2011-2015全国高考卷文科-导数专题汇编(带答案)

导 数 专 题

题型1 根据导数的几何意义研究曲线的切线

1.（2012全国文13）曲线()3ln 1y x x =+在点()1,1处的切线方程为________.

2. (2015全国I 文14)已知函数

()31f x ax x =++的图像在点()()1,1f 处的切线过点()2,7，则

a = .

3. (2015全国II 文16) 已知曲线ln y x x =+在点()11，处的切线与曲线()221y ax a x =+++相切，则a = .

4.(2009，全国卷1) 已知函数42

()36f x x x =-+.. （Ⅰ）讨论()f x 的单调性；

（Ⅱ）设点P 在曲线()y f x =上，若该曲线在点P 处的切线l 通过坐标原点，求l 的方程。

【解】（1）3

'()464(f x x x x x x =-=-

当(,)2x ∈-∞-

和(0,2

x ∈时，'()0f x <；

当(x ∈和)x ∈+∞时，'()0f x >

因此，()f x 在区间(,2-∞-和(0,2

是减函数，

()f x 在区间(2

-

和)+∞是增函数。 （Ⅱ）设点P 的坐标为00(,())x f x ，由l 过原点知，l 的方程为

0'()y f x x = 因此 000()'()f x x f x =，

即 423

0000036(46)0x x x x x -+--= 整理得 22

00(1)(2)0x x +-=

解得 0x = 或 0x =

因此切线l 的方程为 y =- 或 y =。

题型2 判断函数的单调性、极值与最值

5.（2013全国II 文11）.已知函数3

2

()f x x ax bx c =+++，下列结论中错误的是（ ） . A. 0x R ∃∈，0()0f x =

B. 函数()y f x =的图象是中心对称图形

C. 若0x 是()f x 的极小值点，则()f x 在区间0(,)x -∞单调递减

D. 若0x 是()f x 的极值点，则0'()0f x =

6.（2013全国I 文20）已知函数()()2e 4x f x ax b x x =+--，曲线()y f x =在点()()

00f ，处的切线方程为44y x =+. （1）求a b ，的值；

（2）讨论()f x 的单调性，并求()f x 的极大值.

7（2013全国II 文21）已知函数2()e x

f x x -=. （1）求()f x 的极小值和极大值；

（2）当曲线()y f x =的切线l 的斜率为负数时，求l 在x 轴上截距的取值范围. 【解】(1)f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，f ′(x)＝－e －x

x(x －2)．① 当x ∈(－∞，0)或x ∈(2，＋∞)时，f ′(x)＜0； 当x ∈(0,2)时，f ′(x)＞0.

所以f(x)在(－∞，0)，(2，＋∞)单调递减，在(0,2)单调递增． 故当x ＝0时，f(x)取得极小值，极小值为f(0)＝0；

当x ＝2时，f(x)取得极大值，极大值为f(2)＝4e －2

. (2)设切点为(t ，f(t))，

则l 的方程为y ＝f ′(t)(x －t)＋f(t)．

所以l 在x 轴上的截距为m(t)＝()2

23'()22

f t t t t t f t t t -

=+=-++--. 由已知和①得t ∈(－∞，0)∪(2，＋∞)．

令h(x)＝2

x x

+

(x ≠0)，则当x ∈(0，＋∞)时，h(x)的取值范围为[，＋∞)； 当x ∈(－∞，－2)时，h(x)的取值范围是(－∞，－3)．

所以当t ∈(－∞，0)∪(2，＋∞)时，m(t)的取值范围是(－∞，0)∪[3，＋∞)．

综上，l 在x 轴上的截距的取值范围是(－∞，0)∪[3，＋∞)． 8. (2015全国II 文21)已知函数()()=ln +1f x x a x -.

(1)讨论()f x 的单调性；

(2)当

()f x 有最大值，且最大值大于22a -时，求a 的取值范围.

题型3 函数零点和图像交点个数问题

9.（2011全国文10）在下列区间中，函数()e 43x f x x =+-的零点所在的区间为（ ）. A.1,04⎛⎫-

⎪⎝⎭ B.10,4⎛⎫

⎪⎝⎭ C. 11,42⎛⎫

⎪⎝⎭ D. 13,24⎛⎫ ⎪⎝⎭

10.（2011全国文12）已知函数()y f x =的周期为2，当[1,1]x ∈-时函数2

()f x x =，那么函数()

y f x =的图像与函数lg y x =的图像的交点共有（ ）.

A.10个

B.9个

C.8个

D.1个

11. (2014全国I 文12)已知函数32

()31f x ax x =-+，若()f x 存在唯一的零点0x ，且00x >，则a 的取值范围是（ ）

A. (2,)+∞

B. (1,)+∞

C. (,2)-∞-

D. (,1)-∞-

12. （2014新课标Ⅱ文21）已知函数()3232f x x x ax =-++，曲线()y f x =在点()0,2处的切线与

x 轴交点的横坐标为2-.

（1）求a ；（2）求证：当1k <时，曲线()y f x =与直线2y kx =-只有一个交点.

【解】（1）1

,2

00

-2),0(),0,2-()2,0()0(6-3)(∴23-)(223==+′==′+=′++=a a f k B x A a

f a x x x f ax x x x f AB 所以即

则轴交点为，切线与设切点， （2）

仅有一个交点

与时，当所以图像如图所示仅有一个根点时，当时，单调递减，且，当时，，当上递增；，在时，当上递减；，在时，当递增；且时，，，或，当递减时，当，则令则令则时，令当2-)(1,,)(1∴)∞,∞-(∈)()0∞-(∈ 1)2(≥)()∞0(∪)2,0(∈ ∴)∞0()(,0)(,0)(2 )2,0(),0∞-()(,0)(,0)(2 ∴.0)2(,0)0()(,0)()∞1()0∞-(∈ .

)(,0)()1,0(∈∴)1-(66-6)(4-3-2)(.

4

-3-24-3-2)(.413-)(0

≠,4

13-.04-3-2-)(12232

2

322223kx y x f y k k x g k x g x g x g x x g x g x h x x g x g x h x h h x h x h x x h x h x x x x x x h x x x h x x x x x x g x x x x g x k x

x x kx x x x kx x f k ==<=<+=++>′>><′<<=<>′+<′==′===′++==++=++=+<

题型4 不等式恒成立与存在性问题

13. (2010，全国卷1) 已知函数4

2

2

()32(31)2(31)4f x ax a x a x x =-+-++ （I ）当1

6

a =

时，求()f x 的极值; （II ）若()f x 在()1,1-上是增函数，求a 的取值范围 【解】（Ⅰ）()()()

241331f x x ax ax '=-+- 当16

a =

时，()2

2(2)(1)f x x x '=+-，()f x 在(,2)-∞-内单调减，在2-+∞（，）内单调增，在2x =-时，()f x 有极小值.