第6章 信号参量的估计

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第6章 信号参量的估计

前面各章讨论了信号检测（狭义）问题。信号检测要解决的问题，是在信号与噪声的混合中判定信号是否出现或在几种可能出现的信号中究竟出现的是哪一种信号，而未考虑对信号波形或它的某些参量的确定。但在许多实际问题中，常常需要测定信号的参量或复现信号的波形。例如，雷达回波信号的时延τ及频移d ω等参量，代表了目标的距离和径向速度等等，需要测定；在模拟通信、跟踪运动目标轨迹和图象处理等问题中，需要尽可能无失真的恢复信号的波形。由于噪声的干扰和信号的随机起伏，所以对信号的参量和信号波形只能做出某种最佳意义的估计，因此称之为信号参量的估计和波形的估计。本章将讨论信号参量的估计，波形估计将在下一章讨论。

§6.1 参量估计的模型

一般来说，参量的估计是在已判定有信号存在的基础上进行的，即在完成信号检测的基础上进行的。这时，接收机输入端的回波为

T t t n t s t r ≤≤+=0)

(),()(α

（6.1-1）

式中：)(t n 表示噪声。在以后的讨论中，若不加说明，则都假定它是相加白高斯噪声。),(α

t s 表示信号。α

是用矢量表示的待估计的参量。T ),,(21

ααα=，21,αα…表示待估计的各个参量，例如是信号的振幅，初相，时延等。

被测的未知参量既可以是随机变量，也可以是未知的确定参量。不论属于哪一种情

况，我们都假定，在观测时间),0(T 内，它们是不随时间改变的。

参量估计的任务是：根据对)(t r 的有限个取样或对)(t r 的连续观测，对参量α

做出

估计。

类似于信号检测，我们可以对估计问题建立起如下的模型。

图6.1-1 估计模型

图中的第一部分是“源”。我们将待估计的参量想象成是由一个叫做“源”的机构，

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按照一定的先验概率所产生的，或者，把待估计的参量看成参量空间的一个点。

第二部分是概率传输机构。它按照一定的概率规则产生观测量r

。实际上，它反映

了噪声和（或）信号的随机起伏对被估计参量的作用过程。

第三部分是观测空间，观测量r

的所有可能取值构成了观测空间R ，r

是空间R 中

的一个点。

第四部分为估计规则。估计规则按照一定的最佳准则将空间R 映射到估计值αˆ

。或

者说，估计规则将观测空间R 中的各个点r 按照一定的方法映射到参量空间的对应点α

ˆ

。不同的估计规则，表示了不同的映射方法。

从以上可见，估计模型的前三部分与检测模型的前三部分类似。二者的差别主要在

第四部分，即最佳接收机的结构。在这一章里，我们将主要讨论估计规则及其实现。

§6.2 Bayes 估计

已经指出，参量估计要解决的问题就是在给定的最佳准则下，寻求相应的估计规则

并对待估计的信号参量做出估计。

在第二章讨论信号检测问题时曾指出，Bayes 准则是具有一般意义的判决准则，其

它几种判决准则都可以统一在Bayes 准则之下。对于估计理论，Bayes 准则也同样具有一般意义。因此，在我们讨论最佳估计准则时，首先介绍Bayes 估计。

在检测理论中，当考虑最佳判决准则时，首先要给定代价函数（也称损失函数）ij

C 和先验概率)(i H P ；在估计理论中，也同样要求给定代价函数和先验概率。

我们用α 表示待估计的参量。一般来说，矢量α

表示多个参量，为了书写简便，在

以后的讨论中，将用α代替α

，但应注意，一般来说α表示矢量，即多个参量。用αˆ表示对参量α的估计量。由于αˆ是在对观测量r

进行加工的基础上得到的，故它是r

的函数，

)(ˆr

α

，以后为了简便，将只写αˆ，但对它的含意应清楚。 由于干扰的存在，α

ˆ是对α的一个估计值，二者之间必然存在差误差。用αααˆ~-=来表示参量估计的误差。当然，α~

也是r

的函数，即)(~r

α

。 用)ˆ,(ααC 表示代价函数。通常都把)ˆ,(ααC 规定为误差α~的某种函数。显然，这

是符合实际情况的。下面举出三种典型的代价函数。

（1）22~)ˆ()ˆ,(αααα

α=-=C 误差的平方 （6.2-1） （2）ααααα~ˆ)ˆ,(=-=C 误差的绝对值

（6.2-2）

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（3）⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧∆<∆≥=2

~02~1)ˆ,(α

αα

αC 均匀代价 （6.2-3）

~

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~α

~

误差的平方 误差的绝对值 均匀代价

图6.2-1 三种代价函数

以上三种代价函数如图6.2-1所示。它们的共同特点是： 1．)ˆ,(α

αC 为非负 2．)ˆ,(α

αC 都是标量函数 在实际应用中，第一种代价函数最为通用，它产生最小均方误差的估计量。 用)(αP 表示参量α的先验概率密度。给出了代价函数和α的先验概率密度以后，便不难得到平均代价或平均风险的表示式

⎰⎰

=

)

()

(d d ),()ˆ,(αααα

αr r r p C C （6.2-4）

上式中，),(αr p 是r 和α的联合概率密度。r 是观测矢量r

的简化表示。

所谓Bayes 估计就是以平均风险C 最小为“最佳”标准的估计准则。相应的估计规便称之为Bayes 估计规则。下面我们就来求使（6.2-4）中的C 达到最小的Bayes 估计规则。

根据概率的乘法定理，有

)()()()(),(ααααr p p r p r p r p ==

将上式代入式（6.2-4），平均风险C 可表示为

⎰

⎰

⎰⎰=

=

)

()

()(d )()ˆ,(d )(d d )()ˆ,(r r

r p C r r p r

r p C C ααααα

ααα

αα （6.2-5）

将上式中的内积分记为)ˆ(r C α

⎰=)

(

d )()ˆ,()ˆ(α

ααααα

r p C r C （6.2-6）

称)ˆ(r C α

为条件代价。