中考数学专项复习之全等三角形的相关模型总结

全等的相关模型总结

一、角平分线模型应用

1.角平分性质模型： 辅助线：过点G 作GE ⊥射线AC

（1）例题应用：

①如图1，在中ABC ∆，,cm 4,6,900

==∠=∠BD cm BC CAB AD C 平分，那么点D 到直线AB 的

距离是 cm.

②如图2，已知，21∠=∠，43∠=∠.BAC AP ∠平分求证：.

图1 图2

①2 （提示：作DE ⊥AB 交AB 于点E ）

②21∠=∠ ，PN PM =∴，43∠=∠ ，PQ PN =∴，BAC PA PQ PM ∠∴=∴平分,.

(2).模型巩固：

练习一：如图3，在四边形ABCD 中，BC>AB ，AD=CD ，BD 平分BAC ∠.

.求证：︒=∠+∠180C A

图3

练习二：已知如图4，四边形ABCD 中，

..,1800BAD AC CD BC D B ∠==∠+∠平分求证：

图4

练习三：如图5，,,900

CAB AF D AB CD ACB ABC Rt ∠⊥=∠∆平分，垂足为，中，交CD 于点E ，

交CB 于点F. (1)求证：CE=CF.

(2)将图5中的△ADE 沿AB 向右平移到'

'

'

E D A ∆的位置，使点'

E 落在BC 边上，其他条件不变，如图6所示，是猜想：'

BE 于CF 又怎样的数量关系？请证明你的结论.

图5 图6

练习四：如图7，90A AD BC =︒，∠∥，P 是AB 的中点，PD 平分∠ADC ． 求证：CP 平分∠DCB ．

图7 练习五：如图8，AB ＞AC ，∠A 的平分线与BC 的垂直平分线相交于D ，自D 作DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别为E ，F ．求证：BE=CF ．

图8

练习六：如图9所示，在△ABC 中，BC 边的垂直平分线DF 交△BAC 的外角平分线AD 于点D ，F 为垂足，DE ⊥AB 于E ，并且AB>AC 。求证：BE －AC=AE 。

A

D E C

B

P 2 1

4 3

练习七：如图10，D、E、F分别是△ABC的三边上的点，CE=BF，且△DCE的面积与△DBF的面积相等，求证：AD平分∠BAC。

B

C

A

D

E

F

2.角平分线+垂线，等腰三角形比呈现

辅助线：延长ED交射线OB于F 辅助线：过点E作EF∥射线OB

（1）.例题应用：

①．如图1所示，在△ABC中，∠ABC=3∠C，AD是∠BAC的平分线，BE⊥AD于F。

求证：

1

()

2

BE AC AB

=-

F

E

D

C

B

A

图9

证明：延长BE 交AC 于点F 。

②．已知：如图2，在中ABC ∆， ,,AD AB D BC AD BAC =∠且于交的角平分线

)

(21

.AC AB AM M AD AD CM +=⊥求证：的延长线于交作

分析：此题很多同学可能想到延长线段CM ，但很快发现与要证明的结论毫无关系。而此题突破口就在于AB=AD ，由此我们可以猜想过C 点作平行线来构造等腰三角形. 证明：过点C 作CE ∥AB 交AM 的延长线于点E.

例题变形:如图，21∠=∠，的中点为AC B ，.,N FB AN M FB CM 于于⊥⊥

求证：①;2BM EF = ②).

(21

FN FM FB +=

(3).模型巩固：

练习一、 如图

3，ΔABC 是等腰直角三角形，∠BAC=90°，BD 平分∠ABC 交

AC 于点D ，CE 垂直于BD ，交BD 的延长线于点E 。求证：BD=2CE 。

图3

练习一变形：如图4，在△ODC 中，，

90=∠D CE OE DCO EC ⊥∠的角平分线，且是， 过点E 作..之间的关系，并证明与猜想：线段

于点交OD EF F OC OC EF ⊥

图4

练习二、如图5，已知△ABC 中，CE 平分∠ACB ，且AE ⊥CE ，∠AED ＋∠CAE ＝180度，求证：DE ∥BC

图5

练习三、如图6，AD ⊥DC ，BC ⊥DC ，E 是DC 上一点，AE 平分∠DAB ，BE 平分∠ABC ，求证：点E 是DC 中点。

图6

练习四、①、如图7（a ），A ABC CE BD 的外角平分线，过点分别是、∆、作BD AD ⊥

DE DE E D CE AE :.求证，连接、，垂足分别是⊥∥，BC )

(21

AC BC AB DE ++=.

A

C

D

E

B

A

B

C

D

E

图7（a ） 图7（b ） 图7（c ）

②、如图7（b ），件不变；的内角平分线，其他条分别是、ABC CE BD ∆

③、如图7（c ），的外角平分线，为的内角平分线，为ABC CE ABC BD ∆∆其他条件不变. 则在

图7（b ）、图6（c ）两种情况下，DE 与BC 还平行吗？它与ABC ∆三边又有怎样的数量关系？请写出你的猜测，并证明你的结论.(提示：利用三角形中位线的知识证明线平行)