基本不等式学习知识梳理

基本不等式

【考纲要求】

1.

2

a b

+≤

的证明过程，理解基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；

2.

2

a b

+≤

解决最大（小）值问题. 3.会应用基本不等式求某些函数的最值；能够解决一些简单的实际问题 【知识网络】

【考点梳理】

考点一：重要不等式及几何意义 1．重要不等式：

如果,R a b ∈，那么2

2

2a b ab +≥（当且仅当a b =时取等号“=”）.

2．基本不等式：

如果,a b

是正数，那么

2a b

+≥（当且仅当a b =时取等号“=”）. 要点诠释：22

2a b ab +≥

和2

a b +≥ （1）成立的条件是不同的：前者只要求,a b 都是实数，而后者要求,a b 都是正数；

（2）取等号“=” 的条件在形式上是相同的，都是“当且仅当a b =时取等号”。

（3）2

2

2a b ab +≥可以变形为：222a b ab +≤，2a b ab +≥可以变形为：2()2

a b ab +≤.

3.如图，AB 是圆的直径，点C 是AB 上的一点，AC a =,BC b =，过点C 作DC AB ⊥交圆于点D ，连接AD 、BD .

易证~Rt ACD Rt DCB ∆∆，那么2

CD CA CB =⋅，即CD ab =

.

这个圆的半径为2b a +，它大于或等于CD ，即ab b

a ≥+2

，其中当且仅当点C 与圆心重合，即a b =时，等号成立.

要点诠释：1.在数学中，我们称

2

b

a +为,a

b 的算术平均数，称ab 为,a b 的几何平均数. 因此基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.

2.如果把

2

b

a +看作是正数,a

b 的等差中项，ab 看作是正数,a b 的等比中项，那么基本不等式可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.

考点二：基本不等式2

a b

ab +≤的证明 1. 几何面积法

如图，在正方形ABCD 中有四个全等的直角三角形。

设直角三角形的两条直角边长为a 、b 22a b +4个直角三角形

的面积的和是2ab ，正方形ABCD 的面积为2

2

a b +。由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，所

以：22

2a b ab +≥。当直角三角形变为等腰直角三角形，即a b =时，正方形EFGH 缩为一个点，这时有2

2

2a b ab +=。

得到结论：如果+,R a b ∈，那么22

2a b ab +≥（当且仅当a b =时取等号“=”）

特别的，如果0a >，0b >,分别代替a 、b ，可得：

如果0a >，0b >,则a b +≥，（当且仅当a b =时取等号“=”）.

通常我们把上式写作：如果0a >，0b >2

a b

+≤，（当且仅当a b =时取等号“=”） 2. 代数法

∵2

2

2

2()0a b ab a b +-=-≥，

当a b ≠时，2

()0a b ->；

当a b =时，2

()0a b -=.

所以22

()2a b ab +≥，（当且仅当a b =时取等号“=”）.

特别的，如果0a >，0b >,分别代替a 、b ，可得：

如果0a >，0b >,则a b +≥，（当且仅当a b =时取等号“=”）. 通常我们把上式写作：

如果0a >，0b >2a b

+≤

，（当且仅当a b =时取等号“=”）.

2

a b

+≤求最大（小）值

在用基本不等式求函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等。 ① 一正：函数的解析式中，各项均为正数；

② 二定：函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值； ③ 三取等：函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值。 要点四、几个常见的不等式 1）()R b a ab

b a ∈≥+,22

2

，当且仅当a=b 时取“=”号。

2）()+

∈≥+R b a ab b

a ,2，当且仅当a=

b 时取“=”号。

3）

()02>⋅≥+b a a

b b a ；特别地：()021>≥+a a

a ；

4）b

a a

b ab b a b a +≥

≥+≥+22222 (),a b R +∈ 5）()()

+∈≥⎪⎭

⎫

⎝⎛++R b a b a b a ,411； 【典型例题】

2

a b

+≤

的理解 例1. 0a >，0b >，给出下列推导，其中正确的有 （填序号）.

（1）a b

+ （2）11()()a b a b

++的最小值为4； （3）1

4

a a +

+的最小值为2-. 【解析】（1）；（2）

（1）∵0a >，0b >，∴a b

++

≥≥a b ==时取等号）.

（2）∵0a >，0b >，∴1

1()()4a b

a b ++≥=（当且仅当a b =时取等号）.

（3）∵0a >，∴11444244a a a a +

=++-≥=-++， （当且仅当1

44

a a +=

+即413a a +==-，时取等号） ∵0a >，与3a =-矛盾，∴上式不能取等号，即1

24

a a +>-+

【总结升华】在用基本不等式求函数的最值时，必须同时具备三个条件：一正二定三取等，缺一不可. 举一反三：

【变式1】给出下面四个推导过程：

① ∵,a b R +∈，∴

2a b b a +≥=；

② ∵,x y R +

∈，∴lg lg x y +≥