变分法模型概要

(x
,
y1
,
,
yn , y1;' ,
, yn' )
(i 1, 2, , m)
(14) 来代替。从而化为（2）的形式。
经讨论（略）可知作辅助泛函
v*
x1 (F
x0
m
i 1
i Fi )dx
其中 i 均为常数。
写出其欧拉方程组求出其解即可。
( 15）
(4) 在条件极值的问题中，有一种有关最优控制问 题的常见形式为
令 H (t , x , u) F (t , x , u) (t) f (t , x,u) (19)
称 H 为哈密尔顿函数。则
v *[x(t) , u(t)] t2 (H x') dt t1
（20）
由欧拉方程组
(H
x' ) x
d dt
(H
x')x'
0
(H
x' )u
d dt
(H
x' )u '
t[ y(x)]
1
x1 1 y'2 dx
2g 0 y
y(0)
0
,
y(x1) y1
(23)
即要确定曲线 y y(x) ，使(23)式中的时间 t 取最小值，是 求泛函的极值问题。(23)式就是最速降线的数学模型—— 变分法模型。
由变分法理论知
F
1 y'2
y，
则(2)式的解应满足欧拉方程：
变分法模型
在数学分析中，大家已经学会了如何确定 某一函数的极值问题，看到了其应用的广 泛性。在许多工程实际问题中，我们还常 常需要求另一类特殊的量即函数的函数的 极值问题。通常将函数的函数称为泛函。
（1）连接平面两点 A(x0 , y0 ) 、 B(x1, y1 ) 的曲线 y y(x) 的弧长 L 是一个泛函。
Fy
d dx
Fy '
0
由于 F 不显含x，欧拉方程的初积分为
F y' Fy' c 即
1 y '2 y
y'2 y (1 y '2 )
C
，简化整理且加入
y( y y'2 ) C
初始条件得:
y(0)
0
(24)
1
1
变形(2)式为 dx
y c y
2 dy ,
令
y c y
2 tan(t)
函数的变分 y 有如下重要性质：
如果 y(x) 和Y 都可导，则
(y)' [Y (x) y(x)]' Y '(x) y'(x) y'
即函数变分的导数等于函数导数的变分。
考虑当函数 y(x) 有一个变分y 后，最简泛函 J[ y(x)] 的增量。
J J[ y y] J[ y]
x1[F (x, y y, y' y') F (x, y, y')] dx x0
yn' )dx li
(12)
（ i 1,2, , m ）
下的极值问题。其中 li 为常数， m 可以大于、小于 或等于 n 。
引入新未知函数
x
Zi (x) x0 Fi dx (i 1, 2 ,L , m) (13)
的方法将积分关系式
F x1
x0 i
dx
li
用微分关系式
Z
' i
(
x)
Fi
假设 F (x, y, y') 充分光滑，则上式可展开成
J
x1{[
x0
Fy
y
Fy' y' ]
1 2!
[
Fyy
(
y
)
2
2Fyy' y y'
F y
'
y
'
(
y
'
)
2
}dx
我们把 y , y' 的线性部分称为泛函 J[ y(x)] 在 y(x) 处的变分，记作
J
x1 x0
(
Fy
y
Fy '
y')dx
（2） 用适当方式引入参数求解，可得极值曲线的参
数形式 x x(t) ， y y(t) 。
情形 C 若函数 F 中不含 x ，则由欧拉方程(2)式及
d
dx
(
F
Fy' y')
y'
d dx
Fy '
Fy
0，
有 F y' Fy' C1 为一阶微分方程。如情形 B 的两种
解法即可得到极值曲线。
1 变分法简介
• 变分法是研究泛函极值问题的数学方法。 本节就变分法的基础知识作简要介绍，需 要深入了解的读者可阅读有关专著。
变分法的基本概念
1．泛函的定义
设 D 为一个函数集合，若对于每一个函数 y(x) D 都 有一个确定的实数 J 与之对应，则称 J 为定义在 D 上的一个 泛函，记作 J[( y(x)] 。D 称为泛函 J 的定义域。
i (x, y1, , yn , y1' , , yn' ) 0
（ i 1,2, , m; m n ） (10)
下的极值。其方法步骤与（1）相同。
(3) 求泛函
v
x1 F (x,
x0
y1,
,
yn ,
y1' ,
yn' )dx
(11)
在所谓等周条件
v
x1 x0
Fi
(
x,
y1,
,
yn ,
y1' ,
关于泛函极值的必要条件有如下结论：
定理 1 若泛函 J[ y(x)] 在 y(x) 的 邻域内取得
极值，则泛函在 y(x) 处的变分 J 0 。
定理 2 泛函极值的必要条件为
Fy
d dx
Fy '
0
（2）
此方程就是欧拉方程。
欧拉方程的另一种形式为
Fy Fy'x y' Fy' y y'' Fy' y' 0
y
c sin 2 t
c 2
(1 cos 2t)
若令
a
c 2
, 2t ，则有
x a( sin )
y
a(1
cos
)
这是在高等数学中所遇到的圆滚线（或摆线）
的参数方程，圆滚线是半径为 a 的圆沿 x 轴滚动而
不滑动时，其圆周上一点的轨迹，将其图形倒过来
便可得到最速降线，其中常数 a 由圆滚线通过点 B
x0
（7）
这样就把条件极值的变分问题化成了无条件极值的变分
问题。对于泛函 v * 来说，其欧拉方程组为
F* yi
F d *
dx y ' j
0
( j 1,2, , n)
(8)
i 0
(i 1,2, , m)
(2) 求泛函
v
x1 F (x,
x0
y1,
,
yn ,
y1' ,
yn' )dx
(9)
在条件
0
将 H 的表达式代入上式得
H x
'(t)
0
H u
0
（21）
于是条件极值问题归结为求解未知函数
x(t) , u(t) , (t) 的微分方程组
' (t )
H x
H u
0
(22)
x'(t) f (t, x,u)
从而最优控制函数 u(t) 和最优状态函数 x(t) 由上
述方程组在 x(t) 的端点 x(t) 的端点条件下解出。
泛函极值的必要条件可以推广至含有多个未知函数的情况，其一 般形式的泛函为
V ( y1, , yn )
x2 x1
F (x,
y1,
,
yn ,
y1',
,
yn ')dx
边界条件为
（3）
yi (x1) yi1 ， yi (x2 ) yi2 （ i 1,2, , n ）
(3)取得极值的必要条件是极值曲线应满足欧拉方程组
Fyi
F d
dx y'i
0
（ i 1,2, , n ）
(4)
微分方程组(4)的解 y1, , yn 在 x, y1, , yn 空间中确定一族含有
2n 个参数的积分曲线，它就是这个泛函极值问题的极值曲线族。
条件极值 哈密尔顿（Hamilton）函数
对于带有约束等式的泛函极值问题，可采用拉格朗日
乘子法化条件极值为无条件极值问题。
一个沿圆弧从 A 滑到 B ，另一个沿直线从 A 滑到 B 。结果是沿圆
弧滑动的球先到，因而牛顿最初认为最速降线为圆弧线。伽利略也 曾研究过这个问题，他也认为最速降线是圆弧线。
问题的正确解答到底是什么呢？
分析与建模
如图 2-1 选取坐标系，设质点质
量为 m ，重力加速度为 g ，质点
从 A 点下滑到 P(x, y) 点时速度为
(1)
3。泛函的极值
设 y(x) , y1(x) 为 [a , b] 上 的 连 续 函 数 ， 则 称
max |
x[a , b]
y1 ( x)
y(x)
|
为函数
y(x)
与
y1 ( x)
的距离。而与
y(x)
的距离小于 的连续函数的全体称为函数 y(x) 的 邻域，即
U (y,)
{y1(x) |
。因为质点从 A 到 P
图 2-1
点，失去势能 mgy ，获得动能 mv2 。
2
由能量守恒定律：
mgy
1 2
mv
2
或
v
2gy
如果以 s 表示从 A 点到 P 点的弧长，则有 ds 2gy ，又弧
dt
微分 ds 1 y'2 dx ，所以： dt
ds
1 y'2 dx
2gy 2gy
从而质点从 A 滑动到 B 点所用的时间为：
（1）求泛函
v( y1,
yn )
x1 F (x,
x0
y1,
,
yn ,
y1' ,
yn' )dx
(5)
在条件
i (x, y1, , yn ) 0 （ i 1,2, , m; m n ） (6)
下的极值。
引入乘子函数 i (x) 构造新泛函
v*
x1 (F
x0
m
i 1
i
i )dx
ຫໍສະໝຸດ Baidu
x1 F * dx
y c1x c2 ，即极值曲线均为直线。
情形 B 若函数 F 中不含 y ，则欧拉方程变为
d dx
Fy '
0
积分便可得出表示极值曲线的一阶微分方程：
Fy' (x, y') C1 ，其解法有两种：
（1） 解出 y' f (x, c1) ，再积分之即可得极值曲线
y y(x,C1,C2 ) 。
v[u(t)] t2 F[t , x(t) , u(t)]dt t1
(16)
在条件
x'(t) f [t , x(t), u(t) ]
（17）
下的极值问题。
利用拉格朗日乘子法同样可将条件极值问题 化为无条件极值问题，引入新的泛函。
v *[x(t), u(t)] t2 {F (t, x,u) (t)[ f (t , x ,u) x']}dt t1 (18)
当 Fy' y' 0 时，欧拉方程为一个二阶微分方程，积
分后有两个任意常数，可由两个边界条件来确定。
但并不是任何情形下欧拉方程都可求出有 限解来，常见可以求解的特殊情形如下：
情形 A 若函数 F 中不含 x 和 y ，则欧拉
方程变为
Fy' y' y'' 0
而 若 Fy'y' 0 ， 则 有 y'' 0 ， 于 是
max
x[ a , b ]
y1(x)
y(x)
}
从而有：如果对任意一个 y1(x) U ( y, ) 总有
J[ y1(x)] J[ y(x)] （或≤）
则称泛函 J[ y(x)] 在 y(x) 的 邻域内取得极小（大）值。
泛函极值的必要条件—欧拉方程
对于泛函 J[ y(x)] x1 F (x, y, y')dx（ y(x) D ）， x0
2 最速降线问题
问题与背景
设 A 、 B 为一铅直平面内不在一铅直线上的两定点，要寻找 一条连接 A 、 B 的曲线，使仅受重力作用、初速度为零的质点沿 曲线由 A 滑行至 B 点所用的时间最短。
也许有人会认为最速降线应是连接 A 和 B 的直线段，其实不
然。牛顿作过这样的实验：在铅垂平面内，取同样的两个球，其中
这个条件所确定。
评注
• 历史上，伯努利解决最速降线问题是从一个似 乎不相干的光学问题开始的，借助于史奈尔折射定 律、能量守恒原理及几何关系（即光学、力学和微 积分等知识）得到了前面的（24）式。我们也称 （24）式为最速降线的数学模型：微分方程模型。 比较两个模型的的建模过程，我们可以看到， 伯努利对最速降线问题的解法非常奇妙，表现出了 惊人的想象能力，可以说是一项水平极高的的艺术 工作，而变分法则提供了一种处理这类问题的通用 分析方法。
Z z(x, y) 的函数。
求泛函的极值问题叫做变分问题。变分法就 是研究变分问题的学科，其自十七世纪以来逐渐发 展起来，欧拉是这门学科的创始人。变分方法在现 代数值分析中起着重要的作用，并且随着现代控制 论的产生与发展，作为其基本理论的变分法，日益 显示出它的重要作用，它已成为现代科学技术领域 中必不可少的应用数学分支。
从而
y c sin 2 t , dy 2c sin t cos t dt ， 故
dx tan t dy 2c sin 2 t dt c(1 cos 2t)dt
积分得
x
c 2
(2t
sin 2t)
c1 ，代入初始条件
t 0
时， x y 0 ，于是 c1 0 ，则有
x
c 2
(2t
sin 2t)
L[ y(x)] x1 1 y '2 dx x0
即 L 是曲线 y y(x) 的函数。
（2）曲面 : Z z(x, y) 的面积 S 也是一个泛函。
S[Z (x, y)]
1
(
z x
)
2
(
z y
)
2
dxdy
D
其 中 D 为 在 xoy 面 上 的 投 影 区 域 。 即 S 是 曲 面
简言之，泛函是以函数集为定义域的实值函数。 最简泛函的形式之一为
J[ y(x)] x1 F (x, y, y')dx ， y(x) D x0
其中 D {y(x) | y(x) C'[x0, x1], y(x0 ) y0 , y(x1) y1}
2． 最简泛函的变分
设 y(x) 、 Y (x) D ，则称 y Y (x) y(x) 为函数 y(x) 的变分。即函数的变分 y 反映的是整个函数的改变。