4.差异量
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常用统计量二：差异量
在生产过程中，如果数据的平均差较大，则说明生产过程不稳定，需要 采取措施加以控制和调整。因此，平均差可以用于质量控制中判断生产 过程的稳定性。
03 方差
方差的定义
方差是用来度量一组数据分散程度的统计量，其计算公式为方差 = Σ[(x_i - μ)^2] / N，其中x_i表示每个数据点，μ表示平均值，N表示数据点的数量。
差异量与相关系数的关系
相关系数用于描述两个变量之间的线性关系，而差异量用于描述数据分布的离散程度。两者之间存在一定的联系，但也有明 显的区别。
在分析两个变量之间的关系时，如果两个变量之间的差异越大，那么它们之间的相关性可能越弱。因此，在分析相关系数时 ，需要考虑两个变量之间的差异程度，以更准确地理解它们之间的关系。
方差在统计学中广泛应用于描述数据的分散程度，帮助我们 了解数据的稳定性、波动性和离散程度。
在金融领域，方差被用于评估投资组合的风险；在生物学中 ，方差被用于分析实验数据的变异程度；在社会科学中，方 差分析被用于研究不同组之间的差异。
04 离散系数
离散系数的定义
离散系数是用来衡量一组数据的离散程度的统计量，通常 用标准差除以该组数据的平均值来计算。
常用统计量二差异量
目录
• 差异量的定义与分类 • 平均差 • 方差 • 离散系数 • 差异量与其他统计量的关系
01 差异量的定义与分类
差异量的定义
01
差异量是用来度量两个数值之间 差异的统计量，通常表示为两个 数值之差。
02
差异量用于比较不同数据集或不 同时间点之间的变化，帮助我们 了解数据之间的相对差异。
差异量的分类
绝对差异量
表示两个数值之间实际差值的绝 对值，不考虑正负号。
相对差异量
03 方差
方差的定义
方差是用来度量一组数据分散程度的统计量，其计算公式为方差 = Σ[(x_i - μ)^2] / N，其中x_i表示每个数据点，μ表示平均值，N表示数据点的数量。
差异量与相关系数的关系
相关系数用于描述两个变量之间的线性关系，而差异量用于描述数据分布的离散程度。两者之间存在一定的联系，但也有明 显的区别。
在分析两个变量之间的关系时，如果两个变量之间的差异越大，那么它们之间的相关性可能越弱。因此，在分析相关系数时 ，需要考虑两个变量之间的差异程度，以更准确地理解它们之间的关系。
方差在统计学中广泛应用于描述数据的分散程度，帮助我们 了解数据的稳定性、波动性和离散程度。
在金融领域，方差被用于评估投资组合的风险；在生物学中 ，方差被用于分析实验数据的变异程度；在社会科学中，方 差分析被用于研究不同组之间的差异。
04 离散系数
离散系数的定义
离散系数是用来衡量一组数据的离散程度的统计量，通常 用标准差除以该组数据的平均值来计算。
常用统计量二差异量
目录
• 差异量的定义与分类 • 平均差 • 方差 • 离散系数 • 差异量与其他统计量的关系
01 差异量的定义与分类
差异量的定义
01
差异量是用来度量两个数值之间 差异的统计量，通常表示为两个 数值之差。
02
差异量用于比较不同数据集或不 同时间点之间的变化，帮助我们 了解数据之间的相对差异。
差异量的分类
绝对差异量
表示两个数值之间实际差值的绝 对值，不考虑正负号。
相对差异量
(完整版)心理与教育统计学第4章差异量数
心理与教育统计学
复习专题：
平均增加率与几何平均数 平均增加量与算术平均数
一列数据分别为X1，X2，X3…Xn， 按一定的比例关系变化，则：
1
X2 X1
2
X3 X 2
N 1
XN X N 1
1 2 N 1
Mg N1 12 N1
Mg N1 X 2 X 3 X N X1 X 2 X N 1
160
170
180
190
A
B
4.1 全距与百分位数
• 4.1.1 全距
• 全距（range）又称为两极差，用符号R 表示。
• 用最大值（maximum)减去最小值 （minimum)得到全距。
R X max X min （4.1）
全距的特点： • 全距是最粗糙的差异量数，只利用了数据
中的极端值； • 容易受极端值的影响；
]
（4.5）
PR 百分等级； X 给定的原始分数。
成绩 95－ 90－ 85－ 80－ 75－ 70－ 65－ 60－ 55－ 50－ 45－
60－
5
12
55－
4
7
50－
2
3
4.54+79.5=84.04
45－
1
1
合计
58
精确组限 79.5~84.49
5/7=0.71
采用次数分布表计算百分位数
PP
Lb
P 100
N
Fb
i fP
（4.4）
Pp为所求的第P个百分位数； Lb为百分数所在组的精确下限； fp为百分数所在组的次数； Fp为小于Lb的各组次数的和； N为总次数； i为组距。
X N X N 1 cN 1
复习专题：
平均增加率与几何平均数 平均增加量与算术平均数
一列数据分别为X1，X2，X3…Xn， 按一定的比例关系变化，则：
1
X2 X1
2
X3 X 2
N 1
XN X N 1
1 2 N 1
Mg N1 12 N1
Mg N1 X 2 X 3 X N X1 X 2 X N 1
160
170
180
190
A
B
4.1 全距与百分位数
• 4.1.1 全距
• 全距（range）又称为两极差，用符号R 表示。
• 用最大值（maximum)减去最小值 （minimum)得到全距。
R X max X min （4.1）
全距的特点： • 全距是最粗糙的差异量数，只利用了数据
中的极端值； • 容易受极端值的影响；
]
（4.5）
PR 百分等级； X 给定的原始分数。
成绩 95－ 90－ 85－ 80－ 75－ 70－ 65－ 60－ 55－ 50－ 45－
60－
5
12
55－
4
7
50－
2
3
4.54+79.5=84.04
45－
1
1
合计
58
精确组限 79.5~84.49
5/7=0.71
采用次数分布表计算百分位数
PP
Lb
P 100
N
Fb
i fP
（4.4）
Pp为所求的第P个百分位数； Lb为百分数所在组的精确下限； fp为百分数所在组的次数； Fp为小于Lb的各组次数的和； N为总次数； i为组距。
X N X N 1 cN 1
4 第四章 差异量数
第三四分位为第九位和第十位的中位数，即：
Q3=（80+90）/2=85。 四分位差Q=（Q3-Q1）/2=(85-26)/2=29.5
24
在分组数据中：
n f b25 Q1 LQ1 4 i f Q1
3n f b75 Q3 LQ3 4 i f Q3
LQ：表示Q所在组的下限 N：表示总频数 fb:表示小于Q所在组下限的频数总和 i:表示组距
16
（五）用累加次数分布曲线图求百 分位数。P83 是一种粗略的计算方法
17
三、百分等级分数
百分等级分数与百分位数相反，它是事 先知道分布中的一个原始分数，再求这个原 始分数在分布中所处的相对位置—百分等级。
百分等级分数指出原始数据在常模团体 中的相对位置，百分等级越小，原始数据在 分布中相对位置越低；百分等级越大，原始 数据在分布中相对位置越高。
18
1 百分等级分数的计算公式
PR Fb
X Lb f
i N
100
式中:Ｌb 为某特定原始变量所在组的下限 Fb 小于Lb的累积频数
f 为某特定原始变量所在组的频数
N 为数据总的次数
i 为组距
19
2 百分等级分数的应用
例2 表4-1所列的考试分数分布中，已 知某应试者的考分为82分，问在这次考试 中低于该应试者的人数比例。
2 i 2 2 i
i
X X )
2
2X Xi N X
Xi X N X2 N X2
i
X
X 2(
X i2 2 X i2
N ( X i ) 2
) X i
X N (
N N
第四章 差异量
二 平均差、方差、标准差
4）方差、标准差的应用及优缺点 是表示一组数据离散程度的最好指标，是 常用的差异量数。
三
相对差异量
1）标准差的比较及差异系数的概念 绝对差异量和相对差异量（差异系数） 2）差异系数的使用及条件
四 差异量的数值关系与选用
1 差异量的数值关系
2 如何选用
1）共同考虑集中量和差异量； 2）多数数情况下，平均数和标准差一起进行一组数据 的描述。
练习
• 课内完成本章练习题1-8题
感谢各位的参与！
二 平均差、方差、标准差
1 平均差
1）离均差与平均差 离均差，又称离差或偏差，表示每一个观察值 与平均数的距离大小。——平均差，是次数分布 中所有原始数据与平均数绝对离差的平均值。 2）公式表达 3）平均差的意义 能较好地反应次数分布的离散趋势；但绝对值 的求取不利于进一步统计分析，因此为低效差异 量数，实践中谓方差、标准差 方差，也称变异数、均方，是每个数据与该组数据平均 数之差乘方后的均值，即离差平方后的均值。 标准差，是方差的平方根。 2）方差、标准差的计算 3）方差、标准差的性质 方差具有可加性和可分解性的特点，是方差分析的基本 依据。 方差、标准差的基本特性：a）每一个观测值都加上一个 常数C，所得数据的标准差或方差等于原标准差或方差；b） 每一个观测值都乘上一个常数C，所得数据的标准差等于原 标准差乘以这个常数C，所得数据的方差等于原方差乘以这 个常数C的平方。
1）何谓百分位距 百分位数（又称百分位点，指量尺上的一个点，在此点 以下数据分布中全部数据个数的一定百分比。）——百分 位差（指第10百分位数和第90百分位数之间的距离。）
一 全距与百分位距
2）百分位数的计算 与计算分组数据中数的原理一致。 3）百分等级的计算 百分位数的逆运算。
04差异量数-PPT课件
8
4.3 方差和标准差
方差和标准差的定义
XX S n
2
2
X X S n
2
原始数据计算公式
X X 2 S n n
2 2
X2 X S n n
2
9
4.3 方差和标准差
例: 下面是从甲乙两个班分别随机抽取10名学
生的英语听力考试成绩,计算这两个班这 次考试成绩的平均分分数和离散程度。 甲班 7 乙班 8 8 8 6 5 3 5 5 5 9 4 8 5 6 7
18
4.4 差异系数
例1:比较计量单位不同的数据资料的差异程度
表 抑郁水平与理性恋爱观差异程度对比
平均数 抑郁 理性恋爱观 17.74 1.68 标准差 3.69 0.41 差异系数 20.8 24.4
19
S CV 100 % X
17
4.4 差异系数
差异系数的作用
比较不同单位资料的差异程度
比较单位相同而平均数相差较大的两组资料的差异程度 可判断特殊差异情况
Tips
根据经验，一般CV值常在5％－35％之间。如果CV大于 35％时，可怀疑所求得的平均数是否失去了意义；如果 CV小于5％时，可怀疑平均数与标准差是否计算有误。
数理统计
张丹慧
教育统计和测量所
danhuizhang1980gmail
北京师范大学本科生公共课
2
全面反映一组数据的特征： 必须求出集中量数；还要求出差异量数。
差异量数越小，说明数据的离散程度越小，集中量数的代表性越大 差异量数越大，说明数据的离散程度越大，集中量数的代表性越小
第四章 差异量数
4.3 方差和标准差
方差和标准差的定义
XX S n
2
2
X X S n
2
原始数据计算公式
X X 2 S n n
2 2
X2 X S n n
2
9
4.3 方差和标准差
例: 下面是从甲乙两个班分别随机抽取10名学
生的英语听力考试成绩,计算这两个班这 次考试成绩的平均分分数和离散程度。 甲班 7 乙班 8 8 8 6 5 3 5 5 5 9 4 8 5 6 7
18
4.4 差异系数
例1:比较计量单位不同的数据资料的差异程度
表 抑郁水平与理性恋爱观差异程度对比
平均数 抑郁 理性恋爱观 17.74 1.68 标准差 3.69 0.41 差异系数 20.8 24.4
19
S CV 100 % X
17
4.4 差异系数
差异系数的作用
比较不同单位资料的差异程度
比较单位相同而平均数相差较大的两组资料的差异程度 可判断特殊差异情况
Tips
根据经验，一般CV值常在5％－35％之间。如果CV大于 35％时，可怀疑所求得的平均数是否失去了意义；如果 CV小于5％时，可怀疑平均数与标准差是否计算有误。
数理统计
张丹慧
教育统计和测量所
danhuizhang1980gmail
北京师范大学本科生公共课
2
全面反映一组数据的特征： 必须求出集中量数；还要求出差异量数。
差异量数越小，说明数据的离散程度越小，集中量数的代表性越大 差异量数越大，说明数据的离散程度越大，集中量数的代表性越小
第四章 差异量数
教育统计学第四章 差 异 量
σ =
2 x
∑ (x
2 i
i
− x)
2
n
σ =
2 x
∑x
n
−
∑x
n
i
2
• 例1 求数据组{52，62，74，45，50， 71，81，85}的方差。 为了使方差与数据组中的数据具有相 同的单位，将方差开平方， 同的单位，将方差开平方，称为数据组的 标准差，用符号бx表示。 标准差，用符号 表示。 标准差的计算公式： 标准差的计算公式： 标准差等于方差的算术平方根
差异系数的计算公式为： 差异系数的计算公式为：
cv =
σx
x
× 100%
例1 某学校一年级学生体重与身高情况 如下述资料表： 如下述资料表：
表4-3 某学校一年级学生体重与身高情况资料表
平均数 体重 身高 21.40公斤 公斤 125.85cm
标准差 2.19公斤 公斤 4.67cm
计算差异系数： 解 计算差异系数：
cv体重
cv身高
2.19 = × 100% = 10.23% 21.40
4.67 = × 100% = 3.71% 125.85
某班期末考试数学平均分为95分 例2 某班期末考试数学平均分为 分， 标准差为10分 语文平均分为60分 标准差为 分；语文平均分为 分，标准差 为9分，试比较数学和语文分数的离散程度。 分 试比较数学和语文分数的离散程度。
频数分布表方差和标准差的计算公式： 频数分布表方差和标准差的计算公式：σ =2Fra bibliotekx∑fx
N
2 i i
−
−
∑fx
N
i i
2
统计学第四章重点知识点
第四章 差异量教学目的：1.理解全距、四分位距、百分位距、平均差、方差、标准差和差异系数等概念；2.掌握各种差异量指标的计算方法。
数据的分布特征不仅有集中趋势，还有离中趋势。
以动态的眼光，从不同的角度看，数据是向中间变动的，也是向两端变动的。
两组数据可能平均水平相同，但两组数据的分布特征并不完全相同。
【如】:比较以下两组数据 A 组：88、82、73、76、81 B 组：92、86、70、72、80两组平均数,80==B A X X 但R A =88－73＝15，R Ｂ=92－70＝22。
即A 组较集中，B 组较分散。
因此，我们描述一组数据的分布特征，既要描述其集中趋势，也要描述其离中趋势。
差异量：表示一组数据的离中趋势或变异程度的量称为差异量。
常用的差异量指标有全距、四分位距、百分位距、平均差、方差、标准差和差异系数。
第一节全距、四分位距、百分位距一、全距全距：是一组数距中最大值与最小值之差。
优点：意义明确，计算方便。
缺点：反响不灵敏，易受极端值影响。
二、四分位距〔一〕四分位距的的概念四分位距:是指一组按大小顺序排列的数据中间部位50%个频数距离的一半。
QD ：表示四分位距； Q 3：表示第三四分位数； Q 1：表示第一四分位数。
所以：四分位距的公式又为： 〔二〕四分位数的计算方法 1、原始数据计算法〔1〕将数据由小到大进行排列；〔2〕分别求出三位四分位数〔点〕；〔3〕代入公式计算。
【例如】：有以下16个数据25、22、29、12、40、15、14、39、37、31、33、19、17、20、35、30，其中四分位距的计算方法如下：〔1〕先将原始数据从小到大排列好；12、14、15、17、*19、20、22、25、*29、30、31、33、*35、37、39、40Q1=18 Md=27 Q3=34〔2〕求出Q1、Md、Q3；〔3〕将Q1、Md、Q3的得数代入公式〔4.1〕。
2、频数分布表计算法利用频数分布表计算公式为：关键是分别计算P75和P25，百分位数计算方法掌握了，这里的计算就不会有什么问题。
第四章 差异量
三、百分位距 ——百分位距是指两个百分位数之差。 常用的有两种： 一为第90与第10百分位数之差，用P90-P10； 一为第93与第7百分位数之差，用P93-P7表示。 优点——用几个百分位距能较好反映一组数据的差异程度。
应用——在计算频数分布峰态量时，要用到百分位距。
13
第一节 全距、四分位距、百分位距
20
第二节 平均差
课堂练习 4、求频数分布表数据（Md=64）的平均差 解： MD
X Md n ( 15 64 1 45 64 3 55 64 4 65 64 5 75 64 4 85 64 2 95 64 1) 20 13.2
2 2 2
X
X
X
n
2
X n
2
2
41 39 37 35 38 5 4
2
28
第三节 方差和标准差
二、计算方法
2、频数分布表计算法 若原始数据已归入频数分布表，且无原始数据，可以用组中 值近似计算。
X
2
fX n
一、全距 1、原始数据 ——是一组数据中最大值与最小值之差，又称极差。用R表示。
甲组：54、63、72、74、82、88、99 乙组：67、71、73、76、79、82、84
甲组的全距 乙组的全距 R=99-54=45 R=84-67=17
平均数是76 平均数是76
6
第一节 全距、四分位距、百分位距
R≈6σX≈7.5MD≈9QD
34
类 别 标 准 差 方 差 全 距
优
点
缺 方差和标准差 点 第三节
应
用
1.感应灵敏 2.严密确定 3.适合代数法处 理 4.受抽样变动影 响小 1.意义简明 2.计算简单
应用——在计算频数分布峰态量时，要用到百分位距。
13
第一节 全距、四分位距、百分位距
20
第二节 平均差
课堂练习 4、求频数分布表数据（Md=64）的平均差 解： MD
X Md n ( 15 64 1 45 64 3 55 64 4 65 64 5 75 64 4 85 64 2 95 64 1) 20 13.2
2 2 2
X
X
X
n
2
X n
2
2
41 39 37 35 38 5 4
2
28
第三节 方差和标准差
二、计算方法
2、频数分布表计算法 若原始数据已归入频数分布表，且无原始数据，可以用组中 值近似计算。
X
2
fX n
一、全距 1、原始数据 ——是一组数据中最大值与最小值之差，又称极差。用R表示。
甲组：54、63、72、74、82、88、99 乙组：67、71、73、76、79、82、84
甲组的全距 乙组的全距 R=99-54=45 R=84-67=17
平均数是76 平均数是76
6
第一节 全距、四分位距、百分位距
R≈6σX≈7.5MD≈9QD
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类 别 标 准 差 方 差 全 距
优
点
缺 方差和标准差 点 第三节
应
用
1.感应灵敏 2.严密确定 3.适合代数法处 理 4.受抽样变动影 响小 1.意义简明 2.计算简单
4差异量数
11
练习：某小学二年级80名学生身高的频数分布如下表，求 其四分差。
小学二年级80名学生身高的频数分布表 身 高 115~ 118~ 121~ 124~ 127~ 130~ 133~ 136~ 139~ 142~ 总 和 频 数 1 3 8 10 20 19 12 4 2 1 80 累计频数 1 4 12 22 42 61 73 77 79 80 计算四分差
3、标准分数的性质
（1）一组原始数据的标准分数的算术平均数为 ，即 ）一组原始数据的标准分数的算术平均数为0， （2）一组原始数据的标准分数的标准差为 ，即 ）一组原始数据的标准分数的标准差为1，
25
4、标准分数的应用 （1）确定原始数据在其团体中的相对位置 例：某市中考，数学平均成绩为75分，标准差为12分。某 生数学考了78分，试问其数学成绩在全市考生中的地位如 何？ 解：该考生数学成绩的标准分数为：
15
利用公式计算平均差
五、方差和标准差
（一）概念 方差是指离差平方的算术平均数。
方差的算术平方根称为标准差。总体标准差用 示，样本标准差用 S 表示。
表
标准差是一个较为准确的差异量数，常与算术平均数 配合使用，来描述一组数据的集中、离中趋势。标准差数 据越大，表明这组数据的离散程度越大。
16
离差
甲乙两组共12名小学生体育课跳远测验成绩如下， 甲乙两组共 名小学生体育课跳远测验成绩如下，请分别计算 名小学生体育课跳远测验成绩如下 其标准差。 其标准差。
甲乙两组小学生跳远成绩统计表（米） 组别 甲组 乙组 1.90 2.30 1.95 1.60 2.15 1.70 跳 远 成 绩 1.98 2.01 2.10 2.04 1.82 2.05 2.08 1.90 2.02 2.40 平均成绩 2.00 2.00
4 差异量数
0
Starting Salary
jinggangshan
第四章 差异量数
•差异量数就是描述一组数据离中趋势的量数。
•集中量数虽然能较好地描述一组数据的集中趋势，但 这还远远不够，它还不能代表一列数据分布的全貌。 客观世界的事物总是千差万别的，这其中不仅有质的 差异，而且还有量的差异，这种事物的差异则是统计 分布的另种特征——离中趋势或离散程度 。
•差异量数主要有：全距 (Range) 、四分位差 (Quartile) 、 百分位距(Percent Rank)、平均差(AD)、方差和标准差 (Variance & SD) 、差异系数(相对标准差CV).
jinggangshan
全距
• 全距是指一列数据最大差距，即一列数 据中最大数与最小数的差距，又称极差， 用符号RN（Range）表示. • 全距意义简明，计算简单，但容易受极 端数据的影响，不反映全部数据的差异 情况 ，使用价值极小。
jinggangshan
四分位差(Quartile)
N i Q1 LQ1 Fb 4 fQ1
N i Q3 LQ3 Fb 4 fQ3
jinggangshan
N i Q90 LQ90 Fb 4 fQ90
N i Q10 LQ10 Fb 4 fQ10
jinggangshan
•平均差(AD）
•是指一组数据的离差绝对值的算术平均数。 •未归表数据求平均差； •已归表数据求平均差。
0 0. 50 62 0.0 50 57 .0 0 50 52 0.0 50 47 0.0 50 42 0.0 50 37 .0 0 50 32 0.0 50 27 0.0 50 22 .0 0 50 17 0.0 50 12 0 . 00 75
第四章 差异量
2
2
X N
2
N
2
X N
X N
2
• 例4-4：某班的创造 表4-2 成绩分布表 思维成绩如下表。试 组别 f 问其平均差距为多少？ 40-44 1 35-39 7 30-34 3 25-29 11 20-24 8 15-19 2 ∑ 32
分析一
d X Xt
St
ns d n
2 2
分析过程
组别
甲 乙 丙 丁
n
20 18 16 20 74
M S M-Mt （S2+d2） n(S2+d2)
80 75 70 70 － 8 6.1 7 1.1 8 -3.9 6 -3.9 － － 101.21 50.21 79.21 51.21 – 2024.20 903.78 1267.36 1024.20 5219.54
|d| 9.75 4.75 0.25 5.25 10.25 -
f|d| 117 346.75 13 204.75 246 927.50
3550 X 17.75 200
927 .50 AD 4.64 200
错误总数 6－10 11－15 16－20 21－25 26－30 总计
学生数量 12 73 52 39 24 200
⑤ 求fd2及其 连加和
d2 fd2 189.0625 189.0625 76.5625 535.9375 14.0625 42.1875 1.5625 17.1875 39.0625 312.5000 126.5625 253.3125 1350.0000 －
∑fd2
（三）加权式
1、基本式
1350 2 S 32 42.1875
2
X N
2
N
2
X N
X N
2
• 例4-4：某班的创造 表4-2 成绩分布表 思维成绩如下表。试 组别 f 问其平均差距为多少？ 40-44 1 35-39 7 30-34 3 25-29 11 20-24 8 15-19 2 ∑ 32
分析一
d X Xt
St
ns d n
2 2
分析过程
组别
甲 乙 丙 丁
n
20 18 16 20 74
M S M-Mt （S2+d2） n(S2+d2)
80 75 70 70 － 8 6.1 7 1.1 8 -3.9 6 -3.9 － － 101.21 50.21 79.21 51.21 – 2024.20 903.78 1267.36 1024.20 5219.54
|d| 9.75 4.75 0.25 5.25 10.25 -
f|d| 117 346.75 13 204.75 246 927.50
3550 X 17.75 200
927 .50 AD 4.64 200
错误总数 6－10 11－15 16－20 21－25 26－30 总计
学生数量 12 73 52 39 24 200
⑤ 求fd2及其 连加和
d2 fd2 189.0625 189.0625 76.5625 535.9375 14.0625 42.1875 1.5625 17.1875 39.0625 312.5000 126.5625 253.3125 1350.0000 －
∑fd2
（三）加权式
1、基本式
1350 2 S 32 42.1875
04心理统计学-第四章 差异量数
第三节 标准差的应用
▪ 一、差异系数（coefficient of variation） P94
绝对差异量数 vs. 相对差异量数（不带测量单位）
➢ 用以比较多组数据之间离散程度的大小。
➢ 计算公式：CV s 离散程度的比 较（如，身高 vs. 体重）；②（各均值相差较大时）不 同团体同种观测值离散程度的比较（如，成人体重 vs. 小孩体重）。
➢ 1、计算公式 ： Z X X
s
例题计算 [自习例4-7]
➢ 例：某中学体检，全校身高平均为160cm，标准差为 24cm；体重平均为55kg，标准差为11kg。小明身高 172cm，体重66kg。问：①身高与体重哪个的分布更 为离散？②若从相对排名来看，小明是身高排名更靠前、 还是体重排名更靠前？（高的、重的排名在前）
例题计算 [自习例4-5、例4-6]
➢ 注意：①适用资料至少是等距，理论要求为比 率数据；②尚不能进行统计推论。
第三节 标准差的应用
▪ 二、标准分数（standard score，又称Z分数） P95
是以标准差为单位来表示一个原始分数在团体中 所处的相对位置量数。可用以比较多个数在其所 在数组分布中的相对位置的高低（Z分数越大，表 明该数据在其分布中的相对位置越高）。
第四章 差异量数
第一节 全距和百分位差 第二节 平均差、方差与标准差 第三节 标准差的应用：差异系数和
标准分数
第四节 差异量数的选用
第一节 全距和百分位差
▪ 一、全距 P80
➢ 又称两极差，用最大值与最小值之差来表示离中 趋势，符号R（range），公式 R X max X min
计算所得数值越大，表明数据越离散/分散 [下同]
➢ 3、标准分数的优缺点
第四章 差异量数
（二）方差和标准差的计算公式
1.基本计算公式 1.基本计算公式
Байду номын сангаас
Σ X −X S = N
2
(
)
2
2
公式1
Σ X −X S= N
例4－3 －
(
)
公式2
2.原始数据计算公式 基本公式的变式 原始数据计算公式(基本公式的变式 原始数据计算公式 基本公式的变式)
ΣX 2 ΣX NΣ X 2 − ( Σ X ) 2 S = − = N N2 N
组别 95－ 90－ 85－ 80－ 75－ 70－ 65－ 60－ 55－ 50－ 45－
合计
次数f 2 2 3 5 8 11 9 5 4 2 1 52
累积次数
计算这个数列的四分位差
52 50 48 45 40 32 21 12 7 3 1
Q3 −Q1 Q= 2
第二节
平均差、 平均差、方差与标准差
组别 95－ 90－ 85－ 80－ 75－ 70－ 65－ 60－ 55－ 50－ 45－
合计
次数f 2 2 3 5 8 11 9 5 4 2 1 52
累积次数
52 50 48 45 40 32 21 12 7 3 1
计算P90和P10之间 计算P90和P10之间 P90 的百分位差
（四）百分位数与百分等级
表5-1 52名学生数学成绩方差和标准差计算表
成绩 95－ 90－ 85－ 80－ 75－ 70－ 65－ 60－ 55－ 50－ 45－ 合计 组中值Xc 97 92 87 82 77 72 67 62 57 52 47 频数f 2 2 3 5 8 11 9 5 4 2 1 52
计 算
4第四章 差异量数
•方差与标准差的性质和意义 方差与标准差的性质和意义
方差与标准差的意义 标准差与其他各种差异量数相比，具有数学上的优越性， 标准差与其他各种差异量数相比，具有数学上的优越性， 特别是当已知一组数据的平均数与标准差后，就可以知道落在 特别是当已知一组数据的平均数与标准差后， 平均数上下各一个标准差、两个标准差， 平均数上下各一个标准差、两个标准差，或三个标准差范围之 内的数据所占的百分比。 内的数据所占的百分比。
思考题
为什么说标准差是重要而完善的差异量？ 为什么说标准差是重要而完善的差异量？
答：
（1）标准差具有简单明了，反映灵敏，严密 标准差具有简单明了，反映灵敏， 确定，容易计算，适合代数运算， 确定，容易计算，适合代数运算，受抽样变动的 影响较少等优点。 影响较少等优点。 （2）标准差在避免两极端数值影响方面大大 超过全距、百分位差和四分位差； 超过全距、百分位差和四分位差；在避免绝对值 方面，优于平均差；在考虑单位方面，优于方差。 方面，优于平均差；在考虑单位方面，优于方差。
•差异系数 差异系数
差异系数的概念 差异系数是指标准差与其算术平均数的百分比， 差异系数是指标准差与其算术平均数的百分比，用 CV表示。其计算公式如下： CV表示。其计算公式如下： 表示 差异系数的应用 （1）同一团体不同观测值离散程度的比较（即不同单位 同一团体不同观测值离散程度的比较（ 资料差异程度的比较）； 资料差异程度的比较）； 对于水平相差较大， （2） 对于水平相差较大，但进行的是一种观测的各种 团体，进行观测值离散程度的比较（ 团体，进行观测值离散程度的比较（即单位相同而平均 数相差较大的两组资料差异程度的比较）。 数相差较大的两组资料差异程度的比较）。
•动差体系 动差体系
一级动差
《差异量》课件
CV
X
100%
X
CV 表示差异系数
表示标准差 X
X 表示算术平均数
二、应用
1.用来比较单位不同的数据
例如：某小学的学生平均体重为25公斤， 体重的标准差为3.7公斤，平均身高为110厘米， 标准差为6.2厘米，问体重与身高的离散程度哪 个大？
解：
CV
X
100%
X
体重
CV 3.7 100% 14.8%
评价
优点： 较少受两极端数值的影响。 缺点： 只利用用了一组数据中的两个数据，因此反应 不灵敏；反映一组数据的离散程度也不是特别理想； 是一种终结计算，不能做进一步的代数运算。
一般和中位数一起来反映一组数据的面貌。
三、百分位距：
百分位距是指两个百分位数之差。
P Pp1p2 Nhomakorabea常用的百分位距有两种：一为第90与第10百分位数之
21
100－
102.5
24
105－
107.5
14
110－
112.5
9
115—
117.5
4
120－
122.5
3
125－
127.5
2
总和
100
f(X-Md) 56.25 110.00 105.00 78.75 30.00 87.5 101.25 65 63.75 52.5 750
f(X- X )
57.75 114 111 89.25 18 80.5 96.75 63 62.25 51.5 744
8
90－
92.5
12
95－
97.5
21
100－
102.5
24
105－
第四章差异量
第20页，此课件共26页哦
四级动差法---峰态系数
❖ 峰态系数：用动差计算（用SPSS计算更方便）
第21页，此课件共26页哦
第22页，此课件共26页哦
注意： （1）当a4 ＝0时，分布呈正态峰；当a4＞0时，
分布呈高狭峰，当a4 ＜0时，分布呈低阔峰。 （2）只有当N＞1000时，所计算出来的峰态系
❖ 优点：意义明确，计算容易，每个数据都参加了计算， 考虑到全部的离差，反应灵敏。
❖ 缺点：由于计算要用到绝对值，不适合代数运算，这一点 使它的应用受到很大限制，因此在统计分析中应用较少。
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平均差的计算
第8页，此课件共26页哦
第三节 方差和标准差
❖ 定义
（1）方差是离差平方的算术平均数；
（2）标准差是方差的方根。 ❖ 计算
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计算
第10页，此课件共26页哦
优点与缺点
❖ 优点
反应灵敏，严密确定，计算简单，适合代数运算。用 样本数据推断总体差异量时，方差和标准差是最好的 估计量。
❖ 缺点 易受两极端数值的影响，有个别数值不清楚时，无法计算。
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系数才可靠。
第17页，此课件共26页哦
峰态量
❖ 峰态量是描述次数分布的陡峭程度的指标。
第18页，此课件共26页哦
计算方法
❖ 百分位数法 ❖ 四级动差法
第19页，此课件共26页哦
百分位数法
注意： （1）当Ku＝0.263，分布呈正态峰； （2）当Ku ＜ 0.263，分布呈正态峰； （3）当Ku ＞ 0.263，分布呈正态峰；
用途
（1）计算相关系数、标准分数等都用到标准差。
四级动差法---峰态系数
❖ 峰态系数：用动差计算（用SPSS计算更方便）
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注意： （1）当a4 ＝0时，分布呈正态峰；当a4＞0时，
分布呈高狭峰，当a4 ＜0时，分布呈低阔峰。 （2）只有当N＞1000时，所计算出来的峰态系
❖ 优点：意义明确，计算容易，每个数据都参加了计算， 考虑到全部的离差，反应灵敏。
❖ 缺点：由于计算要用到绝对值，不适合代数运算，这一点 使它的应用受到很大限制，因此在统计分析中应用较少。
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平均差的计算
第8页，此课件共26页哦
第三节 方差和标准差
❖ 定义
（1）方差是离差平方的算术平均数；
（2）标准差是方差的方根。 ❖ 计算
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计算
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优点与缺点
❖ 优点
反应灵敏，严密确定，计算简单，适合代数运算。用 样本数据推断总体差异量时，方差和标准差是最好的 估计量。
❖ 缺点 易受两极端数值的影响，有个别数值不清楚时，无法计算。
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系数才可靠。
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峰态量
❖ 峰态量是描述次数分布的陡峭程度的指标。
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计算方法
❖ 百分位数法 ❖ 四级动差法
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百分位数法
注意： （1）当Ku＝0.263，分布呈正态峰； （2）当Ku ＜ 0.263，分布呈正态峰； （3）当Ku ＞ 0.263，分布呈正态峰；
用途
（1）计算相关系数、标准分数等都用到标准差。
统计心理-第四章 差异量数
N
xi2
S2 i1
i1
N
N
3.标准差：
S
N
2
Xi X
i1
N
N
xi2
i1
N
方差与标准差是最常用的描述次数分布离散程度的差异量数。
（二）方差与标准差的计算
• 计算6，5，7，4，6，8这一组数据的方差和标准差。
（二）方差与标准差的计算
1. 基本公式：
N
2
1.n5,0X7.73
组限
95— 90— 85— 80— 75— 70— 65— 60— 55— 合计
分组数据求平均差
f
X C XC X
1
97
19.7
4 92 14.7
6 87
9.7
9 82
4.7
12 77
0.3
8 72
5.3
5
67
10.3
4 62 15.3
1
57 20.3
50
计算
1.n5,0X7.73
20
22
17
（ms）
第二节 平均差、方差与标准差
一、平均差 2.计算： （2）分组数据求平均差
f
A.D.
XC
X
n
组限
95— 90— 85— 80— 75— 70— 65— 60— 55— 合计
分组数据求平均差
f
XC
1
97
4 92
6 87
9 82
12 77
8 72
5 67
4 62
1
57
50
计算
Q3
Lb
3N 4
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举例说明
教 育 统 计 学
• 以下是两组样本数据，及其样本平均数与样本标准差。
第一组 41 44 45 47 47 48 51 53 58 66
第二组 20 37 48 48 49 50 53 61 64 70
第一组 第二组
x =50.0，s=7.4 x =50.0，s=14.2
教 育 统 计 学
经计算，Min=5, Q1=23, Q2=30.5, Q3=36.5, Max=66 请问数据中有无极端值存在？
教 育 统 计 学
百分位距
• 百分位距是两个百分位数之差。 • 常用的百分位距有两种： • P90 －P10 • P93 －P7
教 育 统 计 学
平均差
X M X Md MD 或 n n
教 育 统 计 学
练习
• 1. 如果一个公司的职员每人加薪3000元，那么他们 收入的标准差如何变化？众数、中位数、均值、极 差、四分位距呢？ • 2. 如果一个公司的职员每人工资增长2倍（变为原来 的3倍），那么他们收入的标准差如何变化？众数、 中位数、均值、极差、四分位距呢？
教 育 统 计 学
X
2
X X
N N
2
2
X
X X
2
在式中， X 表示方差， X 表示标准差； N表示总频数。
X X表示每个数据与平均数 的差数，称为离差；
教 育 统 计 学
• 标准差代表了什么意义？ – 可以由标准差看出：平均而言，数据中的观察值 究竟有多偏离平均数。 – 标准差越大，表示数据中的观察值越偏离平均数， 而数据的分散程度也就越大。
原始数据计算法
X
2
X
N
2
2
X
N
2
X X N N 在式中， X表示原始数据；
2
X
N表示总频数。
教 育 统 计 学
• 例：某校对 5 个教师的教学效果进行测评，满分为 20 分， 5 个教师的得分为 14 分、 15 分、 13 分、 12 分 和14分，这五个教师得分的方差和标准差各是多少？
解 : X 68, X 930, N 5
2
X
2
930 68 186 184.96 1.04 5 5
2
X 1.04 1.02
教 育 统 计 学
频数分布表计算法
• 对于用频数分布表提供的数据资料，可以用组中
值作为各组数据的近似值来计算方差和标准差。
教 育 统 计 学
极端值的判断
• 运用Q1，Q3, QD来设定下限与上限 下限= Q1 – 3QD； 上限= Q3 + 3QD
凡是在上述范围之外的观察值，即为潜在的极端值。
下限 上限
位于此处的观察值即是 潜在的极端值。
教 育 统 计 学
一个例子 • 以下是抽取20位美国人，调查其每周观看电视的 时数，所得的一组资料。 25 66 34 30 41 27 35 31 26 32 38 30 32 15 38 20 43 05 16 21
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3. 方差和标准差的优缺点及应用
• 优点：反应灵敏、严密确定、计算简单、适合代 数运算等。 • 缺点：意义不易理解、易受两极端数值的影响、 有个别数据不清楚时无法计算。 • 应用：是最常用的差异量数，标准差的应用尤其 广泛。标准差往往和算术平均数配对使用，以反 映一组数据的差异程度和集中程度。
教 育 统 计 学
• 柴比契夫规则：若存有一组资料与一个数值k (k 1 ＞1)，则至少有 100 1 % 的观察值会落在距离
k2
平均数加减k个标准差的范围内。
至少100(1-1/k2)%的 观察值会落在平均数 加减k个标准差的范围 内
次 数
平均数 –k个标准差
平均数 平均数 + k个标准差
教 育 统 计 学
差异量
– 差异量是表示一组数据变异程度或离散程度的
一类特征量。差异量越大，说明数据分布的范
围越广，分布越不整齐；差异量越小，说明数
据变动范围越小，分布就越集中。
– 在教育工作中常用的差异量有全距、方差、标
准差、差异系数等。
教 育 统 计 学
全距
• 全距是一组数据中的最大值与最小值之差，又称为 极差。用R表示。 • 对于一组原始数据，全距等于其最大值与最小值之 差。 • 对于频数分布表提供的数据，全距等于最大一组与 最小一组的组中值之差，或者是最大一组的上限与 最小一组的下限之差。
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• 三个标准差原则：
在任何一组数据中，大部分的观察值会落入距离 平均数加减三个标准差的范围内。 根据柴比契夫规则，89%的观察值会落入距离平 均数加减三个标准差的范围内。
• 适用任数据的分配型态。
根据经验法则，99%的观察值会落入距离平均数 加减三个标准差的范围内。 • 适用于钟型对称的数据分配型态（常态分配）
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全距 = 78-72 =6英寸
全距 = 84-67=17英寸
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四分位距
• 四分位距是用依一定顺序排列的一组数据中间部位 50%个频数距离的一半作为差异量的指标。即四分 位距就是第三个四分位数Q3与第一个四分位数Q1差 的一半。用QD表示。 QD=（Q3－ Q1）÷2 Q3 = P75
相对差异量
1. 相对差异量的概念
• 前面的全距、方差和标准差都是带有单位的绝对差异 量。 • 相对差异量（即差异系数）：是指一组数据的标准差 与算术平均数的百分比。它是没有单位的相对数。用 CV表示差异系数，计算公式为：
CV
X
X
100%
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2. 差异系数的用途
• 差异系数越大，则该组数据内部的差异程度就越大，反 之，差异程度就越小。因此，我们可以通过计算两组数 据差异系数的大小来比较它们差异程度的大小。 • 比较不同单位数据组资料的差异程度。
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计算公式：
P 75 P 25 Ku 2( P 90 P 10 )
• 当Ku＜0.263时，分布呈高狭峰；
• 当Ku＞0.263时，呈低阔峰；
• 当Ku=0.263时，分布为正态峰。
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第四章 差异量
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数据的“位置”
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数据的“尺度” • 这两组数据“胖瘦”一样吗？
教 育 统 计 学
• 让我们来看一个例子
– 以下是从两个篮球队抽样的五位球员。 – 虽然两队的平均身高都是75英寸，中位数都是76英寸，众 数都是76英寸。但仔细观察，这两队的身高是否还是有所 不同呢？（1英尺 = 12英寸；1英寸=2.54公分)
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偏态量与峰态量
• 1. 偏态量（ skew）：是描述次数分布的偏态方向和 程度的量数。 • 计算公式：
X M0 3( X Md ) SK SK S S
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• 2. 峰态量（ kurtosis ）：描述次数分布的高低宽窄特 征的量数。
• 高狭峰：S较小，分数分布高窄，集中在平均数两侧。 • 低阔峰：S较大，分数分布低阔，散布较广。 • 正态峰：分布介于高峰态和低峰态之间。
• 比较单位相同而平均数相差较大的数据组资料的差异程 度。
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例：现有成人组和婴儿组各100人的两个抽样总体。测得成 人组平均体重为65千克，标准差为6千克；婴儿组平均体重为4 千克，标准差为1.5千克。能否认为成人组体重的差异比婴儿 组体重的差异大？ 例：对一个群体测量身高和体重，平均身高为170.2厘米， 身高标准差为5.30厘米；平均体重为70千克，体重标准差为 4.77千克。比较身高和体重的离散程度。
，
Q1 = P25
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极值
• 落在上或者下四分位数的3个四分位距单位之外的观测值。
• 即：大于Q3+3QD 或小于Q1-3QD的数据为极值。
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极端值
• 极端值的意义 – 又称「离群值」或「异常值」
– 在一组数据中，凡是落在数据整体组型之外的观 察值，即为极端值。
– 例如：全班几乎所有人的体重都落在45到80公斤 之间，其中以65到70公斤之间的人居多（整体组 型），但有一位同学的体重高达100公斤，显著的 偏离班上同学的体重范围，此即极端值。
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方差和标准差
1. 方差和标准差的概念
• 方差和标准差是通过离差来定义的。
• 离差：是指一组数据中的各个数据与该组数据算术平均数 之差。
• 方差：是一组数据离差平方的算术平均数，即方差可由离 差的平方和除以数据个数所得。 • 标准差：是方差的算术平方根。
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2. 方差和标准差的定义公式