实变函数期末考试模拟试题

实变函数期末考试模拟试题

一、定义或名词解释。

1、定义集合的外测度及集合的测度；

2、定义可测函数与简单函数；

3、Lebesgue可积的定义（提示a，b，c，d 共4点）；

4、解释距离空间、线性空间、线性赋范空间；

5、解释符号：f属于C C（R）、f属于R（D）。

6、写出叶果罗夫定理及鲁津定理。

二、计算及定理证明：

1、设E可测，f在E非负可测。那么，存在非负简单函数ψk，k是正整数。st 对任意的k，任意的x有：

0≤ψk(x)≤ψk+1(x),且lim

k→∞

ψk(x)＝ｆ（ｘ）。

2、设E可测，k是正整数，ψk在E可测。令g=sup{ψk：k正整数}，

h=inf{ψk：k正整数}。证明：g，h，lim

k→∞supψk(x)，lim

k→∞

infψk(x)均

可测。

3、设a属于R。 f属于L（R）。且f（a）=0，f’(a）属于R，那么

f（x）

｜x−a｜

属于L（R）.

4.问当P为实数何值时，lim

k→∞∫xdx

1+x sin

k

收敛。