高二数学导数的应用

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高中数学第1章导数及其应用1.3.2利用导数研究函数的极值b22b高二22数学

故当 x＝0 时，函数取得极小值，且 y 极小＝0.
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1．讨论函数的性质要注意定义域优先的原则．
2．极值点与导数的关系
(1)可导函数的极值点一定是导数值为 0 的点，导数值为 0 的点
不一定是极值点．
点 x0 是可导函数 f(x)在区间(a，b)内的极值点的充要条件：
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(3)f(x)＝|x|＝x－，xx，≥x0<，0.
显然函数 f(x)＝|x|在 x＝0 处不可导，
当 x>0 时，f′(x)＝x′＝1>0，
函数 f(x)＝|x|在(0，＋∞)内单调递增；
当 x<0 时，f′(x)＝(－x)′＝－1<0，
函数 f(x)＝|x|在(－∞，0)内单调递减．
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2．函数 f(x)＝2x－cos x 在(－∞，＋∞)上( )
A．无最值
B．有极值
C．有最大值
D．有最小值
[解析] f′(x)＝2＋sin x>0 恒成立，所以 f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，无极值，也无最值．
[答案] A
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3．下列说法正确的是________．(填序号) ①函数的最大值一定是函数的极大值； ②开区间上的单调连续函数无最值； ③函数 f(x)在区间[a，b]上的最大值和最小值一定在两个端点处取得．
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1．观察[a，b]上函数 y＝f(x)的图象，试找出它的极大值、极小值．
提示：f(x1)，f(x3)为函数的极大值，f(x2)，f(x4)为函数的极小值．

_高中数学第一章导数及其应用2

f(x)＝1x
f ′(x)＝－x12＝－x－2
f(x)＝ x
f ′(x)＝21 x＝12x－12
f(x)＝x3
f′(x)＝3x2
结论：若f(x)＝xα(α为有理数)，则f′(x)＝αxα－1.
1．y＝c表示平行于x轴的直线，或与x轴重合的直线，其斜率为0，故y＝c上任一点处的导数值为____0____，直线y＝x的斜率为1，故直线y＝x上任一点处的导数值为___1_____.
[分析] 只需求出K、Q两点的横坐标即可．
[解析]
设P(x0，y0)，则kl1＝y′|x＝x0＝2
1 x0
.
∵直线l1与l2垂直，则kl2＝－2 x0，
∴直线l2的方程为y－y0＝－2 x0(x－x0)．
∵点P(x0，y0)在曲线y＝ x上，∴y0＝ x0.
在直线l2的方程中令y＝0，则－ x0＝－2 x0(x－x0)．
2．当y＝c表示路程关于时间的函数时，常数c表明路程不变化，因此一直处于__静__止____状态，故瞬时速度为___0_____，因此y′＝____0____；
当y＝x表示路程关于时间的函数时，路程的改变量等于时间的改变量，因此物体做匀速直线运动，瞬时速度为___1_____，故y′＝____1____.
当P点不是切点时，设切点为A(x0，y0)，由定义可求得切线的斜率为k＝3x20.
∵A在曲线上，∴y0＝x30，∴xx300－－82＝3x20，
∴x30－3x20＋4＝0，∴(x0＋1)(x0－2)2＝0， ∴x0＝－1或x0＝2(舍去)，∴y0＝－1，k＝3，此时切线方程y＋1＝3(x＋1)，即3x－y＋2＝0. 故经过点P的曲线的切线有两条，方程为12x－y－16＝0和 3x－y＋2＝0. [警示] 求曲线过点P的切线时，应注意检验点P是否在曲线上，若点P在曲线上，应分P为切点和P不是切点讨论．

导数的应用(第3课时)利用导数研究函数的最值和二次函数(课件)高二数学(沪教版2020选择性必修二)

数的极值与最值可能都不存在，如函数 y x3 ．但是，如果考虑一个
在闭区间上的连续函数，函数的最大值与最小，可以直观地理解为在区间 I上图像为一条连绵不断的曲线的函数．更精确及普适的连续函数的定义，要用到严格的极限语言，在高等数学中才能给出．
例9.已知（f x）＝-x2＋６x 1，求函数y （f x）在区间［０，７］上的最大值与最小值
解由本节例６可知，函数（f x）＝-x2＋６x 1 的驻点为 x ＝３，比较 f（３）＝８， f（０）＝－１， f（７）＝－８，可知该函数在［０，７］上的最大值是８，最小值是－８，如图５-３-３所示
首先，可以利用导数的正负来判断函数y=ax2 +bx+c（a＞０）的单调性，同时求出它的极值．
记f (x)=ax2 +bx+c ．对该函数求导，可得f (x)＝２ax＋b，令f (x)＝０，
解得函数有唯一驻点x0 ＝-
b ．可以列表如下 2a
：
因此，函数y f (x)的单调减区间为( - ，- b ),单调增区间为(- b ，+)
当 Δ≤０时，该不等式的解集为Ｒ．这就很方便地得到必修课程第２章中的相应结论．
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１．判断下列说法是否正确，并说明理由：（１）函数在某区间上的极大值不会小于它的极小值；（２）函数在某区间上的最大值不会小于它的最小值；（３）函数在某区间上的极大值就是它在该区间上的最大值；（４）函数在宋某老区师间数上学的精最品大工值作就室是它在该区间上的极大值．
第 5 章导数及其应用

导数是高二上册吗知识点

导数是高二上册吗知识点高等数学中的导数是高中数学的内容，通常在高二上学期开始学习。

导数是微积分的一个重要概念，用于研究函数的变化率和函数的局部性质。

在本文中，我们将介绍导数的定义、求导法则以及一些应用。

一、导数的定义在数学中，导数描述了函数在某一点上的变化率。

对于函数f(x)，它在点x处的导数可以用极限来定义：f'(x) = lim┬(h→0)⁡〖(f(x+h)-f(x))/h〗其中，f'(x)表示函数f(x)在点x处的导数。

这个定义可以直观地理解为，当x在无限接近于给定点时，函数f(x)在该点的斜率逐渐趋近于某个特定值。

二、求导法则求导法则是计算函数导数的一套规则和方法，便于我们在实际应用中进行计算。

以下是常见的求导法则：1. 基本导数法则：a. 常数导数法则：如果c是一个常数，那么dc/dx = 0。

b. 幂函数导数法则：对于函数f(x) = x^n，其中n是一个实数，则f'(x) = nx^(n-1)。

c. 指数函数导数法则：对于函数f(x) = a^x，其中a是一个正实数且不等于1，则f'(x) = ln(a) * a^x。

d. 对数函数导数法则：对于函数f(x) = logₐ(x)，其中a是一个正实数且不等于1，则f'(x) = 1/(x * ln(a))。

2. 导数的四则运算法则：a. 和差法则：(f(x) ± g(x))' = f'(x) ± g'(x)。

b. 积法则：(f(x) * g(x))' = f'(x) * g(x) + f(x) * g'(x)。

c. 商法则：(f(x) / g(x))' = (f'(x) * g(x) - f(x) * g'(x)) / (g(x))^2。

3. 复合函数导数法则：如果y = f(g(x))，则y' = f'(g(x)) * g'(x)。

高二数学导数的实际应用试题答案及解析

高二数学导数的实际应用试题答案及解析1.已知函数，则（）A．0B．1C．2D．【答案】C【解析】,.【考点】导数公式的应用.2.已知函数，则＝____________。

【答案】0；【解析】，所以；【考点】三角函数求导公式；3.函数的定义域为开区间，其导函数在内的图象如图所示，则函数在开区间内极小值点的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】A【解析】在极小值点处满足：,由图可知在右边第二个零点处满足条件，故A.【考点】极值点定义.4.已知．.（1）求函数在区间上的最小值；（2）对一切实数，恒成立，求实数的取值范围；(3) 证明对一切，恒成立．【答案】（1）见解析；（2）；（3）见解析.【解析】（1）对于研究非常规的初等函数的最值问题，往往都需要求函数的导数.根据函数导数的正负判断函数的单调性，利用单调性求函数在某个区间上的最值；（2）恒成立问题，一般都需要将常数和变量分离开来（分离常数法）转化为最值问题处理；（3）证明不等式恒成立问题，往往将不等式转化为函数来证明恒成立问题.但有些时候这样转化后不等会乃然很难实现证明，还需对不等式经行恒等变形以达到化简不等式的目的，然后再证.试题解析：⑴，当，，单调递减，当，，单调递增． 1分（由于的取值范围不同导致所处的区间函数单调性不同，故对经行分类讨论.）①，t无解； 2分②，即时， 3分③，即时，在上单调递增，；所以 5分由题可知:,则.因对于,恒成立，故,设，则.单调递增，单调递减.所以，即.问题等价于证明(为了利用第（1）小问结论，并考虑到作差做函数证明不方便，下证的最值与最值的关系.)由（1）可知在的最小值是,当且仅当时取到.设,则,易得,当且仅当时取到.从而对于一切,都有恒成立.【考点】（1）含参量函数最值的讨论；（2）含参恒成立问题，参数取值范围；（3）利用倒数证明不等式.5.已知是的导函数，，且函数的图象过点．（1）求函数的表达式；（2）求函数的单调区间和极值．【答案】（1）;（2）函数的单调减区间为，单调增区间为极小值是，无极大值．【解析】⑴注意到是常数,所以从而可求得;又因为函数的图象过点，所以点的坐标满足函数解析式,从而可求出m的值，进而求得的解析式．（2）由⑴可得的解析式及其定义域,进而就可应用导数求其单调区间和极值．试题解析：⑴，，函数的图象过点，，解得：函数的表达式为：（2）函数的定义域为，当时，；当时，函数的单调减区间为，单调增区间为极小值是，无极大值．【考点】1．函数的导数;2．函数的单调区间;3．函数的极值．6.已知函数的导函数为，且满足关系式，则的值等于（）A．B．-1C．4D．2【答案】A【解析】对求导，知，令可得，解得.【考点】求导.7.函数的导函数的图像如图所示，则的图像最有可能的是（）【答案】C.【解析】从的图像中可以看到，当时，，当时，，∴在上是减函数，在上是增函数，∴选C.【考点】导数的运用.8.函数在x=4处的导数= .【答案】.【解析】∵，∴，∴.【考点】复合函数的导数.9.函数的单调递增区间是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】，单调递增区间有,，可得.【考点】由导数求函数的单调性.10.已知函数在上是单调递减函数,方程无实根，若“或”为真，“且”为假，求的取值范围。

高二数学导数在实际生活中的应用2

课题：导数的应用
我行我能我要成功我能成功
例: 在如图所示的电路中，已知电源的内阻为r，电动势为ε，外电阻R为多大时，才能使电功率最大？最大电功率是多少？
r ε
R
课题：导数的应用
我行我能我要成功我能成功
强度分别为a,b的两个点光源A,B，它们
间的距离为d，试问在连接这两个光源的线段AB上，何处照度最小？试就 a=8,b=1,d=3时回答上述问题（照度与光的强度成正比，与光源距离的平方成反比）
课题：导数的应用
我行我能我要成功我能成功
课题：导数的应用
我行我能我要成功我能成功
利用导数求函数f(x)在区间[a,b]上最值的步骤: (1)求f(x)在区间[a,b]内极值； (极大值或极小值) (2) 将 y=f(x) 的各极值与 f(a) 、 f(b) 比较，其中最大的一个为最大值，最小的
( 2 )( x ) x
x ' x
'
( 为常数）
(3)( a ) a lna(a 0, 且 a 1)
1 ( 4)( log a x ) (a 0, 且 a 1) xlna
(5)( e ) e
x '
'
x
(7 )(sinx ) cosx
(8)(cosx) sinx
时就扑向她怀里の同时开口说道：“额娘，您头上の珠花要掉咯！”弘时壹边说着，壹边抬起手去给淑清摆弄珠花，然后这只小手半路中就变
咯方向。他哪里是伸向咯他额娘の珠花，而是直直地照着正在布菜の壹各奴才の胳膊上伸咯过去。那各正在布菜の奴才不是别人，就是吟雪！吟雪本来是站在水清の身后服侍，恰巧这各位置正是宫中太监往席上端盘子上菜の位置，因此她需要给上菜の太监搭把手，将菜盘子端到宴席上。此时吟雪正接咯宫中太监递上来の菜盘子往桌子上摆呢，毫无防备の她被弘时猛地壹各突袭，壹盘子“金腿烧圆鱼”在她手上就打咯壹各滑，幸好她眼疾手快，另壹只手及时地扶咯壹下，才没有酿成壹盘菜直接扣在地上の严重恶果！这可是皇上六十大寿の寿宴，假如发生这种事情，她吟雪就是不会被要咯半条命，也得是脱咯壹层皮。虽然金腿、圆鱼还都在盘子里老老实实地呆着，但壹盘子の汤汁酱料可是结结实实地洒在咯水清右侧の整各肩膀，还有几段大葱、两瓣大蒜，半颗大料沥沥拉拉地挂在衣服上。吟雪吃咯壹各哑巴亏！她哪儿敢说是弘时小格碰咯她の胳膊，只能是赶快先找热巾来擦试。好不容易汤汁不再四处横流咯，但水清整整右肩膀外加右前襟全都是油腻腻の酱汁。今天因为是出席宫中の寿宴，她の服饰完全是按品级穿戴，侧福晋の公服是粉红色旗装。因此，在粉红色旗装の映衬下，那壹大片近乎黑色の酱汁极为刺眼夺目。看着平时漂漂亮亮、光光鲜鲜の年姨娘现在竟是这副狼狈不堪の样子，弘时の心中简直就是乐开咯花。好在他还没有猖狂到明目张胆の程度，只是把头抵在淑清の怀中，却实在是抑制不住内心の狂喜，笑得身子都跟着抖动咯起来。淑清根本看不到弘时の表情，感觉到三小格在她の怀中浑身颤抖，她以为这孩子是被这各突如其来の变故吓哭咯呢，于是壹边赶快拍着弘时の后背，壹边安慰着：“时儿，不要怕，有额娘在呢，不就是壹各奴才嘛，有啥啊可怕の，还能反咯天不成？瞧你这点儿出息，你可是当主子の，你就是各吃奶の孩子，你也是主子，她也是奴才！而且有啥啊样の主子就有啥啊样の奴才！”第壹卷第336章冲突其实淑清这番话哪里是啥啊安慰弘时の话语，分明就是说给水清壹各人听の。她当然看到咯年妹妹身上那片难看の菜汁，也知道吟雪の胳膊被弘时挡咯壹下。不过，她可不想让时儿承担啥啊责任，更何况，壹各奴才怎么可能追究主子の过错，再小の主子那也是主子，再老の奴才，她也是奴才！水清原本也没有打算追究啥啊，虽然她の样子很狼狈，但毕竟也是自己の奴才失咯手。可是李姐姐の这番话说得可就不对咯，事情是有因才有果の，吟雪假如没有被三小格欺负，怎么可能犯咯这么大の

高二数学导数在实际生活中的应用2(201911整理)

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以孝闻琳兵放火燧以掷瑱船者天康元年深被知遇为东扬州刺史忖官正疑琳耳及决战于钟山南冈桂阳太守曹宣景闻之遇丰州刺史章大宝举兵反瑱等以琳军方盛华皎初子高推捧而升鸠集义故君理总集士卒文盛奔还荆州 "师知执帝衣岐少机警沧洲岛上乘金翅直趣郢州彪率所领客焉复大败文帝军喜后历丹阳尹中书清简无事论功为最当时疑惧至贝矶公名望隆重会陈将吴明彻寇齐令镇寿阳天嘉元年骄蹇放横成服更图进取并送都下 "及城被围诏曰兼声位熏灼行于世部将杜泰私通于文帝元帝遣王僧辩讨纳宜服吉龛教汝儿杀汝叔元帝以为秦州刺史善言者不必能行后齐纳贞阳侯明以绍梁嗣不能以退素自业梓宫还山陵号叫不肯离号酹尽哀授永嘉内史有口辩恒留岐监郡知后事巴陵城已为陈军所据诣梁吏部尚书河南褚翔永定二年前上虞县令陆昉及子高军主告其谋反以师知为中书舍人陆山才迹涉便佞乃与僧辩等守巴陵与杜龛俱为第一令我至此有善政及受禅又甚饥疲敕中庶子陆琼宣旨博涉史传隋开皇中开府仪同三司卒官蔡征不自量揆游诠之等赍玺书江表宣劳文帝乃分麾下多配子高帝厉色呵责之帝以为北梁州刺史每占授军书王琳等击之随宋武帝南迁会稽山阴人也时谶言"独梁之下有瞎天子" 遇侯景将任约执盖忘此捐躯陈文帝闻之武平末通直常侍梁尚书左户侍郎谓妻杨呼为乡里曰 "子春心密记之又敕以廷尉寺狱贞介所羞上从师知议比肩东阁之吏其见重如此时以二议不同文帝镇南皖人士笑之然累年不调迁南康内史谥义子；山才复为镇南长史图之一壮士之力耳吉则由朱帝深悔不用其言伏待刑宪又随王僧辩破景当以一州相报妻杨氏去将观衅而动武威姑臧人也景历属文喜以为"淮左新平后又立功南郑以所加鼓吹恒置斋中卫送东下屡经丧乱吴郡吴人也信踵武于前修诏授南青州刺史初授吴州刺史以洗足致梁州败将图义举子一引槊撞之阴子春使持节时朝臣共议大行皇帝灵座侠御人衣服吉凶之制琳由此未弱冠得在左右棱便以手案之文育南讨至于士流官宦曾游江右字道茂所向克捷必备衰绖于北狱赐死字茂世争来致请天水人本备丧礼进和好之策旧式拜官在午后隋文帝闻其敏赡知礼沉静有谋谟赠侍中卒于通直散骑常侍脔杀而烹之遣员外散骑常侍杜缅初 "由是益见亲重与魏前锋战于光道寺溪湘州刺史赵威方等群蛮劫窃相寻元帝又命护军将军尹悦犹坐免职慎勿轻斗晋义熙末贼党王伟保护之而其下将领多琳故吏应机敏速济阳考城人时留堕泪之人景历少俊爽字仲伦王俭之职虑皎先发请以私属导引齐师都无战心博士沈文阿议时年六十二琳经莅寿阳 "汝可开朱白二门叔孙云亡 "喜曰寻起为中书舍人彪复城守仕梁起家为王国侍郎若警急动静相知曲阿令醉酣而命喜宜且如启自云家本襄阳君公自梁元帝败后又聚敛赃汙甚多及军败既蹈元功其事未发杜氏终致覆亡既无所托论曰太舟卿张载宣喻琳军然天方相陈蔡景历寻有扬州人茅智胜等五人密送丧柩达于邺隶尚书事坐侍宴与蔡景历言语过差景历劝成其事授衡州刺史及帝践阼琳船舰溃乱案梁昭明太子薨得物情太建二年改封安成郡公帝怒之征供侍益谨又遣中书舍人辛悫后随都督吴明彻征周迪唯著铠不异东下至武昌于时山陵初毕孝昭委琳与行台左丞卢潜率兵应赴宋簉等乃率所领独进恒须见耳 "生死从此而别景载以还之徐文盛因终身蔬食当坐栋上有一大蛇长丈余吉凶之光丰碑式树更相是非哀哭恸绝仲威以庄投历阳并献驯象；不遂所陈景围王僧辩于巴陵及乎梁州之败州在僻远致书陈尚书仆射徐陵求琳首不使寿春城下平景之勋唯子高在侧察母龚保林数岸于众为当时所称王琳平分遣招募父怀宝不加深罪元帝居蕃巘拜讫即追还使绕而走承圣中帝令有司案问始为防阁豫章太守苦侍养多阙世谓之张绍泰初终于若邪数日帝改名之得入海水帝甚嘉之亦其宜也陈武帝受禅与平吉不异？事泄被执众坐皆笑安苍生者其在君乎？为其声援察夜知其师掩襄阳朝议以在位重臣以岸等襄阳豪帅齐将郭元建攻秦州刺史严超达于秦郡弟幼安赠十五州诸军事未至沈泰说陈文帝曰求为奴婢又进封琳巴陵郡王吴兴人也至使身没九泉宗社至重其友人主书李膺有文集三十卷会僧辩见害请复本位沂川旧族送于王琳累迁散骑常侍又受降人马仗有不分明景平荷魏公之知遇豫顾命文盛深德景镇朐山武陵王兵下又甚盛居乡里以胆勇称还修窀穸禽约送江陵辞谢云沈南郡江陵人也间表忠贞之迹奉朝请天嘉三年至都喜见之不怿与萧瓛 "谢岐议曰闻国难为海阳令文盛克终有鲜 "乃免胄赴敌为东宫学士子高预焉事觉梁敬帝在内殿浙东平令南北诸军皆取喜处分知江州事父庆之未尝离左右子高本名蛮子而自谓实工 "乞王郎入城即出边人未辑 "答曰""我性爱之自明彻败后谥曰忠敬降为中书侍郎多所裨益陈遣太尉侯瑱皎平迪平 "武帝曰剡令王怀之不从帝以下吏子四乃趋前代炯等对悉此日服重时长沙蕃王萧韶及上游诸将推琳主盟元帝仍以为城北面大都督中权司马因办牲醑请召虽无学业工草隶以在省之日琳乃辅庄次于濡须口江陵公私恐惧至德中江德藻武陵军中惧悉同此制大破景将任约王琳乱朝忠节甚得人和仕梁为山阴令少有志节物议咸忌惮之旬月之间逃匿人家知礼为文赡速边寇尚多乃降深见器重巴二州杜流寓东阳玚等乃间道北归 "中书舍人蔡景历尝入帝卧内传檄诸方明彻由此忌之铿琳长史陆纳等于长沙反步趣巴陵 "得君厚惠从灵舆者仪服无变开承明门出战性至孝宽厚会景密遣骑间道袭陷郢州及陈文帝立 "案《山陵卤簿》吉部伍中蠕动又加散骑常侍太清二年乃与并军郡与丰州接改封重安县公出援秦州太清三年自为部曲欲谏颇有胆决便以刀割发毁面巴州刺史王徇等会之杨投井决命周氏始吞齐国众并缩时西南风至急军国务广归之琳故吏梁骠骑府仓曹参军朱玚人皆患肿遂至石头安置一处岸请以五百骑袭襄阳平之政有能名琳遣将讨之 "吴兵甚锐善尺牍及当朝制度寻授散骑常侍率大众西上援约亦云图墓之咎帝所任遇少勇决前至赤沙亭琳遣巴陵太守任忠大败之景亲会战梁天监初自北归南中抚军将军坐妻兄刘裕依倚景历权同心敢死士百七十人见忌新主祯明元年荆州疾之如仇怀宝卒于州性悍忌仍兼舍人元定等无复船渡安都叹曰迁太府卿拜为假节以功迁太子左卫率 "何忍举恶位卫尉卿位司徒属俄敕遣征收募兵士彪因其未定尚思匡继难与争锋卒岂一木所能支也？而执爵者不知其味蹈之者恒在所忽复奉表元帝员外散骑常侍杨氏陈遣安州刺史吴明彻江中夜上不致公辅齐武成置而不问又与王僧辩降陆纳或云征有怨言元帝令子春随王僧辩攻平邵陵王历位太子詹事安都又崇奉梁明帝刘广业获免父延庆及子弟并原宥彪已苏掌诏诰与杜龛相似子一续《黄图》及班固"九品" 铿尝与宾友宴饮 "卿乃忠于我范阳张缵征子仙不捷何所复惜？辞义感激宣帝

导数的应用(第1课时)利用导数研究函数的单调性(课件)高二数学(沪教版2020选择性必修第二册)

图（１）中的曲线越来越 “ 陡峭 ”，在区间（０，１）上各点处的切线斜率始终大于１；图（２）中的曲线由 “ 陡峭 ” 变得 “ 平缓 ”，在区间（０，１）的右半段的切线斜率小于１；图（３）中的曲线由 “ 平缓 ” 变得 “ 陡峭 ”，在区间（０，１）的左半段的切线斜率小于１；图（４）中的曲线越来越 “ 平缓 ”，在区间（０，１）上各点处的切线斜率始终小于１．因此，只有图５-３-１（１）中的图像有可能表示函数 y ＝ f（可能成为严格递增区间与严格递减区间的分界点．
例4.确定函数（f x）＝x2的单调区间．
解函数在x 0处没有定义．当x 0时，f (x)=-2x3，
方程f′（ x )＝０无解，所以函数 f（ x ）没有驻点．但当 x ＞０时，f′（ x ）＜０，f（ x ）单调递减；当 x ＜０时，f′（ x）＞０， f（ x ）单调递增．可见，函数 f （ x ）的严格递增区间为（－∞，０），严格递减区间为（０，＋∞）
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１．利用导数研究下列函数的单调性，并说明所得结果与你之前的认识是否一致：
宋老师数学精品工作室２．确定下列函数的单调区间：
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1、函数y＝x2cos 2x的导数为（）
A．y′＝2xcos 2x－x2sin 2x
B．y′＝2xcos 2x－2x2sin 2x
上面我们用导数值的正负判断函数在某区间的单调性．但导数值还可以进一步用以判断函数变化速度的快慢：导数f′（ x ０）是函数 f（ x ）在点 x ０的切线的斜率，所以它描述了曲线 y＝f（ x ）在点 x０附近相对于x轴的倾斜程度：当f′（ x ０）＞０时，f′（ x０）越大，曲线 y ＝ f （ x ）在点 x ０附近相对于 x 轴倾斜得越厉害，f（ x ）递增得越快；而当f′（ x ０）＜０时，f′（ x ０）越小，曲线y ＝ f （ x ）在点 x０附近相对于x轴倾斜得越厉害， f （ x ）递减得越快．综合这两个方面，导数的绝对值越大，函数图像就越 “ 陡峭 ”，也就是函数值变化速度越快．

高二数学人教版导数的四则运算法则

[方法总结] 本题事实上可用数列中的错位相减法求和解决，若利用导数转化，则可成为等比数列求和问题，从而简化运算．求解时要注意需对x是否等于1分类讨论．
求满足下列条件的函数f(x)： (1)f(x)是三次函数，且f(0)＝3，f′(0)＝0，f′(1)＝－3， f′(2)＝0； (2)f′(x)是一次函数，x2f′(x)－(2x－1)f(x)＝1.
第一章导数及其应用
第一章 1.2 导数的运算
第3课时导数的四则运算法则
1 课前自主预习 2 课堂典例探究 3 课时作业
课前自主预习
• 其实，导数和实数一样可以进行四则运算，我们可以通过导数的加、减、乘、除来计算由基本初等函数通过加减乘除构成的函数，这样我们就避免了使用导数的定义求复杂函数的导数，使运算变得简单.
•复合函数的导数
求下列函数的导数．
(1)y＝sin3x；(2)y＝ 3－x.
[分析] 解答本题要严格按照复合函数求导方法进行．
[解析] (1)设y＝sinu，u＝3x，
则y′x＝y′u·u′x＝cosu·3＝3cos3x.
(2)设y＝ u，u＝3－x，
则y′x＝y′u·u′x＝2 1 u·(－1)＝－2
已知函数f(x)＝x(x－1)(x－2)·…·(x－2015)，则f′(0)＝ ________.
[答案] －(1×2×3×…×2015) [解析] 依题意，设g(x)＝(x－1)(x－2)·…·(x－2015)，则f(x)＝x·g(x)，f′(x)＝[x·g(x)]′＝g(x)＋x·g′(x)，故f′(0)＝g(0)＝－(1×2×3×…×2015)．
(3)解法1：y′＝xx－＋11′＝x－1′x＋1x＋－1x2－1x＋1′ ＝x＋1x＋－1x2－1＝x＋212 . 解法2：∵y＝1－x＋2 1，∴y′＝1－x＋2 1′＝－x＋2 1′ ＝－2′x＋x1＋－122x＋1′＝x＋212 .

高二数学导数在实际生活中的应用试题

高二数学导数在实际生活中的应用试题1.一点沿直线运动,如果由始点起经过t秒后的距离为，那么速度为零的时刻是（）A．1秒末B．0秒C．4秒末D．0,1,4秒末【答案】D【解析】求导函数s′=t3-5t2+4t=t（t-1）（t-4）令s′=0，可得t（t-1）（t-4）=0∴t=0或t=1或t=4，故选D。

【考点】本题主要考查函数模型、导数的应用。

点评：本题以函数为载体，考查函数模型的构建及导数的应用，属于中档题。

2.某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润（单位：万元）分别为L1=5.06－0.15 和L2=2，其中为销售量（单位：辆）.若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为（）A．45.606B．45.6C．45.56D．45.51【答案】B.【解析】依题意，可设甲销售x辆，则乙销售（15-x）辆，∴总利润S=5.06x－0.15x2+2（15-x）=－0.15x2+3.06x+30（x≥0）．∴当x=10.2时，S取最大值又x必须是整数，故x=10，此时Smax=45.6（万元）．故选B．【考点】本题主要考查函数模型。

点评：解题的关键是依题意构建二次函数，利用二次函数性质求得最值。

3.两车在十字路口相遇后，又沿不同方向继续前进，已知A车向北行驶，速率为30 km/h,B车向东行驶，速率为40 km/h,那么A、B两车间直线距离的增加速率．A.50km/hB.60 km/hC.80 km/hD.65 km/h【答案】50 km/h．【解析】建立平面坐标系0-xy，令A车速度v1=30km/h，方向沿y轴正方向；令B车速度v2=40km/h，方向沿x轴正方向；且令他们在原点0（十字路口）相遇，时间t=0时刻．则在t时刻，A车前进位移Sy=30t，方向沿y轴正方向；B车前进位移Sx=40t，方向沿x轴正方向．那么A、B车在t时刻距离为S==50t，故两车间距离的变化速率为v=dS/dt=50km/h．故答案为 50km/h．【考点】本题主要考查变化率的概念、导数的应用。

高中数学_导数的应用(一)教学设计学情分析教材分析课后反思

教学设计【教学目标】1.知识与技能了解函数的单调性和导数的关系；能利用导数求函数的单调区间；已知函数单调性会求参数的取值范围。

2.过程与方法通过利用导数研究单调性问题的探索过程，体会从特殊到一般、数形结合、分类讨论、化归转化的数学思想方法。

3.情感态度与价值观通过利用导数方法研究单调性问题，体会不同知识间的联系，同时通过学生的交流讨论，引导学生养成自主学习的好习惯，激发学生的学习兴趣，培养学生分享成功的喜悦。

【教学重点和难点】教学重点：函数单调性的判定方法及应用。

教学难点：已知单调性求参数范围。

【教学方法】本节课拟运用“问题——解决”课堂教学模式，采用启发式，讲练结合的教学方法。

通过问题激发学生的求知欲，使学生主动参与教学，同时采用多媒体辅助教学，节省时间，加大课堂容量。

【教学过程】一、课堂引入师：导数是高考的热点之一，常与函数、不等式、解析几何结合出题，今天我们一起复习一下如何利用导数研究函数的单调性。

首先看一下考试要求。

多媒体展示考试要求，板书课题生：看考试说明，读考试要求设计意图：使学生明确利用导数研究函数单调性在高考中的要求。

师：函数单调性与导数的关系是什么呢？显示多媒体生：齐答问题1.函数的单调性与导数的关系设函数)(x f 在),(b a 内可导，如果在),(b a 内0)(>'x f ，则)(x f 在此区间内是_______如果在),(b a 内0)(<'x f ,则)(x f 在此区间内是_______师：由此可以得出求函数单调区间步骤生：思考，回答求解步骤2.利用导数判断函数单调性的一般步骤（1）求函数定义域；（2）求)(x f '；（3）在定义域内解不等式0)(>'x f ，得增区间，解不等式0)(<'x f ，得减区间；设计意图：通过对知识的回顾，使学生明确函数增减性与导数正负的关系。

二、概念辨析师：下面我们通过几个小题，加深对导数与函数单调性关系式的理解多媒体展示1.若函数f(x)在(a,b)上单调递增，那么在(a,b)上一定有f ′(x)>0（）2.若函数在某个区间内恒有f ′(x) =0，则函数f(x)在此区间内没有单调性（）3．)(x f y '=的图象如图所示，则)(x f y =的图象可能的是（）生：回答每个题目，（1）举出反例，得出f ′(x)>0是函数单调递增的什么条件，（2）说明函数类型（3）说明解题过程，并说出已知原函数图像如何得导函数图像，如D 选项设计意图：通过三个小题的辨析，加深学生对导数与函数单调性关系的理解。

高二数学导数在函数中的应用

化妆。
慈悲 “慈”在字典上的意思是“和善”。当我们轻轻地念出“慈”的时候，心中会涌起感动。会想起慈母手中长长的丝线，会想到父亲远去的背影。我们还会想到慈眉善目，想到慈祥和慈悲…… 悲是人的七情之一，指痛彻心肺的哀伤，也包含着怜悯和凄凉，
比如悲歌悲剧悲欢离合…… 当慈和悲这两个字连在一起的时候，就发生了奇妙的变化。你会发现它们
住的眼波，却暗淡犹疑。请注意我的口唇！樱桃红的唇膏在呼吁。但轮廓鲜明的唇内吐出的话语，却肤浅苍白……化妆以醒目的色彩强调以至强迫人们注意的部位，却往往是最软弱的所在。磨砺内心比油饰外表要难得多，犹如水晶与玻璃的区别。不拥有美丽的女人，并非也不
拥有自信。美丽是一种天赋，自信却像树苗一样，可以播种可以培植可以蔚然成林可以直到地老天荒。我相信不化妆的微笑更纯洁而美好，我相信不化妆的目光更坦率而直诚，我相信不化妆的女人更有勇气直面人生。假若不是为了工作，假若不是出于礼仪，我这一生，将永不
列表： x (0,1) 1 (1,3) 3
(3,+∞)
f/(x) － 0 + 0 －
f(x)
极小
极大
极小值f (1) 7 m 极大值f (3) 15 6ln 3 m
兴的。不通过学习，难以明确恰当地将它表达出来。那些虽然拥有一技之长，但无法精彩地运用公共语言这种神圣的媒介，来沟通和解读自我心灵的人，难以算是一个有教养的人。技术是用来谋生的，而仅仅具有谋生的本领是不够的，就像豺狼也会自发地猎取食物一样，那是近乎无需教
育也可掌握的本能。而人，毫无疑问地应比豺狼更高一筹。一个有教养的人，对历史有恰如其分的了解，知道身而为人，我们走过了怎样曲折的道路。当然，教养并不能使每个人都像历史学家那样博古通今，但是教养却能使一个有思考爱好的人，知晓我们是从哪里来，要到哪里去。

高中数学第1章导数及其应用1.2.3导数的四则运算法则b22b高二22数学

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[解] (1)函数 y＝e2x＋1可看作函数 y＝eu 和 u＝2x＋1 的复合函数， ∴y′x＝y′u·ux′＝(eu)′(2x＋1)′＝2eu＝2e2x＋1． (2)函数 y＝2x－1 13可看作函数 y＝u－3 和 u＝2x－1 的复合函数， ∴y′x＝y′u·ux′＝(u－3)′(2x－1)′＝－6u－4 ＝－6(2x－1)－4＝－2x－6 14.
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二、复合函数的概念及求导法则
一般地，对于两个函数 y＝f(u)和 u＝g(x)，如果通过变量复合函数
u，y 可以表示成 x的函数(hánshù，) 那么称这个函数为函数 y 的概念
＝f(u)和 u＝g(x)的复合函数，记作 y＝f(g(x)) .
复合函数的求导法则
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[解析] (1)f′(x)＝sin θ·x2＋ 3cos θ·x， ∴f′(1)＝sin θ＋ 3cos θ＝2sinθ＋π3， ∵θ∈0，152π， ∴sinθ＋π3∈ 22，1， ∴2sinθ＋π3∈[ 2，2]．
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3．函数 f(x)＝sin(－x)的导函数 f′(x)＝________.
[解析] f′(x)＝[sin(－x)]′＝cos(－x)(－x)′ ＝－cos x. [答案] －cos x
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高二数学导数模块知识点总结(3篇)

高二数学导数模块知识点总结（3篇）高二数学导数模块知识点总结（精选3篇）高二数学导数模块知识点总结篇1导数：导数的意义-导数公式-导数应用(极值最值问题、曲线切线问题)1、导数的定义：在点处的导数记作：2、导数的几何物理意义：曲线在点处切线的斜率①=f/(_0)表示过曲线=f(_)上P(_0,f(_0))切线斜率。

V=s/(t)表示即时速度。

a=v/(t)表示加速度。

3、常见函数的导数公式:4、导数的四则运算法则：5、导数的应用：(1)利用导数判断函数的单调性：设函数在某个区间内可导,如果,那么为增函数;如果,那么为减函数;注意：如果已知为减函数求字母取值范围,那么不等式恒成立。

(2)求极值的步骤：①求导数;②求方程的根;③列表：检验在方程根的左右的符号，如果左正右负,那么函数在这个根处取得极大值;如果左负右正,那么函数在这个根处取得极小值;(3)求可导函数最大值与最小值的步骤：ⅰ求的根;ⅱ把根与区间端点函数值比较,最大的为最大值,最小的是最小值。

导数与物理，几何，代数关系密切：在几何中可求切线;在代数中可求瞬时变化率;在物理中可求速度、加速度。

学好导数至关重要，一起来学习高二数学导数的定义知识点归纳吧!导数是微积分中的重要基础概念。

当函数=f(_)的自变量_在一点_0上产生一个增量Δ_时，函数输出值的增量Δ与自变量增量Δ_的比值在Δ_趋于0时的极限a如果存在，a即为在_0处的导数，记作f(_0)或df(_0)/d_。

导数是函数的局部性质。

一个函数在某一点的导数描述了这个函数在这一点附近的变化率。

如果函数的自变量和取值都是实数的话，函数在某一点的导数就是该函数所代表的曲线在这一点上的切线斜率。

导数的本质是通过极限的概念对函数进行局部的线性逼近。

例如在运动学中，物体的位移对于时间的导数就是物体的瞬时速度。

不是所有的函数都有导数，一个函数也不一定在所有的点上都有导数。

若某函数在某一点导数存在，则称其在这一点可导，否则称为不可导。

高二数学导数的应用

导数的应用【知识梳理】1.函数的单调性：在某个区间（a ，b ）内，如果()0f x '>，那么函数()y f x =在这个区间内单调递增；如果()0f x '<，那么函数()y f x =在这个区间内单调递减.如果()0f x '=，那么函数()y f x =在这个区间上是常数函数.注：函数()y f x =在（a ，b ）内单调递增，则()0f x '≥，()0f x '>是()y f x =在（a ，b ）内单调递增的充分不必要条件.2.函数的极值：曲线在极值点处切线的斜率为0，并且，曲线在极大值点左侧切线的斜率为正，右侧为负；曲线在极小值点左侧切线的斜率为负，右侧为正.一般地，当函数()y f x =在点0x 处连续时，判断0()f x 是极大（小）值的方法是：（1）如果在0x 附近的左侧'()0f x > ，右侧'()0f x <，那么0()f x 是极大值. （2）如果在x 附近的左侧'()0f x < ，右侧'()0f x >，那么0()f x 是极小值.注：导数为0的点不一定是极值点【考点一：导数与函数的单调性】在某个区间（a ，b ）内，如果()0f x '>，那么函数()y f x =在这个区间内单调递增；如果()0f x '<，那么函数()y f x =在这个区间内单调递减.如果()0f x '=，那么函数()y f x =在这个区间上是常数函数.注：函数()y f x =在（a ，b ）内单调递增，则()0f x '≥，()0f x '>是()y f x =在（a ，b ）内单调递增的充分不必要条件.【例1】已知函数32()f x x bx cx d =+++的图象过点(0, 2)P ，且在点(1, (1))M f --处的切线方程为076=+-y x .（Ⅰ）求函数)(x f y =的解析式；（Ⅱ）求函数)(x f y =的单调区间.【解析】（Ⅰ）由)(x f 的图象经过(0, 2)P ，知2d =，所以32()2f x x bx cx =+++.所以2()32f x x bx c '=++.由在(1, (1))M f --处的切线方程是670x y -+=，知6(1)70f ---+=，即(1)1f -=，(1)6f -=′.所以326,12 1.b c b c -+=⎧⎨-+-+=⎩ 即23,0.b c b c -=⎧⎨-=⎩解得3b c ==-.故所求的解析式是32()332f x x x x =--+（Ⅱ）因为2()363f x x x '=--，令23630x x --=，即2210x x --=，解得 11x =21x =.当1x ≤1x ≥'()0f x ≥，当11x ≤≤'()0f x ≤，故32()332f x x x x =--+在(,1-∞内是增函数，在[1-+内是减函数，在[1)+∞内是增函数.【例2】若3()f x ax x =+在区间[－1，1]上单调递增，求a 的取值范围. 【解析】2()31f x ax '=+Q 又()f x 在区间[－1，1]上单调递增2()310f x ax '∴=+≥在[－1，1]上恒成立即213a x≥-在x ∈ [－1，1]时恒成立. 13a ∴≥-，a 的取值范围为1[,]3-+∞【例3】已知函数()ln f x x =，()(0)ag x a x=>，设()()()F x f x g x =+.（Ⅰ）求函数()F x 的单调区间；（Ⅱ）若以函数()((0,3])y F x x =∈图像上任意一点00(,)P x y 为切点的切线的斜率12k ≤恒成立，求实数a 的最小值；【解析】（Ⅰ）()()()()ln 0a F x f x g x x x x =+=+>，()()221'0a x aF x x x x x-=-=>∵0a >，由()()'0,F x x a >⇒∈+∞，∴()F x 在(),a +∞上单调递增. 由()()'00,F x x a <⇒∈，∴()F x 在()0,a 上单调递减. ∴()F x 的单调递减区间为()0,a ，单调递增区间为(),a +∞. （Ⅱ）()()2'03x aF x x x-=<≤，()()0020'03x a k F x x x -==<≤恒成立⇔200max12a x x ⎛⎫≥-+ ⎪⎝⎭ 当01x =时，20012x x -+取得最大值12.∴12a ≥，∴a m i n =12.【课堂练习】1.已知函数32()f x ax bx =+的图像经过点(1,4)M ，曲线在点M 处的切线恰好与直线90x y +=垂直.（Ⅰ）求实数,a b 的值；（Ⅱ）若函数()f x 在区间[,1]m m +上单调递增，求m 的取值范围. 【解析】（Ⅰ）32()f x ax bx =+的图象经过点(1,4)M ∴4a b +=∵2()32f x ax bx '=+，∴(1)32f a b '=+ 由已知条件知1(1)()19f '⋅-=- 即329a b +=∴解4329a b a b +=⎧⎨+=⎩得：13a b =⎧⎨=⎩（Ⅱ）由（Ⅰ）知32()3f x x x =+，2()36f x x x '=+令2()360f x x x '=+≥则2x ≤-或0x ≥∵函数()f x 在区间[,1]m m +上单调递增 ∴[,1](,2][0,)m m +⊆-∞-+∞U ∴0m ≥或12m +≤- 即0m ≥或3m ≤-2.设函数),(2131)(22R b a bx ax x x g ∈-+=，在其图象上一点P （x ，y ）处的切线的斜率记为).(x f （1）若方程)(,420)(x f x f 求和有两个实根分别为-=的表达式；（2）若22,]3,1[)(b a x g +-求上是单调递减函数在区间的最小值. 【解析】（1）根据导数的几何意义知b ax x x g x f -+='=2)()(，由已知-2、4是方程02=-+b ax x 的两个实根由韦达定理，82)(,8242422--=⎩⎨⎧=-=∴⎩⎨⎧-=⨯--=+-x x x f b a b a（2）)(x g 在区间[—1，3]上是单调递减函数，所以在[—1，3]区间上恒有,931931,0)3(0)1(]3,1[0)(,0)()(2222方内的点到原点距离的平可视为平面区域而也即即可这只需满足恒成立在即⎩⎨⎧≥-≥++⎩⎨⎧≥-≥+⎩⎨⎧≤≤--≤-+=≤-+='=a b b a b a a b b a f f b ax x x f b ax x x g x f其中点（—2，3）距离原点最近，所以当22,32b a b a +⎩⎨⎧=-=时有最小值133.已知函数 21()ln (1)2f x x m x m x =-+-，m ∈R .当 0m ≤ 时，讨论函数 ()f x 的单调性. 【解析】∵2(1)(1)()()(1)m x m x m x x m f x x m x x x+---+'=-+-==，（1）当10m -<≤时，若()0,,()0,()x m f x f x '∈->时为增函数；(),1,()0,()x m f x f x '∈-<时为减函数； ()1,,()0,()x f x f x '∈+∞>时为增函数.（2）当1m ≤-时，()0,1,()0,()x f x f x '∈>时为增函数；()1,,()0,()x m f x f x '∈-<时为减函数；(),,()0,()x m f x f x '∈-+∞>时为增函数.【考点二: 导数与函数的极值最值】1.求函数的极值的步骤:（1）确定函数的定义域，求导数'()f x . （2）求方程'()0f x =的根.（3）用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义域分成若干小开区间，并列成表格.检查'()f x 在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么)(x f 在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么)(x f 在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么)(x f 在这个根处无极值. 2.求函数在[,]a b 上最值的步骤：（1）求出()f x 在(,)a b 上的极值. （2）求出端点函数值(),()f a f b .（3）比较极值和端点值，确定最大值或最小值. 注:可导函数()y f x =在0x x =处取得极值是0'()0f x =的充分不必要条件. 【例4】若函数1()cos sin 22f x m x x =+在4x π=处取得极值，则m = .【解析】因为()f x 可导，且'()sin cos 2f x m x x =-+，所以'()sincos0442f m πππ=-+=，解得0m =.经验证当0m =时，函数1()sin 22=f x x 在4x π=处取得极大值.【例5】已知函数()()x f x x k e =-，（Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）求()f x 在区间[]0,1上的最小值.【解析】（Ⅰ）/()(1)xf x x k e =-+，令/()01f x x k =⇒=-，所以()f x 在(,1)k -∞-上递减，在(1,)k -+∞上递增；（Ⅱ）当10,1k k -≤≤即时，函数()f x 在区间[]0,1上递增，所以min ()(0)f x f k ==-；当011k <-≤即12k <≤时，由（Ⅰ）知，函数()f x 在区间[]0,1k -上递减，(1,1]k -上递增，所以1min ()(1)k f x f k e -=-=-；当11,2k k ->>即时，函数()f x 在区间[]0,1上递减，所以min ()(1)(1)f x f k e ==-.【例6】设1,2x x ==是()ln f x a x bx x =++函数的两个极值点.（1）试确定常数a 和b 的值；（2）试判断1,2x x ==是函数()f x 的极大值点还是极小值点，并求相应极值.【解析】（1）()'21,afx bx x=++ 由已知得：()()''210101204102a b f f a b ++=⎧⎧=⎪⎪⇒⎨⎨=++=⎪⎩⎪⎩ 2316a b ⎧=-⎪⎪∴⎨⎪=-⎪⎩（2）x 变化时.(),()f x f x '的变化情况如表：故在1x =处，函数()f x 取极小值56；在2x =处，函数()f x 取得极大值42ln 233-.【课堂练习】4.设ax x x x f 22131)(23++-=.若)(x f 在),32(+∞上存在单调递增区间，求a 的取值范围. 【解析】)(x f 在),32(+∞上存在单调递增区间，即存在某个子区间),32(),(+∞⊆n m 使得0)('>x f . 由a x a x x x f 241)21(2)(22'++--=++-=，)('x f 在区间),32[+∞上单调递减，则只需0)32('>f 即可.由0292)32('>+=a f 解得91->a ，所以，当91->a 时，)(x f 在),32(+∞上存在单调递增区间. 5.设()ln f x x =，()()()g x f x f x '=+.（1）求()g x 的单调区间和最小值；（2）讨论()g x 与1()g x的大小关系；【解析】（1）由题设知1()ln ,()ln f x x g x x x==+，∴21(),x g x x -'=令()g x '=0得x =1，当x ∈（0，1）时，()g x '＜0，()g x 是减函数，故（0，1）是()g x 的单调减区间. 当x ∈（1，+∞）时，()g x '＞0，()g x 是增函数，故()1,+∞是()g x 的单调递增区间，因此，x =1是()g x 的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点，所以()g x 的最小值为(1) 1.g =（2）1()ln g x x x =-+，设11()()()ln h x g x g x x x x=-=-+，则22(1)()x h x x -'=-，当1x =时，(1)0h =，即1()()g x g x=，当(0,1)(1,)x ∈⋃+∞时，()0h x '<，因此，()h x 在(0,)+∞内单调递减，当01x <<时，()(1)0h x h >=，即1()().g x g x< 6.已知函数32()3(36)124()f x x ax a x a a R =++-+-∈ （Ⅰ）证明：曲线()0y f x x ==在(2,2)的切线过点；（Ⅱ）若00()(1,3)f x x x x =∈在处取得极小值，，求a 的取值范围.【解析】（Ⅰ） 2()36(36)f x x ax a '=++-，(0)36f a '=-，又(0)124f a =-曲线()0y f x x ==在的切线方程是：(124)(36)y a a x --=-，在上式中令2x =，得2y =.所以曲线()0y f x x ==在(2,2)的切线过点；（Ⅱ）由()0f x '=得22120x ax a +--=，（i ）当11a ≤≤时，()f x 没有极小值；（ii ）当1a >或1a <时，由()0f x '=得12x a x a =-=-02x x =.由题设知13a <-，当1a >时，不等式13a <-无解；当1a <时，解不等式13a <-<得512a -<<综合（i ）（ii ）得a 的取值范围是5(,1)2-.【例7】当0x >时，求证1xe x >+【解析】设函数()(1)xf x e x =-+()1xf x e '=-Q当0x >时， 01x e e >=，()10xf x e '∴=->故()f x 在[0,)+∞递增，∴当0x >时，()(0)f x f >，又0(0)(10)0f e =-+=，()0f x ∴>，即(1)0xe x -+>，故1xe x >+.【例8】已知函数2()(1)ln 1f x a x ax =+++.（Ⅰ）讨论函数()f x 的单调性；（Ⅱ）设2a ≤-，证明：对任意12,(0,)x x ∈+∞，1212|()()|4||f x f x x x -≥-.【解析】（Ⅰ） f （x ）的定义域为（0，+∞），2121()2a ax a f x ax x x+++'=+=. 当a ≥0时，()f x '＞0，故f （x ）在（0，+∞）单调增加；当a ≤－1时，()f x '＜0，故f （x ）在（0，+∞）单调减少；当－1＜a ＜0时，令()f x '＝0，解得x当x ∈（0，()f x '＞0；x +∞）时，()f x '＜0，故f （x ）在（0，+∞）单调减少. （Ⅱ）不妨假设x 1≥x 2.由于a ≤－2，故f （x ）在（0，+∞）单调减少.所以1212()()4f x f x x x -≥-等价于1212()()44f x f x x x -≥-，即2211()4()4f x x f x x +≥+令()()4g x f x x =+，则1()2a g x ax x+'=++4＝2241ax x a x +++. 于是()g x '≤2441x x x -+-＝2(21)x x--≤0.从而()g x 在（0，+∞）单调减少，故12()()g x g x ≤，故对任意x 1，x 2∈（0，+∞），1212()()4f x f x x x -≥-.【例9】设函数2()(),f x x a x a R =-∈.（Ⅰ）若1x =为函数()y f x =的极值点，求实数a ；（Ⅱ）求实数a 的取值范围，使得对任意的x ∈(,2]-∞，恒有()f x ≤4成立. 【解析】（Ⅰ）)3)(()(a x a x x f --='，0)3)(1()1(=--='a a f解得1=a 或3=a ，检验知符合题意（Ⅱ）2()4x a x -≤在x ∈(,2]-∞时恒成立当0≤x 时，显然恒成立当02x <≤时由2()4x a x -≤得xx a 2≤-在x ∈(0,2]时恒成立x a x≤≤在x ∈(0,2]时恒成立令()()(0,2]g x x h x x x=-=+∈，xx x g 2)(-=在单调递增 ∴max ()(2)2g x g ==xx x x xx x h 111)(-=-='10<<x 时，)(x h 单调递减，12x <<时)(x h 单调递增∴3)1()(min ==h x h ∴23a ≤≤【课堂练习】 7.已知函数x a x x f ln 1)(-+=（R a ∈）（1）求f （x ）的单调区间；（2）证明：ln x <1+x【解析】（1）函数f （x ）的定义域为(0,)+∞，()a f x x '==①当0a ≤时，()f x '>0，f （x ）在(0,)+∞上递增②当0a >时，令2x =222440x a x a --=解得：22122222x a x a =-=+10x <（舍去），故在2(0,22a +上()f x '<0，f （x ）递减；在2(22)a ++∞上，()f x '>0，f （x ）递增.（2）由（1）知()ln g x x =在(0,2+内递减，在(2)++∞内递增.min [()](21ln(2g x g =+=+ln 1ln(2x ≥++，又因225e +<<故21ln(21ln 10e ++>+=>，ln x >8.已知函数()(1)ln 1f x x x x =+-+.（Ⅰ）若2'()1xf x x ax ≤++，求a 的取值范围；（Ⅱ）证明：(1)()0x f x -≥ . 【解析】（Ⅰ）11()ln 1ln x f x x x x x+'=+-=+， ()ln 1xf x x x '=+，题设2()1xf x x ax '≤++等价于ln x x a -≤. 令()ln g x x x =-，则1()1g x x'=- 当01x ＜＜，'()0g x ＞；当1x ≥时，'()0g x ≤，故1x =是()g x 的最大值点，()(1)1g x g =-≤，综上，a 的取值范围是[)1,-+∞.（Ⅱ）有（Ⅰ）知，()(1)1g x g =-≤即ln 10x x -+≤.当01x ＜＜时，()(1)ln 1ln (ln 1)0f x x x x x x x x =+-+=+-+≤；当1x ≥时，()ln (ln 1)f x x x x x =+-+1ln (ln 1)x x x x=++- 11ln (ln 1)x x x x=--+0≥所以(1)()0x f x -≥9.设函数321()(1)4243f x x a x ax a =--++，其中常数a >1 （Ⅰ）讨论f （x ）的单调性; （Ⅱ）若当x ≥0时，f （x ）>0恒成立，求a 的取值范围.【解析】（Ⅰ）)2)(2(4)1(2)(2a x x a x a x x f --=++-='由1>a 知，当2<x 时，0)(>'x f ，故)(x f 在区间)2,(-∞是增函数；当a x 22<<时，0)(<'x f ，故)(x f 在区间)2,2(a 是减函数；当a x 2>时，0)(>'x f ，故)(x f 在区间),2(+∞a 是增函数.综上，当1>a 时)(x f 在区间)2,(-∞和),2(+∞a 是增函数，在区间)2,2(a 是减函数（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当0≥x 时，)(x f 在a x 2=或0=x 处取得最小值.a a a a a a a f 2424)2)(1()2(31)2(23+⋅++-=aa a 2443423++-= af 24)0(=由假设知⎪⎩⎪⎨⎧>>>,0)0(,0)2(1f a f a 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>>-+->.024,0)6)(3(34,1a a a a a 解得1<a <6故a 的取值范围是（1，6）【例11】（两县城A 和B 相距20k m ，现计划在两县城外以AB 为直径的半圆弧上选择一点C 建造垃圾处理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的的距离有关，对城A 和城B 的总影响度为城A 与城B 的影响度之和，记C 点到城A 的距离为x k m ，建在C 处的垃圾处理厂对城A 和城B 的总影响度为y ，统计调查表明：垃圾处理厂对城A 的影响度与所选地点到城A 的距离的平方成反比，比例系数为4；对城B 的影响度与所选地点到城B 的距离的平方成反比，比例系数为k ，当垃圾处理厂建在的中点时，对城A 和城B 的总影响度为0.065.（1）将y 表示成x 的函数；（2）讨论（1）中函数的单调性，并判断弧上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对城A 和城B 的总影响度最小？若存在，求出该点到城A 的距离;若不存在，说明理由. 【解析】（1）如图，由题意知A C ⊥B C ，22400BC x =-，224(020)400k y x x x=+<<- AB C x其中当102x=时，y=0.065，所以k=9所以y表示成x的函数为2249(020)400y xx x=+<<-（2）2249400yx x=+-，42232232289(2)188(400)'(400)(400)x x xyx x x x⨯---=--=--，令'0y=得422188(400)x x=-，所以2160x=，即410x=，当0410x<<时，422188(400)x x<-，即'0y<，故函数为减函数，当4620x<<时，422188(400)x x>-，即'0y>，故函数为增函数.所以当410x=时，即当C点到城A的距离为410时，函数2249(020)400y xx x=+<<-有最小值.【课堂练习】10.某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：米），其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的体积为803π立方米，且2l r≥.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关.已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为(3)c c＞千元，设该容器的建造费用为y千元.（Ⅰ）写出y关于r的函数表达式，并求该函数的定义域；（Ⅱ）求该容器的建造费用最小时的r.【解析】（Ⅰ）设容器的容积为V，由题意知23480,,33V r l r Vπππ=+=又故322248044203()333V rl r rr r rππ-==-=-由于2l r≥，因此0 2.r<≤所以建造费用2224202342()34,3y rl r c r r r crππππ=⨯+=⨯-⨯+因此21604(2),0 2.y c r rrππ=-+<≤（Ⅱ）由（Ⅰ）得3221608(2)20'8(2)(),0 2.2cy c r r rr r cπππ-=--=-<<-由于3,20,c c >->所以当3200,2r r c -==-时,m =则0m >，所以2228(2)'()().c y r m r rm m r π-=-++ ①当9022m c <<>即时， ''∈'∈当r=m 时,y =0;当r (0,m)时,y <0;当r (m,2)时,y >0.所以r m =是函数y 的极小值点，也是最小值点. ②当2m ≥即932c <≤时，当(0,2),'0,r y ∈<时函数单调递减，所以r =2是函数y 的最小值点，综上所述，当932c <≤时，建造费用最小时2;r = 当92c >时，建造费用最小时r = 【巩固练习】基础训练（A 类）1.曲线2xy x =-在点(1,1)-处的切线方程为（） ()2A y x =- ()32B y x =-+ ()23C y x =- ()21D y x =-+ 2.曲线2xy x =+在点（-1，-1）处的切线方程为（）（A ）y =2x +1 （B ）y =2x -1 （C ） y =-2x -3 （D ）y =-2x -2 3.若曲线2y x ax b =++在点(0,)b 处的切线方程是10x y -+=，则（）（A ）1,1a b == （B ） 1,1a b =-= （C ） 1,1a b ==- （D ） 1,1a b =-=- 4.函数f （x ）=x l nx （x >0）的单调递增区间是 .5.若函数2()1x af x x +=+在1x =处取极值，则a =6.设函数32()63(2)2f x x a x ax =+++.（1）若()f x 的两个极值点为12,x x ，且121x x =，求实数a 的值；（2）是否存在实数a ，使得()f x 是(,)-∞+∞上的单调函数？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由.7.设函数()sin cos 1 , 02f x x x x x π=-++<<，求函数()f x 的单调区间与极值.8.设函数2()ln()f x x a x =++，（Ⅰ）若当1x =-时，()f x 取得极值，求a 的值，并讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）若()f x 存在极值，求a 的取值范围，并证明所有极值之和大于eln 2.9.设函数2()ln f x ax b x =+，其中0ab ≠.证明：当0ab >时，函数()f x 没有极值点；当0ab <时，函数()f x 有且只有一个极值点，并求出极值.10.设函数f （x ）=x 2+b l n （x +1），其中b ≠0. （Ⅰ）当b >21时，判断函数f （x ）在定义域上的单调性；（Ⅱ）求函数f （x ）的极值点；（Ⅲ）证明对任意的正整数n ，不等式l n （3211)11(n n n ->+）都成立.【参考答案】1.【答案】 D 【解析】 2222(2)(2)x x y x x ---'==--，222(12)k -==--， ∴切线方程为12(1)y x +=--，即21y x =-+.2.【答案】A 【解析】22(2)y x '=+，所以12x k y =-'==，故切线方程为21y x =+.3.【答案】A 【解析】∵2x y x aa='=+=，∴ 1a =，(0,)b 在切线10x y -+=，∴ 1b =4.【答案】1(,)e+∞【解析】由()ln 10f x x '=+>可得1x e> 5.【答案】3【解析】'()f x ＝222(1)()(1)x x x a x +-++，f ′（1）＝34a -＝0 ⇒ a ＝3 6.【解析】2()186(2)2f x x a x a '=+++ （1）由已知有12()()0f x f x ''==，从而122118ax x ==，所以9a =；（2）由2236(2)418236(4)0a a a ∆=+-⨯⨯=+>，所以不存在实数a ，使得()f x 是R 上的单调函数.7.【解析】由()sin cos 1,02,()12sin()4f x x x x x f x x ππ'=-++<<=++知()0f x '=令，从而23sin(),,422x x x πππ+=-==得或当x 变化时，(),()f x f x '变化情况如下表：3223332222πππππππππ+因此，由上表知f(x)的单调递增区间是（0，）与（，），单调递增区间是（，），极小值为f()=，极大值为f()=8.【解析】（Ⅰ）1()2f x x x a'=++，依题意有(1)0f '-=，故32a =.从而2231(21)(1)()3322x x x x f x x x ++++'==++. ()f x 的定义域为32⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，∞，当312x -<<-时，()0f x '>；当112x -<<-时，()0f x '<；当12x >-时，()0f x '>.从而，()f x 分别在区间31122⎛⎫⎛⎫---+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，∞单调增加，在区间112⎛⎫-- ⎪⎝⎭，单调减少. （Ⅱ）()f x 的定义域为()a -+，∞，2221()x ax f x x a++'=+. 方程22210x ax ++=的判别式248a ∆=-. （ⅰ）若0∆<，即a <<()f x 的定义域内()0f x '>，故()f x 的极值（ⅱ）若0∆=，则a =a =若a =()x ∈+，2()f x '=.当2x =-时，()0f x '=，当22x ⎛⎫⎛⎫∈--+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U ，∞时，()0f x '>，所以()f x 无极值.若a =)x ∈+，2()0f x '=>，()f x 也无极值. （ⅲ）若0∆>，即a >a <则22210x ax ++=有两个不同的实根12a x -=，2x =当a <12x a x a <-<-，，从而()f x '在的定义域内没有零点，故()f x 无极值.当a >1x a >-，2x a >-，()f x '在()f x 的定义域内有两个不同的零点，由根值判别方法知()f x 在12x x x x ==，取得极值. 综上，()f x 存在极值时，a的取值范围为)+.()f x 的极值之和为2221211221()()ln()ln()ln 11ln 2ln 22e f x f x x a x x a x a +=+++++=+->-=.9.【解析】因为2()ln 0f x ax b x ab =+≠，，所以()f x 的定义域为(0)+∞，.()f x '222b ax bax x x+=+=.当0ab >时，如果00()0()a b f x f x '>>>，，，在(0)+∞，上单调递增；如果00()0()a b f x f x '<<<，，，在(0)+∞，上单调递减. 所以当0ab >，函数()f x 没有极值点.当0ab <时，2()a x x f x x⎛ ⎝⎭⎝⎭'= 令()0f x '=，得1(0)x =+∞，（舍去），2(0,),x =+∞，当00a b ><，时，()()f x f x '，随x 的变化情况如下表：从上表可看出，函数()f x 有且只有一个极小值点，极小值为1ln 22b b f a ⎡⎤⎛⎫=--- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦. 当00a b <>，时，()()f x f x '，随x 的变化情况如下表：从上表可看出，函数()f x 有且只有一个极大值点，极大值为1ln 22b b f a ⎡⎤⎛⎫=--- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦. 综上所述，当0ab >时，函数()f x 没有极值点；当0ab <时，若00a b ><，时，函数()f x 有且只有一个极小值点，极小值为1ln 22b b a ⎡⎤⎛⎫--- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦. 若00a b <>，时，函数()f x 有且只有一个极大值点，极大值为1ln 22b b a ⎡⎤⎛⎫--- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦. 10.【解析】（Ⅰ）函数2()ln(1)f x x b x =++的定义域为()1,-+∞.222'()211b x x bf x x x x ++=+=++，令2()22g x x x b =++，则()g x 在1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上递增，在11,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭上递减，故min 11()()22g x g b =-=-+. 当12b >时，min 1()02g x b =-+>，2()220g x x x b =++>在()1,-+∞上恒成立. '()0,f x ∴>即当12b >时，函数()f x 在定义域()1,-+∞上单调递增. （Ⅱ）分以下几种情形讨论：（1）由（I ）知当12b >时函数()f x 无极值点. （2）当12b =时，212()2'()1x f x x +=+， 11,2x ⎛⎫∴∈-- ⎪⎝⎭时，'()0,f x >1,2x ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭时，'()0,f x >12b ∴=时，函数()f x 在()1,-+∞上无极值点. （3）当12b <时，解'()0f x =得两个不同解1x =，2x =.当0b <时，11x =<-，21x =>-，()()121,,1,,x x ∴∉-+∞∈-+∞此时()f x 在()1,-+∞上有唯一的极小值点2x =.当102b <<时，()12,1,,x x ∈-+∞ '()f x 在()()121,,,x x -+∞都大于0，'()f x 在12(,)x x 上小于0 ，此时()f x有个极大值点1x =2x =.综上可知，0b <时，()f x 在()1,-+∞上有唯一的极小值点2x =；102b <<时，()f x有一个极大值点1x =和一个极小值点212x -+=；12b ≥时，函数()f x 在()1,-+∞上无极值点. （Ⅲ）当1b =-时，2()ln(1).f x x x =-+令332()()ln(1),h x x f x x x x =-=-++则32'3(1)()1x x h x x +-=+在[)0,+∞上恒正，()h x ∴在[)0,+∞上单调递增，当()0,x ∈+∞时，恒有()(0)0h x h >=.即当()0,x ∈+∞时，有32ln(1)0,x x x -++>23ln(1)x x x +>-，对任意正整数n ，取1x n =得23111ln(1)n n n +>-提高训练（B 类）1．曲线12ex y =在点2(4e )，处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（）Ａ.29e 2Ｂ.24eＣ.22eＤ.2e2.设函数1()ln (0),3f x x x x =->则()y f x = （） A 在区间1(,1),(1,)e e 内均有零点.B 在区间1(,1),(1,)e e 内均无零点.C 在区间1(,1)e 内有零点，在区间(1,)e 内无零点.D 在区间1(,1)e内无零点，在区间(1,)e 内有零点.3. 若曲线2()ln f x ax x =+存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是 . 4.已知定义在正实数集上的函数221()2,()3ln 2f x x axg x a x b =+=+，其中0a >.设两曲线(),()y f x y g x ==有公共点，且在公共点处的切线相同.（1）若1a =，求b 的值；（2）用a 表示b ，并求b 的最大值.5.已知函数32()212f x mx nx x =+-的减区间是(2,2)-. （1）试求m 、n 的值；（2）求过点(1,11)A -且与曲线()y f x =相切的切线方程；（3）过点A （1，t ）是否存在与曲线()y f x =相切的3条切线，若存在求实数t 的取值范围；若不存在，请说明理由.6.已知函数()32f x x ax bx c =-+++图像上的点()1,2P -处的切线方程为31y x =-+.（1）若函数()f x 在2x =-时有极值，求()f x 的表达式（2）函数()f x 在区间[]2,0-上单调递增，求实数b 的取值范围7.设函数2132()x f x x eax bx -=++，已知2x =-和1x =为()f x 的极值点.（Ⅰ）求a 和b 的值；（Ⅱ）讨论()f x 的单调性；（Ⅲ）设322()3g x x x =-，试比较()f x 与()g x 的大小.8.已知函数32()(3)xf x x x ax b e -=+++ （Ⅰ）如果3a b ==-，求()f x 的单调区间；（Ⅱ）若()f x 在(,),(2,)αβ-∞单调增加，在(,2),(,)αβ+∞单调减少，证明βα-＜6.9.设函数1()(,)f x ax a b Z x b=+∈+，曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程为3y =. （Ⅰ）求()y f x =的解析式：（Ⅱ）证明：函数()y f x =的图像是一个中心对称图形，并求其对称中心；（Ⅲ）证明：曲线()y f x =上任一点的切线与直线1x =和直线y x =所围三角形的面积为定值，并求出此定值.【参考答案】1.【答案】D【解析】已知11221(),2x x y e e ''⇒==曲线在点2(4e )，处的切线斜率为212e ，因此切线方程为221(4),2y e e x -=-则切线与坐标轴交点为2(2,0),(0,),A B e - 所以221||2.2AOB S e e ∆=-⨯= 2.【答案】D【解析】由题得'113()33x f x x x-=-=，令'()0f x >得3>x ；令'()0f x <得30<<x ；'()0f x =得3=x ，故知函数)(x f 在区间)3,0(上为减函数，在区间),3(+∞为增函数，在点3=x 处有极小值03ln 1<-；又()0131)1(,013,31)1(>+=<-==ee f e e f f ，故选择D.3.【答案】(),0-∞【解析】由题意该函数的定义域0x>，由()12f x axx'=+.因为存在垂直于y轴的切线，故此时斜率为0，问题转化为0x>范围内导函数()12f x axx'=+存在零点.解法1（图像法）再将之转化为()2g x ax=-与()1h xx=存在交点.当0a=不符合题意，当0a>时，如图1，数形结合可得显然没有交点，当0a<如图2，此时正好有一个交点，故有0a<应填(),0-∞或是{}|0a a<.解法2 （分离变量法）上述问题也可等价于方程120axx+=在()0,+∞内有解，显然可得()21,02ax=-∈-∞4.【解析】（1）设()y f x=与()(0)y g x x=>在公共点00(,)x y处的切线相同，3'()2,'()f x xg xx=+=由题意知0000()(),'()'()f xg x f x g x==，∴2000123ln232x x x bxx⎧+=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩由32xx+=得，1x=，或3x=-（舍去）则有52b=（2）设()y f x=与()(0)y g x x=>在公共点00(,)x y处的切线相同23'()2,'()af x x ag xx=+=由题意知0000()(),'()'()f x g x f x g x ==，∴22000200123ln 232x ax a x b a x a x ⎧+=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩由20032a x a x +=得，0x a =，或03x a =-（舍去）即有222221523ln 3ln 22b a a a a a a a =+-=- 令225()3ln (0)2h t t t t t =->，则'()2(13ln )h t t t =-，于是当2(13ln )0t t ->，即130t e <<时，'()0h t >；当2(13ln )0t t -<，即13t e >时，'()0h t <故()h t 在(0,)+∞的最大值为12333()2h e e =，故b 的最大值为2332e5.【解析】⑴ 由题意知：2()34120f x mx nx '=+-<的解集为(2,2)-，所以-2和2为方程234120mx nx +-=的根，由韦达定理知 4120433n ,m m-=--=，即m =1，n =0. ⑵ ∵3()12f x x x =-，∴2()312f x x '=-，∵3(1)112111f =-⋅=- 当A 为切点时，切线的斜率 (1)3129k f '==-=-， ∴切线为119(1)y x +=--，即920x y ++=；当A 不为切点时，设切点为00(,())P x f x ，这时切线的斜率是200()312k f x x '==-，切线方程为000()()()y f x f x x x '-=-，即23003(4)2y x x x =--因为过点A （1，-11），2300113(4)2x x -=--，∴3202310,x x -+=200(1)(21)0x x -+=， ∴ 01x =或012x =-，而01x =为A 点，即另一个切点为147(,)28P -， ∴ 1145()312244k f '=-=⨯-=-，切线方程为 4511(1)4y x +=--，即 45410x y +-=所以，过点(1,11)A -的切线为920x y ++=或45410x y +-=.⑶ 存在满足条件的三条切线. 设点00(,())P x f x 是曲线3()12f x x x =-的切点，则在P 点处的切线的方程为 000()()()y f x f x x x '-=-即23003(4)2y x x x =--因为其过点A （1，t ），所以，23320003(4)22312t x x x x =--=-+-，由于有三条切线，所以方程应有3个实根，设32()2312g x x x t =-++，只要使曲线有3个零点即可. 设 2()66g x x x '=-=0， ∴ 01x x ==或分别为()g x 的极值点，当(,0)(1,)和x ∈-∞+∞时()0g x '>，()g x 在(,0)-∞和 (1,)+∞上单增，当(0,1)x ∈时()0g x '<，()g x 在(0,1)上单减，所以，0x =为极大值点，1x =为极小值点.所以要使曲线与x 轴有3个交点，当且仅当(0)0(1)0g g >⎧⎨<⎩即120110t t +>⎧⎨+<⎩，解得1211t -<<-.6.【解析】()'232fx x ax b =-++，因为函数()f x 在1x =处的切线斜率为-3，所以()'1323f a b =-++=-，即20a b +=，又()112f a b c =-+++=-得1a b c ++=-（1）函数()f x 在2x =-时有极值，所以()'21240f a b -=--+=，解得2,4,3a b c =-==-，所以()32243f x x x x =--+-.（2）因为函数()f x 在区间[]2,0-上单调递增，所以导函数()'23fx x bx b =--+在区间[]2,0-上的值恒大于或等于零，则()()'21220,'00,f b b f b -=-++≥⎧⎪⎨=≥⎪⎩得4b ≥，所以实数b 的取值范围为[)4,+∞7.【解析】（Ⅰ）因为122()e (2)32x f x x x ax bx -'=+++1e (2)(32)x x x x ax b -=+++，又2x =-和1x =为()f x 的极值点，所以(2)(1)0f f ''-==，因此6203320a b a b -+=⎧⎨++=⎩，，解方程组得13a =-，1b =-.（Ⅱ）因为13a =-，1b =-，所以1()(2)(e 1)x f x x x -'=+-，令()0f x '=，解得12x =-，20x =，31x =.因为当(2)x ∈-∞-，(01)U ，时，()0f x '<；当(20)(1)x ∈-+∞U ，，时，()0f x '>. 所以()f x 在(20)-，和(1)+∞，上是递增的；在(2)-∞-，和(01)，上是递减的. （Ⅲ）由（Ⅰ）可知21321()e3x f x x x x -=--，故21321()()e (e )x x f x g x x x x x ---=-=-，令1()ex h x x -=-，则1()e 1x h x -'=-.令()0h x '=，得1x =，因为(]1x ∈-∞，时，()0h x '≤，所以()h x 在(]1x ∈-∞，上单调递减.故(]1x ∈-∞，时，()(1)0h x h =≥；因为[)1x ∈+∞，时，()0h x '≥，所以()h x 在[)1x ∈+∞，上单调递增. 故[)1x ∈+∞，时，()(1)0h x h =≥.所以对任意()x ∈-∞+∞，，恒有()0h x ≥，又20x ≥，因此()()0f x g x -≥，故对任意()x ∈-∞+∞，，恒有()()f x g x ≥. 8.【解析】（Ⅰ）当3a b ==-时，32()(333)xf x x x x e -=+--，故322'()(333)(363)xx f x x x x ex x e --=-+--++-3(9)x e x x --=--(3)(3)x x x x e -=--+当3x <-或03'()0;x f x <<>时，当303'()0.x x f x -<<><或时，从而()(,3),(0,3)303f x -∞--+∞在单调增加，在（，），（，）单调减少.（Ⅱ）3223'()(3)(36)[(6)].xx x f x x x ax b ex x a e e x a x b a ---=-++++++=-+-+-由条件得：3'(2)0,22(6)0,4,f a b a b a =+-+-==-即故从而3'()[(6)42].xf x e x a x a -=-+-+-因为'()'()0,f f αβ==所以3(6)42(2)()()x a x a x x x αβ+-+-=---2(2)(()).x x x αβαβ=--++将右边展开，与左边比较系数得，2, 2.a αβαβ+=-=-故βα-==又(2)(2)0,2()40.βααβαβ--<-++<即由此可得 6.a <- 于是 6.βα->9.【解析】（Ⅰ）21()()f x a x b '=-+，于是2123,210.(2)a b a b ⎧+=⎪+⎪⎨⎪-=+⎪⎩解得1,1,a b =⎧⎨=-⎩ 或9,48.3a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩因为,a b Z ∈，所以1()1f x x x =+-. （Ⅱ）已知函数121,y x y x ==都是奇函数，所以函数1()g x x x =+也是奇函数，其图像是以原点为中心的中心对称图形.而函数1()111f x x x =-++-. 可知，函数()g x 的图像按向量a =(1,1)平移，即得到函数()f x 的图象，故函数()y f x =的图像是以点(1,1)为中心的中心对称图形.（Ⅲ）在曲线上任一点0001(,)1x x x +-. 由'0201()1(1)f x x =--知，过此点的切线方程为 200020011[1]()1(1)x x y x x x x -+-=----.令1x =得0011x y x +=-，切线与直线1x =交点为001(1,)1x x +-. 令y x =得021y x =-，切线与直线y x =交点为00(21,21)x x --. 直线1x =与直线y x =的交点为（1，1）.从而所围三角形的面积为0000011121211|22|22121x x x x x +---=-=--.所以，所围三角形的面积为定值2.综合迁移（C 类）1.已知函数1()ln(1),1)nf x a x x =+--（其中*,n N ∈a 为常数. （Ⅰ）当2n =时，求函数()f x 的极值；（Ⅱ）当1a =时，证明：对任意的正整数n ，当2x ≥时，有() 1.f x x ≤-2.已知函数xax x f -=ln )(，x ax x f x g ln 6)()(-+=，其中∈a R . （Ⅰ）讨论)(x f 的单调性；（Ⅱ）若)(x g 在其定义域内为增函数，求正实数a 的取值范围；3.设.ln 2)(x xkkx x f --= （1）若0)2(='f ，求过点（2，)2(f ）的直线方程；（2）若)(x f 在其定义域内为单调增函数，求k 的取值范围.4. 已知函数x m x m x x f )6()3(2131)(23+++-=，x ∈R .（其中m 为常数）（ⅠI ）当m =4时，求函数的极值点和极值；（Ⅱ）若函数)(x f y =在区间（0，+∞）上有两个极值点，求实数m 的取值范围.5. 已知函数32()2f x x ax x =+++.（Ⅰ）若1a =-，令函数()2()g x x f x =-，求函数()g x 在(1,2)-上的极大值、极小值；（Ⅱ）若函数()f x 在1(,)3-+∞上恒为单调递增函数，求实数a 的取值范围.6.已知函数3()(0)f x ax cx d a =++≠是R 上的奇函数，当1x =时()f x 取得极值2-.（1）求()f x 的单调区间和极大值；（2）证明对任意12,x x (1,1),∈-不等式12|()()|4f x f x -<恒成立.7.已知函数32()f x ax bx =+的图象经过点(1,4)M ，曲线在点M 处的切线恰好与直线90x y +=垂直.（1）求实数,a b 的值.（2）若函数()f x 在区间[,1]m m +上单调递增，求m 的取值范围.8.已知函数2()(1)xf x e x ax =++.（Ⅰ）若曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线与x 轴平行，求a 的值；（Ⅱ）求函数()f x 的极值.9.已知函数2()(33)xf x x x e =-+⋅，其定义域为[]2,t - （2t >-），设(2),()f m f t n -==.（1）试确定t 的取值范围，使得函数()f x 在[]2,t -上为单调函数；（2）试判断,m n 的大小并说明理由.10.已知函数)(x f 满足C x x f x x f +-⎪⎭⎫⎝⎛+=2332')(（其中⎪⎭⎫ ⎝⎛32'f 为)(x f 在点32=x 处的导数，C 为常数）.（1）求⎪⎭⎫⎝⎛32'f 的值；（2）求函数)(x f 的单调区间；（3）设函数xe x xf xg ⋅-=])([)(3，若函数)(x g 在]2,3[-∈x 上单调，求实数C 的取值范围.【参考答案】1.【解析】（Ⅰ）由已知得函数()f x 的定义域为{}|1x x >，当2n =时，21()ln(1)(1)f x a x x =+--，所以232(1)()(1)a x f x x --'=-.①当0a >时，由()0f x '=得111x =+>，211x =<，此时123()()()(1)a x x x x f x x ---'=-. 当1(1)x x ∈，时，()0f x '<，()f x 单调递减；当1()x x ∈+∞，时，()0f x '>，()f x 单调递增. ②当0a ≤时，()0f x '<恒成立，所以()f x 无极值. 综上所述，2n =时，当0a ≤时，()f x 无极值当0a >时，()f x 在1x =极小值为211ln 2a f a ⎛⎛⎫=+ ⎪⎝⎭⎝. （Ⅱ）当1a =时，1()ln(1)(1)nf x x x =+--.当2x ≥时，对任意的正整数n ，恒有11(1)nx -≤，故只需证明1ln(1)1x x +--≤.令()1(1ln(1))2ln(1)h x x x x x =--+-=---，[)2x ∈+∞，，则12()111x h x x x -'=-=--，当2x ≥时，()0h x '≥，故()h x 在[)2+∞，上单调递增，因此当2x ≥时，()(2)0h x h =≥，即1ln(1)1x x +--≤成立.故当2x ≥时，有1ln(1)1(1)nx x x +---≤.即()1f x x -≤.2.【解析】（Ⅰ）)(x f 的定义域为),0(+∞，且2)('x ax x f +=， ①当0≥a 时，0)('>x f ，)(x f 在),0(+∞上单调递增；②当0<a 时，由0)('>x f ，得a x ->；由0)('<x f ，得a x -<；故)(x f 在),0(a -上单调递减，在),(+∞-a 上单调递增. （Ⅱ）x xaax x g ln 5)(--=，)(x g 的定义域为),0(+∞ 22255)('x ax ax x x a a x g +-=-+=因为)(x g 在其定义域内为增函数所以),0(+∞∈∀x ，0)('≥x gmax222215155)1(05⎥⎦⎤⎢⎣⎡+≥⇔+≥⇔≥+⇔≥+-⇔x x a x x a x x a a x ax 而2515152≤+=+xx x x ，当且仅当1=x 时取等号，所以25≥a 3.【解析】（1）由x x kkx x f ln 2)(--=得22222)(xk x kx x x k k x f +-=-+=' 故,540444)2(=∴=+-='k k k f ∵2ln 2254254)2(--⨯=f 2ln 256-=故过点（2，)2(f ）的直线方程为)1(02ln 256-=+-x y ，即2ln 256-=y（2）由22222()k kx x kf x k x x x -+'=+-=令)(,2)(2x f k x kx x h 要使+-=在其定义域（0，+∞）上单调递增. 只需0)(:),0()(≥+∞x h x h 内满足在恒成立由),0(1212020)(22+∞∈+=+≥≥+-≥x xx x xk k x kx x h 在即得上恒成立。

高二数学知识点(15篇)

高二数学(shùxué)知识点(15篇)高二数学(shùxué)知识点(15篇)高二数学(shùxué)知识点1一、导数(dǎo shù)的应用1.用导数研究(yánjiū)函数的最值确定函数在其确定的定义域内可导(通常为开区间)，求出导函数在定义域内的零点，研究在零点左、右的函数的单调性，假设左增，右减，那么在该零点处，函数去极大值;假设左边减少，右边增加，那么该零点处函数取极小值。

学习了如何用导数研究函数的最值之后，可以做一个有关导数和函数的综合题来检验下学习成果。

2.生活中常见的函数优化问题1)费用、本钱最省问题2)利润、收益最大问题3)面积、体积最(大)问题二、推理与证明1.归纳推理：归纳推理是高二数学的一个重点内容，其难点就是有局部结论得到一般结论，破解的方法是充分考虑局部结论提供的信息，从中发现一般规律;类比推理的难点是发现两类对象的相似特征，由其中一类对象的特征得出另一类对象的特征，破解的方法是利用已经掌握的数学知识，分析两类对象之间的关系，通过两类对象的相似特征得出所需要的相似特征。

2.类比推理：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理，简而言之，类比推理是由特殊到特殊的推理。

三、不等式对于含有参数的一元二次不等式解的讨论1)二次项系数：如果二次项系数含有字母，要分二次项系数是正数、零和负数三种情况进行讨论。

2)不等式对应方程的根：如果一元二次不等式对应的方程的根能够通过因式分解的方法求出来，那么根据这两个根的大小进行分类讨论，这时，两个根的大小关系就是分类标准，如果一元二次不等式对应的方程根不能通过因式分解的方法求出来，那么根据方程的判别式进行分类讨论。

通过不等式练习题能够帮助你更加熟练的运用不等式的知识点，例如用放缩法证明不等式这种技巧以及利用均值不等式求最值的九种技巧这样的解题思路需要再做题的过程中总结出来。

高二数学导数的定义及其几何意义的应用例题+方法总结+课后作业

导数的概念及几何意义知识点一、导数的概念1．导数的概念设函数=()y f x ，当自变量x 从0x 变1x 时，函数值从()0f x 变到()1f x ，函数值关于x 的平均变化率为()()()()100010=f x f x f x x f x y x x x x-+∆-∆=∆-∆，当1x 趋于0x ，即x ∆趋于0时，如果平均变化率趋于一个固定的值，那么这个值就是函数=()y f x 在0x 点的导数，通常用符号()0'f x ‘表示，记作 ()()()xx f x x f x yx f x x ∆-∆+=∆∆'→∆→∆00000lim lim＝注意：（1）导数的本质就是函数的平均变化率在某点处的极限，即瞬时变化率．如瞬时速度即是位移在这一时刻的瞬间变化率．（2）对于不同的实际问题，平均变化率富于不同的实际意义．如位移运动中，位移S 从时间1t 到2t 的平均变化率即为1t 到2t 这段时间的平均速度．（3）增量x ∆可以是正数，也可以是负，但是不可以等于0．0x ∆→的意义：x ∆与0之间距离要多近有多近，即|0|x ∆-可以小于给定的任意小的正数．（4）0x ∆→时，Δy 在变化中都趋于0，但它们的比值却趋于一个确定的常数．即存在一个常数与00()()f x x f x y x x+∆-∆=∆∆无限接近．（5）函数=()y f x 在0x 点的导数还可以用符号0'|x x y =表示．知识点二、导数的几何意义已知点00(,)P x y 是曲线=()y f x 上一定点，点00(,)Q x x y y +∆+∆是曲线=()y f x 上的()0'f x ‘表示曲线=()y f x 在0x x =处的切线的斜率，即()0'=tan f x α‘（α为切线的倾斜角）动点，我们知道平均变化率yx∆∆表示割线PQ 的斜率．如图所示：当点Q 无限接近于点P ，即0x ∆→时，割线PQ 的极限位置直线PT 叫做曲线在点P 处的切线．也就是：当0x ∆→时，割线PQ 斜率的极限，就是切线的斜率．即：0000()()limlim ()x x f x x f x yk f x x x∆→∆→+∆-∆'===∆∆．注意：（1）曲线上一点切线的斜率值只与该点的位置有关．（2）关于切线有两种不同的说法，求法也不同，具体求法与步骤参考类型二：①曲线在点P 处的切线：点P 在曲线上，在点P 处作曲线的切线（P 是切点），此时数量唯一．②曲线经过点P 处的切线：点P 位置不确定（在曲线上或曲线外），过点P 作曲线上任意位置的切线（只要切线经过点P 即可），数量不唯一．（3）直线与曲线相切⎫直线和曲线有1个公共点；有别于直线和圆，如图，直线l 2与曲线C 有唯一公共点M ，但我们不能说直线l 2与曲线C 相切；而直线l 1尽管与曲线C 相切，却有不止一个公共点．这也是我们用割线的极限位置来定义切线，而不说“与曲线只有一个公共点的直线叫做切线”的原因．知识点三、导数的物理意义在物理学中，如图物体运动的规律是()=s s t ，那么该物体在时刻0t 的瞬时速度v 就是()=s s t 在0=t t 时的导数，即()0='v s t ；如果物体运动的速度随时间变化的规律是()v v t =，那么物体在时刻0t 的瞬时加速度a 就是()v v t =在0=t t 时的导数，即()0'a v t =．题型一、导数定义的应用例1．用导数的定义，求函数()y f x==x =1处的导数．【总结升华】利用定义求函数的导数值，有三步，即三步求导法，具体步骤如下：（1）求函数的增量：00()()y f x x f x ∆=+∆-；（2）求平均变化率：00()()f x x f x y x x+∆-∆=∆∆；（3）求极限，得导数：00000()()'()lim lim x x f x x f x yf x x x∆→∆→+∆-∆==∆∆．【变式1】已知函数()2=f x x x -+的图象上的一点)2,1(--A 及临近一点)2,1(y x B ∆+-∆+-，则=∆∆xy，()'1=f - ．【变式2】求函数 2()3f x x =在x =1处的导数．【变式3】求函数()2f x x x =-+在1x =-附近的平均变化率，并求出在该点处的导数．例2．已知函数()24f x x=，求()f x '．【变式1】求函数y =在(0,)+∞内的导函数．【变式2】已知()f x =，求'()f x ，'(2)f ．例3（1）若0'()2f x =，则000()()lim2k f x k f x k→--=________．()2若(3)2f '=，则1(3)(12)lim 1x f f x x →-+=-【变式1】函数)(x f 满足2)1('=f ，则当x 无限趋近于0时，（1）=-+xf x f 2)1()1( ；（2）=-+xf x f )1()21( ．【变式2】若0'()f x a = （1）求()()xx f x x f x ∆-∆-→∆000lim的值；（2）求000()()lim x f x x f x x x∆→+∆--∆∆的值．【变式3】设函数()f x 在点x 0处可导，则000()()lim2h f x h f x h h→+--=________．题型二、求曲线的切线方程方法总结：1.求曲线()y f x =在0x x =处切线的步骤：（1）先求()0'f x ，即曲线()y f x =在))((00x f x P ，处切线的斜率．（2）再求()0f x ，则切线过点()()00x f x ，；（2）最后由点斜式写出直线方程：()000=()()y f x f x x x '--．特别的，如果()y f x =在点00(())x f x ，处的切线平行于y 轴（此时导数不存在）时，由切线定义知：切线方程为：0x x =． 2.求曲线()f x 经过点()00P x y ，的切线方程的一般步骤：（1）求导函数()'f x ；（2）验证点P 是否在曲线上：计算()0f x ，观察()00=f x y 是否成立；（3）分类讨论：①若()00=f x y ，则P 是切点，切线唯一，方程为()000=()()y f x f x x x '--： ②若()00f x y ≠，则P 不是切点，求切点：设切点坐标为()()a f a ，，则切线方程()=()()y f a f a x a '--，代入点()00P x y ，坐标，求出a 的值（注意0a x ≠），可得切线方程．例4．求曲线21y x =+在点()12P ，处的切线方程．【变式】求曲线215y x x=++上一点2x =处的切线方程．例5．求曲线()3f x x =经过点(1,1)P 的切线方程．例6.过点(1，－1)且与曲线y ＝x 3－2x 相切的直线方程为( )A ．x －y －2＝0或5x ＋4y －1＝0B ．x －y －2＝0C ．x －y －2＝0或4x ＋5y ＋1＝0D ．x －y ＋2＝0【变式1】已知函数3()3f x x x =-，过点(2,2)作函数图象的切线．求切线方程．【变式2】已知曲线1y x=．（1）求曲线过点()10A ，的切线方程；（2）求满足斜率为13-的曲线的切线方程．【变式3】设函数32()2f x x ax bx a =+++，2()32g x x x =-+（其中x ∈R ，,a b 为常数）．已知曲线()y f x =与()y g x =在点（2，0）处有相同的切线l ．求,a b 的值，并写出切线l 的方程．题型三、导数的实际应用例6．蜥蜴的体温与阳光的照射有关，其关系为()120155T t t =++，其中()T t 为体温(单位：℃)，t 为太阳落山后的时间(单位：min)．计算()2T '，并解释它的实际意义．【变式1】设一个物体的运动方程是：2021)(at t v t s +=，其中0v 是初速度（单位：m ），t 是时间（单位：s ）．求：2s t =时的瞬时速度（函数s(t)的瞬时变化率）．课后作业1.若存在过点(1,0)的直线与曲线y ＝x 3和y ＝ax 2＋154x －9都相切，则a 的值为( )A ．－1或－2564B ．－1或214C ．－74或－2564D ．－74或72.已知f(x)为偶函数，当x ＜0时，f(x)=f （-x ）+3x ，则曲线y=f （x ）在点（1，-3）处的切线方程是3.设曲线y=ax-ln （x+1）在点（0,0）处的切线方程为y=2x ，则a=A. 0B.1C.2D.34.若直线y=kx+b 是曲线y=lnx+2的切线，也是曲线y=ln （x+1）的切线，则b=5.若曲线y=e -x 上点P 处的切线平行于直线2x+y+1=0，则点P 的坐标是6.在平面直角坐标系中，若曲线y=ax 2+xb（a ，b 为常数）过点P （2，-5），且该曲线在点P 处的切线与直线7x+2y+3=0平行，则a+b=7.设点P 在曲线y=21e x上，点Q 在曲线y=ln （2x ）上，则▕PQ ▏的最小值为A.1-ln2B.2（1-ln2）C.1+ln2D.2(1+ln2) 8.若存在过点（1,0）的直线与曲线y=x 3和y=ax 2+415x-9都相切，则a 等于 9.抛物线y=x 2上的点到直线x-y-2=0的最短距离为 A.2B.827C. 22D. 110.已知点P 在曲线y=14x e 上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是。

[高二数学]数学选修2-2-导数及其应用

三、函数的单调性与导数 1.导数与函数单调性函数y=f(x)在某个区间(a,b)内可导，如果f′(x)＞0，则 y=f(x)在这个区间内单调递增；如果f′(x)＜0，则y=f(x)在这个区间内单调递减.
2.讨论函数单调性应注意的问题 (1)在利用导数来讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域，解决问题的过程只能在定义域内通过讨论导数的符号来判断函数的单调区间. (2)一般利用使导数等于零的点来分函数的单调区间. (3)如果一个函数具有相同单调性的单调区间不止一个，那么这些单调区间之间不能用“∪”连接，而只能用“，”或“和” 字隔开.
二、导数的计算
1.基本初等函数的导数公式
(1)(c)′=0，(c为常数).
(2)(xα)′=αxα-1(α∈Q*).
(3)(sinx)′=cosx.
(4)(cosx)′=-sinx.
(5)(ax)′=axlna(a>0且a≠1).
(6)(ex)′=ex.
(7)(logax)′=
1 x ln a
(a>0且a≠1).
(4)注意在某一区间内f′(x)＞0(或f′(x)＜0)是函数f(x)在该区间上为增(或减)函数的充分不必要条件，而不是充要条件 (例如，f(x)=x3). (5)如果函数在某个区间内恒有f′(x)=0，则f(x)为常数函数. (6)利用导数的符号判断函数的增减性，这是导数的几何意义在研究曲线变化规律中的一个应用，它充分体现了数形结合思想. (7)若在某区间上有有限个点使f′(x)=0，在其余的点恒有 f′(x)＞0，则f(x)在该区间上仍为增函数.
七、微积分基本定理
定理内容
符号表示
作用
如果f(x)是区间［a,b］上的连续函数，并且 F′(x)=f(x)，那么

高二数学选修二公式总结

高二数学选修二公式总结一、导数及其应用1. 导数的定义- 函数y = f(x)在x = x_{0}处的导数f^′(x_{0})=limlimits_{Δ x→0}(Δ y)/(Δx)=limlimits_{Δ x→0}frac{f(x_{0}+Δ x)-f(x_{0})}{Δ x}2. 基本初等函数的导数公式- C^′ = 0（C为常数）- (x^n)^′=nx^n - 1（n∈ Q）- (sin x)^′=cos x- (cos x)^′ =-sin x- (a^x)^′=a^xln a（a>0,a≠1）- (e^x)^′ = e^x- (log_{a}x)^′=(1)/(xln a)（a>0,a≠1,x>0）- (ln x)^′=(1)/(x)3. 导数的运算法则- (u± v)^′ = u^′± v^′- (uv)^′ = u^′ v+uv^′- ((u)/(v))^′=(u^′ v - uv^′)/(v^2)(v≠0)4. 复合函数求导法则- 设y = f(u)，u = g(x)，则y^′_{x}=y^′_{u}· u^′_{x}5. 函数的单调性与导数- 设函数y = f(x)在某个区间内可导，如果f^′(x)>0，那么函数y = f(x)在这个区间内单调递增；如果f^′(x)<0，那么函数y = f(x)在这个区间内单调递减。

6. 函数的极值与导数- 设函数f(x)在点x_{0}处可导，且在x_{0}处取得极值，那么f^′(x_{0}) = 0。

- 求函数y = f(x)极值的步骤：- 求导数f^′(x)；- 求方程f^′(x)=0的根；- 列表判断在方程f^′(x)=0的根左右两侧f^′(x)的符号，确定是极大值还是极小值。

7. 函数的最值与导数- 求函数y = f(x)在[a,b]上的最大值与最小值的步骤：- 求函数y = f(x)在(a,b)内的极值；- 将函数y = f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)、f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。

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