大数定律和中心极限定理习题和例题
《概率论与数理统计》典型例题 第四章 大数定律与中心极限定理
= 0.15,
µn 为
5000
户中收视
该节目的户数，所以可应用棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理，即二项分布以正态 分布为极限定理。
解 ： 设 µn 为 5000 户 中 收 视 该 节 目 的 户 数 ， 则 µn ~ B(n, p) ， 其 中
n = 5000, p = 0.15 。 由棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理， µn − np 近似服从 np(1− p)
显然需用到前一不等式，则只需算出 E(X + Y ) 与 D(X + Y ) 即可。
解：由于 E(X + Y ) = 0 ，
D( X + Y ) = DX + DY + 2Cov( X , Y ) = DX + DY + 2ρ XY DX DY = 1+ 4 + 2×1× 2× (−0.5) = 3 ，
( D )服从同一离散型分布。
分析：林德伯格-列维中心极限定理要求的条件是 X 1, X 2,", X n,"相互独
立、同分布、方差存在，这时，当 n 充分大时， Sn 才近似服从正态分布。 根据 条件分析选项即可。
解：显然选项 A 与 B 不能保证 X 1, X 2 , ", X n 同分布，可排除。 选项 C 给出了指数分布，此时独立同分布显然满足，而且由于是指数分布， 方差肯定存在，故满足定理条件。 选项 D 只给出其离散型的描述，此时独立同分布显然满足。 但却不能保证 方差一定存在，因此也应排除。 故选 C 。 注：本例重在考察中心极限定理的条件。
P{ X
− EX
≥ ε}≤
E[g( X − EX )] 。 g(ε )
分析：证明的结论形式与切比雪夫不等式非常相似，利用切比雪夫不等式的 证明思想试试看。
概率论-大数定律和中心极限定理习题和例题
二项分布的正态近似
定理5.2.2 棣莫弗—拉普拉斯中心极限定理
设Yn 为服从二项分布 b(n, p) 的随机变量，则当 n 充分大时，有
Yn np lim P x (x) n np(1 p )
注意点
二项分布是离散分布，而正态分布是连续分布， 所以用正态分布作为二项分布的近似时，可作 如下修正：
E[Yk ] E[ X 32k 2 X 3k 1 X 3k ] E[ X 32k 2 ] E[ X 3k 1 X 3k ] Var[ X 3k 2 ] ( E[ X 3k 2 ]) 2 E[ X 3k 1 ]E[ X 3k ] 6 4 4 14 k 1, 2, , n {Yn }满足辛钦大数定律条件，所以
n = 271
补充例6 设每颗炮弹命中目标的概率为0.01， 求500发炮弹中命中 5 发的概率.
解: 设 X 表示命中的炮弹数, 则 X ~ b(500, 0.01)
(1) P( X 5) C
5 500
0.015 0.99495 ＝0.17635
5.5 5 4.5 5 4.95 4.95
P k1 n k2 P k1 0.5 n k2 0.5
k2 0.5 np k1 0.5 np np(1 p) np(1 p)
我们这门课对修正不做要求
中心极限定理的应用例题补充
解： 依题意，显然有， {X n }是一个独立同分布的随机变量序列，只要存在 有限的公共数学期望，则{X n }的算术平均值依概率收敛于其公共数学期 望，由于X i 服从[5,53]上的均匀分布，所以E[ X i ] (53 5) / 2 29, i 1, 2, , n
大数定律习题全面汇总
第五章 大数定律与中心极限定理〔练习题〕1.随机的掷6个骰子，利用切贝谢夫不等式估计6个骰子出现点数之和在15点到27点之间的概率.解：设i ξ为第i 个骰子出现的点数(1,2,3,4,5,6)i =，它们相互独立.ξ为6个骰子出现的点数之和，即1ki i ξξ==∑.那么有1234562166i E ξ+++++==， 2222112112113512666666612i D ξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯+-⨯++-⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 故21E ξ=，352D ξ=.由切贝谢夫不等式得 2351352(1527)(216)10.514672P P ξξ-<<=-<≥=-≈. 2.一本300页的书中每页印刷错误的个数服从参数为0.2的普哇松分布，求这本书的印刷错误总数不多于70的概率.解：设第i 页的印刷错误个数为(1,2,,300)i i ξ=，那么0.2i E ξ=，0.2i D ξ=且i ξ相互独立，故所求概率为()300000170 1.290.90153i i P ξ=⎛⎫⎛⎫≤≈Φ=Φ=Φ= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑. 3.对敌人阵地进展1000次炮击，炮弹的命中颗数的期望为0.4，方差为3.6，求在1000次炮击中，有380颗到420颗炮弹击中目标的概率近似值.解：设第i 次炮击击中颗数为(1,2,,1000)i i ξ=，有0.4i E ξ=， 3.6i D ξ=那么有1000000010113804203312120.629310.25863i i P ξ=⎛⎫⎛⎫⎛⎫<≤≈Φ-Φ=Φ-Φ- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫=Φ-=⨯-= ⎪⎝⎭∑ 4.某电教中心有100台彩电，各台彩电发生故障的概率为0.02，每台彩电工作是相互独立的.试分别用二项分布、普哇松分布和中心极限定理计算彩电出故障台数不少于1的概率.解：〔1〕根据题意设(100,0.02)B ξ，那么有100(1)1(0)1(0.98)0.8674P P ξξ≥=-==-=〔2〕根据普哇松定理，100n =，0.02p =，2np =，那么有2(1)1(0)10.8647P P e ξξ-≥=-==-=〔3〕根据中心极限定理，有0001(1)111(0.7143)0.7641.4P ξ-⎛⎫≥≈-Φ=-Φ=-Φ-= ⎪⎝⎭ 5.设(1,2,,50)i i ξ=是相互独立的随机变量，它们都服从参数为0.02的普哇松分布.利用中心极限定理计算5012i i P ξ=⎛⎫≥ ⎪⎝⎭∑. 解：设501i i ξξ==∑，因为0.02i E ξ=，0.02i D ξ=，故1E ξ=，1D ξ=，那么有500012(2)11(1)10.84130.1587i i P P ξξ=⎛⎫≥=≥≈-Φ=-Φ=-= ⎪⎝⎭∑ 6.某车间有200台机床，它们独立工作且开工率各为0.6，开工时耗电各为1kW.问供电所至少要供应这个车间多少电力，才能以99.9℅的概率保证这个车间不会因供电缺乏而影响生产？解：设m 为某时刻工作着的机床台数，200n =，0.6p =，某时刻m 台机床工作，需耗电m kW.设供电数为r kW ，根据题意有 ()0.999P m r ≤≥而又有00()P m r ≤≈Φ=Φ故00.999Φ≥查表可得3.1≥ 所以141r ≥.因此，假设向该车间供电141kW ，那么由于供电缺乏而影响生产的概率小于0.001.。
CH5大数定律及中心极限定理--练习题
CH5大数定律及中心极限定理--练习题第一篇：CH5 大数定律及中心极限定理--练习题CH5 大数定律及中心极限定理1.设Ф(x)为标准正态分布函数，Xi=⎨100⎧1,事件A发生；⎩0,事件A不发生，i=1，2，…，100，且P(A)=0.8,X1,X2,…,X100相互独立。
令Y=∑i=1Xi，则由中心极限定理知Y的分布函数F(y)近似于（）y-804A.Ф(y)2.从一大批发芽率为0.9的种子中随机抽取100粒,则这100粒种子的发芽率不低于88%的概率约为.(已知φ(0.67)=0.7486)3.设随机变量X1，X2，…，Xn，…独立同分布，且i=1，2…，0nB.Ф()C.Ф(16y+80)D.Ф(4y+80)Yn=∑i=1⎧⎪Xi,n=1，2，Λ.Φ（x）为标准正态分布函数，则limP⎨n→∞⎪⎩⎫⎪≤1⎬=（）np(1-p)⎪⎭Yn-npA．0B．Φ（1）C．1－Φ（1）D．14.设5.设X服从(-1,1)上的均匀分布，试用切比雪夫不等式估计6.设7.报童沿街向行人兜售报纸，设每位行人买报纸的概率为0.2，且他们买报纸与否是相互独立的。
试求报童在想100为行人兜售之后，卖掉报纸15到30份的概率8.一个复杂系统由n个相互独立的工作部件组成，每个部件的可靠性（即部件在一定时间内无故障的概率）为0.9，且必须至少有80%的部件工作才能使得整个系统工作。
问n至少为多少才能使系统的可靠性为0.959.某人有100个灯泡，每个灯泡的寿命为指数分布，其平均寿命为5小时。
他每次用一个灯泡，灯泡灭了之后立即换上一个新的灯泡。
求525小时之后他仍有灯泡可用的概率近似值相互独立的随机变量，且都服从参数为10的指数分布，求的下界是独立同分布的随机变量，设, 求第二篇：ch5大数定律和中心极限定理答案一、选择题⎧0,事件A不发生1.设Xi=⎨(i=1,2Λ,10000),且P(A)=0.8,X1,X2,Λ,X10000相互独立,令1,事件A发生⎩10000Y=∑X,则由中心极限定理知Y近似服从的分布是（D）ii=1A.N(0,1)C.N(1600,8000)B.N(8000,40)D.N(8000,1600)2．设X1，X2，……，Xn是来自总体N（μ,σ2）的样本，对任意的ε>0，样本均值X所满足的切比雪夫不等式为（B）{X-nμ<ε}≥εnσC．P{X-μ≥ε}≤1-εA．P2nσ{X-μ<ε}≥1-nεnσD．P{X-nμ≥ε}≤εB．Pσ23.设随机变量X的E（X）=μ,D(X)=σ2，用切比雪夫不等式估计P(|X-E(X)|≤3σ)≥（C）A.C.1 98 919121B.3D.14．设随机变量X服从参数为0.5的指数分布，用切比雪夫不等式估计P(|X-2|≥3)≤(C)A.C.1B.3D.1二、填空题1．将一枚均匀硬币连掷100次，则利用中心极限定理可知，正面出现的次数大于60的概率近似为___0.0228________.（附：Φ（2）=0.9772）2．设随机变量序列X1，X2，…，Xn，…独立同分布，且E(Xi)=μ,D(Xi)=σ2>0,i=1,2,…, 则⎧n⎫X-nμ⎪⎪i⎪i=1⎪>x⎬=_对任意实数x，limP⎨n→∞nσ⎪⎪⎪⎪⎩⎭∑___________.3.设随机变量X的E(X)=μ,D(X)=σ2,用切比雪夫不等式估计P(|X-E(X)|≤3σ2)≥ ___8/9________。
大数定律和中心极限定理例题与解析
在大量随机选取的人群中测量身高, 这些身高的平均值将接近正 态分布, 这也是中心极限定理的一个应用实例。
中心极限定理的应用
概率论与统计学
中心极限定理是概率论和统计学中的基本原理 之一, 用于研究随机变量的分布和统计推断。
金融领域
中心极限定理在金融领域中也有广泛应用, 例如在资 产定价、风险管理和投资组合优化等方面。
例题一解析
要点一
题目
一个班级有30名学生, 每个学生随机选择一个1-100之间的整 数。求这30个随机数的平均数大于50的概率。
要点二
解析
首先, 根据大数定律, 当试验次数足够多时, 随机数的算术平 均值趋近于期望值。在本题中, 每个随机数的期望值是50, 因 此30个随机数的平均数期望值是50。其次, 根据中心极限定 理, 当试验次数足够多时, 随机变量的算术平均值的分布趋近 于正态分布。因此, 这30个随机数的平均数大于50的概率可 以通过正态分布的概率密度函数计算得出。
大数定律的实例
抛硬币实验
如果我们抛硬币1000次，虽然单次抛 硬币的结果是随机的，但当我们计算 正面朝上的频率时，会发现这个频Βιβλιοθήκη 会逐渐趋近于50%。生日悖论
在一个有30人的房间里，存在一定概 率两个人生日相同，这个概率随着人 数的增加而趋近于100%。
大数定律的应用
概率论与统计学
大数定律是概率论和统计学中的 基本原理, 用于估计概率和预测未 来的随机事件。
例题三解析
题目
一个彩票公司发行了100万张彩票, 每张彩票都有一个独立 的随机数生成器生成的一个随机数。求至少有1张彩票的随 机数小于1的概率。
解析
首先, 根据大数定律, 当试验次数足够多时, 随机数的频率趋 近于概率。在本题中, 每张彩票的随机数小于1的概率是 1/100（即每张彩票生成的随机数小于1的概率是固定的）。 其次, 根据中心极限定理, 当试验次数足够多时, 随机变量的 独立同分布的随机变量和的分布趋近于正态分布。因此, 这 100万张彩票中至少有1张彩票的随机数小于1的概率可以 通过正态分布的概率密度函数计算得出。
大数定律及中心极限定理习题及答案
第 5 章 大数定律与中心极限定理一、填空题：1.设随机变量μξ=)(E ，方差2σξ=)(D ，则由切比雪夫不等式有≤≥-}|{|σμξ3P 91 . 2.设nξξξ,,, 21是n 个相互独立同分布的随机变量，),,,(,)(,)(n i D E i i 218===ξμξ对于∑==ni in1ξξ，写出所满足的切彼雪夫不等式 228εεξεμξn D P =≤≥-)(}|{| ，并估计≥<-}|{|4μξP n211-. 3. 设随机变量129,,,X X X 相互独立且同分布, 而且有1i EX =,1(1,2,,9)i DX i ==, 令91i i X X ==∑, 则对任意给定的0ε>, 由切比雪夫不等式直接可得{}≥<-ε9X P 291ε-. 解：切比雪夫不等式指出：如果随机变量X 满足：()E X μ=与2()D X σ=都存在, 则对任意给定的0ε>, 有22{||}P X σμεε-≥≤, 或者22{||}1.P X σμεε-<≥-由于随机变量129,,,X X X 相互独立且同分布, 而且有1,1(1,2,9),i i EX DX i === 所以999111()()19,i i i i i E X E X E X μ===⎛⎫===== ⎪⎝⎭∑∑∑9992111()()19.i i i i i D X D X D X σ===⎛⎫===== ⎪⎝⎭∑∑∑4. 设随机变量X 满足：2(),()E X D X μσ==, 则由切比雪夫不等式, 有{||4}P X μσ-≥ 116≤. 解：切比雪夫不等式为：设随机变量X 满足2(),()E X D X μσ==, 则对任意的0ε>, 有22{||}.P X σμεε-≥≤由此得 221{||4}.(4)16P X σμσσ-≥≤=5、设随机变量2σξμξξ==)(,)(,D E ，则≥<-}|{|σμξ2P 43.6、设n ξξξ,,, 21为相互独立的随机变量序列，且),,( 21=i i ξ服从参数为λ的泊松分布，则≤-∑=∞→}{lim x n n P ni in λλξ1∞--xt dt e22 .7、设n η表示n 次独立重复试验中事件A 出现的次数，p 是事件A 在每次试验中出现的概率，则≈≤<}{b a P n η⎰-----)1()1(2221p np np b p np np a t dt e π.8. 设随机变量n ξ, 服从二项分布(,)B n p , 其中01,1,2,p n <<=, 那么, 对于任一实数x , 有lim {|||}n n P np x ξ→+∞-<= 0 .9. 设12,,,n X X X 为随机变量序列,a 为常数, 则{}n X 依概率收敛于a 是指{}=<->∀+∞>-εεa X P n n lim ,0 1 ,或{}=≥->∀+∞>-εεa X P n n lim ,0 0 。
大数定律及中心极限定理练习题
第五章 大数定律及中心极限定理练习题1. 在每次试验中，事件A 发生的概率为0.5 ,利用切比雪夫不等式估计：在1000次独立试验中，事件A 发生的次数X 在600~400之间的概率.2. 每次射击中，命中目标的炮弹数的均值为2，方差为25.1，求在100次独立射击中有180发到220发炮弹命中目标的概率．3．设有30个同类型的电子器件3021,,,D D D ，若)30,,2,1( =i D i 的使用寿命服从参数为1.0=λ的指数分布，令T 为30个器件各自正常使用的总计时间，求}350{>T P ．4．在天平上重复称量一件物品,设各次称量结果相互独立且服从正态分布2(,0.2)N μ， 若以n X 表示n 次称量结果的平均值，问n 至少取多大，使得 {||0.1}0.05n P X μ-≥<．5．由100个相互独立起作用的部件组成的一个系统在运行过程中，每个部件能正常工作的概率都为90% ．为了使整个系统能正常运行，至少必须有85%的部件在正常工作，求整个系统能正常运行的概率．6．某单位设置的电话总机，共有200门电话分机，每门电话分机有5%的时间要用外线通话，假设各门分机是否使用外线通话是相互独立的，问总机至少要配置多少条外线，才能以90%的概率保证每门分机要使用外线时，有外线可供使用．7．计算机在进行加法运算时，对每个加数取整(取为最接近于它的整数). 设所有的取整误差相互独立且都服从区间)5.0,5.0(-上的均匀分布.(1) 求在1500个数相加时，误差总和的绝对值超过15的概率.(2) 欲使误差总和的绝对值小于10的概率不小于%90，最多能允许几个数相加？8．设某公路段过往车辆发生交通事故的概率为0.0001, 车辆间发生交通事故与否相互独立, 若在某个时间区间内恰有10万辆车辆通过, 试求在该时间内发生交通事故的次数不多于15次的概率的近似值..9．设某学校有1000名学生, 在某一时间区间内每个学生去某阅览室自修的概率是0.05, 且设每个学生去阅览室自修与否相互独立. 试问该阅览室至少应设多少座位才能以不低于0.95的概率保证每个来阅览室自修的学生均有座位？。
第四章大数定律与中心极限定理典型题
设一个学生无家长、有1名家长、2名家长来参加会议的概率分别为
0.05、0.8、0.15.若学校共有400名学生，各学生参加会议的家长人数
相互独立，且服从同一分布.求
（1）参加会议的家长人数超过450人的概率；
（2）有1名家长来参加会议的学生人数不多于340人的概率.
解：1用Sn表示参加会议的家长人数，X k (k 1, 2,
第四章 大数定律与中心极限定理典型例题
一、本章基本要求
1. 了解切比雪夫大数定律的条件与结论，了解依概率收敛 的概念；
2. 掌握伯努利大数定律、辛钦大数定律成立的条件和结论； 3. 掌握独立同分布的中心极限定理、棣莫弗-拉普拉斯中
心极限定理成立的条件和结论，并会用于近似计算有关 事件的概率。
二. 典型例题
解 设n表示所求的箱数并设X i (i 1, 2, , n)表示第i箱的重量，
则 X1, X 2,
,
X n
n
独立同分布，且
E(
X
i
)
50, D( X i
)
25,
由题意
所求概率为 P{ Xi 5000} 0.997, 由中心极限定理，有
n P{
i 1
i 1
Xi
5000}
的过路人数,i 1，2， 100,则 P X i k p 1 p k 1 , p1/3 k 1, 2,
E(Xi )
1 p
3,
D(
X
i
)
1
p p2
6.
p 1/ 3
p 1/ 3
100
因为X1, X 2 , , X100相互独立, X X k , E(X ) 300, D(X ) 600
大数定律与中心极限定理习题
第六章 大数定律与中心极限定理习题一、 填空题1．设n ξ是n 次独立试验中事件A 出现的次数，P 为A 在每次试验中出现的概率，则对任意的0>ε,有=≥-)(εξp n P n。
2．设随机变量ξ，E ξ＝μ,D ξ＝2σ，则≥<-)2(σμξP 。
3．设随机变量ξ的方差为2，则根据切比雪夫不等式有估计≤≥-)2(ξξE P 。
4．在概率论里，把研究在什么条件下，大量独立随机变量和的分布以 为极限这一类定理称为中心极限定理.5．将一枚硬币连掷100次，则出现正面的次数大于60的概率约为 。
6．在天平上重复称量一重为a 的物体,假设各次称重结果相互独立且同服从正态分布)2.0,(2a N ，若以n X 表示n 次称重结果的算术平均值，则为使95.0)1.0(≥<-a X P n ,n 的最小值应不小于自然数 。
二、选择题1．设随机变量ξ服从参数为n ，p 的二项分布,则当∞→n 时，≈<<)(b a P ξ（ )。
(A ）)()(a b Φ+Φ （B ）)()(00a b Φ+Φ （C))()(a b Φ-Φ （D ）1)(20-Φb2．设ξ为服从参数为n ，p 的二项分布的随机变量，则当∞→n 时，npq np-ξ一定服从（ ）。
(A)正态分布。
( B)标准正态分布。
（C ）普哇松分布。
( D ）二项分布。
三、计算题1.对敌人的防御地段进行100次射击，每次射击中，炮弹命中数的数学期望为2，而命中数的均方差为1。
5，求当射击100次时，有180颗到220颗炮弹命中目标的概率。
2.计算机在进行加法时，对每个加数取整（取为最接近于它的整数)，设所有的取整误差是相互独立的，且它们都在（－0.5，0。
5)上服从均匀分布。
（1）若将1500个数相加,问误差总和的绝对值超过15的概率是多少?(2）多少个数加在一起时的误差总和的绝对值小于10的概率为0.90？3。
已知某工厂生产一大批无线电元件，合格品占61，某商店从该厂任意选购6000个这种元件，问在这6000个元件中合格品的比例与61之差小于1％的概率是多少？ 4.一生产线生产的产品成箱包装，每箱的重量是随机的，假设每箱平均重50千克,标准差为5千克，若用最大载重量为5吨的汽车承运，试用中心极限定理说明每辆车最多可以装多少箱，才能保障不超载的概率大于0。
(完整word版)五、大数定律与中心极限定理(答案)
概率论与数理统计练习题系 专业 班 姓名 学号第五章 大数定律与中心极限定理一、选择题：1．设n μ是n 次重复试验中事件A 出现的次数,p 是事件A 在每次试验中出现的概率，则对任意的0ε>均有lim {}n n P p n με→∞-≥ ［ A ]（A ）0= (B ）1= （C)0> (D ）不存在2．设随机变量X ，若2() 1.1,()0.1E X D X ==，则一定有 [ B ]（A){11}0.9P X -<<≥ （B ）{02}0.9P X <<≥(C){|1|1}0.9P X +≥≤ (D){|}1}0.1P X ≥≤3．121000,,,X X X 是同分布相互独立的随机变量，~(1,)i X B p ，则下列不正确的是 ［ D ]（A ）1000111000i i X p =≈∑ （B)10001{}i i P a X b =<<≈Φ-Φ∑ (C)10001~(1000,)i i X B p =∑ （D ）10001{}()()i i P a X b b a =<<≈Φ-Φ∑二、填空题：1．对于随机变量X ，仅知其1()3,()25E X D X ==，则可知{|3|3}P X -<≥2．设随机变量X 和Y 的数学期望分别为2-和2，方差分别为1和4，而相关系数为5.0-，则根据契比雪夫不等式{}6P X Y +≥≤三、计算题:1．设各零件的重量是同分布相互独立的随机变量，其数学期望为0.5kg ,均方差为0.1kg，问5000只零件的总重量超过2510kg 的概率是多少？解：设第i 件零件的重量为随机变量i X ，根据题意得0.1.i EX ==5000500011()50000.52500,()50000.0150.i i i i E X DX ===⨯==⨯=∑∑5000500012500(2510)110.92070.0793.i i i X P X P =->=>≈-Φ≈-=∑∑2．计算器在进行加法时，将每个加数舍入最靠近它的整数，设所有舍入误差是独立的且在(0.5,0.5)-上服从均匀分布。
《概率论与数理统计》典型例题 第四章 大数定律与中心极限定理
解：设 µA 为在 1000 次试验中 A 发生的次数，同时其频率与概率的绝对偏差 为 ε ，则
P
⎧ ⎨ ⎩
µA 1000
−
1 4
<
ε
⎫ ⎬
=
0.9997
。
⎭
由棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理得
⎛
P
⎧ ⎨ ⎩
µA 1000
= 0.15,
µn 为
5000
户中收视
该节目的户数，所以可应用棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理，即二项分布以正态 分布为极限定理。
解 ： 设 µn 为 5000 户 中 收 视 该 节 目 的 户 数 ， 则 µn ~ B(n, p) ， 其 中
n = 5000, p = 0.15 。 由棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理， µn − np 近似服从 np(1− p)
第四章 大数定律与中心极限定理
例 1．设随机变量 X 和Y 的数学期望分别为－2 和 2，方差分别为 1 和 4，而
相关系数为－0.5，则根据切比雪夫不等式有 P{ X + Y ≥ 6} ≤
。
分析：切比雪夫不等式： P{ X − EX
≥ ε}≤
DX ε2
或 P{ X − EX
<
ε}
≥
1−
DX ε2
，
注：这是切比雪夫不等式的推广。 当 g(x) = x2 时，即为切比雪夫不等式。
例 3．设随机变量序列 X 1, X 2 , ", X n 相互独立，且都服从参数为 2 的指数分
∑ 布，则当 n
→
∞ 时，Yn
=
大数定律与中心极限定理 定义与例题
三、典型例题
一加法器同时收到 例1 20 个噪声电压 Vk ( k 1 , 2 , 20 ), 设它们是相互独立的随 且都在区间 ( 0 ,10 ) 上服从均匀分布 机变量 , ,记 V
k 1
20
Vk ,
求 P { V 105 } 的近似值 .
解 E (V k ) 5 ,
解：对每台车床的观察作为一次试验，
每次试验观察该台车床在某时刻是否工作， 工作的概率为0.6，共进行200次试验. 用X表示在某时刻工作着的车床数， 依题意， X~B(200,0.6), 设应供应N千瓦电力,现在的问题是：求满足 P(X≤N)≥0.999 的最小的N.
由德莫佛-拉普拉斯极限定理
X np np(1 p)
i1
n
Xi
n
1
n
EX i
i1
0.
切比雪夫不等式
如 果 随 机 变 量 X的 数 学 期 望 EX 和 方 差 DX 存 在 , 则 对于任一正数, 都有 P
X EX
DX
2
证 明 ： 对 于 任 给 正 数 , 由 切 比 雪 夫 不 等 式 ,有 1 D n
i1
n
Xi
n
1
n
EX i
i1
0.
辛钦大数定律
设 随 机 变 量 X 1 , X 2 , , X n , 独 立 同 分 布 , 且 数 学 期 望 存 在 ,则 对 于 任 意 0, 有 1 li m P n n
i1
n
X i 0.
例1 判 断 下 列 说 法 的 对 错 , 并 简 述 理 由 : (1 ) 设 随 机 变 量 X 1 , X 2 , , X n , 独 立 同 具 有 密 度 f ( x ), 则 序 列 X 1 , X 2 , , X n , 满 足 辛 钦 大 数 定 律 . ( 2 ) 设 随 机 变 量 X 1 , X 2 , , X n , 独 立 同 服 从 参 数 为 的 泊 松 分 布 , 则 X 1 , 2 X 2 , , n X n , 满 足 切 比 雪 夫 大 数 定 律 .
第5章大数定律及中心极限定理习题及答案
第 5 章 大数定律与中心极限定理一、填空题：1.设随机变量μξ=)(E ，方差2σξ=)(D ，则由切比雪夫不等式有≤≥-}|{|σμξ3P 91 . 2.设nξξξ,,,Λ21是n 个相互独立同分布的随机变量，),,,(,)(,)(n i D E i i Λ218===ξμξ对于∑==ni in 1ξξ，写出所满足的切彼雪夫不等式 228εεξεμξn D P =≤≥-)(}|{| ，并估计≥<-}|{|4μξP n211-. 3. 设随机变量129,,,X X X L 相互独立且同分布, 而且有1i EX =,1(1,2,,9)i DX i ==L , 令91i i X X ==∑, 则对任意给定的0ε>, 由切比雪夫不等式直接可得{}≥<-ε9X P 291ε-. 解：切比雪夫不等式指出：如果随机变量X 满足：()E X μ=与2()D X σ=都存在, 则对任意给定的0ε>, 有22{||}P X σμεε-≥≤, 或者22{||}1.P X σμεε-<≥-由于随机变量129,,,X X X L 相互独立且同分布, 而且有 1,1(1,2,9),i i EX DX i ===L 所以999111()()19,i i i i i E X E X E X μ===⎛⎫===== ⎪⎝⎭∑∑∑9992111()()19.i i i i i D X D X D X σ===⎛⎫===== ⎪⎝⎭∑∑∑4. 设随机变量X 满足：2(),()E X D X μσ==, 则由切比雪夫不等式, 有{||4}P X μσ-≥ 116≤. 解：切比雪夫不等式为：设随机变量X 满足2(),()E X D X μσ==, 则对任意的0ε>, 有22{||}.P X σμεε-≥≤由此得 221{||4}.(4)16P X σμσσ-≥≤=5、设随机变量2σξμξξ==)(,)(,D E ，则≥<-}|{|σμξ2P 43.6、设n ξξξ,,,Λ21为相互独立的随机变量序列，且),,(Λ21=i i ξ服从参数为λ的泊松分布，则≤-∑=∞→}{lim x n n P ni in λλξ1∞--xt dt e22 .7、设n η表示n 次独立重复试验中事件A 出现的次数，p 是事件A 在每次试验中出现的概率，则≈≤<}{b a P n η⎰-----)1()1(2221p np np b p np np a t dt e π.8. 设随机变量n ξ, 服从二项分布(,)B n p , 其中01,1,2,p n <<=L , 那么, 对于任 一实数x , 有lim {|||}n n P np x ξ→+∞-<= 0 .9. 设12,,,n X X X L 为随机变量序列,a 为常数, 则{}n X 依概率收敛于a 是指 {}=<->∀+∞>-εεa X P n n lim ,0 1 ,或{}=≥->∀+∞>-εεa X P n n lim ,0 0 。
大数定律与中心极限定理习题
大数定律与中心极限定理习题第五章大数定律与中心极限定理习题 1.用切贝谢夫不等式估计下列各题的概率:(1) 废品率为0.03 ，1000个产品中废品多于20个且少于40个的概率。
(2) 200个新生婴儿中，男孩多于80个且少于120个的概率(假定生男孩和生女孩的概率均为佳0.5)。
2(用推论计算上题的概率。
X,X,？,XX12ni3(如果是n个相互独立，同分布的随机变量，E()=μ，n1X,X,iD(X),8ni,1iX(i=1,2,…,n)，对于，写出所满足的切贝谢夫不等式，并估计P(X,,,4)。
4(一颗骰子连续掷4次，点数总和记为X，估计P{10,X,18}5.袋装茶叶用机器装袋，每袋的净重为随机变量，其期望值为本100g ，标准差为本10g ，一大盒内装200袋，求一盒茶叶净重大于20.5 kg 的改率。
6(用拉普拉斯定理的推论近似计算从一批废品率为0.05 的产品中，任取1000件，其中有20件废品的概率。
7(生产灯泡的合格率为0.6 ,求10000个灯泡中合格灯泡数在5800 ~6200 的概率。
8(从大批发芽率为0.9 的种子中随意抽取1000粒，试估计这1000粒种子发芽率不低于0.88 的概率。
9(某车间有同型号机床200部，每部开动的概率为0.7 ,假定各机床开关是独立的，开动时每部要消耗电能15 个单位。
问电厂最少要供应这个车间多少电能，才能以95%的概率保证不致因供电不足而影响生产。
10(一大批种蛋中，良种蛋占80% ，从中任取500枚，求其中良种蛋率未超过81% 的概率。
11(某商店负责供应某地区1000人商品。
某种商品在一段时间内每人需用一件的概率为0.6 ,假定在这一段时间各人购买与否彼此无关，问商店应预备多少件这种商品，才能以99.7%的概率保证不会脱销(假定该商品在某一段时间内每人最多可以买一件)。
12(一个复杂的系统，由100个相互独立起作用的部件所组成。
大数定律和中心极限定理例题与解析
要点二
详细描述
中心极限定理是指无论随机变量的个体分布是什么，当样 本量足够大时，样本均值的分布近似正态分布。例如，从 一个总体中随机抽取的100个样本的均值应该接近总体的 均值，并且其分布近似正态分布。
主题总结与启示
• 总结词：大数定律和中心极限定理是概率论中的重要概念，它们揭示了随机现 象的规律性，对于理解和预测随机现象具有重要意义。
大数定律和中心极限定理例题与解 析
目 录
• 引言 • 大数定律例题 • 中心极限定理例题 • 解析与总结
01 引言
主题简介
主题概述
大数定律和中心极限定理是概率论中 的重要概念，它们在统计学、金融、 计算机科学等领域有着广泛的应用。
主题背景
大数定律和中心极限定理分别描述了 在大量数据和独立同分布的情况下， 随机变量的分布规律。
假设我们进行大量的抛硬币实验，每次实验的结果只有两种可能：正面朝上或反面 朝上。根据大数定律，当实验次数足够多时，正面朝上的频率趋近于50%，反面朝 上的频率也趋近于50%。
例题二：抽取彩票
总结词
在抽取大量彩票时，中奖概率趋近于预设的中奖率。
详细描述
假设一张彩票的中奖概率为1%，那么在抽取100张彩票时，根据大数定律，大 约有1张彩票中奖。随着抽取的彩票数量增加，中奖的彩票数量趋近于预设的中 奖率。
例题二：保险精算
总结词
保险精算是中心极限定理在保险业中的一个重要应用 ，用于计算保险费和赔偿金。
详细描述
保险精算是保险业中一项重要的工作，它涉及到如何 合理地计算保险费和赔偿金。在保险精算中，中心极 限定理常常被用来估计某个事件发生的概率。例如， 一个保险公司可能会根据中心极限定理来估计某个特 定人群在未来一年内发生特定事件的概率，从而制定 相应的保险费和赔偿金方案。通过中心极限定理，保 险公司可以更准确地预测风险，从而做出更合理的决 策。
概率论与数理统计+第五章+大数定律及中心极限定理+练习题答案
〖填空题〗例5.1（棣莫佛-拉普拉斯定理） 设某种电气元件不能承受超负荷试验的概率为0.05．现在对100个这样的元件进行超负荷试验，以X 表示不能承受试验而烧毁的元件数，则根据中心极限定理{}≈≤≤105X P．分析 不能承受试验而烧毁的元件数X ～),(p n B ．根据棣莫佛-拉普拉斯定理，X 近似服从正态分布),(npq np N ，其中n =100，p =0.05，q =0.95．因此{}．4890.0)0()29.2(29.275.45075.451075.450105105=-≈⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤-≤=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤-≤=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤-≤-=≤≤ΦΦX X npq np npq np X npq np X P P P P例5.2（棣莫佛-拉普拉斯定理）设试验成功的概率p =20%，现在将试验独立地重复进行100次，则试验成功的次数介于16和32次之间的概率Q ≈ ．分析 以n ν表示100次独立重复试验成功的次数，则)20.0 100(~，B nν，且4)1(20=-===p np np n n ννD E ，．因此试验成功的次数介于16和32次之间的概率{}[][]，84.08413.019987.0)1(1)3()1()3(42032420420163216=--=--=--≈⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤-≤-=≤≤=ΦΦΦΦννn n Q P P 其中)(u Φ是标准正态分布函数．例5.3（棣莫佛-拉普拉斯定理） 将一枚均匀对称的硬币接连掷10000次，则正面恰好出现5000次的概率≈α．分析 正面出现的次数ν)5.0 , 10000(~B ，2500,5000==ννD E ．根据局部定理，有008.025012D 1}5000{≈=≈==ππνναP ．例5.10（辛钦大数定律） 将一枚色子重复掷n 次，则当∞→n 时，n 次掷出点数的算术平均值n X 依概率收敛于 7/2 ．分析 设n X X X ,,,21 是各次掷出的点数，它们显然独立同分布，每次掷出点数的数学期望等于7/2．因此，根据辛钦大数定律，n X 依概率收敛于7/2．5.2. （1）121；（2）90；（3）21；（4）))((λλ-Φx n〖选择题〗例5.11（中心极限定理） 设随机变量n X X X ,,,21 相互独立，n n X X X S +++= 21，则根据列维-林德伯格中心极限定理，当n 充分大时n S 近似服从正态分布，只要n X X X ,,,21(A) 有相同期望和方差． (B) 服从同一离散型分布．(C) 服从同一指数分布． (D) 服从同一连续型分布． [ C ]分析 应选（C ）．列维-林德伯格中心极限定理的条件是：随机变量n X ,,X ,X 21相互独立同分布, 并且其数学期望和方差存在．由于有相同的数学期望未必有相同分布，可见(A)不满足定理条件．满足(B)和(D)的随机变量i X 的数学期望或方差未必存在，故(B)和(D)也不满足定理条件．于是，只有(C)成立(指数分布的数学期望和方差都存在)．例5.14（大数定律）下列命题正确的是(A) 由辛钦大数定律可以得出切比雪夫大数定律． (B) 由切比雪夫大数定律可以得出辛钦大数定律． (C) 由切比雪夫大数定律可以得出伯努利大数定律．(D) 由伯努利大数定律可以得出切比雪夫大数定律． [ C ]分析 应选（C ）．切比雪夫大数定律的条件是：随机变量 ,,,,21n X X X 两两独立，并且存在常数C ，使),,,2,1( n i C X i=≤D ；这样的常数C 对于选项（C ）存在．伯努利大数定律可以表述为：假设随机变量 ,,,,21n X X X 独立同服从参数为p 的0-1分布，则p X n ni i n =-∑=∞→11lim P ；对于服从参数为p 的0-1分布随机变量 ,,,,21n X X X ，显然),,,2,1(41)1( n i p p X i =≤-=D ．从而满足服从切比雪夫大数定律的条件．此外，（A ），（B ）和（D ）显然不成立．5.1. （1）A ；（2）C ；（3）C ；（4）A〖计算题〗例5.16（棣莫佛-拉普拉斯定理） 设n ν是n 次伯努利试验成功的次数，p (0<p <1)是每次试验成功的概率，n f n n ν=是n 次独立重复试验成功的频率，设n 次独立重复试验中，成功的频率f n 对概率p 的绝对偏差不小于Δ的概率{}α∆=≥-p f n P ． (5.10)试利用中心极限定理，(1) 根据∆和n 求α的近似值； (2) 根据α和n 估计∆的近似值； (3) 根据α∆和估计n ． 解 变量n ν服从参数为),(p n 的二项分布．记p q -=1，则由（5.7）知，当n 充分大时nν近似服从正态分布),(npq np N ．因此，近似地有{}{}，，～)1,0(~α∆ν∆ν∆να=≥≈⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥-=≥--u U pq n npqnp p n p f N npqnpU n n n n n P P P P(5.11)其中U 是服从)1,0(N 的随机变量，而αu 是)1,0(N 水平α双侧分位数(附表2)．故(5.12)(1) 已知n 和∆，求α．利用附表1，可以由（5.11）求出α的值(附表1)．例如，若(5.12)式左侧等于1.96，则05.0≈α．亦可由下式求α的近似值．有． 12 1 ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧<-≈⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥-=pq n pq n U pq n npq np n ∆Φ∆∆ναP P (5.13) 进而由)1,0(N 分布函数)(x Φ的数值表（附表1）最后求出α的值．(2) 已知n 和α，求∆．由（*）和41≤pq ，可见nu n pqu 2αα∆≤≈； (5.14) (3) 已知α和∆，求n ．由（5.12）和pq ≤1/4，可见2⎪⎭⎫⎝⎛≈∆αu pq n 或2241⎪⎭⎫ ⎝⎛≥⎪⎭⎫ ⎝⎛≥∆∆ααu pq u n ． (5.15)例5.17（棣莫佛-拉普拉斯定理） 假设某单位交换台有n 部分机，k 条外线，每部分机呼叫外线的概率为p ．利用中心极限定理，解下列问题：(1) 设n =200，k =30，p =0.12，求每部分机呼叫外线时能及时得到满足的概率α的近似值． (2) 设n =200，p =0.12，问为使每部分机呼叫外线时能及时得到满足的概率α≥95%，至少需要设置多少条外线？(3) k =30，p =0.12，问为使每部分机呼叫外线时能及时得到满足的概率α≥95%，最多可以容纳多少部分机？解 设n ν——n 部分机中同时呼叫外线的分机数，k ——外线条数，则n ν服从参数为(n , p )的二项分布，=np24，npq =21.12．当n 充分大时，根据棣莫佛-拉普拉斯中心极限定理，近似地)1 ,0(~N npqnpU n n -=ν．(1) 设n =200，k =30，p =0.12，每部分机呼叫外线时能及时得到满足的概率{}()． 9049.031.112.21243012.21243030≈=⎪⎭⎫⎝⎛-≈⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤-=≤=ΦΦνναnpqnp n n P P (2) 设n =200，p =0.12，k ——至少需要设置的外线条数，则{}．，； 31.562412.216449.1 1.644912.212495.012.212412.2124≈+⨯≥≥-≥⎪⎭⎫⎝⎛-≈⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤-=≤=k k k k npq np k n n ΦνναP P即至少需要设置32外线．(3) 设k =30，p =0.12，且每部分机呼叫外线时能及时得到满足的概率≥α95%．由{}95.01056.012.0301056.012.03030≥⎪⎭⎫⎝⎛-≈⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤-=≤=n n n n npq np n n ΦνναP P ， 6449.11056.012.030≥-n n．09004857.70144.0 6449.11056.012.0302=+-≥-n n nn，，它有两个实根：3310431,7972.18821==n n ；经验证33104312=n 为增根，由此得n ≈188.797，即最多可以容纳188部分机．例5.20（列维-林德伯格定理） 设n X X X ,,,21 是独立同分布随机变量，n X 是其算术平均值．考虑概率{}α∆μ=≥-n X P ， (5.16)其中μ=iX E ()n i .,2,1 =，()0>∆∆和α(0<α<1)是给定的实数．试利用中心极限定理，根据给定的，(1) ∆和n ，求α的近似值； (2) α和n ，求∆的近似值；(3)α∆和，估计n ．解 式（5.16）中的三个数),,(α∆n 相互联系又相互制约：其中的任意两个可以完全决定第三个．不过，明显地表示出它们之间的关系一般并不容易．假如n 充分大，则利用（5.9）式可以（近似地）表示出α∆,,n 之间的关系．易见μ=nX E ，X n 2σ=D ．(1) 已知∆和n ，求α-1的近似值：{}⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛≈⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧≤-=≤-=-σ∆Φσ∆Φσ∆σμ∆μαn n n n X X n n P P 1． (2) 已知α和n ，求∆的近似值．由(5.17)式可得nu σ∆α ≈．(3) 已知α∆和，求n 的近似值．由(5.18)有2⎪⎭⎫⎝⎛≈∆σαu n ．例5.21（列维-林德伯格定理） 某保险公司接受了10000电动自行车的保险，每辆每年的保费为12元．若车丢失，则车主得赔偿1000元．假设车的丢失率为0.006，对于此项业务，试利用中心极限定理，求保险公司：(1) 亏损的概率α；(2) 一年获利润不少于40000元的概率β； (3) 一年获利润不少于60000元的概率γ．解 设X 为需要赔偿的车主人数，则需要赔偿的金额为X Y1.0=（万元）；保费总收入C =12万元．易见，随机变量X 服从参数为（n ，p ）的二项分布，其中 n =10000，p =0.006；60==np X E ，)1(p np X -=D =59.64．由棣莫佛-拉普拉斯定理知，随机变量X 近似服从正态分布)64.59,60(N ；随机变量Y 近似服从正态分布)5964.0,6(N ．(1) 保险公司亏损的概率{}0)77.7(177.75964.065964.06125964.0612≈-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧>-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧->-=>=ΦαY Y Y P P P ．(2) 保险公司一年获利润不少于4万元的概率{}{}．9952.0)59.2(5964.0685964.068412=≈⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤-=≤=≥-=ΦβY Y Y P P P (3) 保险公司一年获利润不少于6万元的概率{}{}．5.0)0(05964.066612=≈⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤-=≤=≥-=ΦγY Y Y P P P例5.22（棣莫佛-拉普拉斯定理） 假设伯努利试验成功的概率为5%．利用中心极限定理估计，进行多少次试验才能以概率80%使成功的次数不少于5次．解 设n 是所需试验的次数，每次试验成功的概率p =0.05．以n ν表示n 次伯努利试验成功的次数，则),(~p n B nν，npq np n n ==ννD E ，，其中p q -=1；由棣莫佛-拉普拉斯定理，知对于充分大的n ，随机变量n ν近似服从正态分布),(npq np N ．查)1,0(N 分位数表，可见()()8416.018416.080.0--==ΦΦ．因此{}()．8416.01)1(51)1(5)1(5.080.0--=⎪⎪⎭⎫⎝⎛---≈⎭⎬⎫⎩⎨⎧--≥--=≥=ΦΦννp np np p np np p np np n n P P．，），（025)8416.010()1(8416.058416.0)1(522222≈++--≈--≈--n n p p np np p np np将05.0=p 代入上列方程，的关于n 的一元二次方程：0255354.00025.02≈+-n n ，其根为79.6837.14521==n n ，．经验证79.682=n 为增根，舍去2n ，取37.1451461=>=n n ．于是，至少需要进行146次试验才能以概率80%保障成功的次数不少于5次．例5.26（列维-林德伯格定理） 生产线组装每件产品的时间服从指数分布．统计资料表明，每件产品的平均组装时间为10分钟．假设各件产品的组装时间互不影响．试利用中心极限定理，(1) 求组装100件产品需要15到20小时的概率Q ；(2) 求以概率0.95在16个小时内最多可以组装产品的件数． 解 以)100,,2,1( =iX i 表示第i 件产品的组装时间．由条件知)100,,2,1( =i X i 独立同服从指数分布．由指数分布的数字特征和条件“每件产品的平均组装时间为10分钟”，可见10=i X E ；由于i X 服从指数分布，可见()2210==i i X X E D ．(1) 因为n =100充分大，故由列维-林德伯格定理，知100件产品组装的时间10021X X X T n +++= 近似服从()210100 10100⨯⨯，N ，因此{}．8156.0)8413.01(9973.0)1( )2( 21010010100112009002=--=--≈⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤⨯⨯-≤-=≤≤=ΦΦT T Q n n P P(2) 16小时即960分钟．需要求满足{}95.0960=≤n T P 的n ．由列维-林德伯格定理，知当n 充分大时，n nX X X T +++= 21近似服从()nn N 210 10，，故由{}， 101096010109601010960950⎪⎭⎫⎝⎛-≈⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤-=≤=n n n n n n T T .n n ΦP P 可见95.0)645.1( ≈Φ．因此645.11010960≈-nn． （*）由此得关于n 的一元二次方程09606025.1947010022≈+-n n ，其解为53.11318.8121≈≈n n ，，其中53.1132≈n 不满足式（*），因此53.1132≈n 为增根，故应舍去．于是，以概率0.95在16个小时内最多可以组装81~82件产品．例5.27（列维-林德伯格定理） 将n 个观测数据相加时，首先对小数部分按“四舍五入”舍去小数位后化为整数．试利用中心极限定理估计，(1) 试当n =1500时求舍位误差之和的绝对值大于15的概率；(2) 估计数据个数n 满足何条件时，以不小于90%的概率，使舍位误差之和的绝对值小于10的数据个数n ．解 设)1500,,2,1( =iX i 是第i 个数据的舍位误差；由条件可以认为)1500,,2,1( =i X i 独立且都在区间]5.0 5.0[，-上服从均匀分布,从而12/10==i i X X D E ，．记n n X X X S +++= 21为n 个数据的舍位误差之和，则12/0n S S n n==D E ，．根据列维-林德伯格中心极限定理，当n 充分大时n S 近似服从)12/0(n N ，．记)(x Φ为)1,0(N 分布函数．(1) 由于12n S n近似服从标准正态分布，可见{}．1802.02)]34.1(1[34.112/150012/15001512/150015150015001500=⨯-≈⎭⎬⎫⎩⎨⎧>=⎭⎬⎫⎩⎨⎧>=>ΦS S S P P P(2) 数据个数n 应满足条件：{}．90.012/1012/10=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤=≤n n S S n n P P 由于12n S n近似服从)1,0(N ，可见51.4436449.11210 6449.112/102≈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛≈，n ． 于是，当n >443时，才能使误差之和的绝对值小于10的概率不小于90%． 〖证明题〗例5.35（棣莫佛-拉普拉斯定理） 利用列维-林德伯格定理，证明棣莫佛-拉普拉斯定理．证明 设随机变量n X X X ,,,21 相互独立，同服从0-1分布；，，，，，npq S np S X X X S n i pq X p X n n n n i i ==+++====D E D E 21),,2,1(其中p q-=1． n X X X ,,,21 满足列维-林德伯格定理的条件：n X X X ,,,21 独立同分布且数学期望和方差存在，当n 充分大时近似地n n X X X S +++= 21～),(npq np N ．4.55（证明不等式） 设X 是任一非负（离散型或连续型）随机变量，已知X的数学期望存在，而0>ε是任意实数，证明不等式{}εεXX E P ≤≥．证明 (1) 设X 是离散型随机变量，其一切可能值为}{i x ，则{}．}{1}{}{}{11εεεεεεεXx X x x X x x Xx XX iiii x i i x i ix i x i E P P P P P ==≤=≤====≥∑∑∑∑≥≥≥(2) 设X 是连续型随机变量，其概率密度为)(x f ，则{}．d )(1d )(1d )(0εεεεεεXx x f x x x f x x x f X E P ≤≤≤=≥⎰⎰⎰∞∞∞例4.00（切比雪夫不等式） 设事件A 出现的概率为=p 0.5，试利用切比雪夫不等式，估计在1000次独立重复试验中事件A 出现的次数在450到550次之间的概率α． 解 设n ν是1000次独立重复试验中事件A 出现的次数，则．，），，2505.010005005.010005.0 1000(~2=⨯==⨯=X X B n D E ν由用切比雪夫不等式，知{}{}．9.050250150|550|5504502=-≥≤-=≤≤=n n νναP P 例5.3. 设随机变量X 的数学期望为μ，方差为2σ，(1)利用切比雪夫不等式估计：X 落在以μ为中心，σ3为半径的区间 内的概率不小于多少？(2)如果已知),(~2σμN X ，对上述概率，你是否可得到更好的估计？解：（1）()()()0.88899131)3()3(222=-=-≥<-=<-σσσσμσX D X P X E X P （2）()()⎪⎪⎭⎫⎝⎛<-=<-DX DX X E X P X E X P σσ3)3( ()0.99743322=≈⎪⎪⎭⎫⎝⎛<-=⎰∞--dt e DX X E X P t例5.4. 利用切比雪夫不等式来确定，当抛掷一枚均匀硬币时，需抛多少次，才能保证 正面出现的频率在0.4至0.6之间的概率不小于90%，并用正态逼近去估计同一问题。
大数定律和中心极限定理
例 设随机变量 X 的均值 E ( X ) 100 ，方差 D( X ) 10. ）
则由切比雪夫不等式， P(80 X 120) （ 例
设随机变量 X 服从参数为 2 的泊松分布，用切比雪夫 )
不等式估计 P()设一个系统由 100个相互独立的部件组成, 至少有85% 的部件完好时, 系统才能正常工作. 若每个部件的损坏率为0.1 ， 求系统正常工作的概率. （2）条件同上 ，假定系统由n 个相互独立的部件组成, 至少有80% 的部件完好时系统才能正常工作，问 n 至少多大时
才能使系统正常工作的概率不少于95%.
例2 设供电站电网有10000盏电灯，夜晚每一盏灯开的概率 均为 0.7 ，而且假设开关时间彼此独立, 试用中心极限定理
计算同时有 6800至 7200 盏电灯开着的概率.
例3 计算机做加法运算时，要对每个加数取整(即最接近它 的整数）, 设所有取整误差是相互独立的, 且它们都服从均匀
分布 U [0.5, 0.5] . 如果将1500个数相加，求误差总和的绝对值
超过15的概率.
例3 一生产线生产的产品成箱包装, 每箱的重量是随机的. 假设每箱平均中50kg, 标准差为5kg. 若用最大载重量为5吨的 汽车承运，试利用中心极限定理说明每辆车最多可以装多少 箱，才能保障不超载的概率大于0.977.
5.第五章：大数定律与中心极限定理
5.第五章：⼤数定律与中⼼极限定理第五章练习题１.⼀复杂的系统由100个相互独⽴起作⽤的部件所组成,在整个运⾏期间每个部件损坏的概率为0.10,为了使整个系统起作⽤,⾄少必须有85个部件正常⼯作,求整个系统起作⽤的概率.2.⼀复杂的系统由n个相互独⽴起作⽤的部件所组成,每个部件的可靠性为0.90,且必须⾄少有80%的部件⼯作才能使整个系统正常⼯作,问n⾄少为多⼤时才能使系统的可靠性不低于0.95?3.对敌⼈的防御地段⽤炮⽕进⾏100次射击,每次射击的炮弹命中数的数学期望为2,均⽅差为1.5,求当射击100次时有180颗到220颗炮弹命中⽬标的概率的近似值.(已知(1.33)=0.9082, (1.5)=0.9332,(2)=0.9772).4.某种电⼦元件使⽤寿命服从λ=0.1（单位（⼩时）的指数分布.⼀个元件损坏后,第⼆个接着使⽤.求100个这类元件总计使⽤时间超过900⼩时的概率.5.设某车间有200台同型机床，⼯作时每台车床60%的时间在开动, 每台开动时耗电1千⽡.问应供给该车间多少千⽡电⼒才能有0.999的把握保证正常⽣产？6.⽤切⽐雪夫不等式确定，当掷⼀均匀铜币时，需投多少次，才能保证正⾯出现的频率在0.4与0.6之间的概率不⼩于90%？并⽤正态逼近计算同⼀问题。
7.某公司有200名员⼯参加⼀种资格证书考试，按往年经验，该考试通过率为0.8.试⽤中⼼极限定理计算这200名员⼯⾄少有150⼈通过考试的概率.8.欲测量两地之间的距离,限于测量⼯具,将其分成1200段进⾏测量.设每段测量误差(单位:千⽶)相互独⽴,且均服从区间(-0.5,0.5)上的均匀分布,试求总距离测量误差的绝对值不超过20千⽶的概率.（⽤中⼼极限定理）9.某宿舍有学⽣900⼈,每⼈在傍晚⼤约有10%的时间要占⽤⼀个⽔龙头,设每⼈需⽤⽔龙头与否是相互独⽴的,问该宿舍⾄少需要安装多少⽔龙头,才能以95%以上的概率保证⽤⽔需要.(已知(1.645) = 0.95, (1.28) = 0.90,(1.96)=0.975).10.已知⼀本书有500页，每⼀页的印刷错误的个数服从泊松分布P(0.2).各页有没有错误是相互独⽴的，求这本书的错误个数多于88个的概率.11.某保险公司多年的统计资料表明，在索赔户中被盗索赔户占20%，以X表⽰在随意抽查的100个索赔户中因被盗向保险公司索赔的户数.求被盗索赔户不⼩于14户且不多于30户的概率近似值.(利⽤棣莫弗--拉普拉斯定理近似计算.)12.某品牌家电三年内发⽣故障的概率为0.2,且各家电质量相互独⽴.某代理商发售了⼀批此品牌家电,三年到期时进⾏跟踪调查：（1）抽查了四个家电⽤户,求⾄多只有⼀台家电发⽣故障的概率；（2）抽查了100个家电⽤户,求发⽣故障的家电数不⼩于25的概率((2)利⽤棣莫弗--拉普拉斯定理近似计算.)证明题1. 利⽤中⼼极限定理证明:2.设随机变量X～f(x)=,其中n为正整数.证明：P{0＜x＜2(n+1)}≥如有侵权请联系告知删除，感谢你们的配合！。
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有关大数定律习题选讲
5.5设 {Xn}是 独 立 同 分 布 的 随 机 变 量 序 列 ， 且 假 设 E[Xn]2, Var[Xn]6,证 明 ： X12X2X3X4 2X5X6 X3 2n2X3n1X3n P a,n ,
n 并 确 定 常 数 a之 值 .
解：设Yk =X32k2 X3k X 1 3k ,由于{Xn}是独立同分布的随机变量序列
解: 设 X 表示命中的炮弹数, 则 X ~ b(500, 0.01)
( 1 ) P ( X 5 ) C 5 5 0 0 0 . 0 1 5 0 . 9 9 4 9 5 ＝0.17635
(2) 应用正态逼近: P(X=5) = P(4.5 < X < 5.5) 5.4 5. 95 54.4 5. 95 5 = 0.1742
P X n / n p 0 . 0 5 2 0 . 0 5 n / p ( 1 p ) 1 0 . 9 0
从中解得 0.05n/p(1p)1.645
又由 p(1p)0.25 可解得 n270.6 n = 271
补充例6 设每颗炮弹命中目标的概率为0.01， 求500发炮弹中命中 5 发的概率.
三、给定 x 和概率，求 n
补充例5 用调查对象中的收看比例 k/n 作为某电视节
目的收视率 p 的估计。 要有 90％ 的把握，使k/n与p 的差异不大于0.05，问至少要调查多少对象？
解：用 Xn表示n 个调查对象中收看此节目的人数，则
Xn 服从 b(n, p) 分布，k 为Xn的实际取值。根据题意
所 以 ， 当 n 时 ， n次 服 务 时 间 的 算 术 平 均 值 1 ni n 1X i以 概 率 1 收 敛 于 2 （ 9分 钟 ） .
注：本题参考答案有误
中心极限定理的应用例题补充
一、给定 n 和 x，求概率
补充例3 100个独立工作(工作的概率为0.9)的部件组 成一个系统，求系统中至少有85个部件工作的概率.
{Yn}满足辛钦大数定律条件，所以
n
Yk
k1
X12 X2X3 X42 X5X6
n
n
X2 3n2
X3n1X3n
Pa,n
a 14
5 .1 1 假 设 某 洗 衣 店 为 第 i个 顾 客 服 务 的 时 间 X i服 从 区 间 [ 5 , 5 3 ] ( 单 位 ： 分 钟 ) 上 的 均 匀 分 布 ， 且 对 每 个 顾 客 是 相 互 独 立 的 ， 试 问 当 n 时 ， n 次 服 务 时
解：用 Xi=1表示第i个部件正常工作, 反之记为Xi=0. 又记Y=X1+X2+…+X100，则 E[Y]=90，Var[Y]=9. 由此得：
P { Y 8 5 } 1 8 5 0 .9 5 9 0 0 .9 6 6 .
二、给定 n 和概率，求 x
补充例4 有200台独立工作(工作的概率为0.7)的机床，
所以，{Yn}也是独立同分布的随机变量序列，且
n
Yk X12 X2X3 X42 X5X6
X2 3n2
X3n1X3n
k1
E[Yk
]
E[
X2 3k2
X3k1X3k
]
E[
X2 3k2
]
E[
X3k
X 1 3k
]
Var[X3k2](E[X3k2])2 E[X3k1]E[X3k ]
644 14 k 1,2, ,n
间 的 算 术 平 均 值 1 n i n 1X i以 概 率 1 收 敛 于 何 值 ？
解 ： 依 题 意 ， 显 然 有 ， { X n} 是 一 个 独 立 同 分 布 的 随 机 变 量 序 列 ， 只 要 存 在 有 限 的 公 共 数 学 期 望 ， 则 { X n} 的 算 术 平 均 值 依 概 率 收 敛 于 其 公 共 数 学 期 望 ， 由 于 X i服 从 [ 5 , 5 3 ] 上 的 均 匀 分 布 ， 所 以 E [X i](5 3 5 )/22 9 ,i 1 ,2 , ,n
每台机床工作时需15kw电力. 问共需多少电力, 才可 有95%的可能性保证供电充足?
解：用 Xi=1表示第i台机床正常工作, 反之记为Xi=0.
又记Y=X1+X2+…+X200，则 E[Y]=140，Var[Y]=42. 设供电量为x, 供电充足即为15Y≤x，则从
中解得P { x1 5 Y 2 25x } 2. x/