微积分第五章

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微积分(第五章)

1 sin x dx 2、 sin x(1 cos x) dx 4、 (2 cos x) sin x
dx 1、 1 3 sin x dx 3、 2 sin x cos x 5
§3 分部积分法
第二节
一、降次法
例1 求下列积分
分部积分法
1、 x cos xdx
2 x x 3、 e dx
2、 xe x dx
第五章不定积分
§3 分部积分法
二、转换法
例2
1、
求下列积分
x ln xdx
2、 x arctan xdx
3、 arcsin xdx
第五章不定积分
§3 分部积分法
三、循环法
x e sin xdx
例3
求
第五章不定积分
§3 分部积分法
四、递推法
例4
n I (ln x ) dx 的递推公式（其中 n 为正整求 n 3 (ln x ) dx 。
数，且 n 2 ），并用公式计算例5 求下列积分
3 sec xdx 1、
dx
2 2
a x dx 3、 3x 2 5、 x 1 x 2 dx
dx 7、 2 a x2
2、 4、
2 cos 2 xdx
6、
xe dx tan xdx
x2
dx 8、 2 x a2 dx dx arctanx 9、 e 10、 2 x(1 2 ln x) 1 x dx dx 11、 cos x sec xdx 12、 x ln x ln ln x
第五章不定积分
§1
§2 §3 §4
不定积分的概念、性质

微积分李建平第五章+不定积分

第五章不定积分第一节不定积分的概念与性质一、原函数在微分学中，导数是作为函数的变化率引进的，例如，已知变速直线运动物体的路程函数s=s(t),则物体在时刻t的瞬时速度v(t)=s′(t)，它的反问题是：已知物体在时刻t的瞬时速度v=v(t)，求路程函数s(t),也就是说，已知一个函数的导数，要求原来的函数．这就引出了原函数的概念．定义1 设f(x)是定义在区间I上的已知函数，如果存在函数F(x)，使对任意x∈I都有F′(x)=f(x),或d F(x)=f(x)d x，（5－1－1）则称F(x)为f(x)在区间I上的一个原函数．例如在(1，+∞)内,［ln(x）］′(1，+∞)内的一个原函数．显然，ln(x）+2，故ln(xln(x）的原函数．一般地，对任意常数C，ln(x）+C由此可知，当一个函数具有原函数时，它的原函数不止一个．关于原函数，我们首先要问：一个函数具备什么条件，能保证它的原函数一定存在?这个问题将在下一章中讨论，这里先介绍一个结论．定理1(原函数存在性定理) 如果函数f(x)在区间I上连续，则在区间I上存在可导函数F(x)，使对任意x∈I，都有F′（x)=f(x)．这个结论告诉我们连续函数一定有原函数．我们已经知道：一个函数如果存在原函数，那么原函数不止一个，这些原函数之间的关系有如下定理：定理2 如果F(x)是f(x)在区间I上的一个原函数，则在区间I上f(x)的所有原函数都可以表示成形如F(x)+C(C为任意常数)的形式．定理需要证明两个结论：(1) F(x)+C是f(x)的原函数；(2) f(x)的任一原函数都可以表示成F(x)+C的形式．证 (1) 已知F (x )是f (x )的一个原函数，故F ′(x )=f (x )．又［F (x )+C ］′=F ′(x )=f (x ),所以F (x )+C 是f (x )的一个原函数．(2) 设G (x )是f (x )的任意一个原函数，即G ′（x ）=f (x ),则有［G （x )-F (x )］′=G ′(x )-F ′(x )=f (x )-f (x )=0．由拉格朗日中值定理的推论1知，导数恒等于零的函数是常数，故G （x )-F (x )=C ,即 G （x )=F (x )+C ．由定理2知，只要找到f (x )的一个原函数F (x )，就能写出f (x )的原函数的一般表达形式F (x )+C (C 为任意常数)，即f (x )的全体原函数．二、不定积分定义2 设F (x )是f (x )的一个原函数，则f (x )的全体原函数F (x )+C (C 为任意常数)称为f (x )的不定积分，记作()f x ⎰d x ，即()f x ⎰d x =F (x )+C ，（5－1－2）其中，∫称为积分号，f (x )称为被积函数，f (x )d x 称为被积表达式，x 称为积分变量，C 称为积分常数．例1 求x ⎰d x ．解由于(212x ）′=x ，故212x 是x 在(-∞,+∞)内的一个原函数，因此 x ⎰d x =212x ＋C ．例2 求1x⎰d x ．解由于(ln x )′=1x ,故ln x 是1x在(-∞，0)∪(0,+∞)内的一个原函数，因此1x ⎰d x =ln x ＋C ．例3 设曲线通过点(1，2)，且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线的方程．解设所求的曲线方程为y =f (x )，按题设，曲线上任一点(x ,y )处的切线斜率为d d yx＝２x ，即f (x )是2x 的一个原函数．因为2x ⎰d x =2x ＋C ，从而y =2x ＋C ．因所求曲线通过点(1，2)，故 2=1+C , C =1．于是所求曲线方程为 y =2x ＋１．函数f (x )的原函数的图形称为f (x )的积分曲线．本例即是求函数2x 的通过点(1，2)的那条积分曲线．显然，这条积分曲线可以由另一条积分曲线(例如y =2x ）经y 轴方向平移而得(见图5-1)．图5-1三、不定积分的性质从不定积分的定义，即可知其下述性质：由于()f x ⎰d x 是f (x )的原函数，所以有(1)dd x［()f x ⎰d x ］=f (x ), 或 d ［()f x ⎰d x ］=f (x )d x ；又由于F (x )是F ′(x )的原函数，所以有 (2) '()F x ⎰d x =F (x )＋C ,或记作 d ⎰F (x )＝F (x )＋C ．由此可见，微分运算(以记号d 表示)与求不定积分的运算(简称积分运算，以记号⎰表示)是互逆的．当记号∫与d 连在一起时，或者抵消，或者抵消后差一个常数． (3)[]()()f x g x αβ+⎰d x =α()f x ⎰d x ＋β()g x ⎰d x ，其中α，β为任意常数．此性质可以简单地说成：和的积分等于积分的和；常数因子可以从积分符号中提出来，这是一个积分常用的性质。

专升本(高数—)第五章多元函数微积分学PPT课件

第七节二重积分的应用
*
2
考试点津：
• 本讲出题在18分—26分之间，本讲内容是一元函数微分内容的延伸，一般在选择题、填空题、解答题中出现。
• 本讲重点：
（1）二元函数的偏导数和全微分。
（2）二元函数的有关极值问题及应用。（3）会计算二重积分
• 建议重点复习前几年考过的试题，把握考试重心和知识点，重在模仿解题。
成人高考高数一辅导
•
College of Agriculture & Biological Engineering
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1
第五章多元函数微积分学 (11年考了22分）
第一节多元函数、极限和连续第二节偏导数与全微分第三节二元函数的极值第四节二重积分的概念和性质第五节直角坐标系下二重积分的计算第六节极坐标系下二重积分的计算
可以证明，一元函数关于极限的运算法则仍适用于多元函数，即多元连续函数的和、差、积为连续函数，在分母不为零处，连续函数的商也是连续函数，多元函数的复合函数也是连续函数 .由此还可得出如下结论：一切多元初等函数在其定义区域内是连续的.
（4）最大值和最小值定理
在有界闭区域D上的多元连续函数，在D上至少取得它的最大值和最小值各一次．
（5）介值定理
在有界闭区域D上的多元连续函数，如果在D上取得两个不同的
函数值，则它在D上取得介于这两值之间的任何值至少一次．分
（一）偏导数
1. 偏导数的定义
定义设函数 z f (x, y)在点(x0, y0 )的某一邻域内有定义，当 y固定在 y0，而 x在 x0处有增量x时，相应地函数有增量 f (x0 x, y0 ) f (x0, y0 )，如果极限

数学分析(一)：一元微积分南京大学 5 第五章微分学的应用 (5.7.1) 常见函数的Taylor展开

一元微积分与数学分析—常见函数的T aylor展开梅加强南京大学数学系如果f在x0附近是光滑的,则称形式和∞n=0f(n)(x0)n!(x−x0)n为f在x0处的T aylor展开(级数)或(无限)T aylor公式.如果f在x0附近是光滑的,则称形式和∞n=0f(n)(x0)n!(x−x0)n为f在x0处的T aylor展开(级数)或(无限)T aylor公式.T aylor展开在x0=0的特殊情形也称Maclaurin展开(级数)或Maclaurin公式.如果f在x0附近是光滑的,则称形式和∞n=0f(n)(x0)n!(x−x0)n为f在x0处的T aylor展开(级数)或(无限)T aylor公式.T aylor展开在x0=0的特殊情形也称Maclaurin展开(级数)或Maclaurin公式.如果limn→∞n−1k=0f(k)(x0)k!(x−x0)k=f(x),则记f(x)=∞n=0f(n)(x0)n!(x−x0)n.此时称f在x0处的T aylor展开收敛到自身.如果f在x0附近是光滑的,则称形式和∞n=0f(n)(x0)n!(x−x0)n为f在x0处的T aylor展开(级数)或(无限)T aylor公式.T aylor展开在x0=0的特殊情形也称Maclaurin展开(级数)或Maclaurin公式.如果limn→∞n−1k=0f(k)(x0)k!(x−x0)k=f(x),则记f(x)=∞n=0f(n)(x0)n!(x−x0)n.此时称f在x0处的T aylor展开收敛到自身.注意:f光滑并不意味着其T aylor展开收敛到自身.例如,考虑函数f(x)=e−1 x2(x=0),f(0)=0,则f在0处的各阶导数均为零,其Maclaurin展开恒为零.问题1:对于给定的函数,如何较快地求出它的T aylor展开呢?问题2:T aylor展开有什么用?问题1:对于给定的函数,如何较快地求出它的T aylor展开呢?问题2:T aylor展开有什么用?定理1(T aylor公式系数的唯一性)设f在x0处n阶可导,且f(x)=nk=0a k(x−x0)k+o(x−x0)n(x→x0),则a k=1k!f(k)(x0),k=0,1,···,n.证明.根据带Peano余项的T aylor公式,f(x)又可写为f(x)=nk=01k!f(k)(x0)(x−x0)k+o(x−x0)n(x→x0).如果令b k=a k−1k!f(k)(x0),k=0,1,···,n,则两式相减可得nk=0b k(x−x0)k=o(x−x0)n(x→x0).首先,在上式中令x→x0即得b0=0.其次,上式两边除以x−x0,再令x→x0可得b1=0.这个过程可以继续,当等式两边除以(x−x0)k并令x→x0时就得到b k=0(0≤k≤n).T aylor展开的运算性质设f,g在x0=0处的Taylor展开分别为∞n=0a n x n,∞n=0b n x n,则(1)λf(x)+µg(x)的Taylor展开为∞n=0(λa n+µb n)x n,其中λ,µ∈R.(2)f(−x)的Taylor展开为∞n=0(−1)n a n x n;(3)f(x k)的Taylor展开为∞n=0a n x kn,其中k为正整数;(4)x k f(x)的Taylor展开为∞n=0a n x k+n,其中k为正整数;(5)f (x)的Taylor展开为∞n=1na n x n−1=∞n=0(n+1)a n+1x n;(6)x0f(t)d t的Taylor展开为∞n=0a nn+1x n+1;例子例11=1+x+x2+···+x n+···,x∈(−1,1).1−x例111−x=1+x+x2+···+x n+···,x∈(−1,1).证明.由等比级数求和公式可得1 1−x =1−x n1−x+x n1−x=1+x+x2+···+x n−1+x n1−x,固定x∈(−1,1),当n→∞时余项x n1−x→0.例111−x=1+x+x2+···+x n+···,x∈(−1,1).证明.由等比级数求和公式可得1 1−x =1−x n1−x+x n1−x=1+x+x2+···+x n−1+x n1−x,固定x∈(−1,1),当n→∞时余项x n1−x→0.例2ln(1−x)=−∞n=1x nn=−x−x22−···−x nn−···,∀x∈[−1,1).(1)对数函数的展开证明.利用积分可得ln(1−x)=−xd t1−t=−x1+t+···+t n−1+t n1−td t=−x−x22−···−x nn−xt n1−td t.如果−1≤x<0,则xt n1−td t≤xt n d t=|x|n+1n+1→0;(n→∞)如果0≤x<1,则xt n1−td t≤11−xxt n d t=x n+1(1−x)(n+1)→0.(n→∞)由此即得(1).将(1)中x换成−x,则得ln(1+x)=∞n=1(−1)n−1nx n=x−x22+x33−···,∀x∈(−1,1].(2)特别地,在上式中取x=1,得ln2=1−12+13−14+15−16+···.将(1)中x换成−x,则得ln(1+x)=∞n=1(−1)n−1nx n=x−x22+x33−···,∀x∈(−1,1].(2)特别地,在上式中取x=1,得ln2=1−12+13−14+15−16+···.例3arctan x=∞n=1(−1)n−1x2n−1(2n−1)!=x−x33+x55−x77+···,∀x∈[−1,1].(3)证明.利用积分可得arctan x=xd t1+t2=x−x33+x55+···+(−1)n−1x2n−12n−1+R n(x),其中余项R n(x)=(−1)nxt2n1+t2d t.当x∈[−1,1]时|R n(x)|≤|x|0t2n d t=|x|2n+12n+1→0(n→∞),这说明(3)式成立.特别地，取x=1,我们就重新得到了Leibniz公式π4=1−13+15−17+···.(Leibniz-Gregory)例4e x=1+x+x22!+x33!+···+x nn!···,∀x∈(−∞,∞).(4)例4e x=1+x+x22!+x33!+···+x nn!···,∀x∈(−∞,∞).(4)证明.e x的各阶导数仍为它自己,由Lagrange余项可得e x=n−1n=0x kk!+R n(x),R n(x)=eθxn!x n,其中θ∈(0,1).此时有如下估计|R n(x)|≤e|x||x|nn!→0(n→∞).这说明(4)式成立.例5sin x=∞n=1(−1)n−1x2n−1(2n−1)!=x−x33!+x55!+···+,∀x∈(−∞,∞).(5)cos x=∞n=0(−1)n x2n(2n)!=1−x22!+x44!−···,∀x∈(−∞,∞).(6)例5sin x=∞n=1(−1)n−1x2n−1(2n−1)!=x−x33!+x55!+···+,∀x∈(−∞,∞).(5)cos x=∞n=0(−1)n x2n(2n)!=1−x22!+x44!−···,∀x∈(−∞,∞).(6)证明.利用sin x=cos x,cos x=−sin x可得sin(2k+1)(0)=(−1)k,sin(2k)(0)=0.由带Lagrange余项的T aylor公式可得sin x=x−x33!+x55!+···+(−1)n−1x2n−1(2n−1)!+(−1)n x2n+1cosθx(2n+1)!,(θ∈(0,1))当n→∞时余项趋于零.cos x的展开类似可得.。

数学分析(一)：一元微积分南京大学 5 第五章微分学的应用 (5.3.1) 凸函数

一元微积分与数学分析—凸函数梅加强南京大学数学系导数是函数的变化率.对于质点的位移函数来说,一阶导数表示质点的速度,二阶导数表示加速度.在物理中,二阶导数反映的是作用力或作用强度;导数是函数的变化率.对于质点的位移函数来说,一阶导数表示质点的速度,二阶导数表示加速度.在物理中,二阶导数反映的是作用力或作用强度;在几何中,二阶导数反映的是曲率或几何对象的弯曲程度.以函数图像为例,反映其弯曲性质的有所谓的凸凹性.导数是函数的变化率.对于质点的位移函数来说,一阶导数表示质点的速度,二阶导数表示加速度.在物理中,二阶导数反映的是作用力或作用强度;在几何中,二阶导数反映的是曲率或几何对象的弯曲程度.以函数图像为例,反映其弯曲性质的有所谓的凸凹性.定义1(凸函数)设f为区间I中定义的函数.如果任给a=b∈I以及t∈(0,1),均有fta+(1−t)b≤tf(a)+(1−t)f(b),(1)则称f为I中的凸函数,不等号反向时称为凹函数.不等号为严格小于号时称为严格凸函数,不等号为严格大于号时称为严格凹函数.凸性的几何含义yf(x)ℓ(x)a bO x图1:凸函数注1凸函数的几何形象是很直观的:它的图像总是位于满足同样边界条件的线性函数图像的下方.事实上,满足条件 (a)=f(a), (b)=f(b)的线性函数可以表示为(x)=b−xb−af(a)+x−ab−af(b),于是(1)可以表示为f(x)≤ (x),∀x∈(a,b).(2)事实上,满足条件 (a)=f(a), (b)=f(b)的线性函数可以表示为(x)=b−xb−af(a)+x−ab−af(b),于是(1)可以表示为f(x)≤ (x),∀x∈(a,b).(2)命题1设f为区间I中定义的函数,我们有(1)如果f二阶可导且二阶导数处处非负,则f为凸函数.(2)反之,如果f为凸函数且在I的内点x0处二阶可导,则f (x0)≥0.证明.(1)任取a,b∈I,不妨设a<b.对函数f− 在[a,b]中应用“极值和最值”那一单元例3即可.(2)由x0为内点可知,存在δ>0,使得(x0−δ,x0+δ)⊂I.当h∈(−δ,δ)时,记g(h)=[f(x0+h)+f(x0−h)]/2.如果f为凸函数,则由x0=(x0−h)/2+(x0+h)/2以及(1)可知h=0是g的最小值点.由“极值和最值”那一单元推论1可知g (x0)≥0.另一方面,g (x0)=f (x0),因此f (x0)≥0.证明.(1)任取a,b∈I,不妨设a<b.对函数f− 在[a,b]中应用“极值和最值”那一单元例3即可.(2)由x0为内点可知,存在δ>0,使得(x0−δ,x0+δ)⊂I.当h∈(−δ,δ)时,记g(h)=[f(x0+h)+f(x0−h)]/2.如果f为凸函数,则由x0=(x0−h)/2+(x0+h)/2以及(1)可知h=0是g的最小值点.由“极值和最值”那一单元推论1可知g (x0)≥0.另一方面,g (x0)=f (x0),因此f (x0)≥0.Y oung不等式回顾.指数函数e x的二阶导数恒正,因此为(严格)凸函数.当a,b>0,p,q>1且1/p+1/q=1时,有ab=e1p ln a p+1q ln b q≤1pe ln a p+1qe ln b q=a pp+b qq.Jensen不等式定理1(Jensen不等式)设f是区间I中的凸函数.任给{x i}ni=1⊂I,当λi≥0且ni=1λi=1时,均有fni=1λi x i≤ni=1λi f(x i).(3)定理1(Jensen不等式)设f是区间I中的凸函数.任给{x i}ni=1⊂I,当λi≥0且ni=1λi=1时,均有fni=1λi x i≤ni=1λi f(x i).(3)证明.对n用数学归纳法.n=1是显然的,n=2由凸函数定义直接得到.假设不等式(3)对n=k成立.当n=k+1时,不妨设0<λk+1<1,此时k i=1λi1−λk+1=1.证明(续).由归纳假设,有fk+1i=1λi x i=f(1−λk+1)ki=1λi1−λk+1x i+λk+1x k+1≤(1−λk+1)fki=1λi1−λk+1x i+λk+1f(x k+1)≤(1−λk+1)ki=1λi1−λk+1f(x i)+λk+1f(x k+1) =k+1i=1λi f(x i).这说明不等式对n=k+1也成立,从而定理得证.例1设a1,···,a n>0,p i≥0且ni=1p i=1,证明加权算术–几何平均值不等式:p1a1+···+p n a n≥a p11a p22···a p n n.例1设a1,···,a n>0,p i≥0且ni=1p i=1,证明加权算术–几何平均值不等式:p1a1+···+p n a n≥a p11a p22···a p n n.证明.考虑函数f(x)=−ln x(x>0).由f (x)=x−2>0可知f为(严格)凸函数.根据Jensen不等式,当a1,···,a n>0时−ln(p1a1+···+p n a n)≤−(p1ln a1+p2ln a2+···+p n ln a n),即p1a1+···+p n a n≥a p11a p22···a p n n.当p i都等于1/n时就重新得到了算术–几何平均值不等式.设P=(c,d)为平面上的一个固定点.考虑X轴上的点到P的距离函数,它可以表示为ρ(x)=(x−c)2+d2,x∈R.设P=(c,d)为平面上的一个固定点.考虑X轴上的点到P的距离函数,它可以表示为ρ(x)=(x−c)2+d2,x∈R.我们来说明ρ(x)为凸函数.当P落在X轴上时,d=0,ρ(x)=|x−c|,此时显然ρ(x)是凸函数.设P=(c,d)为平面上的一个固定点.考虑X轴上的点到P的距离函数,它可以表示为ρ(x)=(x−c)2+d2,x∈R.我们来说明ρ(x)为凸函数.当P落在X轴上时,d=0,ρ(x)=|x−c|,此时显然ρ(x)是凸函数.O c|x−c|图2:绝对值函数的凸性下设d =0.对ρ(x )求导可得ρ (x )=d 2 (x−c )2+d 2 −3/2,这说明ρ(x )为严格凸函数.特别地,ρ (a +b )/2 ≤[ρ(a )+ρ(b )]/2.下设d =0.对ρ(x )求导可得ρ (x )=d 2 (x−c )2+d 2 −3/2,这说明ρ(x )为严格凸函数.特别地,ρ (a +b )/2 ≤[ρ(a )+ρ(b )]/2. 考虑平面上以P ,(a ,0),(b ,0)为顶点的三角形.上式可以解释为从P 出发的中线的长度不超过从P 出发的两条边的长度之和的一半.下设d =0.对ρ(x )求导可得ρ (x )=d 2 (x−c )2+d 2 −3/2,这说明ρ(x )为严格凸函数.特别地,ρ (a +b )/2 ≤[ρ(a )+ρ(b )]/2. 考虑平面上以P ,(a ,0),(b ,0)为顶点的三角形.上式可以解释为从P 出发的中线的长度不超过从P 出发的两条边的长度之和的一半.P =(c,d )a b O xy 图3:中线长度与距离函数的凸性。

微积分教学课件第5章不定积分第2节基本积分表

x dx 2
1
cos 2
x
dx
1 ( x sin x) C 2
(6)
1
dx sin
x
1 sin x dx
(1 sin x)(1 sin x)
1 sin x
cos2 x dx
(sec2 x secx tan x)dx tan x secx C
10
训练：求下列不定积分
(1) ( x2 1)2 dx ( x4 2x 2 1)dx 1 x5 2 x3 x C 53
11
1
( x2 1 x2 )dx x arctan x C
7
例3 求下列不定积分
(5)
x4 1 x2 dx
x4 11 1 x2 dx
( x2 1)( x2 1) 1
1 x2
dx
(x2
1
1 1 x2 )dx
x3 3
x arctan
xC
8
例4 求下列不定积分
三角恒等变形
ln
|
x
|
C
6
例3 求下列不定积分
(3)
( x2 1)
1 x2 2x dx
x2 1
(
2
) dx
x 1 x2
x
1 x2
( x 1 2 )dx 1 x2 ln | x | 2arcsinx C
x 1 x2
2
(4)
1 x2 (1
x2 ) dx
x2 1 x2 x 2 (1 x 2 ) dx
1 sin2 x cos2 x dx
sin2 x cos 2 x sin2 x cos 2 x dx
(sec2 x csc2 x)dx tan x cot x C

@@@微积分基础(国家开放大学)---第5章---第1节---积分的几何应用

y
y f ( x)
y
x
y f ( x)
o
a
b
oa
(2)
c
(3)
b
x
(1)
(1) S f ( x)dx
a c a c
b
(2) S f ( x)dx
a b c b a c
b
(3) S | f ( x)dx | f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx
A
x
2
2 32 1 x 3 1 2 1 1 x |0 |0 . 3 3 3 3 3
【总结提升】
求两曲线围成的平面图形的面积的一般步骤: (1)作出示意图;(弄清相对位置关系)
(2)求交点坐标，确定图形范围(积分的上限,下限)
(3)写出平面图形的定积分表达式； (4)运用微积分基本定理计算定积分，求出面积.
1
x
x x ( x ) ( x) 3 3 1
3
2
3
8 . 3 1
1
5.如图，求曲线y＝x2与直线y＝2x所围图形的面积S.
y＝2x，由方程组 2 y ＝ x ，
解
可得 x1＝0，x2＝2.
故所求图形的面积为
x dx＝x S＝ 2xdx －
2 2 2 22 0
曲边形面积的求解思路
y
A 0 a bX a
1
A2 b a b
曲边形
曲边梯形（三条直边，一条曲边）
面积 A=A1-A2
类型2：由两条曲线y=f(x)和y=g(x)，直线x=a,x=b
(a<b)所围成平面图形的面积S
y f ( x)

第五章范数及其应用

且具有下列三个条件（正定性、正齐性和三角不等式）：
(1) (正定性 )
(2) (正齐性 )
|| x || 0;
x || x || 0
|| x || | | || x || ; ( F )
（3）(三角不等式) ||x y|| ||x|| ||y|| ，x、y V
i
例 10 计算向量
α = (3i, - 4i, 0, - 12)T
的p范数，这里 p = 1, 2,
.
解：
|| α ||1 =
å
4
| xk | = | 3i | + | - 4i | + | - 12 | = 19.
k
k= 1
|| α ||¥ = max | xk | = max(3, 4, 0,12) = 12.
D( x , y) ? || x
y ||2 =
( x - y)T ( x - y)
其他距离测度还包括
以及与椭圆范数类似的Mahalanobis距离：
d ( x , y) ? ( x
2
这里
y) Σ ( x - y) ,
T - 1 T
x, y
是从正态总体
N ( μ, Σ) 中抽取的两个样本。
例 14 对任意
定义的 || ||1 是 F n 上的向量范数，称为1-范数或 l1 范数或和范数，也被风趣地称为Manhattan范数。
B
A
C
遗憾的是，当
0 p1
时，由
2 1/ p
骣 p || x || p º 琪 | x | 琪 å i 琪琪桫
i= 1
定义的 || || p 不是 F n 上的向量范数。因为

第五章数值积分与微分1

b−a T( f ) = [ f ( a ) + f ( b )] 2
b−a a+b S( f ) = f (a ) + 4 f ( 2 ) + f (b) 6
b−a C( f ) = [ 7 f (a ) + 32 f (a + h) + 12 f (a + 2h) 90
+32 f (a + 3h) + 7 f (b )]
( f ( x)dx ≈ (b − a)∑Ckn) f (a + kh) = In ( f ) k=0
n
n=1时的求积公式时的求积公式
1
梯形公式/*Trapezoidal Formula */ 梯形公式/*
I1 ( f ) = ∑ Ak f ( xk ) = A0 f ( x0 ) + A1 f ( x1 )
a k =0
n
求积公式的代数精度（/*Algebraic Precision */）求积公式的代数精度（/* 代数精度
Def 1如果求积公式 I n ( f ) = ∑ Ak f ( xk )
k =0
n
次的多项式都恒成立对一切不高于m次的多项式都恒成立，对一切不高于次的多项式都恒成立，而对于某个 m+1次多项式不能精确成立，则称该求积公式具有次多项式不能精确成立次多项式不能精确成立， m次代数精度。次代数精度。次代数精度
分别利用梯形公式、梯形公式公式、例1：分别利用梯形公式、 Simpson公式、 Cotes公式公式公式
1 解： a = 0, b = 1, f ( x ) = 1+ x 1− 0 1 T( f ) = [ f (0) + f (1)] = [1 + 0.5] = 0.75 2 2 1− 0 1 S( f ) = f (0) + 4 f ( 2 ) + f (1) ≈ 0.69444444 6 1 1 1 3 C( f ) = 7 f (0) + 32 f ( ) +12 f ( ) + 32 f ( ) + 7 f (1) 90 4 2 4

高等数学微积分第五章一元函数积分学(版本2)

例6 求 tan x 2 xdx.

解

tan x 2 xdx (sec 2 x 1)dx sec 2 xdx dx tan x x c

例7 求

dx . 2 2 sin x cos x
解

dx sin 2 x cos 2 x dx 2 2 sin x cos x sin 2 x cos 2 x
定义1 设函数F (x)与f ( x)定义在同一区间内,并且对该区间内任一点,都有F '(x) f (x)或dF (x) f ( x)dx.那么函数F ( x)就称为函数f ( x)在该区间内的原函数. 定理1 (原函数族定理) 如果函数f ( x)在某区间内有一个原函数F ( x),那么它在该区间内就有无限多个原函数,并且原函数, 并且原函数的全体由形如F (x) c的函数组成(其中c是任意常数).
2 2
一般地，若不定积分被积表达式能写成
恒等变形 g ( x)dx
f ( x) '( x)dx f ( x) d ( x) f (u )du F (u ) c g ( x)dx F ( x) c

1 dx. 2 2 a x 1 1 1 1 1 x dx 2 dx d 解 2 a a2 x2 a x2 x a 1 2 1 a a 1 x arctan c. a a 例4 求

类似地, 可以得到

x dx arcsin c. a a2 x2
(9) sin xdx cos x c;
2

第五章矩阵函数及其微积分

n j =1
1/p |xj + yj |p
≤
n j =1
1/p |xj |p
+
n j =1
1/p |yj |p , p ≥ 1. (5.1.1)
130
注 1. 定义 5.1.1 中的字母“l”是序列空间 (对照第二章第六节) 或 Lebesgue 49 空间的统称. 确切地说, 数域 F 上的所有绝对收敛的无穷数列构成的线性空间称为 l1 空间, 绝对平方收敛的无穷数列构成的线性空间称为 l2 空间, 所有有界无穷数列构成的线性空间称为 l∞ 空间, 以及 lp 空间等等. 类似地, 可以定义绝对可积函数空间 L1 , 绝对平方可积函数空间 L2 , 以及 Lp , L∞ 等等. 注 2. 当 0 < p < 1 时, lp 范数仍然满足向量范数的前两个条件, 但不满足三角不等式, 见习题 5. 注 3. 对于 C 或 R 上一般 n 维线性空间 V , 可以通过取 V 的一组基, 然后像例 5.1.2 中一样定义 V 的范数. 注 4. 常将 1- 范数称为 Manhattan (曼哈顿)- 度量, 因为在赋范线性空间中可以由范数自然定义距离, 即 d(x, y ) = ||x − y ||. 请读者在平面上或者空间中画出两点间的距离的示意图. 如果连接两点间的最短曲线称为线段, 请问 1- 范数下的线段是什么? ∞- 范数下的线段是什么? 例 5.1.3 (各种范数下的单位圆) 下面的图从左至右依次展示了 1- 范数, 普通范数 (欧几里得范数) 和 ∞- 范数下的平面上的单位圆 ( 1 维单位球面): ||x||1 = 1 T 1
49
Henri L´ eon Lebesgue(1875-1941), 法国数学家, 数学上有著名的 Lebesgue 积分.

微积分(经管类)第五章答案

微积分（经管类）第五章答案 5.1 定积分的概念与性质一、1、∑=→∆ni iixf 1)(limξλ；2、被积函数,积分区间,积分变量；3、介于曲线)(x f y =,x 轴,直线b x a x ==,之间各部分面积的代数和；4、⎰ba dx ；5、⎰⎰+bc cadx x f dx x f )()(；6、b a a b M dx x f a b m ba<-≤≤-⎰,)()()(；7、⎰badx x f )( ⎰-=a bdx x f )(；8、)(ξf 与a b -为邻边的矩形面积；二、略. 三、⎰-231cos xdx .四、略。

五、(1)+； (2)-； (3)+. 六、(1)<; (2)<. 七、略。

5.2. 微积分基本定理一、1、0；2、)()(a f x f -；3、)1ln(23+x x ；4、65； 5、(1)ππ,；(2)0,0；6、(1)0； (2)0。

7、;6145 8、6π； 9、1. 二、1、1sin cos -x x ；2、)sin cos()cos (sin 2x x x π⋅-； 3、2-.三、 1、852； 2、3π； 3、14+π； 4、4.四、1、0； 2、101.五、略。

六、335π, 0. 七、⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>≤≤-<=ππφx x x x x ,10,)cos 1(210,0)(.5.3. 定积分的换元积分法与分部积分法一、1、0； 2、34-π； 3、2π； 4、323π； 5、0.6、e 21-； 7、)1(412+e ； 8、23ln 21)9341(+-π. 二、1、41； 2、3322-； 3、1-2ln 2； 4、34；5、22；6、8π；7、417；8、2ln 21； 9、1-e .10、211cos 1sin +-e e ； 11、)11(2e-； 12、212ln -；13、2ln 33-π； 14、22+π；15、3ln 24-；16、2+)2ln 3(ln 21-。

微积分第五章第六章习题答案

习题5.11.（1）（书本题目有问题。

考察内容为求导与积分互逆的知识点）；sin xx3sin x （2）无穷多；常数（3）所有原函数（4）平行2. ；23x 6x3.（1）（2）（3）3223x C --+323sin 3xx e x C +-+3132221(1565(2))15xx x x C-++-+（4 （5）（6）2103)x x C -++4cos 3ln x x C -++323x x x eC+-+（7）（8）sin 22x xC -+5cos x x C --+4. 3113y x =+5. ；32()0.0000020.0034100C x x x x =-++(500)1600;(400)(200)552C C C =-=习题5.21.（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）1a1711012-112122-15-12-2. （1）（2）（3）（4）515t e C +41(32)8x C --+1ln 122x C --+231(23)2x C--+（5）（6）（7）（8）C -+ln ln ln x C +111tan 11x C +212x e C --+（9）（10）（11）ln cos ln sin x x C -++ln cos-3sec sec 3xx C-++（12）（13）（14）C+43ln 14x C --+2sec 2x C +（15 （16）12arcsin 23x C +229ln(9)22x xC-++（17 （18）C ln 2ln 133x x C -+-+（19）（20）2()sin(2())4t t C ϕωϕωω++++3cos ()3t C ϕωω+-+（21）（22）（23）cos 1cos5210x x C -+13sinsin 232x xC ++11sin 2sin12424x x C -+习题5.31.（1）（2）arcsin ,,u x dv dx v x ===,sin ,cos u x dv xdx v x===-（3）（4）231ln ,,3u x dv x dx v x ===,cos ,sin x u e dv xdx v x -===（5）231arctan ,,3u x dv x dx v x===2. （1）（2）（3）cos sin x x x C ++(1)xe x C ---+11cos 2sin 224x x x C-++（4）（5）（6）21((1)arctan )2x x x C -+++ln(1)ln(1)x x x x C -+++++（7（8）41(4ln 1)16x x C -+arcsin x x C +21((2)2(1)ln(1))2x x x x C --+-++习题5.41.（1）（2）arctan x C +232ln 18ln 4ln 123x x x x x x C+++-+--+（3）（4）2sin2cos sin 22xx C x x -++1(ln cos ln sin tan 2222x x xC-+-+（5）（6）（7）211(arctan )21x x C x -+++6ln 11x C x+-+-略（8）11ln 2cossin ln cos 2sin 522522x x x x C --+++（9）（10）2111ln cos ln sin sec tan 2222422x x x xC -++++ln 1sin x C ++复习题五1.（1）（2）（3）（4）2x2cos 2x ln 1x +2x e dx -（5）（6）（7）sin x C +1(23)2F x C -+21(1)2F x C--+（8）（9）（10）2sin 23-+0122. 1.（1）A （2）A （3）A （4）A （5）C （6）D3. （1）（2）（3）322cos 3ln 3x x x C --++111(12)22x C --+1cos Cx+习题6.11.5032. （1）（2）1214a π3. （1）（2）4.略5.220(2)(1)02,12(2)(1)0x x x x x x x x x --≥-+≥→--+≥ 证明：须证根据积分区间，知故成立。

高等数学第五章微积分基本公式

F(x) = ∫a f (t)dt + ∫b f (t)
练习题答案
一、1、0； 2、
； 3、
；
4、； 5、(1) ； (2)0,0；
7、
8、；
9、1.
二、1、
；
2、
3、
三、 1、； 2、； 3、
；； 4、 . ； 4、4.
四、1、0；
2、 .
六、 , 0.
七、
.
⎧0 , x < 0
⎪⎪1
e d π
∫dx ⎜ ∫ I1
=， cos −π
mxa⋅ cos
nxdx
,
⎝ π
sin m x ⋅ sin nxdx
（1）、当（2）、当 6、设（1）、当（2）、当 7、
8、
时， =__ , =_____ ，时， =___ , =_____ .
时， =____ , 时， =_____ .
前述变速直线运动的路程问题表明：定积分的值等于被积函数的一个原函数在时间区间上的增量，这个事实启发我们去考察一般的情况，得到肯定的回答。这就是微积分基本公式。
定理 3（微积分基本公式）
如果是连续函数的一个原函数，则
在区间上 .
证
已知是的一个原函数，
∵ 又
也是
的一个原函x数,
Φ ( x ) = ∫ f ∴ F( x) − Φ( x) = C x ∈[a,b]
_____ . _____ .
9、
________ .
二、求导数： 1、设函数
由方程
定，求；
2、设
,求；
3、 4、设
；
，求

数学分析(一)：一元微积分南京大学 5 第五章微分学的应用 (5.9.1) Taylor展开和近似计算

一元微积分与数学分析—T aylor展开和近似计算梅加强南京大学数学系在前一单元,我们证明了圆周率π是无理数.在实际应用中,我们往往需要用有限小数(有理数)代替无理数参与计算.在前一单元,我们证明了圆周率π是无理数.在实际应用中,我们往往需要用有限小数(有理数)代替无理数参与计算.问题1:怎样尽可能精确地用有理数去逼近π?在前一单元,我们证明了圆周率π是无理数.在实际应用中,我们往往需要用有限小数(有理数)代替无理数参与计算.问题1:怎样尽可能精确地用有理数去逼近π?阿基米德(前287年–前212年)利用穷竭法得到圆周率的近似值22/7.在前一单元,我们证明了圆周率π是无理数.在实际应用中,我们往往需要用有限小数(有理数)代替无理数参与计算.问题1:怎样尽可能精确地用有理数去逼近π?阿基米德(前287年–前212年)利用穷竭法得到圆周率的近似值22/7.刘徽(约公元225年–公元295年)提出了“割圆术”:“割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不可割,则与圆周合体而无所失矣.”在前一单元,我们证明了圆周率π是无理数.在实际应用中,我们往往需要用有限小数(有理数)代替无理数参与计算.问题1:怎样尽可能精确地用有理数去逼近π?阿基米德(前287年–前212年)利用穷竭法得到圆周率的近似值22/7.刘徽(约公元225年–公元295年)提出了“割圆术”:“割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不可割,则与圆周合体而无所失矣.”利用割圆术,刘徽算出圆周率的近似值3.14.阿基米德和刘徽图1:阿基米德图2:刘徽达到精确的程度.于是他进一步精益钻研,去探求更精确的数值,最终得出3.1415926<π<3.1415927.于是他进一步精益钻研,去探求更精确的数值,最终得出3.1415926<π<3.1415927.祖冲之还采用了两个分数值的圆周率,一个是355/113≈3.1415927,这一个数比较精密,所以祖冲之称它为“密率”.另一个是22/7≈3.14,这一个数比较粗疏,所以祖冲之称它祖冲之所取得的成就是很了不起的.如果沿用他的方法求更精确的近似值极为困难.祖冲之所取得的成就是很了不起的.如果沿用他的方法求更精确的近似值极为困难.问题2:还有其他方法计算圆周率吗?祖冲之所取得的成就是很了不起的.如果沿用他的方法求更精确的近似值极为困难.问题2:还有其他方法计算圆周率吗?微积分发明出来以后人们很快发现可以用来计算圆周率的近似值.祖冲之所取得的成就是很了不起的.如果沿用他的方法求更精确的近似值极为困难.问题2:还有其他方法计算圆周率吗?微积分发明出来以后人们很快发现可以用来计算圆周率的近似值.我们用T aylor展开来计算π.回顾arctan x的Maclaurin展开arctan x=x−x33+x55−x77+···,x∈[−1,1].取x=1,左边等于π/4.不过,右边收敛得很慢,还不能直接用于π的计算.祖冲之所取得的成就是很了不起的.如果沿用他的方法求更精确的近似值极为困难.问题2:还有其他方法计算圆周率吗?微积分发明出来以后人们很快发现可以用来计算圆周率的近似值.我们用T aylor展开来计算π.回顾arctan x的Maclaurin展开arctan x=x−x33+x55−x77+···,x∈[−1,1].取x=1,左边等于π/4.不过,右边收敛得很慢,还不能直接用于π的计算.注意到当|x|比较小的时候,右边收敛速度就比较快了.基本的想法就是用若干个注意到tan(u+v)=tan u+tan v 1−tan u tan v,当u=arctan(1/5)时,就有tan(2u)=2/51−(1/5)2=5/12,tan(4u)=10/121−(5/12)2=120/119.因此tan4u−π/4=120/119−11+120/119=1/239,注意到tan(u+v)=tan u+tan v 1−tan u tan v,当u=arctan(1/5)时,就有tan(2u)=2/51−(1/5)2=5/12,tan(4u)=10/121−(5/12)2=120/119.因此tan4u−π/4=120/119−11+120/119=1/239,这就得到等式π4=4arctan15−arctan1239.(1)它可以改写为如下的Machin公式π=16∞n=0(−1)n(2n+1)52n+1−4∞n=0(−1)n(2n+1)2392n+1,(2)这个公式已经可用于实际的计算了.它可以改写为如下的Machin公式π=16∞n=0(−1)n(2n+1)52n+1−4∞n=0(−1)n(2n+1)2392n+1,(2)这个公式已经可用于实际的计算了.1706年,Machin用这个公式将π计算到了小数点后100位.类似地,我们可以得到等式2arctan110=arctan15+arctan1515,从而有π=32arctan 110−4arctan 1239−16arctan1515=32 110−131103+151105−171107+191109−11111011 +δ1−4 1239−1312393 −δ2−16 1515−1315153−δ3,从而有π=32arctan 110−4arctan 1239−16arctan1515=32 110−131103+151105−171107+191109−11111011 +δ1−4 1239−1312393 −δ2−16 1515−1315153−δ3,其中3213×10−13−3215×10−15<δ1<3213×10−13,因此0.24×10−12<δ1<0.25×10−12.同理,1.02×10−12<δ2<1.03×10−12,0.08×10−12<δ3<0.09×10−12,因此−0.88×10−12<δ1−δ2−δ3<−0.85×10−12.同理,1.02×10−12<δ2<1.03×10−12,0.08×10−12<δ3<0.09×10−12,因此−0.88×10−12<δ1−δ2−δ3<−0.85×10−12.另一方面,π≈32 110−131103+151105−171107+191109−11111011−4 1239−1312393 −16 1515−1315153=3.14159265359066...总之得到3.14159265358978<π<3.14159265358982,近似值精确到了小数点后第12位.如何更快地精确计算π是一个很有意思的数学问题.1914年,印度天才数学家Ramanujan得到了一系列公式,其中一个为1π=2√29801∞k=0(4k)!(k!)444k1103+26390k994k,(3)这个公式的每一项可提供π的大约8位有效数字.如何更快地精确计算π是一个很有意思的数学问题.1914年,印度天才数学家Ramanujan得到了一系列公式,其中一个为1π=2√29801∞k=0(4k)!(k!)444k1103+26390k994k,(3)这个公式的每一项可提供π的大约8位有效数字. 1989年,Chudnovsky兄弟发表了公式1π=12∞k=0(−1)k(6k)!(3k!)(k!)313591409+545140134k6403203k+3/2,(4)这个公式的每一项可提供π的大约15位有效数字.另一方面,1995年,Bailey,Borwein和Plouffe发现了下面的公式π=∞k=048k+1−28k+4−18k+5−18k+6116k,(5)他们利用这个公式证明了,在2进制下可以直接计算π的第n位小数而无需知道其前n−1位小数的值.另一方面,1995年,Bailey,Borwein和Plouffe发现了下面的公式π=∞k=048k+1−28k+4−18k+5−18k+6116k,(5)他们利用这个公式证明了,在2进制下可以直接计算π的第n位小数而无需知道其前n−1位小数的值.人们利用已经发现的这些算法可以在计算机上进行π的快速高精度计算,这也成为了检验计算机运行速度的初步手段.。

高等数学课件第五章牛莱公式

二、积分上限的函数及其导数
三、牛顿 – 莱布尼兹公式
一、引例
第二节
微积分的基本公式
第五章
一、引例
在变速直线运动中, 已知位置函数
与速度函数
之间有关系:
物体在时间间隔
内经过的路程为
这种积分与原函数的关系在一定条件下具有普遍性 .
二、积分上限的函数及其导数
则变上限函数
证:
则有
定理1. 若
刹车,
问从开始刹
到某处需要减
设汽车以等加速度
车到停车走了多少距离?
内容小结
则有
1. 微积分基本公式
积分中值定理
微分中值定理
牛顿 – 莱布尼兹公式
2. 变限积分求导公式
Hale Waihona Puke 作业P240 3 ; 4 ; 5 (3) ; 6 (8) , (11) , (12) ; 9 (2) ; 12
( 牛顿 - 莱布尼兹公式)
证:
根据定理 1,
故
因此
得
记作
定理2.
函数 ,
则
例4. 计算
解:
例5. 计算正弦曲线
的面积 .
解:
例6. 汽车以每小时 36 km 的速度行驶 ,
速停车,
解: 设开始刹车时刻为
则此时刻汽车速度
刹车后汽车减速行驶 , 其速度为
当汽车停住时,
即
得
故在这段时间内汽车所走的距离为
说明:
1) 定理 1 证明了连续函数的原函数是存在的.
2) 变限积分求导:
同时为
通过原函数计算定积分开辟了道路 .
例1. 求
解:
原式
例2.

微积分课后习题答案第五章

第五章习题5-11.求下列不定积分：(1)25)x -d x ;(2) 2⎰x ; (3)3e x x⎰d x ； (4) 2cos 2x⎰d x ； (5) 23523x xx⋅-⋅⎰d x ； (6) 22cos 2d cos sin xx x x ⎰.解5151732222222210(1)5)(5)573d d d d x x x x x x x x x x C -=-=-=-+⎰⎰⎰113222221132223522(2)(2)24235d d d d x x x x x xx x x x x x x x C--==-+=-+=++⎰⎰⎰⎰213(3)3(3)(3)ln(3)1ln 31cos 1111(4)cos cos sin 222222235222(5)[25()]25()333125225()223(ln 2ln 3)3ln()3e e d e d e e d d d d d d d d x x xxxxx x x xx xx xx x C Cx x x x x x x x x Cx x x x x C x C ==+=+++==+=++⋅-⋅=-⋅=-⋅=-⋅+=-+-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰2222222222cos 2cos sin (6)(csc sec )cos sin cos sin csc sec cot tan d d d d d x x x x x x x x x x x xx x x x x x C-==-=-=--+⎰⎰⎰⎰⎰2. 解答下列各题：(1) 一平面曲线经过点(1，0)，且曲线上任一点(x ,y )处的切线斜率为2x -2,求该曲线方程； (2) 设sin x 为f (x )的一个原函数，求()f x '⎰d x ；(3) 已知f (x )的导数是sin x ，求f (x )的一个原函数；(4) 某商品的需求量Q 是价格P 的函数，该商品的最大需求量为1000(即P=0时，Q =1000),已知需求量的变化率(边际需求)为Q ′(P )=-10001()3Pln3,求需求量与价格的函数关系. 解 (1)设所求曲线方程为y =f (x ),由题设有f′(x )=2x -2,2()(22)2d f x x x x x C ∴=-=-+⎰又曲线过点(1,0),故f (1)=0代入上式有1-2+C =0得C =1,所以,所求曲线方程为2()21f x x x =-+.(2)由题意有(sin )()x f x '=,即()cos f x x =, 故 ()sin f x x '=-, 所以()sin sin cos d d d f x x x x x x x C '=-=-=+⎰⎰⎰.(3)由题意有()sin f x x '=,则1()sin cos d f x x x x C ==-+⎰于是12()(cos )sin d d f x x x C x x C x C=-+=-++⎰⎰.其中12,C C 为任意常数,取120C C ==,得()f x 的一个原函数为sin x -.注意此题答案不唯一.如若取121,0C C ==得()f x 的一个原函数为sin x x --. (4)由1()1000()ln 33PQ P '=-得111()[1000()ln 3]1000ln 3()1000().333d d P P P Q P x x C =-=-⋅=⋅+⎰⎰将P =0时,Q =1000代入上式得C =0所以需求量与价格的函数关系是1()1000()3PQ P =.习题5-21.在下列各式等号右端的空白处填入适当的系数，使等式成立： (1) d x = d(ax +b )(a ≠0)； (2) d x = d(7x -3)； (3) x d x = d(52x )； (4) x d x = d(1-2x )； (5) 3x d x = d(3x 4-2); (6) 2e xd x = d(2e x)； (7) 2ex -d x = d(1+2ex -); (8)d xx= d(5ln ｜x ｜);(9)= d(1-arcsin x ); (10)= d(11)2d 19x x += d(arctan3x ); (12) 2d 12xx +=d(arctan );(13) (32x -2)d x = d(2x -3x )； (14) cos(23x -1)d x = dsin(23x -1).解 1(1)()(0)()d d d d ax b a x a x ax b a +=≠∴=+22224334222221(2)(73)7(73)71(3)(5)10(5)101(4)(1)2(1)21(5)(32)12(32)121(6)()2()2(7)(1)d dd d d dd d d d d d d d d d de e d e d d e d e e x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ---=∴=-=∴=-=-∴=---=∴=-=⋅∴=+=222221()2(1)251(8)(5ln )(5ln )5(9)(1arcsin )(1arcsin )(10)1(2)3(11)(arctan 3)19d e d d e d d d d d d d d d d d x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x --⋅-∴=-+=∴=-==---=-==-=+222322231(arctan 3)193(12)))1212(13)(2)(23)(32)(32)(2)222232(14)sin(1)cos(1)cos(1)sin(1)333323d d d d d d d d d d d dd x x x x x x x x x x x x x x x xx x x x x x ∴=+=∴=++-=-=--∴-=---=-∴-=- 2.求下列不定积分： (1)5e d t t ⎰; (2) 3(32)x -⎰d x ; (3)d 12xx -⎰; (4)(5)t ; (6)d ln ln ln xx x x ⎰;(7)102tan sec d x x x ⎰; (8) 2e d x x x -⎰;(9)dsin cos x x x ⎰; (10) ⎰; (11)de e x x x-+⎰; (12)x ;(13) 343d 1x x x-⎰; (14) 3sin d cos xx x ⎰;(15)x ; (16) 32d 9x x x +⎰; (17)2d 21xx -⎰; (18) d (1)(2)xx x +-⎰;(19 2cos ()d t t ωϕ+⎰); (20) 2cos ()sin()d t t t ωϕωϕ++⎰; (21) sin2cos3d x x x ⎰; (22) cos cos d 2x x x ⎰; (23)sin5sin 7d x x x ⎰; (24) 3tansec d x x x ⎰;(25)x ; (26);(27)ln tan d cos sin xx x x ⎰; (28)21ln d (ln )xx x x +⎰;(29)2,0x a >; (30)(31)d xx⎰; (32)(33); (34),0x a >;(35)x ; (36) x ; (37)2sec ()d 1tan x x x +⎰; (38) (1)d (1e )x x x x x ++⎰(提示：令xt e =). 解 5555111(1)5(5)555e d e d e d e tt t tt t t C =⋅==+⎰⎰⎰33411(2)(32)(32)(32)(32)28d d x x x x x -=---=--⎰⎰122333111(3)(12)ln 121221221131(4)(23)(23)()(23)(23)3322(5)22sin 111(6)(ln ln )ln ln l ln ln ln ln ln ln ln ln d d d d d d d d x x C x x x x x x C x Ct t C x x x x x x x x x x-=--=-+---=---=--+=--+===-=⋅==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰222210210112n 1(7)tan sec tan (tan )tan 11111(8)(2))222(9)22csc 22sin cos 2sin cos sin 2ln ln csc 2cot 2tan sin c d d e d e d e d(-e d d d d d 或x x x x Cx x x x x x x Cx x x x x Cx x xx xx x x x x C C x x x x x ----+⋅==+=-⋅-=-=-+===⋅⋅=+=+-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰2cos 1tan ln tan os sin cos tan d d x x x Cx x x x x=⋅==+⎰⎰⎰22234(10)ln 1(11)()arctan 11()11(12)631333(13)14d d e d d e e e e e e d x x xx xx x Cx x C x x xCx x x -==-+===++++'=-=-=-==--⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰3444432334313(1)ln 11414sin sin 1(14)cos cos cos cos cos 2(15)1218)23812d d d d d d d x x x C x x x x x x x x x x C x x x x xx x x---=--=-+----=-=-=+=-=+-=⎰⎰⎰⎰⎰122221(94)(94)38)d x x x -+--⎰12arcsin 23x C =3322222222999(16)()9999119(9)ln(9)2922111(17)212221)1)x x x x xx x x x x x xx x x x x C x x x x xx +-==-+++=-+=-+++==--=-+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰d d d d d d d2111111111(18)()(2)(1)(1)(2)32132311112ln ln ln 2133311cos(22)11(19)cos ()cos(22224C Cx x x x x x x x x x x C Cx x x t t t t t t ωϕωϕωω=-+=+++=-=--++--+-+-=-+=+-+++++==++⎰⎰⎰⎰⎰⎰ d d d d d d d 223)(2)11cos(22)(22)2411sin(22)241(20)cos ()sin()cos ()cos()1cos ()3(21)sin 2cos3t t t t t t Ct t t t t t C x x ϕωωϕωϕωωϕωωϕωϕωϕωϕωωϕω⋅=+++=+++++=-++=-++⎰⎰⎰⎰⎰d d d d 111(sin 5sin )sin 55sin 210211cos5cos 10213133(22)cos cos (cos cos )cos ()cos ()22223222213sin sin 3221(23)sin 5sin 7(cos12x x x x x x x xx x Cx x x x x x xx x x x xCx x x =-=-=-++=+=+=++=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰d d d d d d d d d 2cos 2)11cos12(12)cos 2(2)24411sin12sin 2244x x xx x x x x x C-=-+=-++⎰⎰⎰⎰d d d322322(24)tan sec tan(sec)(sec1)sec1sec sec3(25)2arctan2(arctan1(26)(arcsin)d d ddddx x x x x x xx x Cx x xCx==-=-+===+=⎰⎰⎰⎰⎰1(arcsin)arcsinx Cx=-+⎰2222222ln tan1(27)ln tan seccos sin tan1ln tan(ln tan)(ln tan)21ln111(28)(1ln)(ln)(ln)ln(ln)ln(29)d ddd d ddxx x x xx x xx x x Cxx x x x x C x x x x x x x xx a=⋅⋅==++=+==-+==-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰x⎰利用教材§5.2例16及公式(20)可得:原式=22211arcsin arcsin arcsin2222x a x a xa C Ca a a--=-.(30)令tan,(,)22ππx t t=∈-,则2secd dx t t=.所以2sec cos sinsecd dd dtt t t t t Ct====+⎰⎰tan,sin原式x t t C=∴=∴=+.(31)令3sec,(0,)2πx t t=∈,可求得被积函数在x>3上的不定积分,此时3sec tan3tand dx t t t t=⋅=故223tan3sec tan3tan3(sec1)3secd d dtx t t t t t t tt=⋅⋅==-⎰⎰⎰3tan3t t C=-+.由3sec,(0,)2πx t t=∈得tan3t=,又由3secx t=得33sec,cos,arccos3xt t tx x===,333arccos 3arccos )x C C x x∴=+=+ 又令x =3sec t ,类似地可得被积函数在x <-3上的不定积分.11333arccos 3(arccos )33arccos d π x C C x x x Cx=+=-+=+⎰综上所述有33arccos x C x=+. (32)令sin ,(,)22ππx t t =∈-,则cos d d x t t =. 11cos sin cos sin cos sin cos 2sin cos 11111(sin cos )ln sin cos 22sin cos 2211arcsin ln .22d d d d d t t t tt t tt t t tt t t t C t t t t x C x ++-=⋅=++=++=++++=++⎰⎰⎰⎰ (33)令sin ,(,)22ππx t t =∈-,则cos ,d d x t t =2cos 1(1)sec ()1cos 1cos 22tan arcsin .2d d d d t t tt t t t t t t C x C ∴==-=-++=-+=-⎰⎰⎰(34)21(2d d x a x x a =+=+⎰arcsinxa C a=⋅. (35)令2sin ,(,),2cos 22ππd d x t t x t t =∈-=,所以2222cos 2cos cot csc 4sin d d d d tx t t t t t t t t=⋅==-⎰⎰⎰⎰cot arcsin 2x t t C C x =--+=--+.(36)2d x x x ==12(1)ln12d xx Cxx=+=+++⎰由被积函数知x≤-2或x>0,令1xt=,当x>0时,(此时t>0)221222211222(12)(12)2.d dddx t tt ttt t CC C Cxx--==-=-=-++=-=-=-+=-+⎰当x≤-2时,此时12t-≤<221233311222(12)(12).d ddx t tt ttt t t CC C Cx--==-==++===+=+⎰综上所述:原式= ln1Cx+.(37)2222sec sec11()(1tan)1tan(1tan)(1tan)1tand d dx xx x x C x x x x==+=-+ ++++⎰⎰⎰.(38)令e x=t,则x=ln t,d x=1td t.11ln1111(ln)(ln)(1)ln(1ln)ln(1ln)ln1ln11(ln)(1ln)ln lnln1lnln1lnln ln ln ln ln ln111d d d ded dee e ee xxx x xx x tx t t t t t x x t t t t t t t t t t t tt t t t Ct t t tt t t txC C x Cxx x xx ++⎡⎤=⋅==-⎢⎥++++⎣⎦=-+=-+++=-+=+-+=+++++⎰⎰⎰⎰⎰⎰习题5-31.求下列不定积分：(1) sin dx x x⎰; (2) e d x x x-⎰;(3) arcsin d x x ⎰; (4) ecos d xx x -⎰;(5) 2e sin d 2xx x -⎰; (6) 2tan d x x x ⎰; (7) 2e d t t t -⎰; (8)2(arcsin )d x x ⎰; (9)2e sin d x x x ⎰;(10) x ⎰;(11)cos(ln )d x x ⎰; (12)2(1)sin 2d x x x -⎰;(13)ln(1)d x x x -⎰; (14)22cosd 2x x x ⎰; (15)32ln d xx x⎰; (16)sin cos d x x x x ⎰;(17)2cot csc d x x x x ⎰; (18)22(1)e d xx x x +⎰; (19)1(ln ln )d ln x x x+⎰; (20)e ln(1e )d x x x +⎰; (21) 23sin d cos x x x ⎰;(22)22ln(d (1)x x x x +⎰; (23)2e d (1)x x x x +⎰; (24)arctan 322e d (1)xx x x +⎰. 解 (1)sin cos cos cos cos sin d d d x x x x x x x x x x x x C =-=-+=-++⎰⎰⎰(2)()(1)e d de e e d e e d e e e x x x x x x xxxx x x x x x x x C x C---------=-=-+=---=--+=-++⎰⎰⎰⎰21(3)arcsin arcsin arcsin (1)2arcsin d x x x x x x x x x x x C=-=+-=+⎰⎰⎰(4)cos cos cos (sin )cos sin cos sin cos e d de e e d e de e e e d x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x---------=-=-+-=-+=-+-⎰⎰⎰⎰⎰12cos (sin cos )(sin cos )cos 2e d e e e d x x x xx x x x C x x x x C----∴=-+-∴=+⎰⎰22221111(5)sin sin sin cos 22222222e d de e e d x x x x x x x xx x ----=-=-+⋅⎰⎰⎰2222222211sin cos 22821111sin cos (sin )2282822111sin cos sin 2282162e de e e e d e e e d x xx x x x x x x xx x x x x x x x--------=--=--+-=---⎰⎰⎰2221221711sin sin cos 16222822sin (cos 4sin )21722e d e e e d e x x x x x x x xx C x x xx C-----∴=--+∴=-++⎰⎰222222222222221(6)tan (sec )sec 211(tan )tan tan 221tan ln cos 2111(7)2221111(2)2424d d d d de d de e e d e e d e t t t t t t t x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x Cx t t t t tt t t -------=-=-=-=--=+-+=-=-+=---=--⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰222222(8)(arcsin )(arcsin )2arcsin (arcsin )2arcsin (arcsin )2(arcsin )2e d d t Cx x x x x x xx x x x x x xx x x x -+=-⋅=+=+-=+-⎰⎰⎰⎰⎰22(arcsin )21cos 211(9)sin cos 222211cos 222e d e d e d e d e e d x x x x x x x x x x Cx x x x x x xx x=+-+-==-=-⎰⎰⎰⎰⎰而cos 2cos 2cos 22sin 2cos 22sin 2e d de e e d e de x x x x x xx x x x x x x x ==+=+⎰⎰⎰⎰cos 22sin 24cos 2e e e d x x x x x x x =+-⎰11cos 2(cos 22sin 2),511111(cos 22sin 2)(sin 2cos 2).2102510e d e 原式e e e x x x x x x x x x C x x C x x C ∴=++∴=-++=--+⎰(10)t =,则32,3d d x t x t t ==22222223336363663663(22)32)e d de e e d e de e e e d e e e e t t t t t t t t t t t t t x t t t t t tt t t t t t t C t t C C===-=-=-+=-++=-++=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰(11)令ln x =t ,则,e d e d ttx x t ==,cos(ln )cos cos de e cos e sin e cos sin e e cos e sin e cos cos(ln )sin(ln )cos(ln )cos(ln )[cos(ln )sin(ln )]2d e d d d d d d t t t ttttttx x t t t t t t t t t t t tx x x x x xxx x x x C===+=+=+-=+-∴=++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰22222211(12)(1)sin 2sin 2sin 2cos 2sin 2(2)2211cos 2cos 2cos 222111cos 2cos 2sin 222211cos 2cos 2sin 222d d d d d d d x x x x x x x x x x x x x x x x x xx x x x xx x x x -=-=--=-++=-++=-++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰2212sin 22111cos 2cos 2sin 2cos 2222413()cos 2sin 2222d x x xx x x x x x Cxx x x C-=-++++=--++⎰2222222221(13)ln(1)ln(1)()ln(1)2221111111ln(1)ln(1)(1)2212221111ln(1)()ln 122221(1)ln(1)2d d d d d d x x x x x x x x xx x x x x x x x x xx x x x x x Cx x x -=-=----+=--=--+---=--+-+-=--⎰⎰⎰⎰⎰⎰211.42x x C --+ 2222232321cos 11(14)cos cos 22221111sin sin sin 6262d d d d d d x x x x x x x x x x xx x x x x x x x x+=⋅=+=+=+-⎰⎰⎰⎰⎰⎰3232321111sin cos sin cos cos 626211sin cos sin .62d d x x x x x x x x x x x x x x x x x x C =++=++-=++-+⎰⎰333222323223232232ln 111(15)ln ()ln 3ln 11131ln 3ln ()ln ln 6ln 131ln ln 6ln ()1361ln ln ln 613ln ln d d d d d d d x x x x x xx x x xx x x x x xx x x x x x x x x x x x x x xx x x x x x x =-=-+=--=--+=---=---+=--⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰3266ln 1(ln 3ln 6ln 6) x x Cx x x x x Cx --+=-++++ 11(16)sin cos sin 2cos 22411cos 2cos 2cos 2cos 2244481cos 2sin 248d d d d d x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x C==-=-+=-+=-++⎰⎰⎰⎰⎰()222221(17)cot csc csc csc csc 211csc csc csc cot 2222d d d d x x x x x x x x x x x x x x x x C=-=-=-+=--+⎰⎰⎰⎰222222222222222222211(18)(1)(1)(1)221111(1)2(1)()2222111(1)222e d e d de e e d e e d e e e x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x C x C+=+=+=+-⋅=+-=+-+=+⎰⎰⎰⎰⎰11111(19)(ln ln )ln ln ln ln ln ln ln ln 11ln ln ln ln ln ln d d d d d d d x x x x x x x x x x x x x x xx x x x x x Cx x+=+=-⋅⋅+=-+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰(20)ln(1)ln(1)(1)(1)ln(1)(1)1(1)ln(1)(1)ln(1)e e e d e d e e e e d e e e e d e e e xxxxxxxxxx x x x x x x x x C +=++=++-+⋅+=++-=++-+⎰⎰⎰⎰2233sin (21)tan sec tan (sec )tan sec sec cos d d d d x x x x x x x x x x x x=⋅==-⎰⎰⎰⎰ 2223323cos sin sin tan sec tan sec sec cos cos sin tan sec ln sec tan cos d d d d x x xx x x x x x x x x xxx x xx x x+=-=--=--+⎰⎰⎰⎰ 于是 213sin 2tan sec ln sec tan cos d xx x x C x x x =-++⎰, 所以 23sin 11tan sec ln sec tan cos 22d x x x x C x x x =-++⎰. 22211(22)ln(()211121ln(12(1)2d d d x x x x x x x =-++=+++=-++⎰⎰⎰令x =tan t , (,)22ππt ∈-,则d x =sec 2t dt21131sec cos sin sec d d d t t t t t C C t =⋅==+=+⎰⎰ ∴原式=2ln(2(1)x C x +. 211(23)()(1)111111e e d e d e e d e e ee d e x x x x xxxxx x x x x x x x x x x x x x x C C x x x=-=-+⋅+++++=-+=-++=++++⎰⎰⎰⎰arctan arctan arctan arctan 322(24)(1)e e d e xx xx x x x x ==+⎰⎰arctan arctan arctan arctan arctan 322(1)e 1e e e x x x x xx x =-=+⎰于是arctan arctan 13222(1)e e d x xx x C x =++⎰,所以arctan arctan 322(1)e e d x x x x C x =++⎰.习题5-4求下列不定积分：(1) 21d 1x x +⎰; (２)5438d x x x x x +--⎰;(３)sin d 1sin xx x +⎰; (4) cot d sin cos 1xx x x ++⎰.解 (1)令322111(1)(1)11A Bx Cx x x x x x x +==+++-++-+ 则 2331()()()11A B x B C A x A C x x +++-++=++ 从而 001A B B C A A C +=⎧⎪+-=⎨⎪+=⎩ 解得 131323A B C ⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=⎪⎩于是2322222123(1)3(1)1112111331612()2411ln ln 11361(1)ln 61d d d d d x x x x x x x x x x x x x x x Cx x x x Cx x -⎡⎤-=⎢⎥+-++⎣⎦-=-++-+-+=-++-++=-+⎰⎰⎰⎰⎰542233323323288(2)(1)11832111111ln 8()13221218ln 3ln 4ln 1132d d d d d x x x x x x x x x x x xx x x x xx x xx x x xx x x x x x x Cx x x +-+-=+++--=+++---=+++--++⋅--+=+++--+-+⎰⎰⎰⎰⎰ 222sin sin (1sin )1(3)cos (sec 1)1sin cos cos 1tan sec tan cos d d d d x x x x x x x x x x xx x C x x x Cx-==---+=-++=-++⎰⎰⎰⎰注本题亦可用万能代换法(4)令tan2xt =,则 222222112sin ,cos ,cot ,2arctan ,1121d d t t t x x x x t x t t t t t--=====+++ 则222221cot 21111221sin cos 112221111111ln ln tan tan 222222d d d d d t x t t x t t t t t t x x t t t t t x x t C Ct --=⋅==--+++++++=-+=-+⎰⎰⎰⎰⎰。