《金融工程》作业一、二、三

作业一1、一只股票现在价格是100元。

有连续两个时间步，每个步长6个月，每个
单步二叉树预期上涨10%，或下跌10%，无风险利率8%（连续复利），运用无套利原则求执行价格为100元的看涨期权的价值。

2、假设市场上股票价格S=20元，执行价格X=18元，r=10%,T=1年。

如果市场
报价欧式看涨期权的价格是3元，试问存在无风险的套利机会吗？如果有，如何套利？
3、股票当前的价格是100元，以该价格作为执行价格的看涨期权和看跌期权
的价格分别是3元和7元。

如果买入看涨期权、卖出看跌期权，再购入到期日价值为100 的无风险债券，则我们就复制了该股票的价值特征（可以叫做合成股票）。

试问无风险债券的投资成本是多少？如果偏离了这个价格，市场会发生怎样的套利行为？
作业解答：
1、按照本章的符号，u=1.1,d=0.9,r=0.08,所以p=( e0.08×
0.5-0.9)/(1.1-0.9)=0.7041。

这里p是风险中性概率。

期权的价值是：
(0.70412×21+2×0.7041×0.2959×0+0.29592×0) e-0.08=9.61。

2、本题中看涨期权的价值应该是S-Xe-rT=20-18e-0.1=3.71。

显然题中的期权价格小于此数，会引发套利活动。

套利者可以购买看涨期权并卖空股票，现金流是20-3=17。

17以10%投资一年，成为17 e0.1==18.79。

到期后如果股票价格高于
18，套利者以18元的价格执行期权，并将股票的空头平仓，则可获利
18.79-18=0.79元。

若股票价格低于18元（比如17元），套利者可以购买股票并将股票空头平仓，盈利是18.79-17=1.79元。

3、无风险证券的投资成本因该是100-7+3=96元，否则，市场就会出现以下套利活动。

第一，若投资成本低于96元（比如是93元），则合成股票的成本只有97元（7-3+93），相对于股票投资少了3元。

套利者以97元买入合成股票，以100元卖空标的股票，获得无风险收益3元。

第二，若投资成本高于96元（比如是98元），则合成股票的成本是102元，高于股票投资成本2元。

套利者可以买入股票同时卖出合成股票，可以带来2元的无风险利润。

作业二：
1. A公司和B公司如果要在金融市场上借入5年期本金为2000万美元的贷款，需支付的年利率分别为：
A公司需要的是浮动利率贷款，B公司需要的是固定利率贷款。

请设计一个利率互换，其中银行作为中介获得的报酬是0.1％的利差，而且要求互换对双方具有同样的吸引力。

2. X公司希望以固定利率借入美元，而Y公司希望以固定利率借入日元，而且本金用即期汇率计算价值很接近。

市场对这两个公司的报价如下：
请设计一个货币互换，银行作为中介获得的报酬是50个基点，而且要求互换对双方具有同样的吸引力，汇率风险由银行承担。

3. 一份本金为10亿美元的利率互换还有10月的期限。

这笔互换规定以6个月的LIBOR利率交换12％的年利率（每半年计一次复利）。

市场上对交换6个月的LIBOR利率的所有期限的利率的平均报价为10％（连续复利）。

两个月前6个月的LIBOR利率为9.6％。

请问上述互换对支付浮动利率的那一方价值为多少？对支付固定利率的那一方价值为多少？
作业答案：
1. A公司在固定利率贷款市场上有明显的比较优势，但A公司想借的是浮动利率贷款。

而B公司在浮动利率贷款市场上有明显的比较优势，但A公司想借的是固定利率贷款。

这为互换交易发挥作用提供了基础。

两个公司在固定利率贷款上的年利差是1.4%，在浮动利率贷款上的年利差是0.5。

如果双方合作，互换交易每年的总收益将是1.4%－0.5%=0.9%。

因为银行要获得0.1%的报酬，所以A公司和B公司每人将获得0.4%的收益。

这意味着A公司和B公司将分别以LIBOR－0.3%和13%的利率借入贷款。

合适的协议安排如图所示。

12.3% 12.4%
12% LIBOR+0.6%
LIBOR LIBOR
2. X 公司在日元市场上有比较优势但想借入美元，Y 公司在美元市场上有
比较优势但想借入日元。

这为互换交易发挥作用提供了基础。

两个公司在日元贷款上的利差为1.5%，在美元贷款上的利差为0.4%，因此双方在互换合作中的年总收益为1.5%－0.4%=1.1%。

因为银行要求收取0.5%的中介费，这样X 公司和Y 公司将分别获得0.3%的合作收益。

互换后X 公司实际上以9.6%－0.3%=9.3%的利率借入美元，而Y 实际上以6.5%－0.3%=6.2%借入日元。

合适的协议安排如图所示。

所有的汇率风险由银行承担。

日元5% 日元6.2%
日元5% 美元10%
美元9.3% 美元10%
3. 根据题目提供的条件可知，LIBOR 的收益率曲线的期限结构是平的，都
是10%（半年计一次复利）。

互换合约中隐含的固定利率债券的价值为
0.33330.10.83330.16106103.33e e -⨯-⨯+=百万美元
互换合约中隐含的浮动利率债券的价值为
()0.33330.1100 4.8101.36e -⨯+=百万美元
因此，互换对支付浮动利率的一方的价值为103.33101.36 1.97-=百万美元，
对支付固定利率的一方的价值为－1.97百万美元。

加元5% 加元6.25%
加元5% 美元LIBOR+1%
美元LIBOR+0.25% 美元LIBOR+1%
本金的支付方向在互换开始时与箭头指示相反，在互换终止时与箭头指示相同。

金融中介在此期间承担了外汇风险，但可以用外汇远期合约抵补。

作业三：
1．假设某不付红利股票价格遵循几何布朗运动，其预期年收益率16%，年波动率30%，该股票当天收盘价为50元，求：✍第二天收盘时的预期价格，✍第二天收盘时股价的标准差，✍在量信度为95%情况下，该股票第二天收盘时的价格范围。

2．某股票市价为70元，年波动率为32%，该股票预计3个月和6个月后将分别支付1元股息，市场无风险利率为10%。

现考虑该股票的美式看涨期权，其协议价格为65元，有效期8个月。

请证明在上述两个除息日提前执行该期权都不是最优的，并请计算该期权价格。

3．某股票目前价格为40元，假设该股票1个月后的价格要么为42元、要么38元。

连续复利无风险年利率为8%。

请问1个月期的协议价格等于39元欧式看涨期权价格等于多少？
习题答案：
1、 由于),(~t t S
S ∆∆∆σμφ 在本题中，S ＝50，?＝0.16,?=0.30,?t=1/365=0.00274.因此，
?S/50??(0.16?0.00274,0.3?0.002740.5)
=?(0.0004,0.0157)
?S??(0.022,0.785)
因此，第二天预期股价为50.022元，标准差为0.785元，在95％的置信水平上第2天股价会落在50.022-1.96?0.785至50.022+1.96?0.785,即48.48元至51.56元之间。

2、D
1=D
2
=1,t
1
=0.25,T=0.6667,r=0.1,X=65
可见，
显然，该美式期权是不应提早执行的。

红利的现值为：
该期权可以用欧式期权定价公式定价：
S＝70－1.9265＝68.0735，X＝65，T=0.6667,r=0.1,σ＝0.32
N(d
1)=0.7131,N(d
2
)=0.6184
因此，看涨期权价格为：
3、构造一个组合，由一份该看涨期权空头和Δ股股票构成。

如果股票价格升
到42元，该组合价值就是42Δ-3。

如果股票价格跌到38Δ元，该组合价值就等于38Δ。

令：
42Δ-3=38Δ
得：Δ=0.75元。

也就是说，如果该组合中股票得股数等于0.75，则无论1个月后股票价格是升到42元还是跌到38元，该组合的价值到时都等于28.5元。

因此，该组合的现值应该等于：
28.5e-0.08×0.08333=28.31元。

这意味着：
-c+40Δ=28.31
c=40×0.75-28.31=1.69元。