2 赋范线性空间与凸集
应用数学基础第三章-赋范线性空间和有界线性算子详解
则 d 为 X 上的度量，但这种度量不满足
d(x,y) d(x, y)
1.2 收敛函数与连续映射
定义2：设 X 为赋范线性空间，{xn}n1 X
如果存在
x0 X ，使得
lim
n
xn
x0
0，
则称 {xn} 依范数收敛于 x0，记为
lim
n
xn
x0
这时也称 x0 为序列{xn}n1 的极限。
10 如果 ||•||1 和 ||•||2 等价，则{xn} 为 (X, ||•||1) 中的 Cauchy 序列 {xn} 为 (X, ||•||2) 中的 Cauchy 序列；
20 如果 ||•||1 与 ||•||2 等价，则 {xn} 依范数 ||•||1 收敛于x {xn} 依范数 ||•||2 收敛于 x；
由连续映射的定义易知：
(1) f 在点 x0 X 处连续 对 {xn} X ，如
果 xn x0 ，则 f (xn ) f (x0 ) ； (2) 范数 ||•||：X R 是连续映射；
(3) X 上线性运算（加法与数乘）也是连续映射；
(4) 内积空间中内积运算是连续映射。
1.3 Cauchy 序列与 Banach 空间
第三章
§1 赋范线性空间
1.1 定义及示例
定义1：设 X 是数域 K 上的线性空间，
如果存在映射 ||•||：X→R，并满足：
(1) 非负性：对 xX, ||x||0, 并且
||x||=0 x=0
(2) 齐次性：对 xX，K，||x||=||||x|| (3) 三角不等式：对 x,yX，||x+y|| ||x||+||y||
定义4
第二章 赋范线性空间2
1)
M
0 f
为
X
的一个闭子空间;
2) 取 x0 ∈ X 使 f (x0 ) ≠ 0 , 则
X
=
M
0 f
+ {λ x0
|λ ∈ R};
3)
若
f (x0 ) = α
,
则
M
α f
=
x0
+
M
0 f
.
M
α f
i =1
||2 ,
所以
||
f
||≥
⎛ ⎜⎝
n
| αi
i =1
|2
⎞1/ ⎟⎠
2
.
∑ 这样就有 ||
f
||=
⎛ ⎜⎝
n
| αi
i =1
|2
⎞1/ ⎟⎠
2
.
f → (α1,α2 ,
,αn) .
n
∑ 反过来, 任取一个 (α1,α2 , ,αn ) ∈ R n ,对于 x = αiei ∈ Rn ,定义 i =1
例3 设用 l∞ 作为离散信号空间，取 h = (hi ) ∈ l1 为一个滤波器的单位脉冲响应，
∞
∑ y = Hx ， yn = hi xn−i i = −∞
H : l∞ → l∞ 为一个有界（稳定）线性算子。事实上，
∞
∞
∞
∑ ∑ ∑ ||
y
||∞
=
max n
|
i = −∞
hi xn−i
|≤
|
i = −∞
||xn+1-xn|| ≤ α n||x1-x0|| 。
如何理解线性赋范空间、希尔伯特空间, 巴拿赫空间,拓扑空间
（1） 对 称 性 ；
（2） 对 第 一 变 元 的 线 性 性 ；
（3） 正 定 性 ；
则称(x, y) 为内积 所以内积又是比范数更加具体的东西，因为范数只是到0的距离的时候多了线性性。但是 内积是线性性的充分条件【A>B，B不能>A就称为A是B的充分条件；类似的，B>A,A不 能>B，则称A是B的必要条件】 举个栗子： 我们可以把内积定义为：(x, y) = ∑Ni=1xiyi 也可以定义为：(f, g) = ∫∞0 f(x)g(y)dx 所以：内积可导出范数 | | x | | 2 = (x, x); 在线性空间上定义内积；其空间称为内积空间； 内积可在空间中建立 欧几里得空间学，例如交角，垂直和投影等，故习惯上称其为欧几 里得空间。 所以，我们平日中生活的空间就是欧几里得空间 接下来，我们看几个听起来似乎很牛逼哄哄的东西
赋予范数或者距离的集合分别称为：赋范空间和度量空间 若在其上再加上线性结构称为：线性赋范空间和线性度量空间
那么，我们日常生活的空间可以称为赋范空间或者度量空间么？ 答案是否定的因为这样的空间缺少角度的概念，从前面的定义中我们无法退出角度。所 以，我们才有了接下来的内容。
内积空间
赋范空间有向量的模长，即范数。但是还缺乏一个很重要的概念——两个向量的夹角，为 了克服这一缺陷，我们引入：内积 定义：
赋线空范性间空度，间量拓，空扑度间空量，间空希如间尔何，伯不线特被性空他赋间们范，吓空到巴间？拿，赫 函数空间
一、问题的提出
在微积分中可以定义极限和连续，依赖于距离 那么，什么是距离呢？ 通俗的看法，大家都认为距离就是所谓的直线
但是，在这张图中，我们如何衡量两点之间的距离？ 因为地球仪上不能画直线，所以这里的距离显然就不是直线了。我们只能沿着地球仪取曲 线作为距离 再来看一张图
赋范线性空间点态凸性模的比较
［］ ４ 定光桂，巴拿赫空间引论 ，科 学出版社 ，１９ ：Ｏ ～ １ １ ９９ｌ２ ２．
［］ ｉ ｏ ｅ ． ａ ｇ Ｄ ｎ — ａ ． ｉ Ｓｕ ｘ ｎ ｗ ｎ ． ５Ｘ ａｗ ｎＴ ｎ ，ｏ ｇ ｈ １Ｊ ， ｈ — ｉ． ａ ｇ Ｐ ｉｔ ｓ Ｎ ｎ ｑａ ｅ ｏ ｎｗｉｅ ｏ ｓ ｕ ｒ
等的。
）
主要 结果 ： 霉
定理 已知ｄｂ ＞ ，（， ｌ表示单位球面为椭球面Ｘ－ ＋ｃ‘ ： ， ｃ ０ ＰＩ Ｉ ， 卜） －＋ｂ １ ｉ ａ 的实三维赋范线性空间， ＝ ， ） ｓＰ ， （， 毒 ∈ （） 则当￡ ０ ， ＝ √ 时Ｄ ￡ ２ ）
＝
‰ ｚ
ｆ
巫平
ｌ。 ｝
定义２ （， ｊ Ｐ ） 是实赋范空间， 是包含原点的有界闭凸集， 是 ＥｃＰ
ｆ ｘ＝ － ， （，２ ∈ （） （） ｔ ￡ ｒ ｒ， ｓＰ ＝ ｌ１ ） ，
＝
Ｂ 边 曲 ， ｏ ￡ （） 定 （ Ｆ＝ ｐ ｘ；，∈ ， 界 面 Ｖ ∈ ０ ， 义Ｄ ，， ￣ ｛ －２Ｘ ２ 的 ｘ ， ， １ ） ｕ ｌ ［１ １Ｘ 存 ／ Ｖ 使 （）ｌｌ ≥ ￡ ｜ ｘ￡ 曲 点 在 ｅ 厂 － ｏ ￡ （）Ｉ ） Ｄ ，， 为 面 上 关 ＞ 一 ｘ Ｊ 称 （ ｏ）
Ｖ Ａ
【技新 坛 科刨论 】
赋范缋ｌ ｌ 生空 闻 点 雌 幞 日 七 ＿凸 太 Ｉ 鹭 ｇ＝ 较 Ｉ
姚 君 母丽华 蔡吉花 苑延华
哈尔滨 １０２ ） ５ ０ ７
（ 黑龙江科技学院 数 力系 黑龙江
摘 度。
要 ： 通过对 实二维 和实三维赋 范线性 空间上单位球 面为椭 圆和椭球面上 的点态 凸性模作 比较 ，可 以看 出其值 是相 同的 ，进 一步加 强对空间 自身的认识程
泛函分析期末复习提要.doc
泛函分析期末复习提要一、距离空间与拓扑空间（一）教学内容1.距离空间的基本概念：定义与例子、收敛性、距离空间的连续映射与等距。
2.距离空间中的点集：开集与闭集、稠密子集，可分距离空间。
3.完备距离空间：Cauc/巧列，完备性、闭球套定理、纲，纲定理、距离空间完备化。
4.压缩映射原理：不动点，压缩映射原理、压缩原理的一些应用。
5.拓扑空间的基本概：拓扑空间的定义、拓扑基、拓扑空间中的连续映射, 同胚、分离公理。
6.紧性和距离空间的紧性：紧性的概念、紧空间的连续映射。
7.距离空间的紧性：列紧集，全有界集、Arzela定理。
重点掌握距离空间的基本概念、距离空间中的点集、完备距离空间、压缩映射原理、拓扑空间的基本概念、紧性和距离空间的紧性。
难点完备距离空间、压缩映射原理。
（-）教学基本要求1・理解距离空间、距离空间中的点集等基木概念。
2•了解完备距离空间的概念，掌握压缩映射原理的证明。
3.理解拓扑空间的基木概念及其运算性质。
二、赋范线性空间（一）教学内容1.赋范空间的基本概念：赋范空间的定义、赋范空间的基本性、凸集、赋范空间的例。
2.空间L p（p>\）：Holder不等式与Minkowski不等式、空间r（E）（p>i）.空间r（E）o3•赋范空间进一步的性质：赋范空间的子空间、赋范空间的完备化、赋范空间的商空间、赋范空间的乘积、赋范线性空间的基本概念、等价范数。
4.有穷维赋范空间。
重点赋范空间的定义、赋范空间的基本性、凸集、赋范空间的例、Holder 不等式与Minkowski不等式、空间（£）（/?> 1） >空间匕（E）、赋范空间的子空间、赋范空间的完备化、赋范空间的商空间、赋范空间的乘积、赋范线性空间的基本概念、等价范数。
难点Holder不等式与Minkowski不等式、赋范空间的完备化、空间r（E）（p>i）.空间r（E）o(-)教学基本要求1•理解赋范空间的定义、赋范空间的基本性、凸集、赋范空间的子空间、赋范线性空间的基本概念、等价范数。
D2 赋范线性空间
f (Bδ (x0)) ⊂ Bε ( f (x0)) .
例2.9 设(X, d )为度量空间 , 固定 y0 ∈ X , 则d(� , y0): X→ 是连续泛函 .
2.1. 3 度量空间的映射
定理2.5 设(X, d ), (Y, ρ)是度量空间 , f : X →Y, 则 下列命题等价 : (1) f 连续; (2) 开集的原像是开集 ; (3) 闭集的原像是闭集 ; (4) ∀{xn}⊂ X, 若d(xn, x)→0, 则 ρ( f (xn), f (x))→0, 即若 lim xn = x , 则 lim f ( xn ) = f ( x) . n →∞
2.1.2 度量空间的收敛性和点集
定义2.5 设 ( X, d )为度量空间, A ⊂ X . 设 x ∈ A, 若∃ ε > 0, s.t. Bε (x) ⊂ A, 则称 x 是 A 的内点. ． 若 A 的每个点都是内点, 则称 A 是开集 开集． ． 闭集． (2) 若 AC为开集, 则称 A 为闭集 定理2.2 度量空间 X 中开集和闭集具有如下性质 : (1) 任意个开集之并是开集; (2) 有限个开集之交是开集; (3) 任意个闭集之交是闭集; (4) 有限个闭集之并是闭集．
2.1. 3 度量空间的映射
定义2.10 设( X, d )为度量空间 , T : X →X, 若存在
α ∈[0, 1), 使得 ∀ x, y ∈ X , d(Tx, Ty) ≤ α d(x, y), 则
压缩映射 . 称 T 是 X 上的一个 上的一个压缩映射 压缩映射是连续映射 . 定义2.11 设( X, d )为度量空间 , T : X →X , 如果有
lim xn = x, 或 xn → x (n→ ∞ ), 或 xn → x .
第二章-赋范线性空间
上的一一对应的有界线性算子，则逆算子T 1必存在，
且T 1 也是有界线性算子。
*（6）有限维赋范线性空间中一切线性算子均有界（故 连续）。
3）线性泛函举例
① 设 E 是赋范线性空间，则 E 的范数 x 定义了一个 泛函
f : x E x R1， 则 f 连续有界、但不是线性的泛函。其范数
（1）线性算子 T 若在一点 x0 D(T)连续在 D(T )上处
处连续
（2）线性算子 T 有界 T 连续
Tx
（3）线性算子 T 有界 T
sup
x0
x
存在 ( ) 。
*（4）共鸣定理： 设 E 为 Banach 空间，E1 为赋范线
性空间，Tn (E E1) ，则x E, Tnx 有界 Tn 有界 。
第2章 赋范线性空间
§2.1 定义和举例 §2.2 按范数收敛 §2.3 有限维赋范线性空间 §2.4 线性算子与线性泛函 §2.5 赋范线性空间中的各种收敛
在第 1 章，我们通过距离的概念引入了点列的极 限。点列的极限是微积分中数列极限在抽象空间中的推 广，然而它是只有距离结构、没有代数结构（代数运算） 的空间，在应用时受到许多限制。本章和下章介绍的赋 范线性空间及内积空间就是距离结构和代数结构相结 合的产物，它比距离空间有明显的优势。
若又由
xn
0
2
xn
0 ，即
1
x
2比
x 1更强，
则称范数 x 1与 x 2等价。
注：范数等价具有传递性
例如：可以证明 Rn 中三种范数
x、 1
x、 2
x 相互等价
凸集分离定理
凸集分离定理⽬录1. 凸集分离定理：欧式空间情形凸集的⽐较好的性质之⼀就是所谓的凸集分离定理，它告诉我们，可以选取⼀个超平⾯来分离两个不相交的凸集合！我们以后也会看到这个定理在凸优化问题中的应⽤，例如Slater条件。
凸集分离定理（欧⽒空间情形)：设集合S1,S2是R n(n≥1)中的两个不相交的⾮空凸集，则存在⼀个超平⾯分离S1,S2,既存在v∈R n,v≠0以及b∈R 使得：v⋅x+b≥0,对任意x∈S1,且：v⋅x+b≤0,对任意x∈S2.证明:由S1,S2为不相交凸集容易验证集合：S1−S2≜{x−y∣x∈S1,y∈S2} 为不包含 0 的凸集，于是我们只需要证明，存在v∈R n,v≠0 使得对任意的x∈S1−S2, 有：v⋅x≥0, 因为这时对任意的x∈S1, y∈S2, 则x−y∈S1−S2,v⋅(x−y)=v⋅x−v⋅y≥0, 于是我们令b≜−sup y∈S2{v⋅y}, 此时v, b正好满⾜上述不等式(1),(2)。
因此不妨先证明⼀下以下的引理:引理1：设S是R n的⼀个闭凸⼦集, 0为不属于集合S内部的点，则存在v∈R n, v≠0, s.t. v⋅y≥0, 对任意y∈S.注意到，如果以上引理1成⽴，则这时候S≜¯S1−S2是闭凸集，并且由于0∉S1−S2, 由凸集的性质容易知道 0不属于S的内部,于是由以上引理1可以找到相应的v∈R n使原命题成⽴，于是我们只需要证明以上引理.引理1的证明：⾸先我们证明 0∉S的情形。
这时由于S是闭集，存在x∗∈S使得：(1)‖. 我们断定这时候x^{\ast}\cdot y\geq 0, 对任意y\in S.否则存在y_{0}\in S, 使得x^{\ast}\cdot y_{0}<0, 这时候我们令：$$t=\frac{y_{0}\cdot(y_{0}-x^{\ast})} {\Vert y_{0}-x{\ast}\Vert{2}}$$, 由y_{0}\cdot x^{\ast}<0容易知t\in (0,1).我们令：z\triangleq tx^{\ast}+(1-t)y_{0},则z\in S并且：z\perp (x^{\ast}-z),于是：\Vert z\Vert^{2}=\Vert x^{\ast}\Vert^{2}-\Vert x^{\ast}-z\Vert^{2}<\Vert x^{\ast}\Vert^{2},这与(1)相⽭盾，于是情形0\notin S得证。
泛函分析第2章_度量空间与赋范线性空间[1]
![泛函分析第2章_度量空间与赋范线性空间[1]](https://img.taocdn.com/s3/m/2a560a02cfc789eb172dc87a.png)
第2章 度量空间与赋范线性空间度量空间在泛函分析中是最基本的概念。
事实上，它是n 维欧几里得空间n R 的推广，它为统一处理分析学各分支的重要问题提供了一个共同的基础。
它研究的范围非常广泛，包括了在工程技术、物理学、数学中遇到的许多很有用的函数空间。
因而，度量空间理论已成为从事科学研究所不可缺少的知识。
2.1 度量空间的基本概念 2.1.1 距离（度量）空间的概念在微积分中，我们研究了定义在实数空间R 上的函数，在研究函数的分析性质，如连续性，可微性及可积性中，我们利用了R 上现有的距离函数d ，即对y x y x d R y x -=∈),(,,。
度量是上述距离的一般化：用抽象集合X 代替实数集，并在X 上引入距离函数，满足距离函数所具备的几条基本性质。
【定义2.1】 设X 是一个非空集合，),(∙∙ρ：[)∞→⨯,0X X 是一个定义在直积X X ⨯上的二元函数，如果满足如下性质：（1） 非负性 y x y x y x X y x =⇔=≥∈0,(,0),(,,ρρ； （2） 对称性 ),(),(,,x y y x X y x ρρ=∈（3） 三角不等式 ),(),(),(,,,y z z x y x X z y x ρρρ+≤∈；则称),(y x ρ是X 中两个元素x 与y 的距离（或度量）。
此时，称X 按),(∙∙ρ成为一个度量空间（或距离空间），记为),(ρX 。
注：X 中的非空子集A ，按照X 中的距离),(∙∙ρ显然也构成一个度量空间，称为X 的子空间。
当不致引起混淆时，),(ρX 可简记为X ,并且常称X 中的元素为点。
例2.1 离散的距离空间设X 是任意非空集合，对X 中任意两点,,x y X ∈令1 (,)0 x yx y x y ρ≠⎧=⎨=⎩显然，这样定义的),(∙∙ρ满足距离的全部条件，我们称(,)X ρ是离散的距离空间。
这种距离是最粗的。
它只能区分X 中任意两个元素是否相同，不能区分元素间的远近程度。
泛函分析—空间理论_西北大学中国大学mooc课后章节答案期末考试题库2023年
泛函分析—空间理论_西北大学中国大学mooc课后章节答案期末考试题库2023年1.在实数空间R中, 令Q为有理数全体. 以下选项中, 与“Q在R中稠密" 等价的是( ).参考答案:_2.设A、B是线性空间X的子空间，当它们满足（）时，X为A与B的直和.参考答案:_3.以下关于线性空间中凸集的描述，正确的是（）.参考答案:有限个凸集的交集仍是凸集_任意多个凸集的交集是凸集4.设X是Banach空间, 则以下命题中正确的是( ).参考答案:X的完备化空间是它自己_X的闭子空间是Banach空间_X中的任一绝对收敛的级数必收敛5.在通常的范数意义下, 以下赋范空间是Banach空间的是( ).参考答案:__6.Banach空间必为Hibert空间, 但反之不成立.参考答案:错误7.在不可数集X上定义离散距离d, 则距离空间(X,d)是不可分的.参考答案:正确8.任何两个同维数的有限维赋范空间所满足的以下关系中，不正确的是（）.参考答案:内积同构9.具有Schauder基的赋范空间一定是可分的.参考答案:正确10.赋范空间的真子空间一定不是闭子空间，可能是开子空间.参考答案:错误11.Banach空间指的是（）.参考答案:完备的赋范空间_一个赋范空间，其诱导的距离空间是完备的.12.在连续函数空间中，以下说法正确的是（）.参考答案:柯西列一定是收敛列_收敛列一定是柯西列13.设M, N是内积空间的两个非空开集, 若【图片】则【图片】参考答案:错误14.以下选项中，不可分的距离空间为（）.参考答案:有界数列空间15.距离空间中的非空开集一定包含一个( ).参考答案:接触点_闭球_开球_内点16.非空开集一定是开球.参考答案:错误17.设【图片】与【图片】为线性空间X上的两个等价范数，则赋范空间【图片】与【图片】具有相同的可分性.参考答案:正确18.距离空间中的非空开集一定包含一个（）.参考答案:接触点_闭球_内点_开球19.连续函数空间中点列的按距离收敛等价于函数列的（）.参考答案:一致收敛20.在赋范空间中，向量列的依范数收敛等价于向量列按范数诱导的距离收敛.参考答案:正确21.在实数空间中, 完全有界集与有界集是等价的.参考答案:正确22.一切无限维Hilbert空间都与【图片】内积同构.参考答案:错误23.内积空间的正交基一定是正交系，反之不成立.参考答案:正确24.设E是Hilbert空间H的子空间，则以下结论中正确的是（）.参考答案:___25.在赋范空间中，（）是凸集.参考答案:单位开球_子空间_单位闭球26.记P[0,1]为[0,1]的实系数多项式全体, 按照范数【图片】成为赋范空间. 则以下结论正确的是（）.参考答案:赋范空间P[0,1]不是Banach空间_P[0,1]是C[0,1]的子空间27.设E是赋范空间X的子空间。
第七章度量空间和赋范线性空间
1
5.p次幂可和数列空间l p , d(x, y) ( yk xk p ) p .
k 1
§3 连续映射
回忆数学分析中连续函数的定义 : 0, 0,当x x0 时,有 f (x) f (x0) .
如同数学分析中的海涅(Heine)定理，可以证明如下结论。
：由T在x0 X连续, 对 0, 0,当d (x, x0 ) 时,有
证明：对 {x(k )} Rn为柯西点列 , x(k ) (x1(k ) , x2(k ) , , xn(k ) ),
n
则对 0, N ,当k, j N , 有d (x(k) , x( j) ) (
1
k) i
x( j) i
2
)2
.
i 1
即对每个i,当k, j N,有 xi(k) xi( j) . 故{xi(k)}是R1中柯西列 ,
xm (t)在[a,b]上收敛于一函数 x(t). 在(*)式中令n ,
当m
N时, 有 max at b
xm (t)
x(t)
,
即xm (t)在[a,b]上一致收敛于 x(t).
定理1.完备度量空间 X的子空间 M是完备空间的充要条件 为 M是X中的闭子空间 .
定理2.设( X , d )是度量空间 , Bn Bn (xn , rn ), (n 1,2, )是X中 一列闭球 ,则X是完备的度量空间的充 要条件是若 Bn Bn1,
d~(Tx,Tx0) 0.
取
1 n
,
则有xn
,
使d
(
xn
,
x0
)
1 n
,
但d~(Txn
,
Tx0
)
0.
这与已知矛盾.
赋范线性空间
(1) 线性性： ∀x = (x1, , xn ) , y = ( y1, , yn ) ∈ R ， α, β ∈ R
T T n
1
T (α x + β y) = A(α x + β y) = α Ax + β Ay = αTx + βTy
∀x = ( x1 , , xn )T ∈ R n ， Tx = Ax = ( z1 , , zm )T ∈ R m (2)有界性：
T 定义： E、 1 是赋范线性空间， : D(T ) ⊂ E → N (T ) ⊂ E1 。 设 E
（1）线性算子：若 ∀x, y ∈ D(T ), α ∈ K (数域) ，有
⎧T ( x + y ) = Tx + Ty ⎨ 即 T (α x + β y) = αTx + β Ty T (α x) = α Tx ⎩
3）范数的等价性 定义 设线性空间 E 中定义了两种范数 x 1和 x 2 如果由 xn 1 → 0 ⇒ xn 2 → 0 ，称 x 1比 x 2 更强； 若又由 xn 2 → 0 ⇒ xn 1 → 0 ，即 x 2 比 x 1更强， 则称范数 x 1与 x 2 等价。 注：范数等价具有传递性
例如：可以证明 Rn 中三种范数 x 1、 x 2 、 x ∞ 相互等价
m n
T 2
⎛ ⎞ = ∑ z = ∑ ⎜ ∑ aij x j ⎟ i =1 i =1 ⎝ j =1 ⎠
m 2 i
⎛ ⎞ ⎛ m n 2⎞ ≤ ∑ ⎜ ∑ aij x j ⎟ ≤ ⎜ ∑∑ aij ⎟ i =1 ⎝ j =1 ⎠ ⎝ i=1 j =1 ⎠
2
x2 = M x ∑ j
j =1
数理经济学 2 赋范线性空间与凸集
第2章赋范线性空间与凸集2.1 赋范线性空间2.2 凸集2.3 一些重要例子2.4 保持凸性的运算2.5 分离超平面和支撑超平面12.1 赋范线性空间2.1.1 赋范线性空间2.1.2 开集和闭集2.1.3 上确界和下确界2.1.4 序列收敛和完备性2.1.5 紧性2.1.6 Banach 空间232.1.1 赋范线性空间● 线性空间(linear space)/向量空间(vector space)⏹ 指定义加法和标量乘法的非空集合X➢ 加法(addition)⇔∀,X ∈x y ，X +∈x y➢ 标量乘法 ⇔∀X ∈x ，α∈，X α∈x⏹ ,,X ∀∈x y z ，,αβ∈，满足：1. +=+x y y x (交换律)2. ()()++=++x y z x y z (结合律)3. ()ααα+=+x y x y4. ()a αββ+=+x x x5. ()()αβαβ=x x (结合律)46．X ∃∈0，+=x 0x7．对X ∀∈x ，X ∃∈y ，+=x y 08．1=x x● 线性空间在加法和标量乘法下是闭的(closed)。
● 线性空间的元素称为向量(vector)。
5例2.1 一些线性空间• N 维实向量空间或N 维欧氏空间：所有N 维实向量的集合N• 所有实数序列的集合{}12,,...,,n x x x ，n x ∀∈ • 所有多项式2012N N x a a t a t a t =++++的集合。
●消费集(例1.1)和生产可能性集(例1.2)本身不是线性空间。
●但它们都是线性空间N的子集，并且都从其母空间中继续了许多线性特征。
67例2.2 (总需求和总供给)● M 个消费者，每个消费者m 购买消费组合m x● 总需求(aggregate demand )M x⏹ 其中对每种商品n ，对它的总需求1M n n n x x x =++ ⏹ 其中m n x 是消费者m 对商品n 的需求。
第5讲(2)线性赋范空间
范数定义为：
x
容易验证
α
∞
= max x(t )
a ≤t ≤b
满足范数三公理.
( x + y )(t ) = x(t ) + y (t )
导出距离如下：
d ( x, y ) = x − y
∞
(α x)(t ) = α x(t )
5—2 赋范空间
泛函分析研究的对象之一是数学、物理和 工程中提炼出来的大量线性或非线性问题，为 了有效地研究这些问题，仅有距离空间的概念 是不够的，本章将介绍具有代数结构的一类空 间——Banach空间，它们比距离空间具有更丰 富的特性.
1
本章首先介绍线性空间的概念和性质，在 此基础上引进赋范线性空间的概念并讨论其 性质. 特别地，完备的赋范线性空间称为 Banach空间. 最后考察有限维赋范线性空间的 特性.
k ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ ⎤ ⎥ ⎥ ⎦ p P ⎡ ⎢ ⎢ ⎣ ⎤ ⎥ ⎥ ⎦
定义3.4 设X是F上的线性空间, M ⊂ X, 若 ∀x, y ∈ M , α , β ∈ F,都有 α x + β y ∈ M ,则 称 M是X的线性子空间. 定义3.5 设X是F上的线性空 间， ∀x1 , x2 ,K , xn ∈ X , ∀α1 ,K , α n ∈ F ，称
数乘： α x = (α x1 ,K , α xn ), α ∈ F . 可知此时 R 是线性空间. 范数定义为：∀x ∈ R n ,
x 2 = (∑ xk ) 2
2 k =1 n 1
间.
讫
n
易知满足范数三公理.
21
22
例3.20
(1)空间 l p (1 ≤ p < +∞) 是Banach空间.
4.线性赋范空间
(2)kF,xV,‖kx‖=|k|‖x‖.
(3)x,yV,‖x+y‖≤‖x‖+‖y‖,
则称‖x‖(xV)为x的范数,V成为F上的线性
赋范空间.
2
设V是线性赋范空间。定义映射：
：VVR，(x,y)=‖x–y‖(x,y∈V)
容易验证：是V上的度量，从而{V，}是度量
空间，因而，V是（度量）拓扑空间。于是，
V上有开集 、闭集、极限点、导集、闭包、
收敛、连续、完备、紧致、列紧等概念。
完备的线性赋范空间称为Banach空间。
线性赋范空间V中序列{xn}称为范数收敛于xV,
如果
limxnx 0.
3
n
由于线性赋范空间V是线性空间，有加法和数乘
运算，故可讨论序列{xn}的级数及其收敛的概念。
称级数
xnx1x2xn
小值,设为f(0)(0S).
于是, S,有f()≥f(0).
12
下面证明: f(0)>0.显然,f(0)≥0.
只要证 f(0) 0.由于0S,故0不是零向量.
n
从而,
x e 0 0 . kk
k1
于是,
f(0)=‖x0‖0。
xX,且x,则x的坐标是Rn中非零向量。
1
所以，
Rn
n | k1
k
|22
14
•定理4.3 任何一个实数域R上的n维线性赋范 空间 X都与n维欧氏空间Rn线性同胚，即 存在线性双射T：XRn,且T与T–1连续。
证明：设{e1,e2, ,en}是X的一组基。xX有
n
x k ek k 1
其中=（1，2， ，n)T为x的坐标。
15
定义映射T：XRn: Tx=（1，2， ，n)T
第二章 赋范线性空间1
5
凸集在求解极值问题中是一个十分重要的条件。 命题：凸集的交是凸集；凸集的直和是凸集。
凸锥（convex core）： C ⊂ X , C ≠ ∅ 。若对任意的 x1, x2 ∈ C ，θ1,θ2 > 0 ，有θ1x1 + θ2 x2 ∈ C ，则 称 C 为 X 的一个凸锥，例如 R+n = {x = (ξ1,",ξn ) ∈ Rn | ξi > 0, i = 1,", n}
则 F : C[a,b] → R 是连续（泛）函数。
证明：
三 完备性
设 X 为一个度量空间，如果 X 任意一个 Cauchy 序列在 X 中都有极限，则称 X 是完备的度量空
间。
例2.6 Rn 关于任何 p ≥ 1的距离都是完备的， n ≥ 1。
例2.7
C[a, b] 关于 d∞ 是完备的，而关于 d1 ， d2 都不是完备的。
定义 ||
x
|| p
=
⎛ ⎜⎝
∞ i =1
| ξi
|p
⎞1/ ⎟⎠
p
。由
Minkowski
不等式可知， (l
则 称 X 为 一 个 赋 范 线 性 空 间 （ normalized linear space）或赋范空间，|| ||为 X 的范数（norm）。|| x || 称为向量 x 的范数。
范数实际上是向量“模”或“长度”的统一称谓。
例2.9 n 维欧氏（Euclid）空间 R n （ Cn ）
∑ 对
证明：考虑 C[0,1] ，赋予距离 d1 。
3
⎧⎪0,
⎪
取
xn
(t
)
=
⎪⎨nt ⎪
−
【研究生课件应用数学基础】4.线性赋范空间.ppt
5
x x lim x 由假设得到 ( k 1
n k1
nk)收敛. 由此易知, k
nk x V.
从而,{xn}收敛.
例4.1 x=(x1,x2,,xn)TRn,定义范数
1
x x | n
p p
|
p
k 1
k
(1 p ).
则Rn是线性赋范空间,而且是Banach空间.
xC[a,b],定义范数
S上连续.由于S是有界闭集,故f()在S上达到最
小值,设为f(0)(0S).
于是, S,有f()≥f(0).
12
下面证明: f(0)>0.显然,f(0)≥0.
只要证 f(0) 0.由于0S,故0不是零向量.
n
从而,
x e 0
0 .
kk
k 1
于是,
f(0)=‖x0‖0。
xX,且x,则x的坐标是Rn中非零向量。
(2)kF,xV,‖kx‖=|k|‖x‖.
(3)x,yV,‖x+y‖≤‖x‖+‖y‖,
则称‖x‖(xV)为x的范数,V成为F上的线性
赋范空间.
2
设V是线性赋范空间。定义映射：
：VVR，(x,y)=‖x–y‖(x,y∈V)
容易验证：是V上的度量，从而{V，}是度量
空间，因而，V是（度量）拓扑空间。于是，
则存在两个正数A和B,使
1
| n
A x | k 1
22
k
B x.
10
证明: 由于
n
n
x k ek | k | ek
k 1
k 1
1
1
1
| e
n
|
k 1
第二章 赋范线性空间-黎永锦
第2章 赋范线性空间虽然不允许我们看透自然界本质的秘密,从而认识现象的真实原因,但仍可能 发生这样的情形：一定的虚构假设足以解释许多现象.Eurler L . (欧拉) (1707-1783,瑞士数学家)S c h m i d t E .在1908 年讨论由复数列组成的空间}||:){(12∞<∑∞=i ii zz 时引入记号||||z 来表示211)(∑∞=i i i z z ,||||z 后来就称为z 的范数.赋范空间的公理出现在Riesz F .在 1918年关于],[b a C 上关于紧算子的工作中,但赋范空间的定义是在 1920到1922年间由 Banach S .（1892—1945）、H a h nH .（1879—1934）、H e ll y E .（1884—1943）和 WienerN .（1894—1964）给出的,其中以Banach S .的工作最具影响.2.1赋范空间的基本概念线性空间是Peano Giuseppe在1888年出版的书Geometrical Calculus 中引进的.Banach S .在1922年的工作主要是建立具有范数的完备空间,以后为了纪念他称之为Banach 空间.他定义的空间满足三组公理,第一组公理定义了线性空间,第二组定义了范数,第三组给出了空间的完备性.定义 2.1.1 设K 是实数域R 或复数域C ,X 是数域K 上的线性空间,若||||⋅是X 到R 的映射,且满足下列条件：(1) 0||||≥x 且0||||=x 当且仅当0=x ; (2) ||||||||||x x λλ=,对任意X x ∈和任意K ∈λ ;(3) ||||||||||||y x y x +≤+,对任意X y x ∈, .则称||||⋅为X 上的范数,而||||x 称为x 的范数,这时称||)||,(⋅X 为赋范线性空间.明显地,若||)||,(⋅X 为赋范线性空间,则对任意X y x ∈,,定义||||),(y x y x d -=时,),(d X 为度量空间,但对一般的度量空间),(d X ,当X 为线性空间时,若定义)0,(||||x d x =,则||||x 不一定就是X 上的范数.例2.1.1 设s 数列全体,则明显地,s 为线性空间,对任意的s y x ∈,, 定义∑∞=-+-=1|)|1(!||),(i i i i i y x i y x y x d则∑∞=+=1|)|1(!||)0,(i i i x i x x d但)0,(|||)|||1(!||||)0,(1x d x i x x d i i i λλλλ≠+=∑∞=取)0,,0,1(0 =x ,210=λ,则 3121121)0,(00=+=x d λ 而412121)0,(||00=⨯=x d λ因此)0,(||)0,(0000x d x d λλ≠所以,)0,(0x d 不是s 上的范数.问题 2.1.1 对于线性空间X 上的度量d , 它满足什么条件时,)0,(||||x d x =才能成为范数？定理2.1.2 设X 是线性空间,d 是X 上的度量,在X 上规定)0,(||||x d x =,则X 成为赋范线性空间的条件是：(1) )0,(),(y x d y x d -=,对任意X y x ∈, ；(2) )0,(||)0,(x d x d λλ=,对任意X x ∈和任意K ∈λ.下面举出赋范线性空间的一些例子.例 2.1.3 对于}||,|){(11∞<∈=∑∞=i ii i xK x x l ,∑∞==1||||||i i x x 是1l 的范数, 即||)||,(1⋅l 是赋范线性空间.例2.1.4 对于∞<≤p 1,}||,|){(1∞<∈=∑∞=i p ii i p xK x x l 在范数pi pi x x 11)||(||||∑∞==下是赋范线性空间.例2.1.5 }||sup ,|){(∞<∈=∞i i i x K x x l 在范数||sup ||||i x x =下是赋范线性空间. 例2.1.6 }0lim ,|){(0=∈=∞→i i i i x K x x c 在范数||sup ||||i x x =下是赋范线性空间.例 2.1.7 }],[)(|)({],[上的连续函数为b a t x t x b a C =,在范数|)(|sup ||||t x x =下是赋范线性空间.由于赋范线性空间在度量||||),(y x y x d -=下是度量空间,因此,在度量所引入的序列收敛,开(闭)集、稠密和紧集等概念都可以在赋范线性空间中使用.定义 2.1.2 设X 是赋范空间X x X x n ∈⊂0,}{, 若n x 依度量||||),(y x y x d -=收敛于0x , 即0||||lim 0=-∞→x x n n ,则称n x 依范数||||⋅收敛于0x ,记为0||||x x n −→−⋅在赋范线性空间中,仍然用}|||||{),(00r x x X x r x U <-∈=记以0x 为球心,r 为半径的开球,用}|||||{),(00r x x X x r x B ≤-∈=记以0x 为球心,r 为半径的闭球. 为了方便,用}1|||||{=∈=x X x S X 记以0为球心,1为半径的闭单位球面. 用}1|||||{≤∈=x X x B X 记以0为球心,1为半径的闭单位球. 用}1|||||{<∈=x X x U X 记以0为球心,1为半径的开单位球.例2.1.8 在Euclid 空间2R 中,对于),(21x x x =可以定义几种不同的范数:||||||||211x x x += 2122212)|||(|||||x x x +=|}||,m ax {|||||213x x x =则对1),0,0(0==r x , 闭球)1,(0x B 在不同范数下的形状为：}1|||||{11≤=x x B}1|||||{22≤=x x B}1|||||{33≤=x x B思考题 2.1.1 设||)||,(⋅X 是赋范线性空间,问开球),(0r x U 的闭包是否一定是闭),(0r x B ?思考题2.1.2 设||)||,(⋅X 是线性空间,问闭球),(0r x B 内部是否一定是开球),(0r x U ?在赋范线性空间中,加法与范数都是连续的.定理2.1.8 若||)||,(⋅X 是赋范空间00,y y x x n n →→,则00y x y x n n +→+. 证明 由||||||||||)()(||0000y y x x y x y x n n n n -+-≤+-+可知定理成立. 定理 2.1.9 若||)||,(⋅X 是赋范空间,0x x n →,则||||||||0x x n →. 证明 由||||||||||||00x x x x n n +-≤和||||||||||||00n n x x x x +-≤,可知||||||||||||||00x x x x n n -≤-,因此||||||||0x x n →.定义2.1.3 设||)||,(⋅X 是赋范线性空间,若),(0||||,}{∞→→-⊂n m x x X x n m n 时, 必有X x ∈,使0||||→-x x n , 则称||)||,(⋅X 为完备的赋范线性空间.根据M.]1928,,,[Paris Villars Gauthier abstraits Espaces Frechet -的建议,完备的赋范线性空间称为Banach 空间.不难证明,∞∞<≤l p l c R p o n),1(,,都是Banach 空间.在数学分析中,曾讨论过数项级数,函数项级数,类似地,在赋范线性空间中,也可定义无穷级数.定义 2.1.4 设||)||,(⋅X 是赋范线性空间,若序列}{}{21n n x x x S +++= 收敛于某个X x ∈时,则称级数∑∞=1n nx收敛,记为∑∞==1n nxx .定义2.1.5 设||)||,(⋅X 是赋范线性空间,若数列||}||||||||{||21n x x x +++ 收敛时, 则称级数∑∞=1n nx绝对收敛.在数学分析中绝对收敛的级数一定是收敛的,但在赋范空间上却不一定成立,先来看看下面一个定理.定理 2.1.10 设||)||,(⋅X 是赋范线性空间,则||)||,(⋅X 是Banach 空间的充要条件为X 的每一绝对收敛级数都收敛.证明 设||)||,(⋅X 是Banach 空间,且∑∞=1n nx绝对收敛,则由∞<∑∞=1||||n nx可知,对于n n x x x S +++= 21,有)(0||||||||||||||||11∞→→++≤++=-+++++n x x x x S S p n n p n n n p n ,因此n S 是X 的Cauchy 列,由||)||,(⋅X 的完备性可知,存在X x ∈使x S n n =∞→lim ,即x xn n=∑∞=1反之,设X 的每一个绝对收敛级数都收敛,则对于X 的Cauchy 列n x ,对kk 21=ε,有 <<<<<+121k k n n n n , 使得),2,1(21||||1 =<-+k x x kn n k k因而+∞<-∑∞=+1||||1n n n k k x x.由假设可知+∞<-∑∞=+1)(1n n n k k x x收敛于某个X x ∈,即}{k n x 收敛x ,所以n x 必收敛于x ,从而||)||,(⋅X 完备.事实上,在实数空间R 中,正是由于R 的完备性才保证了绝对收敛级数一定是收敛的.定义 2.1.6 设||)||,(⋅X 是赋范线性空间,若X M ⊂是X 的线性子空间,则称||)||,(⋅M 为||)||,(⋅X 的子空间,若M 还是||)||,(⋅X 的闭集, 则称||)||,(⋅M 为||)||,(⋅X 的闭子空间.明显地,若||)||,(⋅X 是Banach 空间,M 为||)||,(⋅X 的闭子空间,则||)||,(⋅M 是Banach 空间,反之亦然.定理 2.1.11 设||)||,(⋅X 是Banach 空间,M 为||)||,(⋅X 的子空间,则||)||,(⋅M 是Banach 空间当且仅当M 是X 的闭集.证明 设||)||,(⋅X 是Banach 空间,当M x n ∈,且x x n →时,则}{n x 为M 的Cauchy 列,因而}{n x 收敛于 M 上的一点,故M x ∈,即M M ∈',所以M 是闭集.反之,设M x n ⊂}{为Cauchy 列,则}{n x 为 ||)||,(⋅X 的Cauchy 列,由于||)||,(⋅X 是Banach 空间,因此}{n x 是收敛列, 即存在X x ∈使x x n →,又由于M 是||)||,(⋅X 的闭子空间,因此M x ∈,即n x 在M 中收敛于x ,所以||)||,(⋅M 是Banach 空间.定义2.1.7 设X 是线性空间,p 为X 上的一个实值函数,且满足： （1） 0)0(=p ；（2） )()()(y p x p y x p +≤+,对任意X y x ∈,； （3） )(||)(x p x p λλ=,对任意X x ∈,任意K ∈λ.则称p 为X 上的半范数.明显地,X 上的范数一定是半范数,但对X 上的半范数p ,由于0)(=x p 时不一定有0=x ,因此半范数不一定是范数.例2.1.9 在∞l 中,定义||)(11x x p =,易证)(1x p 是∞l 中的半范数,但对于),,,,0(2 n x x x =,都有0)(1=x p ,因此p 不是∞l 的范数.有什么办法能使),(p X 中的问题转化为赋范空间中来解决呢？定义 2.1.8 设X 是线性空间,M 是X 的线性子空间,若M x x ∈-21,则称1x 与2x 关于M 等价,记为)(~21M x x易知,等价具有下面的三个性质（1） x x ~（反射性）；（2） y x ~推出 x y ~（对称性）； （3） y x ~, z y ~ 推出z x ~（传递性）.明显地,若M 是线性空间X 的线性子空间,记}),(~|{~M y M x y y x ∈=, 则~x 的全体在加法~~~y x y x +=+和数乘~~x x αα=下是线性空间,称为X 对模M 的商空间,记为M X /.在商空间M X /中,对M X =∈~0,0, 即0是M X /的零元,而对M X /的每一元素~x ,~x 都是唯一确定的,并且对于加法和数乘都是唯一确定的.例2.1.10 对于}||sup |){(+∞<=∞i i x x l ,取}||sup ,0|){(1+∞<==i i x x x M , 则M 为∞l 的子空间,对M l y x /,∞∈,当~~y x =时有M y x ∈-,即011=-y x , 这时R M l ~/∞当||)||,(⋅X 为赋范线性空间,M 为X 的闭线性子空间时,在M X /商空间中还可以定义范数,使M X /成为赋范线性空间.定理 2.1.14 设||)||,(⋅X 是赋范线性空间,M 为X 的闭线性子空间,在M X /上定义范数}|||inf{||||||~~x y y x ∈=,则||)||,/(⋅M X 是赋范线性空间.利用上面的技巧,不难证明,当)(x p 为X 上的一个半范数时,取}|||inf{||||||},0)(|{~~x y y x x p x M ∈===,则||)||,/(⋅M X 是一个赋范线性空间,且对任意X x ∈有, )(||||~x p x =.当X 是空备赋范线性空间,M 为X 的闭子空间的,M X /还具有完备性.定理2.1.15 设X 是Banach 空间,M 为X 的闭子空间,则M X /是Banach 空间.2.2 范数的等价性与有限维赋范空间在同一线性空间上,可以定义几种不同的范数,使之成为不同的赋泛线性空间,但有时X 上的几种不同范数诱导出的拓扑空间是一样的,有时却很不相同,这主要是X 上的序列依范数收敛的不同引起的.定义 2.2.1 设X 是线性空间,1||||⋅和|2||||⋅是X 上的两个不同范数,若对X 中的序列}{n x ,当0||||10→-x x n 时,必有0||||20→-x x n ,则称范数1||||⋅比范数2||||⋅强,亦称2||||⋅比1||||⋅弱.若对X 中的序列}{n x ,0||||10→-x x n 当且仅当0||||20→-x x n 则称范数1||||⋅与2||||⋅等价.定理 2.2.1 设1||||⋅和2||||⋅是线性空间X 上的两个不同范数,则范数1||||⋅比2||||⋅强当且仅当存在常数0>C ,使得对任意X x ∈都有12||||||||x C x ≤.证明 若存在0>C ,使12||||||||x C x ≤,则明显地0||||1→-x x n 时,有0||||||||12→-≤-x x C x x n n ,因而1||||⋅比2||||⋅强.反过来,若范数1||||⋅比2||||⋅强,则必有0>C ,使12||||||||x C x ≤. 若不然,则对任意自然数n ,存在X x n ∈,使12||||||||n n x n x >. 令2||||n nn x x y =,则nx x y n n n 1||||||||||||211<=故0||0||1→-n y ,因而0||0||2→-n y ,但这与1||||||||||0||222==-n n n x x y 矛盾,所以必存在0>C ,使12||||||||x C x ≤,对任意X x ∈成立.推论 2.2.2 设1||||⋅与2||||⋅是线性空间X 上的两个不同范数,则范数1||||⋅与2||||⋅等价当且仅当存在常数0,021>>C C ,使得对任意X x ∈,有12211||||||||||||x C x x C ≤≤推论 2.2.3 设1||||⋅与2||||⋅是线性空间X 上的两个等价范数,则)||||,(1⋅X 是Banach 空间当且仅当)||||,(2⋅X 是Banach 空间.思考题 2.2.1 若1||||⋅与2||||⋅是线性空间X 上的两个不同范数,且)||||,(1⋅X 和)||||,(2⋅X 都是Banach 空间,是否就一定有1||||⋅与2||||⋅等价呢？定义2.2.2 设X 是n 维线性空间,||||⋅是X 上的范数,则称||)||,(⋅X 为n 维赋范线性空间.有限维赋范线性空间是Minkowski 在1896年引入的,因此有限维赋范线性空间也称为Minkowski 空间.若||)||,(⋅X 为n 维线性空间,n e e e ,,,21 为X 的一组线性无关组,则称n e e e ,,,21 为||)||,(⋅X 的Hamel 基,此时对任意X x ∈,x 都可以唯一地表示成∑==nn i i e x 1α定理 2.2.4 设||)||,(⋅X 是n 维线性空间n e e e ,,,21 是X 的Hamel 基,则存在常数1C 及02>C 使得2112221121)||(||||)||(∑∑==≤≤ni i ni i C x C αα对任意∑==nn i i e x 1α都成立.证明 对于任意ni K ∈=)(αα,定义函数||||)(1∑==nn i i e f αα则对任意n i K ∈=)(αα,ni K ∈=)(ββ,有21122112211211111)||()||||()||(|||||||||||||||||||||)()(|∑∑∑∑∑∑∑∑========-=-≤-≤-≤-=-n i iin i in i iini i i ini ni ii ii ni ii n n ii M ee e e e ef f βαβαβαβαβαβα这里2121)||||(∑==nn ieM ,因此f 是n K 到R 的连续函数.由于nK 的单位球面}1)||(|){(2112=∈=∑=ni in i K S αα是紧集,因此f 在S 上达到上下确界,即存在S i i ∈==)(),()0(0)0(0ββαα,使得10}|)(inf{)(C S f f =∈=ααα 20}|)(sup{)(C S f f =∈=ααβ因此对任ni K ∈=)(αα,有S ni iK n∈=∑=2112)||(||||αααα故21)||||(C f C nK≤≤αα即211221121121)||(||||)||(∑∑==≤++≤ni i n n ni i C e e C αααα下面证明01>C ,容易知道02>C 的证法是类似的.假设01=C ,则有0||||)(1)0(0==∑=nn i ie f αα,故01)0(=∑=nn i ie α由}{i e 是X 的Hamel 基可知,0)0(=i α,从而00=α,但这与S ∈0α矛盾.定理 2.2.5 设X 是有限维线性空间,1||||⋅与2||||⋅是X 上的两个范数,则存在常数01>C , 02>C 使得12211||||||||||||x C x x C ≤≤定理 2.2.6 有限维的赋范线性空间一定是Banach 空间.证明 若}{m x 为n 维赋范线性空间||)||,(⋅X 的Cauchy 列,则对于X 的Hamel 基n e e e ,,,21 有i ni m im e x ∑==1)(α,由2112221121)||(||||)||(∑∑==≤≤ni i ni i C x C αα可知}{)(m iα亦为Cauchy 列,故存在R i ∈α,使得i m i αα→)(,因而有)(i αα=,使得0)||(2112)(→-∑=ni i m iαα令i ni ie x ∑==1α,则0||||→-x x m ,因此}{m x 是收敛序列,所以X 是完备的.在nR 中,M 是列紧的当且仅当M 是有界闭集,在有限维赋范空间中是否成立呢？下面就来讨论有限维赋范线性空间||)||,(⋅X 中紧集与有界闭集的关系.定理2.2.7 设||)||,(⋅X 是有限维的赋范线性空间,则X M ⊂是紧的当且仅当M 是有界闭集.证明 设n e e e ,,,21 为||)||,(⋅X 的Hamel 基,则对任意X x ∈,有i ni ie x ∑==1α定义nK 到X 的算子T :i ni i e T ∑==1)(αα则存在0,021>>C C ,使得2112221121)||(||)(||)||(∑∑==≤≤ni i i ni i C T C ααα从而T 是n K 到X 的连续算子,且是一一对应的. 由||)(||)||(21121ααT C ni i≤∑=可知1-T 是X 到n K 的连续算子, 因此T 是n K 到X 的拓扑同构.所以M 的紧集当且仅当 )(1M T -为n K 的紧集,从而M 是X 的紧集当且仅当M是有界闭集.问题2.2.1 若赋范线性空间||)||,(⋅X 的每个有界闭集都是紧集,则X 是否一定为有限维的赋范线性空间？为了回答上面的问题,先来讨论Riesz 引理,这是Riesz F .在1918年得到的一个很漂亮的结果.引理 2.2.8 （Riesz 引理）设M 是赋范线性空间||)||,(⋅X 的闭真子空间,则对任意10<<ε,存在1,=∈εεx X x ,使得εε≥-x x对任意M x ∈成立.证明 由于M 是X 的闭真子空间,因此≠M X \φ,故存在M X y \0∈,令}|||inf{||),(00M x x y M y d d ∈-==,则0>d .对任意10<<ε,由d 的定义可知,存在M x ∈0,使得εdx y d ≤-≤||||00令||||0000x y x y x --=ε,则1||||=εx ,且对任意M x ∈,有||)||||(||||||1||||||||||||0000000000x x y x y x y x y x y x x x -+--=---=-ε由M x ∈0,M x ∈和M 是线性子空间,可知M x x y x ∈-+||||000因此d x x y x y ≥-+-||)||||(||0000故εεε=≥-≥-ddx y d x x ||||||||00由Riesz 引理,容易得到有限维赋范线性空间特征的刻画.定理 2.2.9 赋范线性空间||)||,(⋅X 是有限维的当且仅当X 的闭单位球}1|||||{≤=x x B X 是紧的.证明 明显地,只须证明X B 是紧的时候,X 一定是有限维的.反证法,假设X B 是紧的,但X 不是有限维赋范线性空间,对于任意固定的,1X x ∈1||||1=x ,令}|{}{111K x x span M ∈==λλ,则1M 是一维闭真子空间,取21=ε,由Riesz 引理可知,存在1||||,22=∈x X x 且21||||2≥-x x 对任意1M x ∈成立,从而21||||12≥-x x . 同样地,令},{212x x span M =,则2M 是二维闭真空子空间,因而存在1||||,33=∈x X x ,使21||||3≥-x x 对任意2M x ∈成立,从而21||||13≥-x x 且21||||23≥-x x . 利用归纳法,可得一个序列X n B x ⊂}{,对任意n m ≠,有21||||≥-n m x x 因而}{n x 不存在任何收敛子序列,但这与X B 是紧集矛盾,由反证法原理可知X 是有限维赋范线性空间.推论2.2.10 赋范线性空间X 是有限维当且仅当X 的每个有界闭集是紧的.对于无穷维赋范线性空间X 的紧集的刻画,就比较困难.在]1,0[C 中,容易看出]1,0[}1|)(||)({C x f x f A ⊂≤=是]1,0[C 的有界闭集,但不是紧集.为了讨论]1,0[C 子集的紧性,需要等度连续的概念,它是由Ascoli 和Arzelà同时引入的.定义 2.2.3 设]1,0[C A ⊂,若对任意的0>ε,都存在0>δ,使得对任意的A f ∈,任意的]1,0[,∈y x ,δ<-||y x 时,一定有ε<-|)()(|y f x f ,则称A 是等度连续的.Ascoli 给出了]1,0[C A ⊂是紧的充分条件, Arzelà在1895年给出了]1,0[C A ⊂是紧的必要条件,并给出了清楚的表达.定理 2.2.11 (Arzel à-Ascoli 定理) 设]1,0[C A ⊂,则是紧的当且仅当A 是有界闭集, 且A 是等度连续的.2.3 Schauder 基与可分性一个Banach 空间,如果想把它看作序列空间来处理,最好的办法是引入坐标系,常用的方法是引入基的概念, Schauder 基是-Fun in stetiger Theorie Zur Schauder J [..]6547.)1927(26,,-pp t Zeitschrif che Mathematis men ktionalrau 引入的.定义 2.3.1 Banach 空间||)||,(⋅X 中的序列}{n x 称为X 的Schauder 基,若存在对于任意X x ∈,都存在唯一数列K a n ⊂}{,使得nn n x x ∑∞==1α容易看到,有限维赋范线性空间一定具有Schauder 基.例2.3.1 在1l 中令),0,1,0,,0( =n e ,则}{n e 为1l 的Schauder 基,明显地,在)01(,,0∞<<p l c c 中,}{n e 都是Schauder 基.S c h a u d e J .在1928年还在]1,0[C 中构造一组基,因而]1,0[C 也具有Schauder 基. 具有Schauder 基的Banach 空间具有许多较好的性质,它与Banach 空间的可分性有着密切联系.定义 2.3.2 ||)||,(⋅X 是赋范线性空间,若存在可数集X M ⊂,使得X M =,即可数集在X 中稠密,则称X 是可分的.若||)||,(⋅X 可分,则存在可数集X x n ⊂}{,使得对任意X x ∈及任意0>ε,都有某个}{n n x x ∈ε,满足εε<-||||x x n .例2.3.2 由于有理数集Q 是可数集,且R Q =,因此R 是可分的.类似地,n R 也是可分的赋范空间.例2.3.3 对于p l p ,1+∞<≤都是可分的,因为取时，使得存在N i N x M i >=,|){(},,0都是有理数时并且i i x N i x <=,则M 是可数集,并且p l M =.实际上,对任意p l x ∈,由+∞<∑∞=pi pi x 11)||(可知,对任意0>ε,存在N ,使得2||1pN i pix ε<∑∞+=, 取有理数N q q q ,,21,使2||1pNi pi i x q ε<-∑=,则M q q q x N ∈=)00,,,(21 ε,且εε<+-≤-∑∑∞+==pN i p iNi p i i xx q x x 111)||||(,因此p l M =,所以p l 是可分的.例 2.3.4 由Weierstrass 逼近定理可知对任意],[b a C x ∈,必有多项式0→-x p n ,取M 为],[b a 上有理系数的多项式全体,则M 是可数集,且],[b a C M =,因而],[b a C 是可分的赋范线性空间.定理2.3.5 若||)||,(⋅X 赋范空间有Schauder 基,则X 一定可分的. 证明 为了简明些,这里只证明||)||,(⋅X 为实的情形.设}{i e 为X 的Schauder 基,则任意X x ∈有∑∞==1i ii ea x ,这里R a i ∈.令},|{1Q q N n eq M i ni ii ∈∈=∑=,则M 是可数集,且对任意X x ∈及任意0>ε,存在M x ∈ε,使得εε<-x x ,因此X M =,所以M 为可分的赋范空间.对于复赋范空间||)||,(⋅X ,可令},,|)({1Q pq N n e ip q M iini iii∈∈+=∑=,证明是类似的.问题2.3.1 是否每个赋范空间都具有Schauder 基？ 例2.3.6 赋范空间∞l 没有Schauder 基.由于∞l 不可分,因而一定没有S c h a u d e 基.事实上,假设∞l 可分,则存在∞∈=l x x m im )()(,使得}{m x X =.令=)0(ix ⎪⎩⎪⎨⎧>≤+. 1|| 0；1|x | ,1)((i)i )(时当时当i i i i x ，x 则211||sup )0(=+≤i x ,即∞∈=l x x i)()0(0,并且1||||sup ||||)0()()0()(10≥-≥-=-∞<≤m m m i m i i m x x x x x x所以}{m x 不存在任何收敛子列收敛于0x ,故}{0m x x ∉,从而}{m x X ≠,但这与假设}{m x l =∞矛盾,因此∞l 不可分.另外,还再进一考虑下面的问题：问题2.3.2 是否每个可分的赋范空间都具有Schauder 基？上面问题自从S. Banach 在1932年提出后,很多数学家为解决这一问题做了很多的努力,由于常见的可分Banach 空间,如10,l c 等都具有Schauder 基，因此大家都以为问题的答案是肯定的,但所有的努力都失败了,大家才倾向于问题的答案是否定的.Enflo P .在1972年举出了一个例子,它是可分的赋范空间,但不具有Schauder 基[A counterexample to the approximation problem in Banach spaces. Acta Math. 130(1973), 309-317.]2.4 线性连续泛函与B a n a c h H a h n -定理Banach S .1929年引进共轭空间这一重要概念,这也就是赋范线性空间上的全体有界线性泛函组成的线性空间,在这个线性空间上取泛函在单位球面的上界为范数,则共轭空间是完备的赋范线性空间. Banach S .还证明了每一连续线性泛函是有界的,但最重要的是B anachS .和Hahn H .各自独立得到的一个定理,这就是泛函分析中最著名的基本定理,即Banach Hahn -定理,它保证了赋范线性空间上一定有足够多的连续线性泛函.泛函这名称属于Hadamard ,他是由于变分问题上的原因研究泛函.定义 2.4.1 设||)||,(⋅X 是赋范线性空间,f 为X 到K 的映射,且对于任意X y x ∈,及K ∈βα,,有)()()(y f x f y x f βαβα+=+则称f 为X 的线性泛函.例2.4.1 在∞l 上,若定义1)(x x f =,则f 为∞l 上的线性泛函.由于线性泛函具有可加性,因此,线性泛函的连续性比较容易刻画.定理2.4.2 设f 是赋范线性空间||)||,(⋅X 上的线性泛函,且f 在某一点X x ∈0上连续,则f 在X 上每一点都连续.证明 对于任意X x ∈,若x x n →,则00x x x x n →+-由f 在0x 点的连续性,因此)()(00x f x x x f n →+-所以)()(x f x f n →,即f 在x 点连续.这个定理说明,要验证泛函f 的连续性,只须验证f 在X 上某一点（例如零点）的连续性就行了.问题2.4.1 是否存在一个赋范线性空间X ,X 上任意线性泛函都连续？例2.4.3 n R 上任意线性泛函都是连续的.事实上令)0,0,1,0,0( =i e ,则任意nR x ∈,有∑==ni ii ex x 1,设0,→∈m nm x R x ,则∑==ni i m im e x x 1)(,且0)(→m ix 对任意i 都成立.因此)0(0)()()(1)(1)(f e f x e xf x f ni i m ini i m im =→==∑∑==,所以f 在0点连续,从而f 在n R 上任意点都连续.定义 2.4.2 若X 上的线性泛函把X 的任意有界集都映为K 的有界集,则称f 为有界线性泛函,否则f 为无界线性泛函.定理 2.4.4 设f 为赋范线性空间||)||,(⋅X 上的线性泛函,则f 是有界的当且仅当存在0>M ,使|||||)(|x M x f ≤.证明 若存在0>M ,使得对任意|||||)(|,x M x f X x ≤∈,则对于X 中的任意有界集F ,有0>r ,使得对任意F x ∈,有r x ≤||||,因此,Mr x M x f ≤≤|||||)(|对所有F x ∈成立,所以)(F f 为K 的有界集,即f 为有界线性泛函.反之,若f 为有界线性泛函,则f 把X 的单位球面}1|||||{)(==x x X S 映为K 的有界集,因此存在0>M ,使得对一切1||||=x ,有M x f ≤|)(|故对任意X x ∈,有M x xf ≤|)||||(| 所以|||||)(|x M x f ≤例2.4.5 对)(|){(i i x x c =为收敛序列},范数||sup ||||i x x =,若定义f 为i i x x f ∞→=lim )(,则f 为c 上的线性泛函,由于||sup ||||i x x =,因此|||||lim ||)(|x x x f i i ≤=∞→所以f 为c 上的有界线性泛函.对于赋范线性空间的线性泛函而言,有界性与连续性是等价的,Banach S .在1929年证明了每一个连续可加泛函（线性连续泛函）都是有界的.定理2.4.6 设X 是赋范线性空间,则X 上的线性泛函是连续的当且仅当f 是有界的. 证明 若f 是有界的,则由上面定理可知存在0>M ,使得|||||)(|x M x f ≤,因此当x x n →时,有)()(x f x f n →,即f 为连续的.反之,假设f 为连续线性泛函,但f 是无界的,则对任意自然数n ,存在X x n ∈,使得|||||)(|n n x n x f >令0,||||0==y x n x y n nn ,则01||||0→=-n y y n ,由f 的连续性可知)()(0y f y f n →,但1||||)()(>=n n n x n x f y f ,0)(0=y f ,从而 1|)()(|0>-y f y f n ,但这与)()(0y f y f n →矛盾.所以f 为连续线性泛函时,f 一定是有界的.线性泛函的连续性还可以利用f 的零空间是闭集来刻画.定理 2.4.7 设X 是赋范线性空间,则X 上的线性泛函是连续的当且仅当}0)(|{)(==x f x f N 为X 的闭线性子空间.证明 明显地)(f N 为线性子空间,因此只须证)(f N 是闭的.若f 是连续线性泛函,则当x x f N x n n →∈),(时,必有)()(x f x f n →,因而0)(=x f ,即)(f N x ∈,所以)(f N 是闭子空间.反之,若)(f N 是闭的,但f 不是有界的,则对于任意正整数n ,有X x n ∈,使|||||)(|n n x n x f >令||||n nn x x y =,则1||||=n y ,且n y f n >|)(|. 取)(,)()(11011y f yz y f y y f y z n n n -=-=, 由于01|)(|||||||)(||||||0→<==-ny f y y f y z z n n n n n 因而0z z n →,且0))()(()(11=-=y f yy f y f z f n n n ,即)(f N z n ∈,从而由)(f N 是闭集可知)(0f N z ∈,但这与1)(0-=z f 矛盾,因此当)(f N 是闭子空间时,f 一定是连续的. 从上面的讨论容易看出,X 上的全体连续线性泛函是一个线性空间,在这个线性空间上还可以定义其范数.定义2.4.3 设f 为X 上的线性连续泛函,则称|||||)(|sup||||0x x f f x ≠= 为f 的范数.明显地,若记X 上的全体线性连续泛函为*X ,则在范数||||f 下是一赋范空间,称之为X 的共轭空间.虽然Hahn H .在1927年就引起了共轭空间的概念,但Banach S .在1929年的工作更为完全些.容易看出,对于任意X f ∈,还有|)(|sup |)(|sup ||||1||||1||||x f x f f x x ≤===.但对于具体的赋范空间X ,要求出X 上的连续线性泛函的范数,有时是比较困难.例 2.4.8 设f 为1l 的连续线性泛函,若取}{i e 为1l 上的Schauder 基,则对任意)(i x x =,有∑∞==1i ii ex x , 故∑∞==1)()(i i ie f xx f ,因而)||(|)(|sup |)(||||)(||)(|111∑∑∑∞=∞=∞=≤≤=i iii iii iix e f e f x e f x x f从而|)(|sup ||||i e f f ≤. 取1)0,0,1,0,0(l e i ∈= , 则1||||=i e , 且|)(|||||||||||||i i e f e f f ≥=, 故|)(|sup ||||i e f f ≥,所以|)(|sup ||||i e f f =.设M 是赋范线性空间X 的子空间,f 为M 上的连续线性泛函,且存在0>C ,使得|||||)(|x C x f ≤对任意M x ∈成立,则f 是否可以延拓到整个范空间X 上？这一问题起源于n 维欧氏空间n R 上的矩量问题. Banach S . 在1920年提交的博士论文中,用几何语言将它推广到无限维空间．1922年,Hahn H .发表的论文也独立地得出类似结果． Hahn H . 在1927年将结果更一般化,在完备的赋范线性空间研究了这一问题,并证明了在X 上f 存在连续延拓F ,使得|||||)(|x C x F ≤对一切M x ∈成立,且对一切M x ∈,有)()(x f x F =. 1929年,Banach S .独立地发表了与Hahn H .相近的定理和证明,并把一定理推广为一般的情形,这就是下面的Banach Hahn -延拓定理.定理 2.4.9 设M 是实线性空间X 的线性子空间,f 为M 上的实线性泛函,且存在X 上的半范数)(x p 使得)(|)(|x p x f ≤, 对任意M x ∈成立则存在f 在X 上的延拓F ,使得(1) )(|)(|x p x F ≤, 对任意X x ∈成立; (2) )()(x f x F =, 对任意M x ∈成立.B o h n e h b i u F H ..与Sobczyk A . 在 1938 年还把Banach Hahn -定理推广到复线性空间.定理 2.4.10 设M 是复线性空间X 的复线性子空间,f 为M 上的线性泛函,p 是X 上半范数且满足)(|)(|x p x f ≤, 对任意M x ∈成立则存在f 在X 上的延拓F ,使得(1) )(|)(|x p x F ≤, 对任意X x ∈成立; (2) )()(x f x F =, 对任意M x ∈成立.利用线性空间的Banach Hahn -延拓定理,可以建立赋范线性空间上的保范延拓定理,它是Banach 空间理论的基本定理.定理 2.4.11 设M 是赋范线性空间X 的线性子空间,f 为M 上的连续线性泛函,则存在X 上线性连续泛函F ,使得(1) **=M X f F |||||||| ;(2) )()(x f x F =, 对任意M x ∈成立.这里*X F ||||表示F 在*X 的范数, *M f ||||表示f 在*M 的范数.证明 由于f 为M 上的连续线性泛函,因此对任意M x ∈,有|||||||||)(|x f x f M *≤. 定义半范数||||||||)(x f x p M *=,则有)(|)(|x p x f ≤,对任意M x ∈.由线性空间的Banach Hahn -定理可知存在F ,使得)()(x f x F =, 对任意M x ∈且)(|)(|x p x F ≤, 对任意X x ∈因此对于任意X x ∈,有|||||||||)(|x f x F M *≤,故F 为X 上的连续线性泛函,且**≤M X f F ||||||||.反过来,由**==≥=≠∈≠∈≠∈M x M x x M x x X x X f x x f x x F x x F F |||||||||)(|sup |||||)(|sup |||||)(|sup||||0,0,0,可知**=M X f F ||||||||, 且)()(x f x F =对任意M x ∈成立.在上面定理中,若X 是复赋范线性空间,则M 必须是复线性子空间.很有意思的是Bohnehbius F H ..和Sobczyk A .在1938年证明在任意无穷维复Banach 空间X 中,一定存在实线性子空间M ,在M 上有一复连续线性泛函不能保范延拓到X 上.问题2.4.2 在Banach Hahn -定理中,什么条件下保范延拓是唯一的？例2.4.12 在},|),{(2121R x x x x X ∈=上,定义范数||||||),(||||||2121x x x x x +==. 令}|)0,{(11R x x M ∈=, 明显地，M 是赋线性空间X 的线性子空间,对M x y ∈=)0,(1,定义1)(x y f =,则|||||||)(|1y x y f ==故1||||≤*M f ,且对)0,1(0=x ,有1|)(|,1||||00==x f x ,因而1||||=*M f ,但对X 上的线性泛函211)(x x x F +=212)(x x x F -=这里X x x x ∈=),(21 在M 上,都有)()(1y f y F = )()(2y f y F =对任意的M x y ∈=)0,(1成立. 在M 上有f F f F ==21,,且***==M X X f F F ||||||||||||21,因此21,F F 是f 的两个不同的保范延拓.定理2.4.13 设||)||,(⋅X 是赋范空间,M 是X 的子空间,X x ∈0,),(0M x d d =0}|||inf{||0>∈-=M y y x ,则存在*∈X f ,使得（1）对任意0)(,=∈x f M x ； （2）d x f =)(0； （3）1||||=f .证明 令}}{{0x M span E ⋃=∆,则对任意E x ∈,x 有唯一的表达式0'tx x x +=,这里M x K t ∈∈',.在E 上定义泛函g ：td x g =)(则g 为E 上的线性泛函,且 （1）d x g =)(0；（2）对任意0)(,=∈x g M x .对0'tx x x +=,不妨假设0≠t .由}||inf{||,|||)'(||)(|00M y x y d d t tx x g x g ∈-==+=可知||||||'||||'||||||'|||||||)(|000x tx x x tx t x t x t d t x g =+=+=--≤=. 因此g 是E 上的线性连续泛函,且1||||≤*M g .根据Banach Hahn -定理,有连续线性泛函*∈X f ,使得 （1）对任意)()(,x g x f E x =∈； （2）||||||||g f =.由0}|||inf{||0>∈-=M y y x d ,可知存在M x n ∈,使得d x x n →-||||0. 故df x x f x f x f x f d n n |||||||||||||)()(||)(|000→-⋅≤-==因此1||||≥f ,所以1||||=f ,且对所有M x ∈,有0)(=x f .特别地,当}0{=M 时,对任意00≠x ,有||||),(00x M x d =,因此由上面定理可知下面推论成立.推论 2.4.14 设X 是赋范线性空间,则对任意0,00≠∈x X x ,有*∈X f ,使得||||)(00x x f =,且1||||=f .该结论的重要意义在于它指出了任意赋范线性空间X 上都存在足够多的线性连续泛函.由下面推论还可知道X 中两个元素y x ,,若对所有*∈X f ,都有)()(y f x f =,则一定有y x =.推论 2.4.15 设X 是赋范线性空间,X y x ∈,则y x ≠当且仅当对存在*∈X f 使得)()(y f x f ≠.证明 假设y x ≠,则对y x z -=,有0||||≠z ,因此Banach Hahn -定理的推论可知存在1||||=f ,使得0||||)(≠=z z f ,从而)()(y f x f ≠.例题2.4.1 设X 是赋范线性空间,试证明对任意X x ∈0,有|)(|sup||||0,1||||0x f x X f f *∈==证明 对任意*∈X f ,1||||=f ,有|||||||||||||)(|000x x f x f =≤因此|)(|sup||||0,1||||0x f x X f f *∈=≥另外, 但对0,00≠∈x X x ,存在*∈X f ,1||||=f ,使得 ||||)(00x x f =, 故|)(|sup||||0,1||||0x f x Xf f *∈=≤, 所以|)(|sup||||0,1||||0x f x Xf f *∈==.例题 2.4.2 设||)||,(⋅X 是赋范空间,若对于任意1||||,1||||,,==∈y x X y x 且y x ≠都有2||||<+y x ,试证明对于任意)1,0(∈α,有1||)1(||<-+y x αα.证明 反证法. 假设存在1||||||||00==y x 和)1,0(0∈α,使得1||)1(||0000=-+y x αα由Banach Hahn -定理的推论,可知存在*∈X f , 1||||=f ,使得||)1(||))1((00000000y x y x f αααα-+=-+即1)()1()(0000=-+y f x f αα这时一定有1)()(00==y f x f . 否则的话,若1)(0<x f 或1)(0<y f ,则1)1()()1()(000000=-+<-+ααααy f x f ,矛盾.因此2)(|)(|sup||||0000,1||||00=+≥+=+*∈=y x f y x f y x Xf f ,又由2|||||||||||0000=+≤+y x y x可知2||||00=+y x ,但这与2||||00<+y x 的题设矛盾,因此由反证法原理可知对于任意)1,0(∈α,有1||)1(||<-+y x αα.2.5 严格凸空间Clarkson A J ..在1936年引入了一致凸的Banach 空间的概念,证明了取值一致凸的Banach 空间的向量测度Nikodym Radon -的定理成立,从而开创了从单位球的几何结构来研究Banach 空间性质的方法.Clarkson A J ..和Gkrein M . 独立地引进了严格凸空间,严格凸空间在最佳逼近和不动点理论上有着广泛的应用.定义 2.5.1 赋范空间X 称为严格凸的,若对任意1||||,1||||,,==∈y x X y x ,y x ≠,都有1||2||<+yx严格凸的几何意义是指单位球面X S 上任意两点y x ,的中点2yx +一定在开单位球}1|||||{<=x x U X 内.例2.5.1 Banach 空间0c 不是严格凸的. 取000),0,0,1,0(),,0,1,1(c y x ∈== ,则1||||||||00==y x ,且对),0,0,1,21(200 =+y x ,明显地有 1||2||00=+y x .类似地,易验证,Banach 空间 ∞l l c ,,1都不是严格凸空间.例2.5.2 若1||||,1||||,,2==∈y x l y x 且y x ≠,则4||||2||||2)||2()||2()||()||(||||||||221212121222=+=+=-++=-++∑∑∑∑∞=∞=∞=∞=y x y x y x y x y x y x i i i i i i i i i i从而4||||4||||22<--=+y x y x ,即1||2||<+yx . 所以2l 是严格凸的.类似地,容易证明Banach 空间)1(∞<<p l p 是严格凸的.定理2.5.3 若X 是严格凸赋范空间,则对任意非零线性泛函*∈X f , f 最多只能在X S 上的一点达到它的范数||||f .证明 反证法.假设存在1||||||||,0000==≠y x y x ,使得||||)()(00f y f x f ==由于||||)]()([21)2(0000f y f x f y x f =+=+ 因此||2||||||)2(||||0000y x f y x f f +≤+= 从而1||2||0≥+y x 明显地,12||||||||||2||0000=+≤+y x y x .因此 1||2||00=+y x ,但这与X 的严格凸假设矛盾,所以由反证法原理可知定理成立.设X 是赋范空间,M 是X 的子空间,对*∈X f , f 在X 上可能有不同的保范延拓,不过,*X 的严格凸性能保证保范延拓的唯一性.Taylor A .在1939年证明了以下结果-function linear of extension The Taylor A ,.[ ].547538),1959(5..,-J Math Duke als .定理 2.5.4 若*X 是严格凸,M 是X 的子空间,则对任意*∈M f ,f 在X 上有唯一的保范延拓.证明 反证法. 假设对*∈M f ,f 在X 上有两个不同的保范延拓1F 及2F ,即对任意M x ∈,都有)()()(21x F x F x f ==,且||||||||21F F =,则1||2/)||||||||(||21≤+f Ff F 由于2|)()(|sup 2||sup ||2||21,1||||21,1||||21x F x F F F F F Mx x X x x +≥+=+∈=∈= ||||2|)()(|sup,1||||f x f x f M x x ≥+=∈=因此1||2/)||||||||(||21=+f Ff F ,但这与*X 是严格凸矛盾. 所以f 在X 上只有唯一的保范延拓.思考题2.5.1 若对X 的任意子空间M ,任意的*∈M f ,f 在X 上都只有唯一的保范延拓,则*X 是否一定为严格凸的？严格凸性还保证了最佳逼近元的唯一性.定义2.5.2 设X 是赋范线性空间X x X M ∈⊂,,若存在M y ∈0,使得||||inf ||||0y x y x My -=-∈则称0y 为M 中对x 的最佳逼近元.定理2.5.5 设M 为赋范线性空间X 上的有限维子空间,则对任意X x ∈,存在M y ∈0,使得||||inf ||||0y x y x My -=-∈证明 令||||inf y x d My -=∈,由下确界的定义,存在M y n ∈,使得d y x n →-||||因而}{n y 是有界序列,即存在0>C ,使得C y n ≤||||,对任意n 成立.事实上,若}{n y 不是有界序列,则对任意N k ∈有}{n n y y k ∈,使得k y k n >||||,故)(||||||||||||||||∞→∞→-≥-≥-k x k x y y x k k n n .但这与d y x k n →-||||矛盾,所以}{n y 为有界序列.由于M 是有限维,且}{n y 为M 中有界序列,因此}{n y 存在收敛子列0y y k n →,且M y ∈0.故d y x y x k n k =-=-∞→||||lim ||||0,所以存在M y ∈0.且||||inf ||||0y x y x My -=-∈.问题2.5.1 上述定理中的最佳逼近元是否一定唯一？例 2.5.6 在2R 中,取范数|}||,max{|||||21x x x =,}|)0,{(11R x x M ∈=,则M 为2R 的一维子空间,取20)1,0(R x ∈=,对于任意M x x ∈=)0,(1,有1}1||,max{||||)0,()1,0(||||||110≥=-=-x x x x故1}|||inf{||),(00≥∈-=M x x x M x d对于)0,1(0=w ,有1||||00=-w x .因此1}|||inf{||),(00=∈-=M x x x M x d . 但对于)0,0(=u 及)0,1(-=v ,都有1||||||||00=-=-v x u x ,因此0x 在M 的最佳逼 元不唯一.既然上述定理中的最佳逼近元不唯一,那么什么时候才能保证唯一呢？定理2.5.7 设X 是严格凸空间,M 为X 的有限维子空间,X x ∈,则在M 中存在唯一的最佳逼近元,即存在M y ∈0,使得||||inf ||||0y x y x My -=-∈证明 令||||inf y x d My -=∈,假设存在M y y ∈21,, 使得d y x d y x =-=-|||||,||||21则由M y y ∈+221,可知d y y x ≥+-||2||21. 由于d y x y x y y x =-+-≤+-||2||||2||||2||2121,从而d y y x =+-||2||21. 因此1||||,1||||21=-=-d y x d y x ,且1||2/)(||21=-+-dy x d y x .但这与X 的严格凸性。
有限个闭凸集之并的凸包的闭性问题
有限个闭凸集之并的凸包的闭性问题闫萍【摘要】借助可分空间的共轭空间中有界闭球的弱星序列紧性, 证明在无穷维数列空间l∞中有限个闭球之并的凸包仍为闭集.【期刊名称】《常熟理工学院学报》【年(卷),期】2006(020)006【总页数】4页(P5-8)【关键词】凸包;闭球;弱星序列紧(闭)集【作者】闫萍【作者单位】常熟理工学院,数学系,江苏,常熟,215500【正文语种】中文【中图分类】O177;O181本文在赋范线性空间中展开讨论，用记号coA表示集合A的凸包. 先引用一个众所周知的命题:命题1 设A,B均是拓扑线性空间X中的紧凸集, 则其并的凸包co(A∪B)仍是紧集. 事实上, 凸包co(A∪B)是紧集A×B×[0,1]在连续映射下的像, 即co(A∪B)=f(A×B×[0,1]),故由紧集的连续像仍是紧集的结论[1,2]可知co(A∪B)也是紧集. 籍此立即可得有限个紧凸集之并的凸包仍是紧集.文献[3]在Bourgin反例(例3. 5. 8)中提出了空间c0中有限个闭凸集之并的凸包是否仍为闭集的问题.虽然[3]未展开一般性讨论,但与紧性问题一样,两个闭凸集之并的凸包是否仍为闭集的问题显然同样有趣、同样重要.然而不幸的是即使在有限维空间中,两个闭凸集之并的凸包也不一定闭.例如在R2中,取A为纵轴上所有点之集,B={(x,0):x∈[0,1]}为横轴上的单位闭区间,显然二者均为闭凸集,但却不是R2中闭集. 由此例可见要使以上问题有肯定回答，则集合的有界性是必要的. 于是我们很自然地提出“有限个有界闭凸集之并的凸包是否仍为闭集”的问题，简称为“凸包闭”问题. 当然在有限维空间中由于有界闭集均为紧集, “凸包闭”问题自然具有肯定答案. 但在无穷维空间中，只要集合的内部不空就非紧[4],即使两个集合均是有界闭凸集, 也不可能借助关于紧性的已有结果得到关于闭性的相应结论.本文介绍作者对此问题研究的一些进展，证明在无穷维数列空间l∞中, 有限个有界闭球之并的凸包仍是闭集.设p≥1,用lp表示全体绝对p-幂可和数列组成的线性空间, 则范数‖x‖|xk|p)1/p使lp构成Banach空间. 空间lp可分, 且具有共轭关系用l∞表示全体有界数列组成的线性空间, 则上确界范数‖x‖|xn|使l∞构成Banach空间，空间l∞不可分，但有共轭关系(l1)* =l∞([4]).定义2.1([4]) 设X是赋范线性空间, X*是X的共轭空间.(1) 设f,fn∈X*, 若∀x∈X,fn(x)→f(x)(n→∞),则称fn弱星(w*- )序列收敛于f,记为或f.(2) 设A⊂X*,若∀时f∈A, 则称A为X*中的弱星(w*- )序列闭集. 称A为X*中的弱星(w*-)序列紧集,若A中任一无穷序列均有子列w*-敛于A中元.先给出关于弱星拓扑的几个引理.引理2.1([4]) 若X是可分赋范线性空间, 则其共轭空间X*中的单位闭球是w*-序列紧集.引理2.2([4]) 设X是Banach空间, X*是X的共轭空间,f,fn∈X*,则当且仅当‖fn‖<∞,且存在E⊂X使span{E}在X中稠密, 对于每个x∈E,fn(x)→f(x)(n→∞).引理2.3 设A,B是l∞中的两个有界w*-序列闭凸集,设使而且对于任意的k∈N，极限与均存在, 则且证明由A,B的有界性与l∞中范数的定义可知x(0),y(0)∈l∞. 注意(l1)*=l∞,在自然映射下l1⊂(l∞)*，但l1≠(l∞)*. 将l1的标准基E中任一元ek看作l∞上的有界线性泛函,则由题设(3)与l1上有界线性泛函的一般形式([4,5])可得从而由span{E}在l1中稠密及引理2. 2可知x(0)是序列{x(n)}的w*-序列极限,同理y(0)是序列{y(n)}的w*-序列极限.于是由A与B的w*-序列闭性可知x(0)∈A,y(0)∈B.由(2)可知亦成立.由于l∞上的w*-拓扑也是线性拓扑, 故由(6)可知证毕.设X是赋范线性空间,x0∈X,0≤r<∞,用B(x0,r)={x∈X:‖x-x0‖≤r}表示以x0为中心,以r为半径的有界闭球. 于是由引理2. 1可知当X可分时, 其共轭空间X*中的任何有界闭球均是w*-序列紧集,从而也是w*-序列闭集.现在给出本文的主要结果:定理2.1 有界数列空间l∞中两个有界闭球之并的凸包仍是闭集证明设A,B是l∞中的两个有界闭球.为了证明co(A∪B)的闭性,由集合A,B的凸性,设使只要证明z∈co(A∪B)即可.由数列{λn}的有界性可知存在严格单增自然数列(0,n)使{λn}的子列{λ(0,n)}收敛某λ0∈[0,1]. 对于k=1,由于相应的第一个坐标形成的子数列与都是有界数列,于是存在子列⊂⊂使如果第k(≥1)个坐标的收敛子数列⊂⊂已经找到, 由于相应的第k+1坐标形成的子数列与仍是有界数列, 于是存在子列⊂与⊂使于是由归纳法原理可以得到两个收敛数列的序列与使对任意的k∈N有取由对角线决定的自然数列{(n,n)},由以上构造可知对于任何k∈N有⊂⊂且当n≥k时总有于是由(8)可知对于任何k∈N均有由构造可知{(n,n)}也是{(0,n)}的子列, 于是再由(7)式可知于是由引理2.3可知证毕.以上证明的关键是利用了l∞中任何有界闭球均是w*-序列闭集的事实与引理2. 3. 虽然收敛数列空间c与收敛于零的数列空间c0均是l∞的闭子空间([4],p43), 但由于其中的闭单位球B(c)与B(c0)不是l∞的w*-序列闭子集, 以致无法利用引理2.3, 采用与定理2.1的证明相似的方法证明定理2.1的相应结论在空间c与c0中仍成立. 以下反例说明c0中单位闭球B(c0)不是l∞中的w*-序列闭集, 同时也说明c与c0均不是l∞的w*-序列闭子空间.反例2.1 取x(n)∈B(c0)⊂B(c)⊂l∞如下:x(2)=(1,-1,0,……),x(3)=(1,-1,1,0,……),x(4)=(1,-1,1,-1,0,……),……………………………………….x(n)=(1,-1,1,-1,…,,0,……),……………………………………….则对任何k∈N有于是由(l1)*=l∞与引理2.2可知).但是显然x(0)∉c, 此即B(c0)不是l∞中的w*-序列闭集, c与c0均不是l∞的w*-序列闭子空间.虽然无法利用引理2. 3, 采用与定理2. 1相似的方法证明, 但我们仍然悬念定理2. 1的相应结论的在空间c与c0中是否仍然成立;由共轭关系lp=(lq)*(p,q>1,+=1)与lq的可分性可知lp 中的有界闭球也是w*-序列闭集, 我们同样猜测相应结论在lp也成立. 现在我们将此问题及“凸包闭”问题明确提出, 待以后考虑:问题2.1 在数列空间c,c0与lp(p>1 )中有限个有界闭球之并的凸包仍是闭集吗? 问题2.2 在数列空间l∞，c,c0与lp(p>1)中有限个有界闭凸集之并的凸包仍是闭集吗?【相关文献】[1] Lang S. Real and Functional Analysis[M]. New York: Springer-Verlag, 1993.[2] Kelly J L. General Topology[M]. New York: D Van Nostrand Company,1955.[3] Bourgin R D. Geometric Aspects of Convex Sets with the Radon-Nikodym Property[M]. New York : Springer-Verlag, 1983.[4] 刘培德. 泛函分析基础[M]. 武汉: 武汉大学出版社, 2001.[5] 刘斯铁尔尼克, 索伯列夫. 泛函分析概要[M]. 杨丛仁,译.北京: 科学出版社, 1985.。
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x 1e1 2e 2 N e N
1 x1 , 2 x2 ,, N xN
18
N
N 是具有许多可能的基的 N 维空间
任意 K N 个线性无关的 N 维向量的跨度形成
的 K 维子空间。
19
2.1.2 开集、闭集和紧集
开球(open ball)
0 0
例 2.11 (单位球面)单位球 B1 (0) 的边界是
S1 0 x X d x, 0 1 ，称为单位球面(unit sphere)。
2 2 中单位球面是 S1 (0) {x 2 : x12 x2 1} ，它是集 2 合 B1 (0) {x 2 : x12 x2 1} 的边界。
例 2.10 开球是开集
图 2.4 开球是开集
N 中的开集和闭集具有如下事实：
任意个开集的并是开集，有限个开集的交是开集。 任意个闭集的交是闭集，有限个闭集的并是闭集。
24
边界点(boundary point)
x 0 是 S X 的边界点 x0 X 的每个邻域既包含
总供给(aggregate suppley) y y y
1 K
均衡要求总需求等于总供给，即 x y
意味着: xn xn yn yn 或者: x n y n
1 M 1 K
7
范数(norm) 实值函数 : X 称为范数 x, y X ， ， 满足：
15
例 2.6 的子空间 原点 {0} 所有经过原点的直线 所有经过原点的平面
3
3 本身
例 2.7 次数小于 N 的多项式 设 Pn 表示所有次数小于 N 的多项式，由于加法和标量乘法 不会提高多项式的次数，因此，集合 Pn 是所有多项式的集合 P 的子空间。
16
非空集合 S X ，跨度：
X 向上无界，则取 inf ，而 inf X
当 inf X X ，称 X 取得(或达到)上确界。
30
2.1.4 序列收敛和完备性
m N 中的序列(sequence) {x m } m 1 或 {x }
m
lim x m x 或 x m x 0 ， M ， m M
集合 X 加上其度量 d 称为度量空间(metric space)， 表示为 (X , d ) 。
9
例 2.3 范数的一些例子
上的绝对值
欧几里德（Euclidean）或 l2 范数
x 2 xT x
1/ 2
2 x12 xn
1/2
Cauchy-Schwarz 不等式： x, y ， x y x
Eff (Y ) Í ¶Y
Eff (Y ) 通常是 b(Y ) 的真子集
28
2.1.5 上确界和下确界
X ， a 是 X 的上界(upper bound) x X ， x a X 的上界的集合
(此时称 X 无上界)
整个 (仅当 X = 时) 闭的无界区间 [b , ) 上确界(supremumin) sup X
第 2 章 赋范线性空间与凸集
2.1 赋范线性空间 2.2 凸集 2.3 一些重要例子 2.4 保持凸性的运算 2.5 分离超平面和支撑超平面
1
2.1 赋范线性空间
2.1.1 赋范线性空间 2.1.2 开集和闭集 2.1.3 上确界和下确界 2.1.4 序列收敛和完备性 2.1.5 紧性 2.1.6 Banach 空间
S 中的点也包含 S c 中的点
边界(boundary) ( S ) 是所有边界点的集合
图 2.5 2 中的内点和边界点
25
闭包(closure) S int S S
S S S 开
S S S 闭。
26
例 2.10 (闭球) 闭球 Cr ( x ) {x X : ( x, x ) r} 是闭集。
x , y , z X ， , ，满足：
1. x + y = y + x (交换律) 2. 3. 4. 5.
(x + y ) + z = x + (y + z ) (结合律)
(x y ) x y
( ) x ax x
( ) x ( x ) (结合律)
1. 非负性(positivity)： x 0 2. 严格非负性(strict positivity)： x 0 x 0 3. 齐次性(homogeneity)： x | | x 4. 三角不等式(triangle inequality)： x y x y
范数用来衡量向量的大小，符号 表明范数是实 数集 上绝对值的推广。
27
例 2.13 效率生产
生产计划 y Y 是有效率的(efficient) 不存在可行计划
y Y ， y ′ y , y ′ ≠ y
Eff (Y ) -有效率的生产计划的集合
Eff y y|y ′ y, y ′ ≠ y y ′ ∉ Y
Y 的每个内点都是非效率的
x N , lim x
p
p
max xn n 1
N
11
例 2.4 生产计划 y y1 ,, yN 的“大小 ” 的测量
y 1 yn
n 1
N
y2 y
y
n 1 n
N
2 n
max yn
12
赋范线性空间(normed linear space) 定义在范数之上的线性空间 X
8
度量(metric) d ( x , y ) x y 符合距离函数的要求 即对 x , y , z X ，满足：
1. 非负性(positivity)： d ( x, y ) 0 2. 严格非负性(strict positivity)： d ( x, y ) 0 x y 3. 对称性(symmetry)： d ( x, y ) d (y , x) 4. 三角不等式(triangle inequality)： d ( x, z ) d ( x , y ) d ( y , z )
|| xm x || 。 Nhomakorabeax 称为 {xm } 的极限点(limit point)或极限(limit)
31
序列 {xm } 收敛 极限惟一
3
6． 0 X ， x + 0 = x 7．对 x X ， y X ， x +y = 0 8． 1x x 线性空间在加法和标量乘法下是闭的(closed)。 线性空间的元素称为向量(vector)。
4
例 2.1 一些线性空间
N 维实向量空间或 N 维欧氏空间：所有 N 维实向量的集
21
S 是 x 0 的邻域 S X 包含 x 0 的开球， x 0 称为 S 的
内点(interior point)
内部(interior) int S S 中所有内点的集合
S 是开的(open) S int S S 是闭的(closed) S c 是开的。
22
合
N
所有实数序列的集合 x1 , x2 ,..., xn , ， xn 所有多项式 x a0 a1t a2t 2 a N t N 的集合。
5
消费集(例 1.1)和生产可能性集(例 1.2)本身不是线 性空间。
但它们都是线性空间 N 的子集，并且都从其母空 间中继续了许多线性特征。
f 在 x S 处的函数值为 f ( x )
13
例 2.5 (空间 l )一生的消费路径选择问题 一种商品， xt 表示 t 期时对该商品的消费量 设消费者是长生不老的 消费者计划 x ( x1 , x2 ,...) 消费集 X ( x1 , x2 ,..., xt ,...) xt ，它是一个线性空间 每期消费受资源限制： | xt | K 。 结合范数 x max xn ，它成为赋范线性空间 l 。
本书涉及的三类赋范线性空间
N 维实向量空间 N M N 阶实矩阵空间 M N
S M 上的有界、连续的实值函数空间 C ( S )
f , g C S , f g ，
x S 处的函数值为 f ( x ) g ( x )
2
2.1.1 赋范线性空间
线性空间(linear space)/向量空间(vector space) 指定义加法和标量乘法的非空集合 X 加法(addition) x, y X ， x y X 标量乘法 x X ， ， x X
17
例 2.8 的标准基 单位向量的集合
N
e1 (1, 0, 0,..., 0) e 2 (0,1, 0,..., 0) e3 (0, 0,1,..., 0) e n (0, 0, 0,...,1)
称为 的标准基。 每一向量 x x1 , x2 , , xN 都有唯一表达式：
N span S n x n n , x n X n1
设 B 是子空间 Y 的子集，如果 B 中没有真子集具有跨 度这一性质，则称 B 是子空间 Y 的基(base)。 基的元素是线性无关的 除 {0} 外，子空间 Y 通常有很多不同的基。 若 Y 有一个由有限个元素组成的基，则所有基都 有相同数目的非零元素，这一数目称为子空间的 维(dimension)。 若子空间没有有限基，则它是无限维的。