有限元法(杆系结构单元)
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2-杆系结构有限元分析报告
得，正因为形状函数反映了单元的位移分布状态，矩阵 Ν 及其
Ni , N j 也由此而得名为形状函数矩阵和形状函数。
<<结构分析中的有限单元法>> By Xiaojun Wang
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杆单元
从式(2.4)还可以看出：通过形状函数把两孤立的常值位移
ui ， u j 化为连续函数 u(x) ，数学上讲，就是已知函数在闭区间 两个端点上的值 ui ， u j ，构成一个连续函数 u(x) ，它在端点应 保证等于 ui ，u j ，这样的计算步骤就是内插，形状函数 Ni ， N j 就是实现内插的两个函数，所以 Ni ， N j 又叫内插函数，形状函 数矩阵 Ν 又叫内插函数矩阵，而式 u(x) Ni (x)ui N j (x)u j 又叫
1. 本点为 1，它点为 0； 2. 任意一点总各为 1。
杆单元形状函数 Ni ， N j 如图 3.3 所示。
<<结构分析中的有限单元法>> By Xiaojun Wang
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杆单元
当结构变形之后， i，j 结点的位移通常都不为零，这时单
元内位移按式(2.4)由结点位移和相应的形状函数线性组合求
一个元素都是坐标的函数。
<<结构分析中的有限单元法>> By Xiaojun Wang
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杆单元
分析式(2.4)：当 ui 1 ， u j 0 时，杆单元的位移 u(x) 就 是 Ni ，当 ui 0 ，u j 1时，杆单元的位移分布就是 N j ，所以
形状函数的力学含义是当单元的一个结点位移为单位值，其他 结点的位移为零时，单元内位移的分布规律。可以发现形状函 数的两个重要性质为：
3杆系结构的有限元法
3杆系结构的有限元法有限元法是一种常用的结构分析方法，可以用来分析各种复杂的结构问题。
其中，杆系结构的有限元法是一种专门针对杆系结构及其变形特性的有限元分析方法。
本文将从有限元法的基本原理、杆系结构的有限元剖分、杆单元的刚度矩阵计算和应力计算四个方面介绍杆系结构的有限元法。
有限元法的基本原理:有限元法是一种将连续物体离散化为有限个独立几何单元的数值分析方法。
它的基本原理是将连续结构按一定的规则划分为若干个互不重叠的子域，然后在每个子域上建立适当的求解方程和函数，最后将各个子域的问题合并起来，得到整个结构的解。
有限元法可以将连续问题转化为一个线性代数方程组的求解问题，然后通过数值计算方法求解方程组，得到结构的变形、应力等信息。
杆系结构的有限元剖分:杆系结构是由多根杆件组成的结构体系。
在进行有限元分析时，需要将杆系结构进行剖分，将其离散化为有限个杆单元。
杆系结构的剖分方式可以有多种，常见的有线性剖分和非线性剖分。
线性剖分是指将每根杆件均匀地划分为若干个子单元，每个子单元长度相等。
线性剖分的好处是计算简单，但是在一些情况下不够准确。
非线性剖分是指根据杆件的曲线形状和载荷变化特点，对杆件进行不规则剖分。
这样可以更准确地描述杆系结构的实际变形情况。
非线性剖分的好处是结果更准确，但计算量相对较大。
杆单元的刚度矩阵计算:一般来说，杆单元的刚度矩阵可以通过两种方法进行计算：力法和位移法。
力法是指通过杆件上的内力和外力之间的平衡关系，推导出杆单元的刚度矩阵。
力法的基本原理是，杆单元上的总应变等于外力产生的内力，即σ=Eε=F/A。
其中，σ为应力，E为弹性模量，ε为应变，F为外力，A为杆单元的截面积。
位移法是指通过位移与应变之间的关系，推导出杆单元的刚度矩阵。
位移法的基本原理是，根据虚功原理和位移互相独立的原则，建立位移-应变-应力关系，然后通过对位移表达式积分，得到杆单元的刚度矩阵。
杆单元的应力计算:在有限元分析中，杆单元的应力计算是非常重要的一步。
2 杆系结构有限元法
{F } = [K ]{δ }
[K ]
称为对应于施加在系统上各节点力的刚度矩阵。
问题： 1、复杂结构其刚度矩阵是多少阶的？ 2、如何求出？ 3、为什么着重讨论系统的刚度矩阵？ 系统的整体刚度矩阵－求出所受外力作 用下各杆件节点处的位移－计算各杆件的 受力和应力
2-2 弹簧系统的刚度矩阵
一、单个弹簧的刚度矩阵
0 u1 = 0 − kb u 2 k b u3
从而可得到定解。通过解上述方程可得到各个节点的位移，利用已求得的位 移就可计算出每个弹簧所受力的大小。
弹簧1－2受力 pa＝ka×（弹簧1－2长度的变化量） pa＝ka×（u2-u1）
有限元方法求解弹簧系统受力问题的基本步骤： ①形成每个单元的刚度矩阵
(b) F1c
u1＝0
2-3 有压力kbu2 F2b = (k a + kb )u2 分别对两弹簧求静力平衡，有 F1b = −k a u 2 , F3b = − kbu2
ka
F2c
u2＝0
kb
u3,F3c
3) 只允许节点3有位移u3，类似于情况1），有
F3c = kb u3 , F2 c = − F3c = −kbu3
0 0 0 k 2 22 2 0 k32
0 2 k 23 2 k33
三、方程求解（约束条件的引入）
由式（2－6）和式（2－8）可知，刚度矩阵是一个奇异阵，即它的行列 式的值为零，矩阵的逆不存在。 对应线性代数方程组式（2－7）和式（2－9）无定解。 物理概念解释：对整个系统的位移u1、 u2和 u3，没有加以限制，从而在 任何外力的作用下系统会发生刚体运动。
− ka k a + kb − kb
结构分析的有限元法-第三章
式中
H 1 u B A yH v
(3.32)
而
H 0 u H 0 v 0 0 0 0 1 0 0 2 0 6x
(3.33)
单元刚度矩阵
再次应用式(2.70)，并进行一系列的积分运算，可以得出单元刚度矩阵的显式如下：
l
K
e
E d A B B d x
0 1 l
Av
1
2 l
0 0 1 l 2 1 l
(3.21)
MATLAB不仅可以进行数值运算，也能进行符号运算。如式(3.20)中的矩 阵Au和Av的求逆运算，我们可以在MATLAB的命令窗口下输入 >> syms L >> Au = [ 1 0 1 L ] ; >> Av = [ 1 0 0 0 0 1 0 0 1 L L^2 L^3 0 1 2*L 3*L^2] ; 第一句是定义符号变量L，后面定义两个矩阵Au和Av。然后我们再输入下 面求逆的命令 >> inv(Au) ans = 0 1 1 [ 1, 0] Au [ -1/L, 1/L] 1 l 1 l >> inv(Av) ans = 0 0 1 [ 1, 0, 0, 0] 0 1 0 1 [ 0, 1, 0, 0] A v 2 2 3 l 2 l 3 l [ -3/L^2, -2/L, 3/L^2, -1/L] 3 2 3 1 l 2 l [ 2/L^3, 1/L^2, -2/L^3, 1/L^2] 2 l
根据材料力学的有关知识，我们可以立刻写出杆单元的结点位移与结点力 之间的关系为
FNi EA l (u i u j ) FNj EA l (u j u i )
杆系结构有限元
有限元位移法是在每一个结点上建立平衡方 程，集合各结点的平衡方程得到一个平衡方 程组 [K]{D}={P}，出现在方程组内的待定未 知数便是求解的结点位移分量。
有限单元法
土木工程学院
P-4
1.4.1 坐标转换矩阵
在整体坐标系中单元结点力向量和结点位移列向
量可分别表示成
de d dije e ui vi i uj vj
k42② k52② k62②
0
k46①k13② k56①k23② k66①k33②
k43② k53② k63②
0
k14② k24② k34② k44②k44③ k54②k54③ k64② k64③
k15② k25② k35② k45②k45③ k55②k55③ k65② k65③
k16② k26② k36② k46② k56② k66②
有限单元法
土木工程学院
P-27
1.5 按单元定位向量形成总刚度方程
按单元定位向量形成总刚度方程
前面介绍“对号入座”形成总刚的方法，是讲子 块的对号入座，而在计算机程序中必须是将单刚的 每个元素，用赋值语句送给总刚的相应位置，这比 子块对号入座复杂，加上结构各种不同的约束情况， 使其更难处理。因此，在先处理法中，常引进单元 定位向量的概念。利用单元定位向量则可灵活地处 理各种约束情况。
单元② i 端的杆端力 与2，3节点位移相关
根据杆端位移与结点位移之间的谐调关系 ── 代 入几何条件
d 2 ① d 2 ② D 2 d 1 ① D 1 d 3 ② D 3 则 P 2 K 2① 1 D 1 (K 2① 2 K 2② 2 )D 2 K 2② 3 D 3
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0
0
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1.4.1 坐标转换矩阵
在整体坐标系中单元结点力向量和结点位移列向
量可分别表示成
de d dije e ui vi i uj vj
k42② k52② k62②
0
k46①k13② k56①k23② k66①k33②
k43② k53② k63②
0
k14② k24② k34② k44②k44③ k54②k54③ k64② k64③
k15② k25② k35② k45②k45③ k55②k55③ k65② k65③
k16② k26② k36② k46② k56② k66②
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1.5 按单元定位向量形成总刚度方程
按单元定位向量形成总刚度方程
前面介绍“对号入座”形成总刚的方法，是讲子 块的对号入座，而在计算机程序中必须是将单刚的 每个元素，用赋值语句送给总刚的相应位置，这比 子块对号入座复杂，加上结构各种不同的约束情况， 使其更难处理。因此，在先处理法中，常引进单元 定位向量的概念。利用单元定位向量则可灵活地处 理各种约束情况。
单元② i 端的杆端力 与2，3节点位移相关
根据杆端位移与结点位移之间的谐调关系 ── 代 入几何条件
d 2 ① d 2 ② D 2 d 1 ① D 1 d 3 ② D 3 则 P 2 K 2① 1 D 1 (K 2① 2 K 2② 2 )D 2 K 2② 3 D 3
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0
0
第五章杆系结构的有限元法
第五章 杆系结构的有限元法 5.1 引言杆系结构是工程中应用较为广泛的结构体系，包括平面或空间形式的梁、桁架、刚架、拱等。
其组成形式虽然复杂多样，但用计算机进行分析时却较为简单。
杆系结构中的每个杆件都是一个明显的单元。
杆件的两个端点自然形成有限元法的节点，杆件与杆件之间则用节点相连接。
显然，只要建立起杆件两端位移与杆端力之间的关系，则整体平衡方程的建立与前几章完全相同。
杆端位移与杆端力之间的关系，可用多种方法建立，包括前面几章一直采用的虚功原理，但是采用材料力学、结构力学的某些结论，不仅物理概念清晰、直观，而且推导过程简单明了。
因此，本章将采用这种方法进行单元分析。
至于整体平衡方程的建立，则和前面几章所讲的方法一样，即借助于单位定位向量，利用单元集成法进行。
5.2 平面桁架的有限元分析平面桁架在计算上有以下几个特点： 1． 杆件的每个节点仅有两个线位移； 2． 杆件之间的连接为理想铰，即在节点处各杆件可相对自由转动，且杆件轴线交于一点。
3． 外载荷均为作用于节点的集中力。
由于以上特点，所以在理论上各杆件只产生轴向拉、压力，截面应力分布均匀，材料可得到充分利用，因此桁架结构往往用于大跨结构。
5.2.1 局部坐标系下的单元刚度矩阵从平面桁架中任取一根杆件作为单元，称作桁架单元，单元长为L ，横截面面积为A ，图5.1。
两端节点分别用i 和j 表示，规定从i 到j 的连线方向为局部坐标x 轴，垂直于x 的方向为y 轴。
图5.1由于桁架中各杆只产生轴向力和轴向变形，所以节点i 和j 只发生沿x 方向的位移，用i u 和j u 表示，相应的杆端轴力分别用xi F 和xj F 表示。
由虎克定律可推得)()()(j i i j xj j i xi u u L EA u u L EA F u u LEAF --=-=-=将这两个式子写成矩阵形式，就是e j i exj xi u u L EA LEA L EA L EA F F ⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧ (5.1)显然，在局部坐标系下，i 、j 两节点沿y 轴方向的位移0==j i v v ，在y 轴方向的节点力0==yj yi F F 。
有限元法(杆系)
Fjy
FFji Fj
s in cos s in
s in
0 0
0 0 0
0
cos s in
或 F(e) T F (e) （1）
Fiy
i
Fi i
Fix
拉压杆单元
0 Fi e
0 0 0
0 Fj 0
F jy
j
j
uiy ui
uix
u jy
y
Fj
F jx uj
u jx
2)
叠加形成总刚度矩阵,求位移
2sin2
0
sin2 EA sin cos
l
0
0
sin2
sin cos
0 2 cos2 1 sin cos
cos2 0 1
sin cos cos2
sin2 sin cos
sin2 sin cos
0 0 0 0
sin cos cos2 sin cos cos2
• 用单元节点位移表示单元内部位移
第 i 个单元中的位移用所包含的结点位移来表示：
u(x)
ui
ui1 ui Li
(x
xi )
（1- 1）
其中 u i 为第 i 结点的位移， xi 为第 i 结点的坐标。
第 i 个单元的应变为 i ，应力为 i ，内力为 N i ：
i
du dx
ui1 ui Li
x
在局部坐标下，轴向力与轴向位移的关系：
(e)
Fi
1 0 1 0ui e
0
Fj
0
EA
0
0
l 1 0
0
0
0 1 0
0 0 0
杆结构 分析的有限元方法(有限元)
局部坐标系中的单元述
杆单元形状函数
杆单元刚度矩阵
平面问题中的坐标变换
梁结构分析的有限元方法
梁：承受横向荷载和弯矩的杆件。
梁的主要变形为挠度v
横截面变形前后都垂直于杆变形前的轴线x轴
中性层变形=0
纯弯曲没有剪力，只有弯矩
梁截面的惯性矩
杆结构分析的有限元方法
杆：承受轴向荷载的杆件
最基本的承力结构件：杆、梁
弹簧--简单的承受轴力的结构件
有限元方法中，每一个处理步骤都是标准化和规范化的，
因而可以在计算机上通过编程来自动实现。
F=kδ
k--刚性系数
位移的绝对变化量/杆件的伸长量δ=u2—u1
应力某截面上单位面积上的内力/内力的分布集度
应变相对伸长量单位长度的伸长量
杆单元的特性是节点位移及节点力的方向都是沿轴线方向。
杆结构的力学分析
铰接的杆结构----杆只受轴力-----杆件拉伸问题---可自然离散
两端为铰接的杆件只承受轴力。
各个单元研究（基于局部坐标系的表达)
各个单元研究
离散单元的集合、组装
杆单元及坐标变换
自由度：描述物体位置状态的每个独立变量。
对于杆单元，其节点位移有两个自由度。
杆单元形状函数
杆单元刚度矩阵
平面问题中的坐标变换
梁结构分析的有限元方法
梁：承受横向荷载和弯矩的杆件。
梁的主要变形为挠度v
横截面变形前后都垂直于杆变形前的轴线x轴
中性层变形=0
纯弯曲没有剪力，只有弯矩
梁截面的惯性矩
杆结构分析的有限元方法
杆：承受轴向荷载的杆件
最基本的承力结构件：杆、梁
弹簧--简单的承受轴力的结构件
有限元方法中，每一个处理步骤都是标准化和规范化的，
因而可以在计算机上通过编程来自动实现。
F=kδ
k--刚性系数
位移的绝对变化量/杆件的伸长量δ=u2—u1
应力某截面上单位面积上的内力/内力的分布集度
应变相对伸长量单位长度的伸长量
杆单元的特性是节点位移及节点力的方向都是沿轴线方向。
杆结构的力学分析
铰接的杆结构----杆只受轴力-----杆件拉伸问题---可自然离散
两端为铰接的杆件只承受轴力。
各个单元研究（基于局部坐标系的表达)
各个单元研究
离散单元的集合、组装
杆单元及坐标变换
自由度：描述物体位置状态的每个独立变量。
对于杆单元，其节点位移有两个自由度。
第二章 杆系结构的有限元法分析
F ⓔ Fxi
Fyi
Fzi
M xi
M yi
M zi
Fxj
Fyj
Fz j
M xj
M yj
T
M zj
EA
EA
l
0
0
0
0
0
0
l
0
0
0
0
Fxi
0
12 EI z l3
0
0
0
6 EI z l2
0
12EI l3
z
0
0
0
6 EI z l2
ui
Fyi
0
0
12EI y l3
0
6EI y l2
所谓杆件是指从构造上来说其长度远大于其截面尺寸的一维构件。在结
构力学上我们通常将承受轴力或扭矩的杆件称为杆，而将承受横向力和弯矩的杆 件称为梁。在有限单元法中这两种情况的单元分别称为杆单元和梁单元。但由于 在实际工程结构中，同一构件上，上述几种受力状态往往同时存在，因此为方便 起见，本书都称之为杆单元。并且，本书所讨论的杆单元均是指等截面直杆单元， 对于变截面杆和弯曲杆件，我们在进行单元划分时可以将其分为若干等截面杆单 元。因此本书的分析方法仍然对其适应。
在所有结构中，杆系结构是最简单的一类结构，也是我们在工程上最常
见的一类结构。如平面桁架、平面刚架、连续梁、空间刚架、空间桁架等都属于 此类结构，以此类结构为基础介绍有限单元法的分析过程。
首先了解一下有限单元法分析问题的基本步骤。
第一步：对结构物进行离散化，划分为有限个单元
3 2
4 5
1
6
1
2
3
4
5
第八步：引入边界条件
杆件系统有限单元法
e
（3）单元应力场的表达 由弹性力学中物理方程有：
σ e ( x ) = E eε e ( x ) = E e B e ( x ) ⋅ δ e = S e ( x ) ⋅ δ e
其中Se为单元的应力函数矩阵：
⎡ E S ( x) = E B ( x) = ⎢ − ⎣ l
e e e
e
E ⎤ ⎥ l ⎦
平面梁单元的节点位移δe和节点力Fe为：
δ =⎡ ⎣ui vi θi u j v j θ j ⎤ ⎦
e e
T
F =⎡ ⎣ FNi FQi M i FNj FQj M j ⎤ ⎦
相应的刚度方程为：
T
K e ⋅δ e = F e
将杆单元刚度矩阵与纯弯梁单元刚度矩阵进行组 合，可得到平面梁单元的刚度矩阵：
可以写出节点位移向量和节点力向量：
δ =⎡ ⎣ui u j ⎤ ⎦
e
e
T
T ⎡ ⎤ F = ⎣ FNi FNj ⎦
（1）单元位移模式的表达 由于每个节点只有一个轴向位移，即一个单元共有 两个自由度，因此可假设该单元的位移模式为具有 两个待定系数的函数模式：
u ( x ) = a 0 + a1 x
e
第三章
杆件结构的有限元分析 (FEA)
在杆件系统中根据单元受力的特点，我们可以 把它们分成两大类：杆和梁。为了以后描述的 方便，我们把两端铰接，只受轴向力的基本结 构称为杆单元，而受轴向力和弯矩、扭矩、剪 力共同作用的基本结构称为梁单元。
3.1 平面杆单元
局部坐标系中的杆单元描述
设有一任意的杆单元如图所示，i 和j 为单元的两 个结点，x 为该单元的局部坐标，其原点设在单 元的i 结点。设两个结点在x 方向的位移为 u i 和 u j ，它们的正方向如图3-1 所示，与它们相应的 结点力 FN δ e
（3）单元应力场的表达 由弹性力学中物理方程有：
σ e ( x ) = E eε e ( x ) = E e B e ( x ) ⋅ δ e = S e ( x ) ⋅ δ e
其中Se为单元的应力函数矩阵：
⎡ E S ( x) = E B ( x) = ⎢ − ⎣ l
e e e
e
E ⎤ ⎥ l ⎦
平面梁单元的节点位移δe和节点力Fe为：
δ =⎡ ⎣ui vi θi u j v j θ j ⎤ ⎦
e e
T
F =⎡ ⎣ FNi FQi M i FNj FQj M j ⎤ ⎦
相应的刚度方程为：
T
K e ⋅δ e = F e
将杆单元刚度矩阵与纯弯梁单元刚度矩阵进行组 合，可得到平面梁单元的刚度矩阵：
可以写出节点位移向量和节点力向量：
δ =⎡ ⎣ui u j ⎤ ⎦
e
e
T
T ⎡ ⎤ F = ⎣ FNi FNj ⎦
（1）单元位移模式的表达 由于每个节点只有一个轴向位移，即一个单元共有 两个自由度，因此可假设该单元的位移模式为具有 两个待定系数的函数模式：
u ( x ) = a 0 + a1 x
e
第三章
杆件结构的有限元分析 (FEA)
在杆件系统中根据单元受力的特点，我们可以 把它们分成两大类：杆和梁。为了以后描述的 方便，我们把两端铰接，只受轴向力的基本结 构称为杆单元，而受轴向力和弯矩、扭矩、剪 力共同作用的基本结构称为梁单元。
3.1 平面杆单元
局部坐标系中的杆单元描述
设有一任意的杆单元如图所示，i 和j 为单元的两 个结点，x 为该单元的局部坐标，其原点设在单 元的i 结点。设两个结点在x 方向的位移为 u i 和 u j ，它们的正方向如图3-1 所示，与它们相应的 结点力 FN δ e
《有限元理论与数值方法》第三讲-杆、梁结构有限元分析
杆件结构可分为桁杆和梁两类。 由杆件组成的结构体系称为杆系。由桁杆组成的杆系称为桁架； 由梁组成的杆系称为刚架。若杆系和作用力均位于同一平面内，则称 为平面桁架或平面刚架，否则称为空间桁架或空间刚架。
Finite Element Theory and Numerical Method
一、杆、梁的物理力学模型
拉压杆单元如图3-6所示，已知等直杆件杆长为 l 横截面面积为 A 材料弹性模量为 E 所受轴向分布载荷集度为 p(x) 杆端位移分别为 u1 u2
杆端力分别记为 F1 F2
1、建立位移场
F1, u1 xa
1
a p(x)
2 F2 , u2
x
设局部坐标系下杆中任意点a的坐标为 xa
因为只有两个边界条件 u1
形函数具有如下性质： 1)本端为1，它端为0 2)单元内任意一点总和为1
N1(0) 1
N1(1) 0
N2 (0) 0 N2 (1) 1
N1() N2 () 1
2、应变分析
du dx
dN dx
ue
dN1 dx
B为应变矩阵或者几何矩阵。
dN2 dx
u
e
1 l
1 l
ue
[B1
B2 ]ue Bue
图示所示桁架 l 2m
EA 1.2106 kN
试求1-2杆和1-4杆单元的局部坐标单元 刚度矩阵
1-2杆：抗拉刚度 EA / l 6106 kN/m
F1 10N 3
1
F2 20N 4
2
ke1
EA l
1 1
1
1
6
105
1 1
1
1
kN
/
m
1-4杆：抗拉刚度 EA /( 2l) 4.24264 105 kN/m
Finite Element Theory and Numerical Method
一、杆、梁的物理力学模型
拉压杆单元如图3-6所示，已知等直杆件杆长为 l 横截面面积为 A 材料弹性模量为 E 所受轴向分布载荷集度为 p(x) 杆端位移分别为 u1 u2
杆端力分别记为 F1 F2
1、建立位移场
F1, u1 xa
1
a p(x)
2 F2 , u2
x
设局部坐标系下杆中任意点a的坐标为 xa
因为只有两个边界条件 u1
形函数具有如下性质： 1)本端为1，它端为0 2)单元内任意一点总和为1
N1(0) 1
N1(1) 0
N2 (0) 0 N2 (1) 1
N1() N2 () 1
2、应变分析
du dx
dN dx
ue
dN1 dx
B为应变矩阵或者几何矩阵。
dN2 dx
u
e
1 l
1 l
ue
[B1
B2 ]ue Bue
图示所示桁架 l 2m
EA 1.2106 kN
试求1-2杆和1-4杆单元的局部坐标单元 刚度矩阵
1-2杆：抗拉刚度 EA / l 6106 kN/m
F1 10N 3
1
F2 20N 4
2
ke1
EA l
1 1
1
1
6
105
1 1
1
1
kN
/
m
1-4杆：抗拉刚度 EA /( 2l) 4.24264 105 kN/m
有限单元法课件第四章 杆件系统的有限元法
桁杆 梁
(a)
(b)
由杆件组成的结构体系称为杆系,如起重机,桥梁等。
由桁杆组成的杆系称为桁架。
由梁组成的杆系成为刚架。
若杆系和作用力均位于同一平面内,则称为平面桁架 或平面刚架,否则称为空间桁架或空间刚架。
由于杆件结构采用一维单元进行离散,所以杆系的网 格划分容易用半自动方法实现。当采用自动网格划 分方法时,杆系的几何模型是由杆件轴线构成的线框 模型。
R
e P
RiP R jP
R
lP
R
R
e F
RiF R jF
Rlx Rly NlT l R l
lF T l
Px dx (l i, j ) Py
e T
Bj dx
kii k ji
kij k jj
其中矩阵元素为
kst D Bt dx B as 0 EA 0 at 0 0 0 bs dx 0 EI 0 bt ct 0 cs 0 0 EAas at dx 0 EIb b EIb c s t s t EIcs bt EIcs ct 0
e
du dx e x 2 B Bi q x d v dx 2
Bj q
e
其中
ai 0 0 Bi 0 b c i i a j 0 0 Bj 0 b c j j 1 12 6 ai a j bi b j 3 x 2 l l l 4 6 2 6 ci 2 x cj 2 x l l l l
(a)
(b)
由杆件组成的结构体系称为杆系,如起重机,桥梁等。
由桁杆组成的杆系称为桁架。
由梁组成的杆系成为刚架。
若杆系和作用力均位于同一平面内,则称为平面桁架 或平面刚架,否则称为空间桁架或空间刚架。
由于杆件结构采用一维单元进行离散,所以杆系的网 格划分容易用半自动方法实现。当采用自动网格划 分方法时,杆系的几何模型是由杆件轴线构成的线框 模型。
R
e P
RiP R jP
R
lP
R
R
e F
RiF R jF
Rlx Rly NlT l R l
lF T l
Px dx (l i, j ) Py
e T
Bj dx
kii k ji
kij k jj
其中矩阵元素为
kst D Bt dx B as 0 EA 0 at 0 0 0 bs dx 0 EI 0 bt ct 0 cs 0 0 EAas at dx 0 EIb b EIb c s t s t EIcs bt EIcs ct 0
e
du dx e x 2 B Bi q x d v dx 2
Bj q
e
其中
ai 0 0 Bi 0 b c i i a j 0 0 Bj 0 b c j j 1 12 6 ai a j bi b j 3 x 2 l l l 4 6 2 6 ci 2 x cj 2 x l l l l
有限元第三章杆系结构单元分析
u N ui ui T N δe
对应的虚应变为：
B δe
根据虚位移原理虚功方程，有：
W外 FdeT δ e
l 0
q(
x)
N
δ
edx
W变
l
0 Adx
l δ eT BT EAB δ edx 0
将上式整理得：
（3-23）
Fde
dx
（3-5）
虚曲率
k d 2 v
dx2
（3-6）
若又设单元任一截面实际的水平和竖向位移为 u (x)、v (x)，
则由材料力学可得与位移对应的截面内力为
FN
EA du dx
（3-7）
M
EI
d 2v dx2
（3-8）
式中EA,EI分别为单元的抗拉（压）、抗弯曲刚度。
有限单元法
在图3-3和上述矩阵说明的情况下，将虚位移原理用于单元， 则单元的虚功方程为
类型单元刚度矩阵相同。
Y
x
y
局部坐标
○
○
X
○○
○
整体坐标
P
大家要熟悉知道单元编号，节点编号，位移编号，以及整体 坐标和局部坐标。
有限单元法
2 1
3
4ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
5
6
图2.1 弯曲杆件系统
1
有限单元法
2
3
4
5
图2.2 截面连续变化杆件系统
结点编号
单元编号
5 (8 9 10) 6
4
3
(2 3 4)
3
1
1 (0 0 0)
设平面杆系结构用结点分成等直杆（单元）集合，其 中某单元e隔离体如图3-3所示，如果建立了单元e的虚位移 原理虚功方程，则整个杆系结构的虚功方程可由对各杆求 和获得。为用矩阵形式写出杆件及杆系结构虚位移原理的 虚功方程，以便于今后推导使用，特引入一下矩阵（向 量）：
对应的虚应变为：
B δe
根据虚位移原理虚功方程，有：
W外 FdeT δ e
l 0
q(
x)
N
δ
edx
W变
l
0 Adx
l δ eT BT EAB δ edx 0
将上式整理得：
（3-23）
Fde
dx
（3-5）
虚曲率
k d 2 v
dx2
（3-6）
若又设单元任一截面实际的水平和竖向位移为 u (x)、v (x)，
则由材料力学可得与位移对应的截面内力为
FN
EA du dx
（3-7）
M
EI
d 2v dx2
（3-8）
式中EA,EI分别为单元的抗拉（压）、抗弯曲刚度。
有限单元法
在图3-3和上述矩阵说明的情况下，将虚位移原理用于单元， 则单元的虚功方程为
类型单元刚度矩阵相同。
Y
x
y
局部坐标
○
○
X
○○
○
整体坐标
P
大家要熟悉知道单元编号，节点编号，位移编号，以及整体 坐标和局部坐标。
有限单元法
2 1
3
4ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
5
6
图2.1 弯曲杆件系统
1
有限单元法
2
3
4
5
图2.2 截面连续变化杆件系统
结点编号
单元编号
5 (8 9 10) 6
4
3
(2 3 4)
3
1
1 (0 0 0)
设平面杆系结构用结点分成等直杆（单元）集合，其 中某单元e隔离体如图3-3所示，如果建立了单元e的虚位移 原理虚功方程，则整个杆系结构的虚功方程可由对各杆求 和获得。为用矩阵形式写出杆件及杆系结构虚位移原理的 虚功方程，以便于今后推导使用，特引入一下矩阵（向 量）：
第三讲 杆系有限元-单元分析部分
两类坐标系统的变换矩阵
平面桁架杆单元
cos T 0
sin 0
0 cos
0 sin
两类坐标系统的变换矩阵
空间桁架杆单元
cos T 0
cos 0
cos 0
0 cos
0 cos
0 cos
两类坐标系统的变换矩阵
空间一般杆单元
杆系有限元分析的基本未知量
三、单元杆端力与单元杆端位移
在单元坐标系统中，在平面一般杆单元中，截面位移包括截面转角 和轴、切向线位移；有意义的截面合力也对应包括截面弯矩、截面 轴力和截面剪力 将单元两端结点位置的截面位移合成一个向量，即为单元杆端位移 向量； 将单元两端结点位置的截面合力合成一个向量，即为单元杆端力向 量； 在不同类型的杆单元中，由于结点的自由度不同，杆端位移和杆端 力向量有着不同的表达
杆系有限元分析的基本未知量
一、结点、结点位移、结点位移向量
一般空间杆系结构中， 结点自由度为6。 包括三个平动自由度和 相关于三个主轴的转动 自由度
杆系有限元分析的基本未知量
一、结点、结点位移、结点位移向量
根据位移法的概念： 体系分析时，结点的自由度确定后，则结 点的力向量、位移向量的分量则可以确定 映射到单元的单元力向量和位移向量分量 的性质和数目也就随之确定。
(e)
杆系有限元分析的基本未知量
三、单元杆端力与单元杆端位移
平面桁架杆单元 单元坐标系统下
杆端力向量
FNi FNj ui u j
结构整体坐标系统下
杆端位移向量
Fxi F yi Fxj Fyj
ui v i u j v j
杆系结构的有限元法分析
杆系结构的有限元法分析有限元法是一种结构分析方法，常用于分析各种不同类型的结构系统，其中包括杆系结构。
杆系结构是由杆件连接而成的桁架结构，常见于桥梁、塔架和支撑结构等。
利用有限元法进行杆系结构的分析，可以得到结构的位移、应力、应变和刚度等信息，帮助工程师评估结构的稳定性和安全性。
下面将介绍杆系结构的有限元法分析的步骤。
首先，进行前期准备工作。
这包括收集与结构相关的几何信息（如杆件长度、截面形状等）、边界条件（如固定支座、外载荷等）和材料性质（如材料的弹性模量、密度等）。
这些信息将是有限元模型建立所需要的输入参数。
接下来，建立有限元模型。
将杆系结构离散化为一个个的杆单元，采用有限元方法对每个杆单元进行离散近似。
常用的杆单元包括横截面线性杆单元、三节点弯曲杆单元和非线性杆单元等。
然后，确定单元刚度矩阵。
对于横截面线性杆单元，其刚度矩阵可以根据材料性质和几何信息计算得到。
对于弯曲杆单元和非线性杆单元，则需要考虑附加的几何和材料非线性效应。
接着，组装全局刚度矩阵。
将所有杆单元的刚度矩阵按照其关联的节点自由度进行组装。
在组装过程中，需要考虑杆单元之间的关联关系，确保刚度矩阵的正确性和完整性。
然后，应用边界条件。
根据实际情况，将已知的边界条件（如固定支座、已知位移等）施加到全局刚度矩阵中。
这将改变全局刚度矩阵的特征值和特征向量，从而影响结构的响应。
接下来，求解结构的位移和应力。
通过求解结构的整体刚度方程以及施加的边界条件，可以得到结构的位移解向量和应力解向量。
位移解向量描述了结构的变形情况，而应力解向量体现了结构的应力分布情况。
最后，进行后处理。
在得到位移和应力解后，可以计算结构的应变分布、变形形态以及额外的设计指标。
通过这些结果，可以对结构的性能进行评估，以便优化设计。
综上所述，杆系结构的有限元法分析包括前期准备、建立有限元模型、确定单元刚度矩阵、组装全局刚度矩阵、应用边界条件、求解结构的位移和应力以及后处理等步骤。
有限元分析杆单元
V
考虑到d 旳任意性，立即得到：
f
V
BT EBdV
d
kd
k BTEBdV ——杆单元刚度矩阵
V
这就是刚度矩阵旳一般形式，可推广到其他类型旳单元。
对于上面旳杆单元： 与前面直接法得到旳公式相同！
（三）有关杆单元旳讨论
1）在单元坐标系下，每个节点一种未知位移分量，单元 共有2个自由度。
2）单元刚度矩阵元素旳物理意义： 单元刚度方程
1 1 1
1
单元2：2-3
135，l 2 ，m 2
2
2
k 2 T2Tk2T2
1 1
0
0
T
1
0 1 01
1
0
0
EA 2 2 1 1 0
0
0
0
0
01 1
0
0
L 2 2 0 0 1 1 1 0 1 0 0 0 1 1
0
0
1
1
0
0
0
0 0
0 1 1
u2 v2 u3 v3
1 1 1 1
——平衡条件
对于杆单元，定义虚位移如下：
节点虚位移：
d
ui u j
单元虚位移： u Nd
则单元虚应变： d (u) Bd
dx
节点力（外力）虚功： dTf
单元虚应变能：
TdV
V
dTBT EBddV
V
dT V
BT EBdV
d
对杆单元应用虚位移原理，得：
dTf dT BTEBdV d
引入边界位移约束和载荷： 则系统平衡方程化为：
2
EA L
2 0
2 3 1
0 1 1
有限单元法 第2章 杆系结构的有限元法分析
义 & 可以进一步求得单元刚度矩阵为 )
( & # 0# ( $’ $ % 8 . ! 1 # $ ’ 0# # 同时 & 我们可以根据式 $ % 求出等 效 结 点 荷 载 矩 阵 ’ 这 里 要 指 出 的 是 ) 分 布 荷 载 ! .$
! # !! !
! # $! !
! 第 ! 章 ! 杆系结构的有限元法分析 # #! ! """""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""
不适定的 " 第九步 # 求解方程组 " 计算结构的整体结点位移列阵 ## 并 进一步 计算各 单元 的应力 分量及主应力 $ 主向 " 第十步 # 求单元内力 # 对计算成果进行整理 $ 分析 # 用表格 $ 图线标示出所需的位移 及应力 " 大型商业软件 % 如 )* + , + 等 & 一般都具有强大的后处理功能 # 能够 由计算 机自 动绘制彩色云图 # 制作图线 $ 表格乃至动画显示 "
矩阵 ’ $ %进行应力 ( 应变分析 ’ 根据材料力学中应变的定义 & 有 ) ! # # $’ 2 + 2 $ ( ( ( ( $’ $’ $’ . 0 ! ! . " 3 3 .% ". . ! ! ! !! "# ’ ’ 2 # 2 #
有限元方法第三章杆系结构有限元
稳定性以及波浪载荷的影响。
应用实例
某大型桥梁的稳定性分析
采用杆系结构有限元对某大型桥梁进行稳定性分析，评估其在不同载 荷下的变形和承载能力。
高层建筑的抗震性能研究
利用杆系结构有限元模拟高层建筑的抗震性能，分析地震作用下结构 的响应和破坏模式。
汽车悬挂系统的优化设计
通过杆系结构有限元模拟汽车悬挂系统的运动和受力情况，优化悬挂 参数以提高车辆行驶的稳定性和舒适性。
有限元方法第三章杆系结 构有限元
• 引言 • 杆系结构有限元的基本概念 • 杆系结构有限元的建模方法 • 杆系结构有限元的求解方法 • 杆系结构有限元的应用案例 • 结论与展望
01
引言
目的和背景
杆系结构是工程中常见的一种结构形式，广泛应用于桥梁、 建筑、机械等领域。由于其具有复杂的几何形状和受力特性 ，因此需要采用有限元方法进行数值分析。
THANKS
感谢观看
04
杆系结构有限元的求解方法
求解步骤
确定边界条件
根据实际情况，确定杆系结构 的边界条件，如固定、自由、 受压等。
求解线性方程组
将所有单元的平衡方程组合成 一个线性方程组，然后使用数 值方法求解该线性方程组。
建立离散模型
首先将杆系结构离散化为若干 个小的单元，每个单元具有一 定的物理属性。
应用力学平衡方程
杆系结构有限元的优缺点
优点
能够处理复杂的几何形状和边界条件， 适用于大规模问题求解，计算精度可 调，可模拟复杂的结构和场。
缺点
需要针对不同的问题建立不同的模型， 计算量大，需要较高的计算机资源， 对于非线性问题求解较为困难。
03
杆系结构有限元的建模方法
建模步骤
确定研究问题
应用实例
某大型桥梁的稳定性分析
采用杆系结构有限元对某大型桥梁进行稳定性分析，评估其在不同载 荷下的变形和承载能力。
高层建筑的抗震性能研究
利用杆系结构有限元模拟高层建筑的抗震性能，分析地震作用下结构 的响应和破坏模式。
汽车悬挂系统的优化设计
通过杆系结构有限元模拟汽车悬挂系统的运动和受力情况，优化悬挂 参数以提高车辆行驶的稳定性和舒适性。
有限元方法第三章杆系结 构有限元
• 引言 • 杆系结构有限元的基本概念 • 杆系结构有限元的建模方法 • 杆系结构有限元的求解方法 • 杆系结构有限元的应用案例 • 结论与展望
01
引言
目的和背景
杆系结构是工程中常见的一种结构形式，广泛应用于桥梁、 建筑、机械等领域。由于其具有复杂的几何形状和受力特性 ，因此需要采用有限元方法进行数值分析。
THANKS
感谢观看
04
杆系结构有限元的求解方法
求解步骤
确定边界条件
根据实际情况，确定杆系结构 的边界条件，如固定、自由、 受压等。
求解线性方程组
将所有单元的平衡方程组合成 一个线性方程组，然后使用数 值方法求解该线性方程组。
建立离散模型
首先将杆系结构离散化为若干 个小的单元，每个单元具有一 定的物理属性。
应用力学平衡方程
杆系结构有限元的优缺点
优点
能够处理复杂的几何形状和边界条件， 适用于大规模问题求解，计算精度可 调，可模拟复杂的结构和场。
缺点
需要针对不同的问题建立不同的模型， 计算量大，需要较高的计算机资源， 对于非线性问题求解较为困难。
03
杆系结构有限元的建模方法
建模步骤
确定研究问题
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2
1 1
[F ](2)
2lA
2
1 1
[F ](3)
lA
2
1 1
➢ 对号入座，组成总刚，形成整体结构平衡方程:
[K]{} {F}
设结点1的约束反力为F1，则有:
➢ 整体结构平衡方程
3
EA 3
l 0
0
3 32 2
0
0 2 2 1 1
0 u1 101uuu423
F1
(
(
3
2 2
2
3 lA
2
2)lA
2
1 )lA
2
1 lA
2
划去节点1所对应的第1行、行1列 。
5 2 0
2 3 1
0 1
u u
2 3
1 u4
5 3 1
l 2
2E
➢ 解得结点位移
3 l 2
5 l 2
3l 2
u2 2 E u3 2 E u4 E
➢单元应变： u j ui
l
➢单元应力 E
[N
]
1[(x l
j
x)
0
0
(xi x)
0
（3）应变矩阵
0] （5-19）
[B] 1[1 0 0 1 0 0] （5-20）
l
（4）应力矩阵
[S] E [1 0 0 1 0 0] l
(5) 等价节点力
{F}e pl 1 0 0 1 0 0T
2
（5-21） （5-22）
(6) 单元坐标单元刚度矩阵 对于等截面铰接杆单元，
➢ 离散化：将单元划分为3个单元，4个结点。
➢ 单元刚度矩阵：
23
[k ]e
EA 1 l 1
1
1
[k ](2)
2AE l
1 1
1 2
1
3
12
[k ](1)
3AE l
1 1
1 1
1
2
34
[k ](3)
AE 1 l 1
1 3
1
4
➢ 等效结点荷载：按静力等效原则，有:
[F ](1)
3lA
[k ]e
EA 1 l 1
1
1
1 0 0 1 0 0
0
00
0
0 0
[k ]e
EA 0 l 1
0 0
0 0
0 1
0 0 0 0
1
1
（5-17）
等效节点力
(x j x)
1
{Fp}e
xj xi
1 l
0 (xi
x)
pdx
pl 0 2 1
0
0
静力等效 （5-16）
3、空间杆单元（3D LINK8）
y
2
1
i
z
3
5
l
6 j 4
x
（1）单元坐标单元位移向量
e 1 2 3 4 5 6 T
（5-18）
（2）形函数
形函数
[N
]
1 l
[(x
j
x)
0 (xi x) 0]
（5-14）
应变矩阵
[B] [Bi
B
j
]
1 l
[1
0
应力矩阵
[S] E [1 0 1 0] l
1 0]
（5-15）
（5-16）
单元刚度矩阵
1 0 1 0
[k ]e
EA
0
0
0
0
l 1 0 1 0
0
0
0
0
[k ]e
EA 1 l 1
y
i· z
·x
j
5.2 杆单元
1、一维杆单元 下图示出了一维铰接杆单元，横截面积为A，长
度为l，弹性模量为E，轴向分布载荷为px。单元有2 个结点i，j，单元坐标为一维坐标轴x。
i·
ui
px
·j uj
x
l
LINK
单元结点位移向量
e
ui u j
单元结点力向量：
{F}e
Fi Fj
（1）位移模式和形函数
第五章 梁、拱、框架、桁架等，它们常可离
散成杆元和梁元。
○
○
○
○○
○
○
○
梁
○
拱
框架
桁架
○
○
○○
○
➢结构离散
取杆件与杆件交点、集中力作用点、杆件与支承 的交点为节点。相邻两节点间的杆件段是单元。节 点编号时力求单元两端点号差最小。
➢坐标系
有限元中的坐标系有整体坐标系和局部坐标系。 对于一个结构，整体坐标系一般只有一个；而局部 坐标系有很多个，一个单元就有一个局部坐标。并 且局部坐标系每一个单元的规定都是相同的，这样， 同类型单元刚度矩阵相同。
单元刚度矩阵仍式（1-33）推出
[k]e BT DBdv
（1-33）
v
对于等截面铰接杆单元（截面积为A ） ，v=Adx，
故有：
[k]e A BT DBdx (5-11)
v
将式（5-8）代入上式，得
[k ]e
EA 1 l 1
1
1
(5) 等效节点力
（5-12）
单元上作用分布力px，则等效节点力计算公式仍
① 位移模式
因为只有2个结点，每个结点位移只有1个自由度， 因此单元的位移模式可设为：
u a1 a2 x
（5-3）
式中a1、a2为待定常数，可由结点位移条件 x=xi 时， u=ui x=xj 时， u=uj
确定。再将由此确定的a1、a2 其代入式（5-3），得
u
(ui
uj
ui l
xi )
1[1 1]{ }e
l [B]{ }e
式中[B]为应变矩阵
[B] [Bi
B
j
]
1 l
[1
1]
（3）应力矩阵
由应力应变关系
E
将式（5-7）代入上式，得
（5-7） （5-8）
E[B]{ }e [S]{ }e
式中[S]为应力矩阵
[S] E [1 1] l
(4) 单元刚度矩阵
（5-9） （5-10）
➢单元轴力 N A
(1) u2 u1 7 l 2
l 8E
(2) u3 u2 l 2
l
E
(3) u4 u3 1 l 2
l 2E
2、平面桁架杆单元（2D LINK1）➢标看下成的局拉部压坐杆
y
2
1
i
l
4
j 3
x
（1）单元坐标单元位移向量
1
e
2
3
4
y
2 1
i
4 j 3 x
uj
ui l
x
a1
a2
（5-4）
② 形函数
将式（5-4）改写为下列形式
u [N ]{ }e
（5-5）
式中形函数[N]为
[N] [Ni
N
j
]
1 l
[(
x
j
x)
(xi x)]
（5-6）
（2）应变矩阵
一维铰接杆单元仅有轴向应变 du dx
将式（5-5）、（5-6）代入上式，得
上式也可写为
为以下形式
{F}e
T
[N ] pxdx
当分布力集度px为常数时，有
{Fpx }e
x xi
j
1 ( l
x(xj ixx))
px
dx
pxl 2
1 1
（5-13）
[N] [Ni
N
j
]
1[(x l
j
x)
(xi x)]
例5-1 一维拉杆
➢ 图示阶梯形直杆，各 段长度均为l，横截 面积分别为3A，2A， A，材料重度为γ， 弹性模量E。求结点 位移和各段杆中内力。
y
Y
xy
x
○
X
○○
○ ○
P
杆系结构单元主要有铰接杆单元和梁单元两种 类型。它们都只有2个节点i、j。
➢ 约定：单元坐标系的原点置于节点i；节点i到j的
杆轴（形心轴）方向为单元坐标系中x轴的正向。 y
轴、z轴都与x轴垂直，并符合右手螺旋法则。 ➢ 对于梁单元， y轴和z轴分别为横截面上的两个惯 性主轴。
1 1
[F ](2)
2lA
2
1 1
[F ](3)
lA
2
1 1
➢ 对号入座，组成总刚，形成整体结构平衡方程:
[K]{} {F}
设结点1的约束反力为F1，则有:
➢ 整体结构平衡方程
3
EA 3
l 0
0
3 32 2
0
0 2 2 1 1
0 u1 101uuu423
F1
(
(
3
2 2
2
3 lA
2
2)lA
2
1 )lA
2
1 lA
2
划去节点1所对应的第1行、行1列 。
5 2 0
2 3 1
0 1
u u
2 3
1 u4
5 3 1
l 2
2E
➢ 解得结点位移
3 l 2
5 l 2
3l 2
u2 2 E u3 2 E u4 E
➢单元应变： u j ui
l
➢单元应力 E
[N
]
1[(x l
j
x)
0
0
(xi x)
0
（3）应变矩阵
0] （5-19）
[B] 1[1 0 0 1 0 0] （5-20）
l
（4）应力矩阵
[S] E [1 0 0 1 0 0] l
(5) 等价节点力
{F}e pl 1 0 0 1 0 0T
2
（5-21） （5-22）
(6) 单元坐标单元刚度矩阵 对于等截面铰接杆单元，
➢ 离散化：将单元划分为3个单元，4个结点。
➢ 单元刚度矩阵：
23
[k ]e
EA 1 l 1
1
1
[k ](2)
2AE l
1 1
1 2
1
3
12
[k ](1)
3AE l
1 1
1 1
1
2
34
[k ](3)
AE 1 l 1
1 3
1
4
➢ 等效结点荷载：按静力等效原则，有:
[F ](1)
3lA
[k ]e
EA 1 l 1
1
1
1 0 0 1 0 0
0
00
0
0 0
[k ]e
EA 0 l 1
0 0
0 0
0 1
0 0 0 0
1
1
（5-17）
等效节点力
(x j x)
1
{Fp}e
xj xi
1 l
0 (xi
x)
pdx
pl 0 2 1
0
0
静力等效 （5-16）
3、空间杆单元（3D LINK8）
y
2
1
i
z
3
5
l
6 j 4
x
（1）单元坐标单元位移向量
e 1 2 3 4 5 6 T
（5-18）
（2）形函数
形函数
[N
]
1 l
[(x
j
x)
0 (xi x) 0]
（5-14）
应变矩阵
[B] [Bi
B
j
]
1 l
[1
0
应力矩阵
[S] E [1 0 1 0] l
1 0]
（5-15）
（5-16）
单元刚度矩阵
1 0 1 0
[k ]e
EA
0
0
0
0
l 1 0 1 0
0
0
0
0
[k ]e
EA 1 l 1
y
i· z
·x
j
5.2 杆单元
1、一维杆单元 下图示出了一维铰接杆单元，横截面积为A，长
度为l，弹性模量为E，轴向分布载荷为px。单元有2 个结点i，j，单元坐标为一维坐标轴x。
i·
ui
px
·j uj
x
l
LINK
单元结点位移向量
e
ui u j
单元结点力向量：
{F}e
Fi Fj
（1）位移模式和形函数
第五章 梁、拱、框架、桁架等，它们常可离
散成杆元和梁元。
○
○
○
○○
○
○
○
梁
○
拱
框架
桁架
○
○
○○
○
➢结构离散
取杆件与杆件交点、集中力作用点、杆件与支承 的交点为节点。相邻两节点间的杆件段是单元。节 点编号时力求单元两端点号差最小。
➢坐标系
有限元中的坐标系有整体坐标系和局部坐标系。 对于一个结构，整体坐标系一般只有一个；而局部 坐标系有很多个，一个单元就有一个局部坐标。并 且局部坐标系每一个单元的规定都是相同的，这样， 同类型单元刚度矩阵相同。
单元刚度矩阵仍式（1-33）推出
[k]e BT DBdv
（1-33）
v
对于等截面铰接杆单元（截面积为A ） ，v=Adx，
故有：
[k]e A BT DBdx (5-11)
v
将式（5-8）代入上式，得
[k ]e
EA 1 l 1
1
1
(5) 等效节点力
（5-12）
单元上作用分布力px，则等效节点力计算公式仍
① 位移模式
因为只有2个结点，每个结点位移只有1个自由度， 因此单元的位移模式可设为：
u a1 a2 x
（5-3）
式中a1、a2为待定常数，可由结点位移条件 x=xi 时， u=ui x=xj 时， u=uj
确定。再将由此确定的a1、a2 其代入式（5-3），得
u
(ui
uj
ui l
xi )
1[1 1]{ }e
l [B]{ }e
式中[B]为应变矩阵
[B] [Bi
B
j
]
1 l
[1
1]
（3）应力矩阵
由应力应变关系
E
将式（5-7）代入上式，得
（5-7） （5-8）
E[B]{ }e [S]{ }e
式中[S]为应力矩阵
[S] E [1 1] l
(4) 单元刚度矩阵
（5-9） （5-10）
➢单元轴力 N A
(1) u2 u1 7 l 2
l 8E
(2) u3 u2 l 2
l
E
(3) u4 u3 1 l 2
l 2E
2、平面桁架杆单元（2D LINK1）➢标看下成的局拉部压坐杆
y
2
1
i
l
4
j 3
x
（1）单元坐标单元位移向量
1
e
2
3
4
y
2 1
i
4 j 3 x
uj
ui l
x
a1
a2
（5-4）
② 形函数
将式（5-4）改写为下列形式
u [N ]{ }e
（5-5）
式中形函数[N]为
[N] [Ni
N
j
]
1 l
[(
x
j
x)
(xi x)]
（5-6）
（2）应变矩阵
一维铰接杆单元仅有轴向应变 du dx
将式（5-5）、（5-6）代入上式，得
上式也可写为
为以下形式
{F}e
T
[N ] pxdx
当分布力集度px为常数时，有
{Fpx }e
x xi
j
1 ( l
x(xj ixx))
px
dx
pxl 2
1 1
（5-13）
[N] [Ni
N
j
]
1[(x l
j
x)
(xi x)]
例5-1 一维拉杆
➢ 图示阶梯形直杆，各 段长度均为l，横截 面积分别为3A，2A， A，材料重度为γ， 弹性模量E。求结点 位移和各段杆中内力。
y
Y
xy
x
○
X
○○
○ ○
P
杆系结构单元主要有铰接杆单元和梁单元两种 类型。它们都只有2个节点i、j。
➢ 约定：单元坐标系的原点置于节点i；节点i到j的
杆轴（形心轴）方向为单元坐标系中x轴的正向。 y
轴、z轴都与x轴垂直，并符合右手螺旋法则。 ➢ 对于梁单元， y轴和z轴分别为横截面上的两个惯 性主轴。