数集和确界原理

§2 数集和确界原理

教学目的与要求：

使学生正确理解实数集合的定义及各种表示方法，掌握实数集合有界，有上下确界的定义，理解确界原理。

教学重点，难点：

集合有界，有上下确界的定义， 确界原理的证明及应用。

教学内容：

本节内容分两部分介绍，我们首先定义实数集R 中的两类重要数集—区间与邻域，然后讨论有界集并给出确界定义和确界原理。

一 区间与邻域

1、区间的定义 设a 、b ∈R 且a ＜b.

开区间（a, b ）、闭区间 [a, b]、半开半闭区间([]b a b a ,),和、有限区间的定义。 几何意义。

区间[)∞+,a 、(]a ,∞-、),

(∞+a 、()a ,∞-、R =∞+-∞),(、无限区间的定义。

有限区间和无限区间统称为区间。 满足绝对值不等式δ<-a x 的全体实数x 的集合称为

2、邻域的定义 设0,>∈δR a 。

点a 的δ邻域 );(δa U 或)(a U 的定义

点a 的空心δ邻域()δ;a U 或)(a U 的定义 ()δδ;);(a U a U 与 的差别

点a 的δ右邻域()δ;a U +或)(a U + 点a 的δ左邻域()δ;a U -或)(a U -

点a 的空心δ左、右邻域()a U

- 、()a U - 等的定义 ∞邻域()∞U 、+∞邻域()∞+U 、∞-邻域()∞-U 。

二 有界集·确界原理

1、有阶集的定义

定义1 设S 为R 中的一个数集。若存在数M （L ），使得对一切,S x ∈都有(),L x M x ≥≤则称S 为有上界（下界）的数集，数M （L ）称为S 的一个上界（下界）。

若数集S 既有上界又有下界，则称S 为有界集。若S 不是有界集，则称S 为无界集。 注：介绍有界集的几种等价定义，正面叙述无界集的概念。

例1 证明数集{}

为正整数n n N =+有下界而无上界。

分析

证

例 任何有限区间都是有界集，无限区间都是无界集；由有限个数组成的数集是有界集。

2、数集的上确界和下确界的精确定义

描述性定义：若数集S 有上界，则显然它有无穷多个上界，而其中最小的一个上界常常具有重要的作用，称它为数集S 的上确界。同样，有下界数集的最大下界，称为该数集的下确界。

精确定义

定义2 设S 是R 中的一个数集。若数η满足：

（i ）对一切的上界是即有S x S x ηη,,≤∈； （ii ）对任何为则称数的最小上界又是即使得存在ηηαηα,,,,00S x S x >∈<数集S 的上确界，记作

.sup S =η

定义3 设S 是R 中的一个数集。若数ξ满足：

（i ）对一切;,,的下界是即有S x S x ξξ≥∈ （ii ）对任何ξξβξβ则称数的最大下界又是即使得存在，S x S x ,,,00<∈>为数集S 的下确界，记作

.inf S =ξ

上确界与下确界统称为确界。

注：以上确界为例，下确界类似定义

设S 是R 中的一个数集。若数η满足：

（i ）对一切的上界是即有S x S x ηη,,≤∈； （ii ）对任何000,,,,x S x S εηεη>∈>-存在使得即又是的最小上界则称数η也为数集S 的上确界。

例2 设(){}

中的有理数为区间10，x x S =。试按上、下界的定义验证：sup S=1,inf S=0.

例 闭区间[0，1]的上、下确界分别为1和0 对于数集⎭

⎬⎫⎩⎨⎧=-= ,2,1)1(n n E n 的上、下确界分别为1inf ,21sup -==E E 正整数集N +有下确界,1inf =+N 而没有上确界。

注1 由上（下）确界的定义可见，若数集S 存在上（下）确界，则一定是唯一的。又若数集S 存在上、下确界，则有inf S ≤sup S.

注2 从上面一些例子可见，数集S 的确界可能属于S ，也可能不属于S 。

例3 设数集S 有上确界。证明

S S S max sup =⇔∈=ηη

分析

证

3、确界原理及其应用

定理1.1(确界原理) 设S 为非空数集。若S 有上界，则S 必有上确界；若S 有下界，则S 必有下确界。

分析

证 采用构造性证明方法证明关于上确界的结论

注：在本书中确界原理是极限理论的基础。

例4 设A 、B 为非空数集，满足：对一切有数集证明有和A y x B y A x :.≤∈∈上确界，数集B 有下确，且

.inf sup B A ≤ （2）

分析

证

例5 设A 、B 为非空有界数集，S=A ∪B 。证明：

(i){};sup ,sup max sup B A S =

(ii){}.inf ,inf min inf B A S =

分析

证 □

确界原理的扩充

若把+∞和∞-补充到实数集中，并规定一实数a 与+∞、∞-的大小关系为：a ＜+∞，a>∞-，∞-＜+∞，则确界概念可扩充为：若S 无上界，则定义+∞为S 的非正常上确界，记作supS=+∞；若要无下界，则定义∞-为S 的非正常下确界，记作infS=∞-，相应地，前面定义2和定义3中所定义的确界分别称为正常上、下确界。

推广的确界原理 任一非空数集必有上、下确界（正常的或非正常的）。

例如 正整数N +有inf N +=1，sup N +=+∞ 数集{}

R x x y y S ∈-==,22的infS=∞-，supS=2。

复习思考题、作业题：

2，4，6，7，8