六年级奥数第17讲-最大最小问题(教)
六年级奥数考点：极值问题
考点：极值问题一、知识要点人们碰到的各种优化问题、高效低耗问题，最终都表现为数学上的极值问题，即小学阶段的最大最小问题。
最大最小问题设计到的知识多，灵活性强，解题时要善于综合运用所学的各种知识。
二、精讲精练【例题1】a和b是小于100的两个不同的自然数，求a－ba+b的最大值。
根据题意，应使分子尽可能大，使分母尽可能小。
所以b=1；由b=1可知，分母比分子大2，也就是说，所有的分数再添两个分数单位就等于1，可见应使所求分数的分数单位尽可能小，因此a=99a－b a+b 的最大值是99－199+1=4950答：a－ba+b的最大值是4950。
练习1：1、（课后）设x和y是选自前100个自然数的两个不同的数，求x－yx+y的最大值。
99 1012、a和b是小于50的两个不同的自然数，且a＞b，求a－ba+b的最小值。
1 973、设x和y是选自前200个自然数的两个不同的数，且x＞y，①求x+yx－y的最大值；②求x+yx－y的最小值。
（1）399 （2）201 199【例题2】有甲、乙两个两位数，甲数27等于乙数的23。
这两个两位数的差最多是多少？甲数：乙数=23：27=7：3，甲数的7份，乙数的3份。
由甲是两位数可知，每份的数量最大是14，甲数与乙数相差4份，所以，甲、乙两数的差是14×（7-3）=56答：这两个两位数的差最多是56。
练习2：1.（课后）有甲、乙两个两位数，甲数的310等于乙数的45。
这两个两位数的差最多是多少？甲、乙两数的比是8：3，甲数最大是96 ，差最大是60。
2、甲、乙两数都是三位数，如果甲数的56恰好等于乙数的14。
这两个两位数的和最小是多少？甲、乙两数的比是3：10，甲数最小是102，和最小是442。
3.加工某种机器零件要三道工序，专做第一、二、三道工序的工人每小时分别能做48个、32个、28个，要使每天三道工序完成的个数相同，至少要安排多少工人？一、二、三道工序所需的工人数的比是148：132：128＝14：21：24，所以至少安排14+21+24＝59个工人。
六年级奥数第17讲盈亏问题
学生课程讲义
“盈”就是剩余,“亏”就是不足不够的意思。
这类题目的共同特点就是:把一定数量的物品平均分给固定对象,如果按某种标准分,则分配后会有剩余(盈),如果按另一种标准分,分配后又会有不足(亏),求物品和分配对象的数量,这种一盈一亏的应用题,就是我们通常所说的盈亏问题。
【例1】植树小组种树,如果每人种5棵,还剩5棵树苗,如果每人种6棵,就缺4棵树苗,这个植树小组有多少人?这批树苗有多少棵？
【例2】给住校生安排宿舍,每个房间住5人,则缺27个床位若每间房住7人,则空出9个房间。
求住校生人数和房间数。
【例3】幼儿园教师把一箱饼干分给小班和中班的小朋友,平均每人分得6块,如果只分给中班的小朋友平均每人可以多分得4块,如果只分给小班的小朋友,平均每人分得多少块?
【例4】1根绳子绕树5周，还余六分之一米，若用绳子绕树1周还余六分之五米。
求绳子长和树的周长。
高斯小学奥数六年级上册含答案第17讲 整数型计算综合提高
第十七讲 整数型计算综合提高一、多位数计算1． 凑整、凑9的思想；2． 数字和问题：与一个小于它的数相乘，积的数字和是9×n ．二、等差数列1． 等差数列的“配对”思想； 2． 求和公式：（1） ； （2） ． 3． 项数公式：．4． 第n 项：．三、等比数列：等比数列“错位相减”法求和，基本步骤是： （1）设等比数列的和为S ；（2）等式两边同时乘以公比（或者公比的倒数）； （3）两式对应的项相减，消去同样的项，求出结果；四、基本公式1． 平方差公式．2． 平方求和．3． 立方求和．五、整数裂项1． ；2． ．()()()()()123123234345124n n n n n n n ⨯+⨯+⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯++⨯+⨯+=L()()()1212233413n n n n n ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯++⨯+=L()2333312312n n ++++=+++L L ()()22221211236n n n n ⨯+⨯+++++=L ()()22a b a b a b -=-+()1n +-⨯首项公差()1÷+末项-首项公差 ⨯中间项项数 ()2+⨯÷首项末项项数 99999n 个L 14243一、整数数列基本计算 1． 公式型计算； 2． 平方差公式的应用； 3． 整数裂项：（1）基本裂项：例如1×2、1×2×3等； （2） 高等裂项：与阶乘或其它数列相关的裂项． 二、计算技巧 1． 换元思想； 2． 分组思想； 3． 裂项思想；4． 数论思想在计算中的应用；例1． （1）228888888811111111-的计算结果是多少？（2）30830388883333⨯个个L L 1424314243的计算结果的数字和是多少？「分析」（1）还记得平方差公式吗？（2）可以用凑整的思想计算出这个算式的结果，再算数字和．练习1、999999999999999999⨯的计算结果的数字和是多少？例2． 某书的页码是连续的自然数1、2、3、…、9、10、…；小须把这些页码相加时，将其中连续2个页码漏掉了，结果得到2013，那么这本书共有多少页？漏掉的2页是多少？「分析」首先可以估算一下这本书的大概页数是多少？确定页码总数的范围后再计算就变得简单一些了．练习2、把从1开始的所有奇数进行分组，其中每一组的第一个数都等于这一段中所有数的个数，例如：（1），（3，5，7），（9，11，13，15，17，19，21，23，25），（27，29，L L ，79），（81，83，L L ），那么第8组中所有数的和是多少？经典题型例3．对自然数a 和n ，规定1-+=∇n n a a n a ，例如1233232=+=∇，那么： （1）计算：1222302∇+∇++∇L ； （2）计算：2122210∇+∇++∇L ．「分析」首先理解题目定义的新运算规则，然后再计算，注意三角符号前后数字顺序．练习3、对自然数a 和n ，规定1n n a n a a -∇=+，例如32333336∇=+=，那么：算式：1323303∇+∇++∇L 的结果是多少？例4．计算：12+(1+2)4+(1+2+3)6+(1+2+3+4)8++(1+2++20)40⨯⨯⨯⨯⨯L L ． 「分析」试着计算几项，寻找一下规律．练习4、计算：3333333333112123123100112123123100++++++++++++++++++L L L ．例5．计算：12345699100⨯+⨯+⨯++⨯L ． 「分析」这是一道整数裂项的题目，分析一下如何进行拆分．例6．计算：1!32!43!54!62009!20112010!20122011!20132012!⨯-⨯+⨯-⨯++⨯-⨯+⨯-L 「分析」关于阶乘的计算一定牢记：()()!11!n n n ⨯+=+，本题是否有类似计算．数学史上的一代王者——欧拉莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler ，1707年4月5日～1783年9月18日）是瑞士数学家和物理学家．他被一些数学史学者称为历史上最伟大的两位数学家之一（另一位是卡尔·弗里德里克·高斯）．欧拉是第一个使用“函数”一词来描述包含各种参数的表达式的人．他是把微积分应用于物理学的先驱者之一．欧拉1707年4月15日出生于瑞士，在那里受教育．他一生大部分时间在俄罗斯帝国和普鲁士度过．欧拉是一位数学神童．他作为数学教授，先后任教于圣彼得堡和柏林，尔后再返圣彼得堡，柏林科学院的创始人之一．欧拉是有史以来最多遗产的数学家，他的全集共计75卷．他是刚体力学和流体力学的奠基者，弹性系统稳定性理论的开创人．欧拉在固体力学方面的著述也很多，诸如弹性压杆失稳后的形状，上端悬挂重链的振动问题，等等．欧拉实际上支配了18世纪的数学，对于当时的新发明微积分，他推导出了很多结果．在他生命的最后7年中，欧拉的双目完全失明，尽管如此，他还是以惊人的速度产出了生平一半的著作．1733年，丹尼尔吃够了神圣俄罗斯的苦头回自由的瑞士去了，26岁的欧拉坐上了科学院的第一把数学交椅．他感到自己以后的生活要固定在圣彼得堡，便决定结婚，定居下来，并随遇而安．夫人凯瑟琳娜(Catharina)，是彼得大帝带回俄国的画家格塞尔的女儿．后来政治形势变得更糟了，欧拉曾经绝望得想逃走，但随着孩子一个接一个地很快出生，他又感到被拴得越来越牢了，使到不休止的工作中去寻求慰藉．某些传记作家把欧拉的无比多产追溯到他这第一次旅居俄国的时期；平常的谨慎迫使他去成了勤奋工作的牢不可破的习惯．欧拉是能在任何地方、任何条件下进行工作的几个伟大数学家之一．他很喜欢孩子（他自己曾有13个，但除了5个以外，都很年轻就死了）．他写论文时常常把一个婴儿抱在膝上，而较大的孩子都围着他玩．他写作最难的数学作品时也令人难以置信的轻松．许多关于他才思横溢的传说流传至今．有些无疑是夸张的，但据说欧拉确实常常在两次叫他吃晚饭的半小时左右的时间里赶出一篇数学论文．文章一写完，就放到给印刷者准备的不断增高的稿子堆儿上．当科学院的学报需要材料时，印刷者便从这堆儿顶上拿走一打．这样一来，这些文章的发表日期就常常与写作顺序颠倒．由于欧拉习惯于为了搞透或扩展他已经做过的东西而对一个课题反覆搞多次，这种恶果便显得更严重，以至有时关于某课题的一系列文章发表顺序完全相反．1730年小沙皇死去，安娜．伊凡诺芙娜(Annalvanovna，彼得的侄女)当了女皇．就科学院而言，受到了关心，工作活跃多了．而俄国，在安娜的宠臣欧内斯特的间接统治下，遭受了其历史上一段最血腥的恐怖统治．10年里，欧拉沉默地埋头工作．这中间，他遭受了第一次巨大的不幸．他为了赢得巴黎奖金而投身于一个天文学问题，那是几个有影响的大数学家搞了几个月时间的，欧拉在三天之后把它解决了．可是过分的劳累使他得了一场病，病中右眼失明了．欧拉的离世也很特别：在朋友的派对中他中途退场去工作，最后伏在书桌上安静的去了．欧拉的专著和论文多达800多种．小行星欧拉2002是为了纪念欧拉而命名的．作业1. 333333333333⨯的计算结果的数字和是多少？2. 甲、乙二人每天背单词，甲背单词的数量每天增加5个，乙背单词的数量每天增加1倍，已知第一天二人共背了33单词，第二天二人共背了40个单词，那么从第几天起乙每天背的单词要比甲多，从第几天起乙背过的单词数量要比甲多？3. 计算：（1）222221222340++++L ；（2）222224642++++L ；（3）222213523+++L ，的结果？4. 计算：139238337436391⨯+⨯+⨯+⨯++⨯L ．5. 已知一个平方数加上143后还是一个平方数，请问两个平方数中较小的那个是多少？第十七讲 整数型计算综合提高例题：例7． 答案：7777777622222223；270详解：（1）根据平方差公式可得： ()()()2288888888111111118888888811111111888888881111111199999999777777777777777710000000017777777700000000777777777777777622222223-=+⨯-=⨯=⨯-=-=（2）凑整可得：30830330830310296309929697038888333388883333332962962969999296296295703703704⨯=÷⨯⨯=⨯=L L L L 14243142431424314243L L L L 1442443142431424314243个个个个个个个个数字和是270．例8． 答案：这本书共有64或63页；漏掉的两页是33、34或1、2详解：123642080++++=L ．所以共64页，差的两个页码的和是67，所以是33页和34页．123632016++++=L ．所以也可以数63页，差的两个页码的和是3，所以是1页和2页．例9．答案：（1）9920；（2）3069 详解：（1）根据题目定义的新运算可得：()()()()()2222212302112230301301309920∇++∇=++++++=+++++=L L L L ； （2）()()()10211092122210222222∇+∇++∇=++++++L L()()1210019111022222222213069=+++++++=-+-=L L ．例10． 答案：46970详解：()()()()()()2222222233322212+(1+2)4+(1+2+3)6+(1+2+3+4)8++(1+2++20)401223342021=2464022221223342021111221331202011220122046970⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯+⨯+⨯+⨯=⨯+⨯+⨯++⨯=⨯++⨯++⨯+++⨯+=+++++++=L L L L L L L例11． 答案：169150详解：()()()()()()22222221234569910022446610010024100241001717002550169150⨯+⨯+⨯++⨯=-+-+-++-=+++-+++=-=L L L L例12． 答案：1详解：()()()()()()()()()1!32!43!54!62009!20112010!20122011!20132012!1!122!133!142010!120112011!120122012!1!2!2!3!3!4!2010!2011!2011!2012!2012!1⨯-⨯+⨯-⨯++⨯-⨯+⨯-=⨯+-⨯++⨯+--⨯++⨯+-=+-+++--+++-=L L L练习：练习1、答案：81 简答：11111111199111111111=1234567999999999912345678987654321=÷⨯⨯⨯=原式结果数字和为81．练习2、 答案：9563751简答：找规律，发现每个括号的第一个数恰好是3的次方，即1，3，9，27，81，L L ，从而第8组第1个数为2187，第9个组第1个数为6561，即求218721896559+++L L ，等差数列求和得()21876559218729563751+⨯÷=．练习3、答案：225680简答：3232323213233031122333030∇+∇++∇=++++++++L L222233331233012330225680+++++++++=L L ．练习4、 答案：171700简答：需要借助这样一个公式：()23333123123n n ++++=++++L L L L ，因此，原式1(12)(123)(123100)(122334100101)2=+++++++++++=⨯+⨯+⨯++⨯÷L L L()()22211210021210021001012012505021717006=+++÷++++÷=⨯⨯⨯÷+÷=L L ．作业6. 答案：54简答：333333333333111110888889⨯=，数字和是54．7. 答案：6；8简答：设第一天两人分别背了a 、b 个单词，所以甲第n 天背5(1)a n +-个单词，乙第n 天背12n b -个单词，由第一、二天分别背了的单词数可分别列出方程33a b +=和5240a b ++=，可求得a 和b 分别为31和2，可知答案为6；8．8. 答案：（1）19270；（2）13244；（3）23009. 答案：10660简答：2221(401)2(402)39(4039)40(1239)(1239)=⨯-+⨯-++⨯-=⨯+++-+++L L L 原式 10660=．10. 答案：1或5041简答：设已知关系式为22143a b +=，应用平方差公式有()()143b a b a +-=，然后讨论143的约数知两数和与差分别为143与1，或13与11，所以可得答案为1或5041．。
最新小学数学奥数基础教程(六年级)目30讲全[1]
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小学奥数基础教程(六年级)第1讲比较分数的大小第2讲巧求分数第3讲分数运算的技巧第4讲循环小数与分数第5讲工程问题(一)第6讲工程问题(二)第7讲巧用单位“1”第8讲比和比例第9讲百分数第10讲商业中的数学第11讲圆与扇形第12讲圆柱与圆锥第13讲立体图形(一)第14讲立体图形(二)第15讲棋盘的覆盖第16讲找规律第17讲操作问题第18讲取整计算第19讲近似值与估算第20讲数值代入法第21讲枚举法第22讲列表法第23讲图解法第24讲时钟问题第25讲时间问题第26讲牛吃草问题第27讲运筹学初步（一）第28讲运筹学初步（二）第29讲运筹学初步（三）第30讲趣题巧解第一讲比较分数的大小同学们从一开始接触数学，就有比较数的大小问题。
比较整数、小数的大小的方法比较简单，而比较分数的大小就不那么简单了，因此也就产生了多种多样的方法。
对于两个不同的分数，有分母相同，分子相同以及分子、分母都不相同三种情况，其中前两种情况判别大小的方法是：分母相同的两个分数，分子大的那个分数比较大；分子相同的两个分数，分母大的那个分数比较小。
第三种情况，即分子、分母都不同的两个分数，通常是采用通分的方法，使它们的分母相同，化为第一种情况，再比较大小。
由于要比较的分数千差万别，所以通分的方法不一定是最简捷的。
下面我们介绍另外几种方法。
1.“通分子”。
当两个已知分数的分母的最小公倍数比较大，而分子的最小公倍数比较小时，可以把它们化成同分子的分数，再比较大小，这种方法比通分的方法简便。
如果我们把课本里的通分称为“通分母”，那么这里讲的方法可以称为“通分子”。
2.化为小数。
这种方法对任意的分数都适用，因此也叫万能方法。
但在比较大小时是否简便，就要看具体情况了。
3.先约分，后比较。
有时已知分数不是最简分数，可以先约分。
4.根据倒数比较大小。
5.若两个真分数的分母与分子的差相等、则分母（子）大的分数较大；若两个假分数的分子与分母的差相等，则分母（子）小的分数较大。
高斯小学奥数六年级上册含答案第17讲整数型计算综合提高
34第十七讲整数型计算综合提高「、多位数计算1. 凑整、凑9的思想；2.数字和问题：992L$9与一个小于它的数相乘，积的数字和是9xn .n 个9、等差数列1. 等差数列的“ 配对”思想；2. 求和公式：(1) 首项末项 项数 2;(2)中间项项数. 3. 项数公式： 末项-首项公差14. 第n 项：首项页n 1 公差.三、等比数列：等比数列“错位相减”法求和，基本步骤是： (1) 设等比数列的和为 S ；(2) 等式两边同时乘以公比(或者公比的倒数) (3) 两式对应的项相减，消去同样的项，求出结果;四、基本公式n n 1 2n 13. 立方求和 五、 1.2..331 2 整数裂项 331. 平方差公式2. 平方求和I经典题型一、整数数列基本计算1. 公式型计算；2. 平方差公式的应用；3. 整数裂项：(1)基本裂项：例如1X2、1X2X3等；(2)高等裂项：与阶乘或其它数列相关的裂项.二、计算技巧1. 换元思想；2. 分组思想；3. 裂项思想；4. 数论思想在计算中的应用；例1 . ( 1) 888888882 111111112的计算结果是多少？(2) 888Lg8 332^3的计算结果的数字和是多少？30个8 30个3「分析」(1)还记得平方差公式吗？( 2 )可以用凑整的思想计算出这个算式的结果,再算数字和.练习1、999999999 999999999的计算结果的数字和是多少？例2.某书的页码是连续的自然数1、2、3、…、9、10、…；小须把这些页码相加时，将其中连续2个页码漏掉了，结果得到2013,那么这本书共有多少页？漏掉的2页是多少?「分析」首先可以估算一下这本书的大概页数是多少？确定页码总数的范围后再计算就变得简单一些了.练习2、把从1开始的所有奇数进行分组，其中每一组的第一个数都等于这一段中所有数的个数，例如：(1), (3, 5, 7), (9, 11, 13, 15, 17, 19, 21 , 23, 25), (27, 29,L L , 79), (81, 83, L L ),那么第8组中所有数的和是多少？(1)计算:(2)计算:「分析」首先理解题目定义的新运算规则，然后再计算，注意三角符号前后数字顺序.1 323 L 30 3的结果是多少?「分析」这是一道整数裂项的题目，分析一下如何进行拆分.例3.对自然数a 和n , 规定a n a n 1，例如 3 2 32 3 12，那么:30 2 ；2 10.练习3、对自然数a和n ，规定a n a n 1，例如 3 3 33 3236，那么: 算式:例4.计算:1 2+(1+2) 4+(1+2+3) 6+(1+2+3+4) 8+L +(1+2+L +20) 40 -「分析」试着计算几项，寻找一下规律.练习4、计算:33 3 3 3 3112 12 3. — ------- --------------- L 1 1 2 1 2 :3 3 3 . 31 2 3 L 100 1 2 3 L__100例5.计算：1 2 3 4 5 6 L 99 100 .例6.计算：1! 3 2! 4 3! 5 4! 6 L 2009! 2011 2010! 2012 2011! 2013 2012!「分析」关于阶乘的计算一定牢记:n! n 1 n 1 !，本题是否有类似计算.数学史上的一代王者--- 欧拉莱昂哈德欧拉（Leonhard Euler , 1707年4月5日〜1783年9月18日）是瑞士数学家和物理学家.他被一些数学史学者称为历史上最伟大的两位数学家之一（另一位是卡尔弗里德里克高斯）.欧拉是第一个使用“函数”一词来描述包含各种参数的表达式的人•他是把微积分应用于物理学的先驱者之一.欧拉1707年4月15日出生于瑞士，在那里受教育.他一生大部分时间在俄罗斯帝国和普鲁士度过.欧拉是一位数学神童.他作为数学教授，先后任教于圣彼得堡和柏林，尔后再返圣彼得堡，柏林科学院的创始人之一.欧拉是有史以来最多遗产的数学家，他的全集共计75卷•他是刚体力学和流体力学的奠基者，弹性系统稳定性理论的开创人.欧拉在固体力学方面的著述也很多，诸如弹性压杆失稳后的形状，上端悬挂重链的振动问题，等等•欧拉实际上支配了18世纪的数学，对于当时的新发明微积分，他推导出了很多结果•在他生命的最后7年中，欧拉的双目完全失明，尽管如此，他还是以惊人的速度产出了生平一半的著作.1733年，丹尼尔吃够了神圣俄罗斯的苦头回自由的瑞士去了，26岁的欧拉坐上了科学院的第一把数学交椅. 他感到自己以后的生活要固定在圣彼得堡，便决定结婚，定居下来，并随遇而安.夫人凯瑟琳娜（Catharina），是彼得大帝带回俄国的画家格塞尔的女儿.后来政治形势变得更糟了，欧拉曾经绝望得想逃走，但随着孩子一个接一个地很快出生，他又感到被拴得越来越牢了，使到不休止的工作中去寻求慰藉. 某些传记作家把欧拉的无比多产追溯到他这第一次旅居俄国的时期；平常的谨慎迫使他去成了勤奋工作的牢不可破的习惯.欧拉是能在任何地方、任何条件下进行工作的几个伟大数学家之一. 他很喜欢孩子（他自己曾有13个，但除了5个以外，都很年轻就死了）.他写论文时常常把一个婴儿抱在膝上，而较大的孩子都围着他玩.他写作最难的数学作品时也令人难以置信的轻松.许多关于他才思横溢的传说流传至今. 有些无疑是夸张的，但据说欧拉确实常常在两次叫他吃晚饭的半小时左右的时间里赶出一篇数学论文. 文章一写完，就放到给印刷者准备的不断增高的稿子堆儿上. 当科学院的学报需要材料时，印刷者便从这堆儿顶上拿走一打.这样一来，这些文章的发表日期就常常与写作顺序颠倒. 由于欧拉习惯于为了搞透或扩展他已经做过的东西而对一个课题反覆搞多次，这种恶果便显得更严重，以至有时关于某课题的一系列文章发表顺序完全相反.1730年小沙皇死去，安娜.伊凡诺芙娜（Annalvanovna，彼得的侄女）当了女皇.就科学院而言，受到了关心，工作活跃多了.而俄国，在安娜的宠臣欧内斯特的间接统治下，遭受了其历史上一段最血腥的恐怖统治. 10年里，欧拉沉默地埋头工作. 这中间，他遭受了第一次巨大的不幸.他为了赢得巴黎奖金而投身于一个天文学问题，那是几个有影响的大数学家搞了几个月时间的，欧拉在三天之后把它解决了. 可是过分的劳累使他得了一场病，病中右眼失明了.欧拉的离世也很特别：在朋友的派对中他中途退场去工作，最后伏在书桌上安静的去了.欧拉的专著和论文多达800多种.小行星欧拉2002是为了纪念欧拉而命名的.作业1. 333333 333333 的计算结果的数字和是多少？2. 甲、乙二人每天背单词，甲背单词的数量每天增加5 个，乙背单词的数量每天增加1 倍，已知第一天二人共背了33 单词，第二天二人共背了40 个单词，那么从第几天起乙每天背的单词要比甲多，从第几天起乙背过的单词数量要比甲多？3. 计算：(1) 212222232 L 402；(2) 224262L 422；(3) 123252L 232，的结果？4. 计算：1 39 2 38 3 37 4 36 L 39 1 .5. 已知一个平方数加上143后还是一个平方数，请问两个平方数中较小的那个是多少？第十七讲整数型计算综合提高例题:例7.答案：7777777622222223; 270详解 :（1）根据平方差公式可得:22888888882 11111111288888888 11111111 88888888 1111111199999999 7777777777777777 100000000 17777777700000000 777777777777777622222223（2）凑整可得:814828L438 314332L433 814882L438 3 3 314323L43330个8 30 个3 30个8 30个321 94642926 L4 24396 914992 L43 9 129462L 42396295710432L 473037041 0个296 30个9 9个296 9个703数字和是270.例8. 答案:这本书共有64或63页；漏掉的两页是33、34或1、2详解 : 1 2 3 L 64 2080 .所以共64 页，差的两个页码的和是67，所以是33 页和34 页.1 2 3 L 63 2016.所以也可以数63页，差的两个页码的和是3，所以是1 页和2 页.例9. 答案:（1）9920；（2）3069详解 :（1）根据题目定义的新运算可得:122L 30 2 121222L3023012L3021 L 30 9920；（2）2122L21021202221L210292122L2102021L29211 2 21013069.例10 . 答案：46970详解：1 2+(1+2) 4+(1+2+3) 6+(1+2+3+4) 8+L +(1+2+L +20) 401 2 门2 3 , 3 4门20 21246L4022222 22. 21 2 233 4 L 202112 1 122 2 1 323 1 L202 20 11323 L2031222 L20246970例11 .答案：169150详解：1 2 3 4 5 6 L99 10022 242462 6 L1002 1002 22 4L1002 2 4 L1001717002550169150例12 . 答案：1详解：1! 3 2! 43!5 4! 6 L2009!20112010! 2012 2011! 2013 2012!1! 1 22! 1 3 3! 1 4 L2010! 1 2011 2011! 1 2012 2012!1! 2! 2!3!3! 4! L2010!2011!2011! 2012! 2012!1练习:练习1、答案：81简答：原式111111111 9 9 11111111 仁12345679 99999999912345678987654321结果数字和为81 .练习2、答案：9563751简答：找规律，发现每个括号的第一个数恰好是3的次方，即1 , 3, 9, 27, 81, L L，从而第8组第1个数为2187，第9个组第1个数为6561 ,即求2187 2189 L L 6559，等差数列求和得218765592187 29563751 .练习3、答案: :225680简答: ：1 3 2 3 L30 3.3 .21 123 2233朋■小小3 小小23 L 30 30? ^2 ^21 2 3L"2 ,330 1^3 小32 3L 303225680 .练习4、答案：171700简答: 需要借助这样一个公式：132333 L L n3122 3 L L n ,因此，原式1(1 2) (1 2 3) L (12 3 L100) (1 2 2 3 3 4 L 100 101) 21222 L 1002 2 1 2L10012 - 100101201 2 5050 2 171700 .6作业6. 答案：54简答：333333 333333 111110888889 ，数字和是54.7. 答案：6；8简答：设第一天两人分别背了a、b个单词，所以甲第n天背a 5(n 1)个单词，乙第n 天背2n1b个单词，由第一、二天分别背了的单词数可分别列出方程 a b 33和a 5 2b 40 ，可求得a 和b 分别为31 和2，可知答案为6；8.8. 答案：(1)19270；(2)13244；(3)23009. 答案：10660简答：2 2 2 原式1 (40 1) 2 (40 2) L 39 (40 39) 40 (1 2 L 39) (1222 L 392)10660 .10. 答案：1 或5041简答：设已知关系式为a2143 b2，应用平方差公式有(b a)(b a) 143，然后讨论143 的约数知两数和与差分别为143与1，或13 与11，所以可得答案为1 或5041.。
(完整版)小学奥数最值问题
最值问题内容概述均值不等式，即和为定值的两数的乘积随着两数之差的增大而减小．各种求最大值或最小值的问题，解题时宜首先考虑起主要作用的量，如较高数位上的数值，有时局部调整和枚举各种可能情形也是必要的．典型问题2．有4袋糖块，其中任意3袋的总和都超过60块．那么这4袋糖块的总和最少有多少块?【分析与解】方法一：设这4袋为A、B、C、D，为使4袋糖块的总和最少，则每袋糖应尽量平均，有A、B、C袋糖有20、20、21块糖．则当A、B、D三袋糖在一起时，为了满足条件，D袋糖不少于21块，验证A、B、C、D 这4袋糖依次有20，20，2l，2l时满足条件，且总和最少．这4袋糖的总和为20+20+21+21=82块．方法二：设这4袋糖依次有a、b、c、d块糖，有61616161a b ca b da c db c d++≥⎧⎪++≥⎪⎨++≥⎪⎪++≥⎩①②③④，①+②+③+④得：3（a+b+c+d）≥244,所以a+b+c+d≥8113,因为a+b+c+d均是整数，所以a+b+c+d的和最小是82．评注：不能把不等式列为a b c60a+b+d60a+c+d60b+c+d60++〉⎧⎪〉⎪⎨〉⎪⎪〉⎩①②③④，如果这样将①+②+③+④得到3(a+b+c+d)>240,a+b+c+d>80，因为a、b、c、d均是整数，所以a+b+c+d的和最小是81.至于为什么会出现这种情况．如何避免,希望大家自己解决.4．用1，3，5，7，9这5个数字组成一个三位数ABC和一个两位数DE，再用O，2，4，6，8这5个数字组成一个三位数FGH和一个两位数IJ．求算式ABC×DE-FGH×IJ的计算结果的最大值．【分析与解】为了使ABC×DE-FGH×IJ尽可能的大，ABC×DE尽可能的大，FGH×IJ 尽可能的小．则AB C×DE最大时，两位数和三位数的最高位都最大，所以为7、9，然后为3、5，最后三位数的个位为1，并且还需这两个数尽可能的接近，所以这两个数为751，93．则FGH×IJ最小时，最高位应尽可能的小，并且两个数的差要尽可能的大，应为468×20．所以AB C×DE-FG H×IJ的最大值为751×93-468×20=60483．评注：类似的还可以算出FGH×IJ-ABC×DE的最大值为640×82-379×15=46795．6．将6，7，8，9，10按任意次序写在一圆周上，每相邻两数相乘，并将所得5个乘积相加，那么所得和数的最小值是多少?【分析与解】我们从对结果影响最大的数上人手，然后考虑次大的，所以我们首先考虑10，为了让和数最小，10两边的数必须为6和7．然后考虑9，9显然只能放到图中的位置，最后是8，8的位置有两个位置可放，而且也不能立即得到哪个位置的乘积和最小，所以我们两种情况都计算．8×7+7×10+10×6+6×9+9×8=312;9×7+7×10+10×6+6×8+8×9=313．所以，最小值为312．8．一个两位数被它的各位数字之和去除，问余数最大是多少?【分析与解】设这个两位数为ab=lOa+b，它们的数字和为a+b,因为lOa+b=(a+b)+9a，所以lOa+b≡9a(mod a+b)，设最大的余数为k，有9a≡k(mod a+b)．特殊的当a+b为18时，有9a=k+18m，因为9a、18m均是9的倍数，那么k也应是9的倍数且小于除数18，即0，9，也就是说余数最大为9；所以当除数a+b不为18，即最大为17时，:余数最大为16，除数a+b只能是17，此时有9a=15+17m，有m=7+9ta=15+17t⎧⎨⎩(t为可取0的自然数)，而a是一位数，显然不满足；：余数其次为15，除数a+b只能是17或16，除数a+b=17时，有9a=15+17m,有m=6+9ta=13+17t⎧⎨⎩,(t为可取0的自然数)，a是一位数，显然也不满足；除数a+b=16时，有9a=15+16m,有m=3+9ta=7+16t⎧⎨⎩(t为可取0的自然数)，因为a是一位数，所以a只能取7，对应b为16-7=9，满足；所以最大的余数为15，此时有两位数79÷(7+9)=4……15．10．用1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字各一次，组成一个被减数、减数、差都是三位数的正确的减法算式，那么这个算式的差最大是多少?【分析与解】考虑到对差的影响大小，我们先考虑百位数，为了让差最大，被减数的百位为9，减数的百位为1，如果差的百位为8，那算式就是如下形式：剩下的6个数字为2、3、4、5、6、7，因为百位数字为8，所以我们可以肯定被减数的十位数字比减数要大，而且至少大2，因为1已经出现在算式中了，算式的可能的形式如下：得数的十位只可能是减数和被减数的十位数字之差，或者小1，可能的算式形式如下：但这时剩下的数都无法使算式成立．再考虑差的百位数字为7的情况，这时我们可以肯定减数的十位数比被减数要大，为了使差更大，我们希望差值的十位为8，因此，算式可能的形式为：再考虑剩下的三个数字，可以找到如下几个算式：，所以差最大为784．12. 4个不同的真分数的分子都是1，它们的分母有2个是奇数、2个是偶数，而且2个分母是奇数的分数之和与2个分母是偶数的分数之和相等．这样的奇数和偶数很多，小明希望这样的2个偶数之和尽量地小，那么这个和的最小可能值是多少?【分析与解】设这四个分数为上12m、12n、12a+1、12b+1(其中m、n、a、b均为非零自然数)有12m+12n=12a+1+12b+1，则有12m-12b+1=12a+1-12n，我们从m=1,b=1开始试验：1 2=16+13=14+14，13=112+14=16+16，1 4=120+15=18+18，15=130+16=110+110，1 6=15+110=112+112，﹍我们发现，15和16分解后具有相同的一项110，而且另外两项的分母是满足一奇一偶，满足题中条件：1 5+115=16+110，所以最小的两个偶数和为6+10=16．14.有13个不同的自然数，它们的和是100．问其中偶数最多有多少个?最少有多少个？【分析与解】 13个整数的和为100，即偶数，那么奇数个数一定为偶数个，则奇数最少为2个，最多为12个；对应的偶数最多有11个，最少有1个．但是我们必须验证看是否有实例符合．当有11个不同的偶数，2个不同的奇数时，11个不同的偶数和最小为2+4+6+8+10+12+14+16+18+20+22=132，而2个不同的奇数和最小为1+3=4．它们的和最小为132+4=136，显然不满足：当有9个不同的偶数，4个不同的奇数时，9个不同的偶数和最小为2+4+6+8+10+12+14+16+18=90，而4个不同的奇数和最小为1+3+5+7=16，还是大于100，仍然不满足；当有7个不同的偶数，6个不同的奇数时，7个不同的偶数和最小为2+4+6+8+10+12+14=56，6个不同的奇数和为1+3+5+7+9+11：36，满足，如2，4，6，8，10，12，22，1，3，5，7，9，11的和即为100．类似的可知，最少有5个不同的偶数，8个不同的奇数，有2，4，8，10，16，1．3．5，7，9，11，13，15满足．所以，满足题意的13个数中，偶数最多有7个，最少有5个．。
小学六年级小升初培优奥数-最大与最小问题
最大与最小问题知识要点在日常生活中，我们经常会遇到有关最大、最小、最多、最少等诸多问题，而这一类问题我们统一称为最大与最小问题。
最大与最小问题涉及的知识点很广泛，题目也相对复杂，而且很多题目没有固定的解题模式，所以解决这一类问题时，需要根据题目所给的条件灵活的去分析、判断、计算以及推理最后得到正确的答案。
1、若三个数的和为定值，则当三个数相等时，他们的乘积最大。
2、若n个数的和为定值，则当这n个数相等时，他们的乘积最大。
3、若两个数的乘积一定，则当两个数相等时，他们的和最小。
4、在棱长和相等的长方体中，长、宽、高都相等的长方体（正方体）的体积最大。
精选例题例1 如果四个人的平均年龄为30岁，并且在四个人当中没有谁的年龄小于21岁，那么年龄最大的可能是多少岁？☝思路点拨：四个人的平均年龄是30岁，则四个人的年龄总和是30×4=120岁，又因为四个人当中没有小于21岁的，所以当其中三个人的年龄都为最小时，另一个人的年龄最大。
☝标准答案：30×4－21×3=57（岁）活学巧用1、如果8个人的平均年龄是48岁，已知8人中，没有大于51岁的，又知，最多能有三个人的年龄相同，那么年龄最小的可能是几岁？2、有一队学生（200人以内）如果每9人排成一列，最后余下4人，如果7人排成一列，最后余下3人，问，这队学生有多少人？3、已知五个人的平均年龄为18岁，且五个人中没有小于15岁的，则五个人中年龄最大的是多少岁？例2 某人有一根长16米的铁丝网，他要借用围墙作一面，用这根铁丝网围成一个长方形菜地，并且使这块菜地的面积尽可能的大，问这个菜地的最大面积是多少？☝思路点拨：将菜地关于围墙“对称”得菜地与对称图形的复合图形，其长与宽的和为16×2=32从而，当复合图形是边长为8米时面积最大，而当菜地的长为8米，宽为4米时菜地的面积是最大的。
☝标准答案：4×8=32✌活学巧用1、用长为28米的竹篱笆围成一块长方形菜地，其中一边靠墙，为使菜地面积最大，应该怎么分配长于宽，最大面积是多少平方米？2、用30厘米的铁丝围成一个长方形，要使长方形的面积最大，长和宽应该是多少厘米？最大面积是多少平方厘米？3、把一根长537厘米的木料锯成长为35厘米和长为26厘米的短木料那么，各锯多少根才能使余料最少？（不计损耗）例3 将14分拆成若干个自然数的和，如何分拆，可以使这些自然数的乘积最大？☝思路点拨：将14分成若干个自然数的和时，为了使这些自然数的乘积最大，分拆中尽可能的用2与3，且尽可能的选择3多一点。
六年级数学竞赛上册奥数高思第17讲数论综合与简单代数式(彩色)
开关．现在有编号为 1 至 2008 的 2008 个人来按动这些开关．已知第 1 个
人按的开关的编号是 1 的倍数（也就是说他把所有开关都按了一遍），第
2
个人按的开关的编号是 2 的倍 ，第 3 个人按的开关的编号是 3 的倍数， ……
依次做下去，第 2008 个人
开关的编号是 2008 的倍数．如果最开始的
3 2 或 中的某一个数的倍数时，会有一个掉坑里．这种分数的
4 怎么处 理呢？
3
1
12 的倍数且又是 4
8
2
“公倍数 ”问题，
练习
2
6. 大、中、小三只乌龟围着龙宫绕圈．三只乌龟从同一地点同时出发，大乌龟每
1
3
分钟绕龙宫爬一圈，中乌龟每
2 3 分钟绕龙宫爬一圈，小乌龟每 4
4 2 分钟绕龙宫爬一圈． 5
数论综合与简单代数式
课本
分析 由于约数是成对出现的（即如果甲是乙的约数，则乙除以甲的商也是乙
的约数，可以配对，当然完全平方数会有一对两数相同的配对）
，这个数的最大
的约数是它本身，第二大约数是这个数除以它的最小质因数．
练习
5. 一个两位数，其最小的三个约数之和是 是多少？
32 ，那么这个两位数最大的三个约数之和
数论综合与简单代数式
17 数论综合与简单代数式
课本
123
身体健康
六年级
上册第 17 讲
今天我们主要针对以往学过的数论知识作一些复习．同时，出于向初中数论过渡的 考虑，所涉及的题目与之前所学问题相比，多了不少字母．这样的问题处理起来并没有 太多的不同，只是对理解字母含义提出了较高的要求，需要同学们初步地建立对 的感觉．
我们列举两个如下：
奥数最大公因数最小公倍数讲义及答案
数的整除（3）最大公因数、最小公倍数教室姓名学号【知识要点】1、几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数；其中最大的一个叫做这几个数的最大公因数。
自然数a、b的最大公因数记作（a，b）。
2、几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数；其中最小的一个叫做这几个数的最小公倍数。
自然数a、b的最小公倍数记作［a，b］。
3、两个自然数的最大公因数和最小公倍数的性质：（1）（a，b）×［a，b］=a×b；（2）若a＞b，则a－b及b的最大公因数就等于a及b的最大公因数。
（3）a+b及b的最大公因数，等于a及b的最大公因数。
【典型例题】例1.甲数是24，甲、乙两数的最小公倍数是168，最大公因数是4，求乙数。
解：由性质（1）得到乙数=168×4÷24＝28.例2.将长为90厘米，宽为42厘米的长方形铁皮剪成边长是整厘米数，面积相等的正方形铁皮，恰无剩余，问至少剪成多少块？解：把长方形铁皮剪成边长是整厘米数，面积相等的正方形，则正方形的边长应是长方形的长和宽的公因数，又要求所剪正方形铁片块数最少，因此正方形边长是长方形长及宽的最大公因数。
（90，42）=6.至少能剪90×42÷（6×6）=105（块）.例 3.马鹏和李虎计算甲、乙两个自然数的乘积，马鹏把甲数的个位数字看错了，得乘积473；李虎把甲数的十位数字看错了，得乘积407，那么甲、乙两数的乘积应是多少？解：473及407的最大公因数是11，而11是质数，所以乙数是11，又473=43×11，407＝37×11，所以甲数是47，甲乙两数的乘积应为：47×11=517或1×477=477.例4.有一种自然数，它加上1是2的倍数，加上2是3的倍数，加上3是4的倍数，加上4是5的倍数，加上5是6的倍数，加上6是7的倍数，则这种自然数中除1以外，最小数是多少？解：根据已知，若这个数分别加上1、2、3、4、5、6是2、3、4、5、6、7的倍数，求这个数最小是多少，即这个数是2，3，4，5，6，7的最小公倍数加上1.［2，3，4，5，6，7］=420，最小数是：420+1=421。
小学数学6年级培优奥数讲义 第17讲 最大最小问题(教师版)
第17讲最大最小问题教学目标学会在题目中判断出限制条件；学会分数知识的综合运用；从题目限制条件中分析最大最小问题。
知识梳理在日常生活中,人们常常会遇到“路程最近”、“费用最省”、“面积最大”、“损耗最少”等问题,这些寻求极端结果或讨论怎样实现这些极端情形的问题,最终都可以归结成为:在一定范围内求最大值或最小值的问题,我们称这些问题为“最大最小问题”。
解答最大最小问题通常要用下面的方法:1、枚举比较法。
当题中给定的范围较小时,我们可以将可能出现的情形一一举出再比较；2、着眼于极端情形,即充分运动已有知识和生活常识,一下子从“极端”情形入手,缩短解题过程。
人们碰到的各种优化问题、高效低耗问题,最终都表现为数学上的极值问题,即小学阶段的最大最小问题。
最大最小问题设计到的知识多,灵活性强,解题时要善于综合运用所学的各种知识。
典例分析考点一:简单最大最小问题例1、把1、2、3、…、16分别填进图中16个三角形里,使每边上7个小三角形内数的和相等。
问这个和最大值是多少？【解析】为了方便描述,我们把图中部分三角形注上字母,从图中可以看出:中心处D中填的数和三条边上的和没有关系,因此,应填最小的数1。
而三个角上的a、b、c六个三角形中的数都被用过两次,所以要尽可能填大数,即填11——16。
然后根据“三角形三边上7个小三角形内数的和相等”这一条件,就可以计算出这个和的最大值了。
(2＋3＋4＋…＋16＋11＋12＋13＋14＋15＋16)÷3=72例2、有8个西瓜,它们的重量分别是2千克、3千克、4千克、4千克、5千克、6千克、8.5千克、10千克。
把它们分成三堆,要使最重的一堆西瓜尽可能轻些,那么,最重的一堆应是多少千克？【解析】3堆西瓜的总重量是42.5千克,要使最重的一堆尽可能轻些,另两堆就得尽可能重些。
根据42.5÷3=14千克……0.5千克可知:最重的一堆是14＋0.5=14.5千克,即由6千克和8.5千克组成,另外两堆分别是14千克。
六年级下册奥数试题最大与最小全国通用(含答案)
第八讲最大与最小在实际生活与生产实践中，人们总是想用最少的财力、物力、人力以及时间等在可能的范围内取得最佳效益。
况且，在许多现实问题中有时很难确定或者就不需要具体的每个数值，有时只关心最大、最小等极值。
这一讲就来研究某个量在一定条件下取得最大值或最小值问题。
这类问题题目中经常出现“最小”、“至少”、“至多”等术语。
经常只能根据具体问题，综合运用所学知识进行求解。
例1某校六年级一班准备用100元钱买圣诞树装饰品。
在花店这样的装饰品成束出售，由20朵花组成的花束每束价值4元，由35朵花组成的花束每束价值6元，由50朵花组成的花束每束价值9元，请问每种花束各买多少才能买到最多的花朵？分析：想用100元钱买到最多的花朵，题目中有三种花束：A种：由20朵花组成的花束价值4元B种：由35朵花组成的花束价值6元C种：由50朵花组成的花束每束价值9元平均1元钱可买A种花朵5朵或B种花朵5.8朵或C种花朵5.5朵，为了买到最多的花朵，应该多买B种花束解：经分析可知由35朵花组成的B种花束中的花朵最便宜，宜多买。
由于每束6元，故100元钱可买16束，还剩4元钱，这4元钱恰好买一束由20朵花组成的A种花束，这时共买花朵：16×35+20=580（朵），若B种花束少买几束，增加A种或C种花束的数量，都不能使花朵数达到580朵。
因此，应买由35朵花组成的花束16束和由20朵花组成的花束1束，可使花朵数量最多：580朵。
说明：此题也可设A种、B种、C种花束各买x束、y束、z束时，可使花朵最多，列方程：4x+6y+9z=100，x，y，z是自然数可以先缩小字母的取值范围。
例如12元能买3束A种花束或2束B种花束，分别得到60朵花和70朵花，于是很清楚在最优解中A种花束不应超过2束。
同理，比较B种花束和C种花束，发现要使花朵最多，C种花束不应超过1束，即x≦2，z≦1，下面只有很少的几种情况了，可以一一列举，同样可以求得x=1，z=0，y=16例2有一类自然数，从第三个数字开始，每个数字恰好是它前面两个数字之和，如134，1459等等，求这类数中最大的自然数和最小的自然数。
六年级奥数--最大最小问题
六年级奥数——最大最小问题一、知识要点人们碰到的各种优化问题、高效低耗问题，最终都表现为数学上的极值问题，即小学阶段的最大最小问题。
最大最小问题设计到的知识多，灵活性强，解题时要善于综合运用所学的各种知识。
二、精讲精练【例题1】a 和b 是小于100的两个不同的自然数，求a －b a+b的最大值。
根据题意，应使分子尽可能大，使分母尽可能小。
所以b=1；由b=1可知，分母比分子大2，也就是说，所有的分数再添两个分数单位就等于1，可见应使所求分数的分数单位尽可能小，因此a=99a －b a+b 的最大值是99－199+1 =4950答：a －b a+b 的最大值是4950。
练习1：1、设x 和y 是选自前100个自然数的两个不同的数，求x －y x+y的最大值。
2、a 和b 是小于50的两个不同的自然数，且a ＞b ，求a －b a+b的最小值。
3、设x 和y 是选自前200个自然数的两个不同的数，且x ＞y ，①求x+y x －y的最大值；②求x+y x －y的最小值。
有甲、乙两个两位数，甲数27等于乙数的23。
这两个两位数的差最多是多少？甲数：乙数=23：27=7：3，甲数的7份，乙数的3份。
由甲是两位数可知，每份的数量最大是14，甲数与乙数相差4份，所以，甲、乙两数的差是14×（7-3）=56答：这两个两位数的差最多是56。
练习2：1、有甲、乙两个两位数，甲数的310等于乙数的45。
这两个两位数的差最多是多少？2、甲、乙两数都是三位数，如果甲数的56恰好等于乙数的14。
这两个两位数的和最小是多少？3、加工某种机器零件要三道工序，专做第一、二、三道工序的工人每小时分别能做48个、32个、28个，要使每天三道工序完成的个数相同，至少要安排多少工人？【例题3】如果两个四位数的差等于8921，就是说这两个四位数组成一个数对。
问：这样的数对共有多少个？在这些数对中，被减数最大是9999，此时减数是9999－8921＝1078，被减数和剑术同时减去1后，又得到一个满足题意条件的四位数对。
第17讲-作图法解题(教)(教案教学设计导学案)
学科教师辅导讲义这两根电线原来共长多少厘米？【解析】根据题意可以做出如下示意图：通过示意图可以清晰地看出180-50=130厘米就是第二根剪去180厘米剩下的部分。
所以电线原来长度为180+（180-50）=310厘米。
2、甲、乙两筐水果个数一样多，从第一筐中取出31个，第二筐中取出19个后，第二筐剩下的个数是第一筐的4倍。
原来两筐水果各有多少个？【解析】根据题意可以做出如下示意图：通过示意图可以清晰地看出31-19=12个，就是第一筐剩下的3倍。
所以第一筐取出后剩下12÷3=4个。
一个筐例原来的总数是4+31=35个。
所以甲乙两筐水果各有35个，35个。
3、奶奶家养了25只鸭子，养的鸡比鸭和鹅的总数还多10只。
奶奶家养的鸡比鹅多几只？【解析】根据题意可以做出如下示意图：通过示意图可以清晰地看出，鸡的数量减去鹅的数量就是25+10=35（只），奶奶家养的鸡比鹅多35只。
4、批发部运来一批水果，其中梨65筐，苹果比梨和香蕉的总数还多24筐。
运来的香蕉比苹果少多少筐？【解析】根据题意可以做出如下示意图：通过示意图可以清晰地看出，苹果减去香蕉的数量就是24+65=89（筐）。
所以香蕉比苹果少89筐。
5、有一根绳子和一根竹竿，把绳子对折后比竹竿长2米，把绳子四折后比竹竿短2米。
竹竿长几米？绳子长几米？【解析】根据题意作出示意图：可以看出绳子的一半减去绳子的四分之一（即四分之一）为4米，故绳子的长度为16米➢课后反击1、哥哥现存的钱是弟弟的5倍，如果哥哥再存20元，弟弟再存100元，二人的存款正好相等。
哥哥原来存有多少钱？。
小学奥数最大值最小值问题汇总讲解学习
小学奥数最大值最小值问题汇总1．三个自然数的和为15，这三个自然数的乘积最大可能是_______。
3．一个长方形周长为24厘米，当它的长和宽分别是_______厘米、_______厘米时面积最大，面积最大是_______平方厘米。
4．现在有20米的篱笆，利用一堵墙围一个长方形鸡舍，要使这个鸡舍面积最大，长应是_______米，宽应是_______米。
5．将16拆成若干个自然数的和，要使和最大，应将16拆成_______。
6．从1，2，3，…，2003这些自然数中最多可以取_______个数，才能使其中任意两个数之差都不等于5。
7．一个两位小数保留整数是6，这个两位小数最大是_______，最小是_______。
8．用1克、2克、4克、8克、16克的砝码各一个和一架天平，最多可以称出_______种不同的整数的重量。
9．有一架天平，左右都可以放砝码，要称出1～80克之间所有整克数的重量，如果使砝码个数尽可能少，应该用_______的砝码。
10．如下图，将1～9这9个数填入圆圈中，使每条线上的和相等，使和为A，A最大是_____。
二、解答题（30分）1．把19分成若干个自然数的和，如何分才能使它们的积最大？2．把1～6这六个数分别填在下图中三角形三条边的六个圆圈内，使每条边上三个圆圈内的数的和相等，求这个和的最大值与最小值。
3．自行车的前轮轮胎行驶9000千米后要报废，后轮轮胎行驶7000千米后要报废。
前后轮可在适当时候交换位置。
问一辆自行车同时换上一对新轮胎，最多可行驶多少千米？4．如下图，有一只轮船停在M点，现需从OA岸运货物到OB岸，最后停在N点，这只船应如何行走才能使路线最短？5．甲、乙两厂生产同一型号的服装，甲厂每月生产900套，其中上衣用18天，裤子用12天；乙厂每月也生产900套，但上衣用15天，裤子也要用15天。
两厂合并后，每月最多可以生产多少套衣服？ 6．现在有若干千克苹果，把苹果装入筐中，要求能取出1~63千克所有整千克数的苹果，并且每次都是整筐整筐地取出。
第17讲-和差问题(教)(教案教学设计导学案)
例8、今年小勇和妈妈两人的年龄和是38岁，3年前，小勇比妈妈小26岁。今年妈妈和小勇各多少岁？
【解析】3年前，小勇比妈妈小26岁，这个年龄差是不变的，即今年小勇也比妈妈小26岁。显然，这属于和差问题。所以妈妈今年（38+26）÷2=32岁，小勇（38－26）÷2=6岁。
例9、三、四年级同学共植树128棵，四年级比三年级多植树20棵，求三、四年级各植树多少棵？
3、姐姐和妹妹共有糖果39块，如果姐姐给妹妹7块，就比妹妹少3块。那么姐姐和妹妹原来各有糖果多少块？
【解析】姐姐比妹妹少3块，那么在给她们3块，姐姐和妹妹就相等了，所以有(39+3÷2=21。
21也是妹妹的现在的块数。21-7=14妹妹原本的块数。39-14=25姐姐原本的块数
4、某工厂将857元奖金分给有创造发明的三名优秀工人，第一名比第二名多得250元，第二名比第三名多得125元。三名优秀工人各得多少元？
【解析】假如把三、四年级植的128棵加上20棵，得到的和就是四年级植树的2倍，所以，四年级植树的棵数是（128+20）÷2=74棵，三年级植树的棵数是74－20=54棵。
这道题还可以这样解答：假如从128棵中减去20棵，那么得到的差就是三年级植树棵数的2倍，由出，先求出三年级植树的棵数（128－20）÷2=54棵，再求出四年级植树的棵数：54＋20=74棵。
【解析】大筐+小筐=124千克，大筐-小筐=8千克.
利用公式
（和－差）÷2=小数
小数＋差=大数（和－小数=大数）
得到千克，也就是小筐58千克，大筐58+8=66千克。
例3、两筐梨子共有120个，如果从第一筐中拿10个放到第二筐中，那么两筐的梨子个数相等。两筐原来各有多少个梨？
小学奥数教案-第17讲-差倍问题(教)
教师辅导讲义 学员编： 年 级：四年级 课 时 数：3 学员姓名：辅导科目：奥数 教师： 授课主题第17讲-差倍问题 授课类型T 同步课堂 P 实战演练 S 归纳总结 教学目标1. 掌握差倍问题的基本解法以及相关的年龄等应用题.2. 熟练应用通过图示来表示数量关系． 授课日期及时段T （Textbook-Based ）——同步课堂差倍问题就是已知大小两数的差，以及大小两数的倍数关系，求大小两数的问题．差倍问题的特点与和倍问题类似。
解答差倍问题的关键是要确定两个数量的差及相对应的倍数差，一般情况下，在题目中不直接给出，需要经过调整和计算才能得到。
解题思路：首先要在题目中找到1倍量，然后画图确定解题方法.被除数的数量和除数的倍数关系要相对应，相除后得到的结果是一倍量差倍问题的基本关系式：差÷(倍数－1)=1倍数(较小数)1倍数×几倍=几倍数(较大数)或较小数+差=较大数 解决差倍问题，关键是学会画线段图，这样可以帮助我们更好的弄清各数量之间的关系．年龄问题的和差问题主要利用的年龄差不变。
例1、李爷爷家养的鸭比鹅多18只，鸭的只数是鹅的3倍，你知道李爷爷家养的鸭和鹅各有多少只吗？【解析】引导学生画图，但是一定要强调差所对应的份数， 这样我们就可以求一份量（一倍量），从而解决题目．与18只相对应，这样就可以求出一倍数也就是鹅的只数，求出了鹅的只数，鸭的只数就容易求出来了．鸭与鹅只数的倍数差是312-=（倍），知识梳理典例分析鹅有1829⨯=(只).÷=(只)，鸭有9327例2、箱子里装有同样数量的乒乓球和羽毛球．每次取出5个乒乓球和3个羽毛球，取了几次之后，乒乓球恰好没有了，羽毛球还有6个，则一共取了__________次，原来有乒乓球和羽毛球各__________个．【解析】共取了6(53)3⨯=(个)，÷-=(次)，原有乒乓球5315所以原有羽毛球也是15个．取3次，羽毛球15个，乒乓球15个例3、甲、乙两位学生原计划每天自学时间相同．若甲每天增加自学时间半小时，乙每天减少自学时间半小时，则乙自学6天的时间仅相当于甲自学1天的时间．问：甲、乙原定每天自学的时间是多少？【解析】改变后，甲每天比乙多自学1小时，即60分钟．它是乙现在五天自学的时间，即乙现在每天自学：60(61)12÷-=（分），原来每天自学的时间是：123042+=（分）．例4、思考乐学校买来白粉笔比彩色粉笔多15箱，白粉笔的箱数比彩色笔的4倍还多3箱，思考乐学校买来白粉笔和彩色粉笔各多少箱？【解析】这不是一道典型的“差倍问题”，但我们可以通过适当的变形，将其作为一个典型的“差倍问题”来解决．见上图。
六年级下册数学试题-奥数专练：最值问题(含答案)全国通用
最值问题1．最值问题在一定范围内求最大值或最小值的问题，我们称之为“最大最小问题”，又称“最值问题”。
在日常生活、工作中，经常会遇到有关最短路线、最短时间、最大面积、最大乘积等问题，这就是在一定条件下的最大值或最小值方面的数学问题。
最值问题在小学奥数各个专题中都有一定的应用，几何，数论，应用题，杂题等各类题型都可以以最值的形式出题，因此要想学号最值问题，需要全面掌握奥数体系，了解各个部分的知识点，加以综合运用。
2．最值问题采用的方法很多，主要有列表法，方程法，极值判断法，构造法，枚举法等等。
例1有一类自然数，它的各个数位上的数字之和为2003，那么这类自然数中最小的是几？例2某公共汽车从起点开往终点站，中途共有13个停车站。
如果这辆公共汽车从起点站开出，除终点站外，每一站上车的乘客中，正好各有一位乘客从这一站到以后的每一站，那么为了使每位乘客都有座位，这辆公共汽车至少应有多少个座位？例3将前100个自然数依次无间隔地写成一个192位数：123456789101112……9899100从中划去100个数字，那么剩下的92位数最大是多少？最小是多少？例4阶梯教室座位有10排，每排有16个座位，当有150个人就座，某些排坐着的人数就一样多。
我们希望人数一样的排数尽可能少，这样的排数至少有多少排？将l，2，3…49，50任意分成10组，每组5个数，在每组中取数值居中的那个数为“中位数”，求这10个中位数之和的最大值及最小值。
一组互不相同的自然数，其中最小的数是1，最大的数是25，除1之外，这组数中的任一个数或者等于这组数中某一个数的2倍，或者等于这组数中某两个数之和，问：这组数之和最大值是多少？当这组数之和有最小值时，这组数都有哪些数？并说明和是最小值的理由。
测试题1．某班有50名学生，参加语文竞赛的有28人，参加数学竞赛的有23人，参加英语竞赛的有20人，每人最多参加两科，那么参加两科的最多有多少人？2．小王现有一个紧急通知需要传达给小区内的975个人。
(完整版)小学数学奥数基础教程(六年级)目30讲全
小学奥数基础教程(六年级)第1讲比较分数的大小第2讲巧求分数第3讲分数运算的技巧第4讲循环小数与分数第5讲工程问题(一)第6讲工程问题(二)第7讲巧用单位“1”第8讲比和比例第9讲百分数第10讲商业中的数学第11讲圆与扇形第12讲圆柱与圆锥第13讲立体图形(一)第14讲立体图形(二)第15讲棋盘的覆盖第16讲找规律第17讲操作问题第18讲取整计算第19讲近似值与估算第20讲数值代入法第21讲枚举法第22讲列表法第23讲图解法第24讲时钟问题第25讲时间问题第26讲牛吃草问题第27讲运筹学初步（一）第28讲运筹学初步（二）第29讲运筹学初步（三）第30讲趣题巧解第一讲比较分数的大小同学们从一开始接触数学，就有比较数的大小问题。
比较整数、小数的大小的方法比较简单，而比较分数的大小就不那么简单了，因此也就产生了多种多样的方法。
对于两个不同的分数，有分母相同，分子相同以及分子、分母都不相同三种情况，其中前两种情况判别大小的方法是：分母相同的两个分数，分子大的那个分数比较大；分子相同的两个分数，分母大的那个分数比较小。
第三种情况，即分子、分母都不同的两个分数，通常是采用通分的方法，使它们的分母相同，化为第一种情况，再比较大小。
由于要比较的分数千差万别，所以通分的方法不一定是最简捷的。
下面我们介绍另外几种方法。
1.“通分子”。
当两个已知分数的分母的最小公倍数比较大，而分子的最小公倍数比较小时，可以把它们化成同分子的分数，再比较大小，这种方法比通分的方法简便。
如果我们把课本里的通分称为“通分母”，那么这里讲的方法可以称为“通分子”。
2.化为小数。
这种方法对任意的分数都适用，因此也叫万能方法。
但在比较大小时是否简便，就要看具体情况了。
3.先约分，后比较。
有时已知分数不是最简分数，可以先约分。
4.根据倒数比较大小。
5.若两个真分数的分母与分子的差相等、则分母（子）大的分数较大；若两个假分数的分子与分母的差相等，则分母（子）小的分数较大。
六年级奥数——最大与最小问题（附习题及解答）
第六讲最大与最小问题先看一个简单的问题妈妈让小明给客人烧水沏茶.洗开水壶要用1分钟烧开水要用15分钟洗茶壶要用1分钟洗茶杯要用1分钟拿茶叶要用2分钟小明估算了一下完成这些工作要花20分钟.为了使客人早点喝上茶按你认为最合理的安排多少分钟就能沏茶了这个题目取材于华罗庚教授1965年发表的《统筹方法平话》. 开水壶不洗不能烧开水因而洗开水壶是烧开水的先决条件没开水、没茶叶、不洗壶杯则不能泡茶这些又是泡茶的先决条件.因此我们可以列出它们的相互关系图从上图中很容易看出最省时间的办法是先洗开水壶用1分钟接着烧开水用15分钟在等待水开的过程中可以完成洗茶壶、洗茶杯、拿茶叶水开了就沏茶这样仅用16分钟就能沏茶了这是没有“窝工”的最合理的安排用最少的时间完成了工作. 像这样研究某种量或几种量在一定条件下取得最大值或最小值的问题我们称为最大与最小问题. 在日常生活、科学研究和生产实践中存在大量的最大与最小问题.如把一些物资从一个地方运到另一个地方怎样运才能使路程尽可能短运费最省一项或多项工作如何安排调配才能使工期最短、效率最高等等都是最大与最小问题.这里贯穿了一种统筹的数学思想-最优化原则.概括起来就是要在尽可能节省人力、物力和时间的前提下争取获得在可能范围内的最佳效果.这一原则在生产、科学研究及日常生活中有广泛的应用. 一、数、式、方程组中的最大最小问题例1 把14拆成几个自然数的和再求出这些数的乘积如何拆可以使乘积最大分析与解答这要考虑到一些隐含着的限制条件可以这样思考①要使14拆成的自然数的乘积最大所拆成的数的个数要尽可能多多一个可以多乘一次但1不应出现因为1与任何数的积仍为原数. ②拆出的加数不要超过4例如5它还可以拆成2和3而2×35所以加数大于4的数还要继续拆小. ③由于422又42×2因此拆出的加数中可以不出现4. ④拆出的加数中2的个数不能多于两个.例如拆成三个2不如拆成两个3.因为三个2的积为8两个3的积为9这就是说应尽可能多拆出3. 页码1/7第六讲最大与最小问题2011-10-28ada99:11241_SR.HTM 因为143×42所以把14拆成3、3、3、3、2时积为3×3×3×3×2162最大. 对最大与最小问题一要注意变化规律即弄清思路又要注意限制条件对于字母则要根据其特点进行讨论分析. 例2 已知p·q-1x其中p、q为质数且均小于1000x是奇数那么x的最大值是____. 分析与解答由p·q-1xx为奇数可知q·px1是偶数又因为p、q为质数所以p、q中必有一个为偶质数2.不妨设p2. 为了使x尽可能大只须取q为最大的三位质数997.这时x达到最大值2×997-11993. 方程中有参数和其他条件也可能出现最大或最小问题. 的根为自然数则最小自然数a____. 分析与解答由原方程可得例4 求同时满足abc62a-bc3且b≥c≥0的a的最大值及最小值. 分析既然是求a的最大值及最小值就要想办法将b及c用a的代数式表示出来再根据b≥c≥0来求.求b及c可将abc62a-bc3看作含b、c的二元一次方程组页码2/7第六讲最大与最小问题2011-10-28ada99:11241_SR.HTM 二、统筹方法中教学思想方法的初步应用在开始引例中引用了华罗庚教授《统筹方法平话》中的例子统筹方法是生产建设和企业管理中合理安排工作的一种科学方法它对于进行合理调度、加快工作进展、提高工作效率、保证工作质量是十分有效的所用数学思想是朴素而精彩的. 例5 5个人各拿一个水桶在自来水龙头前等候打水他们打水所需的时间分别是1分钟、2分钟、3分钟、4分钟和5分钟.如果只有一个水龙头试问怎样适当安排他们的打水顺序使所有人排队和打水时间的总和最小并求出最小值. 分析这是我们经常遇到而不去思考的问题其中却有着丰富的数学思想.5个人排队一共有5×4×3×2×1120种顺序要把所有情形的时间总和都计算出来加以比较就太繁琐了.凭直觉应该把打水时间少的人排在前面所费的总时间会省些.试用“逐步调整”法求解. 解首先证明要使所用总时间最省应该把打水时间需1分钟的人排在第一位置. 假如第一位置的人打水时间要a分钟其中2≤a≤5而打水需1分钟的人排在第b位其中2≤b≤5我们将这两个人位置交换其他三人位置不动.这样调整以后第b位后面的人排队和打水所费时间与调整前相同并且前b个人打水所费时间也未受影响但第二位至第b位的人排队等候的时间都减少了a-1分钟这说明调整后五个人排队和打水时间的总和减少了.换言之要使所费时间最省就要把打水需1分钟的人排在第一位置. 其次根据同样的道理再将打水需2分钟的人调整到第二位置将打水需3、4、5分钟的人逐次调整到三、四、五位.所以将五人按照打水所需时间由少到多的顺序排队所费的总时间最省得出5人排队和打水时间总和的最小值是1×52×43×34×25×135分钟. 本题所用的逐步调整法是一个很朴素的数学思想它使我们思考问题过程简化更有趣味. 例6 一个水池底部安有一个常开的排水管上部安有若干个同样粗细的进水管当打开4个进水管时需要5小时才能注满水池当打开2个进水管时需要15小时才能注满水池现在需要在2小时内将水池注满那么至少要打开多少个进水管分析本题没给出排水管的排水速度因此必须找出排水管与进水管之间的数量关系才能确定至少要打开多少个进水管. 页码3/7第六讲最大与最小问题2011-10-28ada99:11241_SR.HTM 解本题是具有实际意义的工程问题因没给出注水速度和排水速度故需引入参数.设每个进水管1小时注水量为a排水管1小时排水量为b根据水池的容量不变我们得方程4a-b×52a-b×15化简得4a-b6a-3b即ab. 这就是说每个进水管1小时的注水量等于排水管1小时的排水量. 再设2小时注满水池需要打开x个进水管根据水池的容量列方程得xa-a×22a-a×15 化简得2ax-2a15a 即2xa17a.a≠0 所以x8.5 因此至少要打开9个进水管才能在2小时内将水池注满. 注意x8.5这里若开8个水管达不到2小时内将水池注满的要求开8.5个水管不切实际.因此至少开9个进水管才行. 例7 在一条公路上每隔100千米有一个仓库共5个.一号仓库存货10吨二号仓库存货20吨五号仓库存货40吨三、四号仓库空着.现在要把所有的货物集中存放在一个仓库里如果每吨货物运输1千米需要0.8元运费那么最少要花多少运费分析与解答由于运费是以每吨货物运输1千米为单位即吨·千米计量的因此要使运费最省就要把所有货物运往离货物最多的仓库适当近的地方集中. 我们依次计算以一、二、…、五号仓库为集中点所需的运费0.8×20×10040×40014400元0.8×10×10040×30010400元0.8×100×20020×10040×2009600元0.8×10×30020×20040×1008800元0.8×10×40020×3008000元. 因此把所有货物集中到五号仓库所需的运费最少运费为8000元. 说明①由例7的枚举解法中我们可以看出如果某处货物的重量大于或等于货物总重量的一半那么把货物往此处集中花的运费是最少或最少之一的.这可以叫做“小往大处靠”原则. 可以解释如下.把各个仓库用A1A2…An表示Ai中的货物重量为mi把所有页码4/7第六讲最大与最小问题2011-10-28ada99:11241_SR.HTM货物集中到Ai的运输吨·千米数为ai它与集中货物到A所需的运输费用成正比货物总重量为Mm1m2…mn. a1相比较把货物集中到Ai2≤i≤n的运输吨·千米数ai所增加的至少是m1·A1Ai所减少的至多是m2m3…mn·A1Ai这里A1Ai表示A1与Ai之间的距离. ∴ai≥a1. 这说明了“小往大处靠”原则是正确的. 处靠”原则不成立.例如.在例7中一、二、五号仓库中的存货如果分别为30吨、10吨、30吨那么容易知道把货物集中到二号仓库运费最少. 例8 若干箱货物总重19.5吨每箱重量不超过353千克今有载重量为1.5吨的汽车至少需要几辆才能把这些箱货物一次全部运走分析与解答如果认为19.5÷1.513因此只需13辆汽车就可以把这些箱货物一次全部运走这就把题意理解错了.因为货物是整箱装的每辆汽车不一定都能满载.请先看一个反例它说明甚至15辆车都不一定能一次运完. 例如这批货物共装有65只箱子其中64箱的重量都是301千克不超过353千克另一箱的重量是236千克那么总重量为301×6423619500千克. 恰好符合总重为19.5吨的要求由于301×51505千克即5只重量为301千克的箱子的总和超过1.5吨因此每辆汽车最多只能装4只重量为301千克的箱子15辆汽车最多只能装4×1560只重量为301千克的箱子这样必然有4只重量为301千克的箱子无法再装运了. 既然15辆汽车无论如何无法一次运完上例中的65只箱子那么16辆汽车能不能一次运完这些货物呢答案是肯定的.事实上301×42361440千克不超过1.5吨这就是说第16辆汽车可以装余下的4只重量为301千克的箱子和1只重量为236千克的箱子.所以16辆汽车可以一次运完这些箱货物. 页码5/7第六讲最大与最小问题2011-10-28ada99:11241_SR.HTM 问题到这里仍然没有彻底解决.因为每箱货物的重量只要求不超过353千克除此别无具体数量的限制所以我们还应该对于一般情况上例仅是一种特殊情况来验证16辆汽车确实能一次运完全部箱子. 首先让12辆汽车装货刚刚超过1.5吨即若取下最后装的一只箱子就不超过1.5吨再从这12辆汽车上把每辆车最后装的那只箱子卸下来并把这12只箱子分别装上另外3辆空车每车4箱由于每车4箱总重量不超过4×3531412千克. 因此也不超过1.5吨.这时12315辆车就装完原来前12辆车上全部货物总重量超过1.5×1218吨. 而且每辆车载重不超过1.5吨于是剩下来装车的箱子总重量不足19.5-181.5吨可以把它们全部装在第16辆车上运走. 三、最短的路线几何中的最大最小问题例9 下图直线l表示一条公路A、B表示公路同一侧的两个村子现在要在公路l上修建一个汽车站问这个汽车站建在哪一点时A村与B村到汽车站的距离之和最短分析与解答如果A、B两个村子在公路l的两侧问题就简单了只要把A、B两点连接起来与公路l 的交点就是建站的地方因为两点之间线段最短. A、B两村在公路l的同侧的情形我们用“对称”的方法来解决先求出A点关于l的对称点A连结AB与l交点于C点则C点就是汽车站应建的那个点. 为什么ACBC是距离最短呢我们假设不选C点而选择C外的一点C显然有ACCBACCBAB ACCBACCB. 根据“连接两点的线中直线段最短”有ACCBAB所以选择C点能使ACCB距离最短. 利用这种对称原理可以解决很多复杂的问题. 例10 设牧马营地在M每天牧马人要赶着马群先到河边饮水再到草地吃草然后回营地.问怎样的放牧路程最短页码6/7第六讲最大与最小问题2011-10-28ada99:11241_SR.HTM 分析与解答依题意每一条放牧路线都是一个三角形的三条边我们设法把这条路线变成两个固定点之间的连线. 根据“对称”原理设草地的边线是l1河流的岸线是l2下图.令M关于l1、l2的对称点分别是M1、M2连结MM 分别交l1、l2于A、B则路线M→B→A→M就是最短路线读者可自己证明其路线最短. 几何中的最大与最小问题很多待学习一些知识后将有很多有趣的最大与最小的问题等待你去解决. ??页码7/7第六讲最大与最小问题2011-10-28ada99:11241_SR.HTM习题六且不大于2则n的最大值是____. 2.赵师傅要加工某项工程五个相互无关的部件急需的5个零件如果加工零件A、B、C、D、E所需时间分别是5分钟、3分钟、7分钟、4分钟、6分钟.问应该按照什么次序加工使工程各部件组装所需要的总时间最少这个时间是多少3.下图小明住在甲村奶奶住在乙村星期天小明去看奶奶先在北山坡打一捆草又在南山坡砍一捆柴给奶奶送去.请问小明应选择怎样的路线使路程最短 4.某车场每天有4辆汽车经过A1、A2、A3、A4、A5、A6六个点组织循环运输如图.在A1点装货需6个工人在A2点卸货需4个工人在A3点装货需8个工人在A4点卸货需5个工人在A5点装货需3个工人在A6点卸货需4个工人.若每个点固定工人太多会造成人力浪费我们可以让装卸工人跟车走.这样有人跟车有人固定问最少要安排多少名装卸工人??页码1/1习题六2011-10-28ada99:11242_SR.HTM习题六解答1.510.2.65分钟.加工顺序为B、D、A、E、C.3.如下图用“对称”方法找出甲和乙连接甲乙后交北山坡于A交南山坡于B.小明应在A处打草在B处砍柴.4.22名. ??页码1/1习题六解答2011-10-28ada99:11243_SR.HTM。
小学六年级奥数第17讲 浓度问题(含答案分析)
第17讲浓度问题一、知识要点在百分数应用题中有一类叫溶液配比问题，即浓度问题。
我们知道，将糖溶于水就得到了糖水，其中糖叫溶质，水叫溶剂，糖水叫溶液。
如果水的量不变，那么糖加得越多，糖水就越甜，也就是说糖水甜的程度是由糖（溶质）与糖水（溶液＝糖+水）二者质量的比值决定的。
这个比值就叫糖水的含糖量或糖含量。
类似地，酒精溶于水中，纯酒精与酒精溶液二者质量的比值叫酒精含量。
因而浓度就是溶质质量与溶液质量的比值，通常用百分数表示，即，浓度＝溶质质量/溶液质量×100％＝溶质质量/（溶质质量＋溶剂质量）×100%解答浓度问题，首先要弄清什么是浓度。
在解答浓度问题时，根据题意列方程解答比较容易，在列方程时，要注意寻找题目中数量问题的相等关系。
浓度问题变化多，有些题目难度较大，计算也较复杂。
要根据题目的条件和问题逐一分析，也可以分步解答。
二、精讲精练【例题1】有含糖量为7％的糖水600克，要使其含糖量加大到10％，需要再加入多少克糖？练习1：1、现在有浓度为20％的糖水300克，要把它变成浓度为40％的糖水，需要加糖多少克？2、有含盐15％的盐水20千克，要使盐水的浓度为20％，需加盐多少千克？3、有甲、乙两个瓶子，甲瓶里装了200毫升清水，乙瓶里装了200毫升纯酒精。
第一次把20毫升纯酒精由乙瓶倒入甲瓶，第二次把甲瓶中20毫升溶液倒回乙瓶，此时甲瓶里含纯酒精多，还是乙瓶里含水多？【例题2】一种35％的新农药，如稀释到1.75％时，治虫最有效。
用多少千克浓度为35％的农药加多少千克水，才能配成1.75％的农药800千克？练习2：1、用含氨0.15％的氨水进行油菜追肥。
现有含氨16％的氨水30千克，配置时需加水多少千克？2、仓库运来含水量为90％的一种水果100千克。
一星期后再测，发现含水量降低到80％。
现在这批水果的质量是多少千克？【例题3】现有浓度为10％的盐水20千克。
再加入多少千克浓度为30％的盐水，可以得到浓度为22％的盐水？练习3：1、在100千克浓度为50％的硫酸溶液中，再加入多少千克浓度为5％的硫酸溶液就可以配制成25％的硫酸溶液？2、在20％的盐水中加入10千克水，浓度为15％。
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学科教师辅导讲义学员编号：年级：六年级课时数：3学员姓名：辅导科目：奥数学科教师：授课主题第17讲-最大最小问题授课类型T同步课堂P实战演练S归纳总结教学目标①学会在题目中判断出限制条件；②学会分数知识的综合运用；③从题目限制条件中分析最大最小问题。
授课日期及时段T（Textbook-Based）——同步课堂在日常生活中，人们常常会遇到“路程最近”、“费用最省”、“面积最大”、“损耗最少”等问题，这些寻求极端结果或讨论怎样实现这些极端情形的问题，最终都可以归结成为：在一定范围内求最大值或最小值的问题，我们称这些问题为“最大最小问题”。
解答最大最小问题通常要用下面的方法：1、枚举比较法。
当题中给定的范围较小时，我们可以将可能出现的情形一一举出再比较；2、着眼于极端情形，即充分运动已有知识和生活常识，一下子从“极端”情形入手，缩短解题过程。
人们碰到的各种优化问题、高效低耗问题，最终都表现为数学上的极值问题，即小学阶段的最大最小问题。
最大最小问题设计到的知识多，灵活性强，解题时要善于综合运用所学的各种知识。
知识梳理典例分析考点一：简单最大最小问题例1、把1、2、3、…、16分别填进图中16个三角形里，使每边上7个小三角形内数的和相等。
问这个和最大值是多少？【解析】为了方便描述，我们把图中部分三角形注上字母，从图中可以看出：中心处D中填的数和三条边上的和没有关系，因此，应填最小的数1。
而三个角上的a、b、c六个三角形中的数都被用过两次，所以要尽可能填大数，即填11——16。
然后根据“三角形三边上7个小三角形内数的和相等”这一条件，就可以计算出这个和的最大值了。
（2＋3＋4＋…＋16＋11＋12＋13＋14＋15＋16）÷3=72例2、有8个西瓜，它们的重量分别是2千克、3千克、4千克、4千克、5千克、6千克、8.5千克、10千克。
把它们分成三堆，要使最重的一堆西瓜尽可能轻些，那么，最重的一堆应是多少千克？【解析】3堆西瓜的总重量是42.5千克，要使最重的一堆尽可能轻些，另两堆就得尽可能重些。
根据42.5÷3=14千克……0.5千克可知：最重的一堆是14＋0.5=14.5千克，即由6千克和8.5千克组成，另外两堆分别是14千克。
例3、一次数学考试满分100分，6位同学平均分为91分，且6人分数互不相同，其中得分最少的同学仅得65分，那么排第三名的同学至少得多少分？（分数取整数）【解析】除得65分的同学外，其余5位同学的总分是91×6－65=481分。
根据第三名同学得分要至少，也就说其他四人得分要尽量高，第一、第二名分别得100分和99分，而接近的三个不同分是93、94、95。
所以，第三名至少得95分。
例4、一个农场里收的庄稼有大豆、谷子、高梁、小米，每一种庄稼需要先收割好、捆好，然后往回运输。
现由两个小组分别承包这两项工作，工时如下表（一种庄稼不割好、捆好，不准运输），这两组从开工到完工最少经过多少小时？【解析】先把各类庄稼从开工到完工所用的时间分别算出来：大豆7+5=12小时，谷子3+6=9小时，高梁5+1=6小时，小米5+9=14小时。
平均每个小组用（12+9+6+14）÷2=20.5小时，但实际做不到。
因此，根据各类庄稼所需时间相加，使其最接近20.5小时。
12+9=21小时是最少经过的时间。
例5、A、B、C是三个风景点，从A出发经过B到达C要走18千米，从A经过C到B要走16千米，从B经过A到C要走24千米。
相距最近的是哪两个风景点？它们之间相距多少千米？【解析】根据题意可知，AB+BC=18千米，AC+BC=16千米，AB+AC=24千米，用（18+16+24）÷2就能算出AB+BC+AC=29千米。
因此，AC=29-18=11千米，AB=29-16=13千米，BC=29-24=5千米。
B、C两个风景点的距离最近，只相距5千米。
考点二：数论中的极端思想例1、1～8这八个数字各用一次，分别写成两个四位数，使这两个数相乘的乘积最大。
那么这两个四位数各是多少？【解析】8531和7642。
高位数字越大，乘积越大，所以它们的千位分别是8，7，百位分别是6，5。
两数和一定时，这两数越接近乘积越大，所以一个数的前两位是85，另一个数的前两位是76。
同理可确定十位和个位数。
例2、有一类自然数，从第三个数字开始，每个数字都恰好是它前面两个数字之和，直至不能再写为止，如257，1459等等，这类数中最大的自然数是多少？【解析】要想使自然数尽量大，数位就要尽量多，所以数位高的数值应尽量小，故10112358满足条件．如果最前面的两个数字越大，则按规则构造的数的位数较少，所以最前面两个数字尽可能地小，取1与0。
例3、某国家的货币中有1元、3元、5元、7元、9元五种，为了能支付1元、2元……100元的钱数（整数元），那么至少需要准备货币多少张？【解析】为了使货币越少越好，那么9元的货币应该尽量多才行。
当有10张9元时，容易看出1、1、3、5这四张加上后就可以满足条件。
当9元的货币超过11张时，找不到比14张更少的方案。
当9元的货币少于10张时，至少有19元需要由5元以下的货币构成，且1元的货币至少2张，这样也找不到比14张更少的方案。
综上分析可以知道，最少需要10张9元的、2张1元的、1张3元的、1张5元的，共14张货币。
例4、a 和b 是小于100的两个不同的自然数，求a －b a+b的最大值。
【解析】根据题意，应使分子尽可能大，使分母尽可能小。
所以b=1；由b=1可知，分母比分子大2，也就是说，所有的分数再添两个分数单位就等于1，可见应使所求分数的分数单位尽可能小，因此a=99a －b a+b 的最大值是99－199+1 =4950答：a －b a+b 的最大值是4950例5、有甲、乙两个两位数，甲数27 等于乙数的23。
这两个两位数的差最多是多少？ 【解析】甲数：乙数=23 ：27=7：3，甲数的7份，乙数的3份。
由甲是两位数可知，每份的数量最大是14，甲数与乙数相差4份，所以，甲、乙两数的差是14×（7-3）=56。
例6、将前100个自然数依次无间隔地写成一个192位数：1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12……9899100从中划去100个数字，那么剩下的92位数最大是多少？最小是多少？【解析】要得到最大的数，左边应尽量多地保留9。
因为1～59中有109个数码，其中有6个9，要想左边保留6个9，必须划掉1～59中的109-6＝103（个）数码，剩下的数码只有192－103=89（个），不合题意，所以左边只能保留5个9，即保留1～49中的5个9，划掉1～49中其余的84个数码。
然后，在后面再划掉16个数码，尽量保留大数（见下图）：所求最大数是9999978596061…99100。
同理，要得到最小的数，左边第一个数是1，之后应尽量保留0。
2～50中有90个数码，其中有5个0，划掉其余90-5=85（个）数码，然后在后面再划掉15个数码，尽量保留小数（见下图）：；所求最小数是100000123406162…99100。
考点三：智巧趣题的极端思想例1、99个苹果要分给一群小朋友，每一个小朋友所分得的苹果数都要不一样，且每位小朋友至少要有一个苹果．问：这群小朋友最多有几位?【解析】1+2+3+…+13=91＜99，1+2+3+…+14=105＞99，说明若13位各分得1，2，3，…，13个苹果，未分完99个，若14位各分得1，2，3，…，14个苹果，则超出99个．因91+8=99，在13位上述分法中若把剩下的8个苹果分别加到后8位人上，就可得合题意的一个分法：13人依次分1，2，3，4，5，7，8，9，10，11，12，13，14个。
所以最多有13位小朋友。
(注：13人的分法不唯一)例2、某学校，星期一有15名学生迟到，星期二有12名学生迟到，星期三有9名学生迟到，如果有22名学生在这三天中至少迟到过一次，则这三天都迟到的学生最多有多少人？【解析】三天都迟到的要尽量多，则将迟到的22人次分为仅迟到一次和三天都迟到的。
可求出三天都迟到的学生最多有：(15+12+9-22)÷2=7(人)。
例3、如图，司机开车按顺序到五个车站接学生到学校，每个站都有学生上车。
第一站上了一批学生，以后每站上车的人数都是前一站上车人数的一半。
车到学校时，车上最少有多少学生？【解析】因为每个站都有学生上车，所以第五站至少有1个学生上车．假如第五站只有一个学生上车，那么第四、三、二、一站上车的人数分别是2，4，8，16个．因此五个站上车的人数共有1+2+4+8+16=31(人)，很明显，如果第五站有不止一个学生上车，那么上车的总人数一定多于31个。
所以，最少有31个学生。
例4、若干名家长（爸爸或妈妈，他们都不是老师）和老师陪同一些小学生参加某次数学竞赛，已知家长和老师共有22人，家长比老师多，妈妈比爸爸多，女老师比妈妈多2人，至少有1名男老师，那么在这22人中，爸爸有多少人？【解析】家长比老师多，所以老师少于22÷2=11人，即不超过10人；相应的，家长就不少于12人。
在至少12个家长中，妈妈比爸爸多，所以妈妈要多于12÷2=6人，即不少于7人。
因为女老师比妈妈多2人，所以女老师不少于9人。
但老师最多就10个，并且还至少有1个男老师，所以老师必定是9个女老师和1个男老师，共10个。
那么，在12个家长中，就有7个是妈妈。
所以，爸爸有12-7=5人。
例5、三个数字能组成6个不同的三位数。
这6个三位数的和是2886。
求所有这样的6个三位数中的最小的三位数。
【解析】因为三个数字分别在百位、十位、个位各出现了2次。
所以，2886÷222能得到三个数字的和。
设三个数字为a、b、c，那么6个不同的三位数的和为abc+acb+bac+bca+cab+cba＝（a+b+c）×100×2+（a+b+c）×100×2+（a+b+c）×100×2＝（a+b+c ）×222＝2886即a+b+c ＝2886÷222＝13答：所有这样的6个三位数中，最小的三位数是139。
P (Practice-Oriented)——实战演练➢ 课堂狙击1、两个自然数的和是15，要使两个整数的乘积最大，这两个整数各是多少？【解析】将两个自然数的和为15的所有情况都列出来，考虑到加法与乘法都符合交换律，有下面7种情况：15=1+14，1×14=14；15=2+13，2×13=26；15=3+12，3×12=36；15=4+11，4×11=44；15=5+10，5×10=50；15=6+9，6×9=54；15=7+8，7×8=56。