哈尔滨工业大学(哈工大)2015《概率论与数理统计》作业题目及答案
概率论与数理统计练习题(含答案)
第一章 随机事件及其概率练习： 1. 判断正误（1）必然事件在一次试验中一定发生，小概率事件在一次试验中一定不发生。
（B ）（2）事件的发生与否取决于它所包含的全部样本点是否同时出现。
（B ）（3）事件的对立与互不相容是等价的。
（B ） （4）若()0,P A = 则A =∅。
（B ）（5）()0.4,()0.5,()0.2P A P B P AB ===若则。
（B ） （6）A,B,C 三个事件至少发生两个可表示为AB BC AC ⋃⋃（A ） （7）考察有两个孩子的家庭孩子的性别，{()Ω=两个男孩（，两个女孩),(一个男孩，}一个女孩)，则P{}1=3两个女孩。
（B ）（8）若P(A)P(B)≤，则⊂A B 。
（B ） （9）n 个事件若满足,,()()()i j i j i j P A A P A P A ∀=，则n 个事件相互独立。
（B ）（10）只有当A B ⊂时，有P(B-A)=P(B)-P(A)。
（A ） 2. 选择题（1）设A, B 两事件满足P(AB)=0，则©A. A 与B 互斥B. AB 是不可能事件C. AB 未必是不可能事件D. P(A)=0 或 P(B)=0 （2）设A, B 为两事件，则P(A-B)等于(C)A. P(A)-P(B)B. P(A)-P(B)+P(AB)C. P(A)-P(AB)D. P(A)+P(B)-P(AB) （3）以A 表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对立事件A 为(D)A. “甲种产品滞销，乙种产品畅销”B. “甲乙两种产品均畅销”C. “甲种产品滞销”D. “甲种产品滞销或乙种产品畅销”（4）若A, B 为两随机事件，且B A ⊂，则下列式子正确的是(A) A. P(A ∪B)=P(A) B. P(AB)=P(A) C. P(B|A)=P(B) D. P(B-A)=P(B)-P(A) （5）设(),(),()P A B a P A b P B c ⋃===，则()P AB 等于(B)A. ()a c c + B . 1a c +-C.a b c +- D. (1)b c -（6）假设事件A 和B 满足P(B|A)=1, 则(B)A. A 是必然事件 B . (|)0P B A = C. A B ⊃ D. A B ⊂ （7）设0<P(A)<1，0<P(B)<1, (|)(|)1P A B P A B += 则(D)A. 事件A, B 互不相容B. 事件A 和B 互相对立C. 事件A, B 互不独立 D . 事件A, B 互相独立8.,,.,,.D ,,.,,.,,1419.(),(),(),(),()37514131433.,.,.,.,37351535105A B A AB A B B AB A B C AB A B D AB A B P B A P B A P AB P A P B A B C φφφφ≠=≠====对于任意两个事件必有（C ）若则一定独立；若则一定独立；若则有可能独立；若则一定不独立；已知则的值分别为：(D)三解答题1.(),(),(),(),(),(),().P A p P B q P AB r P A B P AB P A B P AB ===设求下列事件的概率：解：由德摩根律有____()()1()1;P A B P AB P AB r ⋃==-=-()()()();P AB P B AB P B P AB q r =-=-=-()()()()(1)()1;P A B P A P B P AB p q q r r p ⋃=+-=-+--=+-________()()1[()()()]1().P AB P A B P A P B P AB p q r =⋃=-+-=-+-2.甲乙两人独立地对同一目标射击一次，命中率分别是0.6和0.5，现已知目标被命中，求它是甲射击命中的概率。
哈工大概率论与数理统计模拟试题(四)
概率论与数理统计模拟试题（四）一、填空题（每小题3分，共5小题，满分15分）1．若事件,A B 满足(|)(|)P B A P B A =，则(|)P B A =__________.2．在区间)1,0(中随机地取两个数，则“两数之和小于5/6” 的概率为__________.3．设随机变量,X Y 相互独立，且都服从区间[0,1]的均匀分布，则1{}2P X Y +≤= .4．随机变量,X Y 独立同分布，2EX =. (5)0.7P XY <=， (3)0.3P XY ≤=，用切比晓夫不等式估计DXY .5．设由来自总体2~(,0.9)X N μ容量为9的样本的样本均值5x =，则未知参数μ的置信度为0.95的置信区间是 .二、选择题（每小题3分，共5小题，满分15分）（每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，把所选项的字母填在题后的括号内）1．随机事件A 、C 满足(|)(|)1P A A C P C A C +++=，则下列正确的是（A ）A 、C 不相容 （B ）A 、C 独立（C ）AC ，A C +独立 （D ）(|)(|)1P A C P C A +=2．设随机变量X 服从指数分布，则随机变量min(,2)Y X =的分布函数（ ）（A ）是连续函数； （B ）至少有两个间断点；（C ）是阶梯函数； （D ）恰好有一个间断点.3．对于任意两个随机变量X 和Y ，若其方差存在，则与X 和Y 不相关（即0XY ρ=）等价的是（ ）（A ）X 与Y 独立; （B ）EXY EXEY =;（C ）X 与Y 不独立; （D ）DXY DX DY =⋅.4．设随机变量X 的方差为25，则根据切比雪夫不等式，有{}||10P X EX -<（ ）（A ）0.25≤； （B ）0.75≤； （C ）0.75≥； （D ）0.25≥.5．总体~()X P λ，抽取简单随机样本1,,n X X . 设2,X S 为样本均值，样本方差. 若2(32)aX a S +-为λ的无偏估计，则a = .（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4三、（10分）袋中有8个正品，2个次品，任取3个，取后不放回，若第3次取到的是次品，求前2次取到的是正品的概率.四、（10分）设随机变量X 与Y 独立，2~(,)X N μσ，Y 服从[,]ππ-的均匀分布，试求Z X Y =+的概率密度五、（10分）设随机变量(,)X Y 具有概率密度1(),0,2,(,)80,x y x y f x y ⎧+≤≤⎪=⎨⎪⎩其它求,,Cov(,),,()XY EX EY X Y D X Y ρ+.六、（14分）已知总体X 在区间12[,]θθ的服从均匀分布，1,,n x x 是取自X 的一个样本，求12,θθ的矩估计和极大似然估计.七、（6分）产品的次品率为. 每天抽查4次，每次随机取3只，若发现3只中次品数多于1个，则要进行调整，记X为每天调整次数，求EX.。
概率论与数理统计练习题(附答案)
练习题[D (X )]21、设随机变量X ~b(10,0.6)，那么=；2[E (X)]2、假设随机变量X 的分布未知，但2EX =μ,DX =σ,那么X 落在区间(μ-2σ,μ+2σ)的概率必不小于_________ˆ3、设θˆ(X ,X ......X )是未知参数θ的一个估计量，满足条件_________=θn 12ˆ是θ的无偏估计。
那么称θ4.设X,Y 为随机变量，且D (X +Y )=7,D(X)=4,D(Y)=1，那么相关系数ρXY =5.设随机变量X 1,X 2,,X n相互独立，且X i(i =1,2,1n n,n )都服从区间[0，1]上的均匀分布，那么当n 充分大时，Y n=i =1∑X i近似服从〔写出具体分布与参数〕6．设(X ,Y )服从区域G :x 2+y 2≤R 2上的均匀分布，其概率密度为：⎧C f (x ,y )=⎨⎩02x 2+y 2≤R 2其它，那么C=〔〕；(A)πR ；(B)7．设112πR ；(C)；(D)。
2πRπR 2X 1,X 2......X n 为相互独立的随机变量，且E (X )=μ,D (X )=σi i 21n∑X i ，那么DX =〔〕〔i =1,2......n 〕，X =n i =1(A)σ2(B)nn σ(C)2σn(D)22nσ8．设一次试验中事件A 不发生的概率为p,独立重复n 次试验，A 发生了X 次那么正确的选项是：〔〕(A)E (X )=p (1-p )；(B)2E (X )=np ；(C)2DX =np (1-p )；(D)DX =p -p 。
9．设随机变量X 和Y 不相关，那么以下结论中正确的选项是〔〕A ．X 与Y 独立；B.D (X -Y )=DX +DY ；C ．D (X -Y )=DX -DY ；D.D (XY )=DXDY .10.任何一个连续型随机变量的概率密度ϕ(x )一定满足()。
A 、0≤ϕ(x )≤1B 、在定义域单调不减C 、⎰+∞-∞ϕ(x )dx=1D 、ϕ(x )>111袋中有m 个红球，n 个白球，任取2球，求〔1〕取得两个同色球的概率；〔2〕至少取得一个白色球的概率12(X ,Y )的联合分布率为：求：〔1〕关于X 的边缘分布律；〔2〕Z =X Y 的分布律及分布函数F Z(z )2Y13有朋自远方来，他乘火车、轮船、汽车、飞X -10110.20.10.120.100.1300.30.1机来的概率分别为0.3、0.2、0.1、0.4。
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《概率论与数理统计》作业集及答案第1章概率论的基本概念§ 1 .1随机试验及随机事件1.(1) 一枚硬币连丢3次，观察正面H、反面T出现的情形.样本空间是：S= __________________________(2)—枚硬币连丢3次，观察出现正面的次数.样本空间是：S= _____________________________________ ;2.(1)丢一颗骰子.A :出现奇数点，贝U A= _________________ ; B:数点大于2，则B=(2)一枚硬币连丢2次， A :第一次出现正面，则A= _________________ ;B:两次出现同一面，则 = ________________ ; C :至少有一次出现正面，则C= § 1 .2随机事件的运算1•设A、B C为三事件，用A B C的运算关系表示下列各事件：(1)A、B、C都不发生表示为： __________ .(2)A 与B都发生，而C不发生表示为：(3)A与B都不发生，而C发生表示为：.(4)A 、B C中最多二个发生表示为：(5)A、B、C中至少二个发生表示为：.(6)A 、B C中不多于一个发生表示为：2.设S = {x : 0 _ x _ 5}, A = {x :1 ：： x _ 3}, B = {x : 2 _ ：： 4}:贝y(1) A 一 B = , (2) AB = , (3) AB = _______________ ,(4) A B = __________________ , (5) AB = ________________________ 。
§ 1 .3概率的定义和性质1.已知P(A B)二0.8, P( A)二0.5, P(B)二0.6，贝U(1) P(AB) = , (2)( P( A B) )= , (3) P(A B)= .2.已知P(A) =0.7, P(AB) =0.3,则P(AB)= .§ 1 .4古典概型1.某班有30个同学，其中8个女同学，随机地选10个,求:(1)正好有2个女同学的概率，(2)最多有2个女同学的概率,(3)至少有2个女同学的概率.2.将3个不同的球随机地投入到 4个盒子中，求有三个盒子各一球的概率.§ 1 .5条件概率与乘法公式1 •丢甲、乙两颗均匀的骰子，已知点数之和为7,则其中一颗为1的概率是 ____________________ 。
《概率论与数理统计》习题及答案
概率论与数理统计 第一部份 习题第一章 概率论基本概念一、填空题1、设A ，B ，C 为3事件，则这3事件中恰有2个事件发生可表示为 。
2、设3.0)(,1.0)(=⋃=B A P A P ，且A 与B 互不相容，则=)(B P 。
3、口袋中有4只白球，2只红球，从中随机抽取3只，则取得2只白球，1只红球的概率为 。
4、某人射击的命中率为0.7，现独立地重复射击5次，则恰有2次命中的概率为 。
5、某市有50%的住户订晚报，有60%的住户订日报，有80%的住户订这两种报纸中的一种，则同时订这两种报纸的百分比为 。
6、设A ，B 为两事件，3.0)(,7.0)(==B A P A P ，则=)(B A P 。
7、同时抛掷3枚均匀硬币，恰有1个正面的概率为 。
8、设A ，B 为两事件，2.0)(,5.0)(=-=B A P A P ，则=)(AB P 。
9、10个球中只有1个为红球，不放回地取球，每次1个，则第5次才取得红球的概率为 。
10、将一骰子独立地抛掷2次，以X 和Y 分别表示先后掷出的点数，{}10=+=Y X A{}Y X B >=，则=)|(A B P 。
11、设B A ,是两事件，则B A ,的差事件为 。
12、设C B A ,,构成一完备事件组，且,7.0)(,5.0)(==B P A P 则=)(C P ，=)(AB P 。
13、设A 与B 为互不相容的两事件，,0)(>B P 则=)|(B A P 。
14、设A 与B 为相互独立的两事件，且4.0)(,7.0)(==B P A P ，则=)(AB P 。
15、设B A ,是两事件，,36.0)(,9.0)(==AB P A P 则=)(B A P 。
16、设B A ,是两个相互独立的事件，,4.0)(,2.0)(==B P A P 则=)(B A P 。
17、设B A ,是两事件，如果B A ⊃，且2.0)(,7.0)(==B P A P ，则=)|(B A P 。
概率论与数理统计习题集及答案
《概率论与数理统计》作业集及答案第1章 概率论的基本概念§1 .1 随机试验及随机事件1. (1) 一枚硬币连丢3次，观察正面H ﹑反面T 出现的情形. 样本空间是：S= ；(2) 一枚硬币连丢3次，观察出现正面的次数. 样本空间是：S= ； 2.(1) 丢一颗骰子. A ：出现奇数点，则A= ；B ：数点大于2，则B= . (2) 一枚硬币连丢2次， A ：第一次出现正面，则A= ；B ：两次出现同一面，则= ；C ：至少有一次出现正面，则C= .§1 .2 随机事件的运算1. 设A 、B 、C 为三事件，用A 、B 、C 的运算关系表示下列各事件：(1)A 、B 、C 都不发生表示为： .(2)A 与B 都发生,而C 不发生表示为： .(3)A 与B 都不发生,而C 发生表示为： .(4)A 、B 、C 中最多二个发生表示为： . (5)A 、B 、C 中至少二个发生表示为： .(6)A 、B 、C 中不多于一个发生表示为： . 2. 设}42:{},31:{},50:{≤<=≤<=≤≤=x B x x A x x S ：则（1）=⋃B A ，（2）=AB ，（3）=B A ， （4）B A ⋃= ，（5）B A = 。
§1 .3 概率的定义和性质1. 已知6.0)(,5.0)(,8.0)(===⋃B P A P B A P ，则(1) =)(AB P , (2)()(B A P )= , (3))(B A P ⋃= . 2. 已知,3.0)(,7.0)(==AB P A P 则)(B A P = .§1 .4 古典概型1. 某班有30个同学,其中8个女同学, 随机地选10个,求:(1)正好有2个女同学的概率,(2)最多有2个女同学的概率,(3) 至少有2个女同学的概率.2. 将3个不同的球随机地投入到4个盒子中,求有三个盒子各一球的概率.§1 .5 条件概率与乘法公式1．丢甲、乙两颗均匀的骰子，已知点数之和为7, 则其中一颗为1的概率是 。
(完整版)《概率论与数理统计》习题及答案选择题
·151·《概率论与数理统计》习题及答案选 择 题单项选择题1．以A 表示事件“甲种产品畅销,乙种产品滞销"，则其对立事件A 为（ ）. (A ）“甲种产品滞销，乙种产品畅销”； (B ）“甲、乙两种产品均畅销”； （C ）“甲种产品滞销或乙种产品畅销"； (D ）“甲种产品滞销”。
解：设B =‘甲种产品畅销’，C =‘乙种产品滞销’，A BC = A BC B C ===‘甲种产品滞销或乙种产品畅销'。
选C 。
2．设,,A B C 是三个事件，在下列各式中，不成立的是（ ）。
（A ）()A B B A B -=；(B ）()AB B A -=；（C)()A B AB ABAB -=；(D ）()()()A B C A C B C -=--。
解：()()()A B B AB B A B B B A B -=== ∴A 对。
()()A B B A B B AB BB AB A B A -====-≠ B 不对 ()()().A B AB A B B A AB AB -=--= C 对 ∴选B.同理D 也对。
3．若当事件,A B 同时发生时，事件C 必发生，则( ）. （A ）()()()1P C P A P B ≤+-； (B ）()()()1P C P A P B ≥+-； (C)()()P C P AB =； (D)()().P C P A B =解：()()()()()()()1AB C P C P AB P A P B P A B P A P B ⊂⇒≥=+-≥+-∴ 选B 。
4．设(),(),()P A a P B b P A B c ===，则()P AB 等于（ ）。
（A ）a b -； （B ）c b -; （C ）(1)a b -； (D ）b a -。
解:()()()()()()()P AB P A B P A P AB a P A P B P A B c b =-=-=--+=- ∴ 选B 。
大学概率论与数理统计习题及参考答案
P A P AB1 AB2 P AB1 P AB2 P B1 P A B1 P B2 P A B2
2 1 0.97 0.98 有9个是新的。第一次比赛从中任取3个来用， 比赛后仍放回盒中，第二次比赛再从盒中任取3个，求第二次取出的球都是 新球的概率。 解: 设 Bi 表示事件“第一次取出了 i 个新球”i, =0,1,2,3.
从而P( A B) 1 P( AB) 1 0.012 0.988.
10
三、为防止意外, 在矿内同时设有两种报警系统A与B, 每种系统单独使用时, 其有
效的概率系统A为0.92，系统B为0.93, 在A失灵的条件下, B有效的概率为0.85, 求 （1）发生意外时, 这两个报警系统至少有一个有效的概率； （2） B失灵的条件下, A有效的概率.
解
设事件A表示“报警系统A有效”，事件B表示“报警系统B有效”，由已知
P ( A) 0.92, P ( B) 0.93, P ( B A) 0.85,
则 P ( AB ) P ( A) P ( B A) 0.08 0.85 0.068 , 故 P( AB) P( B) P( AB) 0.93 0.068 0.862,
AB 6 ; A B 1 ,5 .
1
四、写出下面随机试验的样本空间： （1）袋中有5只球，其中3只白球2只黑球，从袋中 任意取一球，观察其颜色； （2） 从（1）的袋中不放回任意取两次球（每次取出一个）观察其颜色； （3） 从（1）的袋中不放回任意取3只球，记录取到的黑球个数； （4） 生产产品直到有10件正品为止，记录生产产品的总件数； 解 （１）设
i
表示抛掷一颗骰子，出现i点数，i＝1,2,3,4,5,6. 则样本空间
概率论与数理统计习题集及答案
概率论与数理统计习题集及答案《概率论与数理统计》作业集及答案第1章概率论的基本概念§1 .1 随机试验及随机事件1. (1) ⼀枚硬币连丢3次，观察正⾯H ﹑反⾯T 出现的情形. 样本空间是：S= ；(2) ⼀枚硬币连丢3次，观察出现正⾯的次数. 样本空间是：S= ； 2.(1) 丢⼀颗骰⼦. A ：出现奇数点，则A= ；B ：数点⼤于2，则B= . (2) ⼀枚硬币连丢2次， A ：第⼀次出现正⾯，则A= ；B ：两次出现同⼀⾯，则= ；C ：⾄少有⼀次出现正⾯，则C= .§1 .2 随机事件的运算1. 设A 、B 、C 为三事件，⽤A 、B 、C 的运算关系表⽰下列各事件：(1)A 、B 、C 都不发⽣表⽰为： .(2)A 与B 都发⽣,⽽C 不发⽣表⽰为： . (3)A 与B 都不发⽣,⽽C 发⽣表⽰为： .(4)A 、B 、C 中最多⼆个发⽣表⽰为： . (5)A 、B 、C 中⾄少⼆个发⽣表⽰为： .(6)A 、B 、C 中不多于⼀个发⽣表⽰为： . 2. 设}42:{},31: {},50:{≤<=≤<=≤≤=x B x x A x x S ：则（1）=?B A ，（2）=AB ，（3）=B A ，（4）B A ?= ，（5）B A = 。
§1 .3 概率的定义和性质1. 已知6.0)(,5.0)(,8.0)(===?B P A P B A P ，则(1) =)(AB P , (2)()(B A P )= , (3))(B A P ?= . 2. 已知,3.0)(,7.0)(==AB P A P 则)(B A P = .§1 .4 古典概型1. 某班有30个同学,其中8个⼥同学, 随机地选10个,求:(1)正好有2个⼥同学的概率,(2)最多有2个⼥同学的概率,(3) ⾄少有2个⼥同学的概率.2. 将3个不同的球随机地投⼊到4个盒⼦中,求有三个盒⼦各⼀球的概率.§1 .5 条件概率与乘法公式1．丢甲、⼄两颗均匀的骰⼦，已知点数之和为7, 则其中⼀颗为1的概率是。
概率与数理统计》练习册及答案（）
概率与数理统计》练习册及答案（）第⼀章概率论的基本概念⼀、选择题1．将⼀枚硬币连抛两次，则此随机试验的样本空间为（） A ．{（正，正），（反，反），（⼀正⼀反）} B.{(反，正)，（正，反），（正，正），（反，反）} C ．{⼀次正⾯，两次正⾯，没有正⾯} D.{先得正⾯，先得反⾯}2.设A ，B 为任意两个事件，则事件(AUB)(Ω-AB)表⽰（） A ．必然事件 B ．A 与B 恰有⼀个发⽣ C ．不可能事件 D ．A 与B 不同时发⽣3．设A ，B 为随机事件，则下列各式中正确的是（）. A.P(AB)=P(A)P(B)B.P(A-B)=P(A)－P(B)C.)()(B A P B A P -=D.P(A+B)=P(A)+P(B)4.设A,B 为随机事件,则下列各式中不能恒成⽴的是( ). A.P(A －B)=P(A)－P(AB) B.P(AB)=P(B)P(A|B),其中P(B)>0C.P(A+B)=P(A)+P(B)D.P(A)+P(A )=15.若φ≠AB ，则下列各式中错误的是（）.A ．0)(≥AB P B.1)(≤AB P C.P(A+B)=P(A)+P(B) D.P(A-B)≤P(A) 6.若φ≠AB ,则( ).A. A,B 为对⽴事件B.B A =C.φ=B AD.P(A-B)≤P(A)7.若,B A ?则下⾯答案错误的是( ).A. ()B P A P ≤)(B. ()0A -B P ≥C.B 未发⽣A 可能发⽣D.B 发⽣A 可能不发⽣ 8.下列关于概率的不等式,不正确的是( ). A. )}(),(min{)(B P A P AB P ≤ B..1)(,<Ω≠A P A 则若C.1212(){}n n P A A A P A A A ≤+++ D.∑==≤ni i ni i A P A P 11)(}{9.(1,2,,)i A i n =为⼀列随机事件,且12()0n P A A A >,则下列叙述中错误的是A.若诸i A 两两互斥,则∑∑===ni i n i i A P A P 11)()(B.若诸i A 相互独⽴,则11()1(1())nni i i i P A P A ===--∑∏C.若诸i A 相互独⽴,则11()()n ni i i i P A P A ===∏D.)|()|()|()()(1231211-=Λ=n n ni i A A P A A P A A P A P A P10.袋中有a 个⽩球,b 个⿊球,从中任取⼀个,则取得⽩球的概率是( ). A.21B.ba +1C.ba a+ D.ba b + 11.今有⼗张电影票,其中只有两张座号在第⼀排,现采取抽签⽅式发放给１０名同学,则( )A.先抽者有更⼤可能抽到第⼀排座票B.后抽者更可能获得第⼀排座票C.各⼈抽签结果与抽签顺序⽆关D.抽签结果受以抽签顺序的严重制约12.将n 个⼩球随机放到)(N n N ≤个盒⼦中去,不限定盒⼦的容量,则每个盒⼦中⾄多有１个球的概率是( ).A.!!N n B. n Nn !n N Nn C !? D.Nn 13.设有r 个⼈,365≤r ,并设每个⼈的⽣⽇在⼀年365天中的每⼀天的可能性为均等的,则此r 个⼈中⾄少有某两个⼈⽣⽇相同的概率为( ).A.rr P 3651365-B. rr r C 365!365?C. 365!1r -D. rr 365!1-14.设100件产品中有5件是不合格品,今从中随机抽取2件,设=1A {第⼀次抽的是不合格品},=2A {第⼆次抽的是不合格品},则下列叙述中错误的是( ). A.05.0)(1=A PB.)(2A P 的值不依赖于抽取⽅式(有放回及不放回)C.)()(21A P A P =D.)(21A A P 不依赖于抽取⽅式15.设A,B,C 是三个相互独⽴的事件,且,1)(0<B. B A -与CC. C AC 与D. C AB 与16.10张奖券中含有3张中奖的奖券,现有三⼈每⼈购买１张,则恰有⼀个中奖的概率为( ). A.4021 B.407 C. 3.0D. 3.07.02310C 17.当事件A 与B 同时发⽣时,事件C 也随之发⽣,则( ). A.1)()()(-+≤B P A P C P B.1)()()(-+≥B P A P C P C.P(C)=P(AB)D.()()P C P A B =18.设,1)()|(,1)(0,1)(0=+<<<A. A 与B 不相容B. A 与B 相容C. A 与B 不独⽴D. A 与B 独⽴19.设事件A,B 是互不相容的，且()0,()0P A P B >>，则下列结论正确的是( ). A.P(A|B)=0B.(|)()P A B P A =C.()()()P AB P A P B =D.P(B|A)>020.已知P(A)=P,P(B)=q 且φ=AB ,则A 与B 恰有⼀个发⽣的概率为( ). A.q p +B. q p +-1C. q p -+1D. pq q p 2-+21.设在⼀次试验中事件A 发⽣的概率为P,现重复进⾏n 次独⽴试验则事件A ⾄多发⽣⼀次的概率为( ). A.n p -1B.n pC. n p )1(1--D. 1(1)(1)n n p np p --+-22.⼀袋中有两个⿊球和若⼲个⽩球,现有放回地摸球4次,若⾄少摸到⼀个⽩球的概率为8180,则袋中⽩球数是( ). A.2B.4C.6D.823.同时掷3枚均匀硬币,则恰有2枚正⾯朝上的概率为( ). A.0.5B.0.25 0.37524.四⼈独⽴地破译⼀份密码,已知各⼈能译出的概率分别为61,31,41,51则密码最终能被译出的概率为( ). A.1B.21 C.52 D.32 25.已知11()()(),()0,()(),4P A P B P C P AB P AC P BC ======则事件A,B,C 全不发⽣的概率为( ). A.81 B.83 C.85 D.8726.甲,⼄两⼈独⽴地对同⼀⽬标射击⼀次,其命中率分别为0.6和0.5,则⽬标被击中的概率为( ). A. 0.5B. 0.8C. 0.55D. 0.627.接上题,若现已知⽬标被击中,则它是甲射中的概率为( ). A.43 B.65C.32D.116 28.三个箱⼦,第⼀箱中有4个⿊球1个⽩球,第⼆箱中有3个⿊球3个⽩球,第三个箱中有3个⿊球5个⽩球,现随机取⼀个箱⼦,再从这个箱中取出⼀个球,则取到⽩球的概率是( ). A.12053 B.199 C.12067 D.1910 29.有三类箱⼦,箱中装有⿊、⽩两种颜⾊的⼩球,各类箱⼦中⿊球、⽩球数⽬之⽐为,2:3,2:1,1:4已知这三类箱⼦数⽬之⽐为1:3:2，现随机取⼀个箱⼦，再从中随机取出⼀个球，则取到⽩球的概率为（）. A.135 B.45157 D.3019 30.接上题,若已知取到的是⼀只⽩球,则此球是来⾃第⼆类箱⼦的概率为( ). A.21 B.31 C.75 D.71 31.今有100枚贰分硬币,其中有⼀枚为“残币”中华⼈民共和国其两⾯都印成了国徽.现从这100枚硬币中随机取出⼀枚后，将它连续抛掷10次，结果全是“国徽”⾯朝上，则这枚硬币恰为那枚“残币”的概率为（）.A.1001 B. 10099C.1010212+D.10102992+32.玻璃杯成箱出售,每箱20只,假设各箱含0,1,2只残品的概率分别是0.8,0.1,0.1,⼀顾客欲购⼀箱玻璃杯,在购买时,售货员随意取⼀箱,⽽顾客随机察看1只,若⽆残次品,则买下该箱玻璃杯,否则退回,如果顾客确实买下该箱,则此箱中确实没有残次品的概率为( ). 0.14C.160/197D.420418419C C C + ⼆、填空题1.E ：将⼀枚均匀的硬币抛三次，观察结果：其样本空间=Ω.2．某商场出售电器设备，以事件A 表⽰“出售74 Cm 长虹电视机”，以事件B 表⽰“出售74 Cm 康佳电视机”，则只出售⼀种品牌的电视机可以表⽰为；⾄少出售⼀种品牌的电视机可以表⽰为；两种品牌的电视机都出售可以表⽰为 .3．设A ，B ，C 表⽰三个随机事件，试通过A ，B ，C 表⽰随机事件A 发⽣⽽B ，C 都不发⽣为；随机事件A ，B ，C 不多于⼀个发⽣ .4.设P （A ）=0.4，P （A+B ）=0.7，若事件A 与B 互斥，则P （B ）= ；若事件A 与B 独⽴，则P （B ）= .5.已知随机事件A 的概率P （A ）=0.5，随机事件B 的概率P （B ）=0.6及条件概率P （B|A ）=0.8，则P （AUB ）=6.设随机事件A 、B 及和事件AUB 的概率分别是0.4，0.3和0.6，则P （AB ）= .7.设A 、B 为随机事件，P （A ）=0.7，P （A-B ）=0.3，则P （AB ）= . 8.已知81)()(,0)(,41)()()(======BC p AC p AB p C p B p A p ，则C B A ,,全不发⽣的概率为 .9.已知A 、B 两事件满⾜条件P （AB ）=P （AB ），且P （A ）=p,则P （B ）= . 10.设A 、B 是任意两个随机事件，则{()()()()}P A B A B A B A B ++++= .11．设两两相互独⽴的三事件A 、B 和C 满⾜条件：φ=ABC ，21)()()(<==C p B p A p ，且已知 169)(=C B A p ，则______)(=A p . 12.⼀批产品共有10个正品和2个次品，任意抽取两次，每次抽⼀个，抽出后不再放回，则第⼆次抽出的是次品的概率为 .13.袋中有50个乒乓球，其中20个是黄球，30个是⽩球，今有两⼈依次随机地从袋中各取⼀球，取后不放回，则第⼆个⼈取得黄球的概率是 . 14．将C 、C 、E 、E 、I 、N 、S 这7个字母随机地排成⼀⾏，恰好排成SCIENCE 的概率为 .15．设⼯⼚A 和⼯⼚B 的产品的次品率分别为1%和2%，现从由A 和B 的产品分别占60%和40%的⼀批产品中随机抽取⼀件，发现是次品，则该次品属于A ⽣产的概率是 .16.设10件产品有4件不合格品，从中任取两件，已知所取两件产品中有⼀件是不合格品，则另⼀件也是不合格品的概率是 .17.甲、⼄两⼈独⽴地对同⼀⽬标射击⼀次，其命中率分别为0.6和0.5.现已知⽬标被命中，则它是甲射中的概率是 . 18．假设⼀批产品中⼀、⼆、三等品各占60%，30%，10%，从中随意取出⼀件，结果不是三等品，则取到的是⼀等品的概率是 .19．⼀种零件的加⼯由三道⼯序组成，第⼀道⼯序的废品率为1p ，第⼆道⼯序的废品率为2p ，第三道⼯序的废品率为3p ，则该零件的成品率为. 20．做⼀系列独⽴试验，每次试验成功的概率为p ，则在第n 次成功之前恰有m 次失败的概率是 .第⼆章随机变量及其分布⼀、选择题1.设A,B 为随机事件,,0)(=AB P 则( ).A..φ=ABB.AB 未必是不可能事件C.A 与B 对⽴D.P(A)=0或P(B)=02.设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，且},2{}1{===X P X P 则}2{>X P 的值为( ）. A.2-eB.251e-C.241e-D.221e-. 3.设X 服从]5,1[上的均匀分布,则( ). A.4}{ab b X a P -=≤≤ B.43}63{=<D.21}31{=≤<-X P4.设),4,(~µN X 则( ). A.)1,0(~4N X µ- B.21}0{=≤X P C.)1(1}2{Φ-=>-µX PD.0≥µ5.设随机变量X 的密度函数为??<<=其他,010,2)(x x x f ，以Y 表⽰对X 的三次独⽴重复观察中事件}21{≤X 出现的次数，则（）.A ．由于X 是连续型随机变量，则其函数Y 也必是连续型的B ．Y 是随机变量，但既不是连续型的，也不是离散型的C ．649}2{==y P D.)21,3(~B Y6.设=≥=≥}1{,95}1{),,3(~),,2(~Y P X P p B Y p B X 则若( ). A.2719 B.91C.31D.278 7.设随机变量X 的概率密度函数为(),23X f x Y X =-+则的密度函数为( ).A.13()22X y f ---B.13()22X y f --C.13()22X y f +--D.13()22X y f +-8.连续型随机变量X 的密度函数)(x f 必满⾜条件( ). A.1)(0≤≤x fB.)(x f 为偶函数C.)(x f 单调不减D.()1f x dx +∞-∞=?9.若)1,1(~N X ,记其密度函数为)(x f ，分布函数为)(x F ,则( ). A.{0}{0}P X P X ≤=≥ B.)(1)(x F x F --= C.{1}{1}P X P X ≤=≥D.)()(x f x f -=10.设)5,(~),4,(~22µµN Y N X ,记},5{},4{21+≥=-≤=µµY P P X P P 则( ). A.21P P =B.21P P <C.21P P >D.1P ,2P ⼤⼩⽆法确定11.设),,(~2σµN X 则随着σ的增⼤,}|{|σµ<-X P 将( ). A.单调增⼤B.单调减少C.保持不变.D.增减不定12.设随机变量X 的概率密度函数为(),()(),()f x f x f x F x =-是X 的分布函数,则对任意实数a 有( ). A.?-=-adx x f a F 0)(1)( B.?-=-adx x f a F 0)(21)( C.)()(a F a F =-D.1)(2)(-=-a F a F13.设X的密度函数为01()0,x f x ≤≤=??其他，则1{}4P X >为( ). A.78B.14C.141-?D.3214.设~(1,4),(0.5)0.6915,(1.5)0.9332,{||2}X N P X Φ=Φ=>则为( ). 7B.0.3753415.设X 服从参数为91的指数分布,则=<<}93{X P ( ). A.)93()99(F F -B.)11(913ee - C.ee 113-D.?-939dx e x16.设X 服从参数λ的指数分布,则下列叙述中错误的是( ).A.≤>-=-0,00,1)(x x e x F x λB.对任意的x e x X P x λ-=>>}{,0有C.对任意的}{}|{,0,0t X P s X t s X P t s >=>+>>>有D.λ为任意实数17.设),,(~2σµN X 则下列叙述中错误的是( ). A.)1,0(~2N X σµ-B.)()(σµ-Φ=x x FC.{(,)}()()a b P X a b µµσσ--∈=Φ-Φ D.)0(,1)(2}|{|>-Φ=≤-k k k X P σµ18.设随机变量X 服从(1,6)上的均匀分布,则⽅程012=++Xx x 有实根的概率是( ). A.0.7B.0.8C.0.6D.0.519.设=<=<<}0{,3.0}42{),,2(~2X P X P N X 则σ（）. A ．0.2B.0.3C.0.6D.0.820.设随机变量Ｘ服从正态分布2(,)N µσ，则随σ的增⼤，概率{||}P X µσ-<（）.Ａ．单调增⼤Ｂ．单调减少Ｃ．保持不变Ｄ．增减不定⼆、填空题1．随机变量X 的分布函数)(x F 是事件的概率. 2．已知随机变量X 只能取-1，0，1，2四个数值，其相应的概率依次是cc c c 161,81,41,21，则=c3．当a 的值为时， ,2,1,)32()(===k a k X p k 才能成为随机变量X的分布列.4．⼀实习⽣⽤⼀台机器接连独⽴地制造3个相同的零件，第i 个零件不合格的概率)3,2,1(11=+=i i p i ，以X 表⽰3个零件中合格品的个数，则________)2(==X p .5.已知X 的概率分布为-4.06.011，则X 的分布函数=)(x F .6.随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，则X 的分布列为 .7．设随机变量X 的概率密度为∈∈=其它,0]6,3[,92]1,0[,31)(x x x f ，若k 使得{}32=≥k X p则k 的取值范围是 . 8．设离散型随机变量X 的分布函数为：且21)2(==X p ，则_______,________a b ==.9．设]5,1[~U X ，当5121<<，则X的分布密度=)(x f .若σµ-=X Y ，则Y 的分布密度=)(y f .11．设)4,3(~N X ，则}{=<<-72X p .12．若随机变量),2(~2σN X ，且30.0)42(=≤，若)()(c X p c X p ≥=<，则=c .14.设某批电⼦元件的寿命),(~2σµN X ，若160=µ，欲使80.0)200120(=≤许最⼤的σ= .15.若随机变量X 的分布列为-5.05.011，则12+=X Y 的分布列为 .16.设随机变量Ｘ服从参数为（２，ｐ）的⼆项分布，随机变量Ｙ服从参数为（３，ｐ）的⼆项分布，若Ｐ｛Ｘ≥１｝＝５／９，则Ｐ｛Ｙ≥１｝＝ . 17.设随机变量Ｘ服从（０，２）上的均匀分布，则随机变量Ｙ＝2X 在（０，４）内的概率密度为()Y f y ＝ .18.设随机变量Ｘ服从正态分布2(,)(0)N µσσ>，且⼆次⽅程240y y X ++=⽆实根的概率为１／２，则µ= .第三章多维随机变量及其分布⼀、选择题1.X,Y 相互独⽴,且都服从]1,0[上的均匀分布,则服从均匀分布的是( ). A.(X,Y)B.XYC.X+YD.X －Y2.设X,Y 独⽴同分布,11{1}{1},{1}{1},22P X P Y P X P Y =-==-=====则（）. A.X =Y B.0}{==Y X P C.21}{==Y X P D.1}{==Y X P 3.设)(1x F 与)(2x F 分别是随机变量X 与Y 的分布函数,为使)()(21x bF x aF -是某个随机变量的分布函数,则b a ,的值可取为( ). A.52,53-==b aB.32,32==b aC.23,21=-=b aD.23,21-==b a4.设随机变量i X 的分布为12101~(1,2){0}1,111424i X i X X -?? ?===且P 则12{}P X X ==( ).A.0B.41C.21D.15.下列叙述中错误的是( ). A.联合分布决定边缘分布B.边缘分布不能决定决定联合分布C.两个随机变量各⾃的联合分布不同,但边缘分布可能相同D.边缘分布之积即为联合分布 6.设随机变量(X,Y) 的联合分布为: 则b a ,应满⾜( ). A ．1=+b aa b +=3232-7．接上题，若X ，Y 相互独⽴，则（）. A.91,92==b aB.92,91==b aC.31,31==b aD.31,32=-=b a8.同时掷两颗质体均匀的骰⼦,分别以X,Y 表⽰第1颗和第2颗骰⼦出现的点数,则( ). A.1{,},,1,2,636P X i Y j i j ==== B.361}{==Y X P C.21}{=≠Y X PD.21}{=≤Y X P9.设(X,Y)的联合概率密度函数为≤≤≤≤=其他，y x y x y x f 010,10,6),(2,则下⾯错误的是( ).A.1}0{=≥X PB.{0}0P X ≤=C.X,Y 不独⽴D.随机点(X,Y)落在{(,)|01,01}D x y x y =≤≤≤≤内的概率为1 10.接上题,设G 为⼀平⾯区域,则下列结论中错误的是( ). A.{(,)} (,)GP X Y G f x y dxdy ∈=??B.2{(,)}6GP X Y G x ydxdy ∈=??C.1200{}6x P X Y dx x ydy ≥=??≥yx dxdy y x f Y X P ),()}{(11.设(X,Y)的联合概率密度为(,)0,(,)(,)0,h x y x y Df x y ≠∈?=?其他,若{(,)|2}G x y y x =≥为⼀平⾯区域,则下列叙述错误的是( ).A.{,)(,)GP X Y G f x y dxdy ∈=??B.??-=≤-Gdxdy y x f X Y P ),(1}02{C.??=≥-Gdxdy y x h X Y P ),(}02{D.??=≥DG dxdy y x h X Y P ),(}2{12.设(X,Y)服从平⾯区域G 上的均匀分布,若D 也是平⾯上某个区域,并以G S 与D S 分别表⽰区域G 和D 的⾯积,则下列叙述中错误的是( ).A.{(,)}DGS P X Y D S ∈=B.0}),{(=?G Y X PC.GDG S S D Y X P -=?1}),{(D.{(,)}1P X Y G ∈=13.设系统π是由两个相互独⽴的⼦系统1π与2π连接⽽成的;连接⽅式分别为：（１）串联；（２）并联；（３）备⽤(当系统1π损坏时,系统2π开始⼯作，令21,X X 分别表⽰21ππ和的寿命，令321,,X X X 分别表⽰三种连接⽅式下总系统的寿命,则错误的是( ). A.211X X Y += B.},m ax {212X X Y = C.213X X Y +=D.},m in{211X X Y =14.设⼆维随机变量(X,Y)在矩形}10,20|),{(≤≤≤≤=y x y x G 上服从均匀分布.记.2,12,0;,1,0?>≤=?>≤=Y X Y X V Y X Y X U 则==}{V U P ( ).A.0B.41C.21D.4315.设(X,Y)服从⼆维正态分布),,,,(222121ρσσµµN ,则以下错误的是( ). A.),(~211σµN X B ),(~221σµN X C.若0=ρ,则X,Y 独⽴ D.若随机变量),(~),,(~222211σµσµN T N S 则(,)S T 不⼀定服从⼆维正态分布 16.若),(~),,(~222211σµσµN Y N X ,且X,Y 相互独⽴,则( ). A.))(,(~22121σσµµ+++N Y XB.),(~222121σσµµ---N Y XC.)4,2(~2222121σσµµ+--N Y XD.)2,2(~2222121σσµµ+--N Y X17．设X ，Y 相互独⽴，且都服从标准正态分布(0,1) N ，令,22Y X Z +=则Z 服从的分布是（）.A ．N （0，2）分布 B.单位圆上的均匀分布 C.参数为1的瑞利分布 D.N (0,1)分布18.设随机变量4321,,,X X X X 独⽴同分布,{0}0.6,i P X =={1}0.4i P X ==(1,2,3,4)i =，记1234X X D X X =,则==}0{D P （）.7312 C019.已知~(3,1)X N -，~(2,1)Y N ，且,X Y 相互独⽴,记27,Z X Y =-+~Z 则( ).A.)5,0(NB.)12,0(NC.)54,0(ND.)2,1(-N20.已知sin(),0,,(,)~(,)40,C x y x y X Y f x y π?+≤≤?=?其他则C 的值为( ). A.21B.22C.12-D.12+ 21.设≤≤≤≤+=其他,020,10,31),(~),(2y x xy x y x f Y X ,则}1{≥+Y X P =( ) A.7265 B.727 C.721 D.727122.为使?≥=+-其他,00,,),()32(y x Ae y x f y x 为⼆维随机向量(X,Y)的联合密度,则A 必为( ).A.0B.6C.10D.1623.若两个随机变量X,Y 相互独⽴,则它们的连续函数)(X g 和)(Y h 所确定的随机变量( ).A.不⼀定相互独⽴B.⼀定不独⽴C.也是相互独⽴D.绝⼤多数情况下相独⽴ 24.在长为a 的线段上随机地选取两点,则被分成的三条短线能够组成三⾓形的概率为( ).A.21 B.31 C.41 D.5125.设X 服从0—1分布,6.0=p ,Y 服从2=λ的泊松分布,且X,Y 独⽴，则Y X +( ).A.服从泊松分布B.仍是离散型随机变量C.为⼆维随机向量D.取值为0的概率为026.设相互独⽴的随机变量X,Y 均服从]1,0[上的均匀分布,令,Y X Z +=则( ). A.Z 也服从]1,0[上的均匀分布 B.0}{==Y X P C.Z 服从]2,0[上的均匀分布 D.)1,0(~N Z27.设X,Y 独⽴,且X 服从]2,0[上的均匀分布,Y 服从2=λ的指数分布,则=≤}{Y X P ( ).A.)1(414--e B.414e - C.43414+-e D.2128.设≤≤≤≤=其他,010,20,23),(~),(2y x xy y x f Y X ,则(X,Y)在以(0,0),(0,2),(2,1)为顶点的三⾓形内取值的概率为( ).A. 0.4B.0.5C.0.6D.0.829.随机变量X,Y 独⽴,且分别服从参数为1λ和2λ的指数分布,则=≥≥--},{1211λλY X P ( ).A.1-eB.2-eC.11--eD.21--e 30.设22[(5)8(5)(3)25(3)](,)~(,)x x y y X Y f x y Ae-+++-+-=,则A 为( ).A.3π B.π3 C.π2 D.2π 31.设某经理到达办公室的时间均匀分布在8点12点,他的秘书到达办公室的时间均匀分布在7点到9点.设⼆⼈到达的时间相互独⽴,则他们到达办公室的时间相差不超过5分钟的概率为( ). A.481 B.21C.121D.24132.设12,,,n X X X 相独⽴且都服从),(2σµN ,则( ). A.12n X X X === B.2121()~(,)n X X X N nnσµ++C.)34,32(~3221+++σµN XD.),0(~222121σσ--N X X 33.设(,)0,(,)(,)~(,)0,g x y x y GX Y f x y ≠∈?=?其它,D 为⼀平⾯区域,记G,D 的⾯积为,,D G S S ,则{(,)}P x y D ∈=( ).A.G DS S B.GG D S S C.??D dxdy y x f ),( D.??Ddxdy y x g ),( ⼆、填空题1．),(Y X 是⼆维连续型随机变量，⽤),(Y X 的联合分布函数),(y x F 表⽰下列概率：（1）;____________________),(= <≤≤c Y b X a p （2）;____________________),(=<（4）.____________________),(=<≥b Y a X p2．随机变量),(Y X 的分布率如下表，则βα,应满⾜的条件是 .3．设平⾯区域D 由曲线xy 1=及直线2,1,0e x x y ===所围成，⼆维随机变量),(Y X 在区域D 上服从均匀分布，则),(Y X 的联合分布密度函数为 . 4．设),,,,(~),(222121ρσσµµN Y X ，则Y X ,相互独⽴当且仅当=ρ .5.设相互独⽴的随机变量X 、Y 具有同⼀分布律，且X 的分布律为P （X=0）=1/2，P （X=1）=1/2，则随机变量Z=max{X,Y}的分布律为 .6．设随机变量321,,X X X 相互独⽴且服从两点分布???? ??2.08.010，则∑==31i iX X 服从分布 .7.设X 和Y 是两个随机变量，且P{X ≥0，Y ≥0}=3/7，P{X ≥0}=P{Y ≥0}=4/7,则P{max （X ，Y ）≥0}= .8.设某班车起点站上车⼈数X 服从参数为(0)λλ>的泊松分布，每位乘客在中途下车的概率为p(09.假设⼀设备开机后⽆故障⼯作的时间X 服从参数为1/5的指数分布，设备定时开机，出现故障时⾃动关机，⽽在⽆故障时⼯作2⼩时便关机，则该设备每次开机⽆故障⼯作的时间Y 的分布函数 .10.设两个随机变量X 与Y 独⽴同分布，且P （X=-1）=P （Y=-1）=1/2，P （X=1）=P （Y=1）=1/2，则P （X=Y ）= ；P （X+Y=0）= ； P （XY=1）= .第四章随机变量的数字特征⼀、选择题1．X 为随机变量，()1,()3E X D X =-=，则2[3()20]E X +=（）. A. 18 B.9 C.30 D. 32 2. 设⼆维随机向量(X,Y)的概率密度函(),0,0(,)0,x y e x y f x y -+?<<+∞<<+∞=??其它，则()E XY =( ).A. 0B.1/2C.2D. 1 3. (X,Y )是⼆维随机向量,与0),(=Y X Cov 不等价的是( ).A. EY EX XY E ?=)(B. DY DX Y X D +=+)(C. DY DX Y X D +=-)(D. X 与Y 独⽴ 4. X,Y 独⽴,且⽅差均存在,则=-)32(Y X D ( ).A.DY DX 32-B. DY DX 94-C. DY DX 94+D. DY DX 32+5. 若X,Y 独⽴,则( ). A. DY DX Y X D 9)3(-=- B. DY DX XY D ?=)(C. 0]}][{[=--EY Y EX X ED. 1}{=+=b aX Y P。
哈工大-概率论与数理统计大作业(论文)
For personal use only in study and research; not for commercial use————————————————————————————————概率论与数理统计大作业For personal use only in study and research; not for commercial usexxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxFor personal use only in study and research; not for commercial useFor personal use only in study and research; not for commercial useFor personal use only in study and research; not for commercial useFor personal use only in study and research; not for commercial useFor personal use only in study and research; not for commercial useFor personal use only in study and research; not for commercial use2012年12月8日概率论与数理统计一点小结1.简介：概率论（probability theory）：研究随机现象数量规律的数学分支。
随机现象是相对于决定性现象而言的。
在一定条件下必然发生某一结果的现象称为决定性现象。
例如在标准大气压下，纯水加热到100℃时水必然会沸腾等。
随机现象则是指在基本条件不变的情况下，一系列试验或观察会得到不同结果的现象。
每一次试验或观察前，不能肯定会出现哪种结果，呈现出偶然性。
例如，掷一硬币，可能出现正面或反面，在同一工艺条件下生产出的灯泡，其寿命长短参差不齐等等。
哈尔滨工业大学概率论答案习题三(精)
1150.99977(1(1(1!
k K N K N P X N P X N P X K e
k ∞
∞
−=+=+≤≤=−>=−==−∑∑即
5
1
50.00023!K K N e k ∞
−=+≤∑查泊松分布表知115N +=,故月初要库存14件以上,才能保证当月不脱销的概率在0.99977以上。
8.已知离散型随机变量X的分布列为:(10.2,(20.3P X P X ====,
解
从a b +个球中任取r个球共有r
a b C +种取法,r个球中有k个黑球的取
法有k
r k
b a
C C −,所以X的分布列为
(k r k
b a r
a b
C C P X k C −+==,max(0,,max(0,1,,min(,k r a r a b r =−−+⋯,此乃因为,如果r a <,则r个球中可以全是白球,没有黑球,即0k =;如果r a >则r个球中至少有r a −个黑球,此时k应从r a −开始。
8!!!k k k k q P X e e e k k ∞∞−−−=====−=∑∑(24
114(100.00284.
!
k k P X e k ∞
−=>==∑7.某商店每月销售某种商品的数量服从参数为5的泊松分布,问在月初至少库存多少此种商品,才能保证当月不脱销的概率为0.99977以上。
解
设X为该商品的销售量,N为库存量,由题意
2
X B n ,X的分布列为
1(2n
k n P X k C ⎛⎞
==⎜⎟
⎝⎠
《概率论与数理统计》练习题参考答案与解题提示
《概率论与数理统计》练习题参考答案与解题提示一、单项选择题1-5 DDACC 6-10 BDBAD 11-15 ACCDA 16-20 BCBDC 21-25 DCDDC 26-30 CDDBC 31-35 CDBBA 36-40 CCDBC 41-45 CBCAC 46-50 ABBDC 51-55 BDAAB 56-60 CBABA 61-65 BCBAA 66-68 DCC 6. ()()()()()()P ABC P AB P ABC P A P B P ABC =-=- 23. 001()1(0)2--Φ=-Φ 24. 2(,)(,)4F x y f x y xy x y∂==∂∂37. 若2~(,)X N μσ，则~(0,1)X N μσ-39. 25{1}1{0}1(1)9P Y P Y p ≥=-==--=解得13p =31{1}1{0}1(1)3P X P X ≥=-==-- 44. (,)()()X Y f x y f x f y =45. 画出01,01,1x y x y ≤≤≤≤+≤的公共区域，1111{1}1(1)2yP X Y dy dx y dy -+≤==-=⎰⎰⎰ 二、填空题1. 0.62. 0.33.116 4. 14 5. 63646. 0.67. 0.40968. 1149. 0.18 10. 13 11. 19 12. 183513. 1p - 14. 0.5 15. 0.4 16. 0.5 17. 0.42 18. 19 19. 815 20. 23 21. 0.522. 6581 23. 0.5 24. 0.25 25. 0.25 26. 13 27. 0.5 28. 0.75 29. ,00,x e x -⎧>⎨⎩其它30.101,0220x y ⎧≤≤≤≤⎪⎨⎪⎩其它 31. 3 32. 0.2 33. 0.4 34. 210x 35. 0.25 36. 0.2537. (0,1)N 38. 5356 39. 1927 40. 0.5100x e x -⎧-≥⎨⎩其它41.1342.43. 1,010100,y ⎧≤≤⎪⎨⎪⎩其它 44. 0,00x y e x y --⎧>>⎨⎩其它45. 0.5 46. 447.22x -48.312849. 5 50. 4(1)np p - 51. 8 52.23 53. 1 54. 89 55. 112 56. 0.5 57. 0 58. 0.8664 59. 0 60. 0.16 61. 16 62. 4 63. 2364. 0 65. 0.6826 66. 4 67. 2 68. 18 69. 070. 0.5 71. 112 72. 21(,)F n n 73. 20 74. 0 75. 12 76. n 77. 2212nσσ+78.23X 79. θ= 80. [7.7,12.3] 81. 19 82. 2 83. 1X 84. [9.804,10.196] 85. 0.5 86. 1X - 87. 0.9三、判断题1-5 对错错错对 6-10 对对错错对四、计算题、证明题1．答案：0.8。
哈尔滨工业大学《概率论与数理统计》历年期末考试
n
i 1, n ， 则 b ai X i i 1
~
N b
n i 1
ai i ,
n i 1
ai2 i 2
亦为正态变量(
a1,, an不全为0
3分
)且
五、解： X ~ B(2, 1) Y ~ U[0,1] 3
0, x 0
FY
(
y
)
x,
0 x 1
1, x 1
FZ (z) P(Z z) P(X Y z)
于是有：
A Ai A i 1
P(A)
i 1
P( Ai )P( A Ai )
i 1
i i!
e (1)i 2
e
( )i 2
e (e 2
1) e 2
e
i1 i!
2分 2分
2011年《概率论与数理统计》期末考试试题及答案解析
一、填空题（每小题 3 分，共 5 小题，满分 15 分）
(z)
n
2
1 1
(
2z 2 1
) n1 ,1
z
2
0,
其它
EZ
2 1
zf Z
( z )dz
2 n 1
n
n
11
1, 但EZ
1(n
)
x(1)为1的渐进无偏估计。
4分
七、解：令 A. 表示器皿产生了甲类细菌而没有产生乙类细菌事件，而 Ai 表示产 生了 i 个细菌的事件（ i 1,2,3,）。
于是 1 , 2
矩估计为
ˆˆ12
x x
3s 3s
s s2
4分 4分
（2）似然函数
Lx1,,
xn ;1 , 2
哈工大概率论与数理统计课后习题答案一
习 题 一1．写出下列随机试验的样本空间及下列事件中的样本点：（1）掷一颗骰子，记录出现的点数. A =‘出现奇数点’；（2）将一颗骰子掷两次，记录出现点数. A =‘两次点数之和为10’，B =‘第一次的点数，比第二次的点数大2’；（3）一个口袋中有5只外形完全相同的球，编号分别为1,2,3,4,5；从中同时取出3只球，观察其结果，A =‘球的最小为1’；（4）将,a b 两个球，随机地放入到甲、乙、丙三个盒子中去，观察放球情况，A =‘甲盒中至少有一球’； （5）记录在一段时间，通过某桥的汽车流量，A =‘通过汽车不足5台’，B =‘通过的汽车不少于3台’。
解 （1）123456{,,,,,}S e e e e e e =其中i e =‘出现i 点’1,2,,6i =L ， 135{,,}A e e e =。
（2）{(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6)S =(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6)(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6)(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6)(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6)(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}；{(4,6),(5,5),(6,4)}A =；{(3,1),(4,2),(5,3),(6,4)}B =。
（3）{(1,2,3),(2,3,4),(3,4,5),(1,3,4),(1,4,5),(1,2,4),(1,2,5)S = (2,3,5),(2,4,5),(1,3,5)}{(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5)}A =（4）{(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),S ab ab ab a b a b b a =--------- (,,),(,,,),(,,)}b a a b b a ---，其中‘-’表示空盒； {(,,),(,,),(,,),(,,),(,,)}A ab a b a b b a b a =------。
哈工大概率论与数理统计课后习题答案五
习 题 五1．假设有10只同种电器元件，其中两只废品，从这批元件中任取一只，如果是废品，则扔掉重新取一只，如仍是废品，则扔掉再取一只，试求在取到正品之前，已取出的废品只数的数学期望和方差。
解 设X 为已取出的废品只数，则X 的分布为012828218101091098X P ⋅⋅⋅即012881104545XP所以 82245459EX =+=， 2844,454515EX =+=224488().1581405DX EX EX =-=-= 2．假设一部机器在一天内发生故障的概率为0.2，机器发生故障时全天停止工作，若1周5个工作日里无故障，可获利10万元；发生一次故障仍可获利5万元，发生两次故障所获利润零元；发生三次或三次以上故障就要亏损2万元。
求1周内期望利润是多少？ 解 设一周所获利润为T （万元），则T 的可能值为10,5,0,2-.又设X 为机器一周内发生故障的次数，则~(5,0.2)X B ，于是，5(10)(0)(0.8)0.3277P T P X =====145(5)(1)0.2(0.8)0.4096P T P X C ====⨯=类似地可求出T 的分布为205100.05790.20480.40960.3277T P -所以一周内的期望利润为20.057950.4096100.3277ET =-⨯+⨯+⨯5.209=（万元）3．假设自动线加工的某种零件的内径X （毫米）服从正态分布(,1)N μ，内径小于10或大于12为不合格品，销售每件合格品获利，销售每件不合格品亏损，已知销售利润T （元）与零件的内径X 有如下关系：1,10,20,1012,5,12.X T X X ⎧-<⎪=≤≤⎨⎪->⎩若若若问平均内径μ取何值时，销售一个零件的平均利润最大. 解1(10)20(1012)5(E T P X P X P X =-⨯<+⨯≤≤-⨯>10()20[(12)(10)]5[1(12)]1μμμμ-=-Φ+Φ--Φ---Φ-25(12)21(10)5μμ=Φ--Φ--25(12)21(10)dETd ϕμϕμμ=--+-22(10)(12)2221250μμ----=-即221[(12)(10)]22125e μμ----= 两边取对数得 21222ln25μ-= 即12511ln221μ=-. 时，平均利润最大.4．从学校到火车站的途中有3个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是25，设X 为途中遇到红灯的次数，求随机变量X 的分布律、分布函数和数学期望. 解 2~(3,)5X B ，分布律为3323()()()0,1,2,3.55k k k P X k C k -===即01232754368125125125125XPX 的分布函数为0,0,27,01,12581(),12,125117,23,1251,3.x x F x x x x <⎧⎪⎪≤<⎪⎪⎪=≤<⎨⎪⎪≤<⎪⎪≥⎪⎩ 54722415061251251251255EX =++==5．设随机变量服从几何分布，其分布列为1()(1)k P X k p p -==-，01,1,2,p k <<=求EX 与DX 解1 111111(1)()k k kk k k k k x qx qEX k p p p kqp x p x ∞∞∞∞--======'⎛⎫'=-=== ⎪⎝⎭∑∑∑∑其中1q p =-由函数的幂级数展开有 011k k x x∞==-∑， 所以21111.1(1)x qx qEX p px x p=='⎡⎤=-==⎢⎥--⎣⎦ 因为221211()(1)k k x q x qk k x EX k pqp x x p x ∞∞-====''⎡⎤⎡⎤'===⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦∑∑22p p -=， 所以2222221().p qDX EX EX p p p -=-=-=解22123k EX P pq pq kpq -=+++++21(123),k p q q kq -=+++++设21123,k S q q kq -=+++++ （1） 则2323,k qS q q q kq =+++++（2）（1）–（2）得211(1)11k q S q q q q--=+++++=-， 所以2211(1)S q p ==-，从而，得 211EX pS p p p==⋅=.22222123n EX p pq pq n pq -=+++++222211(123)n p q q n q pS -=+++++，22232123,n qS q q q n q =+++++2112(1)135(21),n q S q q n q S --=++++-+23235(21),n qS q q q n q =++++-+21222(1)12()111n q qq S q q q q p--=+++++=+=+-，2212q S p p =+， 于是 212312S qS p p p==+， 所以 22321212()q qEX p p p p p =+=+， 故得X 的方差为2222221211().q q pDX EX EX p p p p p-=-=+-==6．设随机变量X 分别具有下列概率密度，求其数学期望和方差. （1）||1()2x f x e -=；（2）1||,||1,()0,||1;x x f x X -≤⎧=⎨>⎩ （3）2215(2),02,()160,x x x f x ⎧-≤≤⎪=⎨⎪⎩其他; （4）,01,()2,12,0,.x x f x x x ≤<⎧⎪=-≤≤⎨⎪⎩其他解 （1）||102x EX x e dx +∞--∞=⋅=⎰，（因为被积函数为奇函数）22||2012x x DX EX x e dx x e dx +∞+∞---∞===⎰⎰202x xx exe dx +∞+∞--=-+⎰2[] 2.x x xee dx +∞+∞--=-+=⎰（2）11(1||)0,EXx x dx -=-=⎰3411222310101(1||)2()2[]346x x DX EX x x dx x x dx -==-=-=-=⎰⎰. （3）2232543001515(2)(44)1616EX x x dx x x x dx =-=-+⎰⎰26450154415161166541615x x x ⎡⎤=-+=⋅=⎢⎥⎣⎦, 22654015(44)16EX x x x dx =-+⎰2765015448167657x x x ⎡⎤=-+=⎢⎥⎣⎦， 所以2281()177DX EX EX =-=-=. （4）223122220111128(2)313333x EXx dx x x dx x =+-=+-=+-=⎰⎰,1223230112114(2)(81)(161)43412EX x dx x x dx =+-=+---=⎰⎰,所以1411126DX =-=. 7．在习题三第4题中求11EX+解 因X 的分布为 012311112488X P所以11111111671224384896EX =+⨯+⨯+⨯=+.8．设随机变量X 的概率密度为,02,(),24,0,ax x f x cx b x ⎧<<⎪=+≤≤⎨⎪⎩其他.已知32,(13)4EX P X =<<=，求（1）,,a b c 的值（2）随机变量XY e =的数学期望和方差.解 （1）2421()()f x dx axdx cx b dx +∞-∞==++⎰⎰⎰24422202226,22a c x x bx a b c =++=++24222()()xf x dx ax dx cx b xdx +∞-∞==++⎰⎰⎰856633a cb =++， 2312335()422axdx cx b dx a c b =++=++⎰⎰，解方程组13281856633252a b c a b c a b c ⎧++=⎪⎪++=⎨⎪⎪++=⎩得 14a =， 1b =，14c =-.（2）242202111()()(1)(1)444X x x x EYE e e f x dx xe dx x e dx e +∞-∞===+-+=-⎰⎰⎰，24222220211()()(1)44X x xx EY E e e f x dx xe dx x e dx +∞-∞===+-+⎰⎰⎰2222211(1)[(1)]44e e e =-+-222221()(1)4DY EY EY e e =-=-.9．游客乘电梯从底层到电视塔顶层观光；电梯于每个整点的第5分钟，25分钟和55分钟从底层起行。
(完整版)概率论与数理统计课后习题答案
·1·习 题 一1．写出下列随机试验的样本空间及下列事件中的样本点： （1）掷一颗骰子，记录出现的点数. A =‘出现奇数点’； （2）将一颗骰子掷两次，记录出现点数. A =‘两次点数之和为10’，B =‘第一次的点数，比第二次的点数大2’； （3）一个口袋中有5只外形完全相同的球，编号分别为1,2,3,4,5；从中同时取出3只球，观察其结果，A =‘球的最小号码为1’；（4）将,a b 两个球，随机地放入到甲、乙、丙三个盒子中去，观察放球情况，A =‘甲盒中至少有一球’；（5）记录在一段时间内，通过某桥的汽车流量，A =‘通过汽车不足5台’，B =‘通过的汽车不少于3台’。
解 （1）123456{,,,,,}S e e e e e e =其中i e =‘出现i 点’1,2,,6i =，135{,,}A e e e =。
（2）{(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6)S = (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6) (3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6) (4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6)(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6) (6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}； {(4,6),(5,5),(6,4)}A =； {(3,1),(4,2),(5,3),(6,4)}B =。
（3）{(1,2,3),(2,3,4),(3,4,5),(1,3,4),(1,4,5),(1,2,4),(1,2,5)S =(2,3,5),(2,4,5),(1,3,5)}{(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5)}A =（4）{(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),S ab ab ab a b a b b a =---------(,,),(,,,),(,,)}b a a b b a ---，其中‘-’表示空盒；{(,,),(,,),(,,),(,,),(,,)}A ab a b a b b a b a =------。
哈工大概率论与数理统计课后习题答案四
习 题 四1．一个袋子中装有四个球，它们上面分别标有数字1,2,2,3，今从袋中任取一球后不放回，再从袋中任取一球，以,X Y 分别表示第一次，第二次取出的球上的标号，求(,)X Y 的分布列.解 (,)X Y 的分布列为其中 (1,1)(1)(1|1)P X Y P X P Y X =======(1,2)(1)(2|1)P X Y P X P Y X ======121436=⨯= 余者类推。
2．将一枚硬币连掷三次，以X 表示在三次中出现正面的次数，以Y 表示三次中出现正面次数与出现反面次数之差的绝对值，试写出(,)X Y 的分布列及边缘分布列。
解 一枚硬币连掷三次相当于三重贝努里试验，故1~(3,).2X B 331()(),0,1,2,32k P X k C k ===，于是(,)X Y 的分布列和边缘分布为其中(0,1)(0)(1|0)P X Y P X P Y X =======，13313(1,1)(1)(1|1)()128P X Y P X P Y X C =======⨯=，余者类推。
3．设(,)X Y 的概率密度为1(6),02,24,(,)80,.x y x y f x y ⎧--<<<<⎪=⎨⎪⎩其它又（1）{(,)|1,3}D x y x y =<<；（2）{(,)|3}D x y x y =+<。
求{(,)}P X Y D ∈解 （1）13021{(,)}(6)8P x y D x y dxdxy ∈=--⎰⎰1194368228-⎡⎤--=⎢⎥⎣⎦；13021{(,)}(6)8x P X Y D x y dxdy -∈=--⎰⎰ 11200113(1)[(3)4]82x x dx x dx ⎧⎫-----⎨⎬⎩⎭⎰⎰524.4．设(,)X Y 的概率密度为222(,(,)0,.C R x y R f x y ⎧+≤⎪=⎨⎪⎩其他求（1）系数C ；（2）(,)X Y 落在圆222()x y r r R +≤<内的概率.解 （1）22223201(R x y R CR dxdy C R C r drd ππθ+≤==-⎰⎰⎰⎰333233R R C R C πππ⎡⎤=-=⎢⎥⎣⎦，∴ 33C Rπ=. （2）设222{(,)|}D x y x y r =+≤，所求概率为22233{(,)}(x y r P X Y D R dxdy R π+≤∈=⎰⎰322323232133r r r Rr R R R πππ⎡⎤⎡⎤=-=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦. 5．已知随机变量X 和Y 的联合概率密度为4,01,01(,)0,.xy x y f x y ≤≤≤≤⎧=⎨⎩其它 求X 和Y 的联合分布函数.解1 设(,)X Y 的分布函数为(,)F x y ，则(,)(,)x y F x y f u v dudv -∞+∞=⎰⎰001001000,00,4,01,01,4,01,1,4,1,01,1,1, 1.x y x y x y uvdudv x y uydudy x y xvdxdv x y x y ⎧<<⎪⎪≤≤≤≤⎪⎪⎪=≤≤>⎨⎪⎪>≤≤⎪⎪>>⎪⎩⎰⎰⎰⎰⎰⎰或22220,00,,01,01,,01,1,,1,01,1,1, 1.x y x y x y x x y y x y x y ⎧<<⎪≤≤≤≤⎪⎪=≤≤>⎨⎪>≤≤⎪⎪>>⎩或解2 由联合密度可见，,X Y 独立，边缘密度分别为2,01,()0,;X x x f x ≤≤⎧=⎨⎩其他 2,01,()0,.Y y y f y ≤≤⎧=⎨⎩其它 边缘分布函数分别为(),()X Y F x F y ，则20,0,()(),01,1, 1.x X X x F x f u du x x x -∞<⎧⎪==≤≤⎨⎪>⎩⎰20,0,()(),01,1, 1.y Y X y F y f v dv y y y -∞<⎧⎪==≤≤⎨⎪>⎩⎰设(,)X Y 的分布函数为(,)F x y ，则22220,00,,01,01(,)()(),01,1,,1,01,1,1, 1.X Y x y x y x y F x y F x F y x x y y x y x y ⎧<<⎪≤≤≤≤⎪⎪=⋅=≤≤>⎨⎪>≤≤⎪⎪>>⎩或6．设二维随机变量(,)X Y 在区域:01D x <<，|率密度。
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已知随机变量X的密度函数【C】
若X 【B】
为来自正态总体的一个样本，若进行假设检验C
设A,B为两随机事件，且B 则下列式子正确的是D
那么（X,Y）的联合分布为【不是CD】
下列二无函数中，可以作为连续型随机变量的联合概率密度B
掷一颗均匀的骰子600次，那么出现“一次”次数的均值为B
在一次假设检验中，下列说法正确的是A
在一次假设检验中，下列说法正确的是 C
得到置信度为95%的置信区间，意义是指这个区间D
设X C
在假设检验问题中，犯第一类错误的概率 C
则下列选项中不是统计量的是 B
的最大似然估计为
设A,B为两随机事件，且 D
那么下列选项中不正确的是A
得一个样本，则服从的分布为 B
以A表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对立事件A为 B
若X 那么 B
的一个样本，若进行假设检验，当 D
袋中有50个乒乓球，其中20个黄的，30个白的D
为来自正态总体简单随机样本则服从自由度为 C
对于事件A,B，下列命题正确的是D
是来自正态总体则统计量服从的分布是D
是未知参数的一个估计量D
设某个假设检验问题的拒绝域为 B
是来自总体的样本，则下列是统计量的是 B
在对单个正态总体均值的假设检验中，当总体方差已知时，选用B
分别来自两个相互独立的正态总体分别是其样本方差 B
在一个确定的假设检验中，与判断结果相关的因素有D
设总体为抽取样本D
的联合分布为B
是来自总体X的样本的无偏估计的是D
那么下列命题中正确的是B
下列函数中，可作为某一随机变量的分布函数是C
假设随机变量X的分布函数为F（x）C
那么（X,Y）的联合分布为B
对于任意两个随机变量X和Y A
设置X 【不是B】
则下列选项种不是统计量的是B
是来自总体X 的一部分样本 D
设总体X服从正态分布N 得最大似然估计为A。