矩阵可逆的条件以及特征值,特征向量与可对角化条件

矩阵可逆的条件：

1 秩等于行数

2 行列式不为0，即|A|≠0

3 行向量(或列向量)是线性无关组

4 存在一个矩阵,与它的乘积是单位阵

5 齐次线性方程组AX=0 仅有零解

6 非齐次线性方程组AX=b 有唯一解

7 可以经过初等行变换化为单位矩阵，即该矩阵等价于n阶单位矩阵

8 它去左(右)乘另一个矩阵,秩不变

特征值、特征向量与可对角化条件：

定义：设A 是数域F 上n 阶矩阵，如果存在可逆阵P ，使P －１AP 为对角阵，那么A 称为可对角化矩阵。

并不是所有的n 阶矩阵都可对角化，例如，A= 就一定不可对角化，所以我们要首先讨论可对角化的条件。

数域F 上n 阶矩阵A 可对角化的充分必要条件为存在n 个数λ1 , λ2 , ... , λn F 及n 个线性无关的向量p1,p2,...，pn,

使APi = λiPi i=1,2, ...,n. 。

数域F 上n 阶矩阵A 可对角化的充分必要条件是A 有n 个线性无关的特征向量。

特征值与特征向量的性质：

（1 ）相似矩阵有相同的特征多项式，从而有相同的特征值、相同的迹和相同的行列式。

（2 ）如果λ是矩阵A 的一个特征值，是一个多项式，那么是矩阵多项式的一个特征值 .

（3 ）如果A 是一个可逆阵，λ是A 的一个特征值，那么， 1 /λ 是A -1 的一个特征值 .

（4 ）属于不同特征值的特征向量线性无关。

（5 ）对矩阵A 的每个特征值，它的几何重数一定不超过代数重数。（6 ）如果A 是一个是对称矩阵，那么它的每个特征值的几何重数与代数重数相等，从而它有个线性无关的特征向量，他一定可以对角化。