南京信息工程大学2007年数学分析考研试题
南京信息工程大学_高等数学试卷
南京信息工程大学_高等数学试卷南京信息工程大学高等数学试卷（A ）年级:___ _____专业:___ _____时间:__ _ 2010.07. __学号:________________姓名:_________________得分:________________一、填空题（本题共5小题，每小题3分，满分15分）1．若0),,(=z y x F ，且F 可微，z y x F F F ,,非零，则=x z z y y x _______。
2．交换积分次序，=?xxdy y x f dx 331),(_______。
3．过点()4,2,1-与平面0432=-+-z y x 垂直的直线方程为_______。
4．设有点()3,2,1A 和()4,1,2-B ，则线段AB 的垂直平分面的方程为_______。
5．微分方程02=+'-''y y y 的通解是:二、选择题（本题共5小题，每小题3分，满分15分）1．二元函数),(y x f 在点()00,y x 处两个偏导数),(00y x f x ，),(00y x f y 存在是),(y x f 在该点连续的______。
（A ）充分而非必要条件； (B) 必要而非充分条件； (C) 充分必要条件； (D) 既非充分又非必要条件 2．两平面34=-z x 和152=--z y x 与直线153243-=-=+z y x ______。
（A ）垂直； (B) 平行； (C) 异面； (D) 相交但不垂直。
3．设∑为球面2222a z y x =++，则()=++??∑ds z y x222_____。
（A ）42a π； (B) 48a π； (C) 44a π； (D)434a π。
4．方程xxe y y 22='-''的一个特解具有_______形式。
（A ） ()x e B Ax 2+； (B) xAxe 2； (C) xe Ax 22； (D) ()xe B Ax x 2+。
2019年南京信息工程大学数学与统计学院702数学分析考研核心题库
1． 设
, 证明 :
【答案】 原不等式等价于
取 的凸函数 .若记
, 则由 , 由凸函数的性质
可知 , （f x）是
上
即
亦即
2． 证明 : 若函数 在区间 [a, b]上连续 ,
且
则在
内至少存在一点 , 使得
.
【答案】 设函数
在区间
上有最大值 M , 最小值 m, 不妨设
则对
由闭区间上连续函数的介值定理 , 可知在
内至少存在一点 , 使得
当
时, 取
即可 .
3． 设 f（ x）在 [a, b]上二阶连续可导 , 证明 :
【答案】 记
.取
, 由微分中值定理 , 有
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t 即
于是
,有
对上式两边 , 分别关于 x 1 和 x2 在
和
上积分 , 可得
即
进而有
这就是所谓的内插不等式 .
4． 设 是无界数列 , 是无穷大数列 .证明 :
【答案】 方法一用区间套定理 .将 [a, b] 二等分 , 分点记为
.求证 : ,若
使得 f（c）
取
即可 . 若
当
时, 取
, 否则取
, 这样保证有
再将
二等分 , 分点记为 c1, 若
,取
即可 .若
,当
时,
取
, 否则 , 取
, 这样保证有
如此继续下去 , 要么到某一步时 , 得到一分点 , 使得
取
即可 ;
要么这种步骤可无限地进行下去 , 得到一个闭区间列
, 它满足如下性质 :
由闭区间套定理 , 使得
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(整理)602数学分析
南京信息工程大学2010年硕士研究生入学考试《数学分析》考试大纲科目代码：602科目名称：数学分析考试内容:一、实数集与函数1 实数集及其性质2 确界定义与确界原理3 函数概念 4有某些特性的函数（有界函数、单调函数、奇函数与偶函数、周期函数）二、数列极限1 数列极限概念2 收敛数列的性质（唯一性、有界性、保号性、不等式性、迫敛性、四则运算）3 数列极限存在的条件：包括单调有界定理与柯西（Cauchy）准则三、函数极限1 函数极限概念2 函数极限的性质（唯一性、局部有界性、局部保号性、不等式性、迫敛性、四则运算）3 函数极限存在的条件：包括归结原则（Heine 定理），单调有界定理与柯西准则4 两个重要极限5 无穷小量，无穷大量, 非正常极限，阶的比较，曲线的渐近线四、函数的连续性1 连续性概念，间断点及其分类2 连续函数的性质（有界性、保号性、连续函数的四则运算、复合函数的连续性、反函数的连续性；闭区间上连续函数的有界性、取得最大值最小值性、介值性、一致连续性）3 初等函数的连续性五、导数与微分1 导数的概念2 求导法则3 微分概念4 高阶导数与高阶微分 5参量方程所确定的函数的导数六、微分中值定理及其应用1 中值定理（罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理）2 不定式极限3 泰勒公式（及其皮亚诺余项与拉格朗日余项、一些常用初等函数的泰勒展开式、应用于近似计算）4 函数的单调性、极值、最大值与最小值5 函数的凸性与拐点6 函数图象的讨论七、实数完备性1 实数集完备性的基本定理的应用2 闭区间上连续函数性质的证明第八章不定积分1原函数与不定积分概念，基本积分公式 2 换元积分法与分部积分法 3 有理函数和可化为有理函数的积分九、定积分1定积分的概念及其几何意义 2 可积条件的应用（包括必要条件，可积准则），三类可积函数 3 定积分的性质（线性运算法则、区间可加性、不等式性质、绝对可积性，积分中值定理） 4 微积分学基本定理，定积分的分部积分法与换元法十、反常积分1无穷限反常积分概念、柯西准则，绝对收敛与条件收敛 2无穷限反常积分收敛性判别法：比较判别法及p-函数判别法，狄利克雷（Dirichlet）判别法，阿贝尔（Abel）判别法 3无界函数反常积分概念，无界函数反常积分比较判别法及p-函数判别法十一、定积分的应用1 平面图形的面积2 由截面面积求体积、旋转体的体积3 曲线的弧长与曲率4 旋转曲面的面积十二、数项级数1 级数收敛的概念，柯西收敛准则，收敛级数的性质2 正项级数收敛判别法（比较判别法、p-级数判别法、比式与根式判别法、积分判别法）3 一般项级数的绝对收敛与条件收敛、交错级数的莱布尼兹判别法，阿贝尔（Abel）判别法与狄利克雷（Dirichlet）判别法，绝对收敛级数的性质十三、函数列与函数项级数1 函数列与函数项级数的一致收敛性，柯西准则，函数项级数的维尔斯特拉斯（Weierstrass）优级数判别法，狄利克雷（Dirichlet）判别法，阿贝尔（Abel）判别法2 函数列极限函数与函数项级数和函数的连续性、可积性、可微性十四、幂级数1 幂函数的收敛性，阿贝尔定理，收敛半径与收敛域，内闭一致收敛性，和函数的分析性质2 函数的幂级数展开十五、傅里叶级数1 傅里叶级数的概念，三角函数系的正交性2 以2L为周期的函数的展开式，奇式与偶式展开3 收敛定理的证明十六、多元函数的极限与连续1 平面点集与多元函数2 二元函数的极限，重极限与累次极限3 二元函数的连续性，有界闭域（集）上连续函数的性质十七、多元函数的微分学1偏导数与全微分概念，可微性 2 复合函数微分法，高阶导数，高阶微分，混合偏导数与其顺序无关性 3 方向导数与梯度 4 泰勒公式与极值问题十八、隐函数定理及其应用1隐函数的概念，隐函数定理 2隐函数组定理，隐函数组求导、反函数组与坐标变换，函数行列式及其性质 3 几何应用（空间曲线的切线与法平面，曲面的切平面与法线） 4 条件极值与拉格朗日乘数法十九、含参量积分1 含参量正常积分，连续性、可积性与可微性2 含参量反常积分的收敛与一致收敛，柯西准则，维尔特拉斯（Weierstrass）判别法，狄利克雷（Dirichlet）判别法，阿贝尔（Abel）判别法，含参量无穷积分的连续性，可积性与可微性3 欧拉积分二十、曲线积分1第一型曲线积分的概念，性质和计算公式 2第二型曲线积分的概念，性质和计算公式，两类曲线积分之间的关系二十一、重积分1 二重积分概念与性质2 二重积分的计算（化为累次积分），二重积分的换元法（极坐标与一般变换） 3. 格林（Green）公式，曲线积分与路线的无关性3 三重积分的概念与计算，三重积分的换元法（柱坐标、球坐标与一般变换）4 重积分的应用（体积、曲面面积等）二十二、曲面积分1第一型曲面积分的的概念与计算 2第二型曲面积分的概念与计算，两类曲面积分之间的关系 3高斯（Gauss）公式，斯托克斯（Stokes）公式。
南京信息工程大学《811信号与系统》历年考研真题专业课考试试题
2005年南京信息工程大学信号与 系统考研真题
2006年南京信息工程大学信号与 系统考研真题
2007年南京信息工程大学信号与 系统考研真题
2008年南京信息工程大学信号与 系统考研真题
2009年南京信息工程大学814信号 与系统考研真题
2010年南京信息工程大学814信号 与系统考研真题
2011年南京信息工程大学814信号 与系统考研真题
Hale Waihona Puke 2012年南京信息工程大学814信号 与系统考研真题
目 录
2005年南京信息工程大学信号与系统考研真题 2006年南京信息工程大学信号与系统考研真题 2007年南京信息工程大学信号与系统考研真题 2008年南京信息工程大学信号与系统考研真题 2009年南京信息工程大学814信号与系统考研真题 2010年南京信息工程大学814信号与系统考研真题 2011年南京信息工程大学814信号与系统考研真题 2012年南京信息工程大学814信号与系统考研真题
2007年南京信息工程大学考研真题 信号与系统(有答案)电信院在校研究生
）。
A． r′′(t) + 2r ′(t) + 1 = e(t)
B． r′′(t) + 3r′(t) + 2r(t) = 2e(t)
C． r′′(t) + 2r ′(t) + 1 = 2e′(t)
D． r′′(t) − 2r′(t) + 1 = 2e(t)
5．若某 LIT 系统的单位冲激响应为 δ (t) ，则激励为 (e−2t − 2e−t )u(t) 时，系统的零状态响应
jω
0
σ
图 7a
图 7b
图 7c
21．(7 分)写出图 8 所示电路的状态方程。
u s(t)
R λ2
C λ1
is(t)
图8
22．（7 分）写出利用系统函数 H(s)求解系统响应的一般步骤。
第3页共3页
jω
0
σ
图 7d
是（ ）。 A． (e−2t − 2e−t )u(t)
B． (e−2t − 2e −t )
C． (2e−t − 0.5e −2t − 1.5)u(t)
D．其他
6．周期矩形脉冲的谱线间隔与（ ）
A．脉冲幅度有关
B．脉冲宽度有关
C．脉冲周期有关
D．周期和脉冲宽度有关
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e− s
7．单边拉氏变换 F（s）=
南京信息工程大学 2007 年硕士研究生入学考试初试试题( A 卷)
一、选择题（每小题 4 分，共 40 分） 1．已知信号 f(t)的波形如图 1 所示，则 f(t)的表达式为
（）
A．(t-1)[u(t-1)-u(t-3)]
B．tu(t)
C．2(t-1)u(t-1)
2007年数学分析
南京航空航天大学2007年数学分析1、计算1lim ()x xx x e →+∞+.（12分） 2、求和221(1)2(1)nn n n ∞=--∑.（12分） 3、设lim 0n n a →+∞=，按“N ε-”定义证明12lim 0n n a a a n →+∞+++=.（12分） 4、计算cos(ln )x dx ⎰.（12分） 5、计算x y x y D dxdy e -+⎰⎰，其中D 是由直线2x y +=，0x =及0y =所围区域. （12分）6、证明：若函数()f x 在区间[),a +∞上连续，且lim ()x f x A →+∞=（有限数），则()f x 在区间[),a +∞上一致连续. （12分）7、设函数()f x 在点0x =处可导，证明：函数()f x 在点0x =处可导当且仅当下列之一成立： i (0)0f ≠； ii (0)0f =且(0)0f '=.（13分）8、设22()1n x S x n x=+，则 i 函数序列{}()n S x 在(),-∞+∞内一致收敛； ii ()n d S x dx ⎧⎫⎨⎬⎩⎭在(),-∞+∞内不一致收敛； iii 极限运算与求导运算不能交换顺序，即lim()lim ()n n n n d d S x S x dx dx →+∞→+∞≠.（13分） 9、讨论函数22220,(,)0,0.x y f x y x y +≠=⎨⎪⎪⎪+=⎩在原点()0,0的连续性、偏导数存在性和可微性. （13分）10、设函数ϕ和ψ具有二阶连续导数.()()u x at x at ϕψ=-++，找出22u t ∂∂与22u x∂∂的关系. （13分） 11、证明22(2cos cos )(2sin sin )x y y x dx y x x y dy ++-在整个XY 平面上是某个函数的全微分，并找出一个原函数.若有力场22(2cos cos )(2sin sin )F x y y x i y x x y j =++-， 求质点在此力场内沿椭圆22143x y +=从点():2,0A -移动至点(:B 时，场力所做的功. （13分）12、将函数()2xf xπ-=在[]0,2π上展开成Fourier级数，求出该级数在[]0,2π上的和.并问该级数在[]0,2π上是否一致收敛于它的和函数，为什么？（13分）。
07南京信息工程大学高代
南京信息工程大学2007年招收攻读硕士学位研究生入学考试425 高等代数 试 题（所有答案均须写在答题纸上，写在试题上无效）一、填空题（本题共五题，每小题6分，满分为30分）：1．设三阶方阵A 的特征值为－2，3，5，则A 的行列式A =----------------；1-A 的特征值是----------------；E A A ++22的特征值是------------------．2．已知α=()T3,2,1，β=T⎪⎭⎫⎝⎛31,21,1，A=T αβ，则n A =----------------------．3．六阶行列式的项264264311355a a a a a a 带有 号；若4263126135a a a a a a k l 带正号，则k = ；l = ．4．设A 为n 阶实对称矩阵，则A 为正定矩阵的充要条件是（至少写出3条）： ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------． 5．设矩阵()12--T A =⎪⎪⎭⎫⎝⎛-1021,则A =-------------．二、（本题满分为14分）设()x f ，()x f 1，()x g ，()x g 1为数域P 上多项式，d c b a ,,,∈P ，()()()()()(),,11x dg x cf x g x bg x af x f +=+=且ad-bc ≠0,证明：()()()()()()x g x f x g x f 11,,=．其中()()()x g x f ,表示()x f 与()x g 的首项系数为1的最大公因式．三、（本题满分为10分）设向量组321,,ααα线性无关，证明向量组133221,,2αααααα+-+线性无关．四、(本题共4题,每小题4分,满分为16分)设A 的伴随矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=420110111*A ,1. 求矩阵*A 的行列式*A ，并证明矩阵A 可逆； 2．求矩阵A 的行列式A ； 3. 求矩阵A 和1-A ； 4．证明λ=112-n 是矩阵A 的一个特征值，并求矩阵A 的在实数域R 上的特征子空间λV ．五、计算下面n 阶行列式（本题满分12分）：12211000000000100001a x a a a a xx x x D n n nn +---=--六、（本题共两题,每题10分,满分为20分）已知线性方程组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=----=+++-=+-+=+-+tx x x x x px x x x x x x x x x x 43214321432143216172314620321. p 与t 为何值时，线性方程组无解？2. p 与t 为何值时,线性方程组有无穷多解? 当有无穷多解时,求出方程组的全部解．七、（本题共三题,每小题6分，满分为18分）设三阶实对称矩阵A 的特征值为1λ=2λ=1，3λ=2；矩阵A 的属于特征值1λ=2λ=1的两个线性无关的特征向量是()T1,1,11--=α，()T1,5,12--=α，1．求矩阵A 的属于特征值3λ=2的一个特征向量； 2. 求正交矩阵Q ，使AQ Q T 为对角矩阵； 3．求矩阵A ．八、（本题满分为16分）设A 是数域P 上线性空间V 的一个线性变换，V ∈≠α0，证明：若α，A α,, A 1-k α )1(≥k 线性无关，而α，A α,, A k α线性相关，则由α，A α,, A 1-k α 生成的子空间,(αL A α,, A 1-k )α是A 的不变子空间，且是包含α的最小的A 的不变子空间．九、(本题共2题,每小题7分,满分为14分)1. 证明：如果pq是一个次数大于0的整系数多项式()x f 的有理根，并且p 与q 互素，则()qp f -1是整数． 2. 设()x f =c bx ax x +++23是整系数多项式,证明：如果()c b a +是奇数，则()x f 在有理数域上不可约．。
南京信息工程大学2016数学整理
南京信息工程大学2016年数学一、填空题（每题5分，共25分）1、lim x→(1+sin x 2)11−cos x =2、设函数F (x,y )=∫sin t 1+t 2−xy 0dt ,则ð2F ðx 2|x=0y=1= 3、曲线y =(1+x)32的斜渐近线方程为 4、设椭圆C:x 24+y 23=1,其周长为α，则∮(3x 2+4y 2+6xy )ds C = 5、f (x )={x 2,−π<x ≤05, 0<x ≤π；则其以2π为周期的傅里叶级数在x =π处收敛于二、选择题（每题5分，共25分）无题目三、（本题10分）求圆周x 2+y 2+z 2−3x =0，2x −3y +5z −4=0在点M(1,1,1)处的切线与法平面方程。
四、（本题10分）设r =√x 2+y 2+z 2，函数u =f(r)，具有二阶导数，将ð2u ðx 2+ð2uðy 2+ð2uðz 2=0化为关于r 的常微分方程。
五、（本题10分）设F(t)=∭f(x2+y2+z2)dvx2+y2+z2≤t2，f(u)为连续函数，且f(0)=0，f′(0)=1，求limt→0+F(t)t5(t>0)。
六、（本题10分）求曲线积分I=∫(e x sin y−my)dx+(e x cos y−m)dyAmO，其中AmO为由A(a,0)至点O(0,0)的上半圆周x2+y2=ax (a>0)。
七、（本题10分）设函数z=f(xy,yg(x))，其中f具有二阶连续导数，g(x)可导，且g(1)=1为g(x)的极值，求ð2zðxðy|(1,1)。
八、（本题10分）求旋转椭球面2x 2+y 2+z 2=1上距平面2x +y −z =6的最近点和最远点，且求出最近距离和最远距离。
九、（本题10分）设f(x)在[a,+∞)上恒正的连续函数；若a<b<+∞，令F (x )=∫f (t )dt +∫1f(t)dt x b x 0，求证：（1）方程F(x)=0在[a,+∞)内有唯一的根；（2）lim x→+∞F (x )=+∞。
07-08数分(III)A卷及答案
∫
+∞
0
be − ay 收敛,由 M--判别法知
+∞
∫
+∞
0
xe − xy dy 在[a,b]上一致收敛
(得 5 分) (得 8 分)
又Q
∫
0
xe − xy dy = −e − xy
+∞ 0 ( 0 < x ≤b )
= 1 而 x=0 时
∫
+∞
0
xe − xy dy = 0
故
∫
+∞
0
xe − xy dy 在[0,b] 上不一致收敛
∫∫ 2(1 − x
S
2
)dydz + 8 xydzdx − 4 xzdxdy = ( B.2
) C. 1/2 D. 0
A.1
三、计算题（共 4 小题，每题 8 分，共计 32 分） 1、计算
∫
1
0
xb − xa dx . ln x
《数学分析》试卷
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徐州工程学院试卷
2、计算曲线积分 I =
07 信计本 1、2
题号 总分 得分
一 15
二 15
三 32
四 18
五 20
总分 100
一、填空题（共 5 小题，每题 3 分，共计 15 分） 1、曲面 2 x 2 + 3 y 2 + z 2 = 6 在点 P(1,1,1)处的切面方程是 2、 lim ∫
1 x →0 0
．
sin xy dy = x
的立体的表面的外侧。 ∂P ∂Q ∂R 解： + + = 2 x + 2 y + 2z ∂x ∂y ∂z ∂P ∂ Q ∂ R 由高斯公式原式= ( + + )dv = 2 ∫∫∫ ( x + y + z )dv ∫∫∫ ∂x ∂ y ∂ z Ω Ω = 2 ∫ dx ∫ dy ∫ ( x + y + z)dz = 2 dx (ax + ay + a )dy ∫0 ∫0 0 0 0 2
信息工程大学611数学分析2015年考研专业课真题试卷
f (a) f (b) .
证明：存在点 x0 [a,b],
使得
f
(x0 )
f
( x0
ba)． n
三（15 分）．设 0, g 是 ( , ) 上的实值函数且有连续的二阶导函
数, g(0) g ''(0) 0.令
第1页 共2页
g '(0) x 0
f
(
x)
g
(x)
x
. x0
证明： f 在 ( , ) 上有连续的导函数， 这里 g '(0), g ''(0) 分别表示 g 在零点的 一阶导数和二阶导数． 四（15 分）．设 f 是[a, ）上单减函数, f 恒取正值且 lim f (x) 0 ． 证明：广
x
义积分 f (x)dx 和 f (x)sin2 xdx 同时收敛或同时发散.
考生注意：答案必须写在统一配发的专用答题纸上！
（共七题，满分 150 分）
一（50 分，每小题 10 分）．计算
(a)
曲面
x2 a2
y2 b2
z2 c2
2
x2 a2
y2 b2
所围成的区域的体积，其中
a,
b,
c
0
；
(b)
lim(
sin
x
)
1 x2
；
x0 x
(c)
2 f x2
(2) 假如对介于 f (a) 和 f (b) 之间的任意实数 ， 都存在 c (a,b) 使得
f (c) ．证明： f 在[a,b] 上连续．
南京信息工程大学_高等数学（下册）_试卷及答案
南京信息工程大学_高等数学（下册）_试卷及答案南京信息工程大学高等数学试卷参考答案及评分标准一填空题（本题共5小题，每小题3分，满分15分）1．设z y x xy z y x z y x f 42432),,(222-+-+++=求gradf(0,0,0)= -4i+2j-4k2．向量α?和β?构成的角3π=，且8,5==βα??，则βα??+=1293．=→→xxy a y x )sin(lim 0 a 4．C 为依逆时针方向绕椭圆12222=+b y a x 的路径,则--+C dy y x dx y x )()(= ab π2-5．微分方程)1(2+='y x y 的通解是12-=x ce y二选择题（本题共5小题，每小题3分，满分15分）1．直线L ： 37423zy x =-+=-+ 与平面3224=--z y x 的关系是[ A] A ．平行 B ．直线L 在平面上C ．垂直相交D ．相交但不垂直2．y x z 2+=在满足522=+y x 的条件下的极小值为[ ]A ．5B ．-5C ．52D ．-523．设∑为球面2222R z y x =++,则??∑++ds z y x )(222=[ C ]A ．dr r r d d Rθππsin 200022 B. dv R ???Ω2 C ．44R π D.534R π4．级数n i nnx ∑∞=-+12)1(2的收敛半径是 [ D ]A ．23B ．61C ．23或 61D ．25．x xe y y y y =+'+''+'''的通解形式为y= [ A ]A ． x e b ax )(+B ． x e b ax x )(+C ． x e b ax x )(2+D ． []x d cx x b ax e x 2sin )(2cos )(+++三求下列各题（本题共3小题，每小题10分，满分30分）1．计算dxdy y y D ??sin D ：2y x = 和 x y = 所围成的区域。
南京大学2007年数学分析考研试题及解答
南京大学2007年数学分析考研试题一、（30分）举例1、举一个极限点（凝聚点）在[]0,1区间上稠密的可数集.2、举一个有振动间断点的函数.3、举一个连续但不是一致连续的函数.4、举一个可逆的可微函数，其逆函数不可微.5、举一个非零的可微函数，它在某一点的任意阶导数均为零.6、举一个Riemann 不可积的函数.7、举一个非负函数()f x ，它在[)0,+∞上积分收敛，但极限lim ()x f x →+∞不存在.8、举一个在[]0,1⨯[]0,1上定义的二元函数(,)f x y ，它分别对于变量x ，y 连续， 但不是连续的二元函数.9、举一个偏导数存在，但不可微的二元函数. 10、举一个收敛但不绝对收敛的数项级数.二、（10分）假设一元函数()x ϕ一阶连续可导.令()f x =2()x x ϕ⋅，计算(0)f ''. 三、（10分）研究一元函数3sin()y x =的极值点、零点，并画出草图.四、（10分）计算积分20(cos cos 2cos 20)sin(10)x x x x dx π+++⋅⎰ .五、（10分）计算积分2(1)SdS x y ++⎰⎰，其中S 为四面体1,0,0,0x y z x y z ++≤≥≥≥的边界曲面. 六、（10分）计算二重积分Dx y dxdy -⎰⎰，其中D 为圆域222x y a +≤.七、（10分）设函数()f x 在[]0,1区间二阶连续可微，且(0)0f =，(1)1f =，()0f x ''<，[]0,1x ∀∈.证明()f x x ≥，[]0,1x ∀∈.八、（10分）设10n n a a +>>，1,2,n = .证明：级数11(1)n n na a ∞-=-∑收敛的充分必要条件是级数11(1)n n n a a ∞=--∑收敛.九、（15分）设()n f x 是[]0,1上的非负连续函数.对01δ∀<<，级数1()n n f x ∞=∑在[]0,δ上一致收敛到()f x .若1lim ()x f x a -→=有限.证明：（1）1(1)n n f ∞=∑收敛，且1(1)n n f a ∞==∑；(2)若令[)(),0,1,(),1,f x x f x a x ⎧∈⎪=⎨⎪=⎩，则1()n n f x ∞=∑在[]0,1上一致收敛到()f x .十、（10分）设2:f R R →为二元连续函数.证明存在两个不同的点,p q ，使得()()f p f q =. 十一、（15分）（1）设()f t 连续，试证明2221211()(1)()x y z f ax by cz dxdydz u f ku du π++≤-++=-⎰⎰⎰⎰，其中0k =>.（2）利用（1）或直接计算积分21()2Sx xy xz dydz ++⎰⎰，其中S 是球面2222()()()x y z R αβγ-+-+-=，且积分是沿球面外侧而取的.十二、（10分）设:n n f R R →为1C 的向量值函数，且满足条件 ()()f x f y x y -≥-，,n x y R ∀∈，这里 是n R 上的标准范数.证明f 可逆，且其逆映射也是1C 的.南京大学2007年数学分析考研试题解答二、解 2()2()()f x x x x x ϕϕ''=+，(0)0f '=，()(0)(0)lim2(0)0x f x f f x ϕ→''-''==-。
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四、设 f (x) = 1 ， a = −1， b > 1 ． x
（1）证明： f (x) 在[a, b] 上不满足拉格朗日中值定理的条件； （2）证明：若 b > 2 +1，则 ∃ζ ∈ (a, b) 使 f (b) − f (a) = f ′(ζ)(b − a) ．（20 分）
∑ 五、设正数数列 {a n }
南京信息工程大学 2007 年招收攻读硕士学位研究生入学考试
602 数学分析 试题
一、计算下列各题（每题 10 分，共 20 分）
x2Байду номын сангаас1. lim
x→0 1 + x sin x − cos x
2. lim 1 [sin a + sin(a + b ) + " + sin(a + n − 1 b)]
n→∞ n
n
n
二、求证：若
f
′
x
(
x,
y)
，f
′
y
(
x,
y)
在矩形区域
D
内有界，则函数
f
(
x,
y)
在
D
内一致连续。
（15
分）
三、求证：
lim
(
a
x 1
x → +∞
+ a 2x + ... + anx n
1
)x
=
max {a1, a2 ,..., an}
(ai > 0,i = 1, 2,..., n) （15 分）
单调减，试讨论
∞ n =1
( an a n+1
−1)
的敛散性。
（20 分）
∫ 六、 计算曲线积分
[ϕ(y)ex − my]dx + [ϕ′(y)ex − m]dy ，式中 ϕ(y) ， ϕ′(y) 为连续函数，
C(A, B)
C(A, B) 为连接点 A(x1, y1) ， B(x2 , y2 ) 的任何路径，但与线段 BA 围成封闭曲线, 取逆时 针方向,已知其围成图形的面积为S ． （20 分）
∫∫ 七、计算曲面积分： I = x2dydz + y2dzdx + z2dxdy ，其中S 为锥面： S
x2 + y2 = z2 (0 ≤ z ≤ h) 所示那部分的外侧。 （20 分）
八、 设函数 u = f (x, y, z) 在区域 D ：x2 + y2 + z2 < 1内可微，且满足方程：x ∂f + y ∂f + z ∂f = 0 ， ∂x ∂y ∂z