一年级思维训练一笔画课件

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第九讲一笔画问题 PPT

• 解答：图（1）中无奇点，能一笔画出，从任意点开始再回到这一点，仅举一例：A→B→C→N→F→G→H→M→D→N→E→M→H；
• 图（2）有两个奇点，可以从B开始到E结束，也可以从E开始到B结束，如：B→C→D→E→A→B→E；
• 图（3）不能一笔画出有4个奇点，要想一笔画出至少应该添一笔，可以连接A、B，如图1，其它的任何两个奇点都可以。共有多少连法呢，你能列举出来吗？共有6种分别为AB、AC、AD、BC、BD、CD；
重复.从上图中容易看出：能一笔画出的图首先必须是连
通图.但是否所有的连通图都可以一笔画出呢？下面，我
们就来探求解决这个问题的方法。
•
为了叙述的方便，我们把与奇数条边相连的结点叫做
奇点，把与偶数条边相连的点称为偶点.如上图（a）中的
八个结点全是奇点，上图（b）中E、F为奇点，G为偶点。
•
容易知道，上图（b）可以一笔画出，即从奇点E出发，
得出了一个非常重要的结论，你想知道吗？其实
这就是“一笔画”问题，也是一种数学游戏，学
完了下面的内容，也许你就能像欧拉那样解决
“七桥问题”了。
• 欧拉解决这个问题的方法非常巧妙.他认为：人们关心的只是一次不重复地走遍这七座桥，而并不关心桥的长短和岛的大小，因此，岛和岸都可以看作一个点，而桥则可以看成是连接这些点的一条线.这样，一个实际问题就转化为一个几何图形能否一笔画出的问题了.
都有一条通路（即可以从其中一点出发，沿着图的边走到另一点，如A到I的通路为A→H→I或 A→D→I…），这样的图，我们称为连通图；而下图中（c）的一些结点之间却不存在通路（如M 与N），像这样的图就不是连通图。
•
所谓图的一笔画，指的就是：从图的一点出发，笔不

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这样我们发现，一个图形能否一笔画和这个图形奇点，偶点的个数有某种联系，到底存在什么样的关系呢，我们再看一个例题。
例【2】下面各图能否一笔画成？
（1）
（2）（3）
分析图（1）从任意一点出都可以一笔画成，它的每一个点都是与两条线相连的偶点。图（2），经过反复试验，也可找到画法。图中B、D为偶点，A、C为奇点，即图中有两个奇点，两个偶点。要想一笔画，需从奇点出发，回到奇点。经过尝试，图（3）无法一笔画成，而图中有4个奇点，5 个偶点。
不能
能
仔细观察一下这些图形有什么特点？
通过观察，我们可以发现一个几何图形中和一点相连通的线的条数不同。由一点发出有偶数条线，那么这个点叫做偶点。相应的，由一点出发有奇数条数，则这个点叫做奇点。
（1）
（2）
（3）
（4）
再看图（1）、（4），其中每一点都是偶点，都可以一笔画，且可以从任意一点画起。而图（2）有4个奇点，2个偶点，不能一笔画成。
完成综合练习
• 小朋友们，在纸上描一下，你们能把下面的图形一笔画出来吗？
• 如果用笔在纸上连续不断又不重复，一笔画成某种图形，这种图形就叫一笔画。那么是不是所有的图形都能一笔画成呢？这一讲我们就一起来学习一笔画的规律。
例【1】下面这些图形，哪个能一笔画？哪个不能一
笔画？
（1）
（2）
（3）
（4）
能
不能
小结
能否一笔画成，关键在于判别奇点、偶点的个数。
1、只有偶点，可以一笔画，并且可以以任意一点作为起点。
2、只有两个奇点，可以一笔画，但必须以这两个奇点分别作为起点和终点。
3、奇点超过两个，则不能一笔画。对于一些比较复杂的路线问题，可以先转化为简单的几何图形，然后根据判定是否能一笔画的方法进行解答。

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03
一笔画问题的解题方法
逐步推理法
总结词
通过逐步推理，按照一定的逻辑顺序，确定笔画的路径。
详细描述
逐步推理法是一种常用的解题方法，它通过逐步分析图形的特点和规律，推断出笔画的路径。这种方法需要有一定的逻辑推理能力，对于一些较为复杂的图形，需要仔细分析其结构，找出正确的笔画路径。
奇偶点分析法
拉回路是指一条通过图形的每条边且每条边只通过一次的闭合路径。
02
奇点与偶点
在图形中，如果一个节点发出的线条数是奇数，则该节点称为奇点；如
果一个节点发出的线条数是偶数，则该节点称为偶点。
03
哈密顿路径和哈密顿回路
哈密顿路径是指一条通过图形的每条边且每条边只通过一次的路径，但
不一定是闭合路径；哈密顿回路是指一条通过图形的每条边且每条边只
计算机科学
一笔画问题在计算机科学中也有广泛应用，例如在计算机图形学、算法设计等领域。
实际应用
一笔画问题在现实生活中也有很多应用，如地图的绘制、电路设计、交通规划等。
02
一笔画问题的数学原理
欧拉公式
欧拉公式
对于一个连通图，其边数和顶点数的关系可以用公式(V - E + F = 2)来表示，其中(V)表示顶点数，(E)表示边数，(F)表示面数。这个公式是解决一笔画问题的重要依据。
问题的能力。
创新的一笔画问题
总结词
创意问题，挑战性
VS
详细描述
创新的一笔画问题通常涉及更为复杂和创意的图形，如不规则多边形、立体图形等，这类问题旨在激发学生的创造力和挑战精神。同时，这类问题也可能涉及到数学中的其他知识点，如平面几何、立体几何等。

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“偶点”，即交点处所连接的线条数为偶数(偶数是双数)如图（1）中的②、③；
“奇点”，即交点数所连接的线条数为奇数(奇数是单数)，如图（1）中的①、④
那什么样的图形可以一笔画呢?
1、交点全是偶点，可以一笔画。并且可以以任意一点作为起点，最后一定能以这个点为终点画完此图。
2、交点只有2个奇点，画时必须把一个奇点为起点，另一个奇点终点。
3、其他情况的图都不能一笔画出！
学以致用请上来试笔画，指的就是：从图的一点出发，笔不离纸，遍及图中的每条线段一次，即每条边都只画一次，不准重复。
就是他，解决了上面的问题。
他就是莱昂哈特. 欧拉！
那他是怎么解决的呢？
解法
他是把那张七桥图变成了抽象的图形了，自然而然的做了出来。

结果是不能。
一笔画图形是这样推理的……

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.
9
• 【例题3】图中是一个公园的道路平面图，要使游客走遍每条路且不重复，问出、入口应设在哪里？
分析与解依据题意可知，此题实际是一笔画问题。由于要设出口和入口，所以首先应确定有没有奇点，若有，有几个。
因为图中只有E、I两个奇点，所以该道路图可以一笔画，只要将出、入口分别设在这两个点，游客就可以从入口处进入公园，不重复地走遍所有道路，而且从出口处离开公园。
重复.从上图中容易看出：能一笔画出的图首先必须是连
通图.但是否所有的连通图都可以一笔画出呢？下面，我
们就来探求解决这个问题的方法。
•
为了叙述的方便，我们把与奇数条边相连的结点叫做
奇点，把与偶数条边相连的点称为偶点.如上图（a）中的
八个结点全是奇点，上图（b）中E、F为奇点，G为偶点。
•
容易知道，上图（b）可以一笔画出，即从奇点E出发，
通过观察不难发现，绘画和面塑两个教室所处的位置是奇点，其它均为偶点，所以可以从这两个教室出发穿过每一扇门并最终到达另一教室。解答：可以不重复地穿过每扇门，若从绘画教室出发，到面塑教室结束，若从面塑教室出发，到绘画教室结束，路线有很多种，仅举一例，如右图：
.
15
• 总结：一笔画的问题，给出了下面的欧拉定理：
•
①凡是由偶点组成的连通图，一定可以一笔画成；画
时可以任一偶点为起点，最后一定能以这个点为终点画完
此图。
•
②凡是只有两个奇点（其余均为偶点）的连通图，一
定可以一笔画完；画时必须以一个奇点为起点，另一个奇
点为终点。
•
③其他情况的图，都不能一笔画出。
•
下面我们就来研究一笔画问题的具体应用：
.
6

一年级思维训练一笔画

一笔画
• 小朋友们，在纸上描一下，你们能把下面
的图形一笔画出来吗？
• 如果用笔在纸上连续不断又不重复，一笔画成某种图形，这种图形就叫一笔画。那么是不是所有的图形都能一笔画成呢？这一讲我们就一起来学习一笔画的规律。
例【1】下面这些图形，哪个能一笔画？哪个不能一笔画？
（1）（2）（3）（4）
例【2】下面各图能否一笔画成？
（1）
（2）
（3）
分析图（1）从任意一点出都可以一笔画成，它的每一个
点都是与两条线相连的偶点。图（2），经过反复试验，也可找到画法。图中B、D为偶点，A、C为奇点，即图中有两个奇点，两个偶点。要想一笔画，需从奇点出发，回到奇点。经过尝试，图（3）无法一笔画成，而图中有4个奇点，5 个偶点。
这样我们可以发现能否一笔画和奇点、偶点的数目有着紧密的关系，它们之间到底有着什么样的关系呢？
如果图形只有偶点，可以以任意一点为起点，一笔画出。如果只有两个奇点，也可以一笔画出，但必须从奇点出发，由另一点结束。如果图形的奇点个数超过两个，则图形不能一笔画出。
• 例【3】下面的图形，哪些能一笔画出？哪些不能一笔画出？
小结
能否一笔画成，关键在于判别奇点、偶点的个数。 1、只有偶点，可以一笔画，并且可以以任意一点作为起点。 2、只有两个奇点，可以一笔画，但必须以这两个奇点分别作为起点和终点。 3、奇点超过两个，则不能一笔画。对于一些比较复杂的路线问题，可以先转化为简单的几何图形，然后根据判定是否能一笔画的方法进行解答。
• 例【4】下图中，图（1）至少要画几笔才能画成？
A
D
O
B （ 1）
C
A
D
A O

一笔画问题ppt课件

15
例题3 数出下图完中整版所ppt课件有三角形的个数。
16
分析和三角形AFG一样形状的三角形有5个；和三角形ABF一样形状的三角形有10个；和三角形ABG一样形状的三角形有5个；和三角形 ABE一样形的三角形有5个；和三角形AMD一样形状的三角形有5个，共35个三角形。
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29
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第三节错中求解
30
错中求，往往要采用倒推的方法，从错误的结果入手分析错误的原因，最后利用和差的变化求出加数或被减数、减数，利用积、商的变化求出因数或被除数、除数。
31
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例题1 小马虎在做一道加法题时，把一个加数十位的5错看成2，另一个加数个位上的4错看成1，结果计算的和为241。正确的和是多少？
40
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例5：方方和圆圆做一道乘法式题，方方误将一个因数增加14，计算的积增加了84，圆圆误将另一个因数增加14，积增加了168。那么，正确的积应是多少？
41
241+33=274
32
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例题2 小马虎在做一道减法时，把减数十位上的2看作了5，结果得到的差是342，正确的差是多少？
把减数十位上的2看成了5说明多减了30，也就是差少了30. 所以正确结果是342+30=372
33
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例题3 小马虎在计算一道题目时，把某数乘3 加20，误看成某数除以3减20，得数是72。某数是多少？正确的得数是多少？
34
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例题4 小马虎在做两位数乘两位数的题时，把乘数的个位上的5看作2，乘得的结果是550，实际应为625。这两个两位数各是多少？

一年级思维训练一笔画

• 例【4】下图中，图（1）至少要画几笔才能画成？
A
D
O
B （ 1）
C
A
D
A O
D
B （ 1）
C
B （ A）
C
B
（ B）
C
分析图（1）有4个奇点，所以不能一笔画
出。如果把它分成几个部分，而每个部分是一笔画图形，则我们就可以用最少的几笔画出这个图形。按照这样的要求，每个部分最多含有两个奇点，可以采用再两个奇点之间去掉一条线的方法，该奇点就变成偶点。经观察，图（1）可以切分成图（A）、（B）两个图形。这两部分都可以一笔画出，所以图（1）至少用两笔画出。
完成综合练习
能
不能
不能
能
仔细观察一下这些图形有什么特点？
通过观察，我们可以发现一个几何图形中和一点相连通的线的条数不同。由一点发出有偶数条线，那么这个点叫做偶点。相应的，由一点出发有奇数条数，则这个点叫做奇点。
（）（4）
（2）
（3）
再看图（1）、（4），其中每一点都是偶点，都可以一笔画，且可以从任意一点画起。而图（2）有4个奇点，2个偶点，不能一笔画成。这样我们发现，一个图形能否一笔画和这个图形奇点，偶点的个数有某种联系，到底存在什么样的关系呢，我们再看一个例题。
例【2】下面各图能否一笔画成？
（1）
（2）
（3）
分析图（1）从任意一点出都可以一笔画成，它的每一个
点都是与两条线相连的偶点。图（2），经过反复试验，也可找到画法。图中B、D为偶点，A、C为奇点，即图中有两个奇点，两个偶点。要想一笔画，需从奇点出发，回到奇点。经过尝试，图（3）无法一笔画成，而图中有4个奇点，5 个偶点。

一笔画课件

超市
电器城
文具店
菜市场
服装城
2、下图是一个公园的平面图，能不能使游人走遍每一条路不重复？入口和出口又应设在哪儿？ E ● D● C●
F ●
●G
● B
●A
3、甲乙两个邮递员去送信，两人同时出发以同样的速度走遍所有的街道，甲从A点出发，乙从B点出发，最后都回到邮局（C点）。如果要选择最短的线路，谁先回到邮局？
脑筋急转弯：想一想一笔能写出1000吗？
18世纪风景秀丽的哥尼斯堡（位于立陶宛与波兰之间，现属俄罗斯）中有一条河，河的中间有两个小岛，河的两岸与两岛之间共建有七座桥（如图），城中的居民经常沿河过桥散步，不知从什么时候起，脚下的桥梁触发了人们的灵感，一个有趣的问题在居民中传开了：谁能够一次走遍所有的７座桥，而且每座桥都只通过一次？最后是否仍能回到出发点？这就是数学史上著名的七桥问题。
不重复的路
——一笔画
“ 一笔画”是指笔不离开纸，而且每条线都只画一次不准重复而画成的图形。
你能用一笔画出下列图形吗？
下列哪些图形能一笔画出来，哪些不能？
课堂练习
1、一辆洒水车要给某城市的街道洒水，街道地图如下：你能否设计一条洒水车洒水的路线，使洒水车不重复地走过所有的街道，再回到出发点？小广场
D
B
A
C
欧拉解决这个问题的方法非常巧妙。他认为：人们关心的只是一次不重复地走遍这七座桥，而并不关心桥的长而桥则可短和岛的大小，因此，岛和岸都可以看作一个点，以看成是连接这些点的一条线。这样，一个实际问题就转化为一个几何图形（如下图）能否一笔画出的问题了。
A
B
交点分为两种
（ 1 ）从这点出发的线的数目是双数的，叫双数点（偶点）。图形能否一笔画成，关键在于图中单数点的多少。（1）凡是图形中没有单数点的一定可以一笔画成。（2）凡是图形中只有一个或者两个单数点，一定可以一笔画成。画时必须从一个单数点为起点，以另一单数点为终点。（3）凡是图形中单数点的个数多于两个时，此图肯定是不能一笔画成。

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规律3：如果没有奇点，那么每个点都能作为起点；如果有两个奇点，那其中一个必为起点，另一个必为终点。
为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益
怎样走才能不重复不遗漏地逛完整个超市？为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益
能
2个
2个
能
2个
4个
能
0个6个能源自0个 10个能0个
8个
能
0个
9个
为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益
欧拉：“一笔画图”的规规律律1：凡能一笔画的图形必须是一个连通图；
规律2：凡能一笔画的图形，与偶点个数无关，与奇点个数有关，其个数是0或2.
为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益
“一笔画”是指笔不离开纸，而且每条线都只画一次不准重复而画成的图形。
为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益
交点分为两种
（1）从这点出发的线的数目是双数的，叫双数点（偶点）。（2）从这点出发的线的数目是单数的，叫单数点（奇点）。
为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益

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图1
图2
你能用一笔画出下列图形吗？
趣味数学一笔画趣味数学一笔画 “一笔画”是一种有趣的数学游戏，那么什么样的图形可以一笔画成呢？试一试，画一画，发挥你的想象力，发现一笔画的规律。 “一笔画”是一种有趣的数学游戏，那么什么样的图形可以一笔画成呢？试一试，画一画，发挥你的想象力，发现一笔画的规律。试试看。 “一笔画”是一种有趣的数学游戏，那么什么样的图形可以一笔画成呢？试一试，画一画，发挥你的想象力，发现一笔画的规律。试试看。趣味数学一笔画趣味数学一笔画趣味数学一笔画趣味数学一笔画你能笔尖不离纸，一笔画出下面的每个图形吗？你能笔尖不离纸，一笔画出下面的每个图形吗？ “一笔画”是一种有趣的数学游戏，那么什么样的图形可以一笔画成呢？试一试，画一画，发挥你的想象力，发现一笔画的规律。你能笔尖不离纸，一笔画出下面的每个图形吗？趣味数学一笔画趣味数学一笔画通过阅读报刊，我们能增长见识，扩大自己的知识面。通过阅读报刊，我们能增长见识，扩大自己的知识面。通过阅读报刊，我们能增长见识，扩大自己的知识面。通过阅读报刊，我们能增长见识，扩大自己的知识面。
趣味数学一笔画
一笔画之绵羊一笔画之猩猩
不重复的路
——一笔画
“一笔画”是指笔不离开纸，而且每条线都只画一次不准重复而画成的图形。
“一笔画”是一种有趣的数学游戏，那么什么样的图形可以一笔画成呢？试一试，画一画，发挥你的想象力，发现一笔画的规律。
你能笔尖不“一离纸笔，一画笔”画出的下规面的律每个图形吗
谢谢？趣味数学一笔画趣味来自学一试笔画试看。（不走重复线路）
你能笔尖不离纸，一笔画出下面的每个图形吗？通过阅读报刊，我们能增长见识，扩大自己的知识面。趣味数学一笔画趣味数学一笔画趣味数学一笔画趣味数学一笔画 “一笔画”是一种有趣的数学游戏，那么什么样的图形可以一笔画成呢？试一试，画一画，发挥你的想象力，发现一笔画的规律。通过阅读报刊，我们能增长见识，扩大自己的知识面。你能笔尖不离纸，一笔画出下面的每个图形吗？趣味数学一笔画趣味数学一笔画你能用一笔画出下列图形吗？ “一笔画”是指笔不离开纸，而且每条线都只画一次不准重复而画成的图形。趣味数学一笔画趣味数学一笔画

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2
例2:18世纪的欧洲有个哥尼斯堡城，瑞格尔河穿过这个城市，河上有两个岛，在岛与岛之间及陆地B、C与岛之间有7座桥，不少人热衷于一个有趣的数学游戏:一个游人怎样才能走遍七座桥，每座桥只能经过一次，最后又回到出发点？
点拨考虑一笔画问题，若奇点超过2个就不行。解答把两个岛A，D和陆地B，C缩小为4个点，把7座桥变成连接 A、B、C、D的7条线，如右图所示。显然A、B、C、D都是奇点，不能将图一笔画成，也就是说不能没有重复地一次走遍七座桥。
5
热身1 能否一笔画出一条线路，使它和下图中的八条线段都相交一次，且不准在端点相交？不能，因为图中有四个奇点。
6
热身2 在六面体的顶点B上有一只蚂蚁，它与顶点E上的另一只蚂蚁约定，在爬速相同时爬过所有的棱线之后，最后到终点D，问哪知蚂蚁获胜？
D
A
C
B
E E蚂蚁先到达D，因为图中只有D与E是奇点，B蚂蚁是从偶点出发必走重复路。
3
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
迁移1 公园有9块花园，水源在A处（如图所示），现在要修渠引水浇地，修的水渠不许交叉，路线要最简捷，还要浇遍9块地，你说这条水渠怎样修？
A
A
4
迁移2 下图中有A、B、C、D、E、F六个小岛，各岛之间共有15座桥，现在要从A岛出发，不重复地走遍十五座桥，能走吗？若能则该怎么走？
ABCBDBEDEFDADCAF
7
拓展1 农技试验田里用纵横的田埂划分成9个作物对比区（见图所示）。农技员过桥后，能不能不走重复的路，把试验田的田埂走一遍？若不能，请找出一条走重复路线最少的捷径来。
桥
桥
不能。因为有8个奇点。捷径设计如图（虚线表示重复路）
8
拓展2一位邮递员每天骑自行车去送信，他投送信件的街道如下图所示，图上数字表示街道的千米数，他从邮局出发，走遍街道后回到邮局，问走什么样的路线最合理？最少走的是千米？

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小结
能否一笔画成;关键在于判别奇点、偶点的个数&
1、只有偶点;可以一笔画;并且可以以任意一点作为起点&
2、只有两个奇点;可以一笔画;但必须以这两个奇点分别作为起点和终点&
3、奇点超过两个;则不能一笔画&对于一些比较复杂的路线问题;可以先转化为简单的几何图形;然后根据判定是否能一笔画的方法进行解答&
例2 下面各图能否一笔画成？
1
2
3
分析图1从任意一点出都可以一笔画成;它的每一个点都是与两条线相连的偶点& 图2;经过反复试验;也可找到画法&图中B、D为偶点;A、C 为奇点;即图中有两个奇点;两个偶点&要想一笔画;需从奇点出发;回到奇点& 经过尝试;图3无法一笔画成;而图中有4个奇点;5个偶点&
这样我们可以发现能否一笔画和奇点、偶点的数目有着紧密的关系;它们之间到底有着什么样的关系呢？
如果图形只有偶点;可以以任意一点为起点;一笔画出& 如果只有两个奇点;也可以一笔画出;但必须从奇点出发;由另一点结束& 如果图形的奇点个数超过两个;则图形不能一笔画出&
• 例3 下面的图形;哪些能一笔画出？哪些不能一笔画出？
完成综合练习
• 例4 下图中;图1至少要画几笔才能画成？
A D
O
B C
（1）
A
B （1）
DБайду номын сангаас
A
D
O
C
B
C
（A）
B
C
（B）
分析图1有4个奇点;所以不能一笔画出&如
果把它分成几个部分;而每个部分是一笔画图形;则我们就可以用最少的几笔画出这个图形 &按照这样的要求;每个部分最多含有两个奇点;可以采用再两个奇点之间去掉一条线的方法;该奇点就变成偶点&经观察;图1可以切分成图A、B两个图形&这两部分都可以一笔画出; 所以图1至少用两笔画出&

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