对数函数图象变换
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新版高中数学北师大版必修1课件3.5.1-3.5.2对数函数的概念、对数函数y=log2x的图像和性质
当堂检测
一
二
三
二、反函数
对数函数y=logax(a>0,a≠1)和指数函数y= ax (a>0,a≠1)互为反函
数.
【做一做 2】
若函数 f(x)=
1 3
������
的反函数是 y=g(x),则
g(3)=( )
A.217
B.27
C.-1
D.1
解析:由已知得 g(x)=log1x,于是 g(3)=log13=-1.
-2-
5.1 对数函数的概念 5.2 对数函数y=log2x的图像和性质
首页
课前篇 自主预习
课堂篇 探究学习
当堂检测
一
二
三
一、对数函数的概念
一般地,函数 y=logax (a>0,a≠1)叫作对数函数,其中x是自变量,函 数的定义域是(0,+∞).a叫作对数函数的底数.特别地,我们称以10为
底的对数函数y=lg x为常用对数函数;称以无理数e为底的对数函数
⑥y=12log3x 中,系数是12,而不是 1,故不是对数函数.
答案:(1)2 (2)①
-9-
5.1 对数函数的概念 5.2 对数函数y=log2x的图像和性质
探究一
探究二
探究三
首页 易错辨析
课前篇 自主预习
课课堂堂篇篇 探探究究学学习习
当堂检测
1.对数函数是一个形式定义:
2.求对数函数的解析式时,主要采用待定系数法求出底数a的值, 即得其解析式.
y=ln x为自然对数函数.
【做一做1】 若函数f(x)=(a2-a+1)log(a+1)x是对数函数,则实数
a=
.
解析:由a2-a+1=1,解得a=0,1.
4.6对数函数的图像和性质(共43张)
4.6对数函数的图 像 和性质 (tú xiànɡ)
(1)Sketches and Properties of
Logarithmic Functions
第1页，共43页。
复习:一般的,函数 y = ax ( a ＞ 0, 且 a ≠ 1 ) 叫做(jiàozuò)指数函数,其
中x是自变量.函数的定义域是 R.
a
a
第10页，共43页。
例2 比较下列各组中两个(liǎnɡ ɡè)值的大小:
⑴ log 67 , log 7 6 ;
⑵ log 3π , log 2 0.8 .
提示 : log aa＝1
提示: log a1＝0
解: ⑴ ∵ log67＞log66＝1
log76＜log77＝1
∴
log67＞log76
图像㈠在(1,0)点右边的 纵坐标都大于0,在(1,0)点 左 图边像的㈡纵则坐正标好都相小反于0;
自左向右看,
图像㈠逐渐上升 图像㈡逐渐下降
函数性质
定义域是( 0,＋∞）
1 的对数是 0
当底数a＞1时 x＞1 , 则logax＞0
当底数0＜a＜100时＜＜xx＜x＜＞111,,则则, 则lologlgoaxagx＞a＜x0＜0 0 当a＞1时,
当0＜a＜1时,函数y=log ax在(0,+∞)上是减函数,于是 log a5.1＞log a5.9
注:例1是利用对数函数的增减性比较两个对数的大小的,
对底数与1的大小关系未明确指出时,
要分情况对底数进行讨论来比较两个对数的大小.
第9页，共43页。
练习:
1、比较下列(xiàliè)各题中两个值的大小:
2
2
求函数
(1)Sketches and Properties of
Logarithmic Functions
第1页，共43页。
复习:一般的,函数 y = ax ( a ＞ 0, 且 a ≠ 1 ) 叫做(jiàozuò)指数函数,其
中x是自变量.函数的定义域是 R.
a
a
第10页，共43页。
例2 比较下列各组中两个(liǎnɡ ɡè)值的大小:
⑴ log 67 , log 7 6 ;
⑵ log 3π , log 2 0.8 .
提示 : log aa＝1
提示: log a1＝0
解: ⑴ ∵ log67＞log66＝1
log76＜log77＝1
∴
log67＞log76
图像㈠在(1,0)点右边的 纵坐标都大于0,在(1,0)点 左 图边像的㈡纵则坐正标好都相小反于0;
自左向右看,
图像㈠逐渐上升 图像㈡逐渐下降
函数性质
定义域是( 0,＋∞）
1 的对数是 0
当底数a＞1时 x＞1 , 则logax＞0
当底数0＜a＜100时＜＜xx＜x＜＞111,,则则, 则lologlgoaxagx＞a＜x0＜0 0 当a＞1时,
当0＜a＜1时,函数y=log ax在(0,+∞)上是减函数,于是 log a5.1＞log a5.9
注:例1是利用对数函数的增减性比较两个对数的大小的,
对底数与1的大小关系未明确指出时,
要分情况对底数进行讨论来比较两个对数的大小.
第9页，共43页。
练习:
1、比较下列(xiàliè)各题中两个值的大小:
2
2
求函数
课件4：4.2.3 对数函数的性质与图像(一)
2．函数 f(x)＝ x＋2－lg(1－x)的定义域为( )
A．[－2,1]
B．[－2,1)
C．(－2,1)
D．[－2，＋∞)
B
x＋2≥0， [1－x＞0
⇒－2≤x＜1.]
3．已知对数函数的图像过点 M(9,2)，则此对数函数的解析式为( )
A．y＝log2x
B．y＝log3x
C．y＝log1x 3
③⑥正确．
(2)由于 y＝log(2a－1)x＋(a2－5a＋4)是对数函数，
2a－1>0， 则有2a－1≠1，
a2－5a＋4＝0，
解得 a＝4.]
【规律方法】 判断一个函数是对数函数的方法
【跟踪训练】 1．(1)函数 f(x)＝(a2－a＋1)log(a＋1)x 是对数函数，则实数 a＝________. (2)已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数，且当 x∈(0，＋∞)时， f(x)＝log2x，则 f(－8)＝________. (1)1 (2)－3 [(1)由 a2－a＋1＝1 解得 a＝1 或 a＝0， 又 a＋1＞0，且 a＋1≠1，所以 a＝1. (2)因为 f(x)是定义在 R 上的奇函数， 所以 f(－8)＝－f(8)＝－log28＝－3.]
【当堂达标】
1．思考辨析
(1)函数 y＝logx12是对数函数．(
)
(2)函数 y＝2log3x 是对数函数．( )
3．函数 f(x)＝loga(2－ax)在区间(0,1)上单调递减，求 a 的取值范围． [解] 令 f(x)＝logau，u＝2－ax. 因为 a＞0，a≠1，所以 u＝2－ax 为减函数， 因为 y＝logau 为增函数，所以 a＞1. 又因为 2－ax＞0 在区间(0,1)上恒成立，所以 2－a≥0，解得 a≤2. 综上所述，1＜a≤2.
对数函数PPT课件
单调性
换底公式
当底数a>1时，对数函数是单调增函数；当 0<a<1时，对数函数是单调减函数。
log_a(b) = log_c(b) / log_c(a)，其中c可以 是任意正实数且c≠1。
对数函数与指数函数的关系
对数函数的反函数是指数函数，即如果y=log_a(x)，那么x=a^y。
对数函数和指数函数互为反函数，它们的图像关于直线y=x对称。
偶函数
当底数为正数时，对数函数为偶函数，满足f(-x)=f(x)。
03
CHAPTER
对数函数的应用
对数函数在数学领域的应用
求解对数方程
对数函数在数学中常用于 求解对数方程，如求解以 自然对数为底的指数方程。
数值计算
对数函数在数值计算中也 有广泛应用，例如在计算 复利、求解物理问题中的 对数问题等。
在热力学中，对数函数用于描述温 度和热量之间的关系，特别是在处 理热传导和热辐射等问题时。
对数函数在计算机科学中的应用
数据压缩
网络传输
在数据压缩领域，对数函数用于实现 数据压缩和解压缩，特别是在处理图 像和音频等大数据量信息时。
在网络传输中，对数函数用于描述网 络流量和拥塞控制，特别是在处理网 络延迟和丢包等问题时。
加密算法
对数函数在加密算法中用于实现加密 和解密操作，例如基于对数原理的公 钥加密算法。
04
CHAPTER
对数函数与其他函数的关系
对数函数与幂函数的关系
要点一
总结词
对数函数和幂函数在形式上具有密切的联系，可以通过换 底公式相互转化。
要点二
详细描述
对数函数和幂函数之间的关系主要表现在它们的定义和性质 上。对数函数定义为“以某数为底，某数的指数为真数”， 而幂函数定义为“某数的指数为底，该数为真数”。通过换 底公式，我们可以将对数函数转化为幂函数的形式，反之亦 然。例如，以e为底的对数函数ln(x)可以转化为x的1/e次方 的幂函数形式。
对数函数 对数函数的图像和性质
函数值变化情况：x>1时，y>0；x＝1时，y＝0； 0<x<1时，y<0. 单调性：在(0，＋∞)上是增函数．
问题 2：函数 y＝log 况及单调性如何？
1 2
x 的定义域、值域、函数值的情
提示：定义域：(0，＋∞)，值域：(－∞，＋∞)， 函数值变化情况：x>1 时，y<0；x＝1 时，y＝0； 0<x<1 时，y>0. 单调性：在(0，＋∞)上是减函数． 问题 3：它们的图像有什么关系？ 提示：关于 x 轴对称．
对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图像与性质 a＞1 0＜a＜1
图
像
a＞1
0＜a＜1 定义域：(0，＋∞) 值域： R
图像过定点： (1,0)
性 当x＞1时，y ＞ 0， 当x＞1时，y ＜ 0， 质 当0＜x＜1时，y ＜ 0 当0＜x＜1时，y ＞ 0
增区间： (0，＋∞)
奇偶性： 非奇非偶函数
答案：B
[例2]
作出函数y＝lg|x|的图像，并由图像判断其奇
偶性，并求出f(x)>0的解集． [思路点拨] 先去掉绝对值号，画出y轴右边的图像，
再由对称性作出另一部分，最后结合图像求解集．
[精解详析]
lgx， ＝ lg－x，
f(x)＝lg|x| x>0， x<0.
又y＝lgx与y＝lg(－x)关于y轴对称，从而将函数y＝lgx (x>0)的图像对称到y轴的左侧与函数y＝lgx的图像合起来得 函数f(x)的图像，如图所示．由图知：此函数是偶函数， f(x)>0的解集为 (－∞，－1)∪(1，＋∞)．
(3)底不相同，真数也不相同的几个数，可通过特殊值来
问题 2：函数 y＝log 况及单调性如何？
1 2
x 的定义域、值域、函数值的情
提示：定义域：(0，＋∞)，值域：(－∞，＋∞)， 函数值变化情况：x>1 时，y<0；x＝1 时，y＝0； 0<x<1 时，y>0. 单调性：在(0，＋∞)上是减函数． 问题 3：它们的图像有什么关系？ 提示：关于 x 轴对称．
对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图像与性质 a＞1 0＜a＜1
图
像
a＞1
0＜a＜1 定义域：(0，＋∞) 值域： R
图像过定点： (1,0)
性 当x＞1时，y ＞ 0， 当x＞1时，y ＜ 0， 质 当0＜x＜1时，y ＜ 0 当0＜x＜1时，y ＞ 0
增区间： (0，＋∞)
奇偶性： 非奇非偶函数
答案：B
[例2]
作出函数y＝lg|x|的图像，并由图像判断其奇
偶性，并求出f(x)>0的解集． [思路点拨] 先去掉绝对值号，画出y轴右边的图像，
再由对称性作出另一部分，最后结合图像求解集．
[精解详析]
lgx， ＝ lg－x，
f(x)＝lg|x| x>0， x<0.
又y＝lgx与y＝lg(－x)关于y轴对称，从而将函数y＝lgx (x>0)的图像对称到y轴的左侧与函数y＝lgx的图像合起来得 函数f(x)的图像，如图所示．由图知：此函数是偶函数， f(x)>0的解集为 (－∞，－1)∪(1，＋∞)．
(3)底不相同，真数也不相同的几个数，可通过特殊值来
指数函数对数函数图像变换
设奇函数 f(x) 的定义域为[-5, 5], 若当x∈[0, 5]时, f(x)的图象如右图所
示. 则不等式 f(x)<0 的解集
是 (-2, 0)∪(2, 5]
.
y
o 2
x 5
函数f(x)是定义在R上的奇函数，且 Y=f f((x12)的图x象)关于 fx (1212对x称) ，则
f (1 ) f ( 1 ) f ( 3 ) ————
第二象限，则实数m的取值范围是
________.
(2)若0<a<1,b<-1,则函数 f ( x) a x b 的图
象不经过第______象限. （3）函数 y log3(x 1) 的图象经过的象限有
________.
1.若函数y=ax+(b-1)（a>0,且a≠ 1）的图象不经 过第二象限，则有（ ）
1.函数 y=2-x 的图象向右平移 2 个单位
得函数__y_=_2_-x_+2_____的图象. y=2-(x-2)
2.函数y=log2(3x-1)的图象左移2个单
位得函数__y_=_lo_g_2_(3_x_+_5_)__ 的图象.
y=log2[3(x+2)-1]
练习:
（1）要使函数 y 2x1 m 的图象不经过
y=f(-x) y=-f(x) y=-f(-x)
y=f(-x)与y=f(x)的图象关于y轴对称.
y=-f(x)与y=f(x)的图象关于x轴对称. y=-f(-x)与y=f(x)的图象关于原点轴对称.
y=f(|x|) y=|f(x)|
y f 1(x)
f
(|
x
|)
f (x),(x 0) f (x),(x 0)
3.5.1对数函数的概念3.5.2 对数函数y=log2x的图像和性质 课件(北师大版必修1)
8
3
【解析】f( 3 )+f( 2 )= log 3 log 2 2 2
8
3
8
3
=log2( 3 2 )=-2.
8 3
答案：-2
5.下列函数中,哪些是对数函数?
(1)y=loga x (a>0,a≠1);
(2)y=log(x+1)x;
(3)y= log
2 2
x;
(4)y=log2(x-3);
1 (x＞0) log 2 x
)
(B)f(x)＝log2(－x)(x＜0) (C)f(x)＝－log2x(x＞0) (D)f(x)＝－log2(－x)(x＜0)
【解题指导】
【解析】选D.∵函数y＝f(x)的图像与函数g(x)＝log2x(x＞0) 的图像关于原点对称， 故在函数y＝f(x)的图像上任取一点(x,y)，则其关于①
(5)y=3log2x+1.
【解析】(1)中的真数是 x ,而不是x,故不是对数函数.
(2)中的底数是x+1,而不是常数，故不是对数函数. (3)中的底数是(-2)2=4>0,符合对数函数的定义，是对数函数. (4)中的真数是(x-3),而不是x，故不是对数函数. (5)中log2x的系数是3而不是1,后边的常数是1而不是0,故不是 对数函数.
(其中a为常数)各是什么？
提示：(1)解答题1的关键点就是对对数函数的三个特征的理解 .
由于对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，因此在 解题中注意辨别,如：y=2log2x，y= log 5 x 都不是对数函数．
5
(2)f(a)与f(x)是不同的，f(a)是函数y=f(x)在x=a处的函数值， 是一个常数.
3
【解析】f( 3 )+f( 2 )= log 3 log 2 2 2
8
3
8
3
=log2( 3 2 )=-2.
8 3
答案：-2
5.下列函数中,哪些是对数函数?
(1)y=loga x (a>0,a≠1);
(2)y=log(x+1)x;
(3)y= log
2 2
x;
(4)y=log2(x-3);
1 (x＞0) log 2 x
)
(B)f(x)＝log2(－x)(x＜0) (C)f(x)＝－log2x(x＞0) (D)f(x)＝－log2(－x)(x＜0)
【解题指导】
【解析】选D.∵函数y＝f(x)的图像与函数g(x)＝log2x(x＞0) 的图像关于原点对称， 故在函数y＝f(x)的图像上任取一点(x,y)，则其关于①
(5)y=3log2x+1.
【解析】(1)中的真数是 x ,而不是x,故不是对数函数.
(2)中的底数是x+1,而不是常数，故不是对数函数. (3)中的底数是(-2)2=4>0,符合对数函数的定义，是对数函数. (4)中的真数是(x-3),而不是x，故不是对数函数. (5)中log2x的系数是3而不是1,后边的常数是1而不是0,故不是 对数函数.
(其中a为常数)各是什么？
提示：(1)解答题1的关键点就是对对数函数的三个特征的理解 .
由于对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，因此在 解题中注意辨别,如：y=2log2x，y= log 5 x 都不是对数函数．
5
(2)f(a)与f(x)是不同的，f(a)是函数y=f(x)在x=a处的函数值， 是一个常数.
北师大版高中数学 必修第一册 4.3.3对数函数y=logax的图像和性质
(2)函数y=logax(a>0,且a≠1)的图象一定位于y轴的右侧.( ？√ )
(3)若对数函数y=log(a-1)x(x>0)是增函数,则实数a的取值范围
是a>1.( ？× )
(4)对于y=logax(0<a<1),若0<x<1,则logax>0;若x>1,则
logax<0.( ？√ )
2. 函数y＝ax与y＝logax(a＞0，a≠1)的图像是什么关系？
求区间
例7（1）求函数y=|log2x|的单调区间
解析:有关函数图象的变换是考试的一个热点,本题的图象变换是翻折变 换,可知这个函数的图象是将y=log2x的图象位于x轴下方的部分关于x轴 翻折上去,位于x轴及上方的部分保留不变而得到.
4.对数型函数单调性
求区间
经验 函数y=logax(a>0,且a≠1)的图象
y y log3 x 2
1 11
42
0 1 23 4 -1
-2
y log 1 x
2
y log 2 x
x
y log 1 x
3
当a>1,x轴上方图象自上向 下，底数a越来越大.
当0<a<1,x轴下方图象自上向 下，底数a越来越大.
函数
y＝logax(a＞1)
y＝logax(0＜a＜1)
图像
2.对数型函数求式
利用奇偶性
解析:设x<0,则-x>0.
改变自变量
又x>0时,f(x)=log2x,∴f(-x)=log2(-x). 又∵f(x)是奇函数,∴f(-x)=-f(x).
中间解析式
∴x<0时,f(x)=-log2(-x).答案:D
(3)若对数函数y=log(a-1)x(x>0)是增函数,则实数a的取值范围
是a>1.( ？× )
(4)对于y=logax(0<a<1),若0<x<1,则logax>0;若x>1,则
logax<0.( ？√ )
2. 函数y＝ax与y＝logax(a＞0，a≠1)的图像是什么关系？
求区间
例7（1）求函数y=|log2x|的单调区间
解析:有关函数图象的变换是考试的一个热点,本题的图象变换是翻折变 换,可知这个函数的图象是将y=log2x的图象位于x轴下方的部分关于x轴 翻折上去,位于x轴及上方的部分保留不变而得到.
4.对数型函数单调性
求区间
经验 函数y=logax(a>0,且a≠1)的图象
y y log3 x 2
1 11
42
0 1 23 4 -1
-2
y log 1 x
2
y log 2 x
x
y log 1 x
3
当a>1,x轴上方图象自上向 下，底数a越来越大.
当0<a<1,x轴下方图象自上向 下，底数a越来越大.
函数
y＝logax(a＞1)
y＝logax(0＜a＜1)
图像
2.对数型函数求式
利用奇偶性
解析:设x<0,则-x>0.
改变自变量
又x>0时,f(x)=log2x,∴f(-x)=log2(-x). 又∵f(x)是奇函数,∴f(-x)=-f(x).
中间解析式
∴x<0时,f(x)=-log2(-x).答案:D
对数函数的性质与图像(对数函数图像及其性质的应用)(课件)-高一数学(人教B版2019必修第二册)
a>1
时，f(x)＝loga
x＋1 x－1
的单调递减区间为(－∞，－1)，(1，＋∞)，无单调递增区间；当 0<a<1 时，f(x)
＝loga xx＋－11的单调递增区间为(－∞，－1)，(1，＋∞)，无单调递减区间.
课堂练习 【训练 1】若 a＝20.2，b＝log43.2，c＝log20.5，则( ) A.a>b>c B.b>a>c C.c>a>b D.b>c>a
课堂总结
对数型函数 y＝logaf(x)性质的研究
(1)定义域：由 f(x)>0 解得 x 的取值范围，即为函数的定义域. (2)值域：在函数 y＝logaf(x)的定义域中先确定 t＝f(x)的值域，再由 y＝logat 的单调性确定函数的值域.
(3)单调性：在定义域内考虑 t＝f(x)与 y＝logat 的单调性，根据同增异减法 则判定(或运用单调性定义判定).
(1)定义域：由 f(x)>0 解得 x 的取值范围，即为函数的定义域. (2)值域：在函数 y＝logaf(x)的定义域中先确定 t＝f(x)的值域，再由 y＝logat 的单调性确定函数的值域.
(3)单调性：在定义域内考虑 t＝f(x)与 y＝logat 的单调性，根据同增异减法 则判定(或运用单调性定义判定).
常见题型：解对数不等式 【典例】若－1<loga34<1(a>0 且 a≠1)，求实数 a 的取值范
围. 【解析】∵－1<loga34<1，∴loga1a<loga34<logaa.
当 a>1 时，0<1a<34<a，则 a>43；当 0<a<1 时，1a>34>a>0，
对数函数的性质与图像
(2)函数y=log2x是非奇非偶函数. (
)
(3)函数y=logax(a>0,且a≠1)的图像均在x轴上方. (
)
(4)y-4=logm(x+9)(m>0,且m≠1)的图像恒过定点(-8,4). (
)
(5)当0<a<1时,y=logax为R上的减函数;当a>1时,y=logax为R上的
增函数.
(6)因为x2+1>0恒成立,所以y=log5(x2+1)的值域为R. (
轴对称,据此可画出其图像如图所示.
从图像可知,函数 f(x)的值域为[0,+∞),递增
区间是[1,+∞),递减区间是(0,1).
1
1
当 x∈ 9 ,6 时,f(x)在 9 ,1 上是单调递减的,在(1,6]上是单调递增
的.
1
1
又 f 9 =2,f(6)=log36<2,故 f(x)在 9 ,6 上的最大值为 2.
(0,+∞).
课堂篇探究学习
探究一
探究二
探究三
探究四
利用对数函数的性质比较大小
例3 比较大小:
(1)log0.27与log0.29;
(2)log35与log65;
(3)(lg m)1.9与(lg m)2.1(m>1);
(4)log85与lg 4.
思维辨析
当堂检测
课堂篇探究学习
探究一
探究二
探究三
探究四
0<a<1时,函数y=loga(a-ax)在(-∞,1)内是增函数.
反思感悟求复合函数的单调区间的步骤:
(1)求出函数的定义域;
(2)将复合函数分解为基本初等函数;
)
(3)函数y=logax(a>0,且a≠1)的图像均在x轴上方. (
)
(4)y-4=logm(x+9)(m>0,且m≠1)的图像恒过定点(-8,4). (
)
(5)当0<a<1时,y=logax为R上的减函数;当a>1时,y=logax为R上的
增函数.
(6)因为x2+1>0恒成立,所以y=log5(x2+1)的值域为R. (
轴对称,据此可画出其图像如图所示.
从图像可知,函数 f(x)的值域为[0,+∞),递增
区间是[1,+∞),递减区间是(0,1).
1
1
当 x∈ 9 ,6 时,f(x)在 9 ,1 上是单调递减的,在(1,6]上是单调递增
的.
1
1
又 f 9 =2,f(6)=log36<2,故 f(x)在 9 ,6 上的最大值为 2.
(0,+∞).
课堂篇探究学习
探究一
探究二
探究三
探究四
利用对数函数的性质比较大小
例3 比较大小:
(1)log0.27与log0.29;
(2)log35与log65;
(3)(lg m)1.9与(lg m)2.1(m>1);
(4)log85与lg 4.
思维辨析
当堂检测
课堂篇探究学习
探究一
探究二
探究三
探究四
0<a<1时,函数y=loga(a-ax)在(-∞,1)内是增函数.
反思感悟求复合函数的单调区间的步骤:
(1)求出函数的定义域;
(2)将复合函数分解为基本初等函数;
对数函数图形与性质(二)课件-2022-2023学年高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
若a=0,t= 2x+1值域为R，满足 0， + ∞ ⊑
&g 1
∆= 4 − 4 ≥ 0
综上所述，实数a的取值范围 0，1
值域为全体实数，真数
要取遍所有正实数
例3.求函数f（x）＝log2（4x）•log2（2x）， ∈
1
4
, 4 的值域
解： f（x）＝ log2（4x）•log2（2x），
（1）若函数f（x）的定义域为R，求实数a的取值范围．
（2）若函数f（x）的值域为R，求实数a的取值范围．
解(1)因为f（x）的定义域为R
所以ax2+2x+1>0对任意的 ∈ 恒成立
若a=0,则2x+1>0显然对任意的 ∈ 不恒成立，不合题意
>0
若 ≠ 0, 则
解得a>1
∆= 4 − 4 < 0
2 = 4 − 2 + 3 ≥ 0 从两个方面考虑
解之得： −4，4
（1）根据a与1的关系确定 在 ， 上的单调性
（2） > 在 ∈ ， 时恒成立，只需() >0即可
例4：若函数y = 2 (2-ax)在 ∈[0,1]上是减函数，则的取值范围是_____
2
+ 9 > 0可知函数的定义域为R
设 = 3 u, u= 2 -2x+10
∵ u= 2 -2x+10在 −∞, 1 单调递减，在（1，+∞)单调递增
又 = 3 u单调递增
∴f（x）＝log3（x2﹣2x+10）在 −∞, 1 单调递减，
在（1，+∞)单调递增
[归纳提升]
变式 .已知函数f（x）＝log3（x2﹣2x−10）
&g 1
∆= 4 − 4 ≥ 0
综上所述，实数a的取值范围 0，1
值域为全体实数，真数
要取遍所有正实数
例3.求函数f（x）＝log2（4x）•log2（2x）， ∈
1
4
, 4 的值域
解： f（x）＝ log2（4x）•log2（2x），
（1）若函数f（x）的定义域为R，求实数a的取值范围．
（2）若函数f（x）的值域为R，求实数a的取值范围．
解(1)因为f（x）的定义域为R
所以ax2+2x+1>0对任意的 ∈ 恒成立
若a=0,则2x+1>0显然对任意的 ∈ 不恒成立，不合题意
>0
若 ≠ 0, 则
解得a>1
∆= 4 − 4 < 0
2 = 4 − 2 + 3 ≥ 0 从两个方面考虑
解之得： −4，4
（1）根据a与1的关系确定 在 ， 上的单调性
（2） > 在 ∈ ， 时恒成立，只需() >0即可
例4：若函数y = 2 (2-ax)在 ∈[0,1]上是减函数，则的取值范围是_____
2
+ 9 > 0可知函数的定义域为R
设 = 3 u, u= 2 -2x+10
∵ u= 2 -2x+10在 −∞, 1 单调递减，在（1，+∞)单调递增
又 = 3 u单调递增
∴f（x）＝log3（x2﹣2x+10）在 −∞, 1 单调递减，
在（1，+∞)单调递增
[归纳提升]
变式 .已知函数f（x）＝log3（x2﹣2x−10）
幂函数指数函数与对数函数的像与变换
幂函数指数函数与对数函数的像与变换幂函数、指数函数与对数函数是高中数学中的重要概念，它们在数学和实际问题中有着广泛的应用。
本文将介绍幂函数、指数函数与对数函数的定义、性质以及它们的像与变换。
一、幂函数的定义与性质幂函数是指形如y = x^n的函数，其中x是自变量，n是常数指数。
常见的幂函数有平方函数、立方函数等。
幂函数的图像特点：1. 当n为正数时，幂函数关于y轴对称，且有一个最小值0，图像逐渐增大；2. 当n为负数时，幂函数关于x轴对称，有一个最大值0，图像逐渐减小；3. 当n为偶数时，幂函数的图像更加接近x轴，当n为奇数时，幂函数的图像更加接近y轴。
二、指数函数的定义与性质指数函数是指形如y = a^x的函数，其中a是常数，x是自变量。
常见的指数函数有2^x、e^x等。
指数函数的图像特点：1. 当0<a<1时，指数函数递减，且无穷趋近于x轴；2. 当a>1时，指数函数递增，且无穷趋近于正无穷；3. 当a=1时，指数函数为常数函数y=1。
三、对数函数的定义与性质对数函数是指形如y = loga(x)的函数，其中a是底数，x是自变量。
常见的对数函数有以10为底的常用对数函数log(x)和以自然数e为底的自然对数函数ln(x)。
对数函数的图像特点：1. 当底数a>1时，对数函数递增，对应的反函数是指数函数；2. 当0<a<1时，对数函数递减，对应的反函数是指数函数；3. 对数函数的定义域为正实数集合，值域为实数集合。
四、像与变换幂函数、指数函数与对数函数在函数图像的变换中具有一定的规律：1. 幂函数的变换：通过改变指数n值的正负、奇偶，可以实现图像关于x轴、y轴的对称以及图像的平移、伸缩；2. 指数函数的变换：通过改变底数a的大小，可以实现图像在x轴方向的压缩和拉伸，以及图像在y轴方向的上升和下降；3. 对数函数的变换：通过改变底数a和对数函数的系数，可以实现图像在x轴方向的压缩和拉伸，以及图像在y轴方向的上升和下降。
对数与对数运算
汇报人：日期:对数与对数运算常用对数任意底数的对数值域定义域加减法换底公式乘除法对数和指数互为逆运算。
例如，如果x^n=b，那么log(x)(b)=n；如果log(x)(b)=n，那么x^n=b。
对数的定义可以看作是“以任意底a把某个数x升幂到x^1=x”。
例如，log(2)(8)=3，因为2^3=8。
同样地，指数函数可以看作是“以任意底a把某个数x降幂到1”。
例如，2^3=8，因为2^3=8。
对数与指数的关系03幂法则01乘法法则02除法法则对数运算法则对数运算的简化无穷大的对数负数的对数整数的指数幂-log(x)。
对于整数n，log(a^n) = n *log(a)。
在科学计算中的应用在金融领域中的应用在信息科学中的应用对数运算的实际应用ln(xy)=lnx+lny ln(x^n)=nlnx01定义：常用对数是以10为底数的对数，记作lg x。
02性质：常用对数函数在定义域内是单调递增函数，其性质包括03当x>0时，log(x^n)=nlogx04log(xy)=logx+logy 05log(x/y)=logx-logy06log(x^n)=nlogx对数的换底公式对数函数的定义与性质定义对数函数是指数函数与自然对数的复合函数，即$log_{a}x$，其中$a$为底数，$x$为真数。
性质对数函数具有非负性、单调性、奇偶性等性质。
当$a>1$时，对数函数为增函数；当$0<a<1$时，对数函数为减函数。
利用计算机软件如GeoGebra、Desmos等可以方便地绘制对数函数的图像。
绘制方法图像求解方程01数据分析02信号处理03换底公式对于不同底的对数，可以通过换底公式“log(a, b) = log(c, a) / log(c, b)”进行转换。
求解方法利用对数的性质，例如log(a, b) = 1/log(b, a)，可以对方程进行变形，从而求得未知数的值。
定义域分析先需要分析其定义域，即a和b的取值范围是否满足对数函数的定义。
对数函数的图像和性质课件
奇函数，a 为常数．
(1)求 a 的值；
(2)试说明 f(x)在区间(1，＋∞)内单调递增；
(3)若对于区间[3,4]上的每一个 x 值，不等式
f(x)＞(12)x＋m 恒成立，求实数 m 的取值范围．
又∵对任意x∈[3，4]时，gx＞m， 即log12xx＋－11－12x＞m恒成立， ∴m＜－98，即所求m的取 值范围是(－∞，－98).12 分
3分类讨论当a＞1时,函数y＝logax在定义域 上是增函数,则有logaπ＞loga3.141； 当0＜a＜1时,函数y＝logax在定义域上是减
函数,则有logaπ＜loga3.141.
综上所得,当a＞1时,logaπ＞loga3.141； 当0＜a＜1时,logaπ＜loga3.141.
题型二 对数函数的图像
5．3 对数函数的图像和性质
学习目标
学习导航
重点难点
重点：对数函数y＝logax的图像性质．
难点：对数函数图像的变化及应用,指数函 数与对数函数之间的关系．
新 知 初 探 ·思 维 启 动
对数函数的图像和性质
研究对数函数y＝logaxa＞0且a≠1的图像
和性质,底数要分为_________和______a_＞__1两种
变式训练 1．比较下列各组中两个值的大小； 1log31.9,log32； 2log23,log0.32； 3logaπ,loga3.141.
解：1单调性法因为y＝log3x在0,＋∞上是增
函数,所以log31.9＜log32.
2中间量法因为log23＞log21＝0,log0.32＜0, 所以log23＞log0.32.
3．求下列函数的单调区间．
1y＝log0.3x2－2x－8； 2y＝log0.4x2－2log0.4x＋2. 解：1令t＝x2－2x－8,则y＝log0.3t在0,＋∞
(1)求 a 的值；
(2)试说明 f(x)在区间(1，＋∞)内单调递增；
(3)若对于区间[3,4]上的每一个 x 值，不等式
f(x)＞(12)x＋m 恒成立，求实数 m 的取值范围．
又∵对任意x∈[3，4]时，gx＞m， 即log12xx＋－11－12x＞m恒成立， ∴m＜－98，即所求m的取 值范围是(－∞，－98).12 分
3分类讨论当a＞1时,函数y＝logax在定义域 上是增函数,则有logaπ＞loga3.141； 当0＜a＜1时,函数y＝logax在定义域上是减
函数,则有logaπ＜loga3.141.
综上所得,当a＞1时,logaπ＞loga3.141； 当0＜a＜1时,logaπ＜loga3.141.
题型二 对数函数的图像
5．3 对数函数的图像和性质
学习目标
学习导航
重点难点
重点：对数函数y＝logax的图像性质．
难点：对数函数图像的变化及应用,指数函 数与对数函数之间的关系．
新 知 初 探 ·思 维 启 动
对数函数的图像和性质
研究对数函数y＝logaxa＞0且a≠1的图像
和性质,底数要分为_________和______a_＞__1两种
变式训练 1．比较下列各组中两个值的大小； 1log31.9,log32； 2log23,log0.32； 3logaπ,loga3.141.
解：1单调性法因为y＝log3x在0,＋∞上是增
函数,所以log31.9＜log32.
2中间量法因为log23＞log21＝0,log0.32＜0, 所以log23＞log0.32.
3．求下列函数的单调区间．
1y＝log0.3x2－2x－8； 2y＝log0.4x2－2log0.4x＋2. 解：1令t＝x2－2x－8,则y＝log0.3t在0,＋∞
2016-2017学年高中数学必修一(北师大版)对数函数的图像和性质ppt课件(28张)
1 9 1 9 1 9
=2,f(6)=log36<2,故 f(x)在
1 ,6 9
上的最大值为 2.
探究一
探究二
做一做 下列说法正确的是( ) A.y=ln(x-1)恒过定点(1,0) B.y=lg x的值域是[0,+∞) C.当x>1时,a越大,对数函数图像越靠近x轴 D.y=log3x与 y=log1 x 的图像关于x轴对称 3 解析:A错,y=ln(x-1)恒过定点(2,0);B错,y=lg x的值域是R;C错,当 x>1,且a>1时,a越大,对数函数图像越靠近x轴;D正确. 答案:D
2 5 5 2
(3)因为 log23>log21= 0,log0. 32<log0.31=0, 所以 log23>log0.32. (4)当 a>1 时 ,函数 y=logax 在 (0,+∞)上是增函数 ,则有 logaπ>loga 3.14;当 0<a<1 时 ,函数 y=logax 在 (0,+∞)上是减函数 ,则有 logaπ<loga 3.14. 综上可得 ,当 a>1 时 ,logaπ>loga 3.14; 当 0<a<1 时 ,logaπ<loga3.14.
所以在 [1,+∞)上 f(x)的图像与 y=log3x 的图像相同 ,在 (0,1)上的 图像与 y=log3x 的图像关于 x 轴对称 ,据此可画出其图像如图所示. 从图像可知 ,函数 f(x)的值域为 [0,+∞),递增区间是 [1,+∞),递减 区间是 (0,1). 当 x∈ ,6 时 ,f(x)在 ,1 上是减少的 ,在 (1,6]上是增加的 .又 f
2 5
=2,f(6)=log36<2,故 f(x)在
1 ,6 9
上的最大值为 2.
探究一
探究二
做一做 下列说法正确的是( ) A.y=ln(x-1)恒过定点(1,0) B.y=lg x的值域是[0,+∞) C.当x>1时,a越大,对数函数图像越靠近x轴 D.y=log3x与 y=log1 x 的图像关于x轴对称 3 解析:A错,y=ln(x-1)恒过定点(2,0);B错,y=lg x的值域是R;C错,当 x>1,且a>1时,a越大,对数函数图像越靠近x轴;D正确. 答案:D
2 5 5 2
(3)因为 log23>log21= 0,log0. 32<log0.31=0, 所以 log23>log0.32. (4)当 a>1 时 ,函数 y=logax 在 (0,+∞)上是增函数 ,则有 logaπ>loga 3.14;当 0<a<1 时 ,函数 y=logax 在 (0,+∞)上是减函数 ,则有 logaπ<loga 3.14. 综上可得 ,当 a>1 时 ,logaπ>loga 3.14; 当 0<a<1 时 ,logaπ<loga3.14.
所以在 [1,+∞)上 f(x)的图像与 y=log3x 的图像相同 ,在 (0,1)上的 图像与 y=log3x 的图像关于 x 轴对称 ,据此可画出其图像如图所示. 从图像可知 ,函数 f(x)的值域为 [0,+∞),递增区间是 [1,+∞),递减 区间是 (0,1). 当 x∈ ,6 时 ,f(x)在 ,1 上是减少的 ,在 (1,6]上是增加的 .又 f
2 5
对数函数4 图象平移
高中数学 必修１
TITLE3.2.2 对源自函数（4）情境问题：数学应用：
例1 ．如图所示曲线是对数函数y＝logax的图像，已知a值取0.2，0.5， 1.5，e，则相应于C1，C2，C3，C4的a的值依次为 ．
1
O
y
x
C1
C2
(1) y＝log3(x－2)；
(2) y＝log3(x＋2)；
(3) y＝log3x－2；
(4) y＝log3x＋2.
y＝log3x
y＝log3x＋2
将函数y＝log3x的图象向上平移2个单位， 即得y＝log3x＋2的图象.
x
y
O
函数y＝f(x)的图象与函数y＝f(x)＋a的图象关系为上下平移；
(1) y＝log3(x－2)；
(2) y＝log3(x＋2)；
(3) y＝log3x－2；
(4) y＝log3x＋2.
y＝log3x
y＝log3x－2
将函数y＝log3x的图象向下平移2个单位， 即得y＝log3x－2的图象.
x
y
O
数学探究：
例2．分别将下列函数与y＝log3x的图象在同一坐标系中画出，并说明二者之间的关系.
C3
C4
数学探究：
例2．分别将下列函数与y＝log3x的图象在同一坐标系中画出，并说明二者之间的关系.
x
y
O
(1) y＝log3(x－2)；
(2) y＝log3(x＋2)；
(3) y＝log3x－2；
(4) y＝log3x＋2.
数学探究：
x y O y＝log3x y＝log3(x－2)
y＝log3(x－2)； y＝log3(x＋2)；
TITLE3.2.2 对源自函数（4）情境问题：数学应用：
例1 ．如图所示曲线是对数函数y＝logax的图像，已知a值取0.2，0.5， 1.5，e，则相应于C1，C2，C3，C4的a的值依次为 ．
1
O
y
x
C1
C2
(1) y＝log3(x－2)；
(2) y＝log3(x＋2)；
(3) y＝log3x－2；
(4) y＝log3x＋2.
y＝log3x
y＝log3x＋2
将函数y＝log3x的图象向上平移2个单位， 即得y＝log3x＋2的图象.
x
y
O
函数y＝f(x)的图象与函数y＝f(x)＋a的图象关系为上下平移；
(1) y＝log3(x－2)；
(2) y＝log3(x＋2)；
(3) y＝log3x－2；
(4) y＝log3x＋2.
y＝log3x
y＝log3x－2
将函数y＝log3x的图象向下平移2个单位， 即得y＝log3x－2的图象.
x
y
O
数学探究：
例2．分别将下列函数与y＝log3x的图象在同一坐标系中画出，并说明二者之间的关系.
C3
C4
数学探究：
例2．分别将下列函数与y＝log3x的图象在同一坐标系中画出，并说明二者之间的关系.
x
y
O
(1) y＝log3(x－2)；
(2) y＝log3(x＋2)；
(3) y＝log3x－2；
(4) y＝log3x＋2.
数学探究：
x y O y＝log3x y＝log3(x－2)
y＝log3(x－2)； y＝log3(x＋2)；
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(3)y=log2|x+1| 练习：画出下面函数的图象：
(1)y=log1/2|1-x|
(2)y=|log2(x+3)|
例2 方程 解有（B ）
1 x log 2 (x 2) ( ) 1 2
的实数
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
例3 若logm3<logn3<0,则m,n满足（c）
A.m>n>1 B. n>m>1
3.y=log2x +3
4.y=log2x -2
向上平移3个单位
向下平移2个单位 向右平移3个单位， 再向上平移4个单位。
5.y=log2(x-3)+4 y=log2x→y=log2(x-3)→y=log2(x-3)+4
[引入] 思考： 函数y=log2x如何得到下列图像 绝对值策略： 偶函数：画出 y 轴右边，左边 1.y=log2 |x| 与右边对称 部分对称！！！
法一：二次函数恒成立问题
法二：变量分离
2x 1 y log a 的图象恒过定点P x 1
，
4.函数
5.
（-∝， 2 ） y log 1 | x 2 | 的增区间是 。
2(x 1)在[0,1]上的最大值与最小值 之和为a,则a的值是 1/2 .
分类
思考：
2 已知函数f(x)是y 10x 1 1(x R)的反函数
2.y=|log2 x| 画出y=log2x,保留y轴上边，
关于x轴对称
3.y=log2 |x-2| y=log2x →y=log |x| 2
→y=log2|x-2|
学案：对数函数（2） 二、作出下列函数大致图像，并填空： 图像变换策略： 1.y=log2（x+1） 注意渐近线！！！ 注意关键点！！！
y = f( -x ) 的图象 y = - f(x) 的图象
y = - f( -x ) 的图象
归纳总结
翻 折 变 换
y = f(x) 的图象 y =|f( x )| 的图象
将y = f(x)在 x 轴上方的图 象保留，下方的图象以 x 轴 为对称轴翻折到上方可得到 y =|f(x)|的图象
归纳总结
平 移 变 换
y = f(x) 上移 k (k>0) 的图象 个单位
y = f(x)+k
y = f(x) 下移 k (k>0) 的图象 个单位
y = f(x) - k
归纳总结
对 称 变 换
y = f(x) 关于 y 轴 的图象 对 称 y = f(x) 关于 x 轴 的图象 对 称 y = f(x) 关于原点 的图象 对 称
函数g(x)的图象与函数
1 y x2
的图
象关于y轴对称，设F(x)=f(x)+g(x),
求：函数F(x)解析式及定义域。
1 2x 4x a 在x (,1]时 2.已知函数 y lg 3
有意义，求实数a的取值范围。 分析：条件转化为1+2x+4xa>0 对于x∈(-∞,1]上恒成立
3.y=log2 |x|
例1 方程 解有（ B ） A.0个
1 x log 2 (x 2) ( ) 1 2
的实数 D.3个
B.1个
C.2个
复习：
平 移 变 换
y = f(x) 左移 h (h>0) y = f(x + h) 的图象 个单位 的图象
y = f(x) 右移 h (h>0) y = f(x - h) 的图象 的 图 象 个单位
翻 折 变 换
y = f(x) 的图象 y = f(|x|) 的图象
将y = f(x)在 y 轴右边的图 象保留，左边的图象以 y 轴 为对称轴翻折到左边可得到 y =f(|x|) 的图象
例1 作出下列各函数的图象，并说明 它们的图象由y=log2x的图象经过怎 样的变换而得到？
(1)y=log2|x| (2)y=|log2x|
C. 0<n<m<1
D. 0<m<n<1
[考题回放] 1.设a>0,a≠1,函数y=logax的反函数和
1 y log a 的反函数的图象关于X轴 对称。 x
2.(03全国)使log2(-x)<x+1的取值范围 是 -1<x<0 。 [数形结合]
[考题回放] 3.函数 ） 则P点的坐标为 （-2，0 。
对数函数图象变换
[复习]
3 3 log 1 _ _ _ log 2 ＜ 1. log25____log 5 ＞ 3 4 4 2 3
2 个解。 2.方程log2x=x-2有____
y=x
X轴
[引入] 平移策略： 思考： 函数y=log2x如何得到下列图像 左加右减！！！ 1.y=log2（x+1） 向左平移 1个单位 上加下减！！！ 2.y=log2（x-2） 向右平移2个单位