流体力学习题及答案-第七章

第七章 粘性流体动力学

7-1 油在水平圆管内做定常层流运动，已知75=d （mm ），7=Q （litres/s ），800=ρ (kg/m 3)，壁面上480=τ（N/m 2

），求油的粘性系数ν。 答：根据圆管内定常层流流动的速度分布可得出2081m u λρτ=

； 其中：λ是阻力系数，并且Re

64=λ； m u 是平均速度，585.1075.014.325.01074

123

2=⨯⨯⨯==-d Q u m π（m/s ）。 由于阻力系数208m u ρτλ=，因此0

202886464Re τρτρλm m u u ===； 即：028τρνm

m u d

u =； 所以油的粘性系数为401055.3585

.18008075.0488-⨯=⨯⨯⨯==m u d ρτν（m 2/s ）。 7-2 Prandtl 混合长度理论的基本思路是什么

答：把湍流中流体微团的脉动与气体分子的运动相比拟。

7-3无限大倾斜平板上有厚度为h 的一层粘性流体，在重力g 的作用下做定常层流运动，自由液面上的压力为大气压Pa ，且剪切应力为0，流体密度为ρ，运动粘性系数为ν，平板倾斜角为θ。试求垂直于x 轴的截面上的速度分布和压力分布。

答：首先建立如图所示坐标系。

二维定常N-S 方程为：

⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂-=∂∂+∂∂22221y u x u x p f y u v x u u x νρ ⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂-=∂∂+∂∂22221y v x v y p f y v v x v u y νρ

对于如图所示的流动，易知()y u u =，()y p p =，0=v ，θsin g f x =，θcos g f y -=；即x 方向速度u 和压力p 仅是y 的函数，y 方向速度分量0=v 。

因此上式可改写为：

⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+=∂∂2222y u x u f x u u x ν y

p f y ∂∂=ρ1 由不可压缩流体的连续方程

0=∂∂+∂∂y v x u 可知，由于0=v ，0=∂∂y v ，则0=∂∂x u ； 则上式可进一步简化为：

022=∂∂+y

u f x ν （1） y

p f y ∂∂=ρ1 （2） 对于（1）式，将θsin g f x =代入，则有：

θν

sin 122g y u -=∂∂ 两端同时积分，得到：

1sin 1C y g y u +-=∂∂θν

由于当h y =时，0=∂∂=y u μτ，即0=∂∂y

u ，代入上式有： h g C θνsin 11=

因此： y g h g y u θν

θνsin 1sin 1-=∂∂ 两端再次同时积分，得到：

()22sin 21sin 1

C y g hy g y u +-=θν

θν 由于0=y 时，()00=u ，代入上式，知02=C ；则有：

()⎪⎭⎫ ⎝⎛-=221sin 1

y hy g y u θν 若将ρ

μν=代入，则上式成为： ()⎪⎭⎫ ⎝⎛-=

221sin y hy g y u θμρ 该式即为流动的速度分布。

对于（2）式，将θcos g f y -=代入，有：

θρcos g y

p -=∂∂ 两端同时积分得到：

()C y g y p +-=θρcos

由于当h y =时，()a p h p =，代入上式有：

h g p C a θρcos +=

因此：

()()y h g p y g h g p y p a a -+=-+=θρθρθρcos cos cos

该式即为流动的压力分布。

7-4两块无限长二维平行平板如图所示，其间充满两种粘性系数分别为1μ和2μ，密度分别为1ρ和2ρ的液体，厚度分别为1h 和2h 。已知上板以等速0v 相对于下板向右作平行运动，整个流场应力相同（不计重力），流动是层流，求流场中速度和切应力的分布。 答：首先建立如图所示的坐标系。

当不计及质量力时，平面定常层流流动的N-S 方程为：

⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂-=∂∂+∂∂22221y u x u x p y u v x u u νρ ⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂-=∂∂+∂∂22221y v x v y p y v v x v u νρ 显然，y 方向的速度分量0=v ； 由不可压缩流体的连续方程可知0=∂∂+∂∂y v x u ，可知0=∂∂x

u ，u 仅仅是y 的函数，即()y u u =，所以上式可重新整理成为：

221dy

y d x p νρ=∂∂⋅ （1） 01=∂∂⋅y

p ρ （2） 由（2）式知道，0=∂∂y

p ，p 仅仅是x 的函数()x p p =。 将（1）式分区域写成：

x

p dy u d ∂∂=1221μ 10h y ≤≤ x

p dy u d ∂∂=2221μ 02≤≤-y h 分别对两式两端同时积分得到：

111C y x

p dy du +∂∂=μ 10h y ≤≤ （3） 221C y x

p dy du +∂∂=μ 02≤≤-y h （4） 即

111C y x

p dy du μμ+∂∂= 10h y ≤≤ 222

C y x p dy du μμ+∂∂= 02≤≤-y h

由于当0=y 时，两种流体界面上的剪切应力相同，即dy

du dy du 21μμ=，因此有： 2211C C μμ=，

（3）（4）两式化为：

111C y x

p dy du +∂∂=μ 10h y ≤≤ （3）′ 12

121C y x p dy du μμμ+∂∂= 02≤≤-y h （4）′ 分别对（3）′和（4）′

两式两端同时积分得到： 312121C y C y x

p u ++∂∂=μ 10h y ≤≤

41212221C y C y x p u ++∂∂=

μμμ 02≤≤-y h 由于当0=y 时，两种流体界面上的速度相同，得43C C =，则：

312121C y C y x

p u ++∂∂=μ 10h y ≤≤ （5）

31212221C y C y x p u ++∂∂=

μμμ 02≤≤-y h （6） 当1h y =时，0v u =，带入到（5）式；当2h y -=时，0=u ，带入到（6）式；得到：

031121121v C h C h x

p =++∂∂μ （7）

0213212

1222=+-∂∂C h C h x p μμμ （8） （7）（8）两式相减，经整理后得到：

()x p h h h h v h h C ∂∂⋅+-⋅++=21121212221021122

121μμμμμμμμ 将1C 代入（8）式，经整理后得到：