谈中学数学中的对称美

谈中学数学中的对称美

【摘要】简要论述中学数学阶段，数学中的对称美的体现和应用。教学中不仅要引导学生在数学形式上去欣赏关注，更重要的是要让学生自觉的运用对称思想去解决某些具体问题，体验对称思想在数学发现和寻求解题突破中的作用。

【关键词】数（式）中几何图形中数学定理中解题中

对称的含义比较广泛，从狭义上说，是指通常意义上的几何对称和代数对称；在广义上讲，还包括对偶、匀称、均衡、平衡、不变性、和谐统一等方面的内容。从这样的角度认识对称，才能领悟数学的美——它是高度严谨和合理而达到的和谐，那是一种令人神怡的内在和谐——这种合理与和谐，是作为数学科学的广义对称。

在中学数学教学内容中，体现了丰富的形与数的形象对称与抽象对称。中学数学解题方法中也渗透了对称的思想。对称性是数学美的最重要的特征。在教学中，如果能提高学生的数学审美能力，必能进一步激发他们学习数学的兴趣，变苦学为乐学，达到事半功倍的效果。下面简要谈一谈对称性在中学数学中的体现和应用。

1.数（式）中体现出的对称美

数（式）中体现出的对称美，主要体现在数（式）的结构上。例如下列公式中，a+b=b+a，ab=ba，a2-b2=（a+b）（a-b），

（a±b）2 = a2±2ab+ b 2 ，a3+b 3 = （a+b）（a

2-ab+b2） a与b的位置都具有对称关系，它们在公式中的地位是一样的，公式显得对称而美观。如果学生能领悟到这点，则有

助于他们记忆和运用公式，降低学习难度。再比如轮换对称式a

3+b3+c3-3abc中，a、b、c是对称的，并不是说它们各占30%，也是指它们的地位是平等的，但如果改为a3-b3+c3-3abc，a、b、c就不再对称，但a和c仍是对称的，这些需要我们仔细体

会才能领悟。

2.几何图形中的对称美

中学数学中学习的两个图形关于某一条直线成轴对称以及轴对称图形、中心对称图形等，是数学对称美的一种极富特色的表现形式。这些图形匀称美观，所以在日常生活中用途非常广泛。中外许多著名的建筑物，如北京中国美术馆、广州中山纪念堂、克里姆林宫、吉隆坡石油双塔、巴黎圣母院、印度泰姬陵等，都是建筑师根据数学上轴对称图形的特点设计出来的。通过向学生介绍这些中外著名的对称建筑，使学生拉近生活与数学的距离，让学生感受数学中的美在生活中的指导作用，从而激发他们学习数学的热情。

3.对称在中学数学定理中有充分体现

从广义的角度来说，中学数学中许多定理都蕴藏了对称的思想。比如三角形内角平分线性质定理与三角形外角平分线性质定理及

其证明就是这样：

三角形内角平分线性质定理：三角形内角平分线内分对边所得两条线段和这个角的两边对应成比例。这个性质定理的证明用符号语言可译为：如图1，abc中，ad平分∠bac，求证：dbdc=abac

图1

事实上，在图1中过点d作de∥ac交ab于e，可得dbdc=beea，易证ed=ea， beed=baac，于是得到bddc=abac

三角形外角平分线性质定理：三角形一个外角的平分线如果与对边的延长线相交，那么该交点外分对边所得两条线段和这个角的两边对应成比例。这个性质定理的证明用符号语言可译为：如图2，∠eac为△abc的外角，ad′平分∠eac交bc延长线于d′，求证：

d′bd′c= abac

图2

分析：如图1中，如果称d为bc的内分点的话，从广义对称的角度，则可称图2中的d′为bc的外分点。从对称的思想来看，同一顶点a处的内、外角平分线地位平等，因此得出的结论也应相同。事实上，与三角形内角平分线性质定理的证法完全一样，在图

2中过点d′引ac的平行线即可得证。

从上可看到，由“内”到“外”对称地思考问题，给我们带来的意外惊喜和发现。

4.对称思想也是我们解题时探索思路，发现解法的一个源泉

在中学数学习题中，有很大一部分题目是从对称性的角度提出来的，如等式两边成分相同，式中已知元素的地位等同等等。善于发现已知条件的对称性，由此获得解题思路，并迅速做出工整、正确的解答，是中学数学习题解答中经常使用且行之有效的方法。

例1：分解因式a3（b-c）+b3（c-a）+c3（a-b）

解：该题给出的多项式对a、b、c循环对称。若将a替换为b，则式子为0，故式

子有因式（a-b）。同理，式子也有因式（b-c）和（c-a），因此可设

a3（b-c）+b3（c-a）+c3（a-b）=k（a+b+c）（a-b）（b-c）（c-a），

k为待定系数，易算得k=-1

∴a3（b-c）+b3（c-a）+c3（a-b）=-（a+b+c）（a-b）（b-c）（c-a）

例2：如图3，ah是锐角△abc的高，ab+bh=hc。求证：∠b=2∠c。

证明：作线段ab关于ah的对称线段ab′，得ab=ab′，

等腰△abb′中，ah⊥bb′，∴bh= b′h

∵ab+bh=hc，∴ab= b′c

∴∠c=∠b′ac

又∵∠a b′b=∠b，且∠a b′b=∠c+∠b′ac

∴∠a b′b=2∠c，即∠b=2∠c。

纵观数学的发展中，由于对对称美的要求与实际需要相结合，从而引出了新的概念和新的理论。如，从正数到负数、从整数到分数、从有理数到无理数、从实数到虚数等一系列数域的扩充，都与对称美的追求密切相关。加减互为逆运算，乘除互为逆运算，微分

与积分互为逆运算，种种逆运算的建立，也都与对称美相联系。至于从广义的角度来说，定理与逆定理，平面与空间等，都隐涵了数学中的对称思想。

总之，对称美在中学数学中有多种表现形式，教学中不仅要引导学生在数学形式上去欣赏关注，更重要的是要让学生自觉的运用对称思想去解决某些具体问题，并由此体会它在数学发现和寻求解题突破中的威力，激发他们学习数学的热情，真正提高他们的数学素养。