耦合电感的伏安关系

• + jM1nIn
• U2 =
jM21I•1
+ jL2I•2
+ •••
+ jM2n•In
11/11
••• •••
••• ••• •••
•••
•••
U• n = jMn1I•1 + jMn2•I2 + ••• + jLnI•n
U• 1
jL1 jM12 ••• jM1n
• U2
=
jM21 jL2 ••• jM2n
电路分析基础——课程内容介绍
第三部分 正弦稳态分析
• 11、阻抗与导纳 • 12、正弦稳态功率与能量 三相电路 • 13、电路的频率响应 • 14、耦合电感与理想变压器 • 15、双口网络
电路分析基础——第三部分：第14章 目录
第14章 耦合电感和理想变压器
1 耦合电感的伏安关系 5 理想变压器的伏安关系
线圈 1： 1= f1(i1, i2) = L1 i1(t) + M12 i2(t) = 11 + 12 线圈 2： 2= f2(i1, i2) = M21 i1(t) + L2 i2(t) = 21 + 22
则：
k2 =
21 11
12 22
=
M21 L1
M12 L2
=
M2 L1L2
k= M L1L2
d1 dt
=
L1
di1 dt
+M
di2 dt
两个方程： u2(t) =
d2 dt
=
M
di1 dt
+ L2
di2 dt
互感电压 自感电压
四个变量：u1、 u2、i1、i2。
三个参数：L1、L2、M。
互感电压的极性：当互感电压在四个电流、电压关联参考方向
一致的前提下，其耦合作用是增强原有线圈的自感电压，
电路分析基础——第三部分：14-1
多组线圈耦合的描述：
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（1）三组线圈耦合：
• U1 = • U2 =
• U3 =
• jL1I1 +
• jM21I1
• jM31I1
• jM12I2•
• + jM13I3
•
+ jL2I2 + jM23I3
•
•
+ jM32I2 + jL3I3
• U1
jL1 jM12 jM13
互感磁链
磁链满足 叠加性
自感磁链
电路分析基础——第三部分：14-1
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线圈 1：u1(t) =
d1 dt
=
L1
di1 dt
+
M12
di2 dt
线圈 2：u2(t) =
d2 dt
= M21
di1 dt
+ L2
di2 dt
+ i1 u1 –
互感
自感 图14-1
2 i2 +
u2
– 1
耦合线圈及其各电压、电流
和磁通的参考方向
互感定义： M12 和 M21 称为互感，是衡量两个线圈之间耦合程 度的物理量，单位与自感一样，也是亨利，简称亨，英文 H。
互感性质：对称性：即 M12 = M21 = M。独立性：是与时间、电 流无关的常量。
电路分析基础——第三部分：14-1
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耦合电感的描述：
u1(t) =
d1 dt
=
L1
di1 dt
线圈 2： 2= L2 i2(t),
u2(t) =
d2 dt
= L2
di2 dt
耦合线圈： 彼此电压和电流关系不但自身相关，还彼此有关。
线圈 1： 1= f1(i1, i2) = L1 i1(t) + M12 i2(t) 线圈 2： 2= f2(i1, i2) = M21 i1(t) + L2 i2(t)
同名端相反：两个互感电压极性相反。
用同名端可以唯一地确定耦合电感的伏安关系！
同名端的确定：工程上的互感线圈都已经绕制密封，无法用右 手螺旋法则确定同名端，只能通过实验的方法测定。 测定方法：万用表测量法。（例14-1） （1）在一组线圈上加开关正脉冲，用万用表可测出上正下负的
正电压； （2）再测量另一组线圈上的电压，如果也是上正下负，则同名
•I1
L1 M12 •••M1n
• I2
= j
M21
L2 ••• M2n
• I1 • I2
•••
•••
•••
•••
U• n
jMn1 jMn2 ••• jLn
• In
Mn1 Mn2 ••• Ln •In
•••
端与前一组线圈一致，否则相反。
电路分析基础——第三部分：14-1
M
+
●
+
●
●
u2
U1 –
–
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+ U1 –
(a) 互感元件的同名端一致 M
–
●
●
u2
●
+
(b) 互感元件的同名端相反
用示波器测量：规定两线圈电压参考极性。施加正弦波。比 较两个波形的相位是否一致来判定同名端。
电路分析基础——第三部分：14-1
P=
1 2
(M12 – M21)
若M12 < M21 ，则 P < 0
P < 0 意味着耦合电感象电源那样往外输出功率，但我们已知耦 合电感是无源元件，这种情况是不可能发生的，因此，只能是
M21 = M12，P = 0，耦合电感与电感一样是不耗能无源元件。
电路分析基础——第三部分：14-1
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• U2
= jM21
jL2
jM23
• U3
jM31 jM32 jL3
• I1 • I2 • I3
L1 M12 M13 = j M21 L2 M23
M31 M32 L3
• I1 • I2
• I3
电路分析基础——第三部分：14-1
（2） n 组线圈耦合：
• U1 =
•
•
jL1I1 + jM12I2
+ •••
• I2
M
i1
•
i2
I1
• I2
i1 +
+ i2
+
+
+
+
●
●
u1 L1 –
L2 u2 –
u1 L1
M
di2 dt
–
+ –
+ –
L2
u2
M
di1 dt
–
• U1
L1
L2
• ++
• U2 •
jMI2
jMI1
–
––
–
同名端一致的互感元件得等效模型
电路分析基础——第三部分：14-1
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M
i1
•
i2
I1
d2 dt
=–M
di1 dt
+ L2
di2 dt
相反
–
+ i2 L2 u2 ●–
(a) VAR方程
(b) 互感元件符号
电路分析基础——第三部分：14-1
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同名端：相当于在各自线圈上产生的互感电压的参考极性为 “+”（或统一为“–”）的位置，用“•”或“”标注。
同名端一致：两个互感电压极性一致。
耦合电感VAR的相量：
由
u1(t) =
L1
di1 dt
±
M
di2 dt
u2(t) = ±
di1 dt
+ L2
di2 dt
• U1 • U2
M jL1
± jM
= ± jM jL2
• I1 • I2
得
• U1
=
• jL1I1
±
• U2
=
±
• jMI1
• jMI2
• + jL2I2
•
L1 ±M I1
= j ±M L2
14-1 耦合电感uctor）：彼此存在偶合关系的多个线圈 的电路模型。与独立电感类似，耦合电感也是动态电路元件， 电压和电流之间也要用微分或积分关系来表达。
独立线圈： 彼此电压和电流关系有自身决定，彼此无关。
线圈 1： 1= L1 i1(t),
u1(t) =
即与自感电压的参考极性一致则为正，反之为负。
即：当耦合磁通与两个线圈的自磁通方向一致时互感电压为正；
若耦合磁通与两线圈的自磁通方向相反时互感电压为负。
磁通方向判定准则：右手螺旋法则。
电路分析基础——第三部分：14-1
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同名端一致 互感、自感关联参考方向一致：
M
u1(t) =
d1 dt
=
L1
di1 dt
+M
di2 dt
u2(t) =
d2 dt
=
M
di1 dt
+ L2
di2 dt
同 i1 + ●
名
u1 L1
端
–
● + i2 L2 u2
–
(a) VAR方程
(b) 互感元件符号
互感、自感关联参考方向相反：
M
u1(t) =
d1 dt
=
L1
di1 dt
–M
di2 dt
i1 + 同名端 u1
●
L1
u2(t) =
2 耦合电感线圈间的 串联和并联
3 空芯变压器电路的 分析
4 耦合电感的去耦 等效电路
6 理想变压器的阻抗变换 性质
7 理想变压器的实现
8 铁芯变压器的模型
电路分析基础——第三部分：第14章主要内容
本章主要内容：
两种电路元件：耦合电感和理想变压器，及其定义、性能。
耦合电感：电感之间在物理空间上，特别是相互磁场之间 存在耦合关系的电感。
理想变压器：两个电感的磁场之间实现100%的完全偶合的 两个电感对，形成四端元件，称为理想变压器。
铁芯变压器: 作为理性变压器的具体物理实现，其性能上 除了这种完全偶合关系，还存在一些损耗等因素。它与理想变 压器的关系就好比实际电感器与电感元件之间的关系。
电路分析基础——第三部分：14-1
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p(t) = u1i1 + u2i2 = L1 cos t sin t – M12 sin2t + M21 cos2t – L2 sin t cos t
P=
1 2
(M21 – M12)
若M21 < M12 ，则 P < 0
同理，在 i1(t) = cos t， i2(t) = sin t 激励下，有
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例14-2 互感一致性测量，即验证M12 ≠ M21不成立。已知i1(t) =
sin t， i2(t) = cos t，求耦合电感吸收的功率。
解由
u1(t) =
d1 dt
=
L1
di1 dt
+
M12
di2 dt
u2(t) =
d2 dt
= M21
di1 dt
+ L2
di2 dt
得 u1(t) = L1 cos t – M12 sin t u2(t) = M21 cos t –L2 sin t
• I2
i1 +
+ i2
+
+
+
+
●
u1 L1 –
L2 u2
●
–
u1 L1
M
di2 dt
–
– +
–
L2
u2
M
di1 dt
+
–
• U1
L1
L2
• ––
• U2 •
jM –
I2
++
jMI1 –
同名端相反的互感元件得等效模型
耦合系数：描述偶合电感线圈间耦合程度的参数，用 k 表示， 英文名称：Coefficient of Coupling