离散数学及其应用课件第7章第2节

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离散数学
1-6
Copyright © 《离散数学》精品课程小组
计算机与信息科学系
Department of Computer and Information Science
第七章 二元关系
7.1 有序对与笛卡儿积
由排列组合的知识不难证明: 如果|A| = m, |B| = n, 则|A B| = mn.
笛卡儿积运算具有以下性质: 1)对任意集合A, 根据定义有 A = , A = 2)一般地说, 笛卡儿积运算不满足交换律, 即 A B B A (当A B, A , B 时) 3)笛卡儿积运算不满足结合律, 即
(A B) C A (B C) (当A , B , C 时)
离散数学
1-4
Copyright © 《离散数学》精品课程小组
计算机与信息科学系
Department of Computer and Information Science
第七章 二元关系
例7.1 已知<x+2, 4> = <5, 2x+y>, 求x和y.
❖ 解 由有序对相等的充要条件有 x 2 5 2x y 4
第七章 二元关系
总体概述
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计算机与信息科学系
Department of Computer and Information Science
第七章 二元关系
7.1 有序对与笛卡儿积 7.2 二元关系 7.3 关系的运算 7.4 关系的性质 7.5 关系的闭包 7.6 等价关系与划分 7.7 偏序关系

离散数学及其应用课件第7-9章

离散数学及其应用课件第7-9章
定义7.1.13 当给环图Cn-1(n4)添加一个结点,并把这个
结点和Cn-1里的每个结点逐个连接后得到的图成为轮图,记作
Wn。下图是轮图W4,W5,W6,W7。
方体图
定义7.1.14 如果图G =(V,E)有2n个结点,每个结点表示 一个长度为n的位串,任何两个相邻的结点表示的位串只有一位 不同,则称G称为n方体图,记作Qn。
(v2,v5), (v1,v5), (v4,v5)}
e1 v1 e2 v2
e3 e4
v5 e7
e5 e6 v3
v4
9
有向图
定义7.1.2 一个有向图可以表示为D=(V,E),其中V是非空有 限结点集,称V中的元素为结点或顶点;E是有向边集,E中的元素 是由V中的元素组成的有序对,称E中的元素为有向边。
(3)是简单图的结点序列。下图的两个无向简单图都是(3,3,2,2,1,1)为结点度 数序列。
(4)中的最大值d1>n, 根据定理7.1.3,不是简单图的结点序列。
正则图
定义7.1.11 设G为n阶无向简单图,若vV(G),均有 d(v)=k,则称G为k-正则图。
2正则图
3正则图 彼得松图
4正则图
悬挂顶点: 度数为1的顶点 悬挂边: 与悬挂顶点关联的边
e1 v1 e2 v2
G的最大度(G)=max{d(v)| vV} G的最小度(G)=min{d(v)| vV}
e3 e4
v5 e7
e5 e6 v3
例如 d(v5)=3, d(v2)=4, d(v1)=4,
v4
(G)=4, (G)=1,
v4是悬挂顶点, e7是悬挂边, e1是环
(4,2,2,1,1)能作为图的结点的度数序列,下图中的 两个图都是以(4,2,2,1,1)为结点度数序列。

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(3)至于p为0即“我期终考了年级不是前 10”时,无论q为1或为0,即无论"我老妈 奖励1000元"或不奖励,都不能说老妈的 话是假的,故善意的认为pq为1均为1
1.1 命题及联结词
定义1.5双条件:当p与q值相同时,pq为1,不同 为0。 称p当且仅当q
“普通老师赚了100万当且仅当他 中了100万的彩票”, 普通老师赚了100万 普通老师买彩票中了100万大奖
故pq为0
1.1 命题及联结词
定义1.4条件式当p是1 ,q是0时,pq为0,即 10为0,其他情况为1。 p称为前件,q称为后件
(1)当p为1即“我期终考了年级前10”
q为0即“我老妈没有奖励1000元” 这时老妈的话为假,即pq为0 (2)当p为1即“我期终考了年级前10” q为1即“我老妈奖励1000元” 这时妈妈的话就对了,即pq为1
由于所有内容(整数,实数,字符,汉字,图片,声 音,视频,网页,……)进入电脑后,全是01组成的字 符串,从而都可以用布尔运算即逻辑运算实现,命题逻 辑成为计算机的基础。
命题逻辑将数学由连续变到离散,由高数进入离散。
Google采用逻辑运算进行搜索:数字之美 吴军 杨圣洪 000100010001110000 两者对应位置与运算。 离散数学 100100000000100001
陈述句(6)的正确性,到2018年12月时能确定的,若届 时建成了则它是对的、为真命题,否为假命题。
1.1 命题及联结词
对错确定的陈述语句称为命题。如:
(7) x与y之和为100,其中x为整数,y为整数 (8)1加1等于10 (7)的对错不确定。当x为50、y为50时是对的,当x为 51、y为52时是错的。 (8)的对错是不确定的,为二进制时正确,当为八进制、 十进制时是错的,因此这两个陈述句不是命题。 (9)青枫峡的红叶真美呀! (10)动作快点! (11)你是杨老师吗? 这三个语句不是陈述语句,因此不是命题。

离散数学第七章群与环

离散数学第七章群与环
然而,在给出的运算下该集合是一个幺半群。 例7.16 在一般意义下的乘法运算下,所有非零实数组成的集合构成一个群。 a≠0的逆是1/a。
7.2 群
定义 7.9 若群G是有穷集,则称G是有限群,否则称为无限群。群G的基数 称为群G的阶。含有单位元的群称为平凡群。
7.2 群
例7.17 <Z,+>是无穷群,<S,⊙>,其中S={a,b,c},⊙的运算表如表7.3 可以验证,<S,⊙>是群,a为幺元,b和c互为逆元;又因为|G|=3,故<S, ⊙>是3阶群。 ⊙ a b c a a b c b b c a c c a b
半群 群 子群与群的陪集分解 循环群与置换群 环与域
7.3.1 子群的概念
子群就是群的子代数。 定义 7.13 给定群G,H是G的子集,使得 (1)G的单位元eH , (2)如果a和bH ,那么abH , (3)如果aH ,那么 H。
则称H为G的一个子群,(1)和(3)说明H是G的子幺半群。如果
PART 01 PART 02 PART 03 PART 04 PART 05
半群 群 子群与群的陪集分解 循环群与置换群 环与域
7.4 循环群与置换群
定义7.15 设<G,>是群,若a∈G,对x∈G,k∈Z,有x= ,则称<G, >是循环群,记作G=<a>,称a是群<G,>的生成元。
例 7.11 给定<Z,+>和<Q,*>,其中Z和Q分别为整数集和有理数集,+和*
分别是一般意义下的加法和乘法。可知<Z,+>是群,0是幺元,每个元素
i∈Z的逆元为-1;<Q,*>不是群,1是幺元,0无逆元。但<Q-{0},*>是群。

离散数学及应用PPT课件

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28.04.2020
引 言(续)
二、该课程的主要内容: 离散数学课程的主要内容可以分为四个部分: 数理逻辑,包括命题逻辑和谓词逻辑。(教材的第一、二章) 集合论,包括集合、关系和函数。(教材的第三、四章) 代数系统,包括代数系统的一般概念,几类典型的代数系
统和格。(教材的第五、六章) 图论,包括图的基本概念,几种特殊的图。 (教材的第七章)
数理逻辑:人工智能,数据库,形式语言及自动机, 高级程序设计语言。
集合论: 信息结构与检索,数据结构。 图论: 可计算性理论,计算机网络,数据结构。 代数结构:开关理论,逻辑设计和程序理论,语法
分析。 2. 通过学习离散数学,可以培养和提高自己的抽象思
维和逻辑推理能力,获得解决实际问题能力,为以 后的软、硬件学习和研究开发工作,打下坚实的数 学基础。
版) (美)Kenneth H.Rosen 著 机械工业出版社
28.04.2020
引 言(续)
七、考核方式: 期末考试成绩占70%, 平时成绩占30%.
28.04.2020
第一部分 数理逻辑(Mathematical Logic)
❖ 逻辑:是研究推理的科学。公元前四世纪由希腊的 哲学家亚里斯多德首创。作为一门独立科学,十七 世纪,德国的莱布尼兹(Leibniz)给逻辑学引进了符 号, 又称为数理逻辑(或符号逻辑)。
➢ 因此,离散数学是随着计算机科学的发 展而逐步建立的,它形成于七十年代初期, 是一门新兴的工具性学科。
28.04.2020
引 言(续)
➢ 离散数学是现代数学的一个重要分支, 是计算机科学与技术的理论基础,是计算机 科学与技术专业的核心、骨干课程。
➢ 它 以研究离散量的结构和相互间的关系 为主要目标,其研究对象一般是有限个或可 数个元素,因此它充分描述了计算机科学离 散性的特点。

《离散数学教案》课件

《离散数学教案》课件

《离散数学教案》PPT课件第一章:离散数学简介1.1 离散数学的定义离散数学是研究离散结构及其相互关系的数学分支。

离散数学与连续数学相对,主要研究对象是集合、图、逻辑等。

1.2 离散数学的应用离散数学在计算机科学、信息技术、密码学等领域有广泛应用。

学习离散数学能够为编程、算法设计、数据结构等课程打下基础。

第二章:集合与逻辑2.1 集合的基本概念集合是由明确定义的元素组成的整体。

集合的表示方法:列举法、描述法、图示法等。

2.2 集合的基本运算集合的并、交、差运算。

集合的幂集、子集、真子集等概念。

2.3 逻辑基本概念命题:可以判断真假的陈述句。

逻辑联结词:与、或、非等。

逻辑等价式与蕴含式。

第三章:图论基础3.1 图的基本概念图是由点集合及连接这些点的边集合组成的数学结构。

图的表示方法:邻接矩阵、邻接表等。

3.2 图的基本运算图的邻接、关联、度等概念。

图的遍历:深度优先搜索、广度优先搜索。

3.3 图的应用图在社交网络、路径规划、网络结构等领域有广泛应用。

学习图论能够帮助我们理解和解决现实世界中的问题。

第四章:组合数学4.1 排列与组合排列:从n个不同元素中取出m个元素的有序组合。

组合:从n个不同元素中取出m个元素的无序组合。

4.2 计数原理分类计数原理、分步计数原理。

函数:求排列组合问题的有效工具。

4.3 鸽巢原理与包含-排除原理包含-排除原理:解决计数问题时,通过加减来排除某些情况。

第五章:命题逻辑与谓词逻辑5.1 命题逻辑命题逻辑关注命题及其逻辑关系。

命题逻辑的基本运算:联结词、逻辑等价式、蕴含式等。

5.2 谓词逻辑谓词逻辑是命题逻辑的推广,引入量词和谓词。

谓词逻辑的基本结构:个体、谓词、量词、逻辑运算等。

5.3 谓词逻辑的应用谓词逻辑在计算机科学中用于描述和验证程序正确性。

学习谓词逻辑能够提高对问题本质的理解和表达能力。

第六章:组合设计6.1 组合设计的基本概念组合设计是指从给定的有限集合中按照一定规则选取元素,构成满足特定条件的组合。

离散数学第7章PPT课件

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3 v1e1v2e5v5e6v4e4v2e5v5e7v6
…………
初级通路 简单通路 复杂通路
第38页/共94页
例1、(2)
图(2)中过v2的回路 (从 v2 到 v2 )有:
1 v2e4v4e3v3e2v2
长度3
2 v2e5v5e6v4e3v3e2v2
长度4
3 v2e4v4e3v3e2v2e5v5e6v4e3v3e2v2 长度7
第34页/共94页
一、通路,回路。 2、简单通路,简单回路。 简单通路 (迹) 简单回路 (闭迹) 复杂通路 (回路)
第35页/共94页
一、通路,回路。 3、初级通路,初级回路。 初级通路 (路径) 初级回路 (圈)
初级通路 (回路) 简单通路 (回路),
但反之不真。
4、通路,回路的长度—— 中边的数目。
补图的概念, 5、图的同构的定义。
第4页/共94页
一、图的概念。 1、定义。
无序积 A & B (a,b) a A b B
无向图 G V , E
E V &V , E 中元素为无向边,简称边。
有向图 D V, E
E V V , E 中元素为有向边,简称边。
第5页/共94页
一、图的概念。 1、定义。
2、握手定理。
定理1: 设图 G V , E 为无向图或有向图,
V v1,v1,

,vn,E m ( m为边数),
n
d (vi ) 2m
i 1
第20页/共94页
n
2、握手定理 d (vi ) 2m i 1
推论:任何图中,度为奇数的顶点个数为偶数。
定理2: 设D V, E 为有向图,
第36页/共94页

《离散数学讲义》课件

《离散数学讲义》课件
离散概率分布的定义
离散概率分布是描述随机事件在有限或可数无限的可 能结果集合中发生的概率的数学工具。
离散概率分布的种类
常见的离散概率分布包括二项分布、泊松分布、几何 分布等。
离散概率分布的应用
离散概率分布在统计学、计算机科学、物理学等领域 都有广泛的应用。
参数估计和假设检验
参数估计
参数估计是根据样本数据推断总体参数的过 程,包括点估计和区间估计两种方法。
假设检验
假设检验是用来判断一个假设是否成立的统计方法 ,包括参数检验和非参数检验两种类型。
参数估计和假设检验的应 用
在统计学中,参数估计和假设检验是常用的 数据分析方法,用于推断总体特征和比较不 同总体的差异。
方差分析和回归分析
方差分析
方差分析是一种用来比较不同组数据的平均值是否存在显著差异 的统计方法。
《离散数学讲义》ppt课件
目 录
• 离散数学简介 • 集合论 • 图论 • 离散概率论 • 逻辑学 • 离散统计学 • 应用案例分析
01
离散数学简介
离散数学的起源和定义
起源
离散数学起源于17世纪欧洲的数学研 究,最初是为了解决当时的一些实际 问题,如组合计数和图论问题。
定义
离散数学是研究离散对象(如集合、 图、树、逻辑等)的数学分支,它不 涉及连续的变量或函数。
联结词:如与(&&)、或(||)、非(!)等,用 于组合简单命题。
03
04
命题公式:由简单命题通过联结词组合而 成的复合命题。
命题逻辑的推理规则
05
06
肯定前件、否定后件、析取三段论、合取 三段论等推理规则。
谓词逻辑
个体词
表示具体事物的符号。

《离散数学》完整课件

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第三节 复合关系与逆关系
本节讨论关系的复合运算与逆运算极其 性质;主要考虑了下列问题:
1.关系的复合是否满足交换律、结合律、 关系的复合对于集合的并(交)是否有分 配律;
2.关系的复合运算与逆运算在关系图和 关系矩阵上的反应;
3.关系的复合运算与关系的逆运算之间 的运算规律.
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11 2021/6/7
|A|<|B|三条中有且仅有一条成立;
2.Bernstein定理:设A,B是两个集合,若|A|≥|B| 且|A| ≤ |B|,则集合A,B等势;
3.设A是任意集合,P(A)为A的幂集,则P(A)的基 数大于A的基数.
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23 2021/6/7
本章小结
本章的主要内容有:集合的等势、有限 集与无限集、可数集与不可数集、较为 常见的集合的基数等.集合的基数反映了 集合的元素的多少,它是集合的一种性 质,一种与该集合等势的集合构成的集 合族的共同性质.
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17 2021/6/7
第九节 复合映射与逆映射
映射的复合就是关系的复合,须注意的是 复合的次序,主要内容有:
1.映射的复合具有结合律,但不符合交换律; 2.区分了左逆与右逆;给出里左逆、右逆
与单射、满射之间的关系; 3.可逆与左、右逆之间的关系.
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18 2021/6/7
本章小结
1.本节首先给出了公式的蕴涵关系的三个等价定 义,及蕴涵关系具有的性质,给出了15个基本蕴 涵式;
2.把蕴涵概念推广,得到公式的逻辑结果的定义;
3.为了研究推理,还引进演绎的概念;
4.用实例说明推理方法.
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30 2021/6/7
第六节 形式演绎

离散数学及应用PPT课件

离散数学及应用PPT课件
作业每星期一交,作为平时成绩。
28.04.2020
引 言(续)
六、参考教材:
1.《离散数学及其应用》魏雪丽等编著 机械工业出版社 2 .《离散数学》 左孝凌等著 上海科技文献出版社 3. 《离散数学 — 理论·分析·题解》 左孝凌等著
上海科技文献出版社 4. 《Discrete Mathematics and Its Applications》 (英文
1.1 命题及其表示方法
命题标识符又有命题常量、命题变元和原子变元 之分。 命题常量:表示确定命题的命题标识符。 命题变元:命题标识符如仅是表示任意命题的位置标
志,就称为命题变元。 原子变元:当命题变元表示原子命题时,该变元称为
原子变元。 命题变元也用A,B,…,P,Q,P1,P2,P3 , …, 表示。
1.1 命题及其表示方法
小结:本节主要介绍了命题、命题的真值、 原子命题、复合命题、命题标识符、命题常量、 命题变元和原子变元的概念。 重点理解和掌握命题、命题变元、简单(原子) 命题、复合命题四个概念。
作业:P2 1,2
28.04.2020
第一章 命题逻辑(Propositional Logic)
➢ 因此,离散数学是随着计算机科学的发 展而逐步建立的,它形成于七十年代初期, 是一门新兴的工具性学科。
28.04.2020
引 言(续)
➢ 离散数学是现代数学的一个重要分支, 是计算机科学与技术的理论基础,是计算机 科学与技术专业的核心、骨干课程。
➢ 它 以研究离散量的结构和相互间的关系 为主要目标,其研究对象一般是有限个或可 数个元素,因此它充分描述了计算机科学离 散性的特点。
展创建新的理论,就要寻找合适的数学工具。
例:为了描述新开拓的应用领域中的各

精品课程《离散数学》PPT课件(全)

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言1
为什么学习离散数学?
离散数学是现代数学的一个重要分支,是计算机科学与技术 的理论基础,所以又称为计算机数学,是计算机科学与技术 专业的核心、骨干课程。
它以研究离散量的结构和相互间的关系为主要目标,其研 究对象一般是有限个或可数个元素,因此它充分描述了计算 机科学离散性的特点。
离散数学是什么课?
真值为1
25
1.1 命题符号化及联结词
以下命题中出现的a是给定的一个正整数: (3) 只有 a能被2整除, a才能被4整除。
(4) 只有 a能被4整除, a才能被2整除。
解: 令r: a能被4整除, s: a能被2整除。 真值不确定 (3)符号化为 s r (4)符号化为 r s
真值为1
26
19
1.1 命题符号化及联结词
3.析取词 设p,q为二命题,复合命题“p或q” 称为p与q的析取式,记作p ∨ q,符号∨称 为析取联结词。 运算规则:
p 0 0 1 1 q 0 1 0 1 p∨q 0 1 1 1
20
1.1 命题符号化及联结词
析取运算特点:只有参与运算的二命题全为假时,运算结果才 为假,否则为真。 相容或:二者至少有一个发生,也可二者都发生 排斥或:二者只有一个发生,即非此即彼 例如: (1)小王爱打球或爱跑步。 设p:小王爱打球。 q:小王爱跑步。 则上述命题可符号化为:p ∨ q (2)张晓静是江西人或湖南人。 设p:江西人。 q:湖南人。 则上述命题就不可简单符号化为:p ∨ q 而应描述为(p∧ q) ∨( p∧q)(也可用异或联接词∨)

(1)星期天天气好,带儿子去了动物园; (2)星期天天气好,却没带儿子去动物园; (3)星期天天气不好,却带儿子去了动物园; (4)星期天天气不好,没带儿子去动物园。

7离散数学第7章课件ppt_高等教育出版社_屈婉玲_耿素云_张立昂主编

7离散数学第7章课件ppt_高等教育出版社_屈婉玲_耿素云_张立昂主编
3
笛卡儿积的性质
(1) 不适合交换律 A B B A (A B, A , B )
(2) 不适合结合律 (A B) C A (B C) (A , B , C )
(3) 对于并或交运算满足分配律 A (B C) = (A B) (A C) (B C) A =
(B A) (C A) A (B C) = (A B) (A C) (B C) A =
1 1 0 0
M
R
0
0
0 0
1 0
1
0
0
1
0
0
12
7.3 关系的运算
关系的根本运算 定义7.6 关系的定义域、值域与域分别定义为
domR = { x | y (<x,y> R) } ranR = { y | x (<x,y> R) } fldR = domR ranR
例5 R={<1,2>,<1,3>,<2,4>,<4,3>}, 那么 domR={1, 2, 4} ranR={2, 3, 4} fldR={1, 2, 3, 4}
t (<x,t>∈FG∧<t,y>∈H) t ( s (<x,s>∈F∧<s,t>∈G)∧<t,y>∈H) t s (<x,s>∈F∧<s,t>∈G∧<t,y>∈H) s (<x,s>∈F∧t (<s,t>∈G∧<t,y>∈H)) s (<x,s>∈F∧<s,y>∈GH) <x,y>∈F(GH) 所以 (FG)H = F(GH)
<x,y> <x,y>∈RIA

离散数学及其应用第7章_函数与特殊函数(上)

离散数学及其应用第7章_函数与特殊函数(上)
2020/3/7
复合函数的要点
2020/3/7
例题
2020/3/7
例题
2020/3/7
例题
2020/3/7
例题
2020/3/7
例题
2020/3/7
复合运算的性质
2020/3/7
复合运算的性质
2020/3/7
复合运算的性质
2020/3/7
例题
【例题】 设按顺序排列的13张红心纸牌:
2020/3/7
计算机应用技术研究所
77
逆运算的定义
2020/3/7
例题
2020/3/7
例题
2020/3/7
例题
2020/3/7
逆运算的性质
2020/3/7
逆运算的性质
2020/3/7
例题
2020/3/7
例题
2020/3/7
逆运算的性质
2020/3/7
例题
2020/3/7
常用函数
2020/3/7
常用函数
2020/3/7
例 题
2020/3/7
例 题
2020/3/7
例题
2020/3/7
例题
2020/3/7
例题
2020/3/7
例题
2020/3/7
例题
2020/3/7
例题
2020/3/7
例题
2020/3/7
例题
2020/3/7
例题
2020/3/7
例题
2020/3/7
函数的基本运算
函数的复合运算 函数的逆运算 ☺ 函数的递归运算
2020/3/7

计算机应用技术研究所
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(即证明:2n个结点,每个结点的度数 n的简单图是连通的。) 证明 设有2n个结点的图G不连通,则G中至少包含两个连通分 支,而且必有一个分支的结点数 n,即使这个分支是完全图,其每 个结点的度数d(v) n-1,和d(v) n矛盾。所以图G只有一个连通分 支,G是连通的。
有向图的连通性及其分类
资源分配图中存在回路是死锁存在的必要条件,但不是充分条件。
17
有向连通图
定义7.2.6 设G=(V,E)是有向图。 如果图G的任意两个结点间至少从一个结点到另一个结点 是可达的,则称G是单向连通的。 如果图G的任意两个结点间是互相可达的,则称G是强连 通的。 如果图G在略去有向边的方向后得到的无向图是连通的, 则称G是弱连通的。 具有三种连通性中的任何一种的有向图都称为有向连通图。
定理
定理7.2.3 设简单图G=(V,E)有n个结点,e条边,w个连 通分支,则n-we。
证明 (用归纳法来证明)
(1)当e=0时,也就是对于n个结点的零图,w=n,则n-we成立。 (2)假定边数为e-1的简单图结论成立。对于边数为e的简单图G,从
G中删去一条边,得到边数为e-1的简单图G'。分两种情况分析: (a) 删去一条边的图G'的连通分支数没有增加,即G'有n个结点,w个分
7
定理
定理7.2.1 在n阶图G中,若从结点u到v(uv)存在通路, 则从u到v存在长度小于或等于n-1的通路。
证明: 见课本。
推论 在n阶图G中,若从结点u到v(uv)存在通路,则从 u到v存在长度小于或等于n−1的基本通路。
证明: 若通路中没有相同的顶点(即基本通路), 长度必 n1.
若有相同的顶点, 删去这两个顶点之间的这一段, 仍是u到 v的通路. 重复进行, 直到没有相同的顶点为止.
割集, 则称v为割点.
设EE, 若W(GE)>W(G)且EE, W(GE)=W(G), 则称
E为G的边割集. 若{e}为边割集, 则称e为割边或桥.
点割集:{e},{f },{c,d}
d
f
割点: e, f
a
e1 b
e3 e4 e6
e8
e2
e5
e
e7
e9
边割集:{e8},{e9},{e1,e2},
g {e1, e3, e6},{e1, e3, e4, e7}
2
通路与回路
若一条通路的起点和终点是同一点,称它是一条回路。 若通路中的所有边互不相同,则称它为简单通路或迹。 若回路中的所有边互不相同,则称它为简单回路或闭迹。 若通路中的所有结点互不相同,所有边互不相同,则称它 为基本通路或初级通路、路径。 若回路中的所有结点互不相同,所有边互不相同,则称它 为基本回路或初级回路、圈。 一条通路或回路包含的边的数目称为通路或回路的长度。 如果一条回路的长度为奇(偶)数,则称为奇(偶)回路。
定理
定理7.2.2 在n阶图G中,若从结点u到自身存在回路,则回 路的长度小于或等于n。
推论 在n阶图G中,若从结点u到自身存在回路,则一定存 在从结点u到自身的长度小于或等于n的基本回路。
短程线与距离
设u,v为图G中任意两个结点,
u与v之间的短程线:u与v之间长度最短的通路(设u与v连通)
u与v之间的距离d(u,v):u与v之间短程线的长度
7.2 通路与回路、连通的概念
7.2.1 通路与回路 7.2.2 连通的概念
1
7.2.1 通路与回路
定义7.2.1 给定图G=(V,E)中,以v0为起点,vn为终点 的由结点和边交替出现的序列v0e1v1e2v2…vn-1envn称为从结点 v0到vn的长度为n的通路。G是无向图时,其中的边ei的端点 是vi-1和vi(i=1,2,n);G是有向图时,其中的有向边ei 的起点是vi-1,终点是vi(i=1,2,n)。
(1)申请边(Pi,rj),表示进程Pi申请一个单位的rj资源,但当前 Pi在等待该资源。
(2)赋给边(rj,Pi),表示有一个单位的rj资源已分配给进程Pi。
资源分配图
r1
r1



P2
P1

P3
P1

P3

P4
r2
(1)G1
r2
(2)G2
图G1中有一个回路,所以是死锁状态。图G2也有一个回路:P1r1P3r2P1, 然而没有出现死锁。因为进程P2和P4能释放占有的资源r1和r2,然后就可以 将r1和r2分给P1和P3,这样环路就打开了。
v1
e1
v2 e2
e9 e8
e10
v6
v3 e4 e3
e6
e7
v4
e5
v5
例题
v1e1v2e9v6e9v2e8v6e7v5是从结点v1到 v5的长度为5的通路,
v2e4v4e5v5e6 v2e1v1e10v6是简单通路, v2e4v4e5v5e6 v2e1v1e10v6e9v2是简单 回路,
v3e3v4e5v5e6v2e1v1e10v6是基本通路, v2e1v1e10v6e7v5e6 v2 是基本回路或 圈。
c
桥: e8, e9
说明
•Kn无点割集 •n阶零图既无点割集,也无边割集. •若G连通,E为边割集,则W(GE)=2 •若G连通,V为点割集,则W(GV)2
15
例题
例7.2.2 试证明2n个城市,如果每个城市至少可以和另外n个城 市可以相互直航,那么这2n个城市中任何两个之间可互相通航 (有 些可能要通过另外的城市中转)
六度分割理论 电影演员合作图中的贝肯数(bacon number) 论文合作关系图中的埃德斯数(Erdös number)
7.2.2 连通的概念
定义7.2.3 若无向图G中任意两结点间都有一条通路(长度 1),则称G是连通图;否则,称G是非连通图。
a
b
c
a
bg
e
d
c
f
d
e
f
连通关系 R={<u,v>| u,v V且u与v连通}. R是等价关系 连通分支: V关于R的等价类的导出子图 设V/R={V1,V2,…,Vk}, G的连通分支为G[V1],G[V2],…,G[Vk] 连通分支数W(G)=k G是连通图 W(G)=1
有向图的强连通分支.
v1
v2
v3
v1 v2
v3
v4
v4
v7
v6
v5
G
v7 v6
v5
G(V1)
G(V2)
G(V3)
V1={v1,v7} V2={v2,v3, v5,v6} V3={v4}
注意:有向图中不一定每条边都一定属于一个强连通分支.而无向 图中每条边必属于一个连通分支. 有向图中每个顶点必属于一个 强连通分支.
若u与v不连通, 规定d(u,v)=∞. 性质: (1) d(u,v)0, 且d(u,v)=0 u=v (2) d(u,v)=d(v,u) (3) d(u,v)+d(v,w)d(u,w)
a
g
f
b d
c
i eh
例如 a与e之间的短程线:ace,afe. d(a,e)=2, d(a,h)=
10
通路的应用
定理7.2.4 :有向图G是强连通的当且仅当G中存在经过每个结点 的回路。
有向图的应用
资源分配图是有向图:G=(V,E),其中V是顶点的集合,E是 边的集合。
顶点集合分为两部分:
(1)P={P1,P2,…Pn},它由进程集合的所有活动进程组成。 (2) R={r1,r2,…rm},它由进程集合所涉及的全部资源类型组成。 边集合分为以下两种:
定义7.2.5 设G=(V,E)是一个有向图,对G中任意两个结点u
和v,若从u到v存在通路,则称由u到v是可达的,否则称由u到v是不
可达的。若从u到v存在通路,且从v到u存在通路,则称u和v是相互
可达的。
v1
v2
v3
v4
v7
v6
பைடு நூலகம்
v5
规定一个结点到自己总是可达的。 有向图的结点之间的可达关系具有自反性和传递性,不具有对 称性。
实例
强连通
单连通
弱连通
19
顶点集上的互相可达关系
•顶点集上的互相可达关系 对于u,vV,u与v有关系,当且仅 当从u可达v,并且从v可达u。 •顶点集上的互相可达关系是等价关系。 • 利用互相可达关系可将顶点集V划分为V1,V2,…,Vw,每个Vi的 任两个顶点都是互相可达的. •所以每个Vi导出的子图Gi是强连通的,称为G的一个强分图.
(2) 在无向图中, 长度为1的圈由环构成.长度为2的圈由两
条平行边构成. 在无向简单图中, 所有圈的长度3.
在有向图中, 长度为1的圈由环构成. 在有向简单图中, 所
有圈的长度2.
6
说明(续)
(3) 初级通路(回路)是简单通路(回路), 但反之不真
初级通路
非初级的简单通路
初级回路
非初级的 简单回路
例题
v1e2v2e5v4e4v3是从结点v1到v3的长度为
v1
e1
v3 3的通路,
e2
e3 e4
e5
v1e2v2e5v4e6v2是简单通路, v1e2v2e5v4e4v3 是基本通路。
v2
e6
v4
在有向图中要注意边的方向,通路上
一条边的终点是这条通路下一条边的起

(1) 表示方法
说明
① 按定义用顶点和边的交替序列, =v0e1v1e2…elvl ② 用边序列, =e1e2…el ③ 简单图中, 用顶点序列, =v0v1…vl
支,e-1条边,由归纳假设有n-w e-1,所以n-we成立。 (b) 删去一条边的图G'的连通分支数增加,即G'有n个结点,w+1个分
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