离散数学及其应用课件第7章第2节

定理
定理7.2.2 在n阶图G中，若从结点u到自身存在回路，则回 路的长度小于或等于n。
推论 在n阶图G中，若从结点u到自身存在回路，则一定存 在从结点u到自身的长度小于或等于n的基本回路。
短程线与距离
设u,v为图G中任意两个结点，
u与v之间的短程线:u与v之间长度最短的通路(设u与v连通)
u与v之间的距离d(u,v):u与v之间短程线的长度
资源分配图中存在回路是死锁存在的必要条件，但不是充分条件。
若u与v不连通, 规定d(u,v)=∞. 性质： (1) d(u,v)0, 且d(u,v)=0 u=v (2) d(u,v)=d(v,u) (3) d(u,v)+d(v,w)d(u,w)
a
g
f
b d
c
i eh
例如 a与e之间的短程线:ace,afe. d(a,e)=2, d(a,h)=
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通路的应用
2
通路与回路
若一条通路的起点和终点是同一点，称它是一条回路。 若通路中的所有边互不相同，则称它为简单通路或迹。 若回路中的所有边互不相同，则称它为简单回路或闭迹。 若通路中的所有结点互不相同，所有边互不相同，则称它 为基本通路或初级通路、路径。 若回路中的所有结点互不相同，所有边互不相同，则称它 为基本回路或初级回路、圈。 一条通路或回路包含的边的数目称为通路或回路的长度。 如果一条回路的长度为奇(偶)数，则称为奇(偶)回路。
有向图的强连通分支.
v1
v2
v3
v1 v2
v3
v4
v4
v7
v6
v5
G
v7 v6
v5
G(V1)
G(V2)
G(V3)
V1={v1,v7} V2={v2,v3, v5,v6} V3={v4}
注意:有向图中不一定每条边都一定属于一个强连通分支.而无向 图中每条边必属于一个连通分支. 有向图中每个顶点必属于一个 强连通分支.
例题
v1e2v2e5v4e4v3是从结点v1到v3的长度为
v1
e1
v3 3的通路，
e2
e3 e4
e5
v1e2v2e5v4e6v2是简单通路， v1e2v2e5v4e4v3 是基本通路。
v2
e6
v4
在有向图中要注意边的方向，通路上
一条边的终点是这条通路下一条边的起
点
(1) 表示方法
说明
① 按定义用顶点和边的交替序列, =v0e1v1e2…elvl ② 用边序列, =e1e2…el ③ 简单图中, 用顶点序列, =v0v1…vl
定义7.2.5 设G=（V，E）是一个有向图，对G中任意两个结点u
和v，若从u到v存在通路，则称由u到v是可达的，否则称由u到v是不
可达的。若从u到v存在通路，且从v到u存在通路，则称u和v是相互
可达的。
v1
v2
v3
v4
v7
v6
v5
规定一个结点到自己总是可达的。 有向图的结点之间的可达关系具有自反性和传递性，不具有对 称性。
7.2 通路与回路、连通的概念
7.2.1 通路与回路 7.2.2 连通的概念
1
7.2.1 通路与回路
定义7.2.1 给定图G=（V，E）中，以v0为起点，vn为终点 的由结点和边交替出现的序列v0e1v1e2v2…vn-1envn称为从结点 v0到vn的长度为n的通路。G是无向图时，其中的边ei的端点 是vi-1和vi（i=1，2，n）；G是有向图时，其中的有向边ei 的起点是vi-1，终点是vi（i=1，2，n）。
实例
强连通
单连通
弱连通
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顶点集上的互相可达关系
•顶点集上的互相可达关系 对于u，vV，u与v有关系，当且仅 当从u可达v，并且从v可达u。 •顶点集上的互相可达关系是等价关系。 • 利用互相可达关系可将顶点集V划分为V1，V2，…,Vw,每个Vi的 任两个顶点都是互相可达的. •所以每个Vi导出的子图Gi是强连通的,称为G的一个强分图.
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有向连通图
定义7.2.6 设G=（V，E）是有向图。 如果图G的任意两个结点间至少从一个结点到另一个结点 是可达的，则称G是单向连通的。 如果图G的任意两个结点间是互相可达的，则称G是强连 通的。 如果图G在略去有向边的方向后得到的无向图是连通的， 则称G是弱连通的。 具有三种连通性中的任何一种的有向图都称为有向连通图。
支，e-1条边，由归纳假设有n-w e-1，所以n-we成立。 (b) 删去一条边的图G'的连通分支数增加，即G'有n个结点，w+1个分
支，e-1条边，由归纳假设有n-(w+1) e-1,所以n-we成立。
点割集和边割集
定义7.2.4 设无向图G=(V,E), VV, 若W(GV)>W(G)且
VV, W(GV)=W(G), 则称V为G的点割集. 若{v}为点
定理
定理7.2.3 设简单图G=（V，E）有n个结点，e条边，w个连 通分支，则n-we。
证明 (用归纳法来证明)
（1）当e=0时，也就是对于n个结点的零图，w=n，则n-we成立。 （2）假定边数为e-1的简单图结论成立。对于边数为e的简单图G，从
G中删去一条边，得到边数为e-1的简单图G'。分两种情况分析： (a) 删去一条边的图G'的连通分支数没有增加，即G'有n个结点，w个分
（即证明:2n个结点，每个结点的度数 n的简单图是连通的。） 证明 设有2n个结点的图G不连通，则G中至少包含两个连通分 支,而且必有一个分支的结点数 n，即使这个分支是完全图，其每 个结点的度数d(v) n-1，和d(v) n矛盾。所以图G只有一个连通分 支，G是连通的。
有向图的连通性及其分类
7
定理
定理7.2.1 在n阶图G中，若从结点u到v（uv）存在通路， 则从u到v存在长度小于或等于n-1的通路。
证明： 见课本。
推论 在n阶图G中，若从结点u到v（uv）存在通路，则从 u到v存在长度小于或等于n−1的基本通路。
证明： 若通路中没有相同的顶点(即基本通路), 长度必 n1.
若有相同的顶点, 删去这两个顶点之间的这一段, 仍是u到 v的通路. 重复进行, 直到没有相同的顶点为止.
定理7.2.4 ：有向图G是强连通的当且仅当G中存在经过每个结点 的回路。
有向图的应用
资源分配图是有向图：G=（V，E）,其中V是顶点的集合，E是 边的集合。
顶点集合分为两部分：
（1）P={P1,P2,…Pn},它由进程集合的所有活动进程组成。 （2） R={r1,r2,…rm},它由进程集合所涉及的全部资源类型组成。 边集合分为以下两种：
(2) 在无向图中, 长度为1的圈由环构成.长度为2的圈由两
条平行边构成. 在无向简单图中, 所有圈的长度3.
在有向图中, 长度为1的圈由环构成. 在有向简单图中, 所
有圈的长度2.
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说明(续)
(3) 初级通路(回路)是简单通路(回路), 但反之不真
初级通路
非初级的简单通路
初级回路
非初级的 简单回路
v1
e1
v2 e2
e9 e8
e10
v6
v3 e4 e3
e6
e7
v4
e5
v5
例题
v1e1v2e9v6e9v2e8v6e7v5是从结点v1到 v5的长度为5的通路，
v2e4v4e5v5e6 v2e1v1e10v6是简单通路， v2e4v4e5v5e6 v2e1v1e10v6e9v2是简单 回路，
v3e3v4e5v5e6v2e1v1e10v6是基本通路， v2e1v1e10v6e7v5e6 v2 是基本回路或 圈。
（1）申请边(Pi，rj),表示进程Pi申请一个单位的rj资源，但当前 Pi在等待该资源。
（2）赋给边(rj，Pi),表示有一个单位的rj资源已分配给进程Pi。
资源分配图
r1
r1
．
．
．
P2
P1
．
P3
P1
．
P3
．
P4
r2
（1）G1
r2
(2)G2
图G1中有一个回路，所以是死锁状态。图G2也有一个回路：P1r1P3r2P1， 然而没有出现死锁。因为进程P2和P4能释放占有的资源r1和r2,然后就可以 将r1和r2分给P1和P3,这样环路就打开了。
c
桥: e8, e9
说明
•Kn无点割集 •n阶零图既无点割集，也无边割集. •若G连通，E为边割集，则W(GE)=2 •若G连通，V为点割集，则W(GV)2
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例题
例7.2.2 试证明2n个城市，如果每个城市至少可以和另外n个城 市可以相互直航，那么这2n个城市中任何两个之间可互相通航 (有 些可能要通过另外的城市中转)
割集, 则称v为割点.
设EE, 若W(GE)>W(G)且EE, W(GE)=W(G), 则称
E为G的边割集. 若{e}为边割集, 则称e为割边或桥.
点割集:{e},{f },{c,d}
d
f
割点: e, f
a
e1 b
e3 e4 e6
e8
e2
e5
e
e7
e9
边割集:{e8},{e9},{e1,e2},
g {e1, e3, e6},{e1, e3, e4, e7}
六度分割理论 电影演员合作图中的贝肯数（bacon number） 论文合作关系图中的埃德斯数(Erdös number)
7.2.2 连通的概念
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定义7.2.3 若无向图G中任意两结点间都有一条通路(长度 1)，则称G是连通图；否则，称G是非连通图。
a
b
c
a
bg
e
d
c
f
d
e
f
连通关系 R={<u,v>| u,v V且u与v连通}. R是等价关系 连通分支: V关于R的等价类的导出子图 设V/R={V1,V2,…,Vk}, G的连通分支为G[V1],G[V2],…,G[Vk] 连通分支数W(G)=k G是连通图 W(G)=1