少计算过程中舍入误差对计算解的影响。
选主元素消元法则是对高斯消去法的改进，是解低价稠密矩阵方程组的有效方法。
选主元素消元法则避免了采用绝对值很小的主元素。
选主元素消去法主要有完全主元素消去法与列主元素消去法两种。
线性代数计算方法
xn bn / ann
xi (bi
k i 1
xn1 (bn1 an1n xn ) / an1n1
aik xk ) / aii , i n, n 1, ,1
n
第3章
线性代数计算方法
《 计 算 方 法 》
a11 a12 0 a22 0 0 0 0
《 计 算 方 法 》
例如:
电学中的网络问题， 船体数学放样中建立三次样条函数问题， 用最小二乘法求实验数据的曲线拟合问题等
第3章
线性代数计算方法
n 阶线性方程组：
《 计 算 方 法 》
a 11 x1 a 12 x 2 a 21 x1 a 22 x 2 a n1 x1 a n 2 x 2
... ... ...
a1n 1 a2 n 1
... an 1n 1 ... 0
a1n a2 n an 1n ann
x1 x2 ... xn 1 x n
A
X
b1 b 2 ... bn 1 b n
第3章
线性代数计算方法
高斯消去法
思 首先将方程组Ax=b 化为上三角方程组， 路 此过程称为消去过程，再求解上三角方程
《 计 算 方 法 》
组，此过程称为回代过程.
第3章
线性代数计算方法
例：
x1 4 x2 7 x3 1 2 x1 5 x2 8 x3 1 3 x 6 x 11x 1 2 3 1
(0) an 2
(0) (0) x a1 b 1 n 1 (0) (0) x a2 b2 n 2 ... ... (0) (0) x ann n bn
数值分析计算实习题列主元高斯消去法解线性方程组
数值分析计算实习题第5章解线性方程组的直接方法【选题列主元高斯消去法解线性方程组。
书上的计算实习题1、2、3都要求用列主元高斯消去法解线性方程组，所以考虑写一个普适的程序来实现。
对于线性方程组Ax二b,程序允许用户从文件读入矩阵数据或直接在屏幕输入数据。
文件输入格式要求:(1)第一行为一个整数n (2<=n<=100)，表示矩阵阶数。
(2)第2~n+l行为矩阵A各行列的值。
(3)第n+2~n+n+2行为矩阵b各行的值。
屏幕输入：按提示输入各个数据。
输出：A. b、det(A).列主元高斯消去计算过程、解向量X。
【算法说明】设有线性方程组Ax=b,其中设A为非奇异矩阵。
方程组的增广矩阵为«12«21[Nb] =第1步（k=l ）：首先在A的第一列中选取绝对值最大的元素®I,作为第一步的主元素:«|| H0然后交换（A, b）的第1行与第I行元素，再进行消元计算。
设列主元素消去法已经完成第1步到第k・l步的按列选主元，交换两行，消元计算得到与原方程组等价的方程组 A（k）x=b（k）4? …4;)…唸)•忒••輕■[A.b]T[A ⑹,b")] = ••■咲■■■■■* *■〃伏)・• - %■第k步计算如下: 对于 k=l, 2, •…，0-1（1）按列选主元：即确定t使（2）如果tHk,则交换［A, b］第t行与第k行元素。
（3）消元计算54* J 叫=一鱼(=^ + 1,…,H)% 吗 <-«y + 〃如伽 (fJ = R + l,…/)b- <-勺+加汝仇， (i = /c + l,…,《)消元乘数mik 满足:n (%-D 内)X1 < ------ -- ---- 9(j = « 一 1,«一2■…J)tk M 1,(,=斤 +1, •••,«)fet e(4)回代求解【程序】/*【普适列主元消去法解线性方程组】对于线性方程组：Ax=b 输入：［选择屏幕直接输入］1.A的行阶数n(l <= 11<= 100)2.A的值3.b的值［选择读取文件1文件名(和主程序同级文件夹下)输出：I.A2・b3・ det(A)4解向疑X */#inciude <stdio.h>#include <stdlibJi>#include <niath.h> double A[1051(J05LA_B[I05][105Lb[105].x[105];double det A:int n.mark = 1;〃读入数据void input(){int ij:char ch[20],name[ 100];HLE *f;printf("\iv-An是否从文件读取数据(Y/N):”); scanf(”％st&ch);if(ch[0] = Y II ch[0] = y)( prinif(“请输入文件名(包括扩展需)：")； scanf("%s".name):f = fop cn(namc「T');fscanfCf/'%d'\&n);ford = 0:i < n;i 卄) for(j = 0;j < nJ ++) fscanf(f,'*%ir\&A[i]|j))：for(i = 0:i < n;i卄)fscanf(「％F・&b[i]);else{prin氓”请输入A的阶数：”)；scanf( '%d %d\&n)： prinifC请输入A的值：”)；for(i = 0:i V n:i ++)for(j = 0;j < n:j ++) scanf("%lf\&A[i]U]);phnifC请输入b的值：”)；for(i = 0:i < n;i 卄)scanf(''%lf\&b[i])：〃讣算行列式的值double det{double s[105](105] jni m){int z.jkdouble b[105][105Klotal = 0.r; /*b[Nl[N]用于存放，在矩阵s[Nl[N冲元素s[0]的余子式灯if(m>2){for(z = 0：z V m:z++){for(j = 0;j V m ・ 1 j ++)for(k = 0:k vn卜l;k ++)if(k >= z)bUKk] = sU+l](k+l];elsebLi][k] = s[j+l][k];if(z % 2==0)r=s[0)⑵ * dcKb.m - 1)：/*递归调用制elser= (-1) * s[0](z] * det(b.m -1);total = total + r;else if(m == 2)total = s[0][0] *s(l][l]-s[0](l] *s[l][01：else if(m == 1)total =s[0][0];return total;// 输出A^llb和dcl(A)void ouipui_l(){ int i j;primlTAW);for(i = 0;i < n:i ++){ for(j = 0:j < n:j ++)p rintf('-%15.4f\A[i]lj]);prinif(W);prinlf(5b = \rf);for{i = 0;i < n:i ++)prinif("%15.4l\iV\b[i]):printf("\ndet(A) = %・4f\n”・dclA);//主il•算函数void couni_x(){int ij,k:int max; double tmpjnik;〃构造增广矩阵for{i = 0;i<n:i++){for。
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其中
上述过程可记为
重复上述计算过程，现假设已完成第 步的选主元素过程，交换两行并进行消元计
此时 约化为
其中 的元素仍记为 ， 的元素仍记为 .
第 步选主元素（在 右下角方阵的第1列内选），即确定 ，使
b[i]=b[i]-m*b[k];}
det=A[k][k]*det;
}
c0=A[5][5];
for(i=5;i<7;i++)if(A[i][5]>c0){c0=A[i][5];p=i;}
if(p!=5)
{for(j=0;j<7;j++){temp=A[p][j];A[p][j]=A[5][j];A[5][j]=temp;}
交换 第 行与 行的元素，再进行消元计算，最后将原线性方程组化为
回代可求解得
算法描述：
对于 做到（4）。
（1）按列选主元，即确定 使
（2）如果 ，则 为奇异矩阵，停止计算。
（3）如果 ，则交换 第 行与第 行元素。
（4）消元计算：
（5）回代计算：
三通过计算机利用列主元素消去法求解线性方程组
计算机在科学和工程设计中应用日益广泛。把科学和工程设计中的具体问题抽象为数学问题，建立起能描述并等价代替该实际问题的数学问题，编制出计算机程序，就能够使得复杂问题得到妥善的解决。下面及描述列主元消去法的程序过程。
选主元素消元法则是对高斯消去法的改进，是解低价稠密矩阵方程组的有效方法。选主元素消元法则避免了采用绝对值很小的主元素。选主元素消去法主要有完全主元素消去法与列主元素消去法两种。完全主元素消去法即是每次按行列选取绝对值最大的元素作为主元素，进行行列交换，之后再完成消元计算。在完全主元素消去法计算过程中舍入误差能得到有效的控制，对计算的影响较小，具有更好的数值稳定性。
printf("输入E的值:");scanf("%f",&E);
for(k=0;k<n-2;k++)
{c0=A[k][k];
for(i=k;i<7;i++)
if(A[i][k]>c0){c0=A[i][k];p=i;}
if(fabs(c0)<E){printf("det(A)约等于0");break;}
{int n=7,k,j,p,i,l;float E,det=1.0,m,z;
float b[7]={7,8,10,13,17,22,28},c0,temp;
floatA[7][7]={{1,1,1,1,1,1,1},{2,1,1,1,1,1,1},{3,2,1,1,1,1,1},{4,3,2,1,1,1,1},{5,4,3,2,1,1,1},
四总结
列主元素消去法的提出有效的控制了舍入误差的扩散，且相对于完全主元素消去法，其选主元素比较方便。，利用列主元素消去法解线性方程组时仅需要选出每列中绝对值最大的元素，计算量为 ，利用完全主元素消去法时则需要按行列选取绝对值最大的元素，其计算量为 。可看出列主元素消去法比完全主元素消去法减少了计算时间。总之，列主元素消去法是解低阶稠密矩阵的有效方法。
for(j=k;j<7;j++)A[i][j]=A[i][j]-m*A[k][j];
b[i]=b[i]-m*b[k];
}
det=A[k][k]*det;
}
}
c0=A[5][5];
for(i=5;i<7;i++)
if(A[i][5]>c0){c0=A[i][5];p=i;}
if(p!=5)
{for(j=0;j<7;j++)
列主元消去法只是求解线性方程组的一种方法，但由于篇幅的限制，对于解决线性方程组的其他方法就不一一叙述了。
[参考文献]
[1]Burden R L，Faires J D，Reynolds A C. பைடு நூலகம்umerical Analysis. Alpine Press,1981
[2]易大义，沈云宝，李有法编.计算方法.杭州：浙江大学出版社，2002
从上面的例题可看出，利用计算机来求解方程组大大的减少了计算时间。当然，利用计算机来解决工程实际和科学技术中的复杂问题，也是21世纪现代化的要求。把建立好的数学模型用计算机描述出来，这不仅使问题变得简单化，还大大的缩减了计算所需的时间，体现了数学与计算机的紧密结合。在以后的工作生活中我们要学会善于利用计算机与数学的关系，把复杂的问题简单化，减少计算时间，提高工作的效率。
[Key Words]By column pivoting，Exchange，Elimination，Back substitution
附件1：
#include <stdio.h>
#include <math.h>
void main()
{int n=7,k,j,p,i;float E,det=1.0,m,z;
float b[7]={7,8,10,13,17,22,28},c0,temp;
float A[7][7]={{1,1,1,1,1,1,1},{2,1,1,1,1,1,1},{3,2,1,1,1,1,1},{4,3,2,1,1,1,1},{5,4,3,2,1,1,1},{6,5,4,3,2,1,1},{7,6,5,4,3,2,1}};
{temp=A[p][j];A[p][j]=A[5][j];A[5][j]=temp;}
temp=b[p];b[p]=b[5];b[5]=temp;
det=-det;
}
if(A[6][6]!=0)b[6]=b[6]/A[6][6];
for(i=n-2;i>=0;i--)
{z=0;for(j=i+1;j<n;j++)z=z+A[i][j]*b[j];
else
{if(p!=k){
for(j=0;j<7;j++){
temp=A[p][j];A[p][j]=A[k][j];A[k][j]=temp;}
temp=b[p];b[p]=b[k];b[k]=temp;
det=-det;}
for(i=k+1;i<7;i++)
{m=A[i][k]/A[k][k];
if(l!=k){
for(j=0;j<7;j++){temp=A[j][l];A[j][l]=A[j][k];A[j][k]=temp;}
}
}
for(i=k+1;i<7;i++)
{m=A[i][k]/A[k][k];
for(j=k;j<7;j++)A[i][j]=A[i][j]-m*A[k][j];
列主元素消去法则是对完全主元素消去法的又一次改进。列主元素消去法在完全主元素消去法的基础上减少了在选主元素时所要花费的一定的计算时间。此论文将介绍列主元消去法的基本思想和原理。
二列主元素消去法的理论基础
设有线性方程组
其中， 为非奇异矩阵。
方程组的增广矩阵为
首先在 的第1列选取绝对值最大的元素作为主元素，即选择
列主元素消去法求解方程组
[摘 要]在自然科学和工程中有很多问题的解决归结为求解线性方程组或者非线性方程组的数学问题。例如，电学中的网络问题，用最小二乘法求实验数据的曲线拟合问题，三次样条的插值问题等等。求解线性方程组的直接法主要有选主元高斯消去法、平方根法、追赶法等。列主元素消去法既是选主元高斯消去法的一种，也是实际计算中常用的部分选主元消去法。本文即是讨论利用列主元素消去法求解线性方程组问题。
[Abstract]In the natural sciences and engineering, there are many problems boileddown to solving linear equations or nonlinear equations of mathematical problems.Such as,the problemsofnetwork in the electricity,thecurve fittingfiguring outthe experimental datawiththe least square method,computing ofcubic spline interpolation,etc.Thedirect methodsto solve thelinear equations arePivoting GaussianEliminationMethod,SquareRootMethod,CatchingMethod, etc.The main elements of the column eliminationbelongs toPivoting GaussianEliminationMethod,and alsois used commonly in the calculation of the actual pivoting elimination. This article is discussing the use of the main elements of the column eliminationinsolving linear equations problems.
[3]易大义，陈道琦编.数值分析引论.杭州：浙江大学出版社，1998
[4]李庆阳，王能超，易大义编.数值分析（第四版）.北京：清华大学出版社，施普林格出版社，2001
[5]冯康等编.数值计算方法.北京：国防工业出版社，1978