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数，这样的线性空间 V 称为欧几里得空间.
在欧几里得空间的定义中，对它作为线性空间 的维数并无要求，可以是有限维的，也可以是无限 维的.
几何空间中向量的内积显然适合定义中列举的 性质，所以几何空间中向量的全体构成一个欧几里 得空间.
2. 欧几里得空间举例
下面再看两个例子.
例 1 在线性空间 Rn 中，对于向量
对于| (显例, 然2)，| 中内在|的积闭欧区|(1|几间)适里|[a合得,定空b]义间上中的C的(所a条,有b件)实，，连(4这续) 样函，数R所
式就成是就的成空为间一C个(欧a ,几b)里中得，空对间于. 函以数后f仍(x用) , gR(nx来) 定表义示内这
证毕
3. 两个著名的不等式
| 对(于, )例| 1| 中在| 的|线欧性| 几空里间得R空n 中间，R对n ，于(向4)量式就
是
= (a1 , a2 , … , an ) , = (b1 , b2 , … , bn ) ,
| a1定b1义内a2积b2 anbn |
(a,12) a=22a1 b1 +aa2 nb2 2 +b1…2 +ba22nbn . bn2 . (1)
即
( , )2 ( , ) ( , ) .
两边开方便得
| ( , ) | | | | | .
| ( , ) | | | | | .
当 , 线性相关时，等号显然成立. 反过来，如
果等号成立，由以上证明过程可以看出，或者 =0
或者
(, ) 0 , ( , )
也就是说 , 线性相关.
里得空间中引进向量长度的概念.
二、长度
1. 定义
定义 2 非负实数 (, ) 称为向量 的长
度，记为 | |.
显然，向量的长度一般是正数，只有零向量的 长度才是零，这样定义的长度有以下的性质：
2. 性质
性质 1 设 k R, V , 则有
| k | = | k | | |.
(3)
证明
| k | (k, k )
( , )，它具有以下性质： 1) ( , ) = ( , )； 2) (k , ) = k( , )； 3) ( + , ) = ( , ) + ( , ) ； 4) ( , ) 0，当且仅当 = 0 时 ( , ) = 0 .
这里 , , 是 V 中任意的向量，k 是任意实
3) ( + , = )(= ,( ,) +)(+ (,), . ) ；
由条件 4) (有, () ,0)，当0 且. 仅当 = 0 时 ( , ) = 0 .
因此，在任一欧式空间中，对于任意的向
量 ， (, ) 是有意义的. 在几何空间中，向量 的长度为 (, ) . 类似地，我们在一般的欧几
由 4) (可, 知)， 0不，论当t且取仅何当值， =一0定时有( , ) = 0 .
( , ) = ( + t , + t ) 0.
即 ( , ) + 2( , ) t + ( , ) t 2 0.
Байду номын сангаас
(5)
取
t (, ) .
( , )
代入 (5) 式，得 ( , ) ( , )2 0 , ( , )
例 2 在闭区间 [a , b] 上的所有实连续函数所
成的空间 C (a , b) 中，对于函数 f (x) , g (x) 定义内
积
b
( f , g) a f (x)g(x)dx .
(2)
由定积分的性质不难证明，对于内积 (2)，C (a , b)
构成一欧几里得空间.
同样地，线性空间 R[ x ] , R[ x ]n 对于内积 (2) 也构成欧几得里空间.
= (a1 , a2 , … , an ) , = (b1 , b2 , … , bn ) ,
定义内积
( , ) = a1 b1 + a2 b2 + … + an bn .
(1)
显然，内积 (1) 适合定义中的条件，这样， Rn
就成为一个欧几里得空间. 以后仍用 Rn 来表示这 个欧几里得空间. 在 n = 3 时，(1) 式就是几何空间 中向量的内积在直角坐标系中的表达式.
内积定义中的四个性质： 3. 欧几内里积得定空义间中的的内性四积质个定性义质中：的四个性质：
下面来看欧1几) 里(得, 空)间= (的 一, 些)；基本性质.
首先，内1定积) 义(定2中,义)条(k)中件=的,(四1), )=个()k表；(性,明,质内)=：积)；(是, 对 )称；的.
因此，与 2) (k3),(相)当+= 地k(2,就)(,)有k=)(,； ,)=)k+((, , )；) ； 2 ) (1)3,()k(,)4=)+)((=k,(,, ),)=3))=()0(；k，(,+当,)且+,)(仅=)当,k=(()；,=,0))；时+ ((,,))； 3 ) (2)4(,)k(+,,)))==(k0(，+4,)当(,且)；,)仅=当)(,0，=)0当+时且((仅,当,)) = 0 .时
k 2 (, ) | k || | .
性质 2 柯西 - 布涅柯夫斯基不等式
设 , 是任意两个向量，则
内积定| (义, 中)的| 四| 个| 性| 质|，：
(4)
当且仅当 , 线性相关时，等号才成立.
1)证(明, ) 当= ( ,=0)；时，(4) 式显然成立. 以下
设 2) (k0., 令) =tk是(一, 个)；实变数，作向量 3) ( + , =) =(+t, .) + ( , ) ；
解析几何中我们看到，向量的长度与夹角等度 量性质都可以通过向量的内积来表示，而且向量的 内积有明显的代数性质，所以在抽象的讨论中，我 们取内积作为基本概念.
第一节 定义与基本性质
主要内容
内积 长度 夹角 度量矩阵 举例
一、内积
1. 定义 定义 1 设 V 是实数域 R 上一线性空间，在 V 上定义了一个二元实函数，称为内积，记作
第九章
欧几里得空间
在线性空间中，向量之间的基本运算只有加法
与数量乘法，统称为线性运算. 如果我们以几何
空间中的向量作为线性空间理论的一个具体模型， 那么就会发现向量的度量性质，如长度、夹角等， 在线性空间的理论中没有得到反映. 但是向量的度 量性质在许多问题中(其中包括几何问题)有着特殊 的地位，因此有必要引入度量的概念.
在欧几里得空间的定义中，对它作为线性空间 的维数并无要求，可以是有限维的，也可以是无限 维的.
几何空间中向量的内积显然适合定义中列举的 性质，所以几何空间中向量的全体构成一个欧几里 得空间.
2. 欧几里得空间举例
下面再看两个例子.
例 1 在线性空间 Rn 中，对于向量
对于| (显例, 然2)，| 中内在|的积闭欧区|(1|几间)适里|[a合得,定空b]义间上中的C的(所a条,有b件)实，，连(4这续) 样函，数R所
式就成是就的成空为间一C个(欧a ,几b)里中得，空对间于. 函以数后f仍(x用) , gR(nx来) 定表义示内这
证毕
3. 两个著名的不等式
| 对(于, )例| 1| 中在| 的|线欧性| 几空里间得R空n 中间，R对n ，于(向4)量式就
是
= (a1 , a2 , … , an ) , = (b1 , b2 , … , bn ) ,
| a1定b1义内a2积b2 anbn |
(a,12) a=22a1 b1 +aa2 nb2 2 +b1…2 +ba22nbn . bn2 . (1)
即
( , )2 ( , ) ( , ) .
两边开方便得
| ( , ) | | | | | .
| ( , ) | | | | | .
当 , 线性相关时，等号显然成立. 反过来，如
果等号成立，由以上证明过程可以看出，或者 =0
或者
(, ) 0 , ( , )
也就是说 , 线性相关.
里得空间中引进向量长度的概念.
二、长度
1. 定义
定义 2 非负实数 (, ) 称为向量 的长
度，记为 | |.
显然，向量的长度一般是正数，只有零向量的 长度才是零，这样定义的长度有以下的性质：
2. 性质
性质 1 设 k R, V , 则有
| k | = | k | | |.
(3)
证明
| k | (k, k )
( , )，它具有以下性质： 1) ( , ) = ( , )； 2) (k , ) = k( , )； 3) ( + , ) = ( , ) + ( , ) ； 4) ( , ) 0，当且仅当 = 0 时 ( , ) = 0 .
这里 , , 是 V 中任意的向量，k 是任意实
3) ( + , = )(= ,( ,) +)(+ (,), . ) ；
由条件 4) (有, () ,0)，当0 且. 仅当 = 0 时 ( , ) = 0 .
因此，在任一欧式空间中，对于任意的向
量 ， (, ) 是有意义的. 在几何空间中，向量 的长度为 (, ) . 类似地，我们在一般的欧几
由 4) (可, 知)， 0不，论当t且取仅何当值， =一0定时有( , ) = 0 .
( , ) = ( + t , + t ) 0.
即 ( , ) + 2( , ) t + ( , ) t 2 0.
Байду номын сангаас
(5)
取
t (, ) .
( , )
代入 (5) 式，得 ( , ) ( , )2 0 , ( , )
例 2 在闭区间 [a , b] 上的所有实连续函数所
成的空间 C (a , b) 中，对于函数 f (x) , g (x) 定义内
积
b
( f , g) a f (x)g(x)dx .
(2)
由定积分的性质不难证明，对于内积 (2)，C (a , b)
构成一欧几里得空间.
同样地，线性空间 R[ x ] , R[ x ]n 对于内积 (2) 也构成欧几得里空间.
= (a1 , a2 , … , an ) , = (b1 , b2 , … , bn ) ,
定义内积
( , ) = a1 b1 + a2 b2 + … + an bn .
(1)
显然，内积 (1) 适合定义中的条件，这样， Rn
就成为一个欧几里得空间. 以后仍用 Rn 来表示这 个欧几里得空间. 在 n = 3 时，(1) 式就是几何空间 中向量的内积在直角坐标系中的表达式.
内积定义中的四个性质： 3. 欧几内里积得定空义间中的的内性四积质个定性义质中：的四个性质：
下面来看欧1几) 里(得, 空)间= (的 一, 些)；基本性质.
首先，内1定积) 义(定2中,义)条(k)中件=的,(四1), )=个()k表；(性,明,质内)=：积)；(是, 对 )称；的.
因此，与 2) (k3),(相)当+= 地k(2,就)(,)有k=)(,； ,)=)k+((, , )；) ； 2 ) (1)3,()k(,)4=)+)((=k,(,, ),)=3))=()0(；k，(,+当,)且+,)(仅=)当,k=(()；,=,0))；时+ ((,,))； 3 ) (2)4(,)k(+,,)))==(k0(，+4,)当(,且)；,)仅=当)(,0，=)0当+时且((仅,当,)) = 0 .时
k 2 (, ) | k || | .
性质 2 柯西 - 布涅柯夫斯基不等式
设 , 是任意两个向量，则
内积定| (义, 中)的| 四| 个| 性| 质|，：
(4)
当且仅当 , 线性相关时，等号才成立.
1)证(明, ) 当= ( ,=0)；时，(4) 式显然成立. 以下
设 2) (k0., 令) =tk是(一, 个)；实变数，作向量 3) ( + , =) =(+t, .) + ( , ) ；
解析几何中我们看到，向量的长度与夹角等度 量性质都可以通过向量的内积来表示，而且向量的 内积有明显的代数性质，所以在抽象的讨论中，我 们取内积作为基本概念.
第一节 定义与基本性质
主要内容
内积 长度 夹角 度量矩阵 举例
一、内积
1. 定义 定义 1 设 V 是实数域 R 上一线性空间，在 V 上定义了一个二元实函数，称为内积，记作
第九章
欧几里得空间
在线性空间中，向量之间的基本运算只有加法
与数量乘法，统称为线性运算. 如果我们以几何
空间中的向量作为线性空间理论的一个具体模型， 那么就会发现向量的度量性质，如长度、夹角等， 在线性空间的理论中没有得到反映. 但是向量的度 量性质在许多问题中(其中包括几何问题)有着特殊 的地位，因此有必要引入度量的概念.