圆的参数方程

v
径为r的圆平移而得到的， 平移向量 V =OO1=(a,b)
设Ｐ１(x1,y1)为圆O上任一点，
o
P1(x1,y1)
r
x
则有：

x1 y1

r r
c os sin
设P（x，y）为圆O1上与P1对应的点， 则由P1P= V 得（x-x1，y-y1）=（a，b）
即

x y

x1 y1
0 ， 则此参数
方程表示的曲线是_____半__圆____
例2 （1）圆的参数方程

x 1 2cos y 3 2sin
化为普通方程为（__x－__1）__2＋_（__y_＋_3_）_2＝__4_ (2)圆x2＋y2－2x＋4y＋2＝0化为参数
x 1 3 cos
方程为__y___2 _ _3_s_in______
例3 如图，已知点P是圆x2+y2=16上的一个动点，
点A是x轴上的定点，坐标为（12，0）.当点P在圆上运
动时,线段PA的中点M的轨迹是什么?
y
解: 设点M的坐标是
(x,y).因为圆x2+y2=16
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的参数方程为
x 4 cos
解：由已知可知圆心（1，-2）半径r=2
所以原方程可化为
x 1 2cos

y

2

2
sin

所以 x 2y (1 2cos ) 2(2 2sin ) 5 2cos 4sin
所以最大值是 5 2 5 最小值是 5 2 5
课堂练习：
1.填空：已知圆O的参数方程是 x 5cos ,
x

y

r cos r sin
为参数
例1、圆的参数方程为

y
x2
3
4 cos 4sin
(0



2
)
若圆上一点P对应参数θ＝
4 3
，则点P的坐
标是__(0_, _3__3_)_,若圆上一点Q的坐标为 (4, 3 3)
则参数θ＝____53__，若
知识回顾
若以（a，b）为圆心，r为半径的圆的 标准方程为（：x-a）2+（y-b）2=r2 标准方程的优点在于： 它明确指出圆的
圆心和半径
若 D2+E2-4F>0 时,方程x2+y2+Dx+Ey+F=0 表示一个圆，称其为 圆的一般方程
思考：圆是否还可用其他形式的方程来表示？
y
p
r
o
点在圆O上从点P0 开始按逆时针方向 p0 运动到达点P，设

a b


x y

a b

x1 y1
x a r cos
所以

y

b

r
sin

为圆心为(a,b) 半径为r的圆的参数方程
(1) 参数方程的概念:
一般地，在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x、
y都是某个变数t的函数，即 x f t

y

gt

y

4
s in
P

O
M Ax
所以 可设点P的坐标为(4cos , 4sin ).由线段
中点坐标公式得点M的轨迹的参数方程为
x 6 2 cos

y 2 sin
所以,线段PA的中点M的轨迹是以点(6,0)为
圆心,2为半径的圆.
例4、若实数x、y满足x2+y2-2x+4y+1=0,求 x－y的最大值和最小值。
且对于t的每一个允许值，由上面的方程组所确定的点
M（x，y）都在这条曲线上，那么这个方程组就叫做这条曲
线的参数方程，联系x，y之间关系的变数叫做参变数，简称
参数。
(2)圆心在(a,b),半径为r的圆的参数方程是:
x

y

a b

r cos r sin
为参数
(3)圆心在原点,半径为r的圆的参数方程是:
(2) x 2 cos ,

y

2

sin
(x 2)2 ( y 2)2 1
3.经过圆x2+y2=4上任一点P作x轴的垂
线，垂足为Q，求线段PQ中点轨迹的普
通方程.
x2 y2 1 4
(0≤θ＜2π）

y

5
sin
.
( 1)如果圆上点P所对应的参数θ= 5 ，则
点P的坐标是 (
)
.3
（2）如果圆上点Q的坐标是（－ 5 , 5 3），
则点Q所对应的参数θ等于
.2 2
2.把圆的参数方程化成普通方程：
（1）
x 1 2 cos ,

y

3

2
sin
;
(x 1)2 ( y 3)2 4
x p0op
问：你观察到了什么？
设点P的坐标是（x，y）
我即们xy把方rrcs程oins组①
①
叫做圆心为原点，半径
为r的圆的参数方程， 是参数
圆y心为O1（a，b）半径为r的圆的参数方程呢？
推导过程如下：
o1
P(x,y)圆心为O1(a,b),半径为r的圆
可以看成由圆心为原点O半