高中数学必修5数列题目精选精编

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高中数学必修5数列题目精选精编

【典型例题】

（一）研究等差等比数列的有关性质 1. 研究通项的性质

例题1. 已知数列}{n a 满足1

111,3(2)n n n a a a n --==+≥.

（1）求32,a a ； （2）证明：

312

n

n a -=

.

解：（1）2

1231,314,3413a a a =∴=+==+= .

（2）证明：由已知1

13

--=-n n n a a ，故)()()(12211a a a a a a a n n n n n -++-+-=--- 1

2

1313

3

312

n

n n a ---+=++++=

， 所以证得

312

n

n a -=

.

例题2. 数列{}

n a 的前n 项和记为11,1,21(1)n n n S a a S n +==+≥

（Ⅰ）求{

}

n a 的通项公式； （Ⅱ）等差数列{}

n b 的各项为正，其前n 项和为n T ，且315T =，又112233,,a b

a b a b +++成等比数列，求n T .

解：（Ⅰ）由121n n a S +=+可得121(2)n n a S n -=+≥， 两式相减得：112,3(2)n n n n n a a a a a n ++-==≥，

又21213a S =+=∴213a a = 故{}n a

是首项为1，公比为3的等比数列

∴1

3

n n a -=

（Ⅱ）设{}n b 的公比为d ，由315T =得，可得12315b b b ++=，可得25b = 故可设135,5b d b d =-=+，又1231,3,9a a a ===，

由题意可得2

(51)(59)(53)d d -+++=+，解得122,10d d ==

∵等差数列{}

n b 的各项为正，∴0d > ∴2d =

∴2

(1)

3222

n n n T n n n

-=+

⨯=+

例题3. 已知数列{

}

n a 的前三项与数列{}n b 的前三项对应相同，且2

12322...a a a +++

1

2

8n n a n -+=对任意的*N n ∈都成立，数列{}

n n b b -+1是等差数列.

⑴求数列{

}

n a 与{}n b 的通项公式；

⑵是否存在N k *

∈，使得(0,1)k k b a -∈，请说明理由.

点拨：（1）21

12322 (2)

8n n a a a a n -++++=左边相当于是数列{}

1

2

n n a -前n 项和的形式，

可以联想到已知n S 求n a 的方法，当2n ≥时，1n n n S S a --=.

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（2）把k k a b -看作一个函数，利用函数的思想方法来研究k k a b -的取值情况.

解：（1）已知212322a a a +++ (1)

2n n a -+8n =(n ∈*N ）①

2n ≥时，2

12322a a a +++ (2)

128(1)n n a n --+=-(n ∈*N ）②

①－②得，1

2

8n n a -=，求得42

n

n a -=，

在①中令1n =，可得得41

182a -==，

所以42

n

n a -=(n ∈N*）. 由题意18b =，24b =，32b =，所以214b b -=-，322b b -=-， ∴数列}{1n n b b -+的公差为2)4(2=---， ∴1n n b b +-=2)1(4⨯-+-n 26n =-，

121321()()()n n n b b b b b b b b -=+-+-++-

(4)(2)(28)n =-+-++- 2714n n =-+(n ∈*N ）.

（2）k k b a -=2714k k -+-42k

-，

当4k ≥时，

2

77()()2

4

f k k =-

+

-

42

k

-单调递增，且(4)1f =，

所以4k ≥时，2

()714f k k k =-+-42

1k

-≥， 又(1)(2)(3)0f f f ===，

所以，不存在k ∈*N ，使得(0,1)k k b a -∈.

例题 4. 设各项均为正数的数列{a n }和{b n }满足：a n 、b n 、a n+1成等差数列，b n 、a n+1、b n+1成等比数列，且a 1 = 1， b 1 = 2 ， a 2 = 3 ，求通项a n ，b n

解： 依题意得：

2b n+1 = a n+1 + a n+2 ①

a 2n+1 =

b n b n+1 ② ∵ a n 、b n 为正数， 由②得2

1211,+++++=

=n n n n n n b b a b b a ，

代入①并同除以1

+n b 得：

2

12+++

=

n n n b b b ，

∴

}

{n b 为等差数列

∵ b 1 = 2 ， a 2 = 3 ，

29,2212

2=

=b b b a 则 ，

∴

2

)

1(),1(2

2)22

9)(

1(22

+=

∴+=

--+=

n b n n b n n ，

∴当n ≥2时，

2)

1(1+=

=

-n n b b a n n n ，

又a 1 = 1，当n = 1时成立， ∴2

)

1(+=

n n a n

2. 研究前n 项和的性质