第二节 纠错编码原理

第二节 纠错编码原理
一、纠错编码的原理
一般来讲，信源发出的消息均可用二进制信号来表示。

例如，要传送的消息为A 和B ，则我们可以用1表示A ，0表示B 。

在信道传输后产生了误码，0错为1，或1错为0，但接收端却无法判断这种错误，因此这种码没有任何抗干扰能力。

如果在0或1的后面加上一位监督位（也称校验位），如以00表示A ，11表示B 。

长度为2的二进制序列共有种组合，即00、01、10、11。

00和11是从这四种组合中选出来的，称其为许用码组，01、10为禁用码。

当干扰只使其中一位发生错误，例如00变成了01或10，接收端的译码器就认为是错码，但这时接收端不能判断是哪一位发生了错误，因为信息码11也可能变为01或10，因而不能自动纠错。

如果在传输中两位码发生了错误，例如由00变成了11，译码器会将它判为B ，造成差错，所以这种1位信息位，一位监督位的编码方式，只能发现一位错误码。

224=按照这种思路，使码的长度再增加，用000表示A ，111表示B ，这样势必会增强码的抗干扰能力。

长度为3的二进制序列，共有8中组合：000、001、010、011、100、101、110、111。

这8种组合中有三种编码方案：第一种是把8种组合都作为码字，可以表示8种不同的信息，显然，这种编码在传输中若发生一位或多位错误时，都使一个许用码组变成另一个许用码组，因而接收端无法发现错误，这种编码方案没有抗干扰能力；第二种方案是只选四种组合作为信息码字来传送信息，例如：000、011、101、110，其他4种组合作为禁用码，虽然只能传送4种不同的信息，但接收端有可能发现码组中的一位错误。

例如，若000中错了一位，变为100，或001或010，而这3种码为禁用码组。

接收端收到禁用码组时，就认为发现了错码，但不能确定错码的位置，若想能纠正错误就还要增加码的长度。

第三种方案中规定许用码组为000和111两个，这时能检测两位以下的错误，或能纠正一位错码。

例如，在收到禁用码组100时，若当作仅有一位错码，则可判断出该错码发生在“1”的位置，从而纠正为000，即这种编码可以纠正一位差错。

但若假定错码数不超出两位，则存在两种可能性，000错一位及111错两位都可能变为100，因而只能检错而不能纠错。

从上面的例子可以得到关于“分组码”的一般概念。

如果不要求检错或纠错，为了传输两种不同的信息，只用1位码就够了，我们把代表所传信息的这位码称为信息位。

若使用了2位码或3位码，多增加的码位数称为监督位。

我们把每组信息码附加若干监督码的编码称为分组码。

在分组码中，监督码元仅监督本码组中的信息码元。

图8-2分组码的结构
分组码一般用符号(表示，
其中k 是每组码中信息码元的数目，n 是码组的总位数，又称为码组的长度（码长），为每码组中的监督码元数目，或称为监督位数目。

通常将分组码规定为如图8-2所示的结构，图中前面位为信息位，后面附
)n n a a −−,n k n k r −=k 12(,,...,)r a
加个监督位，此码又称为系统码。

r 10(,...,)r a a −二、差错控制编码的基本概念
1、编码效率
设编码后的码组长度、码组中所含信息码元以及监督码元的个数分别为和，三者之间满足，编码效率。

,n k r n k r =+/1/R k n r n ==−R 越大，说明信息位所占的比重越大，码组传输信息的有效性越高。

所以，R 说明了分组码传输信息的有效性。

2、编码分类
① 根据已编码组中信息码元与监督码元之间的函数关系，可分为线性码和非线性码。

若监督码元与信息码元之间的关系呈线性，即满足一组线性方程式，称为线性码。

② 根据信息码元与监督码元之间的约束方式不同，可分为分组码和卷积码。

分组码的监督码元仅与本码组的信息码元有关；卷积码的监督码元不仅与本码组的信息码元有关，而且与前面码组的信息码元有约束关系。

③ 根据编码后信息码元是否保持原来的形式，可分为系统码和非系统码。

在系统码中，编码后的信息码元保持原样，而非系统码中的信息码元则改变了原来的信号形式。

④ 根据编码的不同功能，可分为检错码和纠错码。

⑤ 根据纠、检错误类型的不同，可分为纠、检随机性错误的码和纠、检突发性错误的码。

⑥ 根据码元取值的不同，可分为二进制码和多进制码。

本章只介绍二进制纠错码和检错码。

3、编码增益
由于编码系统具有纠错能力，因此在达到同样误码率要求时，编码系统会使所要求的输入信噪比低于非编码系统，为此引入了编码增益的概念。

其定义为：对于相同的信息传输速
率，在给定误码率下，非编码系统与编码系统之间所需信噪比之差（用dB 表示）。

采用不同的编码会得到不同的编码增益，但编码增益的提高要以增加系统带宽或复杂度来换取。

0/S N 04、码重和码距
对于二进制码组，码组中“1”码元的个数称为码组的重量，简称码重，用W 表示。

例如码组11001，它的码重
2W =两个等长码组之间对应位不同的个数称为这两个码组的汉明距离，简称码距。

例如码组10001和01101，有三个位置的码元不同，所以码距d 3d =。

码组集合中各码组之间距离的最小值称为码组的最小距离，用表示。

最小码距是信道编码的一个重要参数，它体现了该码组的纠、检错能力。

越大，说明码字间最小差别越大，抗干扰能力越强。

但与所加的监督位数有关，所加的监督位越多，就越大，这又引起了编码效率0d 0d 0d 0d 0d R 的降低，所以编码效率与最小码距是一对矛盾。

R 0d 根据编码理论，一种编码的检错或纠错能力与码字间的最小距离有关。

在一般情况下，分组码的最小汉明距离与检错和纠错能力之间满足下列关系：
0d ① 当码字用于检测错误时，为了能检测出任意e ≤个错误，最小码距应满足：
01d e ≥+ （8-1）
这可以用图8-3来说明。

设一码组()a A 位于O 点，另一码组B 与A 最小码距为。

0d
当A 码组发生个误码时，可以认为e A 的位置将移动到以O 为圆心、以e 为半径的圆上，但其位置不会超出此圆。

只要e 比小1，发生个错码后错成的码组不可能变成另一任何许用码组，即有。

0d e 01e d ≤−② 当码字用于纠错时，为了能纠正任意t ≤个错误，最小码距应满足：
02d t ≥+1 （8-2）
这可以用图8-3来说明。

若码组A 和码组B 发生不多于t 位的错误，则其位置均不超出以和为圆心，t 为半径的圆。

只要这两个圆不相交，则当误码小于t 时，根据它们落入哪个圆内，就可以正确地判断()b 1O 2O A 或B ，即可以纠正错误。

以和为圆心，t 为半径的两圆不相交的最近圆心距离为1O 2O 21t +，此即为纠正t 个误码的最小码距。

③ 为了能纠正任意个错误，同时又能检测出任意t ≤e ≤个错误，最小码距应满足：
01(d e t e t ≥++>) （8-3）
在解释此式之前，先来说明什么是“纠正个错码，同时又检测e 个错码”
（简称纠检结合）。

在某些情况下，要求对于出现较频繁但错码数很少的码组按前向纠错方式工作，以节省反馈重发时间，同时又希望对一些错码数较多的码组，在超过该码的纠错能力时，能自动按检错重发方式工作，以降低系统的总误码率。

这种工作方式就是“纠检结合”。

t
()a ()b ()
c
图8-3 码距与检错和纠错能力之间的关系
在上述“纠检结合”系统中，差错控制设备按照接收码组与许用码组的距离自动改变工
作方式。

若接收码组与某一许用码组间的距离在纠错能力t 的范围内，
则将按纠错方式工作，否则按检错方式工作。

现用图8-3(来说明。

若设码组的检错能力为，则当码组)c e A 中存在个错码时，该码组与任一许用码组e B 的距离至少应有1t +，否则将进入许用码组B 的纠错能力范围内，而被错纠为B ，这就要求最小码距应满足式（8-3）。