六年级秋季班-第2讲：分解素因数

模块一：素数、合数与分解素因数
分解素因数是六年级数学上学期第一章第二节内容，主要包含素数、合数的概念以及分解素因数，公因数与最大公因数，公倍数与最小公倍数这三大块内容，重点是素数与合数的概念以及分解素因数，难点是求2个整数或者是3个整数的最大公因数或最小公倍数，以及利用最大公因数和最小公倍数的知识解决实际问题，加强学生对数学学习的兴趣．
1、素数与合数
（1）素数：一个正整数，如果只有1和它本身两个因数，则叫做素数，也叫做质数；
（2）合数：一个正整数，如果除了1和它本身以外还有别的因数，则叫做合数；
（3）1既不是素数，也不是合数；正整数可分为：1、素数和合数．
2、 分解素因数
每个合数都可以写成几个素数相乘的形式，其中每个素数都是这个合数的因数，叫做这个合数的素因数．把一个合数用素因数相乘的形式表示出来，叫做分解素因数． 分解素因数 知识结构
知识精讲 内容分析
3、 口算法分解素因数
例如：728922233=⨯=⨯⨯⨯⨯．
4、 短除法分解素因数
形如右图，这种在左侧写除数，下方写商的除法格式叫做“短除法”．
用短除法分解素因数的步骤如下：
（1）先用一个能整除这个合数的素数（通常从最小的开始）去除；
（2）得出的商如果是合数，再按照上面的方法继续除下去，直到得出的商是素数为止；
（3）然后把各个除数和最后的商按从小到大的顺序写成连乘的形式．
【例1】 在1、2、9、17、27、49、57、87、97、187、247中，_________________________
是素数，合数有______个．
【例2】 将84分解素因数：_______________________，84的素因数为______________．
【例3】 最小的自然数、最小的素数和最小的合数之和是______．
【例4】 将100写成两个素数的和：100 = ______ + ______，共有______对．
【例5】 下列说法中正确的个数有（ ）个
（1）两个连续素数的乘积一定是奇数；
（2）两个素数的和一定是偶数；
（3）相邻的两个正整数的乘积一定是合数；
（4）一个合数至少有三个因数；
（5）任何一个正整数都可以写成几个素数的积的形式．
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
【例6】 如果三个连续自然数的乘积是210，则这三个数分别是_____________．
【例7】 两个素数的和为21，那么这两个素数的积是______．
【例8】 已知41176a b =（a 、b 都为正整数），则a 的最小值为______． 例题解析
35 5 7
【例9】 面积是72平方厘米的长方形，它的长和宽的厘米数都是合数，这个长方形的周长
可能是多少厘米？
1、 公因数
几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数．
2、 最大公因数
几个数的公因数中，最大的一个叫做这几个数的最大公因数．
3、 两个数互素
如果两个整数只有公因数1，那么称这两个数互素．
4、 求最大公因数
求几个数的最大公因数，只要把它们所有公有的素因数连乘，所得的积就是它们的最大公因数．
【例10】
36和54的公因数有_____________．
【例11】
126和630的最大公因数是________________．
【例12】 在下列各组数中，互素的有（ ）组 （1）3和5；（2）6和9；（3）4和9；（4）14和17；（5）18和1．
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
例题解析
知识精讲 模块二：公因数和最大公因数
【例13】下列说法正确的是（）
A．如果两个数互素，那么这两个数不可能都是合数
B．两个不同的素数一定互素
C．如果1是两个整数的公因数，则这两个数一定互素
D．若5能被a整除，又是b的最小倍数，则a和b的最大公因数是5
【例14】三个数16、24和30的公因数有______．
【例15】有a、b、c、d四个正整数，已知a、b的最大公因数是60，c、d的最大公因数是48，那么a、b、c、d这四个数的最大公因数是______．
【例16】一块矩形地面，长90米，宽15米，要在它的四周和四角种树，每两棵树之间的距离相等，则最少要种______棵树．
【例17】一个长方体，它的上面和正面面积之和是209平方分米，长、宽、高都是素数，则这个长方体的表面积是______．
【例18】求42897与18644的最大公因数．（拓展：辗转相除法）
1、公倍数与最小公倍数
公倍数：几个整数公有的倍数叫做它们的公倍数； 最小公倍数：几个整数公有的倍数中，最小的一个叫做它们的最小公倍数． 2、求两个数的最小公倍数
求两个整数的最小公倍数，只要取它们所有公有的素因数，再取它们各自剩余的素因数，将这些数连乘，所得的积就是这两个数的最小公倍数；
如果两个整数中某一个数是另一个数的倍数，那么这个数就是它们的最小公倍数； 如果两个数互素，那么它们的乘积就是它们的最小公倍数．
3、求三个数的最小公倍数
求三个数的最小公倍数，应取三个数共有的素因数和每两个数共有的素因数，以及再取各自剩余的素因数，所有这些素因数的积．
为了简便，可用短除法计算，除到每两个商都互素为止．
【例19】
已知23357A =⨯⨯⨯⨯，22557B =⨯⨯⨯⨯，则A 与B 的最小公倍数是______．
【例20】
已知两个合数互素，且它们的最小公倍数为72，则这两个数为______．
【例21】 下列说法中正确的个数为（ ）个 （1）若三个正整数只有公因数1，则这三个数两两互素；
（2）若3m n ÷=，则两个正整数m 、n 的最小公倍数是m ；
（3）互素的两个数没有公因数；
（4）能同时被6、8整除的数一定能被48整除；
（5）若a b c ÷=（a 、b 、c 都是正整数），则a 与b 的最大公因数是c ．
A ．0
B ．1
C ．2
D ． 3
模块三：公倍数与最小公倍数 例题解析
知识精讲
【例22】两个正整数的最大公因数是12，最小公倍数是144，其中一个数是48，则另一个数是______．
【例23】求下列各组数的最大公因数和最小公倍数．
（1）187和442；（2）36、84和39．
【例24】某校外出活动，如果9人一组，则多5人；如果15人一组，则少4人，已知学生人数在130至140人，则该年级的学生有______人．
【例25】能被5、6、9整除的最大三位数是______，最小四位数是______．
A B是24的倍数，则A+B的最大值为多少？
【例26】已知四位数20
【例27】动物园的饲养员给三群猴子分花生，如果分给第一群猴子，则每只猴子可得12粒；如果只分给第二群猴子，则每只猴子可得15粒；如果只分给第三群猴子，则每只猴子可得18粒．已知第一群猴子猴四十几只，那么总共有多少粒花生？共有多少只猴子？
【例28】一个正整数被4除余1，被6除余1，被9除余1，则这个数最小是多少？
【例29】某校有皮球若干个，如果平均分给10个班，则余下9个；如果平均分给12个班，则余下11个；如果平均分给15个班，则余下14个，学校至少有几个皮球？
【例30】甲每隔3天去少年宫一次，乙每隔5天去一次，丙每隔7天去一次，如果6月1号，甲乙丙同时去了少年宫，则下次同时去少年宫的日期是哪一天？
随堂检测
【习题1】在1~100这100个整数中，有25个素数，则合数有______个．
【习题2】下列选项中分解素因数正确的是（）
A．17117
=⨯B．1802259
=⨯⨯⨯
C．3362233729
=⨯⨯⨯=D．362233
=⨯⨯⨯
【习题3】已知a和b都是小于10的合数，两位数ab是一个素数，这样的两位数是______．【习题4】在小于10的正整数中，两个互素的合数有____________．
【习题5】三个数38、66、94分别除以自然数n，所得的余数都是3，则n = ______．
【习题6】已知甲数比乙数大6，比丙数小72，三数之和是120，求三数的最小公倍数及最大公因数．
【习题7】如果16个梨和19个苹果平均分给若干个小朋友，则多2个梨，缺2个苹果，那么共有______个小朋友．
【习题8】一个两位数，用它去除391和40，所得余数相同，用它去除283和23，所得余数也相同，求这个两位数．
【习题9】共青森林公园有一条小路，在小路两旁每隔3米种一棵树（路的两端都有树），一共种了66棵，现在要改成每隔4米一棵，问几棵小树不要移动？新挖树坑多少个？
【习题10】甲、乙、丙三个数，甲与乙的最大公因数是12，甲与丙的最大公因数是15，而三个数的最小公倍数是120，求甲、乙、丙三个数．
课后作业
【作业1】2431是三个素数的乘积，这三个素数是____________．
【作业2】108的素因数有____________________．
【作业3】两个素数的和是99，则这两个素数的乘积是______．
【作业4】以下说法正确的有（）个
（1）任何一个奇数都是素数；
（2）除2以外的偶数都是合数；
（3）两个素数的积一定是合数；
（4）任何一个素数加上1都是偶数；
（5）两个连续的偶数一定互素；
（6）两个连续正整数一定互素．
A．1 B．2 C．3 D．4
【作业5】两个数的最小公倍数是180，最大公因数是3，这样的两个数为____________．【作业6】24的所有因数中，互素的数共有______对．
【作业7】已知M a b c
（a、b、c都是素数），那么M的因数中是合数的有_________．【作业8】把一块长7.2cm，宽6cm，厚0.36dm的木料锯成尽可能大，且大小、性质完全相同的正方体木块，锯后不能有剩余，至少能锯成多少块？
【作业9】一次会餐提供三种饮料，餐后统计，三种饮料共用78瓶，平均每2人饮用1瓶A饮料，每3人饮用1瓶B饮料，每4人饮用1瓶C饮料，问参加会餐的人数是多少人？
【作业10】已知两个正整数的差是16，它们的最大公因数和最小公倍数之和是88，求：这两个正整数．。