§1-9第九节初等函数的连续性
高数同济§1.9连续函数的运算与初等函数的连续性
证明某类初等函数具有某种性质
明确要证明的性质和所使用的初等函数类型，如证明某类 函数在某区间内单调、可导等。
根据所给性质，选择合适的证明方法，如利用定义法、导 数法、比较法等。
在证明过程中，需要严格遵循数学逻辑和推理规则，确保 每一步的推导都是正确的。同时，也要注意书写规范和清 晰性，以便他人能够理解和验证证明过程。
举例说明各类初等函数连续性特点
多项式函数
多项式函数在其定义域内是连续的，且其导数和 积分也是连续的。
指数函数和对数函数
指数函数和对数函数在其定义域内也是连续的， 其中指数函数的增长速度逐渐加快，而对数函数 的增长速度逐渐减慢。
三角函数
三角函数（如正弦、余弦、正切等）在其定义域 内是连续的，且具有周期性。
幂函数
幂函数在其定义域内也是连续的，但其连续性受 到指数的影响。例如，当指数为正整数时，幂函 数在定义域内是连续的；当指数为分数时，幂函 数在定义域内可能存在间断点。
04 闭区间上连续函数性质探 讨
有界性定理及证明过程
有界性定理
若函数$f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，则$f(x)$在$[a,b]$上有界。
性质
连续函数具有局部保号性、局部有界性、运算性质（和、差 、积、商仍连续）等。
间断点分类与判断
第一类间断点
01
左右极限都存在，包括可去间断点（左右极限相等但
不等于函数值）和跳跃间断点（左右极限不相等）。
第二类间断点
02 左右极限至少有一个不存在，包括无穷间断点和震荡
间断点。
判断方法
03
通过计算函数在某点处的左右极限，并与函数值进行
初等函数的连续性
初等函数的连续性
函数的连续性是微积分中一个重要的概念，它涉及到各种函数的性质、定义以及在特定条件下的行为。
连续函数是指函数在所有定义域内都是连续的，它没有断点，也没有跳跃。
因此，在其定义域内可以连续拓展，不受任何外部干扰。
关于函数连续性的定义有多种，比如，函数在某点的连续性，指的是它在此点以及其周围一定范围内不被任何干扰，即没有断点，并且没有任何跳跃或突变。
此外，当函数在整个定义域内具有连续性时，它没有断点，没有突变，这种行为被称为“全局连续性”。
函数连续性的另一个重要内容是函数的导数的连续性，即某函数的导数在其定义域内也必须是连续的。
如果函数在某个点的导数不连续，则该点又称为拐点。
另一种连续性是二阶连续性，指某函数所有的导数（包括导数、二阶导数等）都在其定义域内保持连续性，以便更好地描述函数的行为与性质。
函数连续性是一个重要的数学概念，在许多场合都可以发挥作用，尤其是在分析与应用中经常使用函数连续性来证明各种定理，求解数学问题等。
因此，函数连续性是学习数学的不可或缺的一部分，了解其性质与行为也能更好地应用它，从而更好地掌握数学精髓。
连续函数四则运算
1 x
1 x
第九节 连续函数的运算与初等函数的连续性
定理4 设函数 y = f [g(x)] 由函数 u = g(x) 与函数
y = f (u) 复合而成， U ( x0 ) D f g . 若函数 u = g(x) 在 x =
x0 连续，且 g(x0) = u0 ， 而函数 y = f (u) 在 u = u0 连续, 则复合函数 y = f [g(x)] 在 x = x0 连续. 证明略.
例如, y sin x 在
上单调增加且连续， 其反函数
y arcsin x 在[-1, 1]上也单调增加且连续.
y
y sin x
π 2
-1
O
1
π 2
x
y arcsin x
第九节 连续函数的运算与初等函数的连续性
又如, y = ex 在(- , + )上单调递增且连续，其反函
第九节 连续函数的运算与初等函数的连续性
一、连续函数的四则运算
定理1 在某点连续的有限个函数经有限次和 、差 、
积 、商(分母不为 0) 运算, 结果仍是一个在该点连续的 函数 . ( 利用极限的四则运算法则证明)
例如, 都在(- , + ) 连续，
在其定义域内连续.
第九节 连续函数的运算与初等函数的连续性
二、反函数与复合函数的连续性
1. 反函数的连续性 定理2 如果函数 y = f (x) 在区间 Ix 上单调增加(或单
调减少)且连续，那么它的反函数 x = f -1(y) 也在对应的
区间 Iy = { y | y = f (x) , x Ix } 上单调增加(或单调减少)
且连续. 证明略.
第九节 连续函数的运算与初等函数的连续性
09 第九节 函数的连续与间断
第九节函数的延续与延续客不雅天下的很多景象跟事物不只是活动变更的，并且其活动变更的进程每每是绵延不时的，比方日月行空、光阴流逝、动物成长、物种变更等，这些绵延不时开展变更的事物在量的方面的反应确实是函数的延续性.本节将要引入的延续函数确实是描写变量延续变更的数学模子.16、17世纪微积分的酝酿跟发生，直截了当起始于对物体的延续活动的研讨.比方伽利略所研讨的自在落体活动等基本上延续变更的量.但直到19世纪往常，数学家们对延续变量的研讨仍停顿在多少何直不雅的层面上，即把能一笔画成的曲线所对应的函数称为延续函数.19世纪中叶，在柯西等数学家树破起严厉的极限实际之后，才对延续函数作出了严厉的数学表述.延续函数不只是微积分的研讨工具，并且微积分中的要紧不雅点、定理、公式法那么等，每每都请求函数存在延续性.本节跟下一节将以极限为根底，引见延续函数的不雅点、延续函数的运算及延续函数的一些性子.散布图示★函数的延续性★例1 ★例2★阁下延续★例3 ★例4★例5★延续函数与延续区间★例6★函数的延续点★例7 ★例8★例9★例10 ★例11 ★例12★例13 ★例14 ★例15★内容小结★讲堂训练★习题1-9 ★前往内容要点一、函数的延续性：函数的增量延续性的三种界说方式二、阁下延续的不雅点定理1函数在处延续的充要前提是函数在处既左延续又右延续.三、延续函数与延续区间四、函数的延续点及其分类：第一类延续点腾跃延续点可去延续点；第二类延续点无量延续点振荡延续点；例题选讲函数的延续性例1(E01)试证函数在处延续.证又由界说2知，函数在处延续.例2(E02)设是界说于[a,b]上的枯燥添加函数,假如存在,试证实函数在点处延续.证设因为枯燥添加，那么事先，事先，由此可见，即因而在延续.例3探讨函数在跟处的延续性.解如下图〔图示见零碎〕，因为，因而然而故在处不延续.在处：因为，因而不存在，在处不延续.阁下延续例4(E03)已经知道函数在点处延续，求的值.解因为点处延续，那么即例5设为使在处延续，与应怎样取值？解因为为使在处延续，只需而要使存在，须即得代入即事先，在延续.延续函数与延续区间例6(E04)证实函数在区间内延续.证事先，即函数对恣意基本上延续的.函数延续点例7(E05)探讨在处的延续性.〔图示见零碎〕解因为右延续但不左延续，故函数在点处不延续.例8探讨函数在处的延续性.〔多少何演示见零碎〕解为函数的腾跃延续点.例9(E06)探讨函数在处的延续性.〔多少何演示见零碎〕解为函数的可去延续点.例10(1)(E07)探讨函数在处的延续性.解为函数的第二类延续点(无量延续点).例10(2)(E08)探讨函数在处的延续性.解在处不界说，且不存在.为第二类延续点.例11取何值时，在处延续.解要使必需故当且仅事先，函数在处延续.注：一个函数的延续点也能够有无量多个.比方，狄利克雷函数在界说域内每一点处都延续，且基本上第二类延续点.例12(E09)设求的延续点，并判不出它们的范例.解的界说域为且在中基本上初等函数，因而的延续点只能够在处.因为因而是的第二类延续点(无量延续点)；因为且在处无界说，因而是的可去延续点；又因而是的延续点.例13求以下函数的延续点，并推断其范例.假设为可去延续点，试弥补或修正界说后使其为延续点.解因为在处无界说，因而是的延续点.又因因而为的第一类弗成去延续点(腾跃延续点).在处有界说，然而，因而为的无量延续点.在处有界说，并且然而故为的可去延续点，假设令那么在处延续.例14(E10)研讨在处的延续性.解当且仅事先，在处延续.因为而因而，当且即时，在处延续，当或时，在处延续.例15探讨的延续性.解右真个极限与的取值范畴有关，时，时，故时，时，时，因而，不好看出，在全部界说域上延续.讲堂训练1.假设在处延续，在处能否延续？又假设在处延续，在处能否延续？2.试断定的值，使(1)有无量延续点(2)有可去延续点。
函数的连续性
第九节 函数的连续性和间断点有了极限的概念，我们就可以来讨论函数的一种重要特性——连续性。
首先，我们应注意到连续性也是客观现实的反映，是从许多自然现象的观察中抽象出来的一种共同特性。
如气温T 随时间t 的变化而连续变化，铁棒长度l 随着温度u 的变化而连续变化等。
它们的共同特性是：一方面在变化，另一方面是在逐渐变化的。
可在很短一段时间内，T 的变化很小；同样当温度u 变化很小时，l 的变化也很小。
这些现象反映在数学上就是自变量有一个微小的变化时，函数的变化也是微小的。
下面我们就专门来讨论这种概念。
一、函数的连续性1. 预备知识改变量：设变量u 从它的一个初值1u 变到终值2u ，终值与初值的差21u u -，就叫u 的改变量，记作21u u u ∆=-。
改变量也叫增量。
注意：①1u ，2u 并不是u 可取值的起点和终点，而是u 变化过程中从1u 变到2u 。
②u ∆可正可负。
③u ∆是一个整体记号，不是某个量∆与变量u 的乘积。
2. 函数()y f x =在0x x =定义1 当自变量x 在点0x 的改变量x ∆为无穷小时，相应函数的改变量()()()()000y f x x f x f x f x ∆=+∆-=- 也是同一过程中的无穷小量，即0lim x y ∆→∆则称()f x 在0x 处连续，见图1-37.定理1 ()f x 在0x 处连续的充要条 件是()()00lim x x f x f x →=。
证明 由定义1，()()()()()000000lim 0lim lim lim 0lim .x x x x x x x x x y f x f x f x f x f x ∆→→→→→∆=⇔⎡⎣⇔-=⇔=由定理1，我们可将定义1改写为以下定义2.定义2 如果0ε∀>，0δ∃>，当0x x δ-<时，有()()0f x f x ε-<，则()f x 在0x 处连续。
连续函数的运算与初等函数的连续性
单调递增.
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又如, 又如
在
上连续 在
y 1
y = ex
y = ln x
单调 递增, 其反函数 上也连续单调递增.
O
1
x
y
1
O
f (0 ) = −1,
−
f (0 ) =1
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+
−1
x
x = 0 为其跳跃间断点 .
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三、连续函数的运算法则
1.在某点连续的有限个函数经有限次和 , 差 , 积 ,商 (分母不为 0) 运算, 结果仍是一个在该点连续的函数 . 例如, 例如 在其定义域内连续 2.连续单调递增函数的反函数也连续单调递增. (递减) (递减)
x→x0
无定义 ; 虽有定义 , 但 虽有定义 , 且 不存在; 存在 , 但
lim f (x) ≠ f (x0)
这样的点 称为间断点 . 间断点
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间断点分类: 第一类间断点: 间断点分类: 第一类间断点
及 若 若 均存在 , 称
x0为可去间断点 . 可去间断点
称 x0 为跳跃间断点 . 跳跃间断点 第二类间断点: 第二类间断点 及 中至少一个不存在 ,
x→x0
一切初等函数 在定义区间内 连续
lim f ( x) = f lim x = f ( x0 )
x→x0
(
)
例2 求 解：原式
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高数上1.9连续函数的运算与性质
定理2.零点定理与介值定理
定义 如果 x0 使 f ( x0 ) 0, 则 x0 称为函数 f ( x)
的零点.
零点定理 设函数 f ( x)在闭区间[a,b]上连续, 且 f (a)与 f (b) 异号(即 f (a) f (b) 0), 那么在开区 间(a,b)内至少有函数 f ( x)的一个零点, 即至少有
复合函数的连续性
定理4 设函数 u ( x) 在点 x0 处连续, 且 ( x0 ) u0 , 而函数 y f (u)在点 u u0 处连续,
复合函数的连续性
定理4 设函数 u ( x) 在点 x0 处连续, 且 ( x0 ) u0 , 而函数 y f (u)在点 u u0 处连续,
定理1(有界性和最大值和最小值定理) 在闭区间 上连续的函数有界且一定有最大值和最小值.
若 f ( x) C[a, b], y
则 1 ,2 [a, b],
y f (x)
使得 x [a, b],
有 f (1 ) f ( x),
f (2 ) f ( x).
oa
2
1 b x
注意:1.若区间是开区间, 定理不一定成立;
一个闭区间套{[an,bn]}, an≤an+1,bn≥bn+1, 区间长度趋于零， 且f(x)在其中任何一个闭区间[an,bn]上都无界。{an}单调上升 有 上 界 ,{bn} 单 调 下 降 有 下 界 ， 又 由 于 an-bn0, 故 存 在 [ab],使
=liman=limbn (n)
因为[ab],而f(x)在点处连续,由函数极限的局部有界性
1
x)x
lnlxim0 (1
1
x)x
ln e 1 .
例 2 求 lim cos( x 1 x) . x
1-9初等函数的连续性与闭区间连续函数的性质-精品文档
yx
y f x
o 图(1)
1
o
图(2)
定 义 ： 如 果 x 使 fx (0 ) 0 ,则 x 称 为 函 数 0 0 f () x 的 零 点 .
定理 7(零点定理) 设函数 f ( x )在闭区间 a , b 上连续，且 f (a ) 与 f (b ) 异号(即 f (a ) f (b ) 0 ), 那末在开区间a , b 内至少有函数 f ( x )的一个零 点,即至少有一点 x0 (a x0 b) ，使 f (x0) 0 .
连续函数的和差积商的连续性.
反函数的连续性. 复合函数的连续性. 两个定理; 两点意义. 初等函数的连续性. 定义区间与定义域的区别;
求极限的又一种方法.
四个定理
有界性定理;最值定理;介值定理;根的存在性定理. 注意 1．闭区间； 2．连续函数．
这两点不满足上述定理不一定成立．
解题思路
1.直接法:先利用最值定理,再利用介值定理;
若 f ( x ) C [ a , b ], 则 1 , 2 [ a , b ], 使得 x [ a , b ], 有 f ( 1 ) f ( x ), f ( 2 ) f ( x ).
y
y f( x )
o a
2
1 b x
注意:1.若区间是开区间, 定理不一定成立; 2.若区间内有间断点, 定理不一定成立.
同理 y arccos x 在 [ 1 , 1 ] 上单调减少且 ;
反三角函数在其定义域内皆连续.
y arctan x , y arc cot x 在 [ , ] 上单调 .
2.复合函数的连续性
定 理 3 若 l i m g () x a ,函 数 fu () 在 点 a 连 续 ,
函数的连续性
y y f x
a o
x b
17
例1.证明方程 x3 3x2 1 在(0,1)内至少有一个根. 证. 设 f (x) x3 3x2 1, f (x) C[0,1],
f (0) 1, f (1) 1, f (0) f (1) 0,
由零点定理知,在(0,1)内至少有一点 ,使得 f ( ) 0.
间断点的分类:
第一类间断点 ( 特点:左、右极限都存在 )
f f
( (
x0 x0
0) 0)
f ( x0 f ( x0
0 ), 0 ),
可去间断点； 跳跃间断点；
第二类间断点 (特点：左、右极限至少有一个不存在）
7
例4. 函数 f (x) 1 在x 0处无定义, 从而间断.
所以 f (x)在 x 0 处连续.
6
二、函数的间断点及其分类
f
(x) 在点x0
处连续.
12))..fli(mx0
) f
; (x)
;
3)
.
x x0
lim
x x0
f (x)
f ( x0 ).
以上三个条件只要有一条不满足,函数f (x) 在点 x0 处不连续. 即 f (x) 在点 x0 处间断, 并称 x0为函数f (x)的间断点.
10
定理1.9.2 (复合函数的连续性)
设函数 u g( x ) 在点 x x0 处连续, 函数 y f (u)在点u u0处连续, 则 函数 y f ( g( x )) 在点 x x0 处连续
g( x0 ) u0
lim f ( g( x )) f ( lim g( x ))
初等函数连续性
第二类间断点 无穷间断点——左右极限至少有一个是无穷
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一、 填空题：
1、函数
y
2x x2
1 1
, 1
的连续区间是
1,1
1,
练 习
2、函数 y
x2 x2
x2 1
x 1 为可去间断点
的间断点为 x 1 x 1为无穷间断点
题
（写出间断点，并指明间断点的类型）
sin 2x
例2
判
断
函
数
f
x
2x 1
1
x
x0 在点 x0
x 0 处的连续性
存
大于0的
在
解： f 0 1
解析式
但
不 相
又
lim
x0
f
x
lim 1
x0
x
1
等
lim f x lim 2x 1 1x0
——
跳 跃
lim f x lim f x
x0
x0
间 断
f x在点x 0处不连续
x1
x1 x 1
个 是
x 1为f x的无穷间断点
无
穷
—
无
穷
间
断
点
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求初等函数的连续区间——求其定义域
习
求分段函数的连续区间则必须判断分界点
题
的连续性。
解
析
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1
一、填空题
、y
x2
2x x2 1
3
, 1
连续区间为
1,1
1,
；
习
间断点是x 1为可去间断点，x 1为无穷间断；点
高等数学初等函数的连续性
一、四则运算的连续性
定理1 若函数 f ( x), g( x)在点 x0处连续,
则 f ( x) g( x),
f ( x) g( x),
f (x) g( x)
( g( x0 ) 0)
在点 x0处也连续.
例如, sin x,cos x在(,)内连续,
故 tan x,cot x,sec x,csc x 在其定义域内连续.
二、反函数与复合函数的连续性
定理2 严格单调的连续函数必有严格单调的连
续反函数.
例如,
y
sin
x在[
,
]上单调增加且连续,
22
故 y arcsinx 在[1,1]上也是单调增加且连续.
同理 y arccosx 在[1,1]上单调减少且连续;
y arctan x, y arccot x 在[, ]上单调且连续.
例. 设
(x) xx, 4,
x 1 x 1
讨论复合函数
的连续性 .
解:
2 (x), (x) 1
x2, x 1
2 (x), (x) 1 2 x , x 1
x 1时 f [(x)] 为初等函数 , 故此时连续; 而
故
2011.10
lim f [(x)] lim x2 1
x1
x1
lim f [(x)] lim (2 x) 3
定理6 一切初等函数在其定义区间内都是连 续的. 初等函数是指由基本初等函数经过有限次加 减乘除以及复合运算得到的函数。
定义区间是指包含在定义域内的区间.
注意 1. 初等函数仅在其定义区间内连续, 在 其定义域内不一定连续;
例如, y cos x 1, D : x 0,2,4,
第九节 连续函数的运算与初等函数的连续性
第九节 连续函数的运算与初等函数的连续性 及 第十节 闭区间上连续函数的性质 ㈠．本课的基本要求了解初等函数的连续性和闭区间上连续函数的性质（介值定理和最大最小值定理），掌握连续函数的运算。
㈡．本课的重点、难点连续函数的运算为重点，闭区间上连续函数的性质为难点㈢．教学内容一．连续函数的运算1.连续函数的和、差、积、商的连续性函数的连续性是通过极限来定义的，因此由极限运算法则和连续的定义可得到下列连续函数的运算法则：定理1（四则运算）设)()(),()(),()()(),(0x g x f x g x f x g x f x x g x f ⋅±处连续，则均在（在商的情形下要求0)(0≠x g ）都在0x 处连续。
说明：连续函数的和、差、积、商（若分母不为0）都是连续函数。
∵x x x x cot tan ),(cos sin 、内连续，均在和∴+∞-∞在其定义域内也是连续的。
2.反函数与复合函数的连续性定理 2 如果函数)(x f y =在区间x I 上单调增加（或单调减少）且连续，那么它的反函数)(1y f x -=也在对应的区间}),(|{x y I x x f y y I ∈==上单调增加（或单调减少）。
（证略） 例 由于x y sin =在闭区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,2ππ上单调增加且连续，所以它的反函数x y arcsin =在闭区间]1,1[-上也是单调增加且连续的。
类似可得：x y arccos =在闭区间]1,1[-上单调减少且连续；x y arctan =在区间),(+∞-∞内单调增加且连续；x arc y cot =在区间),(+∞-∞内单调减少且连续。
总之反三角函数在它们的定义域内都是连续的。
定理3（复合函数极限定理） 设函数)(x u ϕ=当0x x →时极限存在且等于a ，而函数)(u f y =在点a u =连续，那么复合函数)]([x f y ϕ=当0x x →时极限存在，且等于)(a f ，即)()]([lim 0a f x f x x =→ϕ。
1-9连续函数的运算与初等函数的连续性
1-9连续函数的运算与初等函数的连续性<i>高等数学上册第一章函数与极限课件好东西,一起分享</i>一、四则运算的连续性定理1:若函数f ( x ), g( x )在点x0处连续,f ( x) 则f ( x ) g( x ), f ( x ) g( x ), (g ( x 0 ) 0) g( x ) 在点x0处也连续.即连续函数经过四则运算后还是连续的。
例如sin x, cos x在( , )内连续,sin x 故tan x , cot x , sec x , csc x 在其定义域内连续. cos x 即三角函数在其定义域内连续.<i>高等数学上册第一章函数与极限课件好东西,一起分享</i>二、反函数的连续性定理2:单调递增(递减)的连续函数必有单调递增(递减)的连续反函数.例如, y sin x在[ , ]上单调增加且连续, 2 2 故y arcsin x 在[ 1,1]上也是单调增加且连续.同理y arccos x 在[ 1,1]上单调减少且连续;y arctan x, y arc cot x 在( , )上单调且连续.反三角函数在其定义域内连续.<i>高等数学上册第一章函数与极限课件好东西,一起分享</i>可以证明指数函数y a (a 0, a 1)x在( , )内单调且连续. 对数函数y log a x (a 0, a 1)在(0, )内单调且连续;<i>高等数学上册第一章函数与极限课件好东西,一起分享</i>三、复合函数的连续性定理3:如果lim ( x ) u0 , 且函数f ( u)在点u0x x0连续, 则有lim f [ ( x )] lim f ( u) f ( u0 ).x x0 u u0令( x ) u即x x0lim f [ ( x )] f [ lim ( x )].x x0意义：如果f 是连续函数，求极限时可以把极限符号与函数符号交换。
初等函数的连续性
Thm 4（有界定理）
设
f
C[a,
，则
b]
f
在 [a,
b]
上有界，即 M0， x[a, b]，有 f ( x) M ．
Note：对于非闭区间上的连续函数，定理的结论 不一定成立．
例如：
f
(x)
1 x
C(0,
，但
1)
f
( x) 在 (0,
1) 内无界．
Thm
5（最大—最小值定理）设
f
C[a,
e x2 cos x 2
(e x2 1) (1 cos x)
Q lim
x0
x2
lim x0
x2
lim x0
x2 1 2
x2
x2
1 2
因 lim x0
ex2 1 x2
1
,
lim
x0
1
cos x2
x
1 2
，
1
1
lim e x2 cos x 1 x2 e 2 .
x 0
5. 闭区间上连续函数的性质
1
lim cos x sin2 x
x 0
；
1
e2
讨论 (4)
a xh a xh 2a x
lim
h 0
h2
(a 0) ．
ah 1 : h ln a ( h 0 )
几个常(用2)的极lim限a式x 1 lna ; x0 x
例 7 求极限
(1)
lim loga (1 x)
x0
x
loga
e
a
．
2
x x 1 EXE (2) lim
1;
x1 xlnx
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Hale Waihona Puke 小结：若函数在开区间内连续，或函数在闭区间 上有间断点，则它在该区间上未必能取得最大值 和最小值.
定理 6（介值定理） 若函数 f ( x) 在a，b上连续， 则它在a，b内能取得介于其最大值和最小值之间的任何 数.
推论（零点存在定理） 若函数 f ( x) 在a，b上连续， 且 f (a ) f (b) 0 ， 则 至 少 存 在 一 个 (a，b) ， 使 得
lim f ( x) f lim ( x) f (u0 ) . x x0 x x0 ln(1 x) 例 计算 lim . x0 x 1 1 ln(1 x) 解 lim = lim ln(1 x) x ln lim(1 x) x ln e 1. x0 x0 x0 x
f ( ) 0 .
推论的几何意义是：若连续函数 f ( x ) 在a，b 的端点 处的函数值异号，则函数 f ( x ) 的图像与 x 轴至少有一个交 点（如图3.3.2所示）.
y
B b, f b
a
Ｏ
1
2
b x
A a, f a
图3.3.2
1) 内至少有一个实 例 证明方程 x3 4 x 2 1 0 在(0，
数根.
证明 设 f ( x) x 3 4 x 2 1 ，因为 f ( x) 在(， ) 内
1上连续， f (1) 2 0 ， 连续， 所以， 它在0， 且 f ( x) 1 0 ，
1) ，使得 f ( ) 0 ，即方程 由推论知，至少存在一点 (0， x3 4 x 2 1 0 在区间(0， 1) 内至少有一个实数根.
4、闭区间上连续函数的性质
定理 5（最大值和最小值定理） 若函数 f ( x) 在闭区 间a，b上连续， 则 f ( x) 在闭区间a，b上必有最大值和最 小值.
y
M
y f ( x)
y f ( x)
m
o
a
2
1 b
x
π 2 π 上连续，它在1＝ 例如函数 y sin x 在闭区间0， 2 3π π 处的函数值为sin ＝1， 是最大值， 而它在 2＝ 处的函数 2 2 3π 值为sin ＝ 1，是最小值. 2
第2.5节
1. 初等函数的连续性
初等函数的连续性
定理 1（连续的四则运算法则） 若函数 f ( x) 和g ( x) 在点 x0 处连续，则它们的和 f ( x) +g ( x) 、差 f ( x) -g ( x) 、
f ( x) 积 f ( x) g ( x) 以及商 （当 g ( x0 ) 0 时）在点x0 处都连 g ( x) 续. 定理 2（复合函数的连续性） 设函数u ( x) 在点x0
3. 复合函数求极限的方法
定理 4
x0 的某个去心邻 设复合函数 y f ( x )在点
域内有定义，若函数 u ( x ) 当 x x0 时的极限存在且
x x0
lim ( x) u0 ，而函数 y f (u ) 在点u0 处连续，则复合函数
y f ( x )当 x x0 时的极限存在，且
2x 1 3 例 计算lim . x 4 x 2 2x 1 3 lim 解 x 4 x 2
( 2 x 1 3)( 2 x 1 3)( x 2) = lim x 4 ( x 2)( x 2)( 2 x 1 3)
(2 x 1 9)( x 2) 2( x 4)( x 2) 4 . = lim =lim x4 ( x 4)( 2 x 1 3) x4 ( x 4)( 2 x 1 3) 3
结论： (1) 求初等函数的连续区间就是求其定义区间； (2) 关于分段函数的连续性，除按上述结论考虑每一 段函数的连续性外，还必须讨论分段点处的连续 性.
2. 利用函数的连续性求极限
x0 处连续，则 lim f ( x) f ( x0 ) ，即求连 如果函数 f ( x) 在点
x x0
x0 处的函数值. 续函数 f ( x) 在点x0 处的极限可归结为计算点
处连续，且u0 ( x0 ) ，而函数 y f (u ) 在点u0 处连续. 如 果在点 x0 的某个邻域内复合函数 f ( x )有定义， 则复合函 数 f ( x )在点 x0 处连续.
由基本初等函数的连续性、连续的四则运算法则以
及 复合函数的连续性可知： 定理3 初等函数在其定义域区间内是连续的.