(总结)不定积分的方法总结

不定积分的方法总结

教学过程：

在实际问题的解决过程中，我们不仅要用到求导数和微分，还要用到与求导数和微分相反的计算即积分运算.也就是由函数的导数求原函数,它是积分学的基本

问题之一-----求不定积分.

一、原函数

１．引例1：已知物体运动方程ss(t)，则其速度是物体位移s对时间t的导数.反过来,已知物体的速度v是时间t的函数vv(t),求物体的运动方程ss(t),使它的导数s(t)等于vv(t),这就是求导函数的逆运算问题.引例2:已知某产品的产量P

是时间t的函数PP(t),则该产品产量的变化率是产量P对时间t的导数P(t).反之,若已知某产量的变化率是时间t的函数P(t),求该产品产量函数P(t),也是一个求导数运算的逆运算的问题.

2.【定义5.1】（原函数）设f(x)是定义在区间I上的函数．若存在可导函数F(x)，对xI均有F(x)f(x)ordF(x)f(x)dx,则称F(x)为f(x)在I上的一个原函数.

例如：由(sinx)cosx知sinx是cosx的一个原函数；又

(sinx5)cosx,(sinxc)cosx（c是常数），所以sinx5,sinxc也都是函数cosx的一个原函数.

再如：由(2x3)6x2知2x是6x的一个原函数；32

(2x3c)6x2，所以2x3c（c是常数）也是6x2的一个原函数．

注意：没有指明区间时，应默认为区间就是函数定义域．

二、不定积分

1．原函数性质

观察上述例子知：函数的原函数不唯一，且有性质

(1)若f(x)C(I),则f(x)存在I上的原函数F(x).

(2)若F(x)为f(x)在I上的一个原函数，则F(x)C都是f(x)的原函数,其中C 为任意常数.

(3)若F(x)和G(x)都是f(x)的原函数，则

F(x)G(x)C.

证明：F(x)G(x)

F(x)G(x)f(x)f(x)0.

CR,s.t.F(x)G(x)C.

(4)设F(x)为f(x)在I上的原函数,则f(x)在I上全体原函数为F(x)C（其中C 为任意常数）.2.【定义5.2】函数f(x)在I上的全体原函数称为f(x)在I上的不定积分,记作CR,s.t.f(x)dx.

即若F(x)为f(x)在I上的一个原函数,则有f(x)dxF(x)C,C为任意常数.

说明：(1)---积分号；(2)f(x)---被积函数；

(3)f(x)dx----被积表达式.(4)x----积分变量.

3.结论：

①连续函数一定有原函数．

②f(x)若有原函数,则有一簇原函数.它们彼此只相差一个常数.

提问：初等函数在其定义区间上是否有原函数？例：edx,sinxdx，x22sinxxdx）

（一定有原函数，但原函数不一定还是初等函数.）例1求（1）3xdx；（2）x5dx.2

解（1）∵(x)3x，∴32233xdxxC.

x6x6

55（2）C.x,xdx66

例2求解11x2dx.arctanx1,21x

11x2dxarctanxC.

1提问：dxarccotxC对吗？1x2

1例3求dx.x

11解:(lnx),dxlnxC.xx

例4:某商品边际成本为1002x,则总成本函数为C(x)(1002x)dx100xx2C. 3．导数与不定积分的关系

f(x)dxf(x)C.

(1)*df(x)f(x)C.(1)

df(x)dxf(x).dx

(2)*df(x)dxf(x)dx.(2)

可见：微分运算与求不定积分的运算是互逆的.

提问:如何验证积分的结果是正确的?(积分的导数是被积函数时正确)

二、不定积分的几何意义

如图：f(x)dxF(x)C，

函数f(x)的不定积分表示

斜率为f(x)的原函数对应的

一簇积分曲线.在同一点x0处

积分曲线簇的切线平行.

此曲线蔟可由F(x)沿y轴上下平行移动而得到．积分曲线：函数f(x)原函数yF(x)的图形称为f(x)

的积分曲线.

不定积分的几何意义：f(x)的不定积分是一簇积分曲线F(x)C.且在同一点x0处积分曲线簇的切线互相平行.

例5设曲线通过点P(1,2),且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程.解设曲线为yf(x),依题意知

x2dy2x,dx2x,2xdxx2C,

2于是f(x)xC,

由f(1)2C1,

所求曲线方程为yx1.

提问：如何验证积分的结果是正确的？（结果求导必须是被积函数）

小结：

１．F(x)为f(x)在I上的原函数,则f(x)在I上全体原函数F(x)c为f(x)的不定积分，即2

f(x)dxF(x)c

２．注意当积分号消失时常数ｃ产生．

３．熟记积分公式，注意将被积函数恒等变形后用公式计算不定积分．

课后记：存在的问题不能正确理解几何意义；计算错误较多，找不对原函数，写掉积分常数C.

【提问】判断下列结论是否正确

（不正确说明理由）

(1)3dx3xC.(2)xdx

(3)

515xC6C.

(4)1

x21xC.(5)1

xlnxC.

(6)5xdx5xln5C.

(7)2exdxexC.

(8)2sinxdxcosxC.(9)1

1x2dxarctanxcarccotxC.

(10)sec2xdxtanxC.

(11)csc2xdxcotxC.

(12)arcsinxCarccosxC.

(13)secxtanxdxsecxC. (12)cscxcotxdxcscxC.