第二节 纠错编码原理

第二节 纠错编码原理

一、纠错编码的原理

一般来讲，信源发出的消息均可用二进制信号来表示。例如，要传送的消息为A 和B ，则我们可以用1表示A ，0表示B 。在信道传输后产生了误码，0错为1，或1错为0，但接收端却无法判断这种错误，因此这种码没有任何抗干扰能力。如果在0或1的后面加上一位监督位（也称校验位），如以00表示A ，11表示B 。长度为2的二进制序列共有种组合，即00、01、10、11。00和11是从这四种组合中选出来的，称其为许用码组，01、10为禁用码。当干扰只使其中一位发生错误，例如00变成了01或10，接收端的译码器就认为是错码，但这时接收端不能判断是哪一位发生了错误，因为信息码11也可能变为01或10，因而不能自动纠错。如果在传输中两位码发生了错误，例如由00变成了11，译码器会将它判为B ，造成差错，所以这种1位信息位，一位监督位的编码方式，只能发现一位错误码。

224=按照这种思路，使码的长度再增加，用000表示A ，111表示B ，这样势必会增强码的抗干扰能力。长度为3的二进制序列，共有8中组合：000、001、010、011、100、101、110、111。这8种组合中有三种编码方案：第一种是把8种组合都作为码字，可以表示8种不同的信息，显然，这种编码在传输中若发生一位或多位错误时，都使一个许用码组变成另一个许用码组，因而接收端无法发现错误，这种编码方案没有抗干扰能力；第二种方案是只选四种组合作为信息码字来传送信息，例如：000、011、101、110，其他4种组合作为禁用码，虽然只能传送4种不同的信息，但接收端有可能发现码组中的一位错误。例如，若000中错了一位，变为100，或001或010，而这3种码为禁用码组。接收端收到禁用码组时，就认为发现了错码，但不能确定错码的位置，若想能纠正错误就还要增加码的长度。第三种方案中规定许用码组为000和111两个，这时能检测两位以下的错误，或能纠正一位错码。例如，在收到禁用码组100时，若当作仅有一位错码，则可判断出该错码发生在“1”的位置，从而纠正为000，即这种编码可以纠正一位差错。但若假定错码数不超出两位，则存在两种可能性，000错一位及111错两位都可能变为100，因而只能检错而不能纠错。

从上面的例子可以得到关于“分组码”的一般概念。如果不要求检错或纠错，为了传输两种不同的信息，只用1位码就够了，我们把代表所传信息的这位码称为信息位。若使用了2位码或3位码，多增加的码位数称为监督位。我们把每组信息码附加若干监督码的编码称为分组码。在分组码中，监督码元仅监督本码组中的信息码元。

图8-2分组码的结构

分组码一般用符号(表示，

其中k 是每组码中信息码元的数目，n 是码组的总位数，又称为码组的长度（码长），为每码组中的监督码元数目，或称为监督位数目。通常将分组码规定为如图8-2所示的结构，图中前面位为信息位，后面附

)n n a a −−,n k n k r −=k 12(,,...,)r a

加个监督位，此码又称为系统码。

r 10(,...,)r a a −二、差错控制编码的基本概念

1、编码效率

设编码后的码组长度、码组中所含信息码元以及监督码元的个数分别为和，三者之间满足，编码效率。,n k r n k r =+/1/R k n r n ==−R 越大，说明信息位所占的比重越大，码组传输信息的有效性越高。所以，R 说明了分组码传输信息的有效性。

2、编码分类

① 根据已编码组中信息码元与监督码元之间的函数关系，可分为线性码和非线性码。若监督码元与信息码元之间的关系呈线性，即满足一组线性方程式，称为线性码。

② 根据信息码元与监督码元之间的约束方式不同，可分为分组码和卷积码。分组码的监督码元仅与本码组的信息码元有关；卷积码的监督码元不仅与本码组的信息码元有关，而且与前面码组的信息码元有约束关系。

③ 根据编码后信息码元是否保持原来的形式，可分为系统码和非系统码。在系统码中，编码后的信息码元保持原样，而非系统码中的信息码元则改变了原来的信号形式。

④ 根据编码的不同功能，可分为检错码和纠错码。

⑤ 根据纠、检错误类型的不同，可分为纠、检随机性错误的码和纠、检突发性错误的码。

⑥ 根据码元取值的不同，可分为二进制码和多进制码。

本章只介绍二进制纠错码和检错码。

3、编码增益

由于编码系统具有纠错能力，因此在达到同样误码率要求时，编码系统会使所要求的输入信噪比低于非编码系统，为此引入了编码增益的概念。其定义为：对于相同的信息传输速

率，在给定误码率下，非编码系统与编码系统之间所需信噪比之差（用dB 表示）

。采用不同的编码会得到不同的编码增益，但编码增益的提高要以增加系统带宽或复杂度来换取。

0/S N 04、码重和码距

对于二进制码组，码组中“1”码元的个数称为码组的重量，简称码重，用W 表示。例如码组11001，它的码重

2W =两个等长码组之间对应位不同的个数称为这两个码组的汉明距离，简称码距。例如码组10001和01101，有三个位置的码元不同，所以码距d 3d =。码组集合中各码组之间距离的最小值称为码组的最小距离，用表示。最小码距是信道编码的一个重要参数，它体现了该码组的纠、检错能力。越大，说明码字间最小差别越大，抗干扰能力越强。但与所加的监督位数有关，所加的监督位越多，就越大，这又引起了编码效率0d 0d 0d 0d 0d R 的降低，所以编码效率与最小码距是一对矛盾。

R 0d 根据编码理论，一种编码的检错或纠错能力与码字间的最小距离有关。在一般情况下，分组码的最小汉明距离与检错和纠错能力之间满足下列关系：

0d ① 当码字用于检测错误时，为了能检测出任意e ≤个错误，最小码距应满足：

01d e ≥+ （8-1）

这可以用图8-3来说明。设一码组()a A 位于O 点，另一码组B 与A 最小码距为。

0d