丰城中学徐艳红第十五章 整式期末复习

m(a b c)
因式分解
ma mb mc
例1:下列各式从左到右的变形，那些是因式分解，那些 不是？
A.( x 8)( x 1) x 2 7x 8
C.am bm c m(a b) c
B.a 2 2ab b2 (a b)2
D. 3 x 2 3 x 3 x 2 (1 1 ) x
ap 1 ap
(1) 950(5)1 (3) a3(10)0 (4) (3)536
（5）x y6 y x2
2.已知am an 求a2m3n.
10.单项式的除法法则:
单项式相除,把系数、同底数的幂分别相除作为商 的因式；对于只在被除式里含有的字母则连同它 的指数作为商的一个因式。
理解
商式＝系数 • 同底的幂 • 被除式里单独有的幂
例１．因式分解
1.x2-x- 6 =
２.x2+7x+12=
3、 15x2＋7xy－4y 2 4、 10(x ＋2)2－29(x＋2) ＋10
１７．分组分解法
例１.分解因式（１）m2 – n2 + 2m - 2n (北京市)
（２）(a+b)2-10a-10b+25
（３）.x2-2xy+y2-1
２.把多项式 ac-bc+a2 – b2分解因式的结果是( )
完全平方式公式：ａ2＋2ａｂ＋ｂ2＝(ａ＋ｂ)2；
ａ2－2ａｂ＋ｂ2＝(ａ－ｂ)2 .
完全平方公式：两个数的平方和，加上(或减去)这两数的积的2倍， 等于这两数和(或差)的平方。
例１．把下列各式分解因式：
(1)(x+y) 2－10(x+y)+25； (2)－2xy－x2－y2；
(3)ax2+2a2x+a3；
( 6 ) 当 2 x 1 2 x y 0 ,求 ( 3 x y ) 3 ( x y ) ( 5 x 3 y )2 的值
灵活运用 (7)已知 ab3,ab12,求下列各式的值
( 1 )a 2 . b 2 ( 2 )a 2 . a b b 2 ( 3 )a . b ( ) 2
(8) (a+2b-3c)2
13.提公因式法: ma+mb+mc= m (a+b+c) 1.先确定公因式:多项式中各项都含有的相同因式，
叫做这个多项式的公因式。 公因式的确定方法：
(1)系数：取各系数的最大公约数 (2)字母：取各项相同的字母 (3)相同字母指数：取最低指数
例1.多项式8a2b2-12ab3c的各项的公因式是( ) A.ab B.ab2 C.4ab2 D.8ab2
３．计算522+482+52×96
４已知 x 2 6 x 8 y y 2 2 5 0
求 2x 3y 的值。
１６．十字相乘法：
即：x 2＋(p＋q)x＋pq=(x＋p)(x＋q)
x
p
x
q
x2 px＋qx=(p＋q)x pq
十字相乘法：对于二次三项式的分解因式，借用一个十
字叉帮助我们分解因式，这种方法叫做十字相乘法。
被除式的系数 除式的系数
底数不变， 指数相减。
保留在商里 作为因式。
例1.计算：(1 )4(x 53y2)25x5y4
(2)16x3 y3 ( 1 xy)3 1 x4 y5
2
2
11.多项式除以单项式的法则：
多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个 单项式，再把所得的商相加。
多项式÷单项式
(1)a4-(a-b)(a+b)(a2-b2) (3)(m+n+1)(m+n-1)-(m+n)2
（４）不论a、b为任何有理数，a2+b2-2a-4b+5的值总是 （ ） A、负数 B、0 C、正数 D、非负数
（５）有理数x、y 满足2x2-2xy+y2+2x+1=0，则(xy)2005的值为 （ ） A、1 B、0 C、－1 D、－2005
(ab)2 a22ab b2
平 (ab)2a22a bb2
方
公 (ab)2a22a bb2
式
两数和(差) 的平方等于这两数的平方和 加上(减去) 这两数乘积的两倍.
添括号 abca(bc) abc a(bc)
添括号时,如果括号前面是正号,括到括号里的各项都不变 符号;如果括号前面是负号,括到括号里的各项都改变符号
例题1:已知
x13,求x4 x
1 +x4
的值。
(9) 比较m,n的大小.其中:m=(a4+2a2+1) (a4-2a2+1)
n=(a4+a2+1) (a4-a2+1)
(10)：比较大小：3555，4444，5333
(11)如果 2×8n×16n=222,求：n的值
(12)设m2+m-1=0,求m3+2m2+2003的值。
A.(a-b)(a+b+c) ; B.(a-b)(a+b-c)
C.(a+b)(a-b-c) ; D.(a+b)(a-b+c)
因式分解的一般思路 先看有没有公因式 有 提公因式
无
看项数
检查
二项 平方差公式
三项
完全平方公式 十字相乘
＞三项
分组分解法
因式分解是否彻底
例2：把下列各式分解因式
(1)3x2-6xy-x
(2) -24x2y-12xy2+28y3
(3) mn(m-n)-(n-m) (4)m(m-n)2-n(n-m)2
4.平方差公式:a2-b2 =(a+b)(a-b) 两个数的平方差，等
具备平方差式特征的多项式是:
于这两个数的和与这 两个数的差的积。
1.一个多项式如果是由两项组成.
方 （3）第三项是两平方项底数乘积的两倍 式
首2 2 首 尾 尾2
例1.填空：(1)m2 ( 4n) 4n2 ( m n )2
(2)a2 2a ( 1 ) (a 1)2
(3)(
1 2
x )2
xy
y2
(1 2
x
y
)2
例2.已知a,b,c是三角形ABC的三边长,且满足:
a2+2b2+c2-2b(a+c)=0,则此三角形是什么三角形.
(a+b+c)
÷m=ma
b m
c m
例1：[(x+y)2-y(2x+y)-8x]÷2x
例2：先化简，再求值：xyx2y(x2y)212y,其中
x 1, y 1 4
12.因式分解
把一个多项式化成几个整式积的形式,这种变形叫做把 这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。
因式分解与整式乘法的关系： 整式乘法
(４) 2x4-32y4
（５）ab(a+b)2-ab（６) 9(a+b)2-16(a-b)2
例３.248－1可以被60和70之间的两个数整除， 请求出这两个数。
15.完全平方式:把多项式a²＋2ab＋b² 和 a²－2ab＋b² 叫
做完全平方式。 完 （1）三项式
完全平方式的特征: 全 平
（2）其中有两项是平方项且都是正
2.已知：am=2，an=3.求 am+n 的值.
.
2.幂的乘方 (am)n=amn (m,n都是正整数)
幂的乘方， 底数 不变 ，指数 相乘
.
3.积的乘方 (ab)n a nb n
(abc)n anbncn
积的乘方,等于把积的每一因式分别乘方,再把所得的幂
相乘.
例1: (1)(22 )3
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例2: (2) (3x3)6
大家好
美丽的丰城中学
主 讲 ： 徐 艳 红
章 整式的乘法与因式分解期末复习
1.同底数幂的乘法公式：
a ·a = a m n
m+n (m、n都是正整数)
同底数幂相乘，底数 不变，指数 相加。
am·an·ap =am+n+ （m、n、p都是正整数）
p
例1:计 算： 32×33 =
m3 ·mp-2=
5.单项式与多项式相乘法则:
单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项， 再把所得的积相加。
即：m(a+b+c)=ma+mb+mc
例１计算：
（1） 3a 2b
（3）2a2 3a 1 4a
６．多项式的乘法法则： 多项式与多项式相乘, 先用一个多项式的每一项乘以另
一个多项式的每一项, 再把所得的积相加.
(4)－a2c2－c4+2ac3；
(5)(a+b) 2－16(a+b)+64；(6)(x2+2x) 2+2(x2+2x)+1；
(7)(m2－6) 2 －6(m2－6)+9；(8)a4－8a2b2+16b4.
２.若x2＋mx＋25 是一个完全平方式，则m的值是（ ） (A)20 (B) 10 (C) ± 20 (D) ±10
(3) [(3)6]3
(3) (x3y2)3
(5)(x4 )3 • (x2 )5 (6) x 14 3
(4) (2x2)3
例3.已知：am=2，an=3.求 a3m+2n 的值.
4.单项式与单项式相乘法则:
单项式与单项式相乘，只要把它们的系数、相同字母的幂 分别相乘，对于只在一个单项式里出现的字母则连同它的 指数一起作为积的一个因式。
2.两部分是两个式子(或数)的平方，并且这两项的符号为异号.
例１；下列各式能用平方差公式分解因式的是（ ）
A4X²+y² B. 4 x- (-y)² C. -4 X²-y³ D. - X²+ y²
例2.因式分解：
(1)25x－16x3 (2) －81x2+4y2 (3) 9(x－y)2－ (x+y)2
(13)已知：a=255，b=344，c=433，则a、b、c的大小关系（ ）． A．b>c>a B．a>b>c C．a<b<c D．c>a>b
9．同底数幂的除法公式：
am÷an= am-n (a≠0，m、n为正整数，且m＞n)
同底数幂相除， 底数不变，指数相减。
规定 a0 =1（a≠0 ）
例计算：
(a+b)(m+n)= am+an+bm+bn
1、化简:(2x2-1)(x2+2)-(2x2+3)(x2-2) 2、先化简,再求值:
(3a+1)(2a-3)-6(a+2)(a-1),其中a=-3
平方差公式
公式复习
(a+b)(a-b)=a2-b2
两个数的和与这两个数的差的积，等于这两
个数的平方差。
完 全