弧度制 PPT
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弧度制ppt
2
225
4
把等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度的角。
弧度制的思想：用弧长与半径的比值来度量角。
一般的，若圆的半径为r ，圆心角α所对的弧长为l ，
则角α的弧度数为： l
l
r 为什么要加绝对值？
r
角的正、负情况由终边旋转方向决定
任意大小的角
知识要点：
l
r
y B
点B所转 过的弧长
r
2 r
A
2r
Or x
r
第五章
任意角及其度量 （二）
知识要点：
1.角度制
周角的
1 360
作为1度的角，记做
1。
2.弧度制
1rad
把等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度的角。
B r AOB就是1弧度的角
2r 长的弧所对的圆心角：2弧度
O r A 四分之一圆弧所对的圆心角： 弧度
2
半个圆周所对的圆心角： 弧度
知识要点：
2.弧度制
2
例3：设
是第一象限的角，试讨论
2
是哪个象限的角。
, 2
3
典型例题：
例4：求六点一刻时，时针与分针夹角为多少弧度？
1 1 2 13 97.5
2 4 12
24
多少角度？ （精确到0.1）
例5：如图，r＝6cm，圆心角AOB ，求阴影部分面积。
A
E
B
O1•
O
典型例题：
例6：已知扇形的周长为30cm，当它的半径和圆心角取什么 值时，才能使得扇形面积最大？最大面积是多少？
l 0 r
知识要点：
5.扇形的弧长与面积公式
l
l
r
弧度制PPT
0º 30º 45º 60º 90º 120º 135º 150º 180º 270º 360º
0
6
4
3
2 3 5 3 2
2 3 4 6 2
2、用弧度为单位表示角的大小时， “弧度” 二字通常省略不写，但用“度”（°）为单位 不能省略。 3、用弧度为单位表示角时，通常写 成“多少 π”的形式。如无特别要求，不用将π化成小数。
思考与作业：
用弧度制表示 （1）终边落在45°角的终边上的所有角的集合 （2）第Ⅱ象限角的集合
练习：教材P9练习
若圆心角∠AOB表示一个负角，且 它所对的弧的长为3r，则∠AOB的弧度 L 数的绝对值是 = 3，
3rad
r
L = －3弧度 即∠AOB=－ r
r
O
r
A
B
-3弧度
L=3r
思考：半径为r的圆的圆心与原点重合， 角的始边与x轴的非负半轴重合，交圆于 点A，终边与圆交于点B，下表中∠AOB的 弧度数分别是多少？
α
4：为什么可以用弧长与其半径的比值 来度量角的大小呢？即这个比值是否与所取的圆 的半径大小有关呢？ B B` L l A
O r R A`
n°
结论：当半径不同时，同样的圆心角 所对的弧长与半径之比是常数
5、弧度与角度的换算
L 若L=2 π r，则∠AOB= = 2π弧度 r
弧度制
在角度的度量里面，也有类似的情况，一个是角度制， 另外一种度量制---弧度制.
一、知识回顾
• 1、角度制的定义
•规定周角的1/360为1度的角，这种用度做单位 来度量角的制度叫角度制。
60°
90°
2、弧长公式:
0
6
4
3
2 3 5 3 2
2 3 4 6 2
2、用弧度为单位表示角的大小时， “弧度” 二字通常省略不写，但用“度”（°）为单位 不能省略。 3、用弧度为单位表示角时，通常写 成“多少 π”的形式。如无特别要求，不用将π化成小数。
思考与作业：
用弧度制表示 （1）终边落在45°角的终边上的所有角的集合 （2）第Ⅱ象限角的集合
练习：教材P9练习
若圆心角∠AOB表示一个负角，且 它所对的弧的长为3r，则∠AOB的弧度 L 数的绝对值是 = 3，
3rad
r
L = －3弧度 即∠AOB=－ r
r
O
r
A
B
-3弧度
L=3r
思考：半径为r的圆的圆心与原点重合， 角的始边与x轴的非负半轴重合，交圆于 点A，终边与圆交于点B，下表中∠AOB的 弧度数分别是多少？
α
4：为什么可以用弧长与其半径的比值 来度量角的大小呢？即这个比值是否与所取的圆 的半径大小有关呢？ B B` L l A
O r R A`
n°
结论：当半径不同时，同样的圆心角 所对的弧长与半径之比是常数
5、弧度与角度的换算
L 若L=2 π r，则∠AOB= = 2π弧度 r
弧度制
在角度的度量里面，也有类似的情况，一个是角度制， 另外一种度量制---弧度制.
一、知识回顾
• 1、角度制的定义
•规定周角的1/360为1度的角，这种用度做单位 来度量角的制度叫角度制。
60°
90°
2、弧长公式:
弧度制PPT课件
0,
2
2 ,
2
2
[0, )
2
(, )
2
[0,)
[0,2)
四、课堂小结：
1.弧度制定义
2.角度与弧度的互化 3.特殊角的弧度数
度 0° 30 ° 45 ° 60 ° 90 ° 120 ° 135° 150°
弧 度
0
6
4
3
2 3 5 23 46
作业：
3、用弧度为单位表示角时，通常写 成“多少π”的形式。如无特别要 求，不用将π化成小数。
练习2：请用弧度制表示下列角度的范围。
锐角：{θ|0°＜θ＜90°}， 直角： {θ|θ=90°} 钝角： {θ|90°＜θ＜180°} 平角： {θ|θ=180°} 周角： {θ|θ=360°} 0°到90°的角：{θ|0°≤θ<90°}； 小于90°角：{θ|θ＜90°} 0°到180°的角：{θ|0°≤θ<180°} 0°到360°的角：{θ|0°≤θ<360°}
r 3.任一已知角α的弧度数的绝对值
l
(弧长计算公式)
l
5、弧度与角度的换算 若L=2 π r，则∠AOB=
L r
= 2π弧度
此角为周角 即为360°
L=2 π r
360°= 2π 弧度
（B）
OrA
180°= π 弧度
180°= 1°× 180
由180°= π 弧度 还可得
1°= ——π弧度 ≈ 0．01745弧度 180
1弧度 =（—1—8）0 °≈ 57．30°= 57°18′ π
三、例题
（1）、把67°30′化成弧度。
解：
6730'
671
1.1.2 弧度制 课件(共29张PPT)
栏目 导引
第一章 三角函数
跟踪训练 4．已知扇形面积为25 cm2，当扇形的圆心角为多大时， 扇形的周长取最小值？ 解：设扇形的半径是 r，弧长是 l，扇形的周长为 y， 则 y＝l＋2r.由题意，得12lr＝25，则 l＝5r0， 故 y＝5r0＋2r(r>0)．利用函数单调性的定义，可以证明 当 0<r≤5，函数 y＝5r0＋2r 是减函数；
小案例—哪个是你
忙忙叨叨，起早贪黑， 上课认真，笔记认真， 小A 就是成绩不咋地……
好像天天在玩， 上课没事儿还调皮气老师， 笔记有时让人看不懂， 但一考试就挺好…… 小B
栏目 导引
目 录/contents
第一章 三角函数
1. 什么是学习力 2. 高效学习模型 3. 超级记忆法 4. 费曼学习法
栏目 导引
栏目 导引
第一章 三角函数
(2)如图所示，设扇形的半径为 r cm，弧长为 l cm，圆心角为 θ(0<θ<2π)， 由 l＋2r＝20，得 l＝20－2r， 由12lr＝9，得12(20－2r)r＝9， ∴r2－10r＋9＝0，解得 r1＝1，r2＝9. 当 r1＝1 cm 时，l＝18 cm，θ＝rl＝118＝18>2π(舍去)． 当 r2＝9 cm 时，l＝2 cm，θ＝rl＝29. ∴扇形的圆心角的弧度数为29.
第一章 三角函数
什么是学习力
栏目 导引
第一章 三角函数
什么是学习力-你遇到这些问题了吗
总是 比别人 学得慢
一看就懂 一 做就错
看得懂，但不 会做
总是 比别人学得差 不会举一反三
栏目 导引
第一章 三角函数
什么是学习力-含义
管理知识的能力 （利用现有知识 解决问题）
第一章 三角函数
跟踪训练 4．已知扇形面积为25 cm2，当扇形的圆心角为多大时， 扇形的周长取最小值？ 解：设扇形的半径是 r，弧长是 l，扇形的周长为 y， 则 y＝l＋2r.由题意，得12lr＝25，则 l＝5r0， 故 y＝5r0＋2r(r>0)．利用函数单调性的定义，可以证明 当 0<r≤5，函数 y＝5r0＋2r 是减函数；
小案例—哪个是你
忙忙叨叨，起早贪黑， 上课认真，笔记认真， 小A 就是成绩不咋地……
好像天天在玩， 上课没事儿还调皮气老师， 笔记有时让人看不懂， 但一考试就挺好…… 小B
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第一章 三角函数
1. 什么是学习力 2. 高效学习模型 3. 超级记忆法 4. 费曼学习法
栏目 导引
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第一章 三角函数
(2)如图所示，设扇形的半径为 r cm，弧长为 l cm，圆心角为 θ(0<θ<2π)， 由 l＋2r＝20，得 l＝20－2r， 由12lr＝9，得12(20－2r)r＝9， ∴r2－10r＋9＝0，解得 r1＝1，r2＝9. 当 r1＝1 cm 时，l＝18 cm，θ＝rl＝118＝18>2π(舍去)． 当 r2＝9 cm 时，l＝2 cm，θ＝rl＝29. ∴扇形的圆心角的弧度数为29.
第一章 三角函数
什么是学习力
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第一章 三角函数
什么是学习力-你遇到这些问题了吗
总是 比别人 学得慢
一看就懂 一 做就错
看得懂，但不 会做
总是 比别人学得差 不会举一反三
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第一章 三角函数
什么是学习力-含义
管理知识的能力 （利用现有知识 解决问题）
弧度制ppt课件
• (2)在区间[－5π，0)上找出与α终边相同的角．
解：(1)2 010°＝2 010×1π80＝667π＝5×2π＋76π，又因为π＜76π＜32π， 所以α与76π终边相同，是第三象限的角． (2)与α终边相同的角可以写成γ＝76π＋2kπ(k∈Z)，又因为－5π≤γ＜0， 所以当k＝－3时，γ＝－269π； 当k＝－2时，γ＝－167π；当k＝－1时，γ＝－56π．
解：(1)1 690°＝1 440°＋250°＝4×360°＋250°＝4×2π＋2158π． (2)因为 θ 与 α 终边相同，所以 θ＝2kπ＋2158π(k∈Z)． 又因为 θ∈(－4π，4π)，所以－4π＜2kπ＋2158π＜4π， 所以－9376＜k＜4376(k∈Z)．所以 k＝－2，－1，0，1． 所以 θ 的值是－4178π，－1118π，2158π，6118π．
2π rad＝__3_6_0_°_____ π rad＝___1_8_0_°____ 1 rad＝1π80°≈57.30° 弧度数×1π80°＝度数
【预习自测】判断下列说法是否正确．(正确的画“√”，错误的画
“×”)
(1)1 弧度就是 1°的圆心角所对的弧．
()
(2)“1 弧度的角”的大小和所在圆的半径大小无关．
解：设扇形圆心角的弧度数为 θ(0＜θ＜2π)，弧长为 l，半径为 r，面 积为 S．
l＋2r＝10 ①， (1)依题意有12lr＝4 ②， ①代入②得 r2－5r＋4＝0，解得 r1＝1， r2＝4． 当 r＝1 时，l＝8 cm，此时，θ＝8 rad＞2π rad，舍去； 当 r＝4 时，l＝2 cm，此时，θ＝24＝12(rad)．
边界)内的角的集合．
• 错解一：{α|k·360°＋330°＜α＜k·360°＋ 60°，k∈Z}．
弧度制ppt课件
将l=aR 代人上式，即得
目录
深化与思考
1、角度制与弧度制是两种不同的度量制度，在表示角时不能混
用，例如a=k·360°
),β=2kπ+60°(k∈Z) 等写法都
是不规范的。
2、做一做(多选)下列命题中，正确的是( ) A. “度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位 B.1° 的角是周角的，1 rad的角是周角的 C.1 rad的角比1°的角要大 D. 用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关
对问题的理解、分析，学会用数学的眼光观察问题、用数学的思维思
考问题、用数学的语言表达问题.
目录
限时小练 1. 将钟表的分针拨慢20分钟，则分钟转过的角的弧度数是( )
A.
B.
C
D
2.如图，以正方形ABCD 的顶点A 为圆心，边AB 的长为半径作扇形AEB.
若图中两块阴影部分的面积相等，则∠EAD 的弧度数大小为
正角 零角 负角
正实数
0
负实数
图5.1-12
目录
▶N
概念的理解 公元6世纪，印度人在制作正弦表时，曾用同一 单位度量半径和圆周，孕育着最早的弧度制概念. 欧拉是明确提出弧度制思想的数学家.1748年，在 他的一部划时代著作《无穷小分析概论》中，提 出把圆的半径作为弧长的度量单位，使一个圆周
角等于2π弧度，1弧度等于周角的 ●。这一思想 将线段与弧的度量统一起来，大大简化了三角公 式及计算.
图5.1-11 目录
概念引入(1)
问 题 3 任 意 角 都 可 以 用 表示吗?正角、负角和零
角的弧度数如何规定呢?
规定：如果半径为r的圆的圆心角α所对弧长为l, 那么角α 的弧度数的绝对值是
这里，α的正负由角α的终边的旋转方向决定。
目录
深化与思考
1、角度制与弧度制是两种不同的度量制度，在表示角时不能混
用，例如a=k·360°
),β=2kπ+60°(k∈Z) 等写法都
是不规范的。
2、做一做(多选)下列命题中，正确的是( ) A. “度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位 B.1° 的角是周角的，1 rad的角是周角的 C.1 rad的角比1°的角要大 D. 用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关
对问题的理解、分析，学会用数学的眼光观察问题、用数学的思维思
考问题、用数学的语言表达问题.
目录
限时小练 1. 将钟表的分针拨慢20分钟，则分钟转过的角的弧度数是( )
A.
B.
C
D
2.如图，以正方形ABCD 的顶点A 为圆心，边AB 的长为半径作扇形AEB.
若图中两块阴影部分的面积相等，则∠EAD 的弧度数大小为
正角 零角 负角
正实数
0
负实数
图5.1-12
目录
▶N
概念的理解 公元6世纪，印度人在制作正弦表时，曾用同一 单位度量半径和圆周，孕育着最早的弧度制概念. 欧拉是明确提出弧度制思想的数学家.1748年，在 他的一部划时代著作《无穷小分析概论》中，提 出把圆的半径作为弧长的度量单位，使一个圆周
角等于2π弧度，1弧度等于周角的 ●。这一思想 将线段与弧的度量统一起来，大大简化了三角公 式及计算.
图5.1-11 目录
概念引入(1)
问 题 3 任 意 角 都 可 以 用 表示吗?正角、负角和零
角的弧度数如何规定呢?
规定：如果半径为r的圆的圆心角α所对弧长为l, 那么角α 的弧度数的绝对值是
这里，α的正负由角α的终边的旋转方向决定。
人教版数学第一章弧度制(共20张PPT)教育课件
360
A B 的长 OB旋转的方向 AOB 的弧度数 AOB的度数
r
逆时针方向
180
2 r
逆时针方向
2
r
逆时针方向
1
360 57.30
2r
顺时针方向
-2
114.60
r
顺时针方向
180
0
未旋转
0
0
r
逆时针方向
180
2 r
逆时针方向
2
360
新知2：
（1）一般地，正角的弧度数是一个正数，负 角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0.
:
那
你
的
第
一
口
罗
没
有
我
和
他
不
同
。
我
是
从
底
层
但
是
当
我
拍
完
但
是
我
年
轻
时
有
一
个
想
法
就
是
如
果
我
告
诉
你
怎
么
弄
■
电
:
“
口
罗
部
爬
一
，
1
戏
有
上
来
的
我
个
5
分
钟
后
你
还
色
其
没
清
镜
没
有
楚 弄
有 怎
完 情
么
头
我
就
胆
怯
，
像
运
作
这
个
东
西
弧度制ppt完美版PPT
R210R(R5)225.1 01R10 当 R5时 ， 即 L10R5
2时 ， Sm ax25
练习1．化下列各角为度数或弧度：
1）－225°
2）
12
2．已知扇形OAB的圆心角为120°，
半径为6，求扇形弧长及所含弓形的面积。
思考：钟表分针和时针在3点到5点40分 这段时间里 分针转过_______弧度的角， 时针转过___弧度的角。
例2：设集A={x｜2kπ≤x≤2kπ+π,k∈Ζ},
B={x| X2 -36<0},求A∩B
解∵A={x|2kπ≤x≤2kπ+π,k∈Ζ}=┄∪{x｜
-2π≤x≤-π}∪ {x｜0≤x≤π} ∪{x｜
2π≤x≤2π+π}∪┄，
B={x｜-6≤x≤6}, ∴A∩B={x｜圆图的的中半阴径影弧为部1分所个角单的对位集长合应度。时的，圆圆心角心角称为1弧度的角，记为1rad
7下(节3)课(4直). 线与圆的(即位置在关系单中将位会重圆点表中达！,弧长为1的弧所对应的圆心角称为
1弧度的角) 方向可用“-”、“+”表示。
﹟ 1°周角的弧度数为2π； 2°正角的弧度数为正,负角的弧度数为负； 零角的弧度数为零。
假设时针转过3cm,那么时针转过的弧长 是
作业:_P_习__题_1_._(_1)_ 2.(1),(3) 4. 6. 7 (3) (4). 8.
小结：
角的度量形式(角度制,弧度制),弧度的单 位.弧度的意义,角度制与弧度制间的互 换.会用弧度研究有关问题(弧长,扇形面 积等)
小宝结：剑锋从磨砺出 本节课重点学习了圆的标准方程和一
思考：弧度数
与实数是一一 对应的
例3 1)扇形所在圆半径为5，圆心角 为135°，求扇形面积。
5.1.2弧度制课件共17张PPT
正数 零角 负角
任意角的集合
正实数 0
负实数
实数集R
小结： 1、弧度与角度的换算； 2、弧度的意义；
初中 角的度量
角度制
高中 弧度制
r
r
第一象限角
| k 360 k 360 90, k Z
第二象限角 | k 360 90 k 360 180, k Z 第三象限角 | k 360 180 k 360 270, k Z 第四象限角 | k 360 270 k 360 360,k Z
终边落在坐标轴上的情形
5
解：4 rad 4 180 1445 Nhomakorabea5
注意：1、弧度与角度的换算，可以利用科学计算器进行，。
2、一般地，“弧度”与“rad“通常略去不写，而只写这个角所对应的弧度数.
3、角度制与弧度制互化时要抓住 180 弧度这个关键．
须记住的一些特殊角的度数与弧度数的对应表：
度 0o 30o
45o 60o 90o 120o 135o 150o 180o 270o 360o
任 正角：按逆时针方向旋转形成的角 意 负角：按顺时针方向旋转形成的角 角 零角：一条射线没有作任何旋转形
成的角
所有与角α终边相同的角，连同角α在内， 可构成一个集合
S={ β| β=α+k360° ,k∈ Z}
即任一与角α终边相同的角，都可以表示成 角α与整数个周角的和。
用集合表示各象限角的集合。
0 弧
度
6
4
3
2
2
3
3
4
5
6
3
2
2
例4 计算：
（1） sin ；（2）tan1.5 ． 4
解：（1）∵ 45 ∴ sin sin 45 2
弧度制 课件
.
错解:∵与 45°角终边相同的角的集合为{α|α=k·360°+45°,k∈
Z},
π
∴与 4 终边相同的角的集合为{α|α=2kπ+45°,k∈Z}.
错因分析:只考虑把360°化为2π,忽视了对45°的要求,出现角度与
弧度混用.
正解:∵与45°角终边相同的角的集合为{α|α=k·360°+45°,k∈Z},
π
π
∴与 4 终边相同的角的集合为 = 2π + 4 ,∈Z .
π
答案: = 2π + ,∈Z
4
2
1
当 r=4 时,l=2(cm),此时 θ= = rad.
4
1
综上可得,θ= .
2
(2)设扇形弧长为 l,
π
2π
∵72°=72× = (rad),
2π
180
5
∴l=αr= 5 ×20=8π(cm).
1
1
∴S=2lr=2×8π×20=80π(cm2).
2
角度制与弧度制混用
π
π
4
4
典例与 终边相同的角连同 在内组成的角的集合是
【例2】 (1)将下列各角化为弧度:①112°30';②-315°;
19
5π
(2)将下列各弧度化为角度:① - 12rad;②
. 3π
分析:
解:(1)①∵1°=
π
π
180
rad,
5π
∴112°30'=180 ×112.5 rad= 8 rad.
π
7π
②-315°=-315×180 =- 4 .
180
l
r
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弧度数与l、r之间有着怎样的关系？请你完成下表，找出某种规律.
A（B的长 OB旋转的方向 ∠AOB的弧度数
0
没旋转
0
π2r
顺时针方向
-π2
∠AOB的度数 0°
－90°
πr
逆时针方向
π
180°
2πr 顺时针方向
－2π
－360°
明目标、知重点
πr 180
逆时针方向
π 180
r
逆时针方向
1
1°
180
π
1 周角的 360 . (2)弧度制 ①弧度制的定义 长度等于 半径长 的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad 表示，读作弧度.以 弧度作为单位来度量角的单位制叫做弧度制.
明目标、知重点
②任意角的弧度数与实数的对应关系 正角的弧度数是一个 正数 ；负角的弧度数是一个 负数 ；零角 的弧度数是 零 . ③角的弧度数的计算 如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那么，角α的弧度数
l 的绝对值是|α|＝ r .
明目标、知重点
2.角度制与弧度制的换算 (1)
角度化弧度 360°＝ 2π rad 180°＝ π rad π 1°＝180 rad≈0.017 45 rad
明目标、知重点
弧度化角度 2π rad＝ 360° π rad＝ 180°
1 rad＝ 1π80°≈57.30°
明目标、知重点
反思与感悟 将角度转化为弧度时，要把带有分、秒的部分化为 度之后，牢记π rad＝180°即可求解.把弧度转化为角度时，直接用 弧度数乘以 1π80°即可.
明目标、知重点
跟踪训练1 将下列角按要求转化： (1)－22°30′＝__－__π8____rad； (2)85π＝___2_8_8___°.
明目标、知重点
例2 已知一扇形的周长为40 cm，当它的半径和圆心角取什么值
时，才能使扇形的面积最大？最大面积是少？
解 设扇形的圆心角为θ，半径为r，弧长为l，面积为S，
则l＋2r＝40，∴l＝40－2r. ∴S＝12lr＝12×(40－2r)r＝20r－r2＝－(r－10)2＋100.
∴当半径r＝10 cm时，扇形的面积最大，最大值为100 cm2，
此时 θ＝rl＝40－120×10rad＝2 rad.
所以当扇形的圆心角为2 rad，半径为10 cm时，扇形的面积最大
为100 cm2.
明目标、知重点
反思与感悟 灵活运用扇形弧长公式、面积公式列方程组求 解是解决此类问题的关键，有时运用函数思想、转化思想解 决扇形中的有关最值问题，将扇形面积表示为半径的函数， 转化为r的二次函数的最值问题.
明目标、知重点
思考3 角度制与弧度制换算时，灵活运用下表中的对应关系， 请补充完整.
角度化弧度 360°＝ 2π rad
弧度化角度 2π rad＝ 360°
180°＝ π rad
π rad＝ 180°
1°＝1π80 rad
1 rad＝1π80°
明目标、知重点
例1 (1)把67°30′化成弧度； 解 ∵67°30′＝6712°， ∴67°30′＝1π80rad×6712＝38π rad. (2)把－71π2化成角度. 解 －71π2＝－71π2×1π80°＝－105°.
明目标、知重点
第一章 三角函数
明目标、知重点
1.理解角度制与弧度制的概念，能对弧度和角度进行正 确的转换. 2.体会引入弧度制的必要性，建立角的集合与实数集一 一对应关系 3.掌握并能应用弧度制下的弧长公式和扇形面积公式.
明目标、知重点
填要点·记疑点
1.度量角的单位制 (1)角度制 用 度作为单位来度量角的单位制叫做角度制，规定1度的角等于
明目标、知重点
跟踪训练2 一个扇形的面积为1，周长为4，求圆心角的弧度数. 解 设扇形的半径为R，弧长为l，则2R＋l＝4， ∴l＝4－2R，根据扇形面积公式S＝12lR， 得1＝12(4－2R)·R， ∴R＝1，∴l＝2，∴α＝Rl ＝21＝2， 即扇形的圆心角为2 rad.
度量单位类别 扇形的弧长 扇形的面积
α为角度制 απR
l＝180 S＝απR2
360
α为弧度制 l＝α·R
S＝12l·R ＝12α·R2
明目标、知重点
探要点·究所然
情境导学
初中几何研究过角的度量， 规定周角的3160作为1°的角.我们把用 度作为单位来度量角的单位制叫做角度制， 在角度制下，当两 个带着度、分、秒各单位的角相加、相减时，由于运算进制非十 进制，总给我们带来不少困难.那么我们能否重新选择角单位，使 在该单位制下两角的加减运算与十进制下的加减法运算一样呢？ 今天我们就来研究这种新的单位制—弧度制.
(2)一些特殊角的度数与弧度数的对应关系
度 0° 1° 30° 45°
60° 90°
π 弧度 0 180
π 6
π 4
π
π
3
2
度 120° 135° 150°
弧度
2π 3
34π
5π 6
明目标、知重点
180° π
270° 360°
3π
2π
2
3.扇形的弧长及面积公式 设扇形的半径为R，弧长为l，α(0<α<2π)为其圆心角，则
明目标、知重点
探究点二 弧度制下的弧长公式和扇形面积公式 思考 我们已经学习过角度制下的弧长公式和扇形面积公式， 请根据“一周角(即360°)的弧度数为2π”这一事实化简上述公 式.(设半径为r，圆心角弧度数为α). 答 半径为 r，圆心角为 n°的扇形弧长公式为 l＝1n8π0r， 扇形面积公式为 S 扇＝n3π6r02.∵2πl r＝2|απ|，∴l＝|α|r. ∵SS扇 圆＝πSr扇2＝2|απ|，∴S 扇＝12|α|r2. ∴S 扇＝12|α|r2＝12lr.
°
2r
顺时针方向
－2
－3π60°
规律：如果一个半径为r的圆的圆心角α所对的弧长为l，那么α的
弧度数的绝对值是rl，即|α|＝rl.
明目标、知重点
小结 一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一 个负数，零角的弧度数是0.如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的 长为l，那么，角α的弧度数的绝对值是|α|＝rl .这里，α的正负由 角α的终边的旋转方向决定.
明目标、知重点
探究点一 弧度制 思考1 1弧度的角是怎样规定的？1弧度的角和圆半径的大 小有关吗？你能作出一个1弧度的角吗？ 答 把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1 弧度的角.1弧度的角是一个定值，与所在圆的半 径无关.如图所示，∠AOB就是1弧度的角.
明目标、知重点
思考2 如果一个半径为r的圆的圆心角α所对的弧长是l，那么α的