可靠性数学基础知识

可靠性数学基础知识

重庆大学周家启

1 集合与事件

概率是事件的一定属性，事件可以通过集合(简称“集”)来描述。因之在研究概率之前，讨论一下集合的基本概念。

1.1集合的定义和符号

具有某种规定性质的事物的总体称为集(合)。组成集合的这些事物的每一个体称为集的元素或成员。只有有限个元素的集称为有限集，具有无限个元素的集称为无限集。例如，“A城中18岁及以上的全体公民”是一个有限集，“所有正整数的全体”则是一个无限集。

集合常用大写字母表示，元素常用小写字母表示，如果某一个体x是集A 的元素，则记为

x∈

A

读作“x属于A”。而

x∉

A

则表示x不属于A。

如果集A和集B具有完全相同的元素，即集A的每个元素都是B的元素，集B的每个元素也都是A的元素，则说A等于B，记为A=B。

有限集A中元素的数目叫A的基数，记为|A|。

一个集S可以用列举出它的全部元素的方式来表示，例如

]7,5,3,2[=

S

与括号中元素的排列次序无关。

一个集P也可以按照它的元素某种特定的属性来表示，例如

x

P=

x

]

[是质数

|

括号中垂直线左右的记号代表集的典型元素。

于是前面列出的集S也可写成

P

x

=x

S且

x

∈

|

]8

[<

或]8

x

S

P

[<

=x

|

∈

有两个集A和B，如果B的每个元素都是A的元素，则说B是A的子集，记为

A B ⊆ 或 B A ⊇

有时读成A 包含B 。一个集A 也总是它本身的一个子集，A A ⊆。集A 中任何一个不等于A 的子集B 称为A 的真子集，记为

A B ⊂ 或 B A ⊃

如果 B A ⊆且A B ⊆， 则A=B 。

1.2 集合的基本组合规则

通过集的运算可以将某些集合组合形成新的集合，一般有如下一些运算规则。

如果A 和B 是两个集，则它们的并B A 定义为

]|[AB x B x A x x B A ∈∈∈=或或

它们的交B A 定义为

]|[B x A x x B A ∈∈=且

例1 如果S=[2、3、5、7]且T=[1、2、3]，则

T S =[1、2、3、5、7]；T S =[2、3]

如果集A 和集B 没有公共元素，则称它们为不相交的集。这两个不相交集之交得到一个不包含任何元素的集。称其为空集，以φ表示。因之φ=B A ，而且φ也是任意一个集N 的子集。

集的并和交的运算服从以下规则

1. 幂等律

A A A = ，A A A =

2. 交换律

A B B A =，A B B A =

3. 结合律

)()(C B A C B A =，)()(C B A C B A =

4. 分配律

)()()(C A B A C B A =，)()()(C A B A C B A =

集A 和集B 的差A –B 定义为

]|[B x A x x B A ∉∈=-且

如果B 是A 的一个子集，则有时称A –B 为B 在A 中的补集。

例2 如果S=[2、3、5、7]且T=[1、2、3]，则

S –T = [5、7]；T –S = [1]

1.3 集的集合的概念

在可靠性评估技术中常会碰到集中的元素本身也是一个集的情况。以下用所谓的幂集来说明这个概念。

定义任意集A 的幂集p (A)为A 的全部子集的集合，即

)](|[)(A x x A ⊆=p

例3 令A=[x, y, z]，则

]],,][,[],,[],,[],[],[],[,[)(z y x z y z x y x z y x A φ=p

对于集的集合，其并和交的定义是：令ϕ为任意集的集合，则并

],|[成立对于至少一个ϕϕ∈∈=A A x x

而交

],|[均成立对于所有ϕϕ∈∈=A A x x

如果ϕ是有限个集的集合，例如][21n ，A ，

，A A =ϕ，则常可写出 n k k A

1

=或n A A A 21 n k k A

1=或n A A A 21

例4 令ϕ=[A 、B 、C]，其中A=[2，3，5，7]，B=[1，3，5]，

C=[1，2，3]，则

ϕ =[1、2、3、5、7]，]3[=ϕ

还可以由其它的方式构成集的集合。

如果集A 的每一个元素至少属于集ϕ中的一个成员，即A =ϕ ，则称集A 的非空子集的集合ϕ为A 的覆盖。

如果A 的一个覆盖ϕ还具有如下性质：ϕ的全部成员都是两两互不相交的，

则称 是A的一个划分。

例5如果S=[a、b、c、d、e]，则可以有如下覆盖

{[a、b]，[b、c、d]，[b、c、e]}；{[a、b]，[c、d、e]}；

{[a]、[b]、[c]、[d]、[e]}

并且上面第二及第三个覆盖又是A的两个划分。

1.4事件及其集合表达

1.4.1 样本空间

人类的生产和科研活动、或观察到的自然现象，都存在着相互联系与制约的因素，有其一定的内在必然发展规律，但它们同时又受着各种各样外在偶然因素的影响，呈现出现象发生的“随机性”。概率论和统计学就发端于对这些“随机”现象的研究。

随机现象的基本特征是，这些现象在一定条件下可能发生，也可能不发生，需要通过对现象的统计实验来研究其发生的规律。统计方法往往是在一定条件下进行试验或现场观测，将其结果记录下来，作为研究和推断的依据。按原始形式收集的观察记数或试验的测量记录，一般称为原始数据。在统计学中常用“实验”一词来统称产生原始数据的过程。

抛掷硬币观察其出现正面或反面的现象，是最常用的统计实验例子。气象观测、水文观测、电站运行记录、产品质量检验记录等，也都是生产和科研工作中的统计实验方法。

通常将一个给定条件的统计实验中所有可能结果的总和称为“样本空间”，或者用集合的术语描述为：一个项统计记录的全部可能结果的集合称为样本空间，并常用S表示。

例6将一枚硬币抛掷两次，可能出现的全部结果是，{正，正}，{正，反}，{反，正}，{反，反}，则样本空间

S = {{正，正}，{正，反}，{反，正}，{反，反}}

例7在足够长的统计时期内，“一年出现1次故障”的全部可能结果，

即其样本空间

S = { 0，1，2，3，…}

1.4.2 事件

事件总是与某些实验的结果相关联，理论研究中一般作出以下假设：

(1) 在相同条件下重复进行；

(2) 实验的结果可能不只一个；