角平分线中常用作辅助线的四种方法
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第12章 全等三角形
双休作业(四)
1 角平分线中常用作辅助线的四种方法
1
2
3
4
方法
1
作一边的垂线段
1．如图，四边形ABCD中，∠B＝90°，AB∥CD，
M为BC边上的一点，且AM平分
∠BAD，DM平分∠ADC.求证：
(1)AM⊥DM；
证明：∵AB∥CD，
∴∠BAD＋∠ADC＝180°.
∵AM平分∠BAD，DM平分∠ADC， ∴∠BAM＝∠MAD，∠CDM＝∠ADM. ∴2∠MAD＋2∠ADM＝180°， ∴∠MAD＋∠ADM＝90°. ∴∠AMD＝90°，即AM⊥DM.
PCE＝PDF， PEC＝PFD， PE＝PF，
∴△PCE≌△PDF(AAS)． ∴PC＝PD.
返回
方法
3
延长作对称图形法
3．如图，在△AOB中，AO＝OB，∠AOB＝90°， BD平分∠ABO交AO于点D，AE⊥BD交BD的延长
线于Fra Baidu bibliotekE.求证BD＝2AE.
返回
证明：如图，延长AE交BO的延长线于点F. ∵AE⊥BE，∴∠AEB＝∠FEB＝90°. ∵BD平分∠ABO，
返回
方法
4
截取作对称图形法
4．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠C＝2∠B.
求证AC＋CD＝AB.
证明：如图，在AB上截取AE＝AC， 连接DE，易证△AED≌△ACD.
∴ED＝CD，∠AED＝∠C. ∵∠AED＝∠B＋∠EDB， ∴∠C＝∠AED＝∠B＋∠EDB. 又∵∠C＝2∠B， ∴∠B＝∠EDB. ∴BE＝DE. ∴AB＝AE＋BE＝AC＋DE＝AC＋CD，
(2)M为BC的中点． 过M作MN⊥AD交AD于N.
∵∠B＝90°，AB∥CD， ∴BM⊥AB，CM⊥CD. ∵AM平分∠BAD，DM平分∠ADC， ∴BM＝MN，MN＝CM. ∴BM＝CM，即M为BC的中点．
返回
方法
2
作两边的垂线段
2．如图，已知∠AOB＝90°，OM是∠AOB的平分 线，将三角尺的直角顶点P在射线OM上滑动， 两直角边分别与OA，OB交于 点C，D.求证PC＝PD.
返回
即AC＋CD＝AB.
证明：过点P作PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F.
∴∠PEC＝∠PFD＝90°.
∵OM是∠AOB的平分线，∴PE＝PF.
∵∠AOB＝90°，∠CPD＝90°，
∴∠PCE＋∠PDO＝360°－90°－90°＝180°.
而∠PDO＋∠PDF＝180°， ∴∠PCE＝∠PDF.
在△PCE和△PDF中，
∴∠ABE＝∠FBE.
又∵BE＝BE，
∴△ABE≌△FBE(ASA)．
∴AE＝FE，∴AF＝2AE.
∵∠AEB＝∠AOB＝90°，
∴∠OAF＋∠AFO＝90°，∠OBD＋∠AFO＝90°. ∴∠OAF＝∠OBD. 又∵OA＝OB，∠AOF＝∠BOD＝90°， ∴△AOF≌△BOD(ASA)． ∴AF＝BD.∴BD＝2AE.
双休作业(四)
1 角平分线中常用作辅助线的四种方法
1
2
3
4
方法
1
作一边的垂线段
1．如图，四边形ABCD中，∠B＝90°，AB∥CD，
M为BC边上的一点，且AM平分
∠BAD，DM平分∠ADC.求证：
(1)AM⊥DM；
证明：∵AB∥CD，
∴∠BAD＋∠ADC＝180°.
∵AM平分∠BAD，DM平分∠ADC， ∴∠BAM＝∠MAD，∠CDM＝∠ADM. ∴2∠MAD＋2∠ADM＝180°， ∴∠MAD＋∠ADM＝90°. ∴∠AMD＝90°，即AM⊥DM.
PCE＝PDF， PEC＝PFD， PE＝PF，
∴△PCE≌△PDF(AAS)． ∴PC＝PD.
返回
方法
3
延长作对称图形法
3．如图，在△AOB中，AO＝OB，∠AOB＝90°， BD平分∠ABO交AO于点D，AE⊥BD交BD的延长
线于Fra Baidu bibliotekE.求证BD＝2AE.
返回
证明：如图，延长AE交BO的延长线于点F. ∵AE⊥BE，∴∠AEB＝∠FEB＝90°. ∵BD平分∠ABO，
返回
方法
4
截取作对称图形法
4．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠C＝2∠B.
求证AC＋CD＝AB.
证明：如图，在AB上截取AE＝AC， 连接DE，易证△AED≌△ACD.
∴ED＝CD，∠AED＝∠C. ∵∠AED＝∠B＋∠EDB， ∴∠C＝∠AED＝∠B＋∠EDB. 又∵∠C＝2∠B， ∴∠B＝∠EDB. ∴BE＝DE. ∴AB＝AE＋BE＝AC＋DE＝AC＋CD，
(2)M为BC的中点． 过M作MN⊥AD交AD于N.
∵∠B＝90°，AB∥CD， ∴BM⊥AB，CM⊥CD. ∵AM平分∠BAD，DM平分∠ADC， ∴BM＝MN，MN＝CM. ∴BM＝CM，即M为BC的中点．
返回
方法
2
作两边的垂线段
2．如图，已知∠AOB＝90°，OM是∠AOB的平分 线，将三角尺的直角顶点P在射线OM上滑动， 两直角边分别与OA，OB交于 点C，D.求证PC＝PD.
返回
即AC＋CD＝AB.
证明：过点P作PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F.
∴∠PEC＝∠PFD＝90°.
∵OM是∠AOB的平分线，∴PE＝PF.
∵∠AOB＝90°，∠CPD＝90°，
∴∠PCE＋∠PDO＝360°－90°－90°＝180°.
而∠PDO＋∠PDF＝180°， ∴∠PCE＝∠PDF.
在△PCE和△PDF中，
∴∠ABE＝∠FBE.
又∵BE＝BE，
∴△ABE≌△FBE(ASA)．
∴AE＝FE，∴AF＝2AE.
∵∠AEB＝∠AOB＝90°，
∴∠OAF＋∠AFO＝90°，∠OBD＋∠AFO＝90°. ∴∠OAF＝∠OBD. 又∵OA＝OB，∠AOF＝∠BOD＝90°， ∴△AOF≌△BOD(ASA)． ∴AF＝BD.∴BD＝2AE.