线性系统控制理论作业精简版

10 0 ，再求 a，b，并观察
0 0 1
它是否更接近于 1）的结果.
*10、运用左逆和右逆程序，求题 3 和题 7（b）
*11、用线性规划程序计算题 6 和课堂中的机床产品例题。
注:感兴趣的同学可以自己编程序完成第 10 题和第 11 题.
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第三章 习题
A 1、[已知] 线性变换
5.已知: X t2 1 Y t2 1,求 X,Y 向量在 为何值时能在区间 0 t 1 内正交?
1
6.用 G-S 方法将 X1 2
3
1 X 2 2
3
0
X3 1 这组向量建立一组规格化正交集,
1
第一章 习题
1
1.判断 X1 2
3
1 X 2 2
3
0
X3 1 这组向量是否线性独立.
1
1
2.判断
X1

2 2
1
1
X2

0 0
1
3
X3

4 4
这组向量是否线性独立.
0 / 2 0
确定使该系统平衡点 X e 0 为渐进稳定的η值范围。
5、用积分法找 LYAPUNOV 函数并决定其渐进稳定性条件：

X1 X2

X 2 X3

X 3 F ( X 2 ) X 3 aX 2 bX1
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6 并用它为基底表示该空间中向量 X 3 .
1
1 7. 已 知 X 1 1
1
1 X 2 1
1
1 X 3 0 为 基 向 量 , 求 其 对 偶 基 向 量 , 并 用
0
6
X 1 X 2 X 3 线形组合来表示向量 X 3 .
5、在下面电路中为使ⅰ保持恒定，又使电阻耗能最小， V1 ,V2 ,V3 应取多大？
6、某工厂制造甲、乙两种产品，需 M1, M 2M3 三种原材料，制造 1kg 甲产品需 M1 9 千克, M 2 4 千克, M3 3 千克, 制造 1kg 乙产品需 M1 4 千克, M 2 5 千克, M3 10 千克。 工厂生产甲产品每公斤获利 700 元，生产乙产品每公斤获利 1200 元，但该厂每 日能够使用的原材料只有 M1 360 千克，M 2 只有 200 千克，M3 只有 300 千克，问 工厂生产甲、乙产品日产量为多少时能获最大利润？利润为多少？（按原理手 算） 7．（a）用最小二乘法对 2X1 X 2 5 求 X1 , X 2 和 e 2 .
56 18 20
对某基向量的矩阵表达
A’=
1 70

42 21
124 43
60

240
4 2 1
对一新基向量，基向量变换矩阵 B= 2 6 3
1 3 5
[求] 该变换对于新的基向量的矩阵表达。
3、一面镜子放在由 2x1 3x2 x3 0
6 6 4
3 1 1
3、求 A＝ 7 5 1 的特征值λ，特征向量 X 和模态矩阵 M。
6 6 2
2 0 1 0
4、求 A= 0 0 0 1 的特征值λ，特征向量 X 和模态矩阵 M。
0 0 0 0 0 0 0 0
5、将二次型 Q(Z)= 2x1x2 2x1x3 6x2x3 化为标准型。
3
4
1
3.在线形空间 X n 中求向量 X 1
和
Y


3

之间的广义夹角 .
2
3
2
9
4.已知 X 1 0 2 0 2 0 T Y 0 6 0 3 0 2 T
证明 X 与 Y 正交并验证 X 2 Y 2 X Y 2
4
所限定的平面上，试求Y 2 的
3
反射象，并求 Y 在镜面上的垂直分量和水平投影。
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第四章 习题
0 1 0
1、求
A=

0
0
1

6 11 6
的特征值λ，特征向量 X 和模态矩阵 M。
1 3 3
2、求 A＝ 3 5 3 的特征值λ，特征向量 X 和模态矩阵 M。
。
第九章 习题
1、一连续系统中
A=
2 4
5
0

，B=
1 1
，C=
1
1，试判断该系统的可控性
和可观测性。
2、判断下图电路的能控性和能观性。
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第十一章 习题
1、已知

X

0 1
1 1
X
，用李氏第一方法和二次型法确定其稳定性。
2、用 LYAPUNOV 两种方法判断下面系统在原点的稳定性。已知系统方程
第五、六章习题
1、已知 A＝
1 0
0 1
0 0
，用哈密尔顿定理求 e At 。
0 1 2



2、给出Y aY bY U cU 的一种可能的模拟图，并选出图中积分器的输
出为状态变量，列出状态方程和输出方程。
3、对所示电路编写出标准状态方程。
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4、用叠加法对下图电路列状态方程。
画出 AX,Y 和 e2 三者关系的几何图形。
9、一实际装置，输出 Y 对输入 U 的线性关系为 y=au+b
1） 现经实验取得下列数据:
u
2 -2
y5
1
u
y
?
求 a、b 参数
2） 若再增加一组读数 u=5,y=7，再求 a、b 参数
10 0 0
3）
假定前两次测量更为可靠，加权矩阵 Q=

0
8 2 5 X1
6、将 Q= X T AX X1 X 2 X3 2
11

2

X
2

5 2 8 X3
=
8
X
2 1
11X
2 2

8X
2 3

4X1X
2
10 X1X 3

4X
2
X3
化为标准型。
7、用求矩阵秩的程序，验证题 1、2
注:感兴趣的同学可以自己编程序完成第 7 题.
第七、八章 习题
1、已知状态方程的系数矩阵
A(t)＝
t 1
1 t
，求
(t,0)
。（级数取三项即可）
2、求离散系统状态方程齐次解

X1(K X2(K
1) 1)

1 12
5 1
1 5

X X
1 2
(K (K
) ),
其中X
(0)

2 1
1 2
0 3

4
8

X X X
1 2 3


0
的非平凡解.
1
3.用系统方法求方程

2
0
1
2
4

0
2

X X
1 2


0
的非平凡解.
4.求 2X 1 X 2 3X 3 2 的最小范数解
X1 2X2 X3 1
X1 2X2 3
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(b) 用最小二乘法对 2X1 X 2 5 求 X1 , X 2 和 e 2 .
X1 2X2 3
X1 X 2 1
8、已知
2 X1 e1' Y1 X e2' Y2
测得 Y1 3 求 X 的最小二乘估计，并将此方程所描述 Y2 4 的二维空间分成两个一维子空间的直和，
为：

X1

2 X 1

2
X
2 2

X 2 Байду номын сангаас X2
3、用 LYAPUNOV 直接法判断下面系统的稳定性，其中 a>0。

X1

X1

X2

aX1( X12

X
2 2
)

X
2

X1

X2

aX
2
(
X
2 1

X
2 2
)
0 1 0
4、设线性离散系统 X(K+1)=AX(K),A= 0 0 1 ,η>0,用 LYAPUNOV 法
1 8.找出平面 2X 1 3X 2 X 3 5 上距离原点最近的点的坐标以及从原点到平面 的最短距离.
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第二章 习题
1.用系统方法求方程
X1 2X2 X3 2 2X1 3X 2 X 3 3
的解答.
4X1 2X2 X3 7
2.用系统方法求方程
1
：R3 R3 ,基向量{Vi} V1 0
1
1 V2 1
0
A 对该基向量进行
变换后，其象为
u1

2 1
A [求] 所对应的矩阵 A。
u2

1 1
u3

1 1
1 V3 1
1
A 2、[已知]线性变换