由微分方程求状态空间表达式
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状态和状态空间表达式-Read
பைடு நூலகம்
其中i(i=0,1,…,n)为待定系数。
用an an-1 an-2 ..... a1分别乘于上式两边，移项后可得：
an y an x1 an0u
aann12yy
an1x2 an2 x3
an10u an11u an20u an21u
根据系统的输入输出关系建立状态空间模型(2/2)
由高阶常微分方程建立状态空间模型 由传递函数建立状态空间模型 根据状态变量图及系统方块图列写状态空间模型 多输入多输出线性系统 非线性系统
由高阶常微分方程建立状态空间模型(1/1)
1. 1 由高阶常微分方程建立状态空间模型
本节主要讨论由描述系统输入输出关系的常微分方程建立系 统的状态空间模型,分别讨论 由不含输入量导数项和 由含输入量导数项的
微分方程中包含输入量的导数项(3/11)
为避免状态方程中显示地出现输入的导数,通常, 可利用输出y和输入u以及其各阶导数的线性组合来组 成状态变量,其原则是: 使状态方程中不显含输出u的各阶导数。 基于这种思路选择状态变量的方法很多,下面先介绍一 种,其他的方法将在后续章节中陆续介绍。
0
0
0
0
1
0
an an1` an2
a1 b
y 1 0
0 0 x
其中x [x1 x2 ... xn ] , u [u]和y [y]。
微分方程中不包含输入量的导数项(5/9)
该状态空间模型可简记为:
其中
x Ax Bu
P11例1.2
0 1 0 0
x
0
0
1
其中i(i=0,1,…,n)为待定系数。
用an an-1 an-2 ..... a1分别乘于上式两边，移项后可得：
an y an x1 an0u
aann12yy
an1x2 an2 x3
an10u an11u an20u an21u
根据系统的输入输出关系建立状态空间模型(2/2)
由高阶常微分方程建立状态空间模型 由传递函数建立状态空间模型 根据状态变量图及系统方块图列写状态空间模型 多输入多输出线性系统 非线性系统
由高阶常微分方程建立状态空间模型(1/1)
1. 1 由高阶常微分方程建立状态空间模型
本节主要讨论由描述系统输入输出关系的常微分方程建立系 统的状态空间模型,分别讨论 由不含输入量导数项和 由含输入量导数项的
微分方程中包含输入量的导数项(3/11)
为避免状态方程中显示地出现输入的导数,通常, 可利用输出y和输入u以及其各阶导数的线性组合来组 成状态变量,其原则是: 使状态方程中不显含输出u的各阶导数。 基于这种思路选择状态变量的方法很多,下面先介绍一 种,其他的方法将在后续章节中陆续介绍。
0
0
0
0
1
0
an an1` an2
a1 b
y 1 0
0 0 x
其中x [x1 x2 ... xn ] , u [u]和y [y]。
微分方程中不包含输入量的导数项(5/9)
该状态空间模型可简记为:
其中
x Ax Bu
P11例1.2
0 1 0 0
x
0
0
1
电气系统状态空间表达式例题
电气系统状态空间表达式例题状态空间表达式是描述线性时不变系统动态行为的一种数学模型，它基于系统的状态变量和控制变量来描述系统的动态行为：
假设有一个电气系统，其动态行为可以用以下微分方程描述：
dx/dt = Ax + Bu
y = Cx + Du
其中，x 是系统的状态变量，u 是系统的控制输入，y 是系统的输出。
A、B、C 和 D 是系统的系数矩阵，它们描述了系统内部状态变量之间的动态关系以及系统对控制输入和输出的响应。
根据状态空间表达式，我们可以将上述微分方程转换为以下形式：
x' = Ax + Bu
y = Cx + Du
其中，x' 是新的状态变量，它包含了系统状态的导数。
这个形式的状态空间表达式包含了系统的动态行为，可以通过控制输入 u 来影响系统的状态变量 x 和输出 y。
需要注意的是，具体的系数矩阵 A、B、C 和 D 取决于具体的电气系统，需要根据系统的具体参数和特性来确定。
然后由微分方程与状态空间表达式的变换关系
1 s1 0 0
0 1 0 0
0 x1 0 0 x 2 u 0 1 xn 1 s1
约当标准形
Y ( s) G ( s)U ( s) k11 k12 u( s) u( s) n n 1 ( s s1 ) ( s s1 ) k1n U ( s) ( s s1 )
s s1
, n)
1 X1 ( s) U ( s) n ( s s1 ) 1 X 2 ( s) U ( s ) ( s s1 ) n 1 1 X n ( s) U ( s) ( s s1 )
1 X1 ( s) X 2 ( s) ( s s1 ) 1 X 2 ( s) X 3 ( s) ( s s1 ) 1 X n ( s) U ( s) s s1
从传递函数的角度分析，这实际上是一种分 子与分母直接分离分解法。设中间变量，可得：
Y ( s) Z (s) Y ( s) U ( s) U ( s) Z (s)
式中
Z ( s) 1 n U ( s) s a1 s n1 an1 s an
Y ( s) b0 s n b1 s n 1 bn 1 s bn Z ( s)
1 s1 x1 x2 x x2 s1 x2 x3 n 1 s1 xn 1 xn x n s1 xn u x
s1 x1 x 0 2 0 xn 0
则根据上节公式，可直接写出能控标准形。 即：
0
1 0 a n 1
0 1 a1
0 ,B 0 1
1-2 由微分方程求状态空间表达式
0 1 0 a2
0 0 0 a3
0 1 x1 0 2 x 2 u 1 n 1 x n n an 1
写成矩阵形式：
0 x1 x 0 2 0 xn a 0
1 0 0 a1
0 1 0 a2
0 0 0 a3
0 0 x1 0 0 x2 u 1 0 x n b0 an 1
x1 y x1 0u 1 0 0 x2 0u Cx du x3
系统的状态图
一般情况下，n 阶微分方程为：
y(n) an1 y(n1) a1 y a0 y bnu (n) bn1u (n1) b1u b0u
于是系统的状态空间表达式为
1 0 x1 0 x1 0 x 0 2 0 1 x2 160 u x3 640 192 18 x3 2240
1.3.2 传递函数矩阵 状态空间表达式为 进行拉普拉斯变换
x Ax Bu y Cx Du
sx(s) x(0) Ax (s) Bu(s)
sI - Ax(s) Bu(s) x(0)
如果 sI A1 存在，则 如果 x (0) 0 ，则
adjsI A G xu ( s) sI A b b detsI A
1 1
输出量对输入量的传递函数（即：传递函数）
adjsI A g yu ( s) C sI A b d C bd detsI A
控制理论lesson4§1- 2.微分方程转换成状态空间表达式
bn z y b0 z ( n) b1z ( n1) bn1z
这种形式的状态空间表达式中A,B,所具 有的特殊形式，称为能控标准型。
若b0 0
即输入函数阶次低于输出阶次
y bn bn1 b1 x
即输出矩阵各元可由方程系数直接写出
例
将以下高阶微分方程：
其中：Ａ为一种规范形称为友矩阵，D=0无直联 通道.
例：
6 y 6u y 6 y 11y
解：直接按能控标准写出： a1 6, a2 11, a3 6, b 6
0 A 0 6 C 1 0 1 0 0 0 0 1 , b 11 6 6 0 , D0
1
an 1
0 x1 0 x 2 u 0 1 xn 1 a1
这种A,B,的特殊形式，称为能控标准型。
而输出方程为 :
y bn a n b0 bn 1 a n 1b0
0 an 1
Y 1 0 0 X
y a1 y
n
n1
an y b0u bu 1
n
n1
bnu bn1u
uz
( n)
a1z
( n1)
an z an1z
若选状态变量为
x1 z x z 2 x z n 1 n
二.输入项中包含有导数项：
y a1 y
n n1
an y b0u bu 1
n
n1
bnu bn1u
若按相变量法选状态, 则出现解的不唯一性
x1 y x y 2 x y n 1 n
第9章 控制系统的状态空间描述
第9章 控制系统的状态空间描述
2.状态变量 能够完全表征系统运动状态的最小变量组中的每个变量 xi(t)(i=1,2,…,n)称为状态变量。 3.状态向量 系统有n 个状态变量x1(t),…,xn(t),用这n 个状态变量作为 分量所构成的向量(通常以列向量表示)称为系统的状态向 量:x(t)=(x1(t)…xn(t))T。
第9章 控制系统的状态空间描述 和
第9章 控制系统的状态空间描述
将上两式用矩 阵方程的形式表示, 可得出线性时变系 统的状态空间表达 式为
第9章 控制系统的状态空间描述 或者,状态空间表达式也可以表示为
式中,A(t)为n×n 系统矩阵,即
第9章 控制系统的状态空间描述 B(t)为n×r 输入矩阵,即
第9章 控制系统的状态空间描述
图9-3 系统结构图
第9章 控制系统的状态空间描述 (1)输入引起系统内部状态发生变化,其变化方程式称为
状态方程,其一般形式为
(2)系统内部状态及输入变化引起系统输出的变化,其变 化方程式称为输出方程,其一般形式为
第9章 控制系统的状态空间描述
பைடு நூலகம்
第9章 控制系统的状态空间描述
第9章 控制系统的状态空间描述
第9章 控制系统的状态空间描述
9.1 控制系统中状态的基本概念 9.2控制系统的状态空间表达式 9.3根据系统的物理机理建立状态空间表达式 9.4根据系统的微分方程建立状态空间表达式 9.5根据系统的方框图或传递函数建立状态空 间表达式 9.6从状态空间表达式求取传递函数矩阵 9.7系统状态空间表达式的特征标准型
状态方程和输出方程组合起来,构成对系统动态行为的 完整描述,称为系统的状态空间表达式,又称动态方程,其一般 形式为
状态空间表达方程式
3 状态空间表达式的建立
3.3 从传递函数出发
y(n)
a y(n1) n1
L
a1 y& a0 y
bmu(m)
b u(m1) m1
L
b1u& b0u
W (s) Y (s) bm s m bm1s m1 b1s b0 U (s) s n an1s n1 a1s a0
第一章 控制系统的状态空间表达式
基础知识回顾
控制理论概述
控制：使某些物理量按照指定的规律变化
典型的闭环控制系统：
扰动
参考量 + - 控制器
对象：如机械 臂，倒立摆等
输出量
通过误差来 减少误差
传感器
输入、动态系统、输出、测 量、比较、误差、输入构成 的一个环路。构成包含原动 态系统在内的一个新的动态 系统
x3
_
1 T1
传递函数 微分方程
模拟结构图
3 状态空间表达式的建立 3.1 从系统方块图出发
变换成模拟结构图； 每个积分器的输出选作一个状态变量； 写出系统的状态方程和输出方程。
u+
K1
K2
K3
y
T1s 1
T2s 1
T 3s
+
K4
u+
_
K1 + T1
_
∫
x3 K2 +
T2
∫
_
x2 K3
T3
3 状态空间表达式的建立
3.3 从传递函数出发 传递函数中没有零点
实现中可前可 后
W(
s
)
y( u(
s) s)
2.2状态空间表达式的建立
bn1s n1 b1s b0 Y ( s) g ( s) n U ( s) s an1s n1 a1s a0 Y ( s) U ( s) s n an1s n1 a1s a0
n
输出为：
bn1s
n 1
b1s b0
(2) 并联分解法
①极点两两相异时
N s g s N s Ds s p1 s p2 s pn c1 c2 cn s pn s p1 s p2
状态方程为：
dx1 R1 x2 uC 1 R1 R2 ( ) x1 dt L R1 R2 R1 R2 L L
dx2 R1 1 x1 x2 dt C R1 R2 C R1 R2
输出方程为：
y uC x2
写成矩阵形式
1 R1 R2 x1 L R1 R2 R x2 C(R R ) 1 2
3完全描述一个动态系统所需状态变量的个数有系统的4一般来说状态变量不一定是具有实际物理意义或可的阶次决定状态变量必须是相互独立的
2.2 状态空间表达式的建立
2.2.1.由物理机理直接建立状态空间表达式 例2.2.1 系统如图所示
L
R2
u
iL
R1
uc
解：选择状态变量：x1 根据基尔霍夫定律：
iL , x2 uC ,
0 bn 1 bn 1 an 10 2 bn 2 an 11 an 20 n b0 an 1 n 1 an 2 n 2 a11 a00
Step1计算
step 2 定义状态变量:
第2章 状态空间表达式求解
1 T 2. 若A能通过非奇异变换予以对角线化，即 AT
则
e1t e At (t ) T 0
e2t
0 T 1 n t e
证明：根据定义式
A2t 2 A3t 3 Ak t k e I At 2! 3! k 0 k! At
A2t 2 A3t 3 ( I At ) A e At A 信息与控制工程学院 2! 3!
5. 性质五
设有nxn矩阵A和B，当且仅当AB=BA 时，有eAteBt
= e(A+B)t ，而当AB≠BA 时，则eAteBt ≠ e(A+B)t 。
证明：根据定义式
e ( A B ) t ( A B ) 2 2 ( A B )3 3 I ( A B )t t t 2! 3! A2t 2 ABt2 BAt2 B 2t 2 I ( A B )t ( ) 2! 2! 2! 2! A3t 3 A2 Bt3 ABAt3 AB2t 3 BA2t 3 BABt3 ( 3! 3! 3! 3! 3! 3! B 2 At3 B 3t 3 ) 3! 3!
2 2 1 t 2! 1 1t 1 k k 2t At e At k 0 k! nt 1 0 0 k k 1 t k! k 0 0 2 2 2t 2!
(t )( ) (t ) (t )( t ) (t t ) I ( )(t ) ( t )
( t )(t ) ( t t ) I
从而证明了(t)与(-t)互为逆
信息与控制工程学院
4. 性质四
状态空间表达式的建立
0 1 A＝ M 0
0… −a0 0 0… −a 0 1 M 0… −an−1 1
1 0 b= M 0
c = [0
0
...
1]
归纳（ 归纳（1）能控标准型 A，b与能观标准型A,c互为转置 与能观标准型A,c互为转置 （2）从上述两例可知，状态变量选择不唯一，但 个数一定
&y& + 6 && + 11y + 16 y = 6u & & y 例1.3：系统方程为 求系统的状态空间表达式. & y & & y 解:选取 x1 = y, x2 = y, x3 = && 为 &y& = − 16 y − 11 y − 6 && + 6 u
则得到一阶微分方程组
& x1 = x2 & x2 = x3 & x3 = −6x3 −11x2 −16x1 + 6u
状态方程和输出方程（模拟结构图）
能控标准型，能控性：是控制作用u(t)支配 系统x(t)的能力
三、状态变量不唯一，高阶方程还可以化为 能观测标准型 例1.3 求系统的状态空间表达式。 解：设 & x 1 = && + 6 y + 11 y y & x2 = y + 6 y x3 = y
&y & + 6 && + 11 y + 16 y = 6 u & & y
& x1 = y, x2 = y,...xn = y
( n −1)
& 2、建立 x 方程
由微分方程求状态空间表达式
（2.56a）
h0 bn a h h b 1 n 1 n 1 0 a n 2 h0 a n 1 h1 h2 bn 2 a1 h0 a n 1 hn 2 hn 1 b1 a 0 h0 a n 2 hn 2 a n 1 hn 1 hn b0
y x1 h0 u 1 0 0x h0 u
（2.56a）
h0 bn a h h b 1 n 1 n 1 0 a n 2 h0 a n 1 h1 h2 bn 2 a1 h0 a n 1 hn 2 hn 1 b1 a 0 h0 a n 2 hn 2 a n 1 hn 1 hn b0
例2.11 以知系统的微分方程为
y 9 8y u 4u u y
求系统的状态空间表达式。 解 由式（2.57）得
h0 1 h 1 9 h2 8 h3 0 0 0 0 1 0 0 9 1 0 8 9 1
这时，状态变量中包含了输入信号的导数项， 使得当输入信号出现阶跃时，状态变量将是不 确定的，不满足选择状态变量的要求，因此， 在这种情况下，不能选择 y ，y ，… y (n1) 作为 状态变量。 （1）方法一 选取系统的状态变量为
x1 y h0 u 1 h1u y h0 u h1u x2 x 2 h2 u h0 u h1u h2 u x3 x y n 2 hn 2 u y ( n 2) h0 u ( n 2) h1u ( n 3) hn 2 u x n 1 x n 1 hn 1u y ( n 1) h0 u ( n 1) h1u ( n 2) hn2 u hn1u xn x
状态空间表达式
2.5 控制系统的状态空间表达式2.5 控制系统的状态空间表达式随着科学技术的发展，被控制的对象越来越复杂，对自动控制的要求也越来越高。
面对时变系统，多输入多输出系统、非线性系统等被控量和对控制系统高精度、高性能的严格要求，传统的控制理论已不能适用。
同时，计算机技术的发展也要求控制系统地分析，设计中采用计算机技术并在控制系统的组成中使用计算机。
因此，适用这些要求的控制系统的另一种数学描述方法----状态空间就应运而生。
2.5.1 状态变量在对系统动态特性描述中，足以表征系统全部运动状态的最少一组变量，称之为状态变量。
只要确定了这组变量在t=时刻的值以及时的输入函数，则系统在任何时刻的运动状态就会全部确定。
状态变量互相间是独立的，但对同一个系统，状态变量的选取并不是唯一的。
一个用n 阶微分方程描述的系统，有n个独立变量，这n个独立变量就是该系统的状态变量。
若用表示这n个状态变量，则可以把这n个状态变量看作是向量x(t)的分量。
我们称x(t)为状态变量，它是一个n维向量，记为分别以状态变量作为坐标而构成的n维空间，称为状态空间。
系统在t时刻的状态，就是状态空间的一点。
系统在时刻的状态称为初始点，随着时间的变化，x(t)从初始点出发在状态空间描述出一条轨迹，称为状态轨迹。
状态魁及表征了系统状态的变化过程。
2.5.2 状态空间表达式1. 状态方程由系统的状态变量和输入函数构成的一阶微分方程组，称为系统的状态方程。
对于线性系统，可以写成如下形式(2.59)记为(2.60)式中x(t)是n维列向量u(t)是r维输入向量A是n*n维矩阵，称为系数矩阵B是n*r矩阵，称为输入矩阵或控制矩阵若矩阵A和B的元素都是常数，则状态方程是线性定常的。
若A和B中有随时间变化的元素，状态方程就是线性时变的。
状态方程中不能含有x(t)的高于一阶导数的项和输入函数的导数项。
对于非线性系统，状态方程可以写成如下形式(2.61)记为(2.62)式中f为向量函数。
由微分方程求状态空间表达式【精选】
h0 bn an1h0 h1 bn1
a
n2 h0
an1h1
h2
bn2
a1h0 a h n1 n2 hn1 b1 a0 h0 an2 hn2 an1hn1 hn b0
（2.56a）
另一方面，而且是更重要的一个原因，通过实 现可以构造一个与原系统输入输出等价的系统 以便进行状态估计等，从而实现状态反馈控制， 改善系统控制特性。
h0 bn an1h0 h1 bn1
an
2 h0
an1h1
h2
bn2
a1h0 an1hn2 hn1 b1 a0 h0 an2 hn2 an1hn1 hn b0
（2.56a）
h0 bn an1h0 h1 bn1 an2h0 an1h1 h2 bn2 a1h0 a h n1 n2 hn1 b1 a0 h0 an2 hn2 an1hn1 hn b0
x1
y 1
0
0
x2
xn
(2.44a)
例2.10 已知系统的微分方程为 y 3y 2,求y 状y态 r 空间表达式。
解 选取状态变量为 x1 ， y ，x2 y ，x3 则 y由式 (2.44)得状态空间描述为
0 1 0
所以
xn a0 x1 a1x2 an1xn bu
因此，系统的状态方程为
x1 x2
因此，x系2 统x3的状态方程为
xn
1
xn
xn a0x1 a1x2 an1xn bu
第一章 状态空间表达式(2013)
Y (s) bm s m bm1 s m1 b1 s b0 W ( s) n U ( s) s a n 1 s n 1 a1 s a 0
cm sm cm1sm1 c1s c0 W (s) ( s p1 )( s p2 ) ( s pn )
K1 T 1s 1
K2 T 2s 1
K3 T 3s 1
y
K4
3 状态空间表达式的建立 3.1 从系统方块图出发 变换成模拟结构图； 每个积分器的输出选作一个状态变量； 写出系统的状态方程和输出方程。
u +
K1 T 1s 1
+
K2 T 2s 1
K3 T 3s
y
K4
K1 T1 +
开环和闭环、反馈
控制的性能指标：稳定性、快速、精度。最优控制
控制理论概述
学控制理论做什么？ 系统分析—分析系统的性能
系统设计—设计控制器
所谓系统分析就是在规定的条件下，对数学模型已 知系统的性能进行分析； 所谓系统设计，就是构造一个能够完成给定任务的系统， 这个系统具有希望的瞬态、稳态性能以及抗干扰性能。
f (s) f (t )e dt
0
f (s) sf (s) f (0)
传递函数：线性动态系统零初值条件下输出量的Laplace变 换像函数与输入量的Laplace变换像函数之比。 *线性系统：满足叠加和一致性， 如用线性方程或线性微分方程描述的系统 可以用于分解复杂系统 *定常系统：参数不随时间变化
J u i
x1 i
B
x2
R x1 L x K 2 a J
Kb 1 L x1 L u B x2 0 J
状态空间表达式
an 1 (h0u
( n 1)
h1u
( n2)
hn 1u )
an 2 (h0u
( n2)
h1u
( n 3)
hn 2u )
( n)
a1 (h0 u h1u) a0 h0u bnu
bn 1u
( n 1)
b1u b0u
可写成向量-矩阵的形式：
x Ax bu y cx du
即：
1 0 x1 0 x 0 2 0 1 x 0 n1 0 0 x n a0 a1 a 2
c 1 0 0
例1 设
...
y 5y8y 6 y 3u
求（A，B，C，D）
.
..
.
解：选
x1 y
x2 y
x3 y
..
则：
x1 x 2
.
x 2 x3
.
x3 y 3u 6 x1 8x2 5x3
.
...
y x1
状态空间表达式为
1 0 x1 0 x1 0 x 0 x 0 u 2 0 1 2 x3 6 8 5 x3 3
h2 b1 a2 h1 a1h0 3 h3 b0 a 2 h2 a1h1 a0 h0 13
状态空间表达式为
1 0 x1 1 x1 0 x 0 x 3u 2 0 1 2 x3 1 2 4 x3 13 x1 x y 1 0 0 2 x3
02控制系统的状态空间表达式
系统有两个储能元件 输入
输出
d 2uC (t ) duC (t ) LC RC uC (t ) u (t ) 2 dt dt
i (t ) 和 uC (t ) 是该系统的一组状态变量
状态变量
[例]：对如图所示的弹簧振子，试确定系统的状态变量。
系统有两个储能元件
输入
d2y m 2 ky F dt
状态空间表达式的一般形式
对于n阶单输入-单输出定常系统，状态空间表达式的一般形式为
(t ) Ax (t ) bu (t ) x y (t ) cx (t ) du (t )
x1 x x 2 xn
a11 a21 A an1 a12 a22 an 2 a1n a2 n ann
c [1 R] d 1
第1章 控制系统的状态空间表达式
§1-1 状态空间表达式的基本概念
（1）状态变量 （2）状态向量 （3）状态空间 （4）状态方程 （5）输出方程 （6）状态空间表达式 （7）不同类型系统的状态空间表达式的一般形式 （8）状态空间表达式的系统框图 （9）状态空间表达式的模拟结构图
状态空间表达式
状态空间表达式：状态方程和输出方程总合起来，构成对一个
系统完整的动态描述称为系统的状态空间表达式。
输出
1 0 1 0 x x 1 C x 1 u Ax b u x 2 1 R x2 L L L
(t ) Ax (t ) Bu(t ) x y (t ) Cx (t ) Du(t )
表征的是状态向量的整体传递关系；不能表征各个状态变量之 间的信息传递关系
状态空间求解
n
1
2
n 1
n
状态空间表达式
(t ) Ax (t ) Bu(t ) x y (t ) Cx(t )
系统阵A为对角线阵，对角线上元素就是系 统的特征值。
系统状态变量图
1 x
2 x
1 s
x1
c1
c2
cn
y
p1
1 s
u
b2 a2b0
b1 a1b0
D b0
1.5.2 基于梅逊公式的(A,B,C,D)
b 1 s b2 s bn1s bn s G(s) b0 , -1 2 -(n-1 ) n 1 a1s a2 s an1s an s
-1 -2 -(n-1 )
能观测标准形实现
1.5.3 G(s)分解成部分分式到(A,B,C,D) 1)传递函数极点为单极点p1,p2….pn
cn M (s) c1 c2 G( s) N ( s) s p1 s p2 s pn ci lim ( s pi )G ( s )
s pi
i 1,2....,n
写出系统的状态空间表达式
0 0 A a n 1 0 a n 1 0 1 a n2 0 0 a1
C 1 0 0 0
0 0 B 0 b
D0
1)传递函数有零点时的变换
b 0 s n b1s n-1 bn 1s bn G(s) n , n-1 s a1s an 1s an 对应的微分方程为 an y b 0 u ( n ) b1u ( n 1) b n 1u bn u y ( n ) a1 y ( n 1) an 1 y
1
2
n 1
n
状态空间表达式
(t ) Ax (t ) Bu(t ) x y (t ) Cx(t )
系统阵A为对角线阵，对角线上元素就是系 统的特征值。
系统状态变量图
1 x
2 x
1 s
x1
c1
c2
cn
y
p1
1 s
u
b2 a2b0
b1 a1b0
D b0
1.5.2 基于梅逊公式的(A,B,C,D)
b 1 s b2 s bn1s bn s G(s) b0 , -1 2 -(n-1 ) n 1 a1s a2 s an1s an s
-1 -2 -(n-1 )
能观测标准形实现
1.5.3 G(s)分解成部分分式到(A,B,C,D) 1)传递函数极点为单极点p1,p2….pn
cn M (s) c1 c2 G( s) N ( s) s p1 s p2 s pn ci lim ( s pi )G ( s )
s pi
i 1,2....,n
写出系统的状态空间表达式
0 0 A a n 1 0 a n 1 0 1 a n2 0 0 a1
C 1 0 0 0
0 0 B 0 b
D0
1)传递函数有零点时的变换
b 0 s n b1s n-1 bn 1s bn G(s) n , n-1 s a1s an 1s an 对应的微分方程为 an y b 0 u ( n ) b1u ( n 1) b n 1u bn u y ( n ) a1 y ( n 1) an 1 y
由微分方程求状态空间表达式PPT课件
(2.46)
其中 h 0， h1 ，… 式可得 x 1 x 2 h1u
2 x3 h2 u x
h n 1
，是个待定系数。整理上 (2.47)
n1 x n hn1u x
对式(2.46)中最后一式求导，得 n y (n) h0u (n) h1u (n1) hn1u x
这时，状态变量中包含了输入信号的导数项， 使得当输入信号出现阶跃时，状态变量将是不 确定的，不满足选择状态变量的要求，因此， 在这种情况下，不能选择 y ，y ，… y (n1) 作为 状态变量。 （1）方法一 选取系统的状态变量为
x1 y h0 u 1 h1u y h0 u h1u x2 x 2 h2 u h0 u h1u h2 u x3 x y n 2 hn 2 u y ( n 2) h0 u ( n 2) h1u ( n 3) hn 2 u x n 1 x n 1 hn 1u y ( n 1) h0 u ( n 1) h1u ( n 2) hn2 u hn1u xn x
2.3.3 由微分方程求状态空间表达式
1．系统的实现问题
系统的实现:根据系统的外部描述构造一个内 部结构，要求既保持外部描述的输入输出关系， 又要将系统的内部结构确定下来。 这是一个复杂的问题，但也是一个非常重要的 问题。一方面，描述系统输入输出关系的微分 方程或传递函数可以用实验的方法得到，我们 可以从输入输出关系描述建立状态空间描述， 这是建立状态空间描述的一条途径（前面介绍 的是通过机理分析建立状态空间描述）。
(2.48)
由微分方程(2.45)得
a0 y bn u (n) bn1u (n1) b1u b0u y (n) an1 y (n1) a1 y
第一章线性系统的状态空间描述
则有 x1 x2
x2 x3
x3 a0 x1 a1x2 a2 x3 b0u
写成矩阵形式
x1 0 1 0 x1 0
x2
0
0
1
x2
0
u
x3 a0 a1 a2 x3 b0
x1
y 1
0
0
x2
x3
状态图如下：
一般情况下，n 阶微分方程为： y(n) an1 y(n1) a1 y a0 y b0u
选择 n 个状态变量为 系统方程为
x1 y 0u x2 x1 1u x3 x2 2u
xn xn1 n1u
x1
x2
xn
0
0
0
a0
1 0 0 a1
0 1 0 a2
0 0 0 a3
0 0 1 an1
x1 x2
xn
1
x3 x4
0 0 0
0 0 0
mg M
0
(M m)g Ml
0
x2
1 M
u
;
1 0
x3 x4
0
1 Ml
x1
y 1
0
0
0
x2
x3 x4
状态图为
1.2 由微分方程求状态空间表达式
一个系统，用线性定常微分方程描述其输入和输出的关系。通过选 择合适的状态变量，就可以得到状态空间表达式。
设小球的重心坐标为： ( yG , zG )
则 yG y l sin
zG l cos
在水平方向，应用牛顿第二定律：
M
d2 y dt2
m
d2 dt2
(y
l
sin )
u
转动方向的力矩平衡方程式：
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(2.52)
则
xn a0 x1 a1x2 an2 xn1 an1xn hnu
联立式(2.47)，(2.53)即为状态方程
x1 x2 h1u
x2
x3
h2u
xn1 xn hn1u
xn a0 x1 a1x2 an2 xn1 an1xn hnu
矩阵形式为
(2.53) (2.54)
在这种情况下，不能选择 y ，y，… y(n1) 作为
状态变量。
（1）方法一
选取系统的状态变量为
x1 y h0u
x2 x1 h1u y h0u h1u x3 x2 h2u y h0u h1u h2u
(2.46)
xn1 xn2 hn2u y (n2) h0u (n2) h1u (n3) hn2u
这时，一般描述为
y (n) an1 y (n1) a1 y a0 y bu (2.42)
x1 y
状态变量选为 x2 y
x1 x2
则 x2 x3
xn y (n1)
xn1 xn xn y (n)
由微分方程有
y (n) a0 y a1 y an1 y (n1) bu
所以
xn a0 x1 a1x2 an1xn bu
(2.50)
选择待定系数，，使中输入信号的各阶导数项 的系数均为零，即
bn h0 0
bbnn12
h1 h2
a h n1 0 an1h1
0 an2 h0
0
b1 hn1 a h n1 n2 an2hn3 a1h0 0
(2.51)
且令 xn 中输入项的系数为 hn ，即
hn b0 an1hn1 an2hn2 a0h0
,
B 0 ,
C 1
0
0
1 2 3
1
3．微分方程含有输入的导数项
这时，一般描述为
(2.45) y(n) an1 y(n1) a1 y a0 y bnu(n) b1u b0u
状态变量的选取：对于这种情况不能选
输出及其各阶导数作为状态变量。因为
,
如果把 y
， … ， y
y (n1)
h0 bn an1h0 h1 bn1
an2h0 an1h1 h2 bn2
a1h0 an h 1 n2 hn1 b1 a0 h0 an2 hn2 an1hn1 hn b0
（2.56a）
h0 bn an1h0 h1 bn1 an2h0 an1h1 h2 bn2 a1h0 a h n1 n2 hn1 b1 a0 h0 an2 hn2 an h 1 n1 hn b0
0 1 0 0 h1
0
0
1
0
h2
x
x u
0
0
0
1 hn1
a0 a1 a2 an1 hn
(2.55a)
输出方程为
y x1 h0u 1 0 0x h0u
(2.55b)
其中 h0 , hn ，h1 ，由式(2.51)和式(2.52)确定，写成如 下便于记忆的矩阵形式
0 a1
0 a2
1 a n 1
xn
0 b
y 1 0
x1
0
x2
xn
(2.44a)
例2.10 已知系统的微分方程为 y 3y 2,求y状y态 r 空间表达式。
解 选取状态变量为 x1 ， y ，x2 y，x3 则 y由式 (2.44)得状态空间描述为
0 1 0
0
A
0
0
1
因此，系统的状态方程为
x1 x2
因此，x系2 统x3的状态方程为
xn1
xn
xn a0x1 a1x2 an1xn bu
输出方程为
y x1
(2.43a) (2.43b)
由微分方程
表达为矩阵形式
x1
x2
0 0
1 0
1
0
x1 x2
0 u
xn
0
a0
作为状态变量，
则状态方程为
x1 x2
x2 x3
xn1
xn
xn a0 x1 a1x2 an1xn bnu (n) bn1u (n1) b1u b0u
这时，状态变量中包含了输入信号的导数项， 使得当输入信号出现阶跃时，状态变量将是不 确定的，不满足选择状态变量的要求，因此，
a0h0u bnu (n) b1u b0u
(2.49)
将式(2.49)代入式(2.48)得
xn a0 x1 a1x2 an2 xn1 an1xn (bn h0 )u (n) (bn1 h1 an1h0 )u (n1) (bn2 h2 an1h1 an2h0 )u (n2) (b1 hn1 an1hn2 an2hn3 a1h0 )u (b0 an1hn1 an2hn2 a0h0 )u
xn xn1 hn1u y (n1) h0u (n1) h1u (n2) hn2u hn1u
其中 h0， h1 ，… hn，1 是个待定系数。整理上
式可得 x1 x2 h1u
x2 x3 h2u
(2.47)
xn1 xn hn1u
对式(2.46)中最后一式求导，得 xn y (n) h0u (n) h1u (n1) hn1u 由微分方程(2.45)得
(2.48)
y (n) an1 y (n1) a1 y a0 y bnu (n) bn1u (n1) b1u b0u
an1 (xn h0u (n1) hn1u) a0 (x1 h0u) bnu (n) bn1u (n1) b1u b0u
an1xn an2 xn1 a0 x1 an1 (h0u (n1) hn1u) an2 (h0u (n2) hn2u)
2.3.3 由微分方程求状态空间表达式
1．系统的实现问题
系统的实现:根据系统的外部描述构造一个内 部结构，要求既保持外部描述的输入输出关系， 又要将系统的内部结构确定下来。
这是一个复杂的问题，但也是一个非常重要的 问题。一方面，描述系统输入输出关系的微分 方程或传递函数可以用实验的方法得到，我们 可以从输入输出关系描述建立状态空间描述， 这是建立状态空间描述的一条途径（前面介绍 的是通过机理分析建立状态空间描述）。