《正弦定理及其应用》(1课时)nbsp课件2

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高中数学：13《正弦定理、余弦定理及其运用》课件必修

04
习题与解析
Chapter
基础习题
01
02
03
基础习题1
已知三角形ABC中，a=4, b=6, C=120°，求角B。
基础习题2
在三角形ABC中，已知 A=60°，a=3, b=4, 求角 B。
基础习题3
已知三角形ABC中，a=3, b=4, c=5, 求角A。
提升习题
提升习题1
在三角形ABC中，已知 a=5, b=4, sinB=√3/2，求角A。
高中数学13《正弦定理、余弦定理及其运用》课件必修
目录
• 正弦定理 • 余弦定理 • 正弦定理与余弦定理的综合运用 • 习题与解析 • 总结与回顾
01
正弦定理
Chapter
正弦定理的定义
总结词
正弦定理是三角形中一个重要的定理，它描述了三角形边长和对应角正弦值之间的比例关系。
详细描述
正弦定理是指在一个三角形ABC中，边长a、b、c 与对应的角A、B、C的正弦值之比都相等，即 $frac{a}{sin A} = frac{b}{sin B} = frac{c}{sin C}$ 。这个定理是解三角形的重要工具，尤其在已知两边及一边的对角时，可以通过正弦定理求出其他角和边长。
余弦定理的应用
总结词
余弦定理在解决三角形问题时具有广泛的应用，如求角度、求边长、判断三角形的形状等。
详细描述
余弦定理的应用非常广泛，它可以用来解决各种三角形问题。例如，已知三角形的两边长度和夹角，可以利用余弦定理求出第三边的长度；或者已知三角形的三边长度，可以利用余弦定理求出三角形的角度；此外，余弦定理还可以用来判断三角形的形状，如判断三角形是否为直角三角形或等腰三角形等。因此，掌握余弦定理对于解决三角形问题具有重要意义。

6.4.3正弦定理余弦定理(第1课时)课件高一下学期数学人教A版

a2 b2 c2 cos C
2ab
应用：已知三条边求角度．
变形二
a2 (b c)2 2bc(1 cos A)
b2 （a c）2 2a（c 1- cos B）
c2 （a b）2 2a（b 1- cos C）
应用：配方法的使用
想一想：余弦定理在直角三角形中是否
仍然成立？
cosC=
例 2 在△ABC 中，已知 a＝ 3，b＝ 2，B＝45°，解此三角形．
解析由余弦定理知 b2＝a2＋c2－2accos B.
∴2＝3＋c2－2 3·22c.即 c2－ 6c＋1＝0.
6＋ 2
6－ 2
6＋ 2
解得 c＝ 2 或 c＝ 2 ，当 c＝ 2 时，由余弦定理得
cos A＝b2＋2cb2c－a2＝2＋
一般地,把三角形的三个角A,B,C和它们的对边a,b,c叫做三角形的元素.已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形.
在 ABC中，三个内角A、B、C的对边长分别记作a,b,c
二、余弦定理
在三角形ABC中，三个角A，B，C所对的边分别
为a，b，c，怎样用a，b和C表示c？
如图，设CB a,CA b, AB c,那么
3 2.
2.解析 ∵a∶b∶c＝2∶ 6∶( 3＋1)，令 a＝2k，b＝ 6k，c＝( 3＋1)k(k>0)．由余弦定理的变形得，
又∵0°<B<180°， ∴B＝150°.
cos
b2＋c2－a2 6k2＋ 3＋12k2－4k2 A＝ 2bc ＝ 2× 6k× 3＋1k ＝
22.
∴A＝45°.
题型二已知两边及一角解三角形
和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍．

正弦定理优秀PPT课件

33
66
练习3.在ABC中,若 sin2 A sin2 B sin2 C ,则ABC的形状是( B )
A、等腰三角形
B、直角三角形
C、等腰直角三角形
D、不能确定
.
18
1.1.1 正弦定理
小结: • 正弦定理
• 主要应用
abc sin A sin B sin C
(1) 已知两角及任意一边，可以求出其他两边和另一角；
正弦定理
.
1
在一个直角ABC中
a
sin A
c
a
c
sin A
sin B sin C
b c 1
c c
b sin B c
c
c
sin C
A c
b
Ca
B
abc sin A sin B sin C
.
2
思考:
abc sin A sin B sin C
对一般的三角形,这个结论还能成立吗?
.
3
(1)当ABC 是锐角三角形时,结论是否还成立呢?
(2)已知两边和其中一边的对角，可以求出三角形的其他的边和角。(此时可能有一解、二解、无解）
.
19
.
20
C
b a
D
Bc
A
.
5
1.1.1 正弦定理
正弦定理在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即
a b c sin A sin B sin C
结构特征:
含三角形的三边及三内角
作用：
由己知二角一边或二边一角可表示其它的边
和角
.
6
一般的，把三角形的三个角A,B,C,和它们的对边a,b,c叫做三角形的元素已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形

正弦定理课件.ppt

解三角形。
已知两边和其中一边的对角,求其他边和角
解：由正弦定理 a b
sin A sin B
C
得sin B bsin A 16 3 sin30 3
16 3 16
16
a
16
2
A 300
所以Ｂ＝60°,或Ｂ＝120°
B
B 83
当Ｂ＝60°时 C=90° c 32.
当Ｂ＝120°时 C=30°
Ｃ ba
Ｃ ba
Ｃ
b
a
Ａ
ＡＢＡ B2 B1Ａ
Ｂ
a<bsinA a=bsinA bsinA<a<b a≥b
无解
一解
两解
一解
2.Ａ为钝角
Ｃ
a
b
Ａ
Ｂ
Ｃ
a
b Ａ
a>b 一解
a≤b 无解
Ａ为直角时，与Ａ为钝角相同， a>b时，一解； a≤b时，无解.
问题2 如图①所示，在Rt△ABC中，斜边AB是 △ABC外接圆的直径（设Rt△ABC外接圆的半径为R），因此
如图:作AB上的高是CD,根
C
椐三角形的定义,得到
aE
b
CD asin B,CD bsin A
所以 a sin B bsin A B
D
A
得到 a b
c
sin A sin B
同理,作AE BC.有 b c
sin B sin C
a
b
c
sin A sin B sin C
1.1.1 正弦定理
(2)当 ABC是钝角三角形时,以上等式是否仍然成立?
1.1 正弦定理
2.定理的推导

数学人教A版必修五正弦定理应用上课课件

b c a cos A 2bc c 2 a 2 b2 cos B 2ca 2 2 2 a b c cos C 2ab
2 2 2
1 cos A a 例2.在ABC中, 若 , 判断ABC的形状. 1 cos B b
（法一）思路：均转化为边
1 cos A a 例2.在ABC中, 若 , 判断ABC的形状. 1 cos B b
））
（2）在ABC中，若sinA sin B，则A B （ .
（3）若ABC是锐角三角形，则sinA cos B （ .
）
（4）若ABC是锐角三角形，则cosA sin B （ .
）
例1.判断题. （1）在ABC中，若A B，则sinA sin B （ .
））
（2）在ABC中，若sinA sin B，则A B （ .
（3）若ABC是锐角三角形，则sinA cos B （ .
）
（4）若ABC是锐角三角形，则cosA sin B （ .
）
例2.在ABC中， 2b a c , B 30 , S ABC
3 , 求b . 2
练1. 在ABC中， sin( B A) sin( B A) 2sin 2 A， c 2, C
解：（法二）思路：均转化为角 1- cos A sin A ,即 sinB sinBcosA sinA sinAcosB 1 cos B sin B 化简得： sin(A B) sinA sinB
sin A sin B sin(
A B
2 2

A B
2 sin
正余弦定理应用
a b c sin A sin B sin C

正弦定理PPT课件

定理应用，解决引例
在ABC中，BC 54，B 45，C 60.求边长AB.
A
定义：
B
C
一般地，把三角形的三个角A、B、C和它们的对边a、b、c
叫做三角形的元素，已知三角形的几个元素求其他的元素的过程叫
做解三角形。
学以致用
1：在ΔABC中，已知A 30 , B 45 , a 2,求C、b、c.
解：由正弦定理 a b 得： sin A sin B
sin B bsin A 2 3 sin 45 3
a
22
2
B 0，180
B 60或120
当B 60时，C 75
c
Hale Waihona Puke a sin C sin A
2
2 sin 75 sin 45
2
2 sin 30 45 sin 45
6
2
当B 120时，C 15
2R sin CDB a sin A
2R
a b 2R sin A sin B
同理： a b c 2R sin A sin B sin C
C
O
A
B
D
定理应用总结
正弦定理（law of sines）
任意ΔABC中，设BC a, AC b, AB c abc
sin A sin B sin C
a b sin A sin B
已知三角形的任意两个角与一边，求其它两边和一角.
定理应用总结
正弦定理（law of sines）
任意ΔABC中，设BC a, AC b, AB c abc
sin A sin B sin C
sin A a sin B b
已知三角形的任意两边与其中一边的对角，求其他两和一边.

高中数学人教版必修五免费课件第二节正弦定理及应用

正弦定理及应用学生姓名年级学科授课教师日期时段核心内容正弦定理及应用课型一对一/一对N 教学目标 1.正弦定理的证明.2.正弦定理的应用重、难点 1.正弦定理的证明.2.正弦定理的应用课首沟通询问学生正弦函数在三角形中的定义，正弦定理在怎样的条件下使用。

知识导图课首小测1. 在中，若sin2A＝sin2B＋sin2C，则的形状是.2. 在△ABC中，已知b=4,c=8,B=30°.则a= .3. 在△ABC中，a＝2 ，A＝30°，C＝45°，则△ABC的面积为．4. △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知3acos C＝2ccos A，tan A＝，求B= ．导学一：正弦定理知识点讲解 1：正弦定理例 1. （2014年湖北省高考文科数学）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知A＝，a＝1，b＝，则B ＝．【学有所获】在中，．内角和为。

例 2. 在中，，．（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）若最大边的边长为，求最小边的边长．我爱展示1.在中，角A．B．C所对的边分别为，若，则A= .2.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知A＝，a＝，b＝1，则c为．3.在ABC中，若，求.知识点讲解 2：判断三角形形状1.判断三角形的形状，一般有以下两种途径：①将已知条件统一化成边的关系，用代数方法求解；②将已知条件统一化成角的关系，用三角方法求解．在解三角形时的常用结论有：2.三角形解的情况：①当A为钝角或直角时，必须才能有且只有一解；否则无解．②当A为锐角时，如果≥ ，那么只有一解；如果，那么可以分下面三种情况来讨论：（1）若，则有两解；（2）若，则只有一解；（3）若，则无解．注意在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，只有当A为锐角且时，有两解；其它情况时则只有一解或无解．例 1. 在△ABC中，若，则△ABC的形状是。

【学有所获】（1）切化弦，利用正弦定理“边化角”及二倍角公式求解．（2）若例 2. 根据下列条件，判断三角形解的情况，其中正确的是．①a=8，b=16，A=30°有两解②a=18，b=20，A=60°有一解③a=30，b=25，A=150°有一解④a=5，b=2，A=90°无解【学有所获】在中，我爱展示1.在中，，则三角形的形状为．2.在ABC中，已知，，，试判断此三角形的解的情况．3.在ABC中，，，，如果利用正弦定理解三角形有两解，求x的取值范围．知识点讲解 3：正弦定理的应用（1）锐角三角形中，最大角α的取值范围是60°≤α＜90°．（2）三角形面积公式：．例 1. 设锐角三角形的内角的对边分别为，．（1）求的大小；（2）求的取值范围．例 2. （1）在△ABC中，已知a＝3 ，b＝4，C＝60°，则△ABC的面积为多少？（2）若三角形面积为，且b＝2，c＝，求A.【学有所获】三角形面积公式：，其中A，B，C分别为△ABC 的边a，b，c的对角，R、r分别为△A BC的外接圆和内切圆半径，p＝（a＋b＋c）．我爱展示1.在△ABC中，，C＝60°，求a＋b的最大值．2.△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知a＝3，cos A＝，B＝A＋.（1）求b的值；（2）求△ABC的面积．限时考场模拟：25 分钟完成1. 在△ABC中，已知∠A＝150°，a＝3，则其外接圆的半径R的值为． 2. 在△ABC中，已知A=45°，B=60°，c =1，则a= .3. 在中，若A＝600，，则．4.在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b，若2asin B＝b，则角A等于．5.在△ABC中，若，那么ABC是三角形.6.根据下列条件，解.（1）已知，，，解此三角形；（2）已知，，，解此三角形.7.已知中, ,若该三角形有两解,则的取值范围是. 课后作业1. 在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝60°，c＝1，则最短边的边长等于．2.在中，已知，，则．3.已知在中，,则k的取值范围为.4.在△ABC中，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，又asin Bcos C＋csin Bcos A＝b，且a＞b，则∠B＝．5. 在△ABC中，若A＝30°，a＝，b＝2，求B= ．6.在△ABC中，，若三角形有解，则的取值范围是.7.已知三角形ABC中，有：，则三角形ABC的形状是.8.在锐角中，已知，则的取值范围是.复习本节课知识，梳理正弦定理常见题型的方法，整理错题。

正弦定理-教学PPT课件

AA CCDD
CCDD bb
,,
ssiinn
BB
bb ssiinn AA aa
CCDD aa ssiinn BB
C
b
a
所以有：
A
Dc
B
同理可证：
（也可以由等面积法得到）
(3)在钝角△ABC中,有：
ssiinn
AA
CCDD bb
,,ssiinn((
BB))
CCDD aa
即即::CCDD bbssiinn AA aassiinnBB
C
16 3
16
16
A 300 B
B
(1)当Ｂ＝60°时, C=90°, c 32.
(2)当Ｂ＝120°时,
C=30°,
c asinC 16. sin A
练习：
变式2: a=20, b=40, A=45°解三角形.
解：由正弦定理
得 sin B b sin A 40 sin 45 2
a
5.一个三角形最少有2个锐角
3.定理推导
探究：在任意三角形中角与它所对的边之间在数量上有什么关系？
(1)在Rt△ABC中,有：
sin A a ,sin B b
cn B
A
b
c
因为sinC=1，所以有：
C
aB
(2)在锐角△ABC中,有：
ssiinn 即即 ::
此时无解．
课堂小结：（1）三角形面积公式：
（2）正弦定理：（3）正弦定理适用范围：
•
感谢阅
读感谢阅
读
2R
（3）
解三角形的定义：一般地，把三角形的三个角A，B，C和它
们的对边a,b,c叫做三角形的元素，已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形.

正弦定理课件ppt

提习题
要点一
提升习题1
已知三角形ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且sin(A+C)=2sinBcosA，求证：b²=ac。
要点二
提升习题2
已知三角形ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c ，且cosB=1/3，b=3，求边长a和c的值。
综合习题
综合习题1
已知三角形ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且sin²A+sin²B-sinA=sin²C ，求证：三角形ABC是直角三角形。
确定三角形形状
通过正弦定理，我们可以判断三角形的形状，例如是否为直角三角形、等腰三角形等。
求解三角形角度
已知三角形的两边及其夹角，可以使用正弦定理求出其他角度。
求解三角形边长
已知三角形的两角及其夹边，可以使用正弦定理求出其他边长。
在三角函数中的应用
求解三角函数值
已知三角形的两边及其夹角，可以使用正弦定理求出三角函数值。
VS
三角函数的和差公式
利用正弦定理推导出三角函数的和差公式，例如sin(α+β)和sin(α-β)的公式。
05
CHAPTER
习题与解答
基础习题
基础习题1
已知三角形ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且A=60°，a=3，b=4，求角C。
基础习题2
已知三角形ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且sinA=2sinBcosC，求证：三角形ABC是等腰三角形。
正弦定理是解决三角形问题的重要工具之一，可以用于解决各种与三角形相关的数学问题。
02
CHAPTER
正弦定理的证明
利用三角形的面积证明正弦定理

人教版高中数学必修2《正弦定理》PPT课件

sin C=2(R 为△ABC 外接圆的半径);②sin = , sin = , sin = .
延伸探究本例中,将条件改为“在△ABC中,若(a-acos B)sin B=(b-ccos C)
sin A”,判断△ABC的形状.
解因为(a-acos B)sin B=(b-ccos C)sin A,所以asin B-acos Bsin B=bsin A-ccos
Csin A,而由正弦定理可知asin B=bsin A,所以acos Bsin B=ccos Csin A,
即sin Acos Bsin B=sin Ccos Csin A,
所以cos Bsin B=sin Ccos C,即sin 2B=sin 2C,
所以2B=2C或2B+2C=180°,即B=C或B+C=90°,故△ABC是等腰三角形或
所以 C>B,所以 B=30°,所以 A=180°-120°-30°=30°,所以△ABC 的面积
1
1
S=2AB·AC·sin A=2×2 3×2sin 30°= 3.
素养形成
对三角形解的个数的探究
已知三角形的两角和任意一边,求其他的边和角,此时有唯一解,即当三角
形的两角和任意一边确定时,三角形被唯一确定.
sin 5sin60° 5 3
解由正弦定理,得 sin A=
=
=
>1,则角 A 不存在,所以该三

2
4在△ABC中,若(a-ccos B)sin B=(b-ccos A)sin A,判断△ABC的形状.
分析
解 (方法一)∵(a-ccos B)sin B=(b-ccos A)sin A,
c
,
C

正弦定理课件：(比赛用)PPT)

正切定理与正弦定理的关系
正切定理描述了三角形中两边的比值与它们所对的角的正切值之间的关系。具体来说，正切定理指出在任何三角形 ABC中，边BC与角A的正切值的乘积等于边AC与角B的正切值的乘积，以此类推。
正切定理与正弦定理之间存在密切的联系。正弦定理可以通过三角恒等式转化为正切定理的形式，反之亦然。这种关系表明，正弦定理和正切定理在解决三角形问题时可以相互补充。
角度与边长关系
在任意三角形ABC中，角度A、B、C的正弦值与对应的边长a、 b、c之比都相等，即$sin A = frac{a}{c}$，$sin B = frac{b}{c}$，$sin C = frac{c}{a}$。
三角形的角度与边长的关系
角度与边长关系
在任意三角形ABC中，角度A、B、C的正弦值与对应的边长a、b、c之比都相等，即 $sin A = frac{a}{c}$，$sin B = frac{b}{c}$，$sin C = frac{c}{a}$。
正弦定理在几何学中的应用
正弦定理是解决三角形问题的基本工具之一，它在几何学中有着广泛的应用。例如，利用正弦定理可以计算三角形的面积、解决三角形中的角度问题、判断三角形的形状等。
正弦定理在几何学中的应用不仅限于三角形本身。例如，它可以用来解决与圆、椭圆、抛物线等其他几何图形相关的问题。通过结合其他几何定理和性质，正弦定理可以用于解决各种复杂的几何问题。
三角形的解法
三角形的解法概述
解决三角形问题需要利用三角形的边角关系，通过代数运算和三角函数计算来求解。
常见的三角形解法
常见的三角形解法包括余弦定理、正弦定理、勾股定理等，这些解法在解决三角形问题时具有广泛的应用。
Hale Waihona Puke 三角形的面积计算三角形面积的计算公式

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sin A sin C
垂直的单位向量 j
，可得
c sin C
b. sin B
a b c. sin A sin B sin C
正弦定理在解三角形中的主要作用
解决两类三角形问题
1. 已知两角和任一边，求其它边和角；
2. 已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角及其它的边和角.
例1. 在△ABC中，已知c=10，A=45o ，C=30o，求a,b和B.
b
A
பைடு நூலகம்
D
同理， b 2R, c 2R;
sin B
sin C
∴ a b c =2R (R为△ABC外接圆半径） sin A sin B sin C
正弦定理：
在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即
abc
B
sin A sin B sin C
证明：过A作单位向量 j垂直于AC
由AC CB AB
例2. 在△ABC中，已知 b 3, B 60 ,c=1 , 求a,A,C.
例3. 在△ABC中，已知 c 6, A 45 , a=2, 求b和B,C.
已知两边和其中一边所对的角，解三角形的讨论
已知两边一对角，三角形解的个数
角A
a
a<bsinA 锐 a=bsinA
角 bsinA<a<b a≥b
直角 a≤b
或 a>b 钝角
解的情况无解一解两解一解无解一解
例4 已知△ABC，BＤ为角B的平分线，求证：AB∶BC＝AＤ∶ＤC
B
A
D
C
课堂练习
1.△ABC中，sin2A=sin2B+sin2C，则△ABC为
（） A.
B.
C.等边三角形 D.等腰三角形
2.在△ABC中，sinA＞sinB是A＞B的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
j A
C
两边同乘以单位向量
j 得 j
AC CB
B j AB
则 j AC j CB j AB
j A
C
| j || AC | cos 90 | j || CB | cos(90 C) | j || AB | cos(90 A).
∴ asinC=c sinA. a c
同理，过点C作与 CB
四、作业：习题5.9 1. 2. 3. 5.
再见
探索：直角三角形的边角关系式对任意三角形是否成立？
正弦定理的推论：
a b c =2R (R为△ABC外接圆半径） sin A sin B sin C
B 证明：如图，圆⊙O为△ABC的外接圆，
a
C
BD为直径, 则 ∠A=∠D,
c
. O
a a BD 2R; sin A sin D sin 90
正弦定理
复习三角形中的边角关系
（一）三角形中的边角关系
1、角的关系 A B C 180
2、边的关系 a b c , a b c
3、边角关系大角对大边
（二）直角三角形中的边角关系（角C为直角）
1、角的关系 A B 90
2、边的关系 3、边角关系
a2 b2 c2
abc sin A sin B sin C