线性代数详细知识点
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线性代数 第一章 行列式
§1 二阶和三阶行列式
一、二元一次线性方程组与二阶行列式
结论：如果112212210a a a a -≠，则二元线性方程组 1111221
2112222
a x a x
b a x a x b +=⎧⎨+=⎩
的解为
122122*********b a a b x a a a a -=
-，112121
2112121
a b b a x a b b a -=-。
定义：设11122122,,,a a a a ，记11221221a a a a -为
11122122a a a a 。称1112
2122
a a a a 为二阶行列式
有了行列式的符号，二元线性方程组的求解公式可以改写为
1
122221111221
22
b a b a x a a a a =
，111
122
2111221
22
a b a b x a a a a =
二、三阶行列式与三元一次线性方程组
定义：11
121321
222331
32
33
a a a a a a a a a 112233122331132132132231122133112332a a a a a a a a a a a a a a a a a a =++---
定理：如果11
1213
21
22233132
33
0a a a D a a a a a a =≠，则***1
23(,,)x x x 是下面的三元线性方程组的解 1111221331
21122223323113223333
a x a x a x
b a x a x a x b a x a x a x b ++=⎧⎪
++=⎨⎪++=⎩
当且仅当
*1x =1
12132
22233
3233
/b a a b a a D b a a ,*
2x =111132122331
3
33
/a b a a b a D a b a ,*
3
x =111212122231
32
3
/a a b a a b D a a b 其中11
1213
21
222331
32
33
a a a a a a a a a 为系数行列式。
证明：略。
性质1：行列式行列互换，其值不变。即11
121311213121
222312
223231
32
33
13
23
33
a a a a a a a a a a a a a a a a a a =。
性质2：行列式某两行或列互换，其值变号。例如
11121321222321222311
121331
32
33
31
32
33
a a a a a a a a a a a a a a a a a a =- 推论：行列式有两行相同，其值为零。
性质3：行列式某一行的所有数乘一常数等于行列式乘该常数。例如
11121311121321222321
222331
32
33
31
32
33
a a a a a a ka ka ka k a a a a a a a a a = 推论：行列式某一行或列的公因数可以提到行列式外面。
推论：行列式有一行全为零，其值为零。 性质4：行列式有两行成比例时，其值为零。
性质5：行列式关于它的每一行和每一列都是线性的。例如
1112131112131112132121
2222
232321222321
222331
32
33
31
32
33
31
32
33
a a a a a a a a a a
b a b a b a a a b b b a a a a a a a a a +++=+ 性质6：将行列式的某一行(列)的所有元素都乘以数k 后加到另一行(列)对应位置的元素上, 其值不变。例如
1112131112132111221223132122
2331
32
33
31
32
33
a a a a a a a ka a ka a ka a a a a a a a a a +++=
性质7：行列式按某一行展开
1112132223212321222122231112
13
32
33
31
33
31
32
31
32
33
a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a =-+
定理的证明：用
222332
33
a a a a 乘第一个方程1111221331a x a x a x
b ++=，得
222322232223222311112
213
31
3233
32
33
32
33
32
33
a a a a a a a a a x a x a x
b a a a a a a a a ++=①
用
12133233a a a a 乘第一个方程2112222332a x a x a x b ++=，得
121312131213121321
122
223
32
3233323332333233a a a a a a a a a x a x a x b a a a a a a a a ++=②；
同理，有
12131213121312133113223333
22
23222322
2322
23
a a a a a a a a a x a x a x
b a a a a a a a a ++=③。
①+（-1）②+③，得
22231213121311
2131
132333233
2223()a a a a a a a a a x a a a a a a -+
2223121312131222
322323332332223()a a a a a a a a a x a a a a a a +-+
22231213121313
233333233
32332223
()a a a a a a a a a x a a a a a a +-+
22231213121312
3
32
33
32
33
22
23
a a a a a a
b b b a a a a a a =-+
利用性质7，得
111213121213131213112132122231222223223222332
222331
323332323333
32
33
3
32
33
a a a a a a a a a
b a a a a a x a a a x a a a x b a a a a a a a a a a a b a a ++= 从而
11121311213
21222312
222331
32
33
3
32
33
a a a
b a a a a a x b a a a a a b a a =。