12第一章随机事件及其概率第2节随机事件的概率 补充材料

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●例题及习题选解【§1.2例4、5】~【】;【习题1.2EX2、4、5、6】

●补充例题【补例1-2-1】、【补例1-2-2】

●同步练习【同步1-2-1】~【同步1-2-8】

●补充阅读【概率论的自然公理系统—随机世界的2数学模型(熊大国)】

【§1.2例4】

【提示】

结合事件的关系与运算(图),利用概率的公理化定义及基本性质计算事件的概率

【辨析】

(1)因为

AB

A B

B +

=

,且AB A B 与是互不相容(互斥)的,于是

(

)(

)(

)(

)AB A B P P P P B

AB A B

AB

A B =+

=

+与互斥

加法公式

(

)P AB

()(

)0.40.2P P B

A B

=-=-0.2=

(

)P AB

(

)(

)(

)0.40.2B A B

P P P B

A B

B

A B

⊃=-

=

-=-减法公式

0.2=

(4)(

)

P A B

(3)

(

)1(

)10.7P P A B

A B

=

=-=- 利用对偶律

对立事件

0.3=

【§1.2例5】

【提示】

【解】 记事件

{},{}A A B

B

==订阅报订阅

{ 只订一种报 }={ 只订A 报 ,或只订B 报 } (

)(

)()(

)A B

B A AB B A A AB

B AB =--

==--

又这两件事是互不相容的, 由概率加法公式及性质4, 有

α[()()][()()]P P A B B A A AB B AB =--=--

(

)(

)[(

)()][(

)(

)]A A B

P P P P A B P P A A A B

B A B

A A B

B

A B

⊃=-+-⊃=-+-

[0.450.1][0.350.1]0.350.25=-+-=+0.6=

【习题1.2 EX2】

【解】利用P4、P5事件的关系与运算(定义、性质)及运算律(图)及P9、P10概率的性质,得

[(

)]P A B C - ()[(

)]P P A B

A B C =-

(

)()P P A B A C B C =-

[()()()][()(

)(

)]P P P P P P A B A B A C

B C

A C

B C

=+--+-

[(

)()(

)][(

)(

)(

)]P P P P P P A B

=+--+-Φ

Φ

Φ

ΦΦ

题设

[0.20.30][000]=+--+-题设

0.5=

【习题1.2 EX4】

P5事件的关系与运算(定义、性质)及运算律(图)及P9、P10概率

,B C 全不发生的概率为

()1()P P A B C A B C =-

1[()()()()()()()]P P P P P P P C A B A C B C A B C =-++---+ 1()()()()()()()P P P P P P P A B C A B A C B C A B C =---+++-

11111110044416164=---+++-=+题设

注意 (

)0P A B C =

因A B C A B ⊂⊂Φ,于是

()()()P P P A B C A B ≤≤Φ (子事件的概率不大于母事件的概率)

0(

)0P A B C

≤≤

(

)0P A B C

=

【习题1.2 EX5】

【解】利用P4、P5事件的关系与运算(定义、性质)及运算律(图)及P9、P10概率的性质,得 (1)因为

,A B A A B B ⊂⊂ 于是

()(

),()(

)P P P P A B A A B

B ≤≤(子事件的概率不大于母事件的概率)

由题设,即

(

)0.6,(

)0.7P P A B

A B

≤≤

(

)0.6()P P A B A ≤= (等号当且仅当()()P P A B A =时成立)

故,当A B ⊂(于是()()P P A B A A B A =⇒=)时,()P A B 取到最大值,最大值是()0.6P A B =

(2)(

)P A B

()()()()

(

)()(

)P A B P A P B P A B P P P A B

A B =+-=+-

0.60.7(

) 1.3(

) 1.310.3P P A B

A B

=+-=-≥-= 题设

(因(

)1P A B

≤ )

(

)0.3P A B ≥ (等号当且仅当()1P A B = 时成立)

故,当()1P A B = 时,()P A B 取到最小值,最小值是()0.3P A B =

注意 ()P A B 同时满足

0()1P A B ≤≤及0.3()0.6P A B ≤≤ 0.3()0.6P A B ⇔≤≤

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