数集和确界原理
1.1实数,1.2数集.确界原理
例1 证明数集 S {2n | n N } 无上界, 有下界. 证 取 L = 1, 则 x 2n S, x L, 故 S 有下界.
M R, 若 M 1, 取 x0 21 M;若 M 1,
取 x0 2[M ]1 [M ] 1 M , 因此 S 无上界.
数学分析研究的对象是实 数集上 定义的函数, 因此我们首先要掌握实 数的基本概念与性质.
记号与术语
R : 实数集 R+ : 正实数集 R :负实数集 Q : 有理数集 Z : 整数集
N :自然数集(包含0)
N+ : 正整数集 : 任意 : 存在
一、实数的十进制小数表示
1. 任何一个实数都可以用十进制小数表示. 若 x R+ , 则 x a0 .a1a2 an ; x R , 则 x a0 .a1a2 an . 其中 a0 N, an {0, 1, 2, , 9}, n 1, 2,.
满足 x r y.
证明 因为 x y,由命题存在非负整数 n 使得，
xn yn,显然 xn，yn 均为有理数，令
r
1
2
xn
yn ,
则 r 是有理数，且
x
xn
1 2
xn
yn
r
yn
y.
即 x y.
四、实数的四则运算
有理数集 Q 对加、减、乘、除（除数不为 0）是 封闭的. 实数集 R 对加、减、乘、除（除数不为 0）亦是 封闭的. 实数的四则运算与大小关系, 还满足:
(1) 若 S 不是有上界的数集, 则称 S 无上界, 即 M R, x0 S,使得 x0 M . (2) 若 S 不是有下界的数集, 则称 S 无下界, 即 L R, x0 S,使得 x0 L. (3) 若 S 不是有界的数集, 则称 S 无界集, 即 M 0, x0 S, 使得 | x0 | M .
1.1实数,1.2数集.确界原理
例2
证明数集
S
n2 1 2n3
n
N
+
有界.
证
n N+ ,
n2 1 2n3
n2 2n3
1 2n3
1 1 1, 22
因此 S 有界.
二、确界
若数集 S 有上界, 则必有无穷多个上界, 而其 中最小的一个具有重要的作用. 最小的上界称为 上确界. 同样, 若S 有下界, 则最大的下界称为下 确界.
2. 有限小数 x a0 .a1a2 ak (其中ak 0), 又可表示为 x a0 .a1a2 ak1(ak 1)99 a0 .a1a2 ak1(ak 1)9 .
若实数都用无限小数表示，则表达式是唯一的.
即: 若 x a0 .a1a2 an ,
y b0 .b1b2 bn ,
反之, 任何一实数也对应数轴上一点.
2.实数集与数轴上点的一一对应关系反映了实数的
完备性. 我们将在后面有关章节中作进一步讨论.
八、实数的绝对值与三角形不等式
1. 实数 a 的绝对值 | a | 定义为:
|
a
|
a, a,
a0 a0
.
2. 实数的绝对值性质: (1) | a || a | 0; 当且仅当 a 0 时 | a | 0.
例1 证明数集 S {2n | n N } 无上界, 有下界. 证 取 L = 1, 则 x 2n S, x L, 故 S 有下界.
M R, 若 M 1, 取 x0 21 M;若 M 1,
取 x0 2[M ]1 [M ] 1 M , 因此 S 无上界.
第二节 数集与确界原理.
无界数集: 若对任意 M 0 ，存在 x S , | x | M ，则称 S 为无界集。
例如， ( , ) , ( , 0 ) , ( 0 , ) ，有理数集等都是无界数集,
例1
证明集合
E
y
y 1, x
x ( 0 ,1 ) 是无界数集.
§2 数集·确界原理
教学内容： 区间与邻域；有界集与确界原理 重点：区间与邻域的概念，确界定义与确界原理 要求：正确理解数集上下确界与数集上下界的定义。
本节先定义 R 中两类重要的数集——区间与邻域，然后讨论有
界集§并2给数出集确.界确定界义原与理确界原理。
一 区间与邻域:
区间 ：
{x a x b} 称为开区间, 记作 (a,b)
7
证明：对任意 M 0 , 存在 x 1 (0, 1) , y 1 E, y M 1 M
M 1
x
由无界集定义，E 为无界集。
确界，先给出确界的直观定义：若数集 S 有上界，则显然它有无穷多个上
界，其中最小的一个上界我们称它为数集 S 的上确界，记作 sup S ；同样，有下
界数集的最大下界，称为该数集的下确界，记作 i）确? 界是唯一的.
例3 设 S 和 A 是非空数集，且有 S A. 则有
sup S sup A, inf S inf A. .
10
例 4 设 A 和 B 是非空数集. 若对 x A 和 y B, 都有 x y, 则有
例2 非空有界数集的上（或下）? 界是唯一的.
inf S xinfinAf; A同或理x 有 ininff BS. inf xB. m于in是 in有f A , inf B .
数集确界原理
数集确界原理数集确界原理是数学中一个非常重要的概念，它在实际问题中具有广泛的应用。
在数学分析中，确界原理是指对于有上（下）界的非空实数集合必存在最小（大）上（下）确界。
这一原理在实际问题中有着重要的意义，下面我们将深入探讨数集确界原理及其应用。
首先，我们来了解一下数集的上确界和下确界。
对于一个实数集合A，如果存在一个实数M，使得对于A中的任意元素x，都有x≤M，那么M就是A的上确界，记作supA。
类似地，如果存在一个实数m，使得对于A中的任意元素x，都有x≥m，那么m就是A的下确界，记作infA。
上确界和下确界是数学分析中非常重要的概念，它们在实际问题中的应用非常广泛。
数集确界原理指出，对于有上（下）界的非空实数集合，必存在最小（大）上（下）确界。
这一原理在实际问题中有着广泛的应用。
例如，在经济学中，对于某种商品的价格集合，我们可以通过确界原理得到最低价和最高价，这对于市场分析和决策具有重要意义。
在工程学中，对于某种材料的强度集合，我们可以通过确界原理得到最小强度和最大强度，这对于设计和生产具有重要意义。
在物理学中，对于某种物理量的测量结果集合，我们可以通过确界原理得到最小值和最大值，这对于实验结果的分析具有重要意义。
除了在实际问题中的应用，数集确界原理在数学分析中也有着重要的理论意义。
它为实数集合的性质和运算提供了重要的基础。
通过确界原理，我们可以证明实数集合的某些性质，例如实数集合的稠密性、实数集合的有界性等。
这些性质对于实数集合的理论研究和应用具有重要意义。
总之，数集确界原理是数学分析中一个非常重要的概念，它在实际问题中具有广泛的应用，并且为实数集合的性质和运算提供了重要的基础。
通过对数集确界原理的深入理解和应用，我们可以更好地理解和运用实数集合的性质，为实际问题的分析和解决提供重要的理论支持。
希望本文对读者对数集确界原理有所帮助，谢谢阅读。
数集·确界原理
设 2）不成立，则 0 0, 使得 x E ，均有 x M 0 ，与 M 是上确界矛盾.
充分性， 用反证法.设 M 不是 E 的上确界，即 M 是上界，但 M M .令 M M 0 ，
x E ， 由 2） ， 使得 x M M ， 与M 是E
例4 设 A, B为非空数集,满足: x A, y B有x y.
证: 由假设,数集B中任一数 y 都是数集A的上界,
A中任一数 x 都是B的下界, 故有确界原理知,数集A有上确界,数集B有下确界.
y B, y是数集A的一个上界,而由上确界的定义知
试证明:
x inf A
即
或
x inf B. x min inf A , inf B .
min inf A , inf B 是数集 S 的下界,
inf S min inf A , inf B .
3.数集与确界的关系: 确界不一定属于原集合. 以例1⑵为例做解释.
(a, b) (a, b 为有限数） a, b 、 、 邻域等都是有界数集； 集合 E y y sin x, x ( , )也是有界数集.
( , ) , ( , 0 ) , ( 0 , ) 等都是无界数集,
1 例1 证明集合 E y y , x ( 0 , 1 ) x 是无界数集. 1 (0, 1) , 证明： 对任意的M 0，x M 1 1
supA 是数集A的最小上界, 故有 supA y.
而此式又表明数
supA 是数集B的一个下界,
故由下确界的定义证得
sup A inf B.
例5
A 和 B 为非空数集, S A B.
高等数学第1章第2节数集·确界原理
§２ 数集·确界原理引言上节课中我们对数学分析研究的关键问题作了简要讨论；此后又让大家自学了第一章 §１实数的相关内容．下面，我们先来检验一下自学的效果如何！１．证明：对任何x R ∈有（１）|1||2|1x x -+-≥；（２）|1||2||3|2x x x -+-+-≥. ２．证明：||||||x y x y -≤-.３．设,a b R ∈，证明：若对任何正数ε有a b ε+<，则a b ≤.４．设,,x y R x y ∈>，证明：存在有理数r 满足y r x <<.[引申]：①由题１可联想到什么样的结论呢？这样思考是做科研时的经常的思路之一．而不要做完就完了！而要多想想，能否具体问题引出一般的结论：一般的方法？②由上述几个小题可以体会出“大学数学”习题与中学的不同；理论性强，概念性强，推理有理有据，而非凭空想象；③课后未布置作业的习题要尽可能多做，以加深理解，语言应用．提请注意这种差别，尽快掌握本门课程的术语和工具（至此，复习告一段落）．本节主要内容：１．先定义实数集Ｒ中的两类主要的数集——区间邻域；２．讨论有界集与无界集；３．由有界集的界引出确界定义及确界存在性定理（确界原理）.一 区间与邻域1. 区间（用来表示变量的变化范围）设,a b R ∈且a b <.{}{}{}{}{}{}{}{}{}|(,).|[,].|[,)|(,]|[,).|(,].|(,).|(,).|.x R a x b a b x R a x b a b x R a x b a b x R a x b a b x R x a a x R x a a x R x a a x R x a a x R x R ⎧⎧⎪⎪∈<<=⎪⎪⎪⎪∈≤≤=⎨⎪∈≤<=⎧⎪⎪⎨⎪∈<≤=⎪⎩⎩⎨⎧∈≥=+∞⎪∈≤=-∞⎪⎪∈>=+∞⎨⎪∈<=-∞⎪⎪∈-∞<<+∞=⎩开区间: 有限区间闭区间: 闭开区间:半开半闭区间开闭区间:区间无限区间⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩2. 邻域联想：“邻居”．字面意思：“邻近的区域”．（看左图）．与a 邻近的“区域”很多，到底哪一类是我们所要讲的“邻域”呢？就是“关于a 的对称区间”；如何用数学语言来表达呢？（１） a 的δ邻域：设,0a R δ∈>，满足不等式||x a δ-<的全体实数x 的集合称为点a 的δ邻域，记作(;)U a δ，或简记为()U a ，即{}(;)||(,)U a x x a a a δδδδ=-<=-+.（２） 点a 的空心δ邻域{}(;)0||(,)(,)()o o U a x x a a a a a U a δδδδ=<-<=-⋃+ .（３） a 的δ右邻域和点a 的空心δ右邻域{}{}00(;)[,)();(;)(,)().U a a a U a x a x a U a a a U a x a x a δδδδδδ++++=+=≤<+=+=<<+（４） 点a 的δ左邻域和点a 的空心δ左邻域{}{}00(;)(,]();(;)(,)().U a a a U a x a x a U a a a U a x a x a δδδδδδ+---=-=-<≤=-=-<<（５）∞邻域，+∞邻域，-∞邻域{}()||,U x x M ∞=> （其中Ｍ为充分大的正数）；{}(),U x x M +∞=> {}()U x x M -∞=<-二 有界集与无界集什么是“界”？定义１（上、下界）： 设S 为R 中的一个数集．若存在数()M L ，使得一切x S ∈都有()x M x L ≤≥，则称Ｓ为有上（下）界的数集．数()M L 称为Ｓ的上界（下界）；若数集Ｓ既有上界，又有下界，则称Ｓ为有界集．若数集Ｓ不是有界集，则称Ｓ为无界集．注：１）上（下）界若存在，不唯一；２）上（下）界与Ｓ的关系如何？看下例：例1 讨论数集{}|N n n +=为正整数的有界性．分析：有界或无界←上界、下界？下界显然有，如取1L =；上界似乎无，但需要证明．解：任取0n N +∈，显然有01n ≥，所以N +有下界１；但N +无上界．证明如下：假设N +有上界M,则M>0，按定义，对任意0n N +∈，都有0n M ≤，这是不可能的，如取0[]1,n M =+则0n N +∈，且0n M >.综上所述知：N +是有下界无上界的数集，因而是无界集．例2 证明：（１）任何有限区间都是有界集；（２）无限区间都是无界集；（３）由有限个数组成的数集是有界集．[问题]：若数集Ｓ有上界，上界是唯一的吗？对下界呢？(答：不唯一 ，有无穷多个)．三 确界与确界原理１、确界的定义定义２（上确界） 设Ｓ是Ｒ中的一个数集，若数η满足：(1) 对一切,x S ∈有x η≤（即η是Ｓ的上界）;(2) 对任何αη<，存在0x S ∈，使得0x α>（即η是Ｓ的上界中最小的一个），则称数η为数集Ｓ的上确界，记作 sup .S η=定义３（下确界）设Ｓ是Ｒ中的一个数集，若数ξ满足：（１）对一切,x S ∈有x ξ≥（即ξ是Ｓ的下界）；（２）对任何βξ>，存在0x S ∈，使得0x β<（即ξ是Ｓ的下界中最大的一个），则称数ξ为数集Ｓ的下确界，记作inf S ξ=.上确界与下确界统称为确界例1 讨论数集{}S x x =为区间(0,1)中的有(无)理数的确界．分析：通过数轴看有无上、下界，进一步讨论上、下确界．提示：利用有理数集在实数集中的稠密性．sup 1,inf 0.S S ==例2．设.21inf ,1sup },2,1|1{===+=E E n n n E 证明２、确界的性质● 唯一性：若数集Ｓ存在上（下）确界，则一定是唯一的；● 若数集Ｓ存在上、下确界，则有inf sup S S ≤；● 数集Ｓ的确界可能属于Ｓ，也可能不属于Ｓ；● 存在性——定理１.1（确界原理）设Ｓ为非空数集，若Ｓ有上界，则Ｓ必有上确界；若Ｓ有下界，则Ｓ必有下确界．例3 设数集Ｓ有上界，证明：sup max .S S S ηη=∈⇔=分析：由确界原理，sup S 意义，按确界定义证明．例4．设Ａ、Ｂ为非空数集，满足：对一切x A ∈和y B ∈有x y ≤. 证明：数集Ａ有上确界，数集Ｂ有下确界，且sup inf .A B ≤分析：首先，证明sup ,inf .A B 有意义，用确界原理．其次，证明sup inf .A B ≤例5 设Ａ、Ｂ为非空有界数集，S A B =⋃，证明：（１）{}sup max sup ,sup S A B =；（２）{}inf min inf ,inf S A B =．分析：首先，由S A B =⋃及Ａ、Ｂ的性质知，Ｓ也是非空有界集．其次，证明（１）、（２）．小结、布置作业：Ｐ９：１（１），（２）； ２（1）； ４ （２）、（４）； ５；。
1-02-数集与确界原理
( −∞ , b ) = { x x < b}
无限区间
x o
b
x
区间长度的定义: 区间长度的定义: 两端点间的距离(线段的长度 称为区间的长度 两端点间的距离 线段的长度)称为区间的长度 线段的长度 称为区间的长度.
3.邻域: 设a与δ是两个实数 , 且δ > 0. .邻域:
数集{ x x − a < δ }称为点a的δ邻域 ,
中的一个数集， 满足： 定义 2 设 S 是 R 中的一个数集，若数ξ 满足： 的下界） （1）对一切 x ∈ S , 有 x ≥ ξ （即ξ 是 S 的下界） ） ； 存在 （2） ） 对任何β>ξ ,存在 x0 ∈ S , 使得 x0 < β （即ξ 是 S 的下界中最大的一个）则称数 ξ 为数集 S 的下 的下界中最大的一个） ， 确界， 确界，记作 ξ = inf S .
∴sup S ≤ max{sup A,sup B} ; 同理又有sup B ≤ sup S. ∴sup S ≥ max{sup A,sup B} ; ∴sup S = max{sup A,sup B} . 从而有x ≤ max{sup A,sup B} , 又: ∀x ∈ A, x ∈ S ⇒ x ≤ sup S ⇒sup A ≤ sup S,
数集S有上界 数集 有上界 ⇔ ∃M ∈ R, ∀x ∈ S有x ≤ M. 数集S无上界 数集 无上界 ⇔ ∀M ∈ R, ∃x0 ∈ S有x0 > M. 数集S有下界 数集 有下界 数集S无下界 数集 无下界
[ a , b ] , ( a , b ),(a , b 为有限数）是有界数集 为有限数）是有界数集;
+
Β为非空数集 满足: 为非空数集, 例4 设 Α, Β为非空数集,满足: ∀x ∈ A, ∀y ∈ B有 ≤ y x 证明: 有上确界, 有下确界,且 证明:数集 A有上确界 数集 有下确界 且sup A ≤ inf B 有上确界 数集B有下确界 由假设,数集 数集B中任一数 都是数集A的上界 的上界, 证: 由假设 数集 中任一数 y 都是数集 的上界 A中任一数 x 都是 的下界 中任一数 都是B的下界 的下界, 故由确界原理知,数集A有上确界 数集 有下确界 有上确界,数集 有下确界. 故由确界原理知 数集 有上确界 数集B有下确界 确界原理 是数集A的一个上界 的一个上界,而由上确界的定义知 ∀y∈B, y是数集 的一个上界 而由上确界的定义知 是数集A的最小上界, supA 是数集 的最小上界, 故有 supA ≤ y 是数集Β的一个下界, 而此式又表明数 supA 是数集Β的一个下界, 故由下确界的定义证得
数集,确界原理
a
x
(, b) { x x b}
o
b
x
(, ) { x x < }
x
2、邻域
定义1 设a与 是两个实数 , 且 0. 数集
{ x x a }称为点a 的δ邻域 , 点 a 叫做这邻
域中心， 叫做这邻域的半径 . 记作
U (a, ) { x a x a }.
存在某个正整数n0 N+ , 使得n0 M .
事实上，对任何正数M，取 n0 M 1，
则n0 N , 且n0 M , 这就证明了N 无上界.
1 例 2 证明集合E y / y , x (0, 1) 是无界集. x
证明
对任何M 0,
0
a
a
a
x
点
a 的 左邻域 和 点 a 的空心 左邻域
U (a, ) { x a x a } (a , a]
U (a, ) { x a x a } (a , a)
0
邻域
U ( ) x | x | M , U ( ) x x M , U ( ) x x M
即 又是S 的最大下界， 则 称 数 为数集 S 的
下确界， 记为 inf S .
x0
S
(ii) 对任意 0, 存在x0 S , 使得x0 即 是 S 的最大下界.
的确界. 例3 讨论数集 S {x | x为(0, 1)中的有理数}
supS = 1
上确界， 记为 sup S . S
数集确界原理
作业 :
P9: 1, 2, 3, 4, 5.
§2 数集.确界原理
1.区间和邻域 有限区间 数集{x|a<x<b}称为开区间, 记为(a, b), 即 (a, b){x|a<x<b}. [a, b]{x|axb}——闭区间.
[a, b){x|ax<b}——半开区间, (a, b]{x|a<xb}——半开区间. 上述区间都是有限区间, 其中 a和b称为区间的端点, b-a 称为区 间的长度.
S
确界原理 设S为非空数集,若S有上界,则S必有上确界;若S有下界, 则S必有下确界. 例3 设 A, B为非空数集,满足: x A, y B有x y. 证明数集 A有上确界, 数集B有下确界,且
sup A inf B.
证: 由假设,数集B中任一数 y 都是数集A的上界, A中任一数 x 都是B的下界, 故有确界原理知,数集A有上确界,数集B有下确界.
证明 用反证法.假若结论不成立 ，则根据实数的有序性
有a > b.令e a - b, 则e为正数且 a b e , 这与假设 a < b e矛盾.从而必有 a b.
3.小结 (1), 两个实数的大小关系; (2), 实数的性质; (3), 区间和邻域的概念; (4), 确界原理.
直积(笛卡儿乘积) 设A、B是任意两个集合, 则有序对集合 AB{(x, y)|xA且yB} 称为集合A与集合B的直积. 例如, RR{(x, y)| xR且yR }即为xOy面上全体点 的集合, RR常记作R2.
3.实数集 两个实数的大小关系 • 定义1
给定两个非负实数 x a0 .a1a2 L an L, y b0 .b1b2 Lbn L, 其中a0 , b0为非负整数， ak , bk (k 1,2,L)为整数， 0 ak 9,0 bk 9. 若有ak bk , k 1,2,L, 则称x与y相等，记为x y； 若a0 > b0或存在非负整数l , 使得ak bk (k 1,2Ll )而al 1 > bl 1 则称x大于y或y小于x，分别记为x > y或y < x.
数学分析1.2数集与确界原理
第一章实数集与函数2 数集·确界原理一、区间与邻域设a、b∈R，且a<b，我们称数集{x|a<x<b}为开区间，记作(a,b)；数集{x|a≤x≤b}称为闭区间，记作[a,b]；数集{x|a≤x<b}和{x|a<x≤b}称为半开半闭区间，记作[a,b)和(a,b]，它们统称为有限区间。
(−∞,a]={x|x≤a}，[a,+∞)={x|x≥a}，(−∞,a)={x|x<a}，(a,+∞)={x|x>a}，(−∞, +∞) ={x|−∞<x<+∞}=R；它们统称为无限区间。
设a∈R，δ>0。
满足绝对值不等式|x-a|<δ的全体实数x的集合称为点a的δ邻域，记作U(a;δ)，或简单地写作U(a)，即有U(a;δ)={ x||x-a|<δ}=(a-δ,a+δ)点a的空心δ邻域定义为U⁰(a;δ)={ x|0<|x-a|<δ}也简单地记作U⁰ (a).点a的δ右邻域U+(a;δ)=[a, a+δ)，简记为U+(a)；点a的δ左邻域U-(a;δ)= (a-δ, a]，简记为U-(a)；去除点a后的点a的空心δ左、右邻域分别简记为U⁰+(a)和U⁰-(a).∞邻域U(∞)= { x||x|>M}，其中M为充分大的正数(下同)；+∞邻域U(+∞)= { x|x>M}，-∞邻域U(-∞)= { x|x<-M}.二、有界集·确界原理定义1：设S为R中的一个数集。
若存在数M(L)，使得对一切x∈S，都有x≤M(x≥L)，则称S为有上界(下界)的数集，数M(L)称为S的一个上界(下界)。
若数集S既有上界又有下界，则称S为有界集。
若S不是有界集，则称S为无界集。
例1：证明数集N+={n|n为正整数}有下界而无上界。
证：显然，任何一个不大于1的实数都是的N+下界，故N+为有下界的数集；∀M>0，取n0=[M]+1，则n0∈N+，且n0> M，故N+为无上界的数集。
§2.数集.确界原理.
§2.数集.确界原理 一. 区间与邻域 2.邻域(neighborhood)
(5) 邻域,邻域与 邻域 : 设M是一个充分大的正数 ,则
邻域:U: x R x M ,M M ,;
邻域:U: xR x M ,M ; 邻域:U : xR x M M,.
6
§2.数集.确界原理 一. 区间与邻域
例2(P6) 设S x x为区间(0,1)中的有理数,试按上,下
[思考题](PP6 7) 证明:
(1) 设S [0,1], 则supS 1, inf S 0;
(2)
设E
1n
n
n 1,2,,
则sup E
1, 2
inf
E
1;
(3) 对于正整数集N 1,2,, 则inf N 1, 而没有上确界.
a
a
a
x
4
§2.数集.确界原理 一. 区间与邻域 2.邻域(neighborhood)
设a R, 0. (3) a的右邻域与a的空心右邻域 :
Ua; : xR a x a a,a ; U0a; : xR a x a a,a .
(4) a的左邻域与a的空心左邻域 :
Ua; : xR a x a a ,a; U0a; : xR a x a a ,a.
设a R, 0.
(1) a的邻域 : 集合 x R x a 称为以a为中心为半径的邻域 ,
简称为a的邻域,记为U a; ,即
Ua; : x R x a a , a ;
(2)a的空心邻域 : 点a的邻域去掉中心" a"后所得到的集合, 记为
U 0a; ,即
U 0a; : x R 0 x a a , a a, a .
(i)x S, x ,即是S的一个下界;
第二节--数集--确界原理ppt课件
若S没有上界或没有下界，则称S为无界集。
7
若 S有 上 ( 下 ) 界 ， 则 一 定 有 无 限 多 个 上 ( 下 ) 界 。
若对于任意的数M，都存在一个
∈S,使得 >M, 则称S是一个无上
界的数集。
请同学写出“S是无下界的数集”的定义。
8
有下界(可取1)，无上界。 下界可取1/2，上界可取1。
28
作业 p9. 2,
4 (1) (3).
29
18
证： 仅证上确界的结论。 不妨设S有非负数。由于S有上界，故可找
到非负整数n,使得： (1)对于任何x ∈S,有x<n+1；
对[n,n+1)作10等分，分点为n.1,n.2,…,n.9, 则存在0 ，1 ，2, … , 9中的一个数 ，使
19
则存在0 ，1 ，2, … , 9中的一个数 ，使
3
邻域:
4
右邻域： 左邻域：
5
二、有界集、确界原理 定义1 设S是实数集R中的一个数集，若存在
数M，使得对一切的x ∈S, 都有
则称S为有上界的数集，称M为S的一个上
界。
6
定义2 设S是实数集R中的一个数集，若
存在数L，使得对一切的x ∈S, 都有
x L,则称S为有下界的数集，称L为S的一个 下界。
继续下去，则对任意的k=1,2,3,…,存在 0,1,2,3,…,9中的一个数 ，使
20
现在证明 = supS. 为此要证：
21
从而于是(ⅠBiblioteka 得证 。矛盾！22
于是(Ⅱ)得证。
从而
23
例4：求A={x|x>0, <2, x 是有理数}的上下 确界，并证明上确界不属于有理数集.
数学分析1-2数集、确界原理
4. sup S.
(1) x b0 .b1b2 S,
若 x 0, 则x ; 若 x 0, 则 x S .
由于 a0 .a1 an max{ b0 .b1 bn | x b0 .b1 S }, 则 a0 .a1 an b0 .b1 bn . 由 n 的任意性得 x y.
§2 数集 ·确界原理
确界原理本质上体现了实数的完备 性，是本章学习的重点与难点.
一、区间与邻域
二、有界集
三、确界 四、确界的存在性定理
五、非正常确界
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一、区间与邻域
区间 是指介于某两个实数之间的全体实数， 这两个实数叫做区间的端点
a,b , 且 a b
{ x a x b} 称为开区间，记作 (a ,b)
三、确界
若数集 S 有上界, 则必有无穷多个上界, 最小的上界称为上确界.
同样, 若S 有下界, 则最大的下界称为下确界
定义2 设 S R, S . 若 R满足:
(i) x S, x ;
(是它的上界)
(ii) , x0 S, 使得 x0 , (比小的不是它的上界)
则称 是 S 的上确界, 记为 sup S .
下面证明 R, 使 sup S.
证明分以下四步: 1. 令Sn {b0 .b1 bn | x b0 . b1b2 S }, 则 Sn 有最 大值 xn , n 1, 2, .
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2. a0 N , ai {0,1, , 9}, i 1, 2, , 使 n, xn a0 .a1an , n 1,2,.
S1 { x | x S , x n0 .n1a2 },
则 S1 , x1 S1, x1 n0 .n1; x S, 1
§2.数集.确界原理.
例5(P8) 设A, B为非空有界数集 , S A B.证明 : (i) sup S maxsup A, sup B; (ii) inf S mininf A, inf B.
U a; : x R x a a , a ;
(2)a的空心 邻域 : 点a的邻域去掉中心 " a" 后所得到的集合 , 记为 U 0 a; , 即
U 0 a; : x R 0 x a a , a a, a .
[思考题 ](P21/1 )设a, b R.证明 : 1 (1) maxa, b a b a b ; 2 1 (2) mina, b a b a b . 2
17
§2.数集.确界原理 三. 确界与确界原理 1.确界的定义
例3(P7) 设数集 S有上确界 .证明 :
14
§2.数集.确界原理 三. 确界与确界原理 1.确界的定义
几点说明(P7) (1)并非每个数集 S都存在上 (下)确界;
[问题]如何用正面的语言定义 ( )不是数集 S的上(下)确界 ?
15
§2.数集.确界原理 三. 确界与确界原理 1.确界的定义
几点说明(P7) (1)并非每个数集 S都存在上 (下)确界; (2)(P7)由上(下)确界的定义可知 , 若数集 S存在上 (下)确界, 则必唯一 ; (3)(P7)若数集 S存在上 , 下确界 , 则有 inf S sup S ; (4)(P7)数集S的上(下)确界可能属于 S , 也可能不属于 S;
实数集与函数数集确界原理
二、确界
若数集 S 有上界, 则必有无穷多个上界, 而其
中最小的一个具有重要的作用. 最小的上界称为
上确界. 同样, 若S 有下界, 则最大的下界称为下 确界. 定义2 设 S R, S . 若 R满足 :
(i ) x S , x ; (ii) , x0 S , 使得 x0 ,
x0
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x
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定义3 设 S R, S . 若 R 满足 :
(i) x S , x ;
(ii) , x0 S , x0 ; 则称 是 S 的下确界, 记为 inf S .
注1 由定义,下确界是最大的下界.
(3) 若 S 既有上界又有下界, 则称 S 为有界集.
其充要条件为 : M 0, 使 x S , 有 | x | M .
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(1) 若 S 不是有上界的数集, 则称 S 无上界, 即 M R, x0 S , 使得 x0 M . (2) 若 S 不是有下界的数集, 则称 S 无下界, 即 L R, x0 S , 使得 x0 L. (3) 若 S 不是有界的数集, 则称 S 无界集, 即 M 0, x0 S , 使得 | x0 | M .
§2 数集 · 确界原理
确界原理本质上体现了实数的完备 性，是本章学习的重点与难点. 一、有界集 二、确界 三、确界的存在性定理
四、非正常确界
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记号与术语
U (a; ) { x | | x a | } : 点 a 的 邻域
U (a; ) { x | 0 | x a | }: 点 a 的 空心邻域
数学分析1.2数集与确界原理
第一章实数集与函数2 数集·确界原理一、区间与邻域设a、b∈R，且a<b，我们称数集{x|a<x<b}为开区间，记作(a,b)；数集{x|a≤x≤b}称为闭区间，记作[a,b]；数集{x|a≤x<b}和{x|a<x≤b}称为半开半闭区间，记作[a,b)和(a,b]，它们统称为有限区间。
(−∞,a]={x|x≤a}，[a,+∞)={x|x≥a}，(−∞,a)={x|x<a}，(a,+∞)={x|x>a}，(−∞, +∞) ={x|−∞<x<+∞}=R；它们统称为无限区间。
设a∈R，δ>0。
满足绝对值不等式|x-a|<δ的全体实数x的集合称为点a的δ邻域，记作U(a;δ)，或简单地写作U(a)，即有U(a;δ)={ x||x-a|<δ}=(a-δ,a+δ)点a的空心δ邻域定义为U⁰(a;δ)={ x|0<|x-a|<δ}也简单地记作U⁰ (a).点a的δ右邻域U+(a;δ)=[a, a+δ)，简记为U+(a)；点a的δ左邻域U-(a;δ)= (a-δ, a]，简记为U-(a)；去除点a后的点a的空心δ左、右邻域分别简记为U⁰+(a)和U⁰-(a).∞邻域U(∞)= { x||x|>M}，其中M为充分大的正数(下同)；+∞邻域U(+∞)= { x|x>M}，-∞邻域U(-∞)= { x|x<-M}.二、有界集·确界原理定义1：设S为R中的一个数集。
若存在数M(L)，使得对一切x∈S，都有x≤M(x≥L)，则称S为有上界(下界)的数集，数M(L)称为S的一个上界(下界)。
若数集S既有上界又有下界，则称S为有界集。
若S不是有界集，则称S为无界集。
例1：证明数集N+={n|n为正整数}有下界而无上界。
证：显然，任何一个不大于1的实数都是的N+下界，故N+为有下界的数集；∀M>0，取n0=[M]+1，则n0∈N+，且n0> M，故N+为无上界的数集。
数集确界定理
§1.2 数集.确界定理§2 数集.确界定理Ⅰ. 教学目的与要求1.理解区间及邻域的概念,2.掌握有界集和上、下确界的概念;3.理解实数确界的定义及确界原理,并在有关命题中正确地加以应用.Ⅱ. 教学重点与难点:重点: 实数确界的定义及确界原理.难点: 实数确界的定义及确界原理的应用.Ⅲ. 讲授内容一 区间与邻域设、 R ，且．我们称数集引为开区间，记作()；数集a b ∈b a <}|{b x a x <<b a ,称为闭区间，记作[]；数集{}和{}都称为半}|{b x a x ≤≤b a ,b x a x ≤≤|b x a x ≤<|开半闭区间，分别记作[)和(．以上这几类区间统称为有限区间．b a ,],b a 无限区间:[) ,+∞,a {}a x x ≥=},|{),(},|{],(a x x a a x x a >=+∞≤=-∞,都称为无限区间．}|{],(a x x a <=-∞R x x =+∞<<-∞=+∞-∞}|{),(有限区间和无限区间统称为区间．设R a ∈，0>δ．集合称为点的邻).,(}|{);(δδδδ+-=<-=a a a x x a U a δ域，记作，或简单地写作Ｕ.);(δa U )(a 点的空心邻域定义为或简单地记作，a δ},0|{);(δδ<-<=a x x a U)(a U注意的差别在于: 不包含点．);();(δδa U a U 与}0|{);(δδ<-<=a x x a Ua此外，我们还常用到以下几种邻域：点的右邻域，简记为a δ),[);(δδ+=+a a a U );(a U + 点的左邻域，简记为a δ],();(a a a U δδ-=-);(a U -去除点后，分别为点的空心左、右领域，简记为)()((a U a U +-与a a δ．))()(a U a U +- 与邻域，其中M 为充分大的正数(下同)；∞}|{)(M x x U >=∞邻域，领域．∞+}|{)(M x x U -<=+∞∞-}|{)(M x x U -<=-∞连接管口处理高中资料试卷弯扁度固保护进行整核对定值，审核与校对图卷破坏范围，或者对某些异常高中资§1.2 数集.确界定理二 有界集.确界原理定义1 设为R 中的一个数集．若存在数M(L)，使得对一切，都有M(S S x ∈x ≤x L)，则称S 为有上界(下界)的数集，数M(L)称为S 的一个上界(下界)．≥若数集既有上界又有下界，则称为有界集．若不是有界集，则称为无界集．S S S S例1 证明数集为正整数}有下界而无上界．n n N |{=+ 证 显然，任何一个不大于1的实数都是的下界，故为有下界的数集．+N +N为证N+无上界，按照定义只须证明：对于无论多么大的数M ，总存在某个正整数，使得事实上，对任何正数(无论多么大)，取，则)(+∈N n o M n o >M =0n []1+M on ，且．这就证明了无上界．+∈N M n o >+N 同样可以证明：任何有限区间都是有界集，无限区间都是无界集；由有限个数组成的数集是有界集．定义2 设是R 中的一个数集．若数满足：S η （i ）对一切，有，即是的上界；S x ∈η≤x ηS （ii ）对任何存在，使得即又是的最小上界ηα<S x o ∈α>o x ηS 则称数为数集的上确界，记作ηS Ssup =η 定义3 设是R 中的一个数集．若数满足：S ξ（i ）对一切，有，即是的下界S x ∈ξ≥x ξS（ii ）对任何，存在，使得即又是的最大下界，则称数为数ξβ>S x o ∈,β<o x ξS ξ集的下确界，记作 S Sinf =ξ上确界与下确界统称为确界．例2设为区间中的有理数}.试按上、下确界的定义验证：x x S |{=)1,0(.0inf ,1sup ==S S解 先验证:1sup =S （i ）对一切，显然有即是的上界．S x ∈1≤x 1S ii 对任何，若，则任取都有；若，则由有理数集()1<α0≤αS x o ∈α>o x 0>α在实数集中的稠密性，在中必有有理数即存在，使得．)1,(αo x S x o ∈α>o x 类似地可验证0inf =S注1 由上(下)确界的定义可见，若数集存在上(下)确界，则一定是唯一的．又若数S§1.2 数集.确界定理集存在上、下确界，则有．S S S sup inf ≤注2 数集S 的确界可能属于，也可能不属于．S S例 设数集有上确界．证明:3S SS S max sup =⇔∈=ηη 证 设，则对一切有，而，故是数集中最大)⇒S S ∈=sup ηs x ∈η≤x S ∈ηηS 的数，即，．S max =η，则；下面验证．)⇐S max =ηS ∈ηS sup =η（i ）对一切，有，即可是的上界；S x ∈η≤x ηS（ii ）对任何，只须取，则从而满足的定义．ηα<S x o ∈=ηα>o x S sup =η 定理1.1(确界原理) 设为非空数集．若有上界，则S 必有上确界；若有下界，S S S 则必有下确界．S 证 我们只证明关于上确界的结论，后一结论可类似地证明．为叙述的方便起见，不妨设含有非负数．由于有上界，故可找到非负整数，使S S n 得对于任何有;)1S x ∈1+<n x存在,使.)2S a ∈0n a ≥0对半开区间作等分,分点为,则存在中的一个数[)1,+n n 109.,,2.,1.n n n ,2,1,09, ,使得1n对于任何有；)1S x ∈101.1+<n n x存在，使．)2S a ∈111.n n a ≥再对半开区间作等分，则存在中的一个数使得)101.,.[11+n n n n 109,2,1,0 2n对于任何有)1S x ∈<x 221101.+n n n 存在，使)2S a ∈2..212n n n a ≥继续不断地等分在前一步骤中所得到的半开区间，可知对任何存在中的109,2,1,0 —个数k n ，使得§1.2 数集.确界定理对于任何有)1S x ∈kk n n n n x 101.21+< 存在，使)2S a k ∈..21k k n n n n a ≥ 将上述步骤无限地进行下去，得到实数．以下证明．为..21 k n n n n =η=ηS sup 此只需证明：（i ）对一切有；（ii ）对任何，存在使．S x ∈η≤x ηα<S ∈'α'a <α倘若结论（i ）不成立，即存在使，则可找到的位不足近似，使S x ∈η>x x k k x ，=>k k x η+k n n n n 21.k101从而得，kk n n n n x 101.21+> 但这与不等式相矛盾．于是（i ）得证．)1(现设ηα<，则存在使的位不足近似，即k ηk k k αη>，k k n n n n α> 21.根据数的构造，存在使，从而有ηS a ∈'k a η≥'，k a η≥'αα≥>k 即得到，．这说明（ii ）成立．'a <α例4设为非空数集，满足：对一切和有．证明：数集有B A ,A x ∈B y ∈y x ≤A 上确界，数集下确界，且BB A inf sup ≤()2 证 由假设，数集中任一数都是数集的上界，中任一数都是B y A A x B 的下界，故由确界原理推知数集有上确界，数集有下确界．A B现证不等式对任何，是数集的一个上界，而由上确界的定义)2(B y ∈y A 知，是数集的最小上界，故有．而此式又表明数是数集A sup A y A ≤sup A sup 的一个下界，故由下确界定义证得．B B A inf sup ≤ 例5 设为非空有界数集，．证明：B A , A S =B （i ）；}sup ,max{sup sup B A S =高中资料试卷弯扁度固定盒位置保护层对定值，审核与校对图纸，编写复杂设备或者对某些异常高中资料试卷工况进行自§1.2 数集.确界定理（ii ）.}inf min{inf,inf B S =证 由于显然也是非空有界数集，因此的上、下确界都存在．B A S =S （i ）对任何，有或或，从而有∈x S ∈x A B x ∈A s sup ≤⇒B x sup ≤≤x ，故得.}{B A sup ,sup max }{B A S sup ,sup max sup ≤另一方面，对任何，有；同理又有A x ∈;sup sup sup S A S x S x ≤⇒≤⇒∈．所以．SB sup sup ≤}{B A S sup ,sup max sup ≥综上，即证得．}{B A S sup ,sup max sup = (ii)可类似地证明．若把和补充到实数集中，并规定任一实数与、的大小关系为：∞+∞-a ∞+∞-，,,则确界概念可扩充为：若数集无上界，则定义为+∞<a -∞>a +∞<∞-S ∞+的非正常上确界，记作；若无下界，则定义为的非正常下确界，S +∞=S sup S ∞-S 记作．相应地，前面定义和定义中所定义的确界分别称为正常上、下确-∞=S inf 23界．推广的确界原理 任一非空数集必有上、下确界(正常的或非正常的).Ⅳ 小结与提问:本节要求学生掌握邻域的概念, 理解实数确界的定义及确界原理,并在有关命题中正确地加以应用.Ⅴ 课外作业:P 2、3、4、5、6、7、8.９。
第二节数集确界原理
确界原理的扩充
若把 和 补充到实数集中， 并规定一实数 a 与 、 的大小关系为 a , a , , 则确界概念可扩充为 若 S 无上界, 则定义 + 为 S 的非正常上确界，记作 sup ; 若 S 无下界, 则定义 - 为 S 的非正常下确界， 记作 inf .
相应地，前面定义2和定义3中所定义的确界分别称为正 常上、下确界. 推广的确界原理 任一非空数集必有上、下确界（正常的或非 正ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ的）.
例
正整数N+有
S y y 2 x 2 , x R 的 inf , sup 2.
inf N+ =1，sup N+ = +∞.
是Ｓ的下界中最大的一个） ，则称数 为数集Ｓ 的下确界，记作 inf S .
命题 2 inf S 的充要条件： 1） 是Ｓ下界； 2） ＞0， x0 S, 有x0 ＜ .
例3 设S { x | x为区间(0,1)中的有理数}.试按上、 下确界的定义验证： sup S 1,inf S 0.
2.邻域: 设a与 是两个实数 , 且 0.
U (a) {x a x a }.
U 0 (a) {x 0 x a }.
a
a
a
x
U () {x x M }.
二 有界集 确界原理
(一)有界集
定义1 S为R中的一个数集,若 M R, x S有x M .
注1 确界若存在则必唯一 注2 S sup S inf S 注3 S 的确界可能 S 可能 S
定义4 最大数与最小数
数集确界原理
a
a
a x
点a 旳 右邻域 和 点 a 旳空心 右邻域
U (a, ) {x a x a } [a, a ) U 0(a, ) {x a x < a } (a,a )
a
a
a x
点 a 旳 左邻域 和 点 a 旳空心 左邻域
U(a, ) {x a x a } (a ,a] U 0(a, ) {x a x a } (a ,a)
2、数集与确界的关系：确界不一定属于原集合.
3、确界与最值的关系：设E为数集. E 的最 值必属于E，但确界未必， 确界是一种临 界点. 非空有界数集必有确界， 但未必有 最值. 若max E存在， 必有 max E = supE, 对下确界有类似的结论.
思索题
1、任何有限数集是否一定都存在上、下确界？ 若都存在，它们分别是数集中的什么数？
上确界
M
上界
M1
M2
下界 下确界
m2 m1 m
确界旳精拟定义
定义3 设 S 是 R 中旳一种数集，若数 满足
(i) 对一切 x S, 有x , 即 是 S 的上界; (ii) 对任何 , 存在 x0 S, 使得 x0 , 即 又是 S 的最小上界，则称数 为数集 S 旳
上确界，记为 sup S.
例1 证明数集 N+{n / n为正整数}有下界而无上界.
证 显然，任何一个不大于1 的实数都是N 的下界，
பைடு நூலகம்故N
为有下界的数集
下证 N+ 无上界
按照无界集定义, 只须证：即对任意M 0，
存在某个正整数n0 N+ , 使得n0 M .
事实上，对任何正数M，取 n0 M 1，
则n0 N , 且n0 M , 这就证明了N无上界.
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§2 数集和确界原理
教学目的与要求：
使学生正确理解实数集合的定义及各种表示方法，掌握实数集合有界，有上下确界的定义，理解确界原理。
教学重点，难点：
集合有界，有上下确界的定义， 确界原理的证明及应用。
教学内容：
本节内容分两部分介绍，我们首先定义实数集R 中的两类重要数集—区间与邻域，然后讨论有界集并给出确界定义和确界原理。
一 区间与邻域
1、区间的定义 设a 、b ∈R 且a ＜b.
开区间（a, b ）、闭区间 [a, b]、半开半闭区间([]b a b a ,),和、有限区间的定义。
几何意义。
区间[)∞+,a 、(]a ,∞-、),
(∞+a 、()a ,∞-、R =∞+-∞),(、无限区间的定义。
有限区间和无限区间统称为区间。
满足绝对值不等式δ<-a x 的全体实数x 的集合称为
2、邻域的定义 设0,>∈δR a 。
点a 的δ邻域 );(δa U 或)(a U 的定义
点a 的空心δ邻域()δ;a U 或)(a U 的定义 ()δδ;);(a U a U 与 的差别
点a 的δ右邻域()δ;a U +或)(a U + 点a 的δ左邻域()δ;a U -或)(a U -
点a 的空心δ左、右邻域()a U
- 、()a U - 等的定义 ∞邻域()∞U 、+∞邻域()∞+U 、∞-邻域()∞-U 。
二 有界集·确界原理
1、有阶集的定义
定义1 设S 为R 中的一个数集。
若存在数M （L ），使得对一切,S x ∈都有(),L x M x ≥≤则称S 为有上界（下界）的数集，数M （L ）称为S 的一个上界（下界）。
若数集S 既有上界又有下界，则称S 为有界集。
若S 不是有界集，则称S 为无界集。
注：介绍有界集的几种等价定义，正面叙述无界集的概念。
例1 证明数集{}
为正整数n n N =+有下界而无上界。
分析
证
例 任何有限区间都是有界集，无限区间都是无界集；由有限个数组成的数集是有界集。
2、数集的上确界和下确界的精确定义
描述性定义：若数集S 有上界，则显然它有无穷多个上界，而其中最小的一个上界常常具有重要的作用，称它为数集S 的上确界。
同样，有下界数集的最大下界，称为该数集的下确界。
精确定义
定义2 设S 是R 中的一个数集。
若数η满足：
（i ）对一切的上界是即有S x S x ηη,,≤∈； （ii ）对任何为则称数的最小上界又是即使得存在ηηαηα,,,,00S x S x >∈<数集S 的上确界，记作
.sup S =η
定义3 设S 是R 中的一个数集。
若数ξ满足：
（i ）对一切;,,的下界是即有S x S x ξξ≥∈ （ii ）对任何ξξβξβ则称数的最大下界又是即使得存在，S x S x ,,,00<∈>为数集S 的下确界，记作
.inf S =ξ
上确界与下确界统称为确界。
注：以上确界为例，下确界类似定义
设S 是R 中的一个数集。
若数η满足：
（i ）对一切的上界是即有S x S x ηη,,≤∈； （ii ）对任何000,,,,x S x S εηεη>∈>-存在使得即又是的最小上界则称数η也为数集S 的上确界。
例2 设(){}
中的有理数为区间10，x x S =。
试按上、下界的定义验证：sup S=1,inf S=0.
例 闭区间[0，1]的上、下确界分别为1和0 对于数集⎭
⎬⎫⎩⎨⎧=-= ,2,1)1(n n E n 的上、下确界分别为1inf ,21sup -==E E 正整数集N +有下确界,1inf =+N 而没有上确界。
注1 由上（下）确界的定义可见，若数集S 存在上（下）确界，则一定是唯一的。
又若数集S 存在上、下确界，则有inf S ≤sup S.
注2 从上面一些例子可见，数集S 的确界可能属于S ，也可能不属于S 。
例3 设数集S 有上确界。
证明
S S S max sup =⇔∈=ηη
分析
证
3、确界原理及其应用
定理1.1(确界原理) 设S 为非空数集。
若S 有上界，则S 必有上确界；若S 有下界，则S 必有下确界。
分析
证 采用构造性证明方法证明关于上确界的结论
注：在本书中确界原理是极限理论的基础。
例4 设A 、B 为非空数集，满足：对一切有数集证明有和A y x B y A x :.≤∈∈上确界，数集B 有下确，且
.inf sup B A ≤ （2）
分析
证
例5 设A 、B 为非空有界数集，S=A ∪B 。
证明：
(i){};sup ,sup max sup B A S =
(ii){}.inf ,inf min inf B A S =
分析
证 □
确界原理的扩充
若把+∞和∞-补充到实数集中，并规定一实数a 与+∞、∞-的大小关系为：a ＜+∞，a>∞-，∞-＜+∞，则确界概念可扩充为：若S 无上界，则定义+∞为S 的非正常上确界，记作supS=+∞；若要无下界，则定义∞-为S 的非正常下确界，记作infS=∞-，相应地，前面定义2和定义3中所定义的确界分别称为正常上、下确界。
推广的确界原理 任一非空数集必有上、下确界（正常的或非正常的）。
例如 正整数N +有inf N +=1，sup N +=+∞ 数集{}
R x x y y S ∈-==,22的infS=∞-，supS=2。
复习思考题、作业题：
2，4，6，7，8。