6 机械波习题详解

习题六一、选择题1．已知一平面简谐波的表达式为 )cos(bx at A y -=（a 、b 为正值常量），则 ［ ］（A ）波的频率为a ； （B ）波的传播速度为 b/a ； （C ）波长为 π / b ； （D ）波的周期为2π / a 。

答案：D解：由22cos()cos()2/2/y A at bx A t x a b ππππ=-=-，可知周期2T aπ=。

波长为b π2。

2．如图，一平面简谐波以波速u 沿x 轴正方向传播，O 为坐标原点．已知P 点的振动方程为cos y A t ω=，则 ［ ］（A ）O 点的振动方程为 []cos (/)y A t l u ω=-； （B ）波的表达式为 {}cos [(/)(/)]y A t l u x u ω=--； （C ）波的表达式为 {}cos [(/)(/)]y A t l u x u ω=+-； （D ）C 点的振动方程为 []cos (3/)y A t l u ω=-。

答案：C解：波向右传播，原O 的振动相位要超前P 点u l /ω，所以原点O 的振动方程为{}0cos [(/)]y A t l u ωϕ=++，因而波方程为]}[cos{ulu x t A y +-=ω，可得答案为C 。

3．一平面简谐波以速度u 沿x 轴正方向传播，在t t '=时波形曲线如图所示．则坐标原点O 的振动方程为［ ］（A ）]2)(cos[π+'-=t t b u a y ； （B ）]2)(2cos[π-'-π=t t b u a y ；（C ）]2)(cos[π+'+π=t t b u a y ；（D ）]2)(cos[π-'-π=t t b u a y 。

答案：D解：令波的表达式为 cos[2()]xy a t νϕλ=-+π当t t '=， cos[2()]xy a t νϕλ'=-+π由图知，此时0x =处的初相 22t νϕ'+=-ππ， 所以 22t ϕν'=--ππ，xO u 2l lyC P由图得 b 2=λ， bu u2==λν故0x =处 cos[2]cos[()]2u y a t a t t b νϕ'=+=--πππ4．当一平面简谐机械波在弹性媒质中传播时，下述各结论哪个是正确的？［ ］（A ）媒质质元的振动动能增大时，其弹性势能减小，总机械能守恒； （B ）媒质质元的振动动能和弹性势能都作周期性变化，但二者的相位不相同； （C ）媒质质元的振动动能和弹性势能的相位在任一时刻都相同，但二者的数值不等；（D ）媒质质元在其平衡位置处弹性势能最大。

答案：D解：当机械波传播到某一媒质质元时，媒质质元在平衡位置处形变最大，因此其弹性势能也最大。

运动到最大位移处形变最小，其弹性势能最小。

媒质质元的振动动能和弹性势能是等相位的，能量向前传播，媒质质元机械能不守恒。

所以答案应选D 。

5．设声波在媒质中的传播速度为u ，声源的频率为S ν。

若声源S 不动，而接收器R 相对于媒质以速度R v 沿着S 、R 连线向着声源S 运动，则位于S 、R 连线中点的质点P 的振动频率为［ ］（A ）S ν； （B ） R S u v u ν+； （C ）S R u u v ν+； （D ） S R uu v ν-。

答案：A解：位于S 、R 连线中点的质点P 相对于声源并没有相对运动，所以其接收到的频率应是声源的频率S ν二、填空题1．已知一平面简谐波的表达式为 )37.0125cos(25.0x t y -= (SI)，则1= 10m x 点处质点的振动方程为________________________________； 1= 10m x 和2= 25m x 两点间的振动相位差为_____________。

答案：0.25cos(125 3.7)y t =- (SI)； 5.55 rad ϕ∆=-。

解：（1）1= 10m x 的振动方程为 100.25cos(125 3.7)x y t ==- （2）因2= 25m x 的振动方程为 250.25cos(1259.25)x y t ==- 所以2x 与1x 两点间相位差 21 5.55 rad ϕϕϕ∆=-=-2．如图所示，一平面简谐波沿Ox 轴正向传播，波速大小为u ，若P 处质点的振动方程为cos()P y A t ωϕ=+，则O 处质点的振动方程___________________________________；该波的波动表达式_____________________________________。

答案：0cos[()]L y A tu ωϕ=++；cos[()]x Ly A t uωϕ-=-+解：（1）O 处质点振动方程 0cos[()]Ly A t u ωϕ=++（2）波动表达式 cos[()]x Ly A t uωϕ-=-+3．图示为一平面简谐波在0t =时刻的波形图，则该波的波动表达 式__________________________________；P 处质点的振动方程为_________________________________。

答案：]2)4.05(2cos[04.0π--π=x t y (SI)； P y )234.0cos(04.0π-π=t (SI)。

解：（1）O 处质点，0t =时 0cos 0y A ϕ==， 0sin 0v A ωϕ=-> 所以12ϕ=-π，又有 0.40= 5s 0.08T u λ==故波动表达式为0.04c o s [2()]50.42t x y =--ππ (SI) （2）P 处质点的振动方程为 ]2)4.02.05(2cos[04.0π--π=ty P )234.0cos(04.0π-π=t (SI)4．一平面简谐波，频率为31.010Hz ⨯，波速为31.010m/s ⨯，振幅为41.010m ⨯，在截面面积为424.010m -⨯的管内介质中传播，若介质的密度为238.010kg m -⨯⋅，则该波的能量密度__________________；该波在60 s 内垂直通过截面的总能量为_________________。

答案：521.5810W m -⨯⋅；33.7910 J ⨯。

解： （1） 222225212 1.5810W m 2I vA vA ρωπρν-===⨯⋅ （2）33.7910 J w P t IS t =⋅∆=∆=⨯。

(m)-5．如图所示，两列相干波在P 点相遇。

一列波在B 点引起的振动是 310310cos2y t -=⨯π；另一列波在C 点引起的振动是3201310cos(2)2y t -=⨯π+π；令0.45 m BP =，0.30 m CP =，两波的传播速度= 0.20 m/s u 。

若不考虑传播途中振幅的减小，则P 点的合振动的振动方程为 ____________________________________。

答案： 31610cos(2)2y t -=⨯-ππ(SI)。

解：第一列波在P 点引起的振动的振动方程为311310cos(2)2y t -=⨯-ππ第二列波在P 点引起的振动的振动方程为321310cos(2)2y t -=⨯-ππ所以，P 点的合振动的振动方程3121610cos(2)2y y y t -=+=⨯-ππ三、计算题1．平面简谐波沿x 轴正方向传播，振幅为2cm ，频率为50Hz ，波速为 200 m/s ．在0t =时，0x =处的质点正在平衡位置向y 轴正方向运动，求4m x =处媒质质点振动的表达式及该点在2s t =时的振动速度。

答案：（1）21210cos(100)2y t -=⨯-ππ；（2） 6.28 m/s v =。

解：设0x =处质点振动的表达式为 0c o s()y A t ωϕ=+， 已知 0t =时，0 = 0y ，且 0 > 0v ，所以12ϕ=-π，因此得0cos(2)y A t νϕ=+π21210cos(100)2t -=⨯-ππ由波的传播概念，可得该平面简谐波的表达式为cos(22)x y A t u νϕν=+-ππ211210cos(100)22t x -=⨯--πππ4m x =处的质点在t 时刻的位移21210cos(100)2y t -=⨯-ππ该质点在2s t =时的振动速度为21210100sin(200)2= 6.28 m/s 2v π-=-⨯⨯-=πππ2．一平面简谐波沿Ox 轴的负方向传播，波长为λ ，P 处质点的振动规律如图所示．（1）求P 处质点的振动方程； （2）求此波的波动表达式；（3）若图中 λ21=d ，求坐标原点O 处质点的振动方程。

答案：（1）1cos()2P y A t =π+π；（2）])4(2cos[π+-+π=λdx t A y ；（3）)21cos(0t A y π=。

解：（1）由振动曲线可知，P 处质点振动方程为21cos[()]cos()42P y A t A t π=+π=π+π （2）波动表达式为 ])4(2c o s [π+-+π=λd x t A y （3）O 处质点的振动方程 )21cos(0t A y π=3．一平面简谐波沿Ox 轴正方向传播，波的表达式为 cos2()xy A t νλ=-π，而另一平面简谐波沿Ox 轴负方向传播，波的表达式为 2cos2()xy A t νλ=+π求：（1）4x λ=处介质质点的合振动方程；（2）4x λ=处介质质点的速度表达式。

答案：（1）)212cos(ππ+=t A y ν；（2）2cos(2)v A t νν=+πππ。

解：（1）在4x λ=处)212cos(1π-π=t A y ν，)212cos(22π+π=t A y ν 因1y 与2y 反相，所以合振动振幅为二者之差： A A A A s =-=2，且合振动的初相ϕ与振幅较大者（即2y ）的初相相同，为π21。

所以，合振动方程 )212cos(ππ+=t A y ν（2）4x λ=处质点的速度d 12sin(2 )2cos(2)d 2y v A t A t t νννν==-+=+ππππππ4．设入射波的表达式为 )(2cos 1TtxA y +π=λ，在0x =处发生反射，反射点为一固定t (s)-A1y P (m)OPd端。

设反射时无能量损失，求（1）反射波的表达式；（2）合成的驻波的表达式；（3）波腹和波节的位置。

答案：（1）2cos[2()]cos2()xt x ty A A T T λλ=-+=--πππ； （2）22222cos()cos()2sin sin22x ty A x t A T T λλ=+-=-ππππππ； （3）波腹：11() 1,2,3,22x n n λ=-=；波节：11,2,3,2x n n λ==。