弧度制 PPT
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l 的绝对值是|α|＝ r .
明目标、知重点
2.角度制与弧度制的换算 (1)
角度化弧度 360°＝ 2π rad 180°＝ π rad π 1°＝180 rad≈0.017 45 rad
明目标、知重点
弧度化角度 2π rad＝ 360° π rad＝ 180°
1 rad＝ 1π80°≈57.30°
明目标、知重点
反思与感悟 将角度转化为弧度时，要把带有分、秒的部分化为 度之后，牢记π rad＝180°即可求解.把弧度转化为角度时，直接用 弧度数乘以 1π80°即可.
明目标、知重点
跟踪训练1 将下列角按要求转化： (1)－22°30′＝__－__π8____rad； (2)85π＝___2_8_8___°.
(2)一些特殊角的度数与弧度数的对应关系
度 0° 1° 30° 45°
60° 90°
π 弧度 0 180
π 6
π 4
π
π
3
2
度 120° 135° 150°
弧度
2π 3
34π
5π 6
明目标、知重点
180° π
270° 360°
3π
2π
2
3.扇形的弧长及面积公式 设扇形的半径为R，弧长为l，α(0<α<2π)为其圆心角，则
明目标、知重点
探究点二 弧度制下的弧长公式和扇形面积公式 思考 我们已经学习过角度制下的弧长公式和扇形面积公式， 请根据“一周角(即360°)的弧度数为2π”这一事实化简上述公 式.(设半径为r，圆心角弧度数为α). 答 半径为 r，圆心角为 n°的扇形弧长公式为 l＝1n8π0r， 扇形面积公式为 S 扇＝n3π6r02.∵2πl r＝2|απ|，∴l＝|α|r. ∵SS扇 圆＝πSr扇2＝2|απ|，∴S 扇＝12|α|r2. ∴S 扇＝12|α|r2＝12lr.
此时 θ＝rl＝40－120×10rad＝2 rad.
所以当扇形的圆心角为2 rad，半径为10 cm时，扇形的面积最大
为100 cm2.
明目标、知重点
反思与感悟 灵活运用扇形弧长公式、面积公式列方程组求 解是解决此类问题的关键，有时运用函数思想、转化思想解 决扇形中的有关最值问题，将扇形面积表示为半径的函数， 转化为r的二次函数的最值问题.
°
2r
顺时针方向
－2
－3π60°
规律：如果一个半径为r的圆的圆心角α所对的弧长为l，那么α的
弧度数的绝对值是rl，即|α|＝rl.
明目标、知重点
小结 一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一 个负数，零角的弧度数是0.如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的 长为l，那么，角α的弧度数的绝对值是|α|＝rl .这里，α的正负由 角α的终边的旋转方向决定.
度量单位类别 扇形的弧长 扇形的面积
α为角度制 απR
l＝180 S＝απR2
360
α为弧度制 l＝α·R
S＝12l·R ＝12α·R2
明目标、知重点
探要点·究所然
情境导学
初中几何研究过角的度量， 规定周角的3160作为1°的角.我们把用 度作为单位来度量角的单位制叫做角度制， 在角度制下，当两 个带着度、分、秒各单位的角相加、相减时，由于运算进制非十 进制，总给我们带来不少困难.那么我们能否重新选择角单位，使 在该单位制下两角的加减运算与十进制下的加减法运算一样呢？ 今天我们就来研究这种新的单位制—弧度制.
明目标、知重点
跟踪训练2 一个扇形的面积为1，周长为4，求圆心角的弧度数. 解 设扇形的半径为R，弧长为l，则2R＋l＝4， ∴l＝4－2R，根据扇形面积公式S＝12lR， 得1＝12(4－2R)·R， ∴R＝1，∴l＝2，∴α＝Rl ＝21＝2， 即扇形的圆心角为2 rad.
1 周角的 360 . (2)弧度制 ①弧度制的定义 长度等于 半径长 的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad 表示，读作弧度.以 弧度作为单位来度量角的单位制叫做弧度制.
明目标、知重点
②任意角的弧度数与实数的对应关系 正角的弧度数是一个 正数 ；负角的弧度数是一个 负数 ；零角 的弧度数是 零 . ③角的弧度数的计算 如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那么，角α的弧度数
明目标、知重点
第一章 三角函数
明目标、知重点
1.理解角度制与弧度制的概念，能对弧度和角度进行正 确的转换. 2.体会引入弧度制的必要性，建立角的集合与实数集一 一对应关系 3.掌握并能应用弧度制下的弧长公式和扇形面积公式.
明目标、知重点
填要点·记疑点
1.度量角的单位制 (1)角度制 用 度作为单位来度量角的单位制叫做角度制，规定源自文库度的角等于
弧度数与l、r之间有着怎样的关系？请你完成下表，找出某种规律.
A（B的长 OB旋转的方向 ∠AOB的弧度数
0
没旋转
0
π2r
顺时针方向
-π2
∠AOB的度数 0°
－90°
πr
逆时针方向
π
180°
2πr 顺时针方向
－2π
－360°
明目标、知重点
πr 180
逆时针方向
π 180
r
逆时针方向
1
1°
180
π
明目标、知重点
探究点一 弧度制 思考1 1弧度的角是怎样规定的？1弧度的角和圆半径的大 小有关吗？你能作出一个1弧度的角吗？ 答 把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1 弧度的角.1弧度的角是一个定值，与所在圆的半 径无关.如图所示，∠AOB就是1弧度的角.
明目标、知重点
思考2 如果一个半径为r的圆的圆心角α所对的弧长是l，那么α的
明目标、知重点
例2 已知一扇形的周长为40 cm，当它的半径和圆心角取什么值
时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？
解 设扇形的圆心角为θ，半径为r，弧长为l，面积为S，
则l＋2r＝40，∴l＝40－2r. ∴S＝12lr＝12×(40－2r)r＝20r－r2＝－(r－10)2＋100.
∴当半径r＝10 cm时，扇形的面积最大，最大值为100 cm2，
明目标、知重点
思考3 角度制与弧度制换算时，灵活运用下表中的对应关系， 请补充完整.
角度化弧度 360°＝ 2π rad
弧度化角度 2π rad＝ 360°
180°＝ π rad
π rad＝ 180°
1°＝1π80 rad
1 rad＝1π80°
明目标、知重点
例1 (1)把67°30′化成弧度； 解 ∵67°30′＝6712°， ∴67°30′＝1π80rad×6712＝38π rad. (2)把－71π2化成角度. 解 －71π2＝－71π2×1π80°＝－105°.
明目标、知重点
2.角度制与弧度制的换算 (1)
角度化弧度 360°＝ 2π rad 180°＝ π rad π 1°＝180 rad≈0.017 45 rad
明目标、知重点
弧度化角度 2π rad＝ 360° π rad＝ 180°
1 rad＝ 1π80°≈57.30°
明目标、知重点
反思与感悟 将角度转化为弧度时，要把带有分、秒的部分化为 度之后，牢记π rad＝180°即可求解.把弧度转化为角度时，直接用 弧度数乘以 1π80°即可.
明目标、知重点
跟踪训练1 将下列角按要求转化： (1)－22°30′＝__－__π8____rad； (2)85π＝___2_8_8___°.
(2)一些特殊角的度数与弧度数的对应关系
度 0° 1° 30° 45°
60° 90°
π 弧度 0 180
π 6
π 4
π
π
3
2
度 120° 135° 150°
弧度
2π 3
34π
5π 6
明目标、知重点
180° π
270° 360°
3π
2π
2
3.扇形的弧长及面积公式 设扇形的半径为R，弧长为l，α(0<α<2π)为其圆心角，则
明目标、知重点
探究点二 弧度制下的弧长公式和扇形面积公式 思考 我们已经学习过角度制下的弧长公式和扇形面积公式， 请根据“一周角(即360°)的弧度数为2π”这一事实化简上述公 式.(设半径为r，圆心角弧度数为α). 答 半径为 r，圆心角为 n°的扇形弧长公式为 l＝1n8π0r， 扇形面积公式为 S 扇＝n3π6r02.∵2πl r＝2|απ|，∴l＝|α|r. ∵SS扇 圆＝πSr扇2＝2|απ|，∴S 扇＝12|α|r2. ∴S 扇＝12|α|r2＝12lr.
此时 θ＝rl＝40－120×10rad＝2 rad.
所以当扇形的圆心角为2 rad，半径为10 cm时，扇形的面积最大
为100 cm2.
明目标、知重点
反思与感悟 灵活运用扇形弧长公式、面积公式列方程组求 解是解决此类问题的关键，有时运用函数思想、转化思想解 决扇形中的有关最值问题，将扇形面积表示为半径的函数， 转化为r的二次函数的最值问题.
°
2r
顺时针方向
－2
－3π60°
规律：如果一个半径为r的圆的圆心角α所对的弧长为l，那么α的
弧度数的绝对值是rl，即|α|＝rl.
明目标、知重点
小结 一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一 个负数，零角的弧度数是0.如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的 长为l，那么，角α的弧度数的绝对值是|α|＝rl .这里，α的正负由 角α的终边的旋转方向决定.
度量单位类别 扇形的弧长 扇形的面积
α为角度制 απR
l＝180 S＝απR2
360
α为弧度制 l＝α·R
S＝12l·R ＝12α·R2
明目标、知重点
探要点·究所然
情境导学
初中几何研究过角的度量， 规定周角的3160作为1°的角.我们把用 度作为单位来度量角的单位制叫做角度制， 在角度制下，当两 个带着度、分、秒各单位的角相加、相减时，由于运算进制非十 进制，总给我们带来不少困难.那么我们能否重新选择角单位，使 在该单位制下两角的加减运算与十进制下的加减法运算一样呢？ 今天我们就来研究这种新的单位制—弧度制.
明目标、知重点
跟踪训练2 一个扇形的面积为1，周长为4，求圆心角的弧度数. 解 设扇形的半径为R，弧长为l，则2R＋l＝4， ∴l＝4－2R，根据扇形面积公式S＝12lR， 得1＝12(4－2R)·R， ∴R＝1，∴l＝2，∴α＝Rl ＝21＝2， 即扇形的圆心角为2 rad.
1 周角的 360 . (2)弧度制 ①弧度制的定义 长度等于 半径长 的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad 表示，读作弧度.以 弧度作为单位来度量角的单位制叫做弧度制.
明目标、知重点
②任意角的弧度数与实数的对应关系 正角的弧度数是一个 正数 ；负角的弧度数是一个 负数 ；零角 的弧度数是 零 . ③角的弧度数的计算 如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那么，角α的弧度数
明目标、知重点
第一章 三角函数
明目标、知重点
1.理解角度制与弧度制的概念，能对弧度和角度进行正 确的转换. 2.体会引入弧度制的必要性，建立角的集合与实数集一 一对应关系 3.掌握并能应用弧度制下的弧长公式和扇形面积公式.
明目标、知重点
填要点·记疑点
1.度量角的单位制 (1)角度制 用 度作为单位来度量角的单位制叫做角度制，规定源自文库度的角等于
弧度数与l、r之间有着怎样的关系？请你完成下表，找出某种规律.
A（B的长 OB旋转的方向 ∠AOB的弧度数
0
没旋转
0
π2r
顺时针方向
-π2
∠AOB的度数 0°
－90°
πr
逆时针方向
π
180°
2πr 顺时针方向
－2π
－360°
明目标、知重点
πr 180
逆时针方向
π 180
r
逆时针方向
1
1°
180
π
明目标、知重点
探究点一 弧度制 思考1 1弧度的角是怎样规定的？1弧度的角和圆半径的大 小有关吗？你能作出一个1弧度的角吗？ 答 把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1 弧度的角.1弧度的角是一个定值，与所在圆的半 径无关.如图所示，∠AOB就是1弧度的角.
明目标、知重点
思考2 如果一个半径为r的圆的圆心角α所对的弧长是l，那么α的
明目标、知重点
例2 已知一扇形的周长为40 cm，当它的半径和圆心角取什么值
时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？
解 设扇形的圆心角为θ，半径为r，弧长为l，面积为S，
则l＋2r＝40，∴l＝40－2r. ∴S＝12lr＝12×(40－2r)r＝20r－r2＝－(r－10)2＋100.
∴当半径r＝10 cm时，扇形的面积最大，最大值为100 cm2，
明目标、知重点
思考3 角度制与弧度制换算时，灵活运用下表中的对应关系， 请补充完整.
角度化弧度 360°＝ 2π rad
弧度化角度 2π rad＝ 360°
180°＝ π rad
π rad＝ 180°
1°＝1π80 rad
1 rad＝1π80°
明目标、知重点
例1 (1)把67°30′化成弧度； 解 ∵67°30′＝6712°， ∴67°30′＝1π80rad×6712＝38π rad. (2)把－71π2化成角度. 解 －71π2＝－71π2×1π80°＝－105°.