复合材料力学 第五章 复合材料层合板的强度

5、应力分布
对于任意k层，求得应变后，可由
ζ Qቤተ መጻሕፍቲ ባይዱε Q(ε zκ)
x x
求得：
x y xy
(k )
Q11 Q21 Q61
Q12 Q22 Q62
Q16 Q26 Q66
(k )
x y xy
则
A11 Q11 h 0.1133 GPam; A12 Q12 h 0.08463 GPam
22 22
A16 0; A66 Q66 h 0.09317 GPam
26
1 h2 h2 B11 0; B16 [(Q16 ) 45o ( ) (Q16 ) 45o ( )] 42.87 106 GPam2 2 26 4 4 12 26 26
31
和法线方向的应变
z
都为零。
二、叠层的标记法
§5-2 线性经典叠层板理论的本构方程
采用直法线假设，薄板变形可用中面变形表示。
中面内力和中面变形之间的关系——本构关系。
一、中面变形
中面位移：
u0 ( x, y)
u 0 0 0 u v w0
——矢量
采用基尔霍夫-乐甫直线假设，有：
对θ=45°： 1、刚度矩阵
Q16 42.87GPa ，其余与上相同。
26
因为
Aij Q t
k 1
n
n
(k ) ji k
( Bij Q jik )tk d k k 1 n
2 k
n
t 1 (k ) 3 3 (k ) Dij Q ji ( zk zk 1 ) Q ji tk ( d k2 ) 3 k 1 12 k 1
(k )
具体求解的过程作为习题，结果见下图c：
由图可见，应力分布比应变分布要复杂，通常具有跳
跃的折线。
§5-3 一般均匀各向异性叠层板的刚度
几种定义： 均匀正交异性板——叠层板的各正交异性单层的材料相同，
θ也相同。
特殊正交异性板——所用坐标轴与材料主轴重合。 一般正交异性板——所用坐标轴与材料主轴不一致。
yz zx 0
由弹性力学可得：
以及
z 0
w z z 0 u w 0 zx z x v w yz z y 0
积分
w( x, y, z ) w0 w 0 u ( x, y, z ) u z x w 0 v( x, y, z ) v z y
h 2 h 2
三者均为3×3矩阵，由此可得矩阵形式的经典叠层本构关系式 ：
N A B ε 0 M B D κ
6×1 6×6 6×1
6×6矩阵简称为刚度矩阵。
其中：
A
——拉（压）剪刚度，量纲[力][长度]-1
A16 , A26
为拉剪耦合刚度。
22 26
37.77 h 2 28.21 D11 Q11 109 GPam3 ; D16 0 37.77 12 12 12 26 22 22 26 66 31.06
由此可得刚度矩阵为：
0 0 0 42.87 113.3 84.63 84.63 113.3 0 0 0 42.87 0 93.17 42.87 42.87 0 A B 0 B D 0 0 42.87 37.77 28.21 0 0 0 42.87 28.21 37.77 0 0 0 0 31.06 42.87 42.87
T
对θ=﹣45°：
1 Q11 [Q11 2(Q12 2Q66 ) Q22 ] 56.65GP a 4 22 1 Q12 [Q11 Q22 2Q12 4Q66 ] Q22 42.31GP a 4 1 Q16 (Q11 Q22 ) 42.87GP a 4 26 1 Q66 (Q11 Q22 2Q12 ) 46.59GP a 4
矩阵形式：
u 0 薄板中面变形： x 0 v 0 x y 0 y u 0 v 0 0 0 ε xy x y ε zκ ε κ 0 2 w x 2 y x 2w xy 2 y 2w 2 xy
3、中面变形


ε 0 α β N T M κ β δ
且
N x 9.81103 N/m
其余内力为零
4
11 N x 2.32610
0 x
0 y 21 N x 1.094104

0 xy
x y 0
与各向同性薄板相似，可由中面力 N x , N y , N xy 和中面矩
M x , M y , M xy 表示中面内力 N, M。
N x N y N N xy M M x M y M xy
M ζ x 1 zdz ( Q zdz)ε 0 ( Q z 2 dz)κ Bε 0 Dκ
h 2 h 2
h 2 h 2
h 2 h 2
矩阵
A, B,D 的元素为：
( Aij , Bij , Dij ) Qij (1, z, z 2 )dz （i, j 1,2,6）
xy 16 Nx 1.701101 m1
求挠度w：

xy 2w xy 2
积分可得：
w
又因为
xy
2
xy f ( y )dy g ( x)
2w 2w x 2 0, y 2 0 x y
分别可得：
g ( x) 0 即
x 0
0 0 0 x , y , xy为中面应变
x , y为中面曲率 xy为中面扭率
注意：1）此处的xy轴是叠层轴，对某一单层， 一般而言不是它的主轴。 2）只要中面变形已知，即可按上式求 出薄板任一点的应变
高阶理论（不做直法线假设）：
u ( x, y, z ) u ( x, y ) z x ( x, y ) x ( x, y )
MN/m
kN
kN
Nm
2、柔度矩阵
因为
δ (BA-1B D)1 β A-1Bδ-1 α A-1 - βBA
α β T β 为： δ
所以，可得柔度矩阵
(MN) 1 (GN/m) 1 0 0 0 17.34 23.71 11.15 11.15 23.71 0 0 0 17.34 0 0 26.68 17.34 17.34 0 0 0 17.34 71.14 33.46 0 0 0 17.34 33.46 71.14 0 0 0 0 80.05 17.34 17.34 (MN) 1 (kNm) 1
0
v( x, y, z ) v ( x, y ) z y ( x, y ) y ( x, y)
0
w( x, y, z ) w ( x, y ) z z ( x, y ) z ( x, y)
0
u 0 ,x , x 是待定函数。 其中
二、中面内力
y 0.25
由此可求得C点的挠度为：
4、应变分布

ε ε zκ
x 0

0 0 x x 0 x 2.326104 0 0 4 y y z 0 y 1.09410 0 z 0.1701 z xy xy xy
第五章 复合材料层合板的强度 和刚度分析
§5-1 概述· 标记法
一、概述
本章讨论经典叠层板的本构方程，即叠层板的中面内力
和中面变形的物理关系，以及借助本构方程得以求解的简单 问题。
叠层板的每一单层视为均匀的正交异性薄板；但沿垂直
于叠层板的方向，各层性能是不相同的。
假设：采用了弹性板壳理论中的直法线假设，即认为横向剪应 变 23 ,
β A Bδ
-1
-1
[力]-1 对称矩阵 [力]-1 [长度]
α A-1-βBA
四、刚度矩阵
由于各单层的
Qij ( k )
不同，其沿z轴是分段等值的, 可将前面的积分改写为求和
的方式计算，则：
n n
( ( Aij Q jik ) ( z k z k 1 ) Q jik ) t k k 1 k 1 n 1 n (k ) 2 2 ( Bij Q ji ( z k z k 1 ) Q jik ) t k d k 2 k 1 k 1
N x 9.8110 N/m
3
作用下叠层的变形与应力分布。 解：查表可得叠层的厚度和单轴的沿轴 刚度为：
h 2 8 12510 2 10 m
Q11 181.81, Q12 2.90 Q22 10.35, Q66 7.17GPa
6
3
利用 [Q] T QT 可得单层离轴刚度（沿x轴）。
板中任一点 的应变

u u 0 2w 0 x z ( 2 ) x z x x x x v v 0 2w 0 y z ( 2 ) y z y y y y
xy
v u v 0 u 0 2w 0 z ( ) xy z zy x y x y xy
t k2 1 ( 3 ( Dij Q jik ) ( z k z3 2 1 ) Q jik ) t k ( d k2 ) k 3 k 1 12 k 1
n n
tk , d k 分别为k层的厚度及其中心线的z坐标值。
例5.1 求角叠层T300/5209[ 458 / 458 ]的刚度矩阵 和柔度矩阵，以及在
三、本构方程
由正交各向异性层板的应力应变关系，有
ζ x Q ε x Q (ε zκ)
由中面力的定义可得中面力为：
N ζ x 1 dz ( Q dz)ε 0 ( Q zdz)κ Aε 0 Bκ
中面矩为：
h 2 h 2
h 2 h 2
h 2 h 2
f ( y) 0 即
g ( x) Cx D
f ( y) F

即由
w
xy
2
xy Fy Cx D
取叠层板为1m× 0.5m，并由O、A、B三点的w=0定基准面，
wO w A wB 0
可得：

D=C=F=0 xy w xy 2
w x 0.5 10.63mm
B
D
——拉剪-弯扭耦合刚度，量纲[力]。 ——弯扭刚度，量纲[力][长度]
D16 , D26 为弯扭耦合刚度。
对上式求逆，有
ε 0 α β N T M κ β δ
6×1 6×6 6×1
其中：
δ (BA-1B D)1
对称矩阵 [力]-1 [长度]-1