巧用隔板法解排列组合题
巧用隔板法解排列组合题
巧用隔板法解排列组合题徐帮利 临沂市第二中学解决排列组合问题的方法很多,从解题形式来看,可分为直接法和间接法两种;根据具体问题情景又有：相邻问题“捆绑法”;不相邻问题“插空法”;特殊定位“优限法”(优先排列受限制的位置或元素);同元问题“隔板法”等.这里我们重点看一下“隔板法”.“隔板法”适用于相同元素的分配问题,如投球进盒、名额或指标的分配、部分不定方程的整数解的组数等,解决时通常设计一个问题情景,构造一个隔板模型,将复杂的问题简单化,抽象的问题具体化,从而实现解题的目的.下举例述之.例1.某运输公司有7个车队,每个车队的车多于4辆,现从这7个车队中抽出10辆车,且每个车队至少抽1辆,组成一个运输队,则不同的抽法有（ ）种.A.84B.120C.63D.301解析:此题若使用其它方法,则需要分类,都比较麻烦,若用“隔板法”,则就轻而易举了.首先将10辆车排好,这样形成9个空,从这9个空中选6个,插入隔板,即将这10辆车分成7份,每一种插法对应一种抽法,故共有6984C =种不同的抽法.所以选A.例2.方程123410x x x x +++=共有多少组正整数解?解析:此题乍看上去,好象思路不太好找,那就只好列举了(麻烦啊！).殊不知,巧构隔板模型,即可化繁为简.将10个完全相同的小球排成一列,形成9个空,从中选3个,插入隔板,将球分成4份,每一种插法所得4份球的各份的数目,分别对应1234x x x x 、、、,即为原方程的一组正整数解.故原方程组共有3984C =组不同的整数解.例3．将10个相同的小球放入编号为1,2,3的三个盒子中,每个盒子中所放的球数不少于其编号数,问不同的放法有多少种?解析:由于条件要求每个盒子中所放的球数不少于其编号数,我们不妨先“找平了”,即先在第1,2,3个盒中各放0,1,2个球.问题即转化为求:将7个相同的小球放入编号为1,2,3的三个盒子中,每个盒中至少1个球的不同放法.将7个小球排成一排,形成6个空,从中选2个,插入隔板,把球分成三组,放入对应的盒子里,每一种插法,对应一种放法,故共有2615C =种不同的放法.强化训练:1.将10本完全相同的书,分给4名同学,每人至少一本,共有多少种不同的分法?答案: 3984C=种.2.方程1220100x x x++⋅⋅⋅+=共有多少组正整数解？答案:1999C组.。
利用隔板法巧解排列组合问题(四个方面)
利用隔板法巧解排列组合问题（共1页） 1 利用隔板法巧解排列组合问题（四个方面）隔板法就是在n 个元素间，插入()1b -个板，把n 个元素分成b 组的方法。
一、放球问题。
例1、把8个相同的球放入4个不同的盒子，有多少种不同的放法？解析：取3块相同隔板，连同8个相同的小球排成一排，共11个位置。
由隔板法知，在11个位置中任取3个位置排上隔板，共有311C 种排法。
所以，把8个相同的球放入4个不同的盒子，有311165C =种不同方法。
点评：相同的球放入不同的盒子，每个盒子放球数不限，适合隔板法。
隔板的块数要比盒子数少1。
二、指标分配问题。
例2、某校召开学生会议，要将10个学生代表名额，分配到某年级的6个班中，若每班至少1个名额，有多少种不同分法？解析：名额与名额是没有差别的，而班级与班级是有差别的，把10相同的名额分配到6个不同的班级，适合隔板法。
分两步。
第一步：6个班每班先分配1个名额，只有1种分法；第二步：将剩下的4个名额分配给6个班。
取615-=块相同隔板，连同4个相同名额排成一排，共9个位置。
由隔板法知，在9个位置中任取5个位置排上隔板，有59C 种排法。
由分步计数原理知：10个学生代表名额，分配到某年级的6个班中，每班至少1个名额，共有59126C =种不同分法。
点评：名额与名额是没有差别的，而班级与班级是有差别的，所以适合隔板法。
三、求n 项展开式的项数。
例3、求()10125x x x +++ 展开式中共有多少项？解析：用10个相同的小球代表幂指数10, 用5个标有1x 、2x 、 、5x 的5个不同的盒子表示数1x 、2x 、 、5x ，将10个相同的小球放入5个不同的盒子中，把标有i x ()125i = ，，，的每个盒子得到的小球数i k ()125i i k N =∈ ，，，，，记作i x 的i k 次方。
这样，将10个相同的小球放入5个不同的盒子中的每一种放法，就对应着展开式中的每一项。
专题十一：隔板法在解排列组合问题中的应用(同元分组问题)
隔板法在解排列组合问题中的应用隔板法又称隔墙法、插板法是处理名额分配、相同物体的分配等排列组合问题的重要方法，本文将将通过例题将这种方法作以介绍，供同学们学习时参考.一、将n 件相同物品（或名额）分给m 个人（或位置），允许若干个人（或位置）为空的问题例1将20个大小形状完全相同的小球放入3个不同的盒子，允许有盒子为空，但球必须放完，有多少种不同的方法？分析：本题中的小球大小形状完全相同，故这些小球没有区别，问题等价于将小球分成三组，允许有若干组无元素，用隔板法.解析：将20个小球分成三组需要两块隔板，将20个小球及两块隔板排成一排，两块隔板将小球分成三块，从左到右看成三个盒子应放的球数，每一种隔板与球的排法对应一种分法.将20个小球和2块隔板排成一排有22个位置，先从这22个位置中取出两个位置放隔板，因隔板无差别，故隔板之间无序，是组合问题，故隔板有222C 种不同的放法，再将小球放入其他位置，由于小球与隔板都无差别，故小球之间无序，只有1种放法，根据分步计数原理，共有222C ×1=231种不同的方法.点评：对n 件相同物品（或名额）分给m 个人（或位置），允许若干个人（或位置）为空的问题,可以看成将这n 件物品分成m 组，允许若干组为空的问题.将n 件物品分成m 组，需要1m -块隔板，将这n 件物品和1m -块隔板排成一排，占1n m +-位置，从这1n m +-个位置中选1m -个位置放隔板，因隔板无差别，故隔板之间无序，是组合问题，故隔板有11m n m C -+-种不同的方法，再将物品放入其余位置，因物品相同无差别，故物品之间无顺序，是组合问题，只有1种放法，根据分步计数原理，共有11m n m C -+-×1=11m n m C -+-种排法,因1m -块隔板将n 件相同物品分成m 块，从左到右可以看成每人所得的物品数，每一种隔板与物品的排法对应于一种分法，故有11m n m C -+-种分法.二、将n 件相同物品（或名额）分给m 个人（或位置），每人（或位置）必须有物品问题例2将20个优秀学生名额分给18个班，每班至少1个名额，有多少种不同的分配方法？分析：本题是名额分配问题，用隔板法.解析：将20个名额分配给18个班，每班至少1个名额，相当于将20个相同的小球分成18组，每组至少1个，将20个相同的小球分成18组，需要17块隔板，先将20个小球排成一排，因小球相同，故小球之间无顺序，是组合，只有1种排法，再在20个小球之间的19个空档中，选取17个位置放隔板，因隔板无差别，故隔板之间无序，是组合问题，故隔板有1719C 种不同的放法，根据分步计数原理，共有1719C 种不同的方法，因17块隔板将20个小球分成18组，从左到右可以看成每班所得的名额数，每一种隔板与小球的排法对应于一种分法，故有11m n m C -+-种分法.点评：：对n 件相同物品（或名额）分给m 个人（或位置），每个人（或位置）必须有物品问题,可以看成将这n 件物品分成m 组，每组不空的问题.将n 件物品分成m 组，需要1m -块隔板，将这n 件物品排成一排，因物品无差别，故物品之间无顺序，是组合问题，只有1种排法，再在这n 件物品之间的1n -空档中选取1m -个位置放隔板，占1n m +-位置，从这1n m +-个位置中选1m -个位置放隔板，因隔板无差别，故隔板之间无序，是组合问题，故隔板有11m n C --种不同的放法，根据分步计数原理，共有1×11m n C --=11m n C --种不同排法,因1m -块隔板将n 件相同物品分成m 块，从左到右可以看成每人所得的物品数，每一种隔板与物品的排法对应于一种分法，故有11m n C --种分法.对相同物品分配问题，注意某若干组能否为空，能为空和不能为不空，方法不同，要体会和掌握.。
“隔板法”解决排列组合问题
“隔板法〞解决排列组合问题〔高二、高三〕排列组合计数问题，背景各异，方法灵活，能力要求高，对于相同元素有序分组问题，采用“隔板法〞可起到简化解题的成效。
对于不同元素只涉及名额分配问题也可以借助隔板法来求解,下面通过典型例子加以解决。
例1、〔1〕12个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子中，问每个盒子中至少有一个小球的不同放法有多少种？〔2〕12个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子中，问不同放法有多少种？〔3〕12个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子中要求每个盒子中，要求每个盒子中的小球个数不小于其编号数，问不同的方法有多少种？解：〔1〕将12个小球排成一排，中间有11个间隔，在这11个间隔中选出3个，放上“隔板〞，假设把“1〞，这样每一种隔板的插法，就对应了球的一种放法，即每一种从11个间隔中选出3个间隔的组合对应于一种放法，所以不同的放法有311C=165种。
〔2〕法1：〔分类〕①装入一个盒子有144C=种；②装入两个盒子，即12个相同的小球装入两个不同的盒子，每盒至少装一个有2141166C C=种;③装入三个盒子，即12个相同的小球装入三个不同的盒子，每盒至少装一个有32411C C=220种;④装入四个盒子，即12个相同的小球装入四个不同的盒子，每盒至少装一个有311165C=种;由加法原理得共有4+66+220+165=455种。
法2：先给每个小盒装入一个球，题目中给定的12个小球任意装，即16个小球装入4个不同的盒子，每盒至少装一个的装法有315455C=种。
〔3〕法1：先给每个盒子装上与其编号数相同的小球，还剩2个小球，那么这两个小球可以装在1个盒子或两个盒子，共有124410C C+=种。
法2：先给每个盒子装上比编号小1的小球，还剩6个小球，那么转化为将6个相同的小球装入4个不同的盒子，每盒至少装一个，由隔板法有3510C=由上面的例题可以看出法2要比法1简单，即此类问题都可以转化为至少分一个的问题。
隔板法解排列组合问题
隔板法解排列组合问题一、有7个相同的球和4个相同的盒子，每个盒子至少放一个球，问有多少种不同的放法？A. 15种B. 20种C. 35种D. 56种（答案：C）二、将5本不同的书分给3个同学，每个同学至少得到一本，问有多少种分配方式？A. 60种B. 120种C. 150种D. 210种（答案：C）（注：此题应用隔板法时需先对书进行排序，再插入隔板）三、有8个相同的苹果和3个相同的盘子，要求每个盘子里至少有一个苹果，且苹果不能切分，问有多少种摆放方式？A. 28种B. 36种C. 45种D. 56种（答案：B）（注：此题实际为组合问题中的“插板法”或“隔板法”的特例，但由于苹果和盘子都相同，需特殊处理）四、将6个不同的小球放入4个不同的盒子中，每个盒子至少有一个小球，问有多少种放法？A. 1260种B. 1560种C. 1860种D. 2160种（答案：B）（注：此题需先对小球进行全排列，再应用隔板法）五、有9个相同的糖果和2个相同的杯子，要求每个杯子里至少放3个糖果，问有多少种放法？A. 1种B. 2种C. 3种D. 4种（答案：C）（注：此题需先满足每个杯子的最小糖果数，再应用隔板法）六、将7个不同的玩具分给4个小朋友，每个小朋友至少得到一个玩具，问有多少种分配方式？A. 840种B. 1680种C. 3360种D. 5040种（答案：B）（注：此题需先对玩具进行全排列，再应用隔板法，并考虑小朋友的区分性）七、有10个相同的饼干和3个相同的碟子，要求每个碟子里至少放2个饼干，且饼干不能切分，问有多少种摆放方式？A. 12种B. 24种C. 36种D. 48种（答案：A）（注：此题需先满足每个碟子的最小饼干数，再应用隔板法，但由于饼干和碟子都相同，需特殊处理）八、将5封不同的信件投入3个不同的邮筒中，每个邮筒至少有一封信，问有多少种投法？A. 60种B. 150种C. 210种D. 252种（答案：B）（注：此题需先对信件进行全排列，再应用隔板法，并考虑邮筒的区分性，同时需排除不符合条件的情况）。
微专题 隔板法解排列组合问题
微专题 “隔板法”模型的构建与应用隔板法隔板法是将n 个相同元素分成m 组（每组的任务不同），求不同分法种数的一种解题方法。
利用隔板法能够巧解许多排列、组合问题.(1)当每组至少含一个元素时，其不同分组方式有11--m n C 种，即给n 个元素中间的（1-n ）个空隙中插入（1-m ）个隔板.(2)任意分组，可出现某些组含0个元素的情况，其不同分组方式有11--+m m n C 种，即将n 个相同元素与（1-m ）个相同隔板进行排序，在（1-+m n ）个位置中选（1-m ）个安排隔板.典例解析题型一：每盒非空例1.将10个相同的小球分别装入3个不同的盒子中且每盒非空（即每盒至少放入1个小球），有 种不同的装法.解析：将10个小球排成一排，在其两两之间的9个空位中任意取两个划上竖线，这样就将10个小球分成了3组.图1－1所示的是其中一种装法.图11-将每组小球按顺序装入3个盒子中，则划竖线的方法数等于题中所求的装法数，装法共有3629=C （种）.例2.求方程1x +2x +…+5x =7的正整数解的个数.解析：用7个相同的小球代表数7, 用5个标有1x 、2x 、…、5x 的5个不同的盒子表示未知数1x 、2x 、…、5x ，要得到方程1x +2x +…+5x =7的正整数解的个数.可分以下两步完成:第一步：从7个相同的小球中任取5个放入5个不同的盒子中，仅有1种放法； 第二步：把剩余的2个小球放入5个不同的盒中，由隔板法知，此时有46C 种放法.由分步计数原理知，共有46C 种不同放法.我们把标有i x （i=1,2,…,5）的每个盒子得到的小球数i k （i=1，2，…，5; i k N ∈+），记作：i x =i k .这样，将7个相同的小球放入5个不同的盒子中的每一种放法，就对应着方程1x +2x +…+5x =7的每一组解（1k ，2k ，…，5k ）.46C =26C =1256⨯⨯=15（个） 所以，方程1x +2x +…+5x =7的正整数解共有15个.点评：准确理解隔板法的使用条件，是使用隔板法求方程1x +2x +…+5x =7的非负（或正）整数解的个数的理论依据.题型二：每盒至少有n 个例3.将20本练习本分给4名学生，要求每名学生至少得3本，有 种不同的分法.解析：首先分给每人2本练习本，然后将剩下的12本练习本按例1中划竖线的方法分给4名学生，这样每人就至少得3本练习本，所以不同的分法共有（种）165311=C .题型三：每盒分别有m n n n ,,,21 个例4.将20个相同的小球全部放入编号为3,4,5的三个盒子中，要求每个盒子内的球数不少于它的编号数，则不同的放法有 种.解析：首先在三个盒子中依次放入2,3,4个球，再将剩余的11个球按例1中划线的方法分到三个盒子中，这样就能满足“每个盒内的球数不少于它的编号数”的要求.于是不同的放法共有（种）45210=C题型四：每盒可空例5.把8个相同的球放入4个不同的盒子，有多少种不同方法？解析：取3块相同隔板，连同8个相同的小球排成一排，共11个位置.由隔板法知，在11个位置中任取3个位置排上隔板，共有C 311种排法.311C =12391011⨯⨯⨯⨯=165(种) 所以，把8个相同的球放入4个不同的盒子，有165种不同方法.点评：相同的球放入不同的盒子，每个盒子放球数不限，适合隔板法.隔板的块数要比盒子数少1.例6.求10521)(x x x +⋅⋅⋅++展开式中共有多少项？解：用10个相同的小球代表幂指数10, 用5个标有1x 、2x 、…、5x 的5个不同的盒子表示数1x 、2x 、…、5x ，将10个相同的小球放入5个不同的盒子中，把标有i x （i=1,2,…,5）每个盒子得到的小球数i k （i=1，2，…，5; i k N ∈），记作i x 的i k 次方.这样，将10个相同的小球放入5个不同的盒子中的每一种放法，就对应着展开式中的每一项.由隔板法知，这样的放法共有414C 种，故10521)(x x x +⋅⋅⋅++的展开式中共有414C 项。
隔板法解决排列组合问题
隔板法解决排列组合问题Document number：NOCG-YUNOO-BUYTT-UU986-1986UT“隔板法”解决排列组合问题（高二、高三）排列组合计数问题，背景各异，方法灵活，能力要求高，对于相同元素有序分组问题，采用“隔板法”可起到简化解题的功效。
对于不同元素只涉及名额分配问题也可以借助隔板法来求解,下面通过典型例子加以解决。
例1、（1）12个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子中，问每个盒子中至少有一个小球的不同放法有多少种（2）12个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子中，问不同放法有多少种（3）12个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子中要求每个盒子中，要求每个盒子中的小球个数不小于其编号数，问不同的方法有多少种解：（1）将12个小球排成一排，中间有11个间隔，在这11个间隔中选出3个，放上“隔板”，若把“1”看成隔板，则如图00隔板将一排球分成四块，从左到右可以看成四个盒子放入的球数，即上图中1，2，3，4四个盒子相应放入2个，4个，4个，2个小球，这样每一种隔板的插法，就对应了球的一种放法，即每一种从11个间隔中选出3个间隔的组合对应于一种放法，所以不同的放法有311C=165种。
（2）法1：（分类）①装入一个盒子有144C=种；②装入两个盒子，即12个相同的小球装入两个不同的盒子，每盒至少装一个有2141166C C=种;③装入三个盒子，即12个相同的小球装入三个不同的盒子，每盒至少装一个有32411C C=220种;④装入四个盒子，即12个相同的小球装入四个不同的盒子，每盒至少装一个有311165C=种;由加法原理得共有4+66+220+165=455种。
法2：先给每个小盒装入一个球，题目中给定的12个小球任意装，即16个小球装入4个不同的盒子，每盒至少装一个的装法有315455C =种。
（3）法1：先给每个盒子装上与其编号数相同的小球，还剩2个小球，则这两个小球可以装在1个盒子或两个盒子，共有124410C C +=种。
隔板法在排列组合中的应用技巧
隔板法在排列组合中的应用技巧在排列组合中，对于将不可分辨的球装入到可以分辨的盒子中而求装入方法数的问题，常用隔板法。
例1：求方程x+y+z=10的正整数解的个数。
［分析］将10个球排成一排，球与球之间形成9个空隙，将两个隔板插入这些空隙中（每空至多插一块隔板），规定由隔板分成的左、中、右三部分的球数分别为x、y、z之值（如下图）。
则隔法与解的个数之间建立了一一对立关系，故解的个数为（个）。
实际运用隔板法解题时，在确定球数、如何插隔板等问题上形成了一些技巧。
下面举例说明。
技巧一：添加球数用隔板法。
例2：求方程x+y+z=10的非负整数解的个数。
［分析］注意到x、y、z可以为零，故上题解法中的限定“每空至多插一块隔板”就不成立了，怎么办呢？只要添加三个球，给x、y、z各一个球。
这样原问题就转化为求x+y+z=13的正整数解的个数了，故解的个数为21266C （个）。
［点评］本例通过添加球数，将问题转化为如例1中的典型隔板法问题。
技巧二：减少球数用隔板法：例3：将20个相同的小球放入编号分别为1，2，3，4的四个盒子中，要求每个盒子中的球数不少于它的编号数，求放法总数。
解法1：先在编号1，2，3，4的四个盒子内分别放0，1，2，3个球，剩下14个球，有1种方法；再把剩下的球分成4组，每组至少1个，由例1知方法有（种）。
解法2：第一步先在编号1，2，3，4的四个盒子内分别放1，2，3，4个球，剩下10个球，有1种方法；第二步把剩下的10个相同的球放入编号为1，2，3，4的盒子里，由例2知方法有（种）。
［点评］两种解法均通过减少球数将问题转化为例1、例2中的典型问题。
技巧三：先后插入用隔板法。
例4：为宣传党的十六大会议精神，一文艺团体下基层宣传演出，准备的节目表中原有4个歌舞节目，如果保持这些节目的相对顺序不变，拟再添两个小品节目，则不同的排列方法有多少种？［分析］记两个小品节目分别为A、B。
先排A节目。
高中数学备课素材：数学论文：隔板法在排列组合中的应用技巧
解题思想方法《中学生数理化》(高中版)/2004·12 在上述同学们提出的疑问中,分子C 818表示将18个人分成两组,其中一组8人,另一组10人,属于“分成甲、乙两组”的类型,具有指向性;而C 1020表示将20个人平均分成两组,不具有指向性.(责任编辑 朱 宁)隔板法在排列组合中的应用技巧■湖北 张红兵在排列组合中,对于将不可分辨的球装入到可以分辨的盒子中而求装入方法数的问题,常用隔板法.例1 求方程x +y +z =10的正整数解的个数.将10个球排成一排,球与球之间形成9个空隙,将两个隔板插入这些空隙中(每空至多插一块隔板),规定由隔板分成的左、中、右三部分的球数分别为x 、y 、z 之值(如下图).则隔法与解的个数之间建立了一一对立关系,故解的个数为C 29=36(个).实际运用隔板法解题时,在确定球数、如何插隔板等问题上形成了一些技巧.下面举例说明.技巧一:添加球数用隔板法.例2 求方程x +y +z =10的非负整数解的个数.注意到x 、y 、z 可以为零,故上题解法中的限定“每空至多插一块隔板”就不成立了,怎么办呢?只要添加三个球,给x 、y 、z 各一个球.这样原问题就转化为求x +y +z =13的正整数解的个数了,故解的个数为C 212=66(个).本例通过添加球数,将问题转化为如例1中的典型隔板法问题.技巧二:减少球数用隔板法.例3 将20个相同的小球放入编号分别为1,2,3,4的四个盒子中,要求每个盒子中的球数不少于它的编号数,求放法总数.解法1:先在编号1,2,3,4的四个盒子内分别放0,1,2,3个球,剩下14个球,有1种方法;再把剩下的球分成4组,每组至少1个,由例1知方法有C 313=286(种).解法2:第一步先在编号1,2,3,4的四个盒子内分别放1,2,3,4个球,剩下10个球,有1种方法;第二步把剩下的10个相同的球放入编号为1,2,3,4的盒子里,由例2知方法有C 313=286(种).31解题思想方法 《中学生数理化》(高中版)/2004·12两种解法均通过减少球数将问题转化为例1、例2中的典型问题.技巧三:先后插入用隔板法.例4 为宣传党的十六大会议精神,一文艺团体下基层宣传演出,准备的节目表中原有4个歌舞节目,如果保持这些节目的相对顺序不变,拟再添两个小品节目,则不同的排列方法有多少种?记两个小品节目分别为A 、B.先排A 节目.根据A 节目前后的歌舞节目数目考虑方法数,相当于把4个球分成两堆,由例2知有C 15种方法.这一步完成后就有5个节目了.再考虑需加入的B 节目前后的节目数,同理知有C 16种方法.故由分步计数原理知,方法共有C 15·C 16=30(种). 对本题所需插入的两个隔板采取先后依次插入的方法,使问题得到巧妙解决.(责任编辑 朱 宁)文学艺术作品创作大奖赛征稿启事为繁荣文艺创作,培养新秀,贵州人民出版社《少年人生》杂志社在创刊15周年之际,特聘一批创作小记者,给予定点关注指导。
隔板法排列组合题目
隔板法排列组合题目排列组合是数学中的一个重要概念，通过排列和组合运算，可以计算出不同元素间的全排列和部分排列数量。
其中，隔板法是一种常用的求解排列组合问题的方法。
本文将通过一个具体的题目，介绍隔板法的应用。
一、题目描述及要求假设有一堆相同的小球，现在要将这些小球分成若干组，每组中小球的数量可以不同。
要求：1. 求出将 n 个小球分成 k 组的方法数量；2. 每组中至少有一个小球。
二、隔板法的应用隔板法是一种解决将对象划分成多个部分的方法。
对于题目中的要求，我们可以使用隔板法进行求解。
思路如下：1. 假设有 n 个小球和 k-1 个隔板，将 n 个小球和 k-1 个隔板排成一排；2. 每个小球都可以选择在哪个隔板前放置，而每个隔板将小球分为一组；3. 每个隔板前放置的小球数量就是该组的小球数量。
三、计算方法根据隔板法的思路，我们可以通过计算小球和隔板的排列组合数量来求解题目。
1. 小球和隔板一共有 n+k-1 个位置，其中 n 个位置放置小球，k-1 个位置放置隔板；2. 我们只需要确定放置小球的位置，即可确定每个隔板前的小球数量；3. 可以使用组合数学中的排列组合公式计算，即 C(n+k-1, n)。
四、题目求解按照上述计算方法，我们可以得出将 n 个小球分成 k 组的方法数量为 C(n+k-1, n)。
其中，C(m, n) 表示从 m 个元素中选择 n 个元素的组合数。
接下来，以一个具体的例子来进行求解。
假设有 6 个小球，要将其分成 3 组。
根据上述计算公式，我们有：C(n+k-1, n) = C(6+3-1, 6) = C(8, 6) = 28。
因此，将 6 个小球分成 3 组的方法数量为 28。
五、总结通过隔板法的应用，我们可以轻松求解排列组合问题，特别是将对象划分成多个部分的情况。
我们可以使用排列组合公式计算出将 n 个小球分成 k 组的方法数量，进而解决具体的问题。
隔板法不仅可以应用于数学领域，也可以在实际问题求解中发挥巨大的作用。
“隔板法”
“隔板法”解决排列组合问题排列组合计数问题，背景各异，方法灵活，能力要求高，对于相同元素有序分组问题，采用“隔板法”可起到简化解题的功效。
对于不同元素只涉及名额分配问题也可以借助隔板法来求解,下面通过典型例子加以解决。
所谓隔板法，就是把隔板当成元素，再从元素里选隔板就行例1、（1）12 个相同的小球放入编号为1，2，3，4 的盒子中，问不同放法有多少种？（2）12 个相同的小球放入编号为1，2，3，4 的盒子中，问每个盒子中至少有一个小球的不同放法有多少种？（3）12 个相同的小球放入编号为1，2，3，4的盒子中要求每个盒子中，要求每个盒子中的小球个数不小于其编号数，问不同的方法有多少种？解：（1）本题需要3个隔板，把3个隔板当成3个元素，共15个元素，再从15个元素里选取3个隔板，共有C 153 =455 种（2）首先一个盒子放一小球，还剩8个小球，把8个小球放4个盒子需3个隔板，把3个隔板当成3个元素共11个元素，最后从11个元素里选3个隔板就行了，共有C113 =165 种。
（3）先给每个盒子装上与其编号数相同的小球，还剩2 个小球，2个小球装在4个盒子里需3个隔板，3个隔板看成3个元素，共5个元素，最后从5个元素里选出3个隔板就行了，共有C53=10种913111例 2、（ 1）方程 x 1x 2 x 3 x 4 10 的正整数解有多少组？(2) 方程 x 1x 2 x 3 x 4 10 的非负整数解有多少组？（ 3）方程2x 1 x 2 x 3x 10 3 的非负整数整数解有多少组？解：（ 1）转化为 10 个相同的小球装入4 个不同的盒子， 每盒至少装一个， 有 C 384 种，所以该方程有 84 组正整数解。
（ 2）转化为 10 个相同的小球装入 4 个不同的盒子， 可以有空盒， 先给每个小盒装一个，进而转化为 14 个相同的小球装入4 个不同的盒子， 每盒至少装一个， 有 C3286 种， 所以该方程有 286 组非负整数整数解。
湖南公务员考试行测：巧用隔板法解排列组合问题
在公务员考试行测数量关系题目中经常能见到排列组合问题的身影，很多考生朋友可能会对排列组合望而却步，其实弄懂排列组合问题并不难，掌握一定的技巧，对于很多题目也就迎刃而解了。
这里给大家简单介绍一种方法——隔板法，这对于解决排列组合问题中的同素分堆问题具有出奇制胜的效果。
中公教育专家带大家先来看一道例题，了解一下什么是同素分堆。
例1：一串糖葫芦共6颗，每颗大小形状都相同，分给三个小朋友吃，每个小朋友至少分得一颗，问共有多少种分法?
A.4
B.6
C.8
D.10
例2：某单位订阅了30份学习材料发放给3个部门，每个部门至少发放9份材料，问一共有多少种不同的发放方法?
A.7
B.9
C.10
D.12
还有一些题目对于分法没有要求，即不要求每个对象至少一个。
类似的，我们就要想办法转化为至少一个。
例3：将7个大小形状相同的小球放进三个不同的盒子，允许有盒子为空，但球必须放完，问共有多少方法?
A.12
B.24
C.36
D.48
在2014年湖南公务员考试行测备考过程中，掌握这样一些解题技巧对于我们快速解题具有很大帮助，须知，应对湖南公务员考试行测数量关系，省时乃是王道。
最后，中公教育祝各位考生能在2014年湖南公务员考试中取得优异的成绩。
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文章来源：中公教育北京分校。
山西省考巧用隔板模型解排列组合
巧用隔板模型解排列组合在数量中存在一种题型，是很多同学比较头疼的，那就是排列组合，然而对于排列组合题型中还是有一些题可以通过特征直接利用模型就能够很快的做出来。
今天中公教育专家就带大家学习一个常用的模型——隔板模型，希望通过今天的学习大家可以对隔板模型应用自如。
要能够应用隔板模型，那就需要通过学习他的题型特征和方法两步来进行掌握。
接下来我们就一一的来解决这两大问题。
例题一：6个相同的小球，放入3个不同的盒子里，每个盒子至少要放一个小球。
问有多少种不同的方法？分析：看到题干中有三个条件，条件一：是6个相同的小球说明元素是相同的，条件二：是放到3个不同的盒子里，说明放的对象是不相同，条件三是每个盒子至少一个小球，要想知道几种方法我们这三个条件必须都要满足，其实这道题的本质就是相同元素的不同分堆，并都要分完，可以通过图形来理解，我们可以看到，想要满足这三个条件，只需要在6个小球中间的5个空里插入两个板就可以分为三堆，每一个里至少1个，这样就可以全部满足，则方法总共有1-31-6C ，即25C =10种方法。
通过上面的例题我们可以总结出隔板模型的特征：1、本质:相同元素的不同分堆。
2、条件：①所有元素必须完全相同②所要分的元素必须分完，决不允许有剩余③每一个对象至少分到1个，决不允许出现分不到元素的情况3、公式：把n 个相同元素分给m 个不同的对象，每个对象至少分1个元素，问有多少种不同分法的问题时利用隔板模型，共计1-m 1-n C 种。
例题二：把20台相同的电脑分给8个部门，每个部门至少2台，问共有几种分法？A、165B、330C、792D、1485解析：通过分析题，发现是相同元素的不同分堆，但是题干不完全满足隔板模型的三个条件，但对于这一类型的题，我们可以把它进行变形使之满足条件即可，即先给每一个部门分一台，剩下12台，再将剩下的12台分给8个部门，每个部门至少1台，这样就可以完全满足条件，利用公式711C=330，选择B选项。
2016云南公务员考试行测排列组合速解技巧之隔板法
2016云南公务员考试行测排列组合速解技巧之隔板法
在云南公务员考试行测数量关系题目中，经常能看到排列组合问题的身影，大部分的考生可能会对排列组合题目望而却步，其实解出排列组合问题并不难，掌握一定的技巧，很多题目可以快速选出答案。
这里给大家介绍一种同素分堆问题的巧解方法-隔板法。
中公教育专家先带着大家来了解一下什么是同素分堆。
例题1. 一串糖葫芦共6颗，每颗大小形状都完全相同，分给三个小朋友吃，每个小朋友至少分得一颗，问共有多少种分法?
在这个题目中，6颗糖葫芦的大小和形状是完全相同的，这就是所谓的“同素”，分给三个小朋友，这三个小朋友是不同的，这就是“分堆”，合起来就是“同素分堆”。
“隔板法”解决排列组合问题
“隔板法”办理排列拉拢问题（下二、下三）之阳早格格创做排列拉拢计数问题，背景各同，要领机动，本领央供下，对付于相共元素有序分组问题，采与“隔板法”可起到简弥合题的成果.对付于分歧元素只波及名额调配问题也不妨借帮隔板法去供解,底下通过典型例子加以办理.例1、（1）12个相共的小球搁进编号为1，2，3，4的盒子中，问每个盒子中起码有一个小球的分歧搁法有几种？（2）12个相共的小球搁进编号为1，2，3，4的盒子中，问分歧搁法有几种？（3）12个相共的小球搁进编号为1，2，3，4的盒子中央供每个盒子中，央供每个盒子中的小球个数没有小于其编号数，问分歧的要领有几种？解：（1）将12个小球排成一排，中间有11个隔断，正在那11个隔断中选出3个，搁上“隔板”，若把“1”3C=165种.11C=种；②拆进（2）法1：（分类）①拆进一个盒子有144二个盒子，即12个相共的小球拆进二个分歧的盒子，每C C=种;③拆进三个盒子，即12个相共盒起码拆一个有2141166C C=220的小球拆进三个分歧的盒子，每盒起码拆一个有32411种;④拆进四个盒子，即12个相共的小球拆进四个分歧的盒子，每盒起码拆一个有311165C =种;由加法本理得公有4+66+220+165=455种.法2：先给每个小盒拆进一个球，题目中给定的12个小球任性拆，即16个小球拆进4个分歧的盒子，每盒起码拆一个的拆法有315455C =种.（3）法1：先给每个盒子拆上与其编号数相共的小球，还剩2个小球，则那二个小球不妨拆正在1个盒子或者二个盒子，公有124410C C +=种. 法2：先给每个盒子拆上比编号小1的小球，还剩6个小球，则转移为将6个相共的小球拆进4个分歧的盒子，每盒起码拆一个，由隔板法有3510C =由上头的例题不妨瞅出法2要比法1简朴，即此类问题皆不妨转移为起码分一个的问题.例2、（1）圆程123410x x x x +++=的正整数解有几组？(2)圆程123410x x x x +++=的非背整数解有几组？（3）圆程1231023x x x x ++++=的非背整数整数解有几组？ 解：（1）转移为10个相共的小球拆进4个分歧的盒子，每盒起码拆一个，有3984C =种，所以该圆程有84组正整数解.（2）转移为10个相共的小球拆进4个分歧的盒子，不妨有空盒，先给每个小盒拆一个，从而转移为14个相共的小球拆进4个分歧的盒子，每盒起码拆一个，有313286C =种，所以该圆程有286组非背整数整数解.（3）当10x =时，转移为3个相共的小球拆进9个分歧的盒子，不妨有空盒，有311165C =种.当11x =时，转移为1个小球拆进9个分歧的盒子，不妨有空盒，有19C =9种；所以该圆程有165+9=174组非背整数整数解.例3、已知集中{}I =1,2,3,4,5，采用I 的二个非空子集,A B ，且A 中最大的元素比B 中最小的元素小，则采用要领有几种？ 解：由题意知,A B 的接集是空集，且,A B 的并集是I 的子集C ，所以C 起码含有二个元素，将C 中元素按从小到大的程序排列，而后分为二部分，前边的给A ，后边的给B ，,A B 起码含有1个元素，设C 中有n 个元素，则转移为n 个相共的小球拆进2个分歧的盒子，则有 1n C 种拆法，故本题有2314151552535449C C C C C C C +++=种采用要领.总之，通常是处理与“相共元素有序分组”模型时，咱们皆可采与“隔板法”.若每组元素数目起码一个时，可用插“隔板”，若出现每组元素数目为0个时，背每组元素数目起码一个的模型转移，而后用“隔板”法加以办理.。
人教B版选修23第一章利用隔板法巧解排列、组合问题
利用隔板法巧解排列、组合题隔板法是将相同的球放入不同的盒子，每盒放入球的个数不限，求不同方法种数的一种解题方法。
利用隔板法能够巧解许多排列、组合问题。
一、放球问题。
例1、把8个相同的球放入4个不同的盒子，有多少种不同方法？解：取3块相同隔板，连同8个相同的小球排成一排，共11个位置。
由隔板法知，在11个位置中任取3个位置排上隔板，共有种排法。
厂3 11 10 9 菇Cn = --------------- =165（种）3 2 1所以，把8个相同的球放入4个不同的盒子，有165种不同方法。
点评：相同的球放入不同的盒子，每个盒子放球数不限，适合隔板法。
隔板的块数要比盒子数少1。
一、指标分配问题。
例2、某校召开学生会议，要将10个学生代表名额，分配到某年级的6个班中，若每班至少1个名额，又有多少种不同分法？解：名额与名额是没有差别的，而班级与班级是有差别的，这样，把10相同的名额分配到6个不同的班级中，适合隔板法。
将10个学生代表名额，分配到某年级的6个班中，每班至少1个名额，可分以下两步完成。
第一步：每班先给1个名额，仅有1种给法；第二步：将剩余的4个名额分到这6个班里，由隔板法知，此时，有C9种不同分法。
由分步计数原理知，共有C9种不同分法。
5厶9 8 7 6 丄C5=C4= =126 （种）。
9 9 4 3 2 1答：某校召开学生会议，要将10个学生代表名额，分配到某年级的6个班中，若每班至少1个名额，有126种不同分法.点评：名额与名额是没有差别的，而班级与班级是有差别的，故适合隔板法。
二、求n项展开式的项数。
10例3、求（为X2 X5）展开式中共有多少项？解：用10个相同的小球代表幕指数10,用5个标有x1、X2、…、X5的5个不同的盒子表示数x1、x2、…、x5,将10个相同的小球放入5个不同的盒子中，把标有X i （i=1,2,…,5 ）每个盒子得到的小球数k i （i=1 , 2,…,5; k i N ），记作X i的k i次方。
[隔板法解排列组合问题]解读隔板法
![[隔板法解排列组合问题]解读隔板法](https://img.taocdn.com/s3/m/4fb4cf813169a4517623a393.png)
[隔板法解排列组合问题]解读隔板法[隔板法解排列组合问题]解读隔板法篇一 : 解读隔板法隔板法就是在n个元素间的个空中插入 k个板，可以把n个元素分成k+1组的方法。
应用隔板法必须满足3个条件:这n个元素必须互不相异所分成的每一组至少分得1个元素分成的组别彼此相异教学目标1.进一步理解和应用分步计数原理和分类计数原理。
2.掌握解决排列组合问题的常用策略;能运用解题策略解决简单的综合应用题。
提高学生解决问题分析问题的能力3.学会应用数学思想和方法解决排列组合问题.复习巩固1.分类计数原理完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有m1种不同的方法，在第2类办法中有m2种不同的方法，…，在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有:种不同的方法(2.分步计数原理完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，…，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有: 种不同的方法(3.分类计数原理分步计数原理区别分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。
分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件(解决排列组合综合性问题的一般过程如下:1.认真审题弄清要做什么事2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类。
3.确定每一步或每一类是排列问题还是组合问题,元素总数是多少及取出多少个元素.4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略一.特殊元素和特殊位置优先策略例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,1 先排末位共有C31 然后排首位共有C43 最后排其它位置共有A4113 由分步计数原理得C4C3A4?288练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法,二.相邻元素捆绑策略例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法.解:可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元522素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。
排列组合 隔板法模型(原卷版)
专题15 隔板法模型【方法技巧与总结】将n 个相同的元素分成m 份（n ，m 为正整数），每份至少一个元素，可以用1m -块隔板，插入n 个元素排成一排的1n -个空隙中，共有11m n C --种分法．【典型例题】例1．（2023·云南红河·统考三模）某校将6个三好学生名额分配到高三年级的3个班，每班至少1个名额，则共有多少种不同的分配方案（ ）A ．15B ．20C ．10D ．30例2．（2023·全国·校联考模拟预测）学校决定把12个参观航天博物馆的名额给三（1）､三（2）､三（3）､三（4）四个班级.要求每个班分别的名额不比班级序号少，即三（1）班至少1个名额，三（2）班至少2个名额，……，则分配方案有（ ）A ．8种B ．10种C ．165种D ．495种例3．（2023·高二课时练习）现有9个相同的球要放到3个不同的盒子里，每个盒子至少一个球，各盒子中球的个数互不相同，则不同放法的种数是（ ）A ．28B ．24C ．18D ．16例4．（2023春·江苏苏州·高二吴县中学校考期中）学校有6个优秀学生名额，要求分配到高一、高二、高三，每个年级至少1个名额，则有（ ）种分配方案．A ．135B ．10C ．75D ．120例5．（2023春·全国·高二期末）方程123412x x x x +++=的正整数解共有（ ）组A ．165B ．120C ．38D ．35例6．（2023秋·山西晋城·高三校考阶段练习）有10个运动员名额分给7个班，每班至少一个名额，共有______种分配方案.例7．（2023·全国·高三专题练习）现有15个省三好学生名额分给1、2、3、4共四个班级，其中1班至少2个名额，2班、4班每班至少3个名额，3班最多2个名额，则共有_________种不同分配方案.例8．（2023春·广东汕头·高二校考期中）6个志愿者的名额分给3个班，每班至少一个名额，则有_________ 种不同的分配方法.（用数字回答）.例9．（2023春·安徽宿州·高二安徽省泗县第一中学校考阶段练习）泗县一中举行“建党100周年朗诵比赛”，学校给了高二7个文科班10个参赛名额，要求每班至少一个同学参加比赛，则共有___________种不同的分配方案.例10．（2023秋·河北沧州·高三南皮县第一中学校联考期中）某地举办高中数学竞赛，已知某校有20个参赛名额，现将这20个参赛名额分配给A ，B ，C ，D 四个班，其中1个班分配4个参赛名额，剩下的3个班都有参赛名额，则不同的分配方案有______种．例11．（2023春·安徽宣城·高二阶段练习）将10个学生干部的培训指标分配给7个不同的班级，每班至少分到一个名额，不同的分配方案共有_______种．例12．（2023·浙江·校联考模拟预测）将6个相同的球全部放入甲、乙、丙三个盒子里，每个盒子最多放入3个球，共有_________种不同的放法.例13．（2023秋·上海浦东新·高二上海市实验学校校考期末）10个相同的小球放到6个不同的盒子里，每个盒子里至少放一个小球，则不同的放法有______种.例14．（2023·高二课时练习）把7个相同的小球放到10个不同的盒子中，每个盒子中放球不超过1个，则有______种不同放法．例15．（2023·全国·高三专题练习）若方程12348x x x x +++=，其中22x =，则方程的正整数解得个数为______.例16．（2023春·重庆沙坪坝·高二重庆市天星桥中学校考期中）5个相同的小球全部放入3个不同的盒子中，每个盒子至少放1个小球，有____ 种放法．例17．（2023·高二单元测试）不定方程12x y z ++=的非负整数解的个数为_______.例18．（2023春·福建三明·高二统考期末）将5个数学竞赛名额分配给3个不同的班级，其中甲、乙两个班至少各有1个名额，则不同的分配方案种数为__________.例19．（2023·全国·高三专题练习）某校准备参加高中数学联赛，把16个选手名额分配到高三年级的1～4班，每班至少一个名额.(1)不同的分配方案共有多少种？(2)若每班名额不少于该班的序号数，则不同的分配方案共有多少种？例20．（2023·全国·高三专题练习）方程18492021x y z ++=的正整数解有多少组？例21．（2023·高二课时练习）用分步乘法计数原理求()5a b c ++展开式的项数．例22．（2023春·河北邯郸·高二大名县第一中学校考阶段练习）将20个完全相同的球放入编号为1，2，3，4，5的五个盒子中．(1)若要求每个盒子至少放一个球，则一共有多少种放法？(2)若每个盒子可放任意个球，则一共有多少种放法？(3)若要求每个盒子放的球的个数不小于其编号数，则一共有多少种放法？例23．（2023·全国·高三专题练习）方程12n x x x k +++=（,*k n N ∈，k n ≥）的正整数解有多少个？有多少个非负整数解？例24．（2023·高二单元测试）已知不定方程123412x x x x +++=，求：(1)不定方程正整数解的组数；(2)不定方程自然数解的组数.例25．（2023·高二课时练习）不定方程1210100x x x ++⋅⋅⋅+=的正整数解有多少组？例26．（2023·全国·高三专题练习）（1）求方程12345x x x x +++=的非负整数解的组数；（2）某火车站共设有4个安检入口，每个入口每次只能进入1位乘客，求一个4人小组进站的不同方案种数．。
巧用“隔板”解决行测排列组合问题
巧用“隔板”解决行测排列组合问题中公教育研究与辅导专家 庄福明排列组合是公务员考试中很多学员比较头疼的几类题之一。
而像常见的一些排列组合问题，我们只需要用优限法、捆绑法、插空法、间接法就完全可以解决了。
但是有部分题目，难度相对来说又有上升，那么这个时候我们该怎么办呢？接下来中公教育就带大家看一下如何用隔板模型去解决这种排列组合问题的。
一、隔板模型：把n 个相同元素分配给m 各不同对象，每个对象至少分1个。
求方法数。
二、公式：1-m 1-n C例1.将7个大小相同的桔子分给4个小朋友，要求每个小朋友至少得到1个桔子，一共有多少种分配方案？A.14B.18C.20D.22【答案】C 。
中公解析：首先判断出此题属于相同元素分给不同对象，且每个对象至少分1个，可以使用隔板模型公式去解决，利用公式2012345636141-7=⨯⨯⨯⨯==-C C ，故选C 。
例2.将10个相同的小球放入编号为1、2、3的盒子里，若每个盒子里的球的个数不小于它的编号，则共有多少种方法？A.15B.24C.30D.36【答案】A 。
中公解析：首先判断此题属于将相同的元素分配给不同对象，但没有要求每个对象至少分1个。
对于这种题我们也可以用隔板模型去解决，这里我们可以先分别把1、2、3号盒子中放入0、1、2个球，此时就满足我们隔板模型中每个对象至少分1个。
则剩下小球按照隔板模型的分配方式进行分配即，利用公式有15125626=⨯⨯=C ，故选A 。
以上这道题就是对于隔板模型的变形，我们可以通过“先给”的思想，先将一定数量的元素进行分配，然后再转化为基本的隔板模型后利用隔板模型公式进行求解！例3.10个相同的评优名额，分给4个不同的部门，每个部门名额不限。
问有多少种不同的分法？A.286B.136C.94D.72【答案】A 。
中公解析：首先判断此题属于将相同的元素分配给不同对象，但没有要求每个对象至少分1个。
对于这种题我们也可以用隔板模型去解决，这里我们可以先分别向每个部门“借”1个名额。
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巧用隔板法解排列组合题
徐帮利 临沂市第二中学
解决排列组合问题的方法很多,从解题形式来看,可分为直接法和间接法两种;根据具体问题情景又有：相邻问题“捆绑法”;不相邻问题“插空法”;特殊定位“优限法”(优先排列受限制的位置或元素);同元问题“隔板法”等.这里我们重点看一下“隔板法”. “隔板法”适用于相同元素的分配问题,如投球进盒、名额或指标的分配、部分不定方程的整数解的组数等,解决时通常设计一个问题情景,构造一个隔板模型,将复杂的问题简单化,抽象的问题具体化,从而实现解题的目的.下举例述之.
例1.某运输公司有7个车队,每个车队的车多于4辆,现从这7个车队中抽出10辆车,且每个车队至少抽1辆,组成一个运输队,则不同的抽法有（ ）种.
解析:此题若使用其它方法,则需要分类,都比较麻烦,若用“隔板法”,则就轻而易举了.首先将10辆车排好,这样形成9个空,从这9个空中选6个,插入隔板,即将这10辆车分成7
份,每一种插法对应一种抽法,故共有6984C =种不同的抽法.所以选A.
例2.方程123410x x x x +++=共有多少组正整数解
解析:此题乍看上去,好象思路不太好找,那就只好列举了(麻烦啊！).殊不知,巧构隔板模型,即可化繁为简.将10个完全相同的小球排成一列,形成9个空,从中选3个,插入隔板,将球分成4份,每一种插法所得4份球的各份的数目,分别对应1234x x x x 、、、,即为原方程
的一组正整数解.故原方程组共有3984C =组不同的整数解.
例3．将10个相同的小球放入编号为1,2,3的三个盒子中,每个盒子中所放的球数不少于其编号数,问不同的放法有多少种
解析:由于条件要求每个盒子中所放的球数不少于其编号数,我们不妨先“找平了”,即先在第1,2,3个盒中各放0,1,2个球.问题即转化为求:将7个相同的小球放入编号为1,2,3的三个盒子中,每个盒中至少1个球的不同放法.将7个小球排成一排,形成6个空,从中选2个,插入隔板,把球分成三组,放入对应的盒子里,每一种插法,对应一种放法,故共有2615C =种不同的放法.
强化训练:
1.将10本完全相同的书,分给4名同学,每人至少一本,共有多少种不同的分法
答案: 3
984
C=种.
2.方程
1220100
x x x
++⋅⋅⋅+=共有多少组正整数解
答案:19
99
C组.。