第12讲函数三要素
函数的三要素精讲
函数三要素一．函数的定义域 1．定义域：能使函数式有意义的实数x 的集合称为函数的定义域。
求函数的定义域时列不等式组的主要依据是： (1)分式的分母不等于零； (2)偶次方根的被开方数不小于零 (3)对数式的真数必须大于零；(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1.(5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x 的值组成的集合.(6)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义. （7）复合函数定义域例1： 求下列函数的定义域（1） 8|3x |15x 2x y 2-+--=（2） 2|1|)43(432-+--=x x x y（3） )103(log 22327---=x x y（4） y=xx x -+||)1(0; (5) y=232531x x -+-;(6) y=1·1-+x x .2：复合函数定义域：已知函数()f x 的定义域为(,)a b ,函数()g x 的定义域为(,)m n ,则函数[()]f g x 的定义域为()(,)(,)g x a b x m n ∈⎧⎨∈⎩，解不等式得结果。
例2：1.函数()f x 定义域为(0，2)，求下列函数的定义域： （1）y=f(3x); (2)y=f(x1); (3)y=f()31()31-++x f x2.函数(2)x f 的定义域为[1,2],求2(log )f x 的定义域3．已知()f x 的定义域为［－2，2］，求2(1)f x -的定义域。
4．已知(21)f x +的定义域为［1，2］，求()f x 的定义域。
5．已知()f x 的定义域为［0，1］，求函数)a x (f )a x (f )x (F -++=的定义域。
6．已知函数1()1xf x x+=-的定义域为A ，函数()y f f x =⎡⎤⎣⎦的定义域为B ，则 ()A A B B = ()B A B ≠⊂ ()C A B = ()D A B B =二．函数的值域1观察法：对于一些比较简单的函数，如正比例,反比例,一次函数,指数函数,对数函数,等等,通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域。
高一数学：函数的三要素
函数的三要素：定义域、对应关系和值域 函数的定义域：函数的定义域是自变量x 的取值范围，它是构成函数的重要组成部分，如果没有标明定义域，则认为定义域是使函数解析式有意义的或使实际问题有意义的x 的取值范围 函数y=f(x)的定义域的求法：①若f(x)是整式，则函数的定义域是实数集R ；②若f(x)是分式，则函数的定义域是使分母不等于0的实数集；③若f(x)是二次根式，则函数的定义域是使根号内的式子大于或等于0的实数集合； ④若f(x)是由几个部分的数学式子构成的，则函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数集合；⑤若f(x)是由实际问题抽象出来的函数，则函数的定义域应符合实际问题.如为半径r 与圆面积S 的函数关系为S=πr 2的定义域为{r ︱r>0} ⑥)(x f =x 0的定义域是{x ∈R ︱x ≠0}注意：列不等式（组）求函数的定义域时，考虑问题要全面，要把所有制约自变量取值的条件都找出来。
【例1】求下列函数的定义域： ① 21)(-=x x f ；② 23)(+=x x f ；③ xx x f -++=211)(.【练1】求下列函数的定义域：（1）()422--=x x x f （2）()2f x x =+ （3） y = （4）xx x y -+=||)1(0【2012高考四川文13】函数()f x =的定义域是____________。
（用区间表示）【2012高考广东文11】函数y x=的定义域为 .表达式中参数求法：根据定义域或其他的条件找到参数应满足的条件或表达式，从而求出相应参数的取值范围。
【例1】若函数aax ax y 12+-=的定义域是R ，求实数a 的取值范围【练1】已知函数()f x 的定义域为R ，求实数k 的范围复合函数1.复合函数定义定义：设函数)(u f y =，)(x g u =，则我们称))((x g f y =是由外函数)(u f y =和内函数)(x g u=复合而成的复合函数。
函数的三要素范文
函数的三要素范文函数是数学中一个重要的概念，也是计算机科学中的基本构建块。
它有三个关键要素，分别是定义域、值域和对应关系。
下面我将详细介绍这三个要素。
首先，我们来讨论函数的定义域。
函数的定义域是指函数所能接受的输入值的集合，也就是函数的参数可以取的值的范围。
在数学中，常用的定义域可以是实数集、整数集或者有限集。
在计算机编程中，定义域通常是由程序员在函数定义的时候指定的，可以是任何数据类型，如整数、浮点数、字符串或者自定义的数据结构。
定义域的合法输入值将决定函数的行为和输出结果。
接着，我们来讨论函数的值域。
函数的值域是函数在定义域上的所有可能输出值的集合。
在数学中，通常通过对函数进行分析和变换来确定值域。
一般来说，值域可以是实数集、整数集或者有限集。
在计算机编程中，值域的确定往往取决于函数的实现方式和算法，可能是特定类型的值，如整数、浮点数、字符或者布尔值，也可以是自定义的数据结构。
最后，我们来讨论函数的对应关系。
函数的对应关系描述了输入值与输出值之间的对应关系。
在数学中，函数的对应关系通常表示为f(x)=y，其中x是函数的输入值，y是函数的输出值。
这个对应关系可以用一个表格、图形或者方程来表示。
在计算机编程中，函数的对应关系由函数的实现方式决定，可以是一个简单的数学运算表达式，也可以是复杂的算法或者程序流程。
对应关系的准确定义是保证函数正确性和一致性的关键。
总结起来，函数的三要素分别是定义域、值域和对应关系。
定义域是函数输入值的范围，值域是函数输出值的范围，对应关系描述了输入值与输出值之间的关系。
这些要素相互作用，决定了函数的行为和功能。
对于数学家和计算机科学家来说，理解和掌握这三个要素是研究和应用函数的基础。
函数的概念,三要素的求法（整理版）
函数的概念：A.a叫做A中元素的象集是B的子集.f映射三要素：集合A、B以及对应法则，缺一不可；映射观点下的函数概念如果A，B都是非空的数集，那么A到B的映射f：A→B就叫做A到B的函数，记作y=f(x)，其中x∈A，y∈B.原象的集合A叫做函数y=f(x)的定义域，象的集合C（C B）叫做函数y=f(x)的值域.函数符号y=f(x)表示“y是x的函数”，有时简记作函数f(x).例以下给出的对应是不是从集合A到B的映射？（1）集合A = {P | P是数轴上的点}，集合B = R，对应关系f：数轴上的点与它所代表的实数对应；（2）集合A = {P | P是平面直角坐标系中的点，集合B = {(x | y) | x∈R，y∈R}，对应关系f：平面直角坐标系中的点与它的坐标对应；（3）集合A = {x | x是三角形}，集合B = {x | x是圆}，对应关系f：每一个三角形都对应它的内切圆；（4）集合A = {x | x是新华中学的班级}，集合B = {x | x是新华中学的学生}，对应关系f：每一个班级都对应班里的学生.（1）按照建立数轴的方法可知，数轴上的任意一个点，都有惟一的实数与之对应，所以这个对应f：A→B是从集合A到B的一个映射.（2）按照建立平面直角坐标系的方法可知，平面直角坐标系中的任意一个点，都有惟一的一个实数对与之对应，所以这个对应f：A→B是从集合A到B的一个映射.（3）由于每一个三角形只有一个内切圆与之对应，所以这个对应f：A→B是从集合A到B的一个映射.（4）新华中学的每一个班级里的学生都不止一个，即与一个班级对应的学生不止一个，所以这个对应f：A→B不是从集合A到B的一上映射.1.图1-2-2-21(1),(2),(3),(4)用箭头所标明的A中元素与B中元素的对应法则,是不是映射？图1-2-2-21“一对一”或“多对一”的对应,即集合A中的任意一个元素,在集合B中都有唯一确定的元素与之对应.例1，已知下列集合A到B的对应，请判断哪些是A到B的映射？并说明理由：；）函数定义的理解.定的，所以，如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，我们就称这两个函数相等.表示；表示；表示；相等？；；.）y、已知的定义域，求的定义域，其解法是：若的定义域为，则中，从中解得的取值范围即为的定义域。
函数三要素分别是
函数三要素分别是
函数三要素分别是：定义域A、值域C和对应法则f。
一般的，在一个变化过程中，假设有两个变量x、y，如果对于任意一个x都有唯一确定的一个y和它对应，那么就称x 是自变量，y是x的函数。
x的取值范围叫做这个函数的定义域，相应y的取值范围叫做函数的值域。
函数的概念
在一个变化过程中，发生变化的量叫变量（数学中，变量为x，而y则随x值的变化而变化），有些数值是不随变量而改变的，我们称它们为常量。
自变量（函数）：一个与它量有关联的变量，这一量中的任何一值都能在它量中找到对应的固定值。
因变量（函数）：随着自变量的变化而变化，且自变量取唯一值时，因变量（函数）有且只有唯一值与其相对应。
函数值：在y是x的函数中，x确定一个值，y就随之确定一个值，当x取a时，y就随之确定为b，b就叫做a的函数值。
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函数的定义与三要素
一、函数定义及其定义域研究函数必须树立定义域优先考虑．．．．．．．的原则！(很重要，但又很容易忽视)1．函数的定义：设A，B是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y=f(x)，x∈A．①函数f(x)的图象与动直线x=m至多只有一个公共点！这是判断一个图象是不是函数图象的方法．②点(a，b)在函数y=f(x)的图象上⇔f(a)=b．③函数表示法——解析法、列表法、图象法．④两个函数为同一函数的充要条件是定义域与对应关系相同【即在定义域相同的条件下解析式可化为相同】．⑤设函数y=f(x)的定义域为集合P，若f(x)在集合Q上有意义，则Q⊆P．⑥区间表示法：设a<b，则{x|a≤x≤b}=[a，b]，{x|a<x<b}=(a，b)，R=(−∞，+∞)，…．2．映射的定义：设A，B是两个非空的集合，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个映射．【函数与映射都是：一对一，或多对一．】3．若A中含有m个元素，B中含有n个元素，从A到B能建立多少个映射？4．给出函数的解析式，求函数的定义域所遵循的原则是：①f(x)g(x)中要求g(x)≠0；②√f(x)2n中要求f(x)≥0；③[f(x)]0中要求f(x)≠0；④y=a x（a>0，且a≠1），x∈R；⑤y=log a x（a>0，且a≠1），x>0；⑥y=tanx，x∈R，x≠kπ+π2，k∈Z；⑦通过加、减、乘、除四则运算及有限次复合构造出新函数，则新函数的定义域是每个函数定义域的交集．⑧应用问题的定义域，除了要考虑解析式本身的定义域，还要考虑使应用问题有意义．⑨求定义域时最好不要对解析式先变形，否则容易出错．5．不给出f(x)的解析式，函数f(x)，f(g(x))，f(ℎ(x))三者之间定义域的关系：【定义域都是指x的取值范围．】①已知f(x)的定义域是(a，b)，求f(g(x))的定义域：解不等式a<g(x)<b，其解集就是f(g(x))的定义域．②已知f(g(x))的定义域是(a，b)，求f(x)的定义域：利用a<x<b求g(x)的值域，该值域就是f(x)的定义域．③已知f(g(x))的定义域是(a，b)，求f(ℎ(x))的定义域：利用x∈(a，b)先求出g(x)的值域(c，d)，然后解不等式c<ℎ(x)<d，此不等式的解集就是f(ℎ(x))的定义域．【总之，求抽象函数的定义域，关键是抓住被同一个 f 作用的对象取值范围相同．】6．①|a|={a， a≥0，−a， a<0．②|a−b|=|b−a|（数轴上a，b两点间的距离）；③|−a|=|a|，④(a−b)2=(b−a)2．C n1∙C n1∙⋯∙C n1⏟m个=n m(个)．1．定义域必须用集合或区间的形式表示！2．集合{x|y=f(x)}的含义：即函数y=f(x)的定义域．3．要养成这样一个习惯：一研究函数问题，就指出该函数的定义域！二、 函数解析式的求法【函数变量是个筐，代数式都可以装（变量替换）．例：对于f (x )=ax 2+bx +c ，f()=a 2+b +c ．】 1．函数解析式的求法：【函数与方程的思想；恒等式的变量替换，如：3x +4=(x +3)+(2x +1)．】（1）代入法【直接法，适用于①由f(x)求复合函数f[g (x )]，②由f(x +a)、f(x −a)、f(ax)、f(xa )等求f(x)； 注意：由分段函数f(x)求复合函数f[g (x )]时，首先需要根据f(x)中对x 的分段，替换为对g(x)的分段．】（2）凑配法【整体替换法，适用于f (√x +1)、f (1+1x )、f(x +1x )、f(x −1x )等类型．】 （3）换元法【如f (3x +1)=2x 2−3x +1．换元法与凑配法可以交替使用，如f (√x +1)，f (1+1x )等类型．】 （4）待定系数法【告知函数类型，就要设出该函数表达式，如f(x)是一次函数，则可设f (x )=kx +b ；然后，①利用条件得恒等式，由对应项的系数相等完成；②或利用条件得方程（组），然后解方程（组）即可．】（5）解方程组法【给出的方程同时含：①f(x)与f(−x)，或f(x)与f(a −x)； 【前者x →−x ，后者x →a −x 】②一奇一偶函数f(x)与g(x)； 【x →−x 】③f(x)与f(1x )，或f(x)与f(a x )； 【前者x →1x ，后者x →ax 】 方法：将原方程中的变量进行变量替换得新方程，联立原方程解方程组！】（6）图象变换法【根据变换过程写解析式，或根据对称关系、相关关系等用代入法求曲线（或轨迹）方程．】（7）赋值法【给出可以求出解析式的恒等式时使用．】2．二次函数的解析式的三种形式(a ≠0)：①一般式：y =ax 2+bx +c ； 对称轴是x =−b2a ； 顶点(−b2a ，4ac−b 24a )．②顶点式：y =a(x −ℎ)2+k ； 对称轴是x =ℎ； 顶点(ℎ，k)．③两根式：y =a (x −x 1)(x −x 2)； 对称轴是x =x 1+x 22； 顶点(x 1+x 22，−a (x 1−x 22)2)． 【提醒1】用待定系数法求二次函数的解析式按照③、②、①的顺序考虑去设解析式较好．【提醒2】f (x )=ax 2+bx +c =a (x −x 1)(x −x 2)：一般式与两根式的相互转化使用，常有利于解决问题．【已知一个零根x 1时，另一零根x 2可由韦达定理求出．】【提醒3】与二次函数有关的问题【值域，最值，单调性等】，要学会直接运用对称轴和图象解决！3．应用题中求函数解析式：关键是寻找等量关系，即同一个量用不同方式表达，由此就得到方程（或等式），从而就可得到函数解析式． 注意：①没有给出字母变量的，一定要先设出来．②要根据实际意义，准确求出函数定义域．③不能用一个式子表示的，则需要用分段函数表示．（几何背景的应用题常需要用分段函数表示！）4．缴纳个人所得税也可以画线段示意图分段处理（分段纳税）．(还可建立分段函数模型)常见函数的平方表示：[f(x)]2=f 2(x)，(log a x )2=log a 2x ，(sinx )2=sin 2x ，(cosx )2=cos 2x ，(tanx )2=tan 2x ．基数免税 3% 10% 20% 3500元 1500元 3000元 4500元 26000元 25% 20000元 25000元 30% 35% 45%补充1．设f (x )，g(x)均为定义域相同的两段式的分段函数，①若分段标准一致，则y =f (x )±g(x)，y =f (x )∙g(x)，y =f(x)g(x)(g (x )≠0)等函数仍为两段式的分段函数． ②若分段标准不一致，则y =f (x )±g(x)，y =f (x )∙g(x)，y =f(x)g(x)(g (x )≠0)等函数均为三段式的分段函数． 2．给出分段函数f (x )={f 1(x )，x ≤a ，f 2(x )，x >a ．如何解不等式（或方程）：f(g (x ))≥f(ℎ(x))． 方法一：就g (x )，ℎ(x)与a 的大小关系分四种情形，将两边代出后求解；方法二：令g (x )=a ，ℎ(x )=a ，解出x 的值，得到（能分段代出两边的）标准后，分段求解．3．若f (x )=a n x n +a n−1x n−1+⋯+a 2x 2+a 1x +a 0，且f (t )=0，则f(x)必含有因式(x −t)；必要时可以用竖式除法或待定系数法将f(x)因式分解；若x =x 0为f(x)的极值点，则x =x 0必为方程f (x )=f(x 0)的重根．4．y =ax 2+bx +c =a (x +b 2a )2+4ac−b 24a 在a 确定的情况下，抛物线的形状（即开口大小）也就随之确定！5．三次函数f (x )=ax 3+bx 2+cx +d 的解析式：【其图象(a >0)的各种情形你知道吗？】①若已知f (x )=0的三个根为x 1，x 2，x 3，则可设f (x )=a (x −x 1)(x −x 2)(x −x 3)．②若已知f (x )=0的两个根为x 1，x 2，则可设f (x )=a (x −x 1)(x −x 2)(x −m)．③若已知f (x )=0的一个根为x 1，则可设f (x )=a (x −x 1)(x 2+mx +n)．6．三次函数f (x )=ax 3+bx 2+cx +d 有极值的充要条件是：f′(x )=3ax 2+2bx +c =0有两个不等实根．【由f′(x )=3ax 2+2bx +c =3a (x −x 1)(x −x 2)的图象可知．】三、 值域，最值1．观察法：主要针对一些简单函数，或作简单变形后观察，即可求出值域或最值．2．配方法（对称轴法）：对于型如f (x )=ax 2+bx +c ，x ∈[m ，n]的形式的二次函数，利用配方法或直接利用对称轴x =−b2a 完成．可以结合图象完成求值域或最值．【配方其实也是为了找出对称轴！】3．换元法：代数换元法，三角换元法．运用换元法解题时要注意确定新元的取值范围和整体置换的策略．使用换元法时，一般来说，需求两次值域，一次在换元时求新元的取值范围，一次在换元后求新函数值域． ①y =ax +b +k √cx +d ，令t =√cx +d ．（注意：该函数有时可直接快速判定单调性！）②y =a f (x )，令u =f(x)，则y =a u ； ③y =log a f(x)，令u =f(x)，则y =log a u ；④y =f(a x )，令t =a x ，则y =f(t)； ⑤y =f(log a x)，令t =log a x ，则y =f(t)；⑥令a x +a −x =t ，则a 2x +a −2x =t 2−2(t ≥2)； ⑦令√1−x +√1+x =t ，则√1−x 2=t 2−22．无参函数先定性，定性之后再前行！ 定性：是指先确定函数定义域，值域，单调性，奇偶性，周期性，图象等性质；然后再结合性质去解题.a a 1 a 2 函数符号的使用：p =kV ⇒p (V )=kV ，y =ax 2+bx +c ⇒y (x )=ax 2+bx +c ，但对于后者习惯用f(x)． 在使用函数符号时，“y =⋯”，根据需要可改用“f (x )=⋯”．【y 即f(x)，f(x)即y ，因为y =f(x)．】 如：判断函数单调性和奇偶性及周期性等，就应该使用函数符号f(x)．⑧y=ax+b±k√c2−x2，令x=csinα，α∈[−π2，π2]（或令x=ccosα，α∈[0，π]）．⑨x∈R时，令x=tanα，α∈(−π2，π2)；⑩令sinx+cosx=t，则sinxcosx=t2−12．4．图象法（数形结合法）：(直观实用！)■①一些简单函数及分段函数的求值域或最值常利用图象完成．②求f(x)=max{f1(x)，f2(x)，⋯，f n(x)}或f(x)=min{f1(x)，f2(x)，⋯，f n(x)}的值域，可先分别作出其中所含函数：f1(x)，f2(x)，⋯，f n(x)的图象，再利用它们的交点分段确定f(x)的图象，从而确定值域或最值．③根据函数表达式的几何意义【分式→斜率？平方和（的算术根）→距离？等】，作出图象，求出值域或最值．5．单调性法：若函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域或最值． (优先考虑！)■6．有界性法：含x2，|x|，√x，x(x∈(m，n))，a x，sinx，cosx的函数，若可用y表示它们，则常利用其有界性来求值域或最值．7．基本（均值）不等式法：利用a+b2≥√ab或a+b+c3≥√abc3(一正二定三相等)等公式来求值域或最值，一定要看等号能否成立，否则用数形结合法、单调性法完成，如y=x+kx(k>0)．【还要注意柯西不等式的应用．】8．判别式法：用于y=f(x)=a1x2+b1x+c1a2x2+b2x+c2．（a12+a22≠0，分子、分母无公因式，且x无人为限制．）先化成(a2y−a1)x2+(b2y−b1)x+(c2y−c1)=0，再运用∆≥0求值域（但要注意讨论二次项系数为0的情况）．附：若含参数的函数f(x)=a1x 2+b1x+c1a2x2+b2x+c2的值域为[a，b]，求所含参数的值．方法①：利用判别式法；方法②：利用a≤a1x 2+b1x+c1a2x2+b2x+c2≤b恒成立且等号也可成立．9．导数法：通过求导研究函数的单调性，确定极值与端点值，从而得出值域或最值．(万能方法！)■⒑分类讨论法：对于含参数的函数求值域或最值，最常用的方法是数形结合、分类讨论．通常先作出函数的一般图象（形状），再由函数图象左右移动悟出讨论标准！二次函数f(x)=ax2+bx+c，x∈[m，n]的最值问题（对称轴含参数问题、区间含参数问题）是最典型的．注意是否需要讨论开口方向，①对称轴x=−b2a与x轴上区间[m，n]的两端点m，n的三种位置关系；②对称轴x=−b2a 与x轴上区间[m，n]的中点m+n2的两种位置关系；同理：对于函数f(x)=k|x−a|+b，x∈[m，n]的最值问题（对称轴含参数问题），可参照上述思路解决．补充1．求函数值域问题，从方程角度讲，就是关于x的方程．．在定义域内有解．．，从而求参数y的取值范围问题！求函数值域问题，从图象角度讲，就是函数图象上每一点的纵坐标．．．组成的集合！2．求函数值域与求最值方法是相同（通）的，既可求出值域而确定最值，也可求出最值而确定值域．3．可学会使用的符号：①f(x)max=f(p)，f(x)min=f(q)；②f(x)max=max{f(p)，f(q)}=⋯，f(x)min=min{f(p)，f(q)}=⋯．【含参数时可根据f(p)−f(q)的符号分类确定。
函数定义三要素
第二节函数定义一、考点综述：函数是整个高中阶段最难的知识点，但高考对函数的考察不是很难，处于中等难度，在考试中一般会出现一个大题两个小题，分值在20分左右，大题主要考查的是导数的应用；小题主要考察函数定义域，二次函数，指对数函数和函数图像，其中函数图像是必考题；二、1.知识点：函数的概念：如果A 、B 都是非空的数集，那么从集合A 到集合B 的映射f ：A B →叫做A 到B 的函数．原象的集合A 叫做函数的定义域，象的集合叫做函数的值域．2.函数的三要素：定义域；值域；对应法则．在这三要素中，值域可以由定义域和对应法则唯一确定，故可以说函数只有两要素．两个函数是同一个函数的条件是：它们的两要素均相同．3. 函数定义域一般有两种形式：即自然定义域和限定定义域．对于来自于实际问题中的函数，其定义域要符合问题的实际，属于限定定义域；自然定义域是函数自身的自变量的取值范围，有以下几种情况：①分母不等于零；②偶次根式中被开方数大于零；③对数的真数和底数大于零，且底数不等于1；函数y =a x （a ＞0且a ≠1），函数y =log a x （a ＞0，a ≠1） ④指数式中，指数为零时，底数不能为零．4. 重点：定义域和函数解析式的求法；难点：抽象函数（复合函数）定义域的求法，解析式的求法； 三：例题详解：例1：定义域的考察： 1.具体函数的定义域：函数(1)y x x x =-+的定义域为（ ） A ．{}|0x x ≥B ．{}|1x x ≥C ．{}{}|10x x ≥D ．{}|01x x ≤≤练：（1）函数121)(-++=x x x f 的定义域是 .，函数x x x x f -+--=4lg 32)(的定义域是 （2）求下列函数的定义域 （1）xx f 111)(+=； （2）131)(-++-=x x x f ； (3 ) 321)(2+=x x f2.抽象函数的定义域：（1）函数定义域只是自变量X 的范围； （2）在同一个题目中f （）内的式子相等； （1）若函数()f x 的定义域为【1,2】，求()1f x +的定义域； （2）若函数()1f x +的定义域为【1,2】，求()f x 的定义域；（3）若函数)1(+x f 的定义域为[0，1]，则函数)13(-x f 的定义域为______练：设f(x)＝x x -+22lg，则)2()2(xf x f +的定义域为（ ） A. ），（），（－4004 B.(－4,－1) (1，4)C. (－2,－1) (1，2)D. (－4,－2) (2，4)例2.判断函数是否为同一函数下列四组函数中，表示相等函数的一组是（ ） Ａ．2()()f x x g x x ==，Ｂ．22()()()f x x g x x ==，Ｃ．21()()11x f x g x x x -==+-， Ｄ．2()11()1f x x x g x x =+-=- ，练：下列函数中，与函数y x =相同的函数是 （ ）()A 2x y x= ()B 2()y x = ()C lg10x y = ()D 2log 2x y =例3.函数求值：设f (x )＝|x －1|－|x |，则f [f ()]＝ （ ）A ． －B ．0C ．D ．1练：（1）. 设函数3,(10)()((5)),(10)x x f x f f x x -≥⎧=⎨+<⎩，则(5)f ＝ ．（2）. 已知20(0)()(0)0()x x f x e x x <⎧>⎪==⎨⎪⎩，则[]{}(2)f f f -的值是（ ）Ａ．０Ｂ．eＣ．2eＤ．以上都不对例4.解析式：待定系数法，换元法，方程组法； （1）待定系数法：如果f ［f （x ）］=2x －1，则一次函数f （x ）=____________ 练：已知a ,b 为常数，若22()43,()1024,f x x x f ax b x x =+++=++则5a b -= .（2）换元法：已知函数()22132f x x x +=++，求函数()f x 的解析式；练：已知函数()134fx x x +=+-，求函数()f x 的解析式。
函数三要素综合知识点
函数三要素综合知识点函数作为编程中的重要概念，在程序设计中起着重要的作用。
理解函数的三要素对于编写高效、可读性强的代码至关重要。
本文将详细介绍函数的三个要素：函数名、参数和返回值，并提供一些实用的示例来帮助读者更好地理解这些概念。
1. 函数名函数名是函数的标识符，用于在代码中唯一标识一个特定的函数。
函数名应该能够清晰地表达函数的功能，以方便其他开发者理解和使用。
在选择函数名时，应遵循一些命名规范，如以下几点：•函数名应该使用有意义的单词或短语，能够准确地描述函数的功能。
•函数名应该使用小写字母，并使用下划线来分割单词，以增加可读性。
例如，calculate_average。
•避免使用过长或过于复杂的函数名，以免影响代码的可读性。
•函数名应该遵循所使用的编程语言的命名规范。
2. 参数参数是函数中的变量，用于接收外部传入的数据。
函数可以有零个或多个参数，通过参数可以将数据传递给函数，并在函数内部进行处理。
在定义函数时，需要指定参数的类型和名称。
以下是一些常见的参数类型：•整数（int）：用于接收整数类型的数据。
•浮点数（float）：用于接收浮点数类型的数据。
•字符串（string）：用于接收字符串类型的数据。
•列表（list）：用于接收一组数据的集合。
参数可以在函数内部被使用，进行一系列的操作和计算。
函数可以根据参数的不同值，返回不同的结果。
3. 返回值返回值是函数执行完毕后，将结果返回给调用者的方式。
调用函数时可以使用返回值进行后续的操作和处理。
在函数中，可以使用关键字return来指定要返回的值。
以下是一些关于返回值的注意事项：•函数可以返回单个值，也可以返回多个值。
多个返回值可以使用元组或列表来实现。
•返回值的类型应该与函数的功能和预期结果相匹配。
•函数可以返回任何类型的值，包括整数、浮点数、字符串、列表等等。
示例下面是一个简单的示例，展示了函数名、参数和返回值的应用：def calculate_sum(a, b):"""计算两个数的和"""return a + bresult = calculate_sum(3, 5)print(result) # 输出结果为 8在上述示例中，calculate_sum是函数的名字，它接收两个参数a和b，并返回它们的和。
高中数学教案-函数的三要素
函数的三要素课程目标知识提要函数的三要素函数的三要素指函数的定义域、解析式和值域，其中函数的定义域和解析式可以确定函数的值域，因此是函数的核心要素．函数的定义域的概念与求法函数，中自变量的取值范围称为函数的定义域（domain）．在不加说明时函数的定义域是使解析式或实际模型有意义的自变量的取值范围．函数的值域的概念与求法函数，中函数值的集合称为函数的值域（range）．函数的解析式的概念与求法函数中表示自变量和因变量之间的对应关系的数学表达式称为函数的解析式．精选例题函数的三要素1. 函数，的值域为．【答案】2. 函数的定义域是．【答案】3. 函数的值域为．【答案】4. 已知，则．【答案】5. 函数定义域为．【答案】6. 二次函数满足，且，求的解析式．【解】设．由得，故．因为．所以．即，所以，所以，所以．7. 如图，在边长为的正方形上有一动点，沿着折线由点（起点）向点（终点）移动，设点移动的路程为，的面积为．(1)求的面积与移动的路程间的函数关系式；【解】这个函数的定义域为．当时，；当时，；当时，．所以这个函数的关系式为(2)作出函数的图象，并根据图象求的面积的最大值．【解】由图可知，函数的最大值为，即的面积最大值为．8. 已知函数满足，，且使成立的实数只有一个，求函数的解析式．，，得．①【解】由－又只有一个解，即只有一个解，也就是只有一个解，所以，代入①中得，所以．9. 求下列函数的定义域：(1)；【解】．(2)．【解】．10. 某地通过市场调查得到西红柿种植成本（单位：元千克）与上市时间（单位：天）的数据如下表：时间(1)根据上表数据，从下列函数中选取一个函数描述与的变化关种植成本系，并求出函数的解析式：，，，；【解】已知函数不可能是常数函数，从而函数，，中都应有．此时上述三个函数均为单调函数，这与数据不吻合，所以选取二次函数进行描述．表格数据分别代入，得到解方程组得，，．所以函数．(2)利用选取的函数，求西红柿最低种植成本及此时的上市天数．【解】．当时，即在第天时，西红柿种植成本最低为．函数的定义域的概念与求法1. 的定义域为．【答案】且2. 函数的定义域为．【答案】且3. 设函数则，若，则实数的取值范围是．【答案】；4. 函数的定义域是（用区间表示）．【答案】5. 函数的定义域为．【答案】6. 若的定义域是，求的定义域．【解】的定义域是，即，故，从而的定义域为．7. 求下列函数的定义域：(1) ；【解】；(2) ；【解】且；(3) ；【解】；(4) ；【解】．8. 求下列函数的定义域，并用区间表示：(1)；【解】要使函数有意义，自变量的取值必须满足解得且，即函数定义域为且．(2)．【解】要使函数有意义，自变量的取值必须满足，解得，且，即函数定义域为且．9. 设函数的定义域为集合，函数的定义域为集合（其中，且）．(1)当时，求集合；【解】．(2)若，求实数的取值范围．【解】当时，，，，所以．10. 求下列函数的定义域：(1)；【解】要使函数有意义，需；解得且，所以函数的定义域为(2)；【解】由得所以且，所以原函数的定义域为且(3)．【解】要使函数有意义，需解得且，所以函数的定义域为．函数的值域的概念与求法1. 设函数，则．【答案】2. 函数的定义域是，则其值域是．【答案】【分析】易知函数在区间上单调递增，将函数的图象向左平移一个单位长度可得函数的图象，所以函数在区间上单调递增，所以函数在区间上单调递增，所以当时，函数的最小值为，当时，函数的最大值为，所以值域为．3. 函数，，则该函数值域为．【答案】4. 若关于的方程在区间上恒成立，则实数的取值范围是．【答案】【分析】即在区间上恒成立，所以．函数在单调递增，当时取最大值，即．5. 函数的值域为．【答案】【分析】在上单调递增，所以值域为．6. 半径为的半圆中，作如图所示的等腰梯形，设梯形的上底，梯形的周长为．(1)求关于的函数解析式，并注明定义域；【解】梯形的高，．所以梯形周长．(2)上底与腰的长度为何值时，周长取到最大值，并求此最大值．【解】令，则，当，时，．而当时，，，即知当时，周长取到最大值．7. 已知函数的值域为，求实数、的值．【分析】设，则当时，．当时，由，有，即，由已知得且，所以，，又，所以，当，，时，，所以，．【解】．8. 已知幂函数在上单调递增，函数． (1)求的值；【解】因为为幂函数，所以或．当时，在上单调递增，满足题意；当时，在上单调递减，不满足题意，舍去．综上可得．(2)当时，记、的值域分别为集合、，若，求实数的取值范围．【解】由（1）知，，所以、在上单调递增，所以，．因为，所以，所以故实数的取值范围为．9. 已知函数对任意实数，，均有，且当时，，，求在区间上的值域．【解】由，变形得，令，，，则，，所以，所以，所以在上为增函数．令得，所以；令，，得，又因为，所以；令得，所以在区间上的值域．10. 利用数轴，求的值域．【解】设，，如图，则指的是到的距离与到的距离之差，故．函数的解析式的概念与求法1. 已知，是正比例函数，是反比例函数，并且当时，；当时，；当时，．【答案】2. 已知是一次函数，若，则的解析式为．【答案】或【分析】设，则．所以，解得或3. 已知是奇函数，且对定义域内任意自变量满足，当时，，则当时，；当，时，．【答案】；，4. 一次函数过点，，则此函数解析式为．【答案】5. 函数满足，则．【答案】6. 已知，且，求、、的值．【解】因为所以，，，所以，，．7. 函数的图象如图，试根据函数的图象求出此函数的解析式．【解】由函数图象可知，该函数为分段函数并且在每一段上都是一次函数，又由图象可知，图象经过，，，四点，然后在每一段上分别设函数解析式，将定点坐标分别代入可求相应的，．可得解析式为8. 已知二次函数满足，且的两根平方和为，图象过点，求的解析式．【解】设．由知得．①又图象过点，所以．②设的两实根为，则．所以．即．③由①②③得．所以．9. 已知二次函数的图象与轴交点的横坐标分别是，，图象与轴相交，交点和原点的距离为，求此函数的解析式．【解】设二次函数解析式为，已知与轴交点的横坐标分别为，，代入得．图象与轴相交，交点和原点的距离为，，解得或．所求函数的解析式为或．10. 已知函数，满足，．(1)求函数的解析式；【解】由，得．又，得，解得，．所以．(2)当时，求函数的最大值和最小值．【解】，对称轴为．故，又因为，，所以．(3)若函数的两个零点分别在区间和内，求的取值范围．【解】．若的两个零点分别在区间和内，则满足解得．课后练习1. 已知函数，则方程的解为．2. 函数的定义域为．3. 若函数的定义域为，则的定义域为．4. 函数的定义域是．5. 函数在区间上的值域为．6. 函数的定义域是．7. 若的定义域是，则的定义域是．8. 函数的定义域为．9. 函数的定义域是．10. 已知函数的定义域是，那么的定义域是．11. 函数的值域是．12. 函数的值域是．13. 函数的值域是．14. 函数的值域是，则实数的取值范围是．15. 函数的值域为．16. 已知是关于的二次函数，且满足，，则．17. 若，则函数．18. 已知函数，则的解析式为．19. 已知二次函数满足条件且方程有等根，则．20. 若满足，则．21. 请写出一个函数，使得的定义域为，且值域为．22. 求下列函数的值域：(1)；(2)；(3)．23. 已知函数（，是常数，且），满足，且有唯一解，求的解析式．24. 已知函数（，且为常数）在区间上有意义，求实数的取值范围．25. 已知函数的定义域为，求（）的定义域．26. 求函数的定义域．27. 已知函数．(1)求函数的定义域；(2)求，的值；(3)当且时，求，的值．28. 求下列函数的定义域．(1)(2)29. 求下列函数的定义域：(1)；(2)；(3)．30. 已知函数的定义域为，的定义域为．若，求的取值范围．31. 求函数的值域．32. 求以下函数的值域：(1) ；(2) ．33. 求下列函数的值域(1) ；(2) ，；(3) ；(4) ．34. 已知，(1)求的解析式；(2)求函数的值域．35. 如果函数的定义域和值域都是，求的值．36. 对任意实数、，都有，求函数的解析式．37. 已知二次函数（为常数且）满足条件：，且方程有等根．(1)求的解析式；(2)函数在的最大值为，求解析式．38. 设是定义在上的函数，对一切，均有，且当时，，求当时，的解析式．39. 函数，．(1)若，求的最大值；(2)设时，若对任意，都有恒成立，且的最大值为，求的表达式．40. 已知一次函数满足，求的解析式．函数的三要素-出门考姓名成绩1. 已知函数满足，则的值域为．2. 已知函数的定义域是，则其值域是3. 若函数的定义域是，则实数的取值范围是．4. 若函数的定义域为，则的定义域为．5. 函数的定义域是．6. 函数的定义域为．7. 函数的定义域是．8. 函数的定义域为．9. 函数的定义域是．10. 已知函数的定义域为，则的定义域为．11. 已知函数则的值域为．12. 的值域为．13. 已知函数，则函数的值域为．14. 函数，的值域是．15. 函数的值域是．16. 已知在上的奇函数，当时，，则其解析式为．17. 已知，为常数，若，，则．18. 已知函数是偶函数，且当时，，则当时，的解析式为．19. 若一次函数满足，则．20. 已知奇函数满足，当时，，则当（）时，函数的解析式是．21. 如果函数且满足，，，求的解析式．22. 求下列函数的定义域：(1)；(2)．23. 已知函数的定义域是，求函数的定义域．24. 已知是一次函数，且有，．求这个函数的解析式．25. 已知函数对任意实数，都有，且当时，，．(1)利用定义证明函数在上是增函数；(2)求在上的值域．(1)已知的定义域为，求的定义域；(2)已知的定义域为，求的定义域．27. 求下列函数的定义域：(1) ；(2) ；(3) ．28. 求函数的定义域．29. 记函数的定义域为，的定义域为．(1)求；(2)若，求实数的取值范围．30. 一个圆环直径为，通过铁丝，，，（，，是圆上三等分点）悬挂在处，圆环呈水平状态并距天花板，如图所示．（1）设长为，铁丝总长为，试写出关于的函数解析式，并写出函数定义域；（2）当取多长时，铁丝总长有最小值，并求此最小值．31. 已知函数，且满足，，求的值域．32. 求下列函数的值域：(1) ；(2) ；(3) ．33. 设函数．(1)若定义域为，求的值域；(2)若定义域为时，的值域为，求的值．34. 求函数的值域．35. 已知函数，（，且）．(1)求的单调区间；(2)若函数与函数在时有相同的值域，求的值；(3)设，函数，，若对于任意，总存在，使得成立，求的取值范围36. 设（为常数，且）满足，有唯一解，求函数的解析式和的值．37. 如图，是正方形空地，边长为，电源在点处，点到边，距离分别为，．某广告公司计划在此空地上竖一块长方形液晶广告屏幕，．线段必须过点，端点，分别在边，上，设，液晶广告屏幕的面积为．(1)求关于的函数关系式及该函数的定义域；(2)当取何值时，液晶广告屏幕的面积最小？38. 已知函数，求和的解析式．39. 已知函数（、为常数且）满足，方程有两个相等的实数根，求函数的解析式，并求的值．40. 已知函数，经过按平移后使得抛物线的顶点在轴上，且在轴上截得的弦长为，求平移后的函数解析式和．。
函数三要素
知识脉络梳理●函数三要素
【求函数定义域】
具体函数（有解析式的）
0)x ≥；1(0)x x
≠；log (0)a x x >等.
抽象函数（无解析式的） ①函数的定义域仅指x 的取值范围；
②同一法则下，所有f 后“（ ）”里的式子的取值范围相同.
【求函数解析式】
介绍4中方法如下：
1、配方法， 如：已知22
11()f x x x x +=+
，求()f x 的解析式 2、换元法， 如：已知1()31x f x x -=+，求()f x 的解析式 3、待定系数法， 如：已知()f x 为一次函数，且[()]49f f x x =+，求()f x 的解析式
4、函数方程法， 如：已知2()2()f x f x x +-=，求()f x 的解析式
【求函数值域】
1、一次函数类型
如：求函数13y x =-，[1,5]x ∈的值域
2、二次函数类型（关键：求对称轴）
如：求函数245y x x =-+，[1,7]x ∈的值域
求其它可转化为二次函数的函数的值域（换元）
如：①求函数y x =-
②求函数4321x x y =-•+，[0,2]x ∈的值域
③求函数1
124(log )(log )24
x x y =•的值域 3、cx d y ax b
+=+型（图象可由反比例函数图象平移得到） 一般可用2种方法求解：①常数分离法 ②反解法
4、双钩函数类型
如：求函数1y x x
=+的值域。
函数的三个基本要素
函数的三个基本要素函数的三要素是定义域、对应关系和值域。
其中定义域是函数的基础,，对应关系是函数的关键。
定义域和对应法则确定，值域也随之确定。
函数的定义域是使函数有意义的自变量的取值范围；对应关系体现两个集合A与B的元素x和y之间确定的对应关系，即对于集合A中的任何一个数字x，依据对关系则使得在集合B中都有唯一确定的数值y和它对应;函数的值域是函数值的集合。
1、具体函数定义域：主要从以下几个方面去掌握：(1)整式函数的定义域是全体实数。
(2)分式函数的定义域是使得分母不为0的自变量的取值。
(3)含有偶次根式是被开放数大于等于0(4)对数函数是真数大于0(5)若f(x)是由几个式子构成的，则函数的定义域要使各个式子都有意义；2、抽象函数的定义域：此部分只需记住2句话即可：（1）、凡是出现定义域三个字，统统是指的取值范围。
（2）、相同准则条件下，相同位置取值范围一样。
通俗一句话就是括号里的取值范围一样。
3、实际问题：既要使构建的函数解析式有意义，又要考虑实际问题的要求。
函数解析式的求法(1)待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法（例如一次函数、二次函数）；(2)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；(3)配凑法：由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的解析式；(4)消去法（构造方程组法）：已知f(x)与fx(1)或f(－x)之间的关系式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x)。
求值域的方法：（1）分离常数法：适合分子分母都是一次函数（2）反解法（3）配方法（4）不等式法（5）单调性法（6）换元法（7）数形结合法（8）导数法。
函数的三要素
函数一、定义域求函数()y f x =的定义域时通常有以下几种情况：①如果()f x 是整式，那么函数的定义域是实数集R ；②如果()f x 是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合；③如果()f x 为二次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于0的实数的集合； ④如果()f x 是由几部分的数学式子构成的，那么函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数的集合。
例1：求下列函数的定义域：（1）；24)(++=x x x f（2）()f x =131-+--x x ；（3）1()2f x x =-，求()y f x =，(1)y f x =+的定义域例2．简单的抽象函数的定义域的求法解题思想：①求定义域就是求x 的范围 ②放在括号里的范围相同1．已知函数f （x ）的定义域为(0，1)，求f （x -2）的定义域.2．若函数(1)f x +的定义域为[2,1)-，则函数()f x 的定义域为________3．已知函数f （2x ＋1）的定义域为(0，1)，求f （x ）的定义域.二、函数的解析式例3．（1）已知ƒ (x+1)= x 2+x 求ƒ (x)（2）已知ƒ (x -x 1) = (x +x 1)2 求ƒ (x)( 3 ) 已知2ƒ (x) + ƒ (x 1)= x 求函数ƒ (x)（4）已知ƒ[ ƒ (x) ]= 2x – 1, 求一次函数ƒ (x)练习：1. 已知2()43f x x x =-+，求(1)f x +；2. 已知2(1)2f x x x +=-，求()f x ．3．已知()2()32f x f x x +-=-，求()f x 的解析式 ；4. 已知3311()f x x x x +=+，求()f x例4．若函数27()43kx f x kx kx +=++的定义域为R ，求实数k 的取值范围．三、函数的值域例5: 求函数541x y x +=-的值域。
函数的定义与三要素
函数的定义与三要素函数在数学和计算机科学中都是重要的概念。
在数学领域，函数是一种映射关系，它将一个集合的元素映射到另一个集合的元素上。
而在计算机科学领域，函数是一段可重复使用的代码，它接收输入参数并产生输出结果。
虽然函数在数学和计算机科学中的定义略有不同，但它们都具有一些共同的特征和要素。
一、函数的定义函数是一种关系，它将一个集合的元素映射到另一个集合的元素上。
在数学中，函数通常表示为f(x)，其中x是输入变量，f(x)是输出变量。
函数可以用公式、图像或者表格等形式来表示。
在计算机科学中，函数通常被定义为一段代码，它接收输入参数并产生输出结果。
二、函数的三要素不论是数学中的函数还是计算机科学中的函数，它们都有三个共同的要素，即定义域、值域和关系。
1. 定义域（Domain）在数学中，函数的定义域是指输入变量的取值范围。
它是一个集合，包含所有可能的输入值。
例如，对于函数f(x) = x²，定义域可以是实数集R。
在计算机科学中，函数的定义域是指函数可以接受的输入参数的类型和取值范围。
例如，在Python编程语言中，可以定义一个接受整数类型作为参数的函数。
2. 值域（Range）在数学中，函数的值域是指输出变量的取值范围。
它也是一个集合，包含所有可能的输出值。
例如，对于函数f(x) = x²，在实数集R上的值域可以是非负实数集[0,∞)。
在计算机科学中，函数的值域是指函数可以产生的输出结果的类型和取值范围。
例如，在Python编程语言中，可以定义一个返回字符串类型的函数。
3. 关系（Relation）在数学中，函数的关系描述了定义域中的每个输入值与值域中的一个输出值之间的对应关系。
在计算机科学中，函数的关系则由函数体中的代码来定义。
它包含一系列的语句或算法，用于处理输入参数并生成输出结果。
三、函数的特点无论是数学中的函数还是计算机科学中的函数，它们都具有一些特点和性质。
1.唯一性函数必须满足每个输入值对应一个唯一的输出值的要求。
函数概念及其三要素
函数概念及其三要素函数是数学中的一个重要概念，用于描述两个数集之间的关系。
它是一种映射关系，将一个自变量的取值映射到一个因变量的取值。
函数常用于描述数量之间的对应关系，如时间和距离之间的关系、温度和压力之间的关系等。
函数的三要素包括定义域、值域和对应关系。
定义域是自变量的所有可能取值的集合，通常用符号表示为D。
值域是因变量的所有可能取值的集合，通常用符号表示为R。
对应关系指明了自变量和因变量之间的关系，一般用符号y或f(x)表示。
首先，我们来看函数的定义域。
定义域是指自变量的所有可能取值的集合。
函数的定义域是所有满足函数中自变量合法的取值范围。
例如，对于函数f(x)=x^2，由于平方根的定义域是非负实数，因此该函数的定义域是所有实数。
有时候，定义域可能受到其他限制条件的约束，如分母不能为零等。
因此，在定义函数时需要明确确定定义域。
其次，我们来看函数的值域。
值域是指函数所有可能取值的集合。
值域可以通过函数的定义来确定。
例如，对于函数f(x)=x^2，因为平方的结果始终为非负数，所以该函数的值域是非负实数。
有时候，值域可能受到定义域的限制，如分母不能为零等。
值域是确定函数取值范围的重要依据。
最后，我们来看函数的对应关系。
对应关系是函数描述自变量和因变量之间的关系。
函数的对应关系通常用符号y或f(x)表示。
函数的对应关系可以通过不同的数学表达式或方程来表示，如线性函数、二次函数、指数函数、对数函数等。
例如，函数f(x)=2x+1表示一个线性函数，它表示自变量x与因变量y之间的线性关系，即y等于2倍的x加1函数的三要素相互关联，定义域和值域是函数定义和取值范围的限制条件，而对应关系则描述了自变量和因变量之间的关系。
在实际问题中，我们常常需要通过函数来描述一些现象或规律，通过研究函数的三要素，可以更好地理解和应用函数。
除了了解函数的三要素，我们还需要了解函数的图像和性质。
函数的图像是描述函数对应关系的一种可视化方式，通常使用平面直角坐标系来绘制。
函数的概念(定义域,值域,解析式)
讲解新课：一．函数定义及函数三要素1．函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数。
记作：y=f(x)，x∈A。
其中，x 叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域。
注意：（1）“y=f(x)”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y=g(x)”；（2）函数符号“y=f(x)”中的f(x)表示与x对应的函数值，一个数，而不是f乘x2．构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域（1）解决一切函数问题必须认真确定该函数的定义域，函数的定义域包含三种形式：①自然型：指函数的解析式有意义的自变量x的取值范围（如：分式函数的分母不为零，偶次根式函数的被开方数为非负数，对数函数的真数为正数，等等）；②限制型：指命题的条件或人为对自变量x的限制，这是函数学习中重点，往往也是难点，因为有时这种限制比较隐蔽，容易犯错误；③实际型：解决函数的综合问题与应用问题时，应认真考察自变量x的实际意义。
（2）求函数的值域是比较困难的数学问题，中学数学要求能用初等方法求一些简单函数的值域问题①配方法（将函数转化为二次函数）；②判别式法（将函数转化为二次方程）；③不等式法（运用不等式的各种性质）；④函数法（运用基本函数性质，或抓住函数的单调性、函数图象等）。
3．两个函数的相等：函数的定义含有三个要素，即定义域A、值域C和对应法则f。
当函数的定义域及从定义域到值域的对应法则确定之后，函数的值域也就随之确定。
因此，定义域和对应法则为函数的两个基本条件，当且仅当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时，这两个函数才是同一个函数。
4．区间（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；（2）无穷区间；（3）区间的数轴表示5．映射的概念一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射。
函数的三要素 PPT
思考：如果构成一个函数，需要具备几个条件？
定义域 函数的三要素 值域
对应关系
练习:
1.判断下列对应是否为数集A到数集B的一个函
数A ： B
A
B
A
B
A
B
1
1
1
11
1
2 3
2 1
3
2
1
3Hale Waihona Puke 222 332 3
4
4
4
3
44
4
(1) 不是
(2) 不是
(3) 是
(4) 是
记C= {f(x)|x∈A}，则C____B
2. 下列图象能表示函数图象的是（D ）
y
0
x
(A) y
0
x
(C)
y
0
x
(B) y
00
x
(D)
都有
任意一个数x
称
唯一确定的数f(x)和它对应
，在 ，那么就
f: A→B 为 从 集 合 A 到 集 合 B 的 一 个 函 数 ， 记 作
y=f(x),x∈A.
设A，B是非__空__的__数__集___，如果按照某种确定的对应关 系f，使对于集合A中的任__意__一__个__数__x__，在集合B中都 有_唯__一__确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为 从_集__合__A_到__集_合__B__的一个函数，记作y=f(x)，x∈A. 其中，x叫做自__变__量___，x的取值范围A叫做函数的 _定__义__域__；与x的值相对应的y值叫做函__数__值___，函数 值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值__域___.
1 初中函数的概念
2 自变量和因变量 目
函数三要素
一、 函数的三要素：定义域、值域、对应法则。
判断两个函数是否相同需要判断哪两个要素：例1：下列四组函数中，是同一组函数的是（ ） A ．()f x x =，()g x =()f x =()2gx =C.()211x f x x -=-，()1g x x =+ D. ()f x =()g x =二、求函数定义域1.具体函数的定义域：1）分式函数：()()f x yg x =，定义域要求()0g x ≠。
2）偶次根式)*2,y n k k N ==∈的定义域要求()0f x ≥。
3）()0y f x =⎡⎤⎣⎦的定义域要求()0f x ≠。
4）对数函数的复合函数()()log 0,1a y f x a a =>≠的定义域要求()0f x >。
例2：求下列函数的定义域1)())1f x x =- 2)()1111f x x=++3) ()()22log 32f x x x =--- 4）()f x =2.抽象函数的定义域：如果一个函数没有给出具体的解析式，那么这个函数就叫做抽象函数。
1）已知()f x 的定义域为[],a b ，则求()f g x ⎡⎤⎣⎦的定义域时，我们令()a g x b ≤≤，解出来的x 的范围就是()f g x ⎡⎤⎣⎦的定义域。
2）已知()f g x ⎡⎤⎣⎦的定义域为[],a b ，则求()f x 的定义域时，我们求出()g x 在[],a b 上的值域就是()f x 的定义域。
3）已知()f g x ⎡⎤⎣⎦的定义域为[],a b ，则求()f h x ⎡⎤⎣⎦的定义域时，先根据()f g x ⎡⎤⎣⎦的定义域按照2）中的方法求出()f x 的定义域，再根据()f x 的定义域按照1）中的方法求出()f h x ⎡⎤⎣⎦的定义域。
例3： 1） 已知()f x 的定义域为()1,2，求()12f x -的定义域。
2） 已知()12f x -的定义域为()1,2，求()f x 的定义域。
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定义域(−∞, 0) ∪ (0, +∞) 奇偶性：奇函数 单调性： { { 3、 双撇函数 函数 y=x− （a>0）
x a
(0, √a)单调递减；(√a, +∞)单调递增 (−∞, −√a)单调递增；(−√a, 0)单调递减
值域: (−∞, −2√a) ∪ (2√a, +∞)
定义域(−∞, 0) ∪ (0, +∞) 奇偶性：奇函数 单调性：(−∞, 0)和(0, +∞)单调递增 { （4） 根式 单调性：形如 y = √f(x) + √g(x)，f(x)和 g(x)增减性相同 有理化：例 y = √x − √x − 2 平方：例 y = √x − √5 − x 换元：例 y = x − √5 − x { 数形结合：例 y = √x 2 − 2x + 5 + √x 2 + 2x + 2 值域: R
������+������ 2 ������+������ 2
≤ − 2������时，最大值 f(m) > − 2������时，最大值 f(n)
������
������
������������ 2 + ������������ + ������ {换元 + 对勾、双撇函数【例 7】 ������������ + ������ ������������ + ������ ������ = 2 {换元 + 对勾、双撇函数【例 7】 ������������ + ������������ + ������ ������������ 2 + ������������ + ������ 分离常数 + 对勾、双撇 ������ = 2 { ������������ + ������������ + ������ ������ ∈ ������，判别式法 { 1、 一次分式 y=
3、 解析式（尖端） （1） 已知简单函数解析式求复合函数解析式：直接代入 （2） 已知复合函数解析式求简单函数解析式：换元、配凑 （3） 已知函数方程求解析式
������������+������ ������������+������
������������ ������ (������������+������)− +������ ������ ������ ������������−������������ ������ ������������−������������ ������2 ������ ������+ ������
【例】A={1,2,3,4}，B={a,b,c}，则 A→B 映射有___种；B→A 单射有____种；A→B 满射有___种 【例】A={a,b,c,d}，B={0,1,2}，A→B （1） 不同的映射 f 有多少种 （2） 若要求 f(a)+f(b)+f(c)+f(d)=4，则不同的映射有多少种
三、
函数相关题型
1、 定义域 （1） 具体函数 ������ ，������ ≠ 0 ������ 2������ √������，������ ≥ 0 ������0 、������−������ ，������ ≠ 0 { ������������������������ ������，������ > 0 【例 1】 （2） 抽象函数 f( )：括号的作用范围一样 定义域指的是自变量 x 的取值范围 【例 2、3】 2、 值域 （1） 分段函数——图象（数形结合） 【例 4】 （2） 二次函数——图象（数形结合） 对于 y=ax2+bx+c（a>0）在区间[m,n]上求最小值 1、 对称轴在区间右侧，即− 2������ ≥ ������时，最小值为 f(n) 2、 对称轴在区间内，即m < − 2������ < ������时，最小值为 f(− 2������) 3、 对称轴在区间左侧，即−
第 12 讲函数三要素
一、 映射
1、 定义 设 A、B 为两个非空集合，如果按照某一个确定的对应关系 f，使对于集合 A 中的任 意一个元素 x，在集合 B 中都有唯一确定的元素 y 与之对应，那么就称对应 f：A→ B 为从集合 A 到集合 B 的一个映射 2、 映射种类 （1） 单射 一个萝卜一个坑 （2） 满射 每个坑都有萝卜 （3） 双射（一一对应） 一个萝卜一个坑，每个坑都有萝卜（既是单射，又是满射） （4） 复合映射（复合函数） （5） 逆映射（反函数） 双射才有逆映射
������
二、
函数基本概念
1、 函数定义 A、B 是非空数集，对于 A 中的任意一个 x，按照某种对应法则 f，在 B 中都有唯一 确定的 y 与之对应，就称 f：A→B 为集合 A 到集合 B 的一个函数，记作 y=f(x)，x∈A 2、 函数三要素 对应法则、定义域、值域 3、 复合函数概念
一般地，若 u 是 x 的函数，记作 u=g(x)；y 是 u 的函数，记作 y=f(u)；若函数 g(x) 的值域与 f(u)的定义域的交集非空， 则通过 u 确定了 y 是 x 的复合函数 y=f(g(x))。 其中 u 叫中间变量，y=f(u)叫外层函数；u=g(x)叫内层函数。
������ 2������ ������ ������ ������
≤ ������时，最小值 f(m)
对于 y=ax2+bx+c（a>0）在区间[m,n]上求最大值 1、 区间中点在对称轴左侧，即 2、 区间中点在对称轴左侧，即 【例 5】 （3） 分式 ������ = ������ = ������������ + ������ 分离常数 + 换元 { 【例 6】 ���������������+������
= +
������
������
������������+������
= +
������
������
d d 定义域 (−∞， − ) ∪ (− ， + ∞) c c a a 值域 (−∞， ) ∪ ( ， + ∞) c c d (−∞， − ) bc − ad > 0，减区间 c }{ 单调区间 { d (− ， + ∞) bc − ad < 0，增区间 c d a 图象关于 (− ， ) 对称 c c 若 f(f(x)) = x，则有 a = −d 2、 双勾函数 函数 y=x+ （a>0）