圆周运动与动能定理结合

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圆弧动能定理

圆弧动能定理圆弧动能定理是物理学中一个非常重要且广泛应用的定理，它解释了物体在圆弧运动中所具备的动能与力学变量之间的关系。

圆弧动能定理不仅在理论物理学中有着重要意义，同时在实际工程领域中也有着广泛的应用。

本文将从理论和实践两个方面探讨圆弧动能定理的基本原理及其在不同领域中的具体应用。

首先，我们来回顾一下圆弧动能定理的基本原理。

根据圆弧动能定理，一个物体在做圆弧运动时，其动能的变化量等于所受合力对物体做功的大小。

具体而言，设一个物体质量为m，在一个半径为R的圆弧路径上做匀速圆周运动，其速度为v，根据动能定理可得：\Delta K =\frac{1}{2}mv^2 - \frac{1}{2}mu^2 = Fd\cos\theta其中，ΔK表示动能的变化量，m为物体质量，v为物体最终的速度，u为物体初始的速度，F为合力的大小，d为合力的位移量，θ为合力与位移方向的夹角。

该公式表明了，动能的变化量取决于合力对物体做功的大小及合力的方向。

在实际应用中，圆弧动能定理被广泛应用于各种工程领域。

其中，机械工程是一个常见的应用领域。

例如，在机械设计中，我们经常需要对机械系统进行动力学分析，计算各个零部件的动能变化量以及相应的工作量。

圆弧动能定理为我们提供了一个简洁而有效的计算方法，可以帮助工程师更好地设计和优化机械系统。

另外，圆弧动能定理也在物理实验中得到了广泛的应用。

通过实验测量物体在圆弧路径上的速度和质量等参数，可以验证圆弧动能定理的有效性，并进一步研究物体在圆弧运动中的动力学特性。

这为我们深入理解圆弧动能定理提供了实验基础，同时也促进了物理学理论的发展。

除此之外，圆弧动能定理还在航天领域等其他领域有着重要的应用价值。

例如，在卫星轨道设计中，需要考虑卫星在地球表面做圆弧运动的动能变化情况，以确保卫星能够正常工作并完成既定任务。

圆弧动能定理为航天工程师提供了重要的参考依据，帮助他们设计出更加合理和可靠的轨道方案。

动能定理与圆周运动

动能定理与圆周运动一、动能的表达式1.定义：物体由于运动而具有的能量。

2.表达式：E=mv*v/23.单位：与功的单位相同，国际单位为焦耳。

1J=lkgm/s*s4.物理量特点(1)具有瞬时性，是状态量。

(2)具有相对性，选取不同的参考系，同一物体的动能一般不同，通常是指物体相对于地面的动能。

(3)是标量，没有方向，≥0。

5.对动能的理解(1)动能是标量，没有负值，与物体的速度方向无关。

(2)动能是状态量，具有瞬时性，与物体的运动状态（或某一时刻的速度）相对应。

(3)动能具有相对性，选取不同的参考系，物体的速度不同，动能也不同，一般以地面为参考系。

6.动能变化量物体动能的变化量是末动能与初动能之差。

二、动能定理1.动能定理的内容：力在一个过程中对物体做的功，等于物体在这个过程中动能的变化。

2.动能定理的表达式（1）W=Ek1-Ek2说明：式中W为合外力做的功，它等于各力做功的代数和。

（物理意义：动能定理指出了合外力对物体所做的总功与物体动能变化之间的关系即若合外力做正功，物体的动能增加，若合外力做负功，物体的动能减小，做了多少功，动能就变化多少。

）（2）实质：动能定理从能量变化的角度反映了力改变运动的状态时，在空间上的累积效果。

3.动能定理的适用范围：不仅适用于恒力做功和直线运动，也适用于变力做功和曲线运动情况。

三、圆周运动1.圆周运动圆周运动是曲线运动的一种，也是我们高中阶段的一种重要的运动，圆周运动就是轨迹为圆的一种运动，那么这就意味着对于一个圆周运动来说，它的速度是不断地变化的，不管它的大小有没有发生改变，只要是方向发生改变，它的速度就发生了改变，因为速度是一个矢量。

这个点以后再说，圆周运动分为两种匀速圆周运动，和变速圆周运动，其中匀速圆周运动的意思是圆周运动的速率没有发生改变，并不是速度没有发生改变，所以匀速圆周运动的全称是匀速率圆周运动。

2.向心力在匀速圆周运动的实践和探索中，人们发现了一点，就是做匀速圆周运动的物体会受到一个始终和速度方向垂直的力。

动能定理和竖直面内的圆周运动

动能定理与竖直面内的圆周运动在高中物理中，竖直面内的圆周运动问题较为常见。

相关内容是学生普遍感觉比较难以理解、难以处理的。

竖直面内的圆周运动（不含带电粒子在匀强磁场中的运动问题）运动过程看似复杂，运动速度大小和方向随时随刻在发生变化，但是在高中物理中通常只研究两个特殊位置——最高点和最低点．．．．．．．。

对于最高点的考查，我们暂且把竖直面内的圆周运动归纳为两类模型——有支撑模型和无支撑模型。

有支撑（球与轻杆连接、球在圆形管道内运动等）无支撑（球与轻绳连接、球在圆形轨道内运动等）模型图过最高点的临界条件恰好能通过最高点时，小球只受重力作用，即重力充当向心力：Rvm mg 20=解得：所以临界条件为：gR v ≥注：、“安全通过最高点”等。

【例1】如图是某游乐园过山车轨道的一部分，其中圆形轨道的半径为R ，其中B 点为圆形轨道的最高点，那么其通过B 点的速度不得少于多少？（已知重力加速度为g ）【解】假设过山车恰好能通过B 点，且过山车的质量为m.那么：解得：而对于最低点．．．的考查，一般将弹力与速度结合考查，分为两种情况：情况一：已知弹力求速度。

情况二：已知速度求弹力。

【例2】如图所示，半径为R 的半圆形轨道竖直放置，左右两端高度相同，质量为m 的小球从端点A 由静止开始运动，通过最低点B 时对轨道压力为2mg ，求小球经过B 点时速度的大小。

【解】对于最低点受力分析结合牛顿第二定律得：代入数据解得：那么，我们有没有办法知道竖直面内最高点或最低点中其中一个点的运动或受力情况，求另外一个点运动或受B A轻杆轻绳C≥v gRv =0Rvm mg 2=gRv =0R v m mg F B N 2-=gRv B =力情况呢？下面我们就来看这样的一个例子：【例3】如图所示，半径为R 的光滑圆形过得竖直放置，小球m 在圆形轨道内侧做圆周运动，对于圆形轨道，小球通过最高点是恰好对轨道没有相互作用力，不考虑空气阻力的影响，则小球通过最低点时对轨道的作用力是多少？【分析】本题中小球从最高点运动到最低点的过程中，由于忽略空气阻力的影响，则小球除最高点外受到了竖直向下的重力、轨道对它的随时与轨道切向方向垂直支持力的作用，所以小球从最高点到最低的过程中，只有重力做功，因此我们就知道该过程中的总功就等于重力所做的功，所以本题可以通过动能定理求出到达最低点的速度，然后再根据圆周运动与牛顿运动定律求出作用力。

圆周运动等效重力场问题

B圆周运动等效重力场问题（找等效最高点、最低点问题）绳拉物体在竖直平面内做圆周运动规律最高点最低点（平衡位置）速度最大、拉力最大临界最高点：重力提供向心力，速度最小等效重力场：重力场、电场等叠加而成的复合场；等效重力：重力、电场力的合力处理思路：①受力分析，计算等效重力（重力与电场力的合力）的大小和方向②在复合场中找出等效最低点、最高点。

最高、低点：T与等效重力共线③根据圆周运动供需平衡结合动能定理列方程处理例1：光滑绝缘的圆形轨道竖直放置，半径为R，在其最低点A处放一质量为m的带电小球，整个空间存在匀强电场，使小球受到电场力的大小为，方向水平向右，现给小球一个水平向右的初速度，使小球沿轨道向上运动，若小球刚好能做完整的圆周运动，求及运动过程中的最大拉力变式1：如图所示，ABCD为表示竖立放在场强为E=104V/m的水平匀强电场中的绝缘光滑轨道，其中轨道的BCD部分是半径为R的半圆环，轨道的水平部分与半圆环相切A为水平轨道的一点，而且把一质量m=100g、带电q=10－4C的小球，放在水平轨道的A点上面由静止开始被释放后，在轨道的内侧运动。

（g=10m/s2）求：（1）它到达C点时的速度是多大？（2）它到达C点时对轨道压力是多大？（3）小球所能获得的最大动能是多少？VCY例2：在水平方向的匀强电场中，用长为L的轻质绝缘细线悬挂一质量为m的带电小球，小球静止在A处，悬线与竖直方向成300角，现将小球拉至B点，使悬线水平，并由静止释放，求小球运动到最低点D时的速度大小变式2：质量为的m小球连在穿过光滑水平面上的小孔的绳子末端,使小球在平面内绕O点做半径为a圆周运动,线速度为v（1）求此时绳子上的拉力（2）若将绳子瞬间放松后又拉直，将做半径为b的圆周运动，求放松时间（3）小球做半径为b的圆周运动时绳子的拉力+练习1：如图所示，在沿水平方向的匀强电场中有一固定点 O，用一根长度的绝缘细绳把质量为、带有正电荷的金属小球悬挂在O点，小球静止在B点时细绳与竖直方向的夹角为。

圆周运动动能定理公式

圆周运动动能定理公式1. 认识圆周运动说到圆周运动，大家可能会想起过山车、摩天轮，甚至是那些在广场上转圈的小朋友。

想象一下，坐在过山车上，心跳加速，四周风驰电掣，真是刺激得让人尖叫啊！圆周运动其实就是物体沿着一个圆形轨道移动的状态。

这种运动可不仅仅是“转一圈”那么简单哦，里面的物理学问可多得很。

1.1 圆周运动的基本概念首先，圆周运动有两个主要的特点：一是运动的轨迹是个圆，二是物体在这个过程中会一直改变方向，虽然它的速度大小可能保持不变。

就像小朋友在转圈圈，速度看似不变，但方向却在不停变化，结果就让人晕头转向。

我们通常用“角速度”和“线速度”来描述圆周运动的情况。

角速度告诉我们转得多快，而线速度则是说物体在圆周上跑得多快。

简单来说，角速度跟圆心的关系密切，线速度则和圆周的长度有关系。

1.2 动能的概念接着来说说动能。

动能就是物体由于运动而拥有的能量，听上去很高大上，其实它的道理简单得很。

想象一下，像一辆开得飞快的车，车速越快，动能就越大，真是飞得像风一样，甚至让你在座位上坐得不稳。

不过，动能的公式就简单得多，大家应该都知道，动能等于( frac{1{2mv^2 )，其中的m 是物体的质量，v 是物体的速度。

质量越大，速度越快，动能就越高，仿佛开车上了高速，风景一晃而过。

2. 圆周运动中的动能好了，咱们接下来要把这两者结合起来，看看在圆周运动中，动能又是怎么一回事儿。

其实，圆周运动中的动能并不是一成不变的。

假设你在过山车上，虽然车子的速度很快，但当它向下冲时，动能会大大增加；而在向上爬时，速度减慢，动能也会随之下降。

就像人生，有高有低，有涨有落，这才是生活的真谛。

2.1 动能的变化在圆周运动中，动能的变化还受到向心力的影响。

想象一下，你在转圈圈的时候，身体被“向心力”牢牢拉住，真是让人感到心惊胆战。

向心力就像个无形的手，时刻提醒你别跑偏了。

只要速度不变，动能就不会变化。

但是，如果速度加快，动能就会随着你的加速而增加。

2.24 动能定理的应用

mgh-w=1/2mv2 得h=v2/2g+w/mg
动能定理的应用五其它问题
❖ ◆运用动能定理求圆周运动问题
例：如图所示，长为L的细绳拴一个小球在竖直平面内做圆周运动，请问：
❖ （1）小球在最低点A初速为多大时，恰好能完成一次圆周的运动。
❖ （2）最高点和最低点绳子拉力之差为多大？
B
6m
O
解题关键：同时列g出动能定理
4、动能定理的研究对象一般是一个物体，也可以是几个物体组成的系统；
5、动能定理的计算式是标量式，遵循代数运算，v为相对地面的速度；
6、对状态与过程关系的理解： a.功是过程量，动能是状态量。 b.动能定理表示了过程量等于状态量的改变量的关系。
（涉及一个过程两个状态） c.动能定理反应做功的过程是能量转化的过程。等式的左
皮球，测得橡皮球落地前瞬间速度变力做功
抛球时由动能定理：
v＝12 m/s
为12
m/s，求该同学抛球时所做的
W＝mv02 ＝0.5´ 82 J＝16 J
2
2
解得Wf＝-5 J
功和橡皮球在空中运动时克服空气
抛出后由动能定理：
mgh＋Wf＝
1 2
mv2－
1 2
mv02
即橡皮球克服空气阻力做功为5 J
阻力做的功．(g取10 m/s2)
例1.用拉力F使一个质量为m的木箱由静止开始在水平冰道上移动了s，拉力F跟木箱前进的方向的夹角为α，木箱与冰道间的摩擦因数为μ，求木箱获得的速度？
Fcos αs-fs= 1 mv2 -0
2 f= μ（mg-Fsin α ）
[F cos (mg F sin )]s 1 mv2 0
2

动能定理和竖直平面内的圆周运动

动能定理和竖直平面内的圆周运动常见模型典例精析【例1】如图所示，小球用不可伸长的长为L 的轻绳悬于O 点，小球在最低点的速度必需为多大时，才能在竖直平面内做完整个圆周运动?答案：gL v 5【练习1】如图所示，质量为m 的小球用不可伸长的细线悬于O 点，细线长为L ，在O 点正下方P 处有一钉子，将小球拉至与悬点等高的位置无初速释放，小球刚好绕P 处的钉子作圆周运动。

那么钉子到悬点的距离OP 等于多少？答案：【例2】如图所示，位于竖直平面内的光滑轨道，由一段斜的直轨道与之相切的圆形轨道连接而成，圆形轨道的半径为R 。

一质量为m 的小物块从斜轨道上某处由静止开始下滑，然后沿圆形轨道运动。

要求物块能通过圆形轨道最高点，且在该最高点与轨道间的压力不能超过5mg （g 为重力加速度）。

求物块初始位置相对于圆形轨道底部的高度h 的取值范围。

答案：C【例3】如图所示，LMPQ 是光滑轨道，LM 水平，长为5.0 m ，MPQ 是一半径为R ＝1.6 m 的半圆，QOM 在同一竖直面上，在恒力F 作用下，质量m ＝1 kg 的物体A 从L 点由静止开始运动，当达到M 时立即停止用力．欲使A 刚好能通过Q 点，则力F 大小为多少？(取g ＝10 m/s 2)答案：【练习2】如果在上题中，物体不是恰好过Q 点，而是在Q 点平抛，落地点D 点距M 点的水平位移为4R ，求水平力。

解析：【例4】如图所示光滑管形圆轨道半径为R (管径远小于R )，小球a 、b 大小相同，质量均为m ，其直径略小于管径，能在管中无摩擦运动．两球先后以相同速度v 通过轨道最低点，且当小球a 在最低点时，小球b 在最高点，以下说法正确的是( )A ．当小球b 在最高点对轨道无压力时，小球a 比小球b 所需向心力大5mgB ．当v ＝5gR 时，小球b 在轨道最高点对轨道无压力C ．速度v 至少为5gR ，才能使两球在管内做圆周运动D ．只要v ≥5gR ，小球a 对轨道最低点的压力比小球b 对轨道最高点的压力都大6mg解析：小球在最高点恰好对轨道没有压力时，小球b 所受重力充当向心力，mg ＝m v 20R ⇒v 0＝gR ，小球从最高点运动到最低点过程中，只有重力做功，小球的机械能守恒，2mgR ＋12mv 20＝12mv 2，解以上两式可得：v ＝5gR ，B 项正确；小球在最低点时，F 向＝m v 2R ＝5mg ，在最高点和最低点所需向心力的差为4mg ，A 项错；小球在最高点，内管对小球的支持力与重力的合力可以提供向心力，所以小球通过最高点的最小速度为零，再由机械能守恒定律可知，2mgR ＝12mv 2，解得v ＝2gR ，C 项错；当v ≥5gR 时，小球在最低点所受轨道压力F 1＝mg ＋mv 2R ，由最低点运动到最高点，2mgR＋12mv 21＝12mv 2，小球所受轨道压力F 2＝mv 21R －mg ，F 2＝mv 2R －5mg ，F 1－F 2＝6mg ，再根据牛顿第三定律，可见小球a 对轨道最低点压力比小球b 对轨道最高点压力都大6mg ，D 项正确．答案：BD【练习3】小球m 在竖直放置的光滑圆形管道内做圆周运动，下列说法正确的是（）A ．小球通过最低点的的最小速度为gRB ．小球通过最高点的最小速度为零C ．小球在水平线ab 以下的管道中运动时外侧管壁对小球一定无作用力D ．小球在水平线ab 以下的管道中运动时外侧管壁对小球一定有作用力答案：BD【例5】如图所示，半径为R 、内径很小的光滑半圆管置于竖直平面内，两个质量均为m 的小球A 、B ，以不同的速度进入管内，A 通过最高点C 时，对管壁上部的压力为3mg ，B 通过最高点C 时，对管壁的下部压力为0.75mg ，求A 、B 两球落地点间的距离．解析：设A 、B 两球到达最高点时速度分别为v A 、v B ，根据牛顿第二定律，22: 3 :21: 0.75 :2A AB B v A mg mg m v gR R v B mg mg m v gR R +==-==对球解得对球解得A 、B 两球离开C 后做平抛运动，落地点间距设为△x ，根据平抛运动规律有： 2() 3122A B x v v t x R R gt ∆=-⨯⎫⎪∆=⎬=⎪⎭解得课外作业1、如图所示，质量为m 的小球自半径为R 的光滑半圆形轨道最高点A 处由静止滑下，当滑至最低点B 时轨道对小球的支持力是多大？解析：小球下滑过程中轨道对小球的弹力不做功，只有重力对小球做功，所以小球的机械能守恒．212mgR mv =由机械能守恒定律得: 2, 3v B F mg m F mg R-==在点,根据牛顿第二定律有:由可解得 2、如图所示，长为l 的细绳一端固定在O 点，另一端拴质量为m 的小球，在O 点正下方距离O 点d 处有一钉子．将细绳拉成水平无初速释放小球，为使细绳碰到钉子后小球能在竖直平面内做完整的圆周运动，d 应满足什么条件？解析：为使小球能绕钉子做完整的圆周运动，小球必须能通过圆周的最高点，设小球运B A RC 61215--图动的轨道半径为R ，则小球在最高点的速度应满足：v gR ≥．21 22mgl mgR mv =+根据机械能定律有: 由此可解得：R ≤ 0.4l ．所以，d 满足的条件是：0.6l ≤ d < l ．3、如图所示，细线长为l ，一端固定在O 点，另一端系一小球，把线拉至水平位置，然后无初速释放小球，在达到最低点时小球加速度为a ，线的拉力为F ，则它们之间的关系为（）A ． l 越长，a 越大，F 也越大B ． l 越长，a 越大，F 不变C ． l 越长，F 越大，a 不变D ． a 、F 均不随l 的变化而变化解析：根据机械能守恒定律和牛顿第二定律可求得：F = 3mg ，a = 2g ，故选项D 正确．4、如图所示，质量为m 的小球用细绳拴住，在竖直平面内做圆周运动，已知小球运动到最高点时对绳的拉力为mg ，则小球运动到最低点时对绳的拉力为（）A ．3mgB ．5mgC ．7mgD ．9mg解析：在最高点：21v mg mg m R +=，在最低点：22v F mg m R-= 由机械能守恒定律：222111222mgR mv mv =-；由此可得正确选项为C ．5、如图所示，竖直平面内的3/4圆弧形光滑轨道半径为R ，A 端与圆心O 等高，AD 为水平面，B 点在O 的正上方，一个小球在A 点正上方由静止释放，自由下落至A 点进入圆轨道并恰能到达B 点。

高中物理必修二第四章专题强化13 动能定理的应用(二)

道BD平滑连接，A与圆心O的连线与竖直方向成37°角.MN是一段粗糙的水平轨道，滑冰运动员与MN间的动摩擦因数μ＝0.08，水平轨道其他部分光滑.最右侧是一个半径为r＝2 m的半圆弧光滑轨道，C点是半圆弧光滑轨道的最高点，半圆弧光滑轨道与水平轨道BD在D点平滑连接.取重力加速度g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8.整个运动过程中将运动员简化为一个质点.
答案 0.15 m
设木块沿弧形槽上升的最大高度为h，木块在最高点时的速度为零. 从木块开始运动到沿弧形槽上升到最大高度处，由动能定理得： FL－fL－mgh＝0 其中f＝μFN＝μmg＝0.2×0.5×10 N＝1.0 N
FL－fL 1.5－1.0×1.5 所以 h＝ mg ＝ 0.5×10 m＝0.15 m
√A.小球通过圆轨道最高点时的速度大小为 2gR
B.小球在轨道最低点的动能为2D.小球在轨道最低点对轨道压力的大小为6mg
123456789
小球经过圆轨道最高点时，由牛顿第三定律知轨道对小球的支持力为 mg，根据牛顿第二定律有 mg＋mg＝mvR2，解得 v＝ 2gR，故 A 正确；小球自弧形轨道下滑至圆轨道最高点的过程，根据动能定理有 mg(h －2R)＝12mv2，解得 h＝3R，故 C 正确.
答案 3 m/s
在A点，由平抛运动规律得： vA＝cosv053°＝53v0 小球由桌面到A点的过程中，由动能定理得 mg(R＋Rcos θ)＝12mvA2－12mv02 联立解得：v0＝3 m/s；
(2)若小球恰好能通过最高点C，求在圆弧轨道上摩擦力对小球做的功. 答案－4 J
若小球恰好能通过最高点 C，在最高点 C 处有 mg＝mRvC2，小球从桌面运动到 C 点的过程中，由动能定理得 Wf＝12mvC2－12mv02 代入数据解得Wf＝－4 J.

2020高中物理必修二同步第七章习题课2 动能定理的应用

习题课2 动能定理的应用[学习目标] 1.进一步理解动能定理，领会应用动能定理解题的优越性.2.会利用动能定理分析变力做功、曲线运动以及多过程问题.一、利用动能定理求变力的功1.动能定理不仅适用于求恒力做功，也适用于求变力做功，同时因为不涉及变力作用的过程分析，应用非常方便.2.利用动能定理求变力的功是最常用的方法，当物体受到一个变力和几个恒力作用时，可以用动能定理间接求变力做的功，即W 变＋W 其他＝ΔE k .例1 如图1所示，质量为m 的小球自由下落d 后，沿竖直面内的固定轨道ABC 运动，AB 是半径为d 的14光滑圆弧，BC 是直径为d 的粗糙半圆弧(B 是轨道的最低点).小球恰能通过圆弧轨道的最高点C .重力加速度为g ，求：图1(1)小球运动到B 处时对轨道的压力大小. (2)小球在BC 运动过程中，摩擦力对小球做的功. 答案 (1)5mg (2)－34mgd解析 (1)小球下落到B 点的过程由动能定理得2mgd ＝12m v 2，在B 点：F N －mg ＝m v 2d ，得：F N ＝5mg ，根据牛顿第三定律：F N ′＝ F N ＝5mg .(2)在C 点，mg ＝m v C2d 2.小球从B 运动到C 的过程：12m v C 2－12m v 2＝－mgd ＋W f ，得W f ＝－34mgd . 针对训练如图2所示，某人利用跨过定滑轮的轻绳拉质量为10 kg 的物体.定滑轮的位置比A 点高3 m.若此人缓慢地将绳从A 点拉到B 点，且A 、B 两点处绳与水平方向的夹角分别为37°和30°，则此人拉绳的力做了多少功？(g 取10 m/s 2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，不计滑轮的摩擦)图2答案 100 J解析取物体为研究对象，设绳的拉力对物体做的功为W .根据题意有h ＝3 m. 物体升高的高度Δh ＝h sin 30°－h sin 37°.①对全过程应用动能定理W －mg Δh ＝0.② 由①②两式联立并代入数据解得W ＝100 J. 则人拉绳的力所做的功W 人＝W ＝100 J. 二、利用动能定理分析多过程问题一个物体的运动如果包含多个运动阶段，可以选择分段或全程应用动能定理.(1)分段应用动能定理时，将复杂的过程分割成一个个子过程，对每个子过程的做功情况和初、末动能进行分析，然后针对每个子过程应用动能定理列式，然后联立求解.(2)全程应用动能定理时，分析整个过程中出现过的各力的做功情况，分析每个力做的功，确定整个过程中合外力做的总功，然后确定整个过程的初、末动能，针对整个过程利用动能定理列式求解.当题目不涉及中间量时，选择全程应用动能定理更简单，更方便.注意：当物体运动过程中涉及多个力做功时，各力对应的位移可能不相同，计算各力做功时，应注意各力对应的位移.计算总功时，应计算整个过程中出现过的各力做功的代数和. 例2 如图3所示，右端连有一个光滑弧形槽的水平桌面AB 长L ＝1.5 m ，一个质量为m ＝0.5 kg 的木块在F ＝1.5 N 的水平拉力作用下，从桌面上的A 端由静止开始向右运动，木块到达B 端时撤去拉力F ，木块与水平桌面间的动摩擦因数μ＝0.2，取g ＝10 m/s 2.求：图3(1)木块沿弧形槽上升的最大高度(木块未离开弧形槽)； (2)木块沿弧形槽滑回B 端后，在水平桌面上滑动的最大距离.答案 (1)0.15 m (2)0.75 m解析 (1)设木块沿弧形槽上升的最大高度为h ，木块在最高点时的速度为零.从木块开始运动到沿弧形槽上升的最大高度处，由动能定理得： FL －F f L －mgh ＝0其中F f ＝μF N ＝μmg ＝0.2×0.5×10 N ＝1.0 N 所以h ＝FL －F f Lmg＝(1.5－1.0)×1.50.5×10m ＝0.15 m(2)设木块离开B 点后沿桌面滑动的最大距离为x .由动能定理得： mgh －F f x ＝0所以：x ＝mgh F f ＝0.5×10×0.151.0 m ＝0.75 m三、动能定理在平抛、圆周运动中的应用动能定理常与平抛运动、圆周运动相结合，解决这类问题要特别注意：(1)与平抛运动相结合时，要注意应用运动的合成与分解的方法，如分解位移或分解速度求平抛运动的有关物理量.(2)与竖直平面内的圆周运动相结合时，应特别注意隐藏的临界条件：①有支撑效果的竖直平面内的圆周运动，物体能通过最高点的临界条件为v min ＝0. ②没有支撑效果的竖直平面内的圆周运动，物体能通过最高点的临界条件为v min ＝gR . 例3 如图4所示，一可以看成质点的质量m ＝2 kg 的小球以初速度v 0沿光滑的水平桌面飞出后，恰好从A 点沿切线方向进入圆弧轨道，其中B 为轨道的最低点，C 为最高点且与水平桌面等高，圆弧AB 对应的圆心角θ＝53°，轨道半径R ＝0.5 m.已知sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6，不计空气阻力，g 取10 m/s 2.图4(1)求小球的初速度v 0的大小；(2)若小球恰好能通过最高点C ，求在圆弧轨道上摩擦力对小球做的功. 答案 (1)3 m/s (2)－4 J解析 (1)在A 点由平抛运动规律得： v A ＝v 0cos 53°＝53v 0.①小球由桌面到A 点的过程中，由动能定理得 mg (R ＋R cos θ)＝12m v A 2－12m v 0 2②由①②得：v 0＝3 m/s.(2)在最高点C 处有mg ＝m v C2R ，小球从桌面到C 点，由动能定理得W f ＝12m v C 2－12m v 02，代入数据解得W f ＝－4 J.1.(用动能定理求变力的功) 如图5所示，质量为m 的物体与水平转台间的动摩擦因数为μ，物体与转轴相距R ，物体随转台由静止开始转动.当转速增至某一值时，物体即将在转台上滑动，此时转台开始匀速转动.设物体的最大静摩擦力近似等于滑动摩擦力，则在整个过程中摩擦力对物体做的功是( )图5A.0B.2μmgRC.2πμmgRD.μmgR2答案 D解析物体即将在转台上滑动但还未滑动时，转台对物体的最大静摩擦力恰好提供向心力，设此时物体做圆周运动的线速度为v ，则有μmg ＝m v 2R.①在物体由静止到获得速度v 的过程中，物体受到的重力和支持力不做功，只有摩擦力对物体做功，由动能定理得：W ＝12m v 2－0.②联立①②解得W ＝12μmgR .2.(利用动能定理分析多过程问题)滑板运动是极限运动的鼻祖，许多极限运动项目均由滑板项目延伸而来.如图6是滑板运动的轨道，BC 和DE 是两段光滑圆弧形轨道，BC 段的圆心为O点，圆心角为60°，半径OC 与水平轨道CD 垂直，水平轨道CD 段粗糙且长8 m.某运动员从轨道上的A 点以3 m /s 的速度水平滑出，在B 点刚好沿轨道的切线方向滑入圆弧形轨道BC ，经CD 轨道后冲上DE 轨道，到达E 点时速度减为零，然后返回.已知运动员和滑板的总质量为60 kg ，B 、E 两点到水平轨道CD 的竖直高度分别为h 和H ，且h ＝2 m ，H ＝2.8 m ，g 取10 m/s 2.求：图6(1)运动员从A 点运动到达B 点时的速度大小v B ； (2)轨道CD 段的动摩擦因数μ；(3)通过计算说明，第一次返回时，运动员能否回到B 点？如能，请求出回到B 点时速度的大小；如不能，则最后停在何处？答案 (1)6 m/s (2)0.125 (3)不能回到B 处，最后停在D 点左侧6.4 m 处(或C 点右侧1.6 m 处) 解析 (1)由题意可知：v B ＝v 0cos 60°解得：v B ＝6 m/s.(2)从B 点到E 点，由动能定理可得： mgh －μmgx CD －mgH ＝0－12m v B 2代入数据可得：μ＝0.125.(3)设运动员能到达左侧的最大高度为h ′，从B 到第一次返回左侧最高处，根据动能定理得： mgh －mgh ′－μmg ·2x CD ＝0－12m v B 2解得h ′＝1.8 m<h ＝2 m所以第一次返回时，运动员不能回到B 点设运动员从B 点运动到停止，在CD 段的总路程为s ，由动能定理可得： mgh －μmgs ＝0－12m v B 2④解得：s ＝30.4 m因为s ＝3x CD ＋6.4 m ，所以运动员最后停在D 点左侧6.4 m 处或C 点右侧1.6 m 处. 3.(动能定理在平抛、圆周运动中的应用) 如图7所示，一个质量为m ＝0.6 kg 的小球以初速度v 0＝2 m /s 从P 点水平抛出，从粗糙圆弧ABC 的A 点沿切线方向进入(不计空气阻力，进入圆弧时无动能损失)且恰好沿圆弧通过最高点C ，已知圆弧的圆心为O ，半径R ＝0.3 m ，θ＝60°，g ＝10 m/s 2.求：图7(1)小球到达A 点的速度v A 的大小； (2)P 点到A 点的竖直高度H ；(3)小球从圆弧A 点运动到最高点C 的过程中克服摩擦力所做的功W . 答案 (1)4 m/s (2)0.6 m (3)1.2 J解析 (1)在A 点由速度的合成得v A ＝v 0cos θ，代入数据解得v A ＝4 m/s(2)从P 点到A 点小球做平抛运动，竖直分速度v y ＝v 0tan θ① 由运动学规律有v y 2＝2gH ② 联立①②解得H ＝0.6 m (3)恰好过C 点满足mg ＝m v C 2R由A 点到C 点由动能定理得－mgR (1＋cos θ)－W ＝12m v C 2－12m v A 2代入数据解得W ＝1.2 J.课时作业一、选择题(1～7为单项选择题，8～9为多项选择题)1.在离地面高为h 处竖直上抛一质量为m 的物块，抛出时的速度为v 0，当它落到地面时速度为v ，用g 表示重力加速度，则在此过程中物块克服空气阻力所做的功等于( ) A.mgh －12m v 2－12m v 0 2B.12m v 2－12m v 0 2－mghC.mgh ＋12m v 0 2－12m v 2D.mgh ＋12m v 2－12m v 0 2答案 C解析选取物块从刚抛出到正好落地时的过程，由动能定理可得： mgh －W f 克＝12m v 2－12m v 0 2解得：W f 克＝mgh ＋12m v 0 2－12m v 2.2.如图1所示，AB 为14圆弧轨道，BC 为水平直轨道，圆弧的半径为R ，BC 的长度也是R ，一质量为m 的物体，与两个轨道间的动摩擦因数都为μ，当它由轨道顶端A 从静止开始下落，恰好运动到C 处停止，那么物体在AB 段克服摩擦力所做的功为( )图1A.12μmgR B.12mgR C.－mgR D.(1－μ)mgR答案 D解析设物体在AB 段克服摩擦力所做的功为W AB ，物体从A 运动到C 的全过程，根据动能定理，有mgR －W AB －μmgR ＝0.所以有W AB ＝mgR －μmgR ＝(1－μ)mgR .3.一质量为m 的小球，用长为l 的轻绳悬挂于O 点，小球在水平拉力F 作用下，从平衡位置P 点很缓慢地移动到Q 点，如图2所示，则拉力F 所做的功为( )图2A.mgl cos θB.mgl (1－cos θ)D.Fl sin θ 答案 B解析小球缓慢移动，时时都处于平衡状态，由平衡条件可知，F ＝mg tan θ，随着θ的增大，F 也在增大，是一个变化的力，不能直接用功的公式求它所做的功，所以这道题要考虑用动能定理求解.由于物体缓慢移动，动能保持不变，由动能定理得：－mgl (1－cos θ)＋W ＝0，所以W ＝mgl (1－cos θ).4.质量为m 的物体以初速度v 0沿水平面向左开始运动，起始点A 与一轻弹簧最右端O 相距s ，如图3所示.已知物体与水平面间的动摩擦因数为μ，物体与弹簧相碰后，弹簧的最大压缩量为x ，则从开始碰撞到弹簧被压缩至最短，物体克服弹簧弹力所做的功为(不计空气阻力)( )图3A.12m v 0 2－μmg (s ＋x )B.12m v 0 2－μmgxC.μmgsD.μmgx答案 A解析设物体克服弹簧弹力所做的功为W ，则物体向左压缩弹簧过程中，弹簧弹力对物体做功为－W ，摩擦力对物体做功为－μmg (s ＋x )，根据动能定理有－W －μmg (s ＋x )＝0－12m v 0 2，所以W ＝12m v 0 2－μmg (s ＋x ).5.质量为m 的小球被系在轻绳一端，在竖直平面内做半径为R 的圆周运动，如图4所示，运动过程中小球受到空气阻力的作用.设某一时刻小球通过轨道的最低点，此时绳子的张力为7mg ，在此后小球继续做圆周运动，经过半个圆周恰好能通过最高点，则在此过程中小球克服空气阻力所做的功是( )图4A.14mgR B.13mgR C.12mgR D.mgR解析小球通过最低点时，设绳的张力为F T ，则 F T －mg ＝m v 1 2R ，6mg ＝m v 1 2R①小球恰好过最高点，绳子拉力为零，这时mg ＝m v 2 2R ②小球从最低点运动到最高点的过程中，由动能定理得－mg ·2R －W f ＝12m v 2 2－12m v 1 2③由①②③式联立解得W f ＝12mgR ，选C.6.如图5所示，假设在某次比赛中运动员从10 m 高处的跳台跳下，设水的平均阻力约为其体重的3倍，在粗略估算中，把运动员当作质点处理，为了保证运动员的人身安全，池水深度至少为(不计空气阻力)( )图5A.5 mB.3 mC.7 mD.1 m答案 A解析设水深为h ，对运动全程运用动能定理可得： mg (H ＋h )－F f h ＝0，mg (H ＋h )＝3mgh .所以h ＝5 m.7.如图6所示，小球以初速度v 0从A 点沿粗糙的轨道运动到高为h 的B 点后自动返回，其返回途中仍经过A 点，则经过A 点的速度大小为( )图6A.v 0 2－4ghB.4gh －v 0 2C.v 0 2－2ghD.2gh －v 0 2答案 B解析从A 到B 运动过程中，重力和摩擦力都做负功，根据动能定理可得mgh ＋W f ＝12m v 0 2，从B 到A 过程中，重力做正功，摩擦力做负功(因为是沿原路返回，所以两种情况摩擦力做功大小相等)，根据动能定理可得mgh －W f ＝12m v 2，两式联立得再次经过A 点的速度为4gh －v 0 2，故B 正确.8.在平直公路上，汽车由静止开始做匀加速直线运动，当速度达到v max 后，立即关闭发动机直至静止，v －t 图象如图7所示，设汽车的牵引力为F ，受到的摩擦力为F f ，全程中牵引力做功为W 1，克服摩擦力做功为W 2，则( )图7A.F ∶F f ＝1∶3B.W 1∶W 2＝1∶1C.F ∶F f ＝4∶1D.W 1∶W 2＝1∶3答案 BC解析对汽车运动的全过程，由动能定理得：W 1－W 2＝ΔE k ＝0，所以W 1＝W 2，选项B 正确，选项D 错误；由动能定理得Fx 1－F f x 2＝0，由图象知x 1∶x 2＝1∶4.所以 F ∶F f ＝4∶1，选项A 错误，选项C 正确.9.如图8所示，一个小环沿竖直放置的光滑圆环形轨道做圆周运动.小环从最高点A 滑到最低点B 的过程中，线速度大小的平方v 2随下落高度h 的变化图象可能是图中的( )图8答案 AB解析对小环由动能定理得mgh ＝12m v 2－12m v 02，则v 2＝2gh ＋v 0 2.当v 0＝0时，B 正确.当v 0≠0时，A 正确.二、非选择题10.如图9所示，光滑水平面AB 与一半圆形轨道在B 点相连，轨道位于竖直面内，其半径为R ，一个质量为m 的物块静止在水平面上，现向左推物块使其压紧弹簧，然后放手，物块在弹力作用下获得一速度，当它经B 点进入半圆形轨道瞬间，对轨道的压力为其重力的7倍，之后向上运动恰能完成半圆周运动到达C 点，重力加速度为g .求：图9(1)弹簧弹力对物块做的功；(2)物块从B 到C 克服阻力所做的功；(3)物块离开C 点后，再落回到水平面上时的动能.答案 (1)3mgR (2)12mgR (3)52mgR 解析 (1)由动能定理得W ＝12m v B 2 在B 点由牛顿第二定律得7mg －mg ＝m v B 2R解得W ＝3mgR(2)物块从B 到C 由动能定理得12m v C 2－12m v B2＝－2mgR ＋W ′ 物块在C 点时mg ＝m v C 2R解得W ′＝－12mgR ，即物块从B 到C 克服阻力做功为12mgR . (3)物块从C 点平抛到水平面的过程中，由动能定理得2mgR ＝E k －12m v C 2，解得E k ＝52mgR . 11.如图10所示，绷紧的传送带在电动机带动下，始终保持v 0＝2 m/s 的速度匀速运行，传送带与水平地面的夹角θ＝30°，现把一质量m ＝10 kg 的工件轻轻地放在传送带底端，由传送带传送至h ＝2 m 的高处.已知工件与传送带间的动摩擦因数μ＝32，g 取10 m/s 2.图10(1)通过计算分析工件在传送带上做怎样的运动？(2)工件从传送带底端运动至h ＝2 m 高处的过程中摩擦力对工件做了多少功？答案 (1)工件先以2.5 m /s 2的加速度做匀加速直线运动，运动0.8 m 与传送带达到共同速度2 m/s 后做匀速直线运动 (2)220 J解析 (1)工件刚放上传送带时受滑动摩擦力：F f ＝μmg cos θ，工件开始做匀加速直线运动，由牛顿运动定律：F f －mg sin θ＝ma 可得：a ＝F f m－g sin θ ＝g (μcos θ－sin θ)＝10×⎝⎛⎭⎫32cos 30°－sin 30° m/s 2 ＝2.5 m/s 2.设工件经过位移x 与传送带达到共同速度，由匀变速直线运动规律可得：x ＝v 0 22a ＝222×2.5 m ＝0.8 m ＜h sin θ＝4 m 故工件先以2.5 m /s 2的加速度做匀加速直线运动，运动0.8 m 与传送带达到共同速度2 m/s 后做匀速直线运动.(2)在工件从传送带底端运动至h ＝2 m 高处的过程中，设摩擦力对工件做功为W f ，由动能定理得W f －mgh ＝12m v 0 2，可得：W f ＝mgh ＋12m v 0 2＝10×10×2 J ＋12×10×22 J ＝220 J. 12.如图11所示，光滑斜面AB 的倾角θ＝53°，BC 为水平面，BC 长度l BC ＝1.1 m ，CD 为光滑的14圆弧，半径R ＝0.6 m.一个质量m ＝2 kg 的物体，从斜面上A 点由静止开始下滑，物体与水平面BC间的动摩擦因数μ＝0.2，轨道在B、C两点光滑连接.当物体到达D点时，继续竖直向上运动，最高点距离D点的高度h＝0.2 m.sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6.g取10 m/s2.求：图11(1)物体运动到C点时的速度大小v C；(2)A点距离水平面的高度H；(3)物体最终停止的位置到C点的距离s.答案(1)4 m/s(2)1.02 m(3)0.4 m解析(1)物体由C点运动到最高点，根据动能定理得：－mg(h＋R)＝0－122m v C代入数据解得：v C＝4 m/s(2)物体由A点运动到C点，根据动能定理得：12－0＝mgH－μmgl BC2m v C代入数据解得：H＝1.02 m(3)从物体开始下滑到停下，根据动能定理得：mgH－μmgs1＝0代入数据，解得s1＝5.1 m由于s1＝4l BC＋0.7 m所以，物体最终停止的位置到C点的距离为：s＝0.4 m.。

期末复习6平抛、圆周运动与动能定理结合

物理期末复习（六）平抛、圆周运动和动能定理综合高一（）班姓名____________知识点：动能定理：协力做的总功等于物体的动能变化，表达式：________________一直与速度方向垂直的力只改变速度的________，不改变速度的_________， _____________习题：1如下图，在半径为R的水平圆板中心轴上方高h 处水平抛出一球，v0圆板做匀速转动，当圆板半径OP 转到与球初速度方向平行时，球开始抛出．要使球恰巧落到圆板边沿的hP 点，球的初速度v0=，圆板的角速度ω=．RO Pω2如下图，有一长为L=1m 的细线，细线的一端固定在O 点，另一端拴一质量为m=0.1kg 的小球，小球能绕 O 点在竖直平面内转动．（ g=10m/s 2）（ 1）若小球从圆周上与O 点等高的地点 A 由静止开释，求最低点绳索拉力T1；（ 2）若小球从最低点出发，为使小球能做完好的圆周运动，起码给小球多大的初速度v0；（ 3）若小球从最低点出发，且绳索能蒙受的最大拉力为T m=10N，为使小球能做完好的圆周运动，剖析小球初速度v0的范围．O A OBv03如下图，有一长为L的轻质细杆，杆的一端用钉子钉在O点，另一端固定一个质量为m 的小球，小球能绕 O 点在竖直平面内转动．（ 1）若小球从圆周上与水平半径夹角30°的地点 A 由静止开释，求最低点杆子受力F1；（ 2）若小球从最低点出发，为使小球能做完好的圆周运动，起码给小球多大的初速度v0；（ 3）为使小球在最高点时，对杆子的作使劲向下，剖析小球初速度v0的范围．A30°OOBv04如下图，两个3/4 圆弧轨道固定在水平面上，半径为R，不计全部摩擦．将A、B 两小球分别从两轨道右边正上方静止着落，若设小球开释时距离地面的高度为h A和 h B，试求：（ 1）要使小球能够运动到最高点，则A、B 两小球离地面的高度h A和 h B有何要求；（2 ）可否使小球能够从最高点飞出后又恰巧落在轨道的右端口，若能，则离地面的高度是多少；若不可以，说明原因．A Bh A h B5质量为25 ㎏的儿童坐在秋千上，儿童离拴绳索的栋梁 2.5m ．假如秋千摆到最高点时，绳索与竖直方向的夹角是60°，当秋千板摆到最低点时（不计空气阻力，g 取 10 m/s 2），求：（1）儿童的速度；（2）秋千板对儿童的压力．6如下图，有一长为L 的细线，细线的一端固定在O 点，另一端拴一质量为m 的小球，现使小球恰巧能在竖直面内做完好的圆周运动．已知水平川面上的 C 点位于 O 点正下方，且到 O 点的距离为 1.9L．不计空气阻力．求：（ 1）小球经过最高点 A 时的速度 v A；A（ 2）小球经过最低点 B 时，细线对小球的拉力T；（ 3）若小球运动到最低点 B 时细线恰巧断裂，小球落地址到 C 点的距离．OBC7如下图，位于竖直平面内有1/4 圆弧的圆滑轨道，半径为R，OB 沿竖直方向，圆弧轨道上端 A 点距地面高度为H．当把质量为m 的钢球从 A 点静止开释，最后落在了水平川面的 C 点处．若当地的重力加快度为g，且不计空气阻力．试计算：（1）钢球运动到 B 点的瞬时遇到的支持力多大（2）钢球落地址 C 距 B 点的水平距离 s 为多少8在游玩园坐过山车是一项惊险、刺激的游戏．游玩园“翻腾过山车”的物理原理能够用如图所示的装置演示．斜槽轨道AB、EF 与半径 R=0.4m 的竖直圆轨道（圆心为O）相连， AB、EF 分别与圆O 相切于 B、E 点， C 为轨道的最低点，斜轨AB 倾角为 37°．质量为 m=0.1kg 的小球从 A 点静止开释，先后经 B、C、D、E 到 F 点落入小框．（整个装置的轨道均圆滑，取 g=10m/s 2，sin37 =°， cos37 °=），求：（ 1）小球在圆滑斜轨AB 上运动的过程中的加快度；（ 2）要使小球在运动的全过程中不离开轨道， A 点距离最低点的竖直高度 h 起码多高，及在 C 点时小球对轨道的压力9有一个固定竖直搁置的圆形轨道，半径为R，由左右两部分构成．如下图，右半部分AEB 是圆滑的，左半部分 BFA是粗拙的．此刻最低点 A 给一质量为m 的小球一个水平向右的初速度 v0，使小球沿轨道恰巧运动到最高点 B，小球在 B 点又能沿 BFA回到 A 点，抵达 A 点时对轨道的压力为 4mg．求小球由 B 经 F 回到 A 的过程中战胜摩擦力所做的功．BF R Ev0A10如下图， ABDO 是处于竖直平面内的圆滑轨道，AB 是半径为R=15m 的 1/4 圆周轨道，半径OA 处于水平川点，BDO 是直径为15m 的半圆轨道， D 为 BDO 轨道的中央．一个小球P 从点的正上方距水平半径OA 高 H 处自由落下，沿竖直平面内的轨道经过 D 点时对轨道的压力A等于其重力的14倍．取g=10m/s 2．求：3（1） H 的大小；（2）试议论此球可否抵达 BDO轨道的 O 点，并说明原因；（3）小球沿轨道运动后再次落到轨道上的速度的大小是多少。

动能定理和圆周运动平抛运动相结合

动能定理和圆周运动相结合临界例题1如图所示，小球用不可伸长的长为L的轻绳悬于O点,小球在最低点的速度必需为多大时,才能在竖直平面内做完整个圆周运动? （2）若所给的速度逐渐增大时，绳子在最高点时拉力变化？（3）最低点和最高点的拉力变化多少？拓展：若绳子改为杆的圆形轨道，小球RB进入半径为变式训练1-1如图所示，小球自斜面顶端A由静止滑下，在斜面底端试求整个过程中摩擦力对小球所做的功。

3R，A、B两点间高度差为已知刚好能通过圆形轨道的最高点C，的竖直，圆轨道半径为R一个质量为m例题2如图，光滑的水平面AB与光滑的半圆形轨道相接触，直径BC点时撤去水平外力之F的作用下由静止开始运动，当物体运动到BA物体放在处，AB=2R，物体在水平恒力后，物体恰好从圆轨道的顶点C水平抛出，求水平力点的水平位移为BD点距点平抛，落地点如果在上题中，物体不是恰好过变式训练2-1C点，而是在C 4R，求水平力。

点时撤去外力，又变式训练2-2如图上题，滑块在恒定外力作用下从水平轨道上的AB点由静止出发到滑块脱离半圆形轨道后又刚好落到原出发C，且恰好通过轨道最高点沿竖直面内的光滑半圆形轨道运动，点A段运动过程中的加速度。

，试求滑块在AB1BRAOAD点端与圆心为水平面，例题3如图所示，竖直平面内的3/4圆弧形光滑轨道半径为等高，，BOAA点进入圆轨道并恰能到达点正上方由静止释放，自由下落至在点。

求：的正上方，一个小球在A点的竖直高度；⑴释放点距AC落点点的水平距离。

与⑵BO DC ADBRO是圆管例题4如图上题图所示，四分之三周长圆管的半径=0.4m，管口在同一水平面上，和圆心EDBEBCCE段光滑；直径稍小于圆管内径、段存在摩擦，段动摩擦因数相同，和的最高点，其中半圆周CHAmB，=2.5m处的的小球从距时的速率为正上方高处自由下落，到达圆管最低点质量6m/s=0.5kg D飞出，恰能再次进入圆管，假定小球再次进入圆管时不计碰撞能量损失，并继续运动直到圆管的最高点2g取重力加速度，求=10m/s A D点时的速度小球飞离（1）DB（2）小球从点过程中克服摩擦所做的功点到C）（3小球再次进入圆管后，能否越过点？请分析说明理由H DB O ERC处，在O点正下方Pm变式训练4-1如图所示，质量为的小球用不可伸长的细线悬于O点，细线长为L那么钉子到悬处的钉子作圆周运动。

动能定理圆轨道拼接

动能定理圆轨道拼接引言动能定理是物理学中一个重要的定理，描述了物体的动能与力的关系。

在圆轨道拼接中，我们将探讨在圆形轨道上的运动，并使用动能定理来分析运动过程。

圆轨道运动圆轨道运动是指物体沿着一个固定半径的圆形路径做匀速运动。

在这种情况下，物体受到向心力的作用，保持在圆周上运动。

向心力向心力是使物体保持在圆周上运动的力。

它的大小与物体质量和速度的平方成正比，与半径成反比。

向心力可以通过以下公式计算：F c=mv2 r其中，F c表示向心力，m表示物体的质量，v表示物体沿圆周运动的速度，r表示圆周半径。

动能定理动能定理描述了物体在外力作用下发生速度变化时，其动能的变化量等于外力对物体所做功的大小。

对于一个沿着圆轨道做匀速运动的物体而言，其初速度和末速度相等，因此只需考虑外力对物体所做的功。

动能定理的数学表达式如下：ΔKE=W其中，ΔKE表示动能的变化量，W表示外力对物体所做的功。

圆轨道拼接圆轨道拼接是指将两个或多个圆形轨道连接在一起，使物体可以在这些轨道上连续运动。

在拼接处，物体会受到一个额外的力，这个力被称为拼接力。

拼接力的方向与物体在拼接处的运动方向相反，其大小与物体质量、速度以及圆周半径有关。

当物体从一个圆形轨道进入另一个圆形轨道时，它会受到一个向心力和一个拼接力的共同作用。

圆轨道拼接过程分析为了更好地理解圆轨道拼接过程中动能定理的应用，我们将分析一个具体的例子：一个小球从半径为r1的圆形轨道进入半径为r2的另一个圆形轨道。

情景设定假设小球质量为m，初始速度为v1，进入第二个轨道后速度变为v2。

我们希望计算小球在拼接过程中动能的变化量。

动能定理的应用根据动能定理，我们可以计算出小球在拼接过程中动能的变化量。

我们需要计算小球在第一个轨道上受到的向心力F c1：F c1=mv12 r1我们计算小球在第二个轨道上受到的向心力F c2：F c2=mv22 r2我们还需要考虑拼接力F p对小球所做的功。

高二物理机械能守恒综合应用试题答案及解析

高二物理机械能守恒综合应用试题答案及解析1.如图所示，物体A静止在光滑的水平面上，A的左边固定有轻质弹簧，与A质量相等的物体B 以速度v向A运动并与弹簧发生碰撞，A、B始终沿同一直线运动，则A、B组成的系统动能损失最大的时刻是（）A．开始运动时 B．A的速度等于v时C．弹簧压缩至最短时 D．B的速度最小时【答案】C【解析】A、B和弹簧看作糸统只有弹簧弹力做功，所有糸统机械能守恒。

，所以当最达时，A、B组成的糸统动能最小。

【考点】机械能守恒定律2.如图所示，质量为1 kg的铜球从5 m高处自由下落,又反弹到离地面3.2 m高处,若铜球和地面之间的作用时间为0.1 s,求铜球对地面的平均作用力?（g="10" m/s2）【答案】190N，方向竖直向下【解析】落到地面时的速度为v，根据机械能守恒定律mgh1=，可得v=10m/s反弹向上的速度为vt，根据机械能守恒定律Mgh2=，可得vt=8m/s球与地面碰撞过程，根据动量定理（N-mg）t=mvt -（-mv），可得N=190N，方向竖直向下【考点】考查了机械能守恒，动量定理的应用3.如图所示，与轻弹簧相连的物体A停放在光滑的水平面上。

物体B沿水平方向向右运动，跟与A相连的轻弹簧相碰。

在B跟弹簧相碰后，对于A、B和轻弹簧组成的系统，下列说法中正确的是（）A．弹簧压缩量最大时，A、B的速度相同B．弹簧压缩量最大时，A、B的动能之和最小C．弹簧被压缩的过程中系统的总动量不断减小D．物体A的速度最大时，弹簧的弹性势能为零【答案】ABD【解析】弹簧压缩量最大时，两者之间没有相对运动，所以AB的速度相同，此时弹簧的弹性势能最大，因为系统机械能守恒，所以此时的动能最小，AB正确；AB和弹簧组成的系统受到的外力为零，所以系统的动量守恒，故弹簧被压缩过程中系统的总动量不变，C错误；B碰撞弹簧后，A在弹簧弹力作用下做加速运动，当弹簧的弹力为零时，物体A的加速度为零，速度最大，故D正确；故选ABD【考点】考查了动量守恒定律和机械能守恒的应用点评：关键是知道AB和弹簧组成的系统即满足动量守恒又满足机械能守恒，4.如图所示，木块Q的右侧为光滑曲面，曲面下端极薄，其质量M＝2kg，原来静止在光滑的水平面上，质量m=2.0kg的小滑块P以v=2m/s的速度从右向左做匀速直线运动中与木块Q发生相互作用，小滑块P沿木块Q的曲面向上运动中可上升的最大高度（设P不能飞出去）是（）A．0.40m B．0.20m C．0.10m D．0.5m【答案】C【解析】将两者看做一个系统，根据机械能守恒定律可得：根据动量守恒可得，联立两式可得故选C【考点】考查了动量守恒定律和机械能守恒定律的应用点评：上升到最大高度时，两者具有相同的速度，这一点是突破口5.在竖直平面内有根光滑金属杆弯成如图所示形状，相应的曲线方程为，将一个光滑小环套在该金属杆上，并从、处以某一初速度沿杆向右运动，则运动过程中（）A．小环在D点的加速度为零B．小环在B点和D点的加速度相同C．小环在C点的动能最大D．小环在E点的动能为零【答案】C【解析】小环在D点类似于在斜面上，所以加速度不为零，A错误；小环在B点和在D点的合力方向不同，所以加速度不同，B错，小环在C点重力做功最大，所以动能最大，C正确；因为过程中小环机械能守恒，所以在A点有速度，所以在E点仍然有速度，故D错误故选C【考点】考查了机械能守恒定律点评：本题可将其看做在斜面上滑动，6.如图，一质量为M的物块静止在桌面边缘，桌面离水平面的高度为h．一质量为m的子弹以水平速度v0射入物块后，以水平速度v/2射出．重力加速度为g．求（1）此过程中系统损失的机械能；（2）此后物块落地点离桌面边缘的水平距离。

第四章专题强化12 动能定理在往复运动、平抛、圆周运动中的应用

动能定理在往复运动、平抛、圆周运动中的应用[学习目标] 1.会灵活选取研究过程，应用动能定理解决往复运动问题.2.会用动能定理解决平抛运动问题.3.结合圆周运动的知识，会应用动能定理计算圆周运动问题．一、利用动能定理分析往复运动问题1．在有摩擦力做功的往复运动过程中，注意两种力做功的区别： (1)重力做功只与初、末位置有关，而与路径无关；(2)滑动摩擦力做功与路径有关，克服摩擦力做的功W ＝fs (s 为路程)．2．由于动能定理解题的优越性，求多过程往复运动问题中的路程时，一般应用动能定理．例1 (2022·平潭翰英中学高一阶段练习)如图所示，一个小球的质量m ＝2 kg ，能沿倾角θ＝37°的斜面由顶端B 从静止开始下滑，小球滑到底端时与A 处的挡板碰触后反弹(小球与挡板碰撞过程中无能量损失)，若小球每次反弹后都能回到原来的23处，已知A 、B 间距离为s 0＝2 m ，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，取g ＝10 m/s 2，求：(1)若斜面光滑，小球到达A 点的速度v A 的大小．(2)以A 点所在水平面为零势能面，小球第一次反弹后的最大势能E p ； (3)小球由开始下滑到最终静止的过程中所通过的总路程和克服摩擦力做的功．答案 (1)2 6 m/s (2)16 J (3)10 m 24 J解析 (1)若斜面光滑，在沿斜面方向上由牛顿第二定律得mg sin θ＝ma 解得a ＝6 m/s 2，根据运动学公式v A 2＝2as 0，解得v A ＝2 6 m/s.(2)以A 点所在水平面为零势能面，小球第一次反弹后的最大势能E p ＝2mgs 0sin θ3＝16 J.(3)设小球与斜面间的动摩擦因数为μ，小球第一次由静止从B 点下滑到碰撞后上升到速度为零的过程中，由动能定理得mg ⎝⎛⎭⎫s 0－23s 0sin θ－μmg ⎝⎛⎭⎫s 0＋23s 0cos θ＝0，小球最终一定会停在A 处，全过程由动能定理得mgs 0sin θ－μmgs cos θ＝0，联立解得小球通过的总路程为s ＝10 m ，所以小球克服摩擦力做的功为 W 克f ＝μmgs cos θ＝24 J.例2 如图所示，ABCD 为一竖直平面内的轨道，其中BC 水平，A 点比BC 高出10 m ，BC 长1 m ，AB 和CD 轨道光滑，曲、直轨道平滑连接．一质量为1 kg 的物体，从A 点以4 m/s 的速度沿轨道开始运动，经过BC 后滑到高出C 点10.3 m 的D 点时速度为0.g 取10 m/s 2，求：(1)物体与BC 轨道间的动摩擦因数；(2)物体第5次经过B 点时的速度大小(结果可用根式表示)； (3)物体最后停止的位置(距B 点多少米)．答案 (1)0.5 (2)411 m/s (3)距B 点0.4 m 解析 (1)由A 到D ，由动能定理得－mg (h －H )－μmgs BC ＝0－12m v 12解得μ＝0.5(2)物体第5次经过B 点时，物体在BC 上滑动了4次，由动能定理得 mgH －μmg ·4s BC ＝12m v 22－12m v 12，解得v 2＝411 m/s(3)分析整个过程，由动能定理得 mgH －μmgs ＝0－12m v 12解得s ＝21.6 m所以物体在轨道上来回运动了10次后，还有1.6 m ，故最后停止的位置与B 点的距离为2 m －1.6 m ＝0.4 m.二、动能定理在平抛、圆周运动中的应用动能定理常与平抛运动、圆周运动相结合，解决这类问题要特别注意：(1)与平抛运动相结合时，要注意应用运动的合成与分解的方法，如分解位移或分解速度求平抛运动的有关物理量．(2)与竖直面内的圆周运动相结合时，应特别注意隐藏的临界条件：①可提供支撑效果的竖直面内的圆周运动，物体能通过最高点的临界条件为v min ＝0. ②不可提供支撑效果的竖直面内的圆周运动，物体能通过最高点的临界条件为只有重力提供向心力，mg ＝m v min 2R，v min ＝gR .例3 (2022·济宁市兖州区教研室高一期中)如图所示，光滑圆轨道固定在竖直面内，一质量为m 的小球沿轨道做完整的圆周运动．已知小球在最低点时对轨道的压力大小为N 1，在最高点时对轨道的压力大小为N 2.重力加速度大小为g ，则N 1－N 2的值为( )A ．6mgB ．5mgC ．4mgD ．3mg答案 A解析设轨道半径为R ，小球在最低点时受到竖直向上的支持力N 1′和竖直向下的重力mg ，由牛顿第二定律有N 1′－mg ＝m v 12R ，由牛顿第三定律可知N 1＝N 1′，小球在最高点时受到竖直向下的弹力N 2′和竖直向下的重力mg ，由牛顿第二定律有N 2′＋mg ＝m v 22R ，由牛顿第三定律可得N 2＝N 2′，小球由最低点到最高点过程，由动能定理有－mg ·2R ＝12m v 22－12m v 12，联立解得N 1－N 2＝6mg ，所以A 正确，B 、C 、D 错误．例4 如图所示，一可以看成质点的质量m ＝2 kg 的小球以初速度v 0沿光滑的水平桌面飞出后，恰好从A 点沿切线方向进入固定圆弧轨道，BC 为圆弧的竖直直径，其中B 为轨道的最低点，C 为最高点且与水平桌面等高，圆弧AB 对应的圆心角θ＝53°，轨道半径R ＝0.5 m ．已知sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6，不计空气阻力，g 取10 m/s 2.(1)求小球的初速度v 0的大小；(2)若小球恰好能通过最高点C ，求在圆弧轨道上摩擦力对小球做的功．答案 (1)3 m/s (2)－4 J解析 (1)在A 点，由平抛运动规律得： v A ＝v 0cos 53°＝53v 0小球由桌面到A 点的过程中，由动能定理得 mg (R ＋R cos θ)＝12m v A 2－12m v 02联立得：v 0＝3 m/s ；(2)若小球恰好能通过最高点C ，在最高点C 处有mg ＝m v C 2R ，小球从桌面运动到C 点的过程中，由动能定理得W f ＝12m v C 2－12m v 02代入数据解得W f ＝－4 J.训练11．如图所示，质量为0.1 kg 的小物块在粗糙水平桌面上以初速度v 0滑行4 m 后以3.0 m/s 的速度飞离桌面，最终落在水平地面上，已知小物块与桌面间的动摩擦因数为0.5，桌面高 0.45 m ，若不计空气阻力，取g ＝10 m/s 2，则( )A ．小物块的初速度是5 m/sB ．小物块的射程为1.2 mC ．小物块在桌面上克服摩擦力做8 J 的功D ．小物块落地时的动能为0.9 J 答案 D解析小物块在粗糙水平桌面上滑行时，由动能定理得：－μmgs ＝12m v 2－12m v 02解得：v 0＝7 m/s ，W 克f ＝μmgs ＝2 J ，A 、C 错误；小物块飞离桌面后做平抛运动，由h ＝12gt 2，x ＝v t 得x ＝0.9 m ，B 错误；由mgh ＝E k －12m v 2得，小物块落地时E k ＝0.9 J ，D 正确．2.(2022·全国甲卷)北京2022年冬奥会首钢滑雪大跳台局部示意图如图所示．运动员从a 处由静止自由滑下，到b 处起跳，c 点为a 、b 之间的最低点，a 、c 两处的高度差为h .要求运动员经过c 点时对滑雪板的压力不大于自身所受重力的k 倍，运动过程中将运动员视为质点并忽略所有阻力，则c 点处这一段圆弧雪道的半径不应小于( )A.h k ＋1B.h kC.2h kD.2hk －1答案 D解析运动员从a 到c 根据动能定理有mgh ＝12m v c 2，在c 点有N c －mg ＝m v 2R c ，N c ≤ kmg ，联立有R c ≥2hk －1，故选D.3.如图所示，ABCD 是一个盆式容器，盆内侧壁与盆底BC 的连接处都是一段与BC 相切的圆弧，BC 水平，B 、C 间距离d ＝0.50 m ，盆边缘的高度h ＝0.30 m ．在A 处放一个质量为m 的小物块并让其从静止下滑．已知盆内侧壁是光滑的，而盆底BC 与小物块间的动摩擦因数μ＝0.10.小物块在盆内来回滑动，最后停下来，则停止位置到B 的距离为( )A ．0.50 mB ．0.25 mC ．0.10 mD ．0 答案 D解析设小物块在BC 面上运动的总路程为s ，物块在BC 面上所受的滑动摩擦力大小始终为f ＝μmg ，对小物块从开始运动到停止的整个过程，由动能定理得mgh －μmgs ＝0，得s ＝hμ＝0.300.10m ＝3 m ，d ＝0.50 m ，则s ＝6d ，所以小物块最后停在B 点，故选D. 4.如图所示，一木块沿竖直放置的粗糙曲面从高处滑下，当它滑过A 点的速度大小为5 m/s 时，滑到B 点的速度大小也为5 m/s.若使它滑过A 点的速度大小变为7 m/s ，则它滑到B 点的速度大小( )A ．大于7 m/sB ．等于7 m/sC ．小于7 m/sD ．无法确定答案 C解析第一次从A 点到B 点的过程中： mgh －W f1＝ΔE k ＝0，W f1＝mgh第二次速度增大，木块对曲面的压力增大，W f2>W f1，故mgh －W f2<0，木块滑到B 点时的动能小于在A 点的动能，故木块滑到B 点的速度大小小于7 m/s ，C 正确．5.(2022·温州市高一期中)如图所示，有一根管道ABCD 平放并固定在水平桌面上，AB 部分为长L ＝1 m ，动摩擦因数μ＝0.35的水平直管道，BCD 部分为光滑半圆形管道，其半径R ＝ 0.5 m ，两部分在B 处无缝连接，现让一个直径略小于管内径、质量m ＝2 kg 的小球，从A 处以初速度v 0＝4 m/s 进入管道，π≈3，g 取10 m/s 2.求：(1)小球运动到B 处时速度的大小； (2)小球在管道内运动的时间；(3)小球运动到C 处时，管道对小球作用力的大小(结果可以用根式表示) 答案 (1)3 m/s (2)1114 s (3)4106 N解析 (1)小球从A 到B 由动能定理得－μmgL ＝12m v B 2－12m v 02解得v B ＝3 m/s.(2)小球在AB 段匀减速运动的时间 t 1＝L v 0＋v B 2＝27 s ，小球在BD 段匀速运动的时间t 2＝πR v B ＝12 s ，小球在管道内运动的时间t ＝t 1＋t 2＝1114 s.(3)小球运动到C 时，水平方向F ＝m v B 2R ，竖直方向N ＝mg ，则管道对小球作用力F ＝N 2＋F 2＝4106 N.6．如图所示，光滑固定斜面AB 的倾角θ＝53°，BC 为水平面，BC 长度l BC ＝1.1 m ，CD 为光滑的14圆弧，半径R ＝0.6 m ．一个质量m ＝2 kg 的物体，从斜面上A 点由静止开始下滑，物体与水平面BC 间的动摩擦因数μ＝0.2，轨道在B 、C 两点平滑连接．当物体到达D 点时，继续竖直向上运动，最高点距离D 点的高度h ＝0.2 m ．不计空气阻力，sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6，g 取10 m/s 2.求：(1)物体运动到C 点时的速度大小v C ； (2)A 点距离水平面的高度H ；(3)物体最终停止的位置到C 点的距离s . 答案 (1)4 m/s (2)1.02 m (3)0.4 m解析 (1)物体由C 点运动到最高点，根据动能定理得：－mg (h ＋R )＝0－12m v C 2代入数据解得：v C ＝4 m/s(2)物体由A 点运动到C 点，根据动能定理得： mgH －μmgl BC ＝12m v C 2－0代入数据解得：H ＝1.02 m(3)从物体开始下滑到最终停止，根据动能定理得：mgH －μmgs 1＝0，代入数据，解得s 1＝ 5.1 m由于s 1＝4l BC ＋0.7 m ，所以物体最终停止的位置到C 点的距离为：s ＝0.4 m.训练21.(2022·大庆铁人中学高一阶段练习)如图所示，竖直面内光滑圆轨道半径R ＝0.4 m ，从最低点A 有一质量为m ＝1 kg 的小球开始运动，初速度v 0＝5 m/s 方向水平向右，重力加速度g 取10 m/s 2，下列说法正确的是( )A ．在A 点时，小球对轨道的压力为62.5 NB ．小球可能脱离圆轨道C ．在B 点时，小球重力的瞬时功率为30 WD ．小球在B 点的速率为3 m/s 答案 D解析在A 点时，设轨道对小球的支持力大小为F A ，根据牛顿第二定律有F A －mg ＝m v 02R ，解得F A ＝72.5 N ，根据牛顿第三定律可知此时小球对轨道的压力大小为F ＝F A ＝72.5 N ，故A 错误；在B 点时，小球的速度方向与重力方向垂直，根据功率的定义可知，小球重力的瞬时功率为零，故C 错误；对小球从A 到B 过程，根据动能定理有－2mgR ＝12m v B 2－12m v 02，解得v B ＝3 m/s ，设小球在B 点受轨道向下的压力为F B ，则由牛顿第二定律F B ＋mg ＝m v B 2R ，解得F B ＝12.5 N ，说明小球在B 点不会脱轨，故B 错误，D 正确．2．某游乐场的滑梯可以简化为如图所示竖直面内的ABCD 轨道，AB 为长L ＝6 m 、倾角α＝37°的斜轨道，BC 为水平轨道，CD 为半径R ＝15 m 、圆心角β＝37°的圆弧轨道，轨道AB 段粗糙，其余各段均光滑．一小孩(可视为质点)从A 点以初速度v 0＝2 3 m/s 下滑，沿轨道运动到D 点时的速度恰好为零(不计经过B 点时的能量损失)．已知该小孩的质量m ＝30 kg ，取sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，g ＝10 m/s 2，不计空气阻力，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，求：(1)该小孩第一次经过圆弧轨道C 点时，对圆弧轨道的压力； (2)该小孩与AB 段间的动摩擦因数； (3)该小孩在轨道AB 上运动的总路程s . 答案 (1)420 N ，方向向下 (2)0.25 (3)21 m解析 (1)小孩由C 运动到D 的过程，由动能定理可得－mg (R －R cos β)＝0－12m v C 2，解得v C ＝215 m/s在C 点，由牛顿第二定律得N －mg ＝m v C 2R，解得N ＝420 N ，根据牛顿第三定律，小孩对轨道的压力为420 N ，方向向下． (2)小孩从A 运动到C 的过程中，由动能定理得：mgL sin α－μmgL cos α＝12m v C 2－12m v 02解得：μ＝0.25(3)在AB 斜轨道上，μmg cos α<mg sin α，小孩不能静止在斜轨道上，则小孩从A 点以初速度v 0滑下，最后静止在BC 轨道B 处．由动能定理得： mgL sin α－μmgs cos α＝0－12m v 02，解得s ＝21 m.3．(2022·宁波市北仓中学高一期中)如图所示，竖直面内有一光滑圆弧轨道，其半径为R ＝0.5 m ，平台与轨道的最高点等高．一质量m ＝0.8 kg 的小球从平台边缘的A 处以v 0＝3 m/s 的水平速度射出，恰能沿圆弧轨道上P 点的切线方向进入轨道内侧，轨道半径OP 与竖直线的夹角为53°，已知sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6：(1)求小球到达P 点时的速度v P 的大小；(2)求小球到达圆轨轨道最低点时的速度大小以及对轨道的压力．(3)小球沿轨道通过圆弧的最高点Q 时对轨道的内壁还是外壁有弹力，并求出弹力的大小．答案 (1)5 m/s (2)29 m/s 54.4 N ，方向竖直向下 (3)对外壁弹力为6.4 N 解析 (1)在P 点，对v P 进行分解，如图所示，由平抛运动规律得 v P ＝v 0cos 53°＝30.6m/s ＝5 m/s(2)从抛出到圆弧轨道最低点，根据动能定理 mg ·2R ＝12m v 12－12m v 02解得v 1＝29 m/s根据牛顿第二定律和向心力公式N －mg ＝m v 12R ，解得N ＝54.4 N ，根据牛顿第三定律F 压＝N＝54.4 N ，方向竖直向下．(3)平台与轨道的最高点等高，根据动能定理可知v Q ＝v 0＝3 m/s ，设小球受到向下的弹力F 1，根据牛顿第二定律和向心力公式F 1＋mg ＝m v Q 2R ，解得F 1＝6.4 N>0，根据牛顿第三定律，小球对外壁有弹力，大小为6.4 N.4．(2022·湖南高一期中)科技助力北京冬奥：我国自主研发的“人体高速弹射装置”几秒钟就能将一名滑冰运动员从静止状态加速到指定速度，辅助滑冰运动员训练各种滑行技术．如图所示，某次训练，弹射装置在加速阶段将质量m ＝60 kg 的滑冰运动员加速到速度v 0＝8 m/s 后水平向右抛出，运动员恰好从A 点沿着圆弧的切线方向进入光滑圆弧轨道AB .AB 圆弧轨道的半径为R ＝5 m ，B 点是圆弧轨道的最低点，圆弧轨道与水平轨道BD 平滑连接，A 与圆心O 的连线与竖直方向成37°角．MN 是一段粗糙的水平轨道，滑冰运动员与MN 间的动摩擦因数μ＝0.08，水平轨道其他部分光滑．最右侧是一个半径为r ＝2 m 的半圆弧光滑轨道，C 点是半圆弧光滑轨道的最高点，半圆弧光滑轨道与水平轨道BD 在D 点平滑连接．取重力加速度g ＝10 m/s 2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8.整个运动过程中将运动员简化为一个质点．(1)求运动员水平抛出点距A 点的高度；(2)求运动员经过B 点时对轨道的压力大小；(3)若运动员恰好能通过C 点，求MN 的长度L .答案 (1)1.8 m (2)2 040 N (3)12.5 m解析 (1)根据运动的合成与分解可得运动员经过A 点时的速度大小为v A ＝v 0cos 37°＝10 m/s ① 设运动员水平抛出点距A 点的高度为h ，对运动员从抛出点到A 点的过程，由动能定理有mgh ＝12m v A 2－12m v 02② 联立①②解得h ＝1.8 m ③(2)设运动员经过B 点时的速度大小为v B ，对运动员从A 点到B 点的过程，根据动能定理有mg (R －R cos 37°)＝12m v B 2－12m v A 2④ 设运动员经过B 点时所受轨道支持力大小为N ，根据牛顿第二定律及向心力公式有N －mg ＝m v B 2R⑤ 联立①④⑤解得N ＝2 040 N ⑥根据牛顿第三定律可知，运动员经过B 点时对轨道的压力大小为2 040 N ；(3)设运动员刚好通过C 点时的速度大小为v C ，根据牛顿第二定律及向心力公式有mg ＝m v C 2r ⑦ 对运动员从B 点到C 点的过程，根据动能定理有－μmgL －2mgr ＝12m v C 2－12m v B 2⑧ 联立④⑦⑧解得L ＝12.5 m ．⑨5．(2022·重庆市第七中学校高一期中)如图所示，在匀速转动的水平圆盘上，沿半径方向放着用细线相连的质量均为m的两个物体A和B，它们分居圆心两侧，与圆心距离分别为R A＝r，R B＝2r，与盘间的动摩擦因数μ相同，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g，求：(1)细线刚要产生拉力时的角速度ω1；(2)当圆盘转速加快到两物体刚好要发生滑动时的角速度ω2和此时细线的拉力大小F；(3)当圆盘从静止加速到两物体刚好要发生滑动时对两物体做的总功W.答案(1)μg2r(2)2μgr3μmg(3)5μmgr解析(1)由于B物体的向心力较大，细线刚要产生拉力时，B物体的静摩擦力达到最大，依题意对B，最大静摩擦力提供向心力有μmg＝mω12·2r，解得ω1＝μg2r(2)当圆盘转速加快到两物体刚好要发生滑动时，设此时的角速度为ω2和此时细线的拉力为F 对A有：F－μmg＝mω22·r对B有：F＋μmg＝mω22·2r解得ω2＝2μgr，F＝3μmg.(3)根据动能定理有，两物体的动能增加量即为外力对其所做的总功，即W＝12m(ω2r)2＋12m(ω2·2r)2＝5μmgr.。

动能定理在平抛、圆周运动中的综合应用

动能定理在平抛、圆周运动中的综合应用动能定理常与平抛运动、圆周运动相结合，解决这类问题要特别注意：(1)与平抛运动相结合时，要注意应用运动的合成与分解的方法，如分解位移或分解速度求平抛运动的有关物理量.(2)与竖直平面内的圆周运动相结合时，应特别注意隐藏的临界条件：①有支撑效果的竖直平面内的圆周运动，物体能通过最高点的临界条件为v min＝0.①没有支撑效果的竖直平面内的圆周运动，物体能通过最高点的临界条件为v min＝gR.【题型1】如图所示，质量m＝0.1 kg的金属小球从距水平面高h＝2.0 m的光滑斜面上由静止开始释放，运动到A点时无能量损耗，水平面AB是长2.0 m的粗糙平面，与半径为R＝0.4 m的光滑的半圆形轨道BCD相切于B点，其中圆轨道在竖直平面内，D为轨道的最高点，小球恰能通过最高点D，求：(g＝10 m/s2)(1)小球运动到A点时的速度大小；(2)小球从A运动到B时摩擦阻力所做的功；(3)小球从D点飞出后落点E与A的距离.【题型2】如图所示，一可以看成质点的质量为m＝2 kg的小球以初速度v0沿光滑的水平桌面飞出后，恰好从A点沿切线方向进入圆弧轨道，其中B为轨道的最低点，C为最高点且与水平桌面等高，圆弧AB对应的圆心角θ＝53°，轨道半径R＝0.5 m.已知sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6，不计空气阻力，g取10 m/s2.(1)求小球的初速度v0的大小；(2)若小球恰好能通过最高点C，求在圆弧轨道上摩擦力对小球做的功.【题型3】如图所示是一种常见的圆桌，桌面中间嵌一半径为r＝1.5 m、可绕中心轴转动的圆盘，桌面与圆盘面在同一水平面内且两者间缝隙可不考虑.已知桌面离地高度为h＝0.8 m，将一可视为质点的小碟子放置在圆盘边缘，若缓慢增大圆盘的角速度，碟子将从圆盘上甩出并滑上桌面，再从桌面飞出，落地点与桌面飞出点的水平距离是0.4 m.已知碟子质量m＝0.1 kg，碟子与圆盘间的最大静摩擦力F fmax＝0.6 N，g取10 m/s2，求：(不计空气阻力)(1)碟子从桌面飞出时的速度大小；(2)碟子在桌面上运动时，桌面摩擦力对它做的功；(3)若碟子与桌面间的动摩擦因数为μ＝0.225，要使碟子不滑出桌面，则桌面半径至少是多少？【题型4】如图所示，一质量为M＝5.0 kg的平板车静止在光滑水平地面上，平板车的上表面距离地面高h＝0.8 m，其右侧足够远处有一固定障碍物A.一质量为m＝2.0 kg的滑块(可视为质点)以v0＝8 m/s的水平初速度从左端滑上平板车，同时对平板车施加一水平向右、大小为5 N的恒力F.当滑块运动到平板车的最右端时，两者恰好相对静止．此时撤去恒力F.此后当平板车碰到障碍物A时立即停止运动，滑块水平飞离平板车后，恰能无碰撞地沿圆弧切线从B点进入光滑竖直圆弧轨道，并沿轨道下滑．已知滑块与平板车间的动摩擦因数μ＝0.5，圆弧半径为R＝1.0 m，圆弧所对的圆心角θ＝106°，g取10 m/s2，sin53°＝0.8，cos53°＝0.6，不计空气阻力，求：(1)平板车的长度；(2)障碍物A与圆弧左端B的水平距离；(3)滑块运动到圆弧轨道最低点C时对轨道压力的大小．针对训练1.如图所示，水平长直轨道AB 与半径为R ＝0.8 m 的光滑14竖直圆轨道BC 相切于B ，轨道BC 与半径为r ＝0.4 m 的光滑14竖直圆轨道CD 相切于C ，质量m ＝1 kg 的小球静止在A 点，现用F ＝18 N 的水平恒力向右拉小球，在到达AB 中点时撤去拉力，小球恰能通过D 点.已知小球与水平面间的动摩擦因数μ＝0.2，取g ＝10 m/s 2.求： (1)小球在D 点的速度v D 大小；(2)小球在B 点对圆轨道的压力F N B 大小； (3)A 、B 两点间的距离x .2.如图所示，一长L ＝0.45 m 、不可伸长的轻绳上端悬挂于M 点，下端系一质量m ＝1.0 kg 的小球，CDE 是一竖直固定的圆弧形轨道，半径R ＝0.50 m ，OC 与竖直方向的夹角θ＝60°，现将小球拉到A 点(保持绳绷直且水平)由静止释放，当它经过B 点时绳恰好被拉断，小球平抛后，从圆弧轨道的C 点沿切线方向进入轨道，刚好能到达圆弧轨道的最高点E ，重力加速度g 取10 m/s 2，求：(1)小球到B 点时的速度大小； (2)轻绳所受的最大拉力大小；(3)小球在圆弧轨道上运动时克服阻力做的功.3.在游乐节目中，选手需借助悬挂在高处的绳飞越到水面的浮台上，如图所示。

圆周运动。动能定理[技巧]

圆周运动1．物体做匀速圆周运动的条件：匀速圆周运动的运动条件：做匀速圆周运动的物体所受合外力大小不变，方向总是和速度方向垂直并指向圆心。

2．描述圆周运动的运动学物理量（1）圆周运动的运动学物理量有线速度v 、角速度ω、周期T 、转速n 、向心加速度a 等。

它们之间的关系大多是用半径r 联系在一起的。

如：T r r v πω2=⋅=，22224Tr r r v a πω===。

要注意转速n 的单位为r/min ，它与周期的关系为nT 60=。

（2）向心加速度的表达式中，对匀速圆周运动和非匀速圆周运动均适用的公式有：ωωv r r v a ===22，公式中的线速度v 和角速度ω均为瞬时值。

只适用于匀速圆周运动的公式有：224Tra π= ，因为周期T 和转速n 没有瞬时值。

3．描述圆周运动的动力学物理量———向心力（1）向心力来源：向心力是做匀速圆周运动的物体所受外力的合力。

向心力是根据力的作用效果命名的，不是一种特殊的性质力。

向心力可以是某一个性质力，也可以是某一个性质力的分力或某几个性质力的合力。

例如水平转盘上跟着匀速转动的物体由静摩擦力提供向心力；带电粒子垂直射入匀强磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力；电子绕原子核旋转由库仑力提供向心力；圆锥摆由重力和弹力的合力提供向心力。

做非匀速圆周运动的物体，其向心力为沿半径方向的外力的合力，而不是物体所受合外力。

（2）向心力大小：根据牛顿第二定律和向心加速度公式可知，向心力大小为：22224Tr m r m r v m F πω=== 其中r 为圆运动半径。

（3）向心力的方向：总是沿半径指向圆心，与速度方向永远垂直。

（4）向心力的作用效果：只改变线速度的方向，不改变线速度的大小。

几种常见的匀速圆周运动的实例图表图形受力分析利用向心力公式2tan sin mg m l θωθ=2tan (sin )mg m l d θωθ=+2tan mg m r θω=2tan mg m r θω=2Mg m r ω=4．竖直平面内圆周运动的临界问题：由于物体在竖直平面内做圆周运动的依托物（绳、轻杆、轨道、管道等）不同，所以物体在通过最高点时临界条件不同。

物理圆周运动与动能定理相结合

物理圆周运动与动能定理相结合咱们今天聊聊物理里的圆周运动和动能定理，光听这俩词儿就让人有点头大对吧？别着急，咱一步一步来，保证你能轻松搞明白。

咱先不谈什么高深的公式啥的，咱就从最简单的地方开始，保证听完你也能笑着走出教室，自己都能讲给别人听。

先说说圆周运动。

想象一下你在玩秋千，或者骑在过山车上，那时候你是不是感觉自己像是一个在圆圈里转的“飞行员”？不管你怎么摇晃，那种让你感觉像是被什么东西“拉”住的感觉，就是典型的圆周运动。

就是你绕着一个固定的点转，转着转着你突然发现自己好像被某种“看不见的绳子”牵着，怎么都转不开，怪不怪？其实这就是圆周运动的本质，绕着圆心转，始终在一条固定的轨道上打转。

要是你玩秋千，秋千的绳子就是那个“看不见的牵引力”，让你转来转去。

不过，光是转着不行吧？咱得看看你转得有多快，多猛！这就是“动能”的部分了。

动能，这词儿听上去有点专业，其实就是描述你“转得有多带劲”的东西。

你在秋千上如果使劲蹬脚，秋千摇得更高，你的速度越来越快，这时候，你的动能就上来了。

动能就是跟你速度的平方有关系的，越快，动能越大，就好像你往前冲得越猛，刹车的刹车点也更远。

动能定理简单来说就是这么个意思，动能是你物体的“劲儿”大小，劲儿越大，运动得也越“带劲儿”。

想象你现在正在过山车上，坐在最顶端，准备冲下去，心里是不是有点小激动？这时候，咱们就得用动能定理来解释一下这个“激动”的原因了。

你在过山车最高点停下来的一瞬间，速度几乎是零，对吧？但是只要一开始下坡，那种让你心脏狂跳的感觉就会变成飞速的“动能”了。

你从上面冲下来，动能就像是突然被注入了一股“加速器”，就能让你越下越快，心跳也随之加速。

这个过程的关键点就是你从高处到低处，重力把你“拉”下来，能量从“位置能”变成了“动能”，让你一下子感觉自己飙起来了。

你想想看，要是没有那股“动能”，你压根儿就不能体验到那种飞速下冲的刺激感。

再讲一个更生活化的例子，你去打篮球，准备投篮前是不是会起跳？那时候，你的双腿蹬地、身体升起，那一刻，身体的“势能”增加了。