几种常见不等式的解法

几种常见不等式的解法
解题更加灵活，多变，巧妙。

下面就高中数学几种常见的不等式的解法做个归纳小结。

1.一元一次不等式的解法
任何一个一元一次不等式经过变形后都可以化为ax>b或axb而言，当a>0时，其解集为（ab，+∞），当ab+2x
解：原不等式化为（a-2）x>b+2
①当a>2时，其解集为（b+2a-2，+∞）
②当a0或ax2+bx+c0）的形式，然后用判别式法来判断解集的各种情形（空集，全体实数，部分实数），如果是空集或实数集，那么不等式已经解出，如果是部分实数，则根据“大于号取两根之外，小于号取两根中间”分别写出解集就可以了。

例2：解不等式ax2+4x+4>0（a>0）
解：△=16-16a
①当a>1时，△0，其解集（-∞，-2-21-aa）∪（-2+21-aa，+∞）
3.不等式组的解法
将不等式中每个不等式求得解集，然后求交集即可.
例3：解不等式组m2+4m-5>0 （1）
m2+4m-121
由②得-60（≥0）或f（x）g（x）2
解：原不等式化为：3x2-x-4-x2-1>0
它等价于（i）3x2-x-4>0-x2-1>0和（ii）3x2-x-4a （a>0） x>a或x例5：解不等式|3xx2-4| ≥1
解：原不等式等价于3xx2-4 ≥1，①或 3xx2-4≤-1 ②解①得2x2-1
解：原不等式等价于x2-3x+2>x2-1①或x2-3x+2g（x）和|f（x）|a和|x|例7：解不等式|x+1|+|x|0时，原不等式变为
x+1+x2
解：①当x≤1时，原不等式变为x2-3x+2+x2-4x+3>2，此时解集为{x|x2，此时解集为空集。

③当22，此时的解集是空集。

④当x>3时，原不等式化为x2-3x+2+x2-4x+3>2，此时的解集为{x|x>3}.
综合①②③④可知原不等式的解集为{x|x≤12}∪{x|x>3}.从以上两个例子可以看出，解含有两个或两个以上的绝对值的不等式，一般是先找出一些关键数（如例7的关键数是-1，0；例8中的关键数是1，2，3）这些关键数将实数划分为几个区间，在这些区间上，可以根据绝对值的意义去掉绝对值号，从而转化为不含绝对值的不等式，应当注意的是，在解这些不等式时，应该求出交集，最后综合各区间的解集写出答案。

6.无理不等式的解法
无理不等式f（x）>g（x）的解集为不等式组（i）f（x）≥[g （x）]2f（x）≥0g（x）≥0和（ii）f（x）≥0g（x）0）的解集为不等式组f（x）≥0f（x）0的解集.
例9：解不等式：2x+5-x-1>0
解：原不等式化为：2x+5>x+1
由此得不等式组（i）2x+5≥0x+1（x+1） 2
解（i）得-52≤x（3）x+2
解：原不等式化为 32x>3x+22
∴2x>x+22 即x>23
故原不等式解集为（23 ，+∞）.
8.对数不等式的解法
根据对数函数的单调性来解不等式。

例11：解不等式： log12x+1）（2-x）>0
解：原不等式化为log12x+1）（2-x）>log12
1
∴（x+1）（2-x）>0 （1）（x+1）（2-x）1+52
故原不等式解集（-1，1-52 ）∪（ 1+52，2）.
9.简单高次不等式的解法
简单高次不等式可以利用数轴标根法来解不等式.
例12：解不等式（x+1）（x2-5x+4）解：原不等式变形为2
2x22x-1）∴（22x-1）（22x-a）022x-a0
①当a≤0时，x③当a=1时，无解
④当a>1时，0<x<log2 a
解不等式的基础是解一元一次不等式，解一元二次不等式，解由一元一次不等式和一元二次不等式组成的不等式组。

解其它各式各样的不等式（三角不等式除外）关键在于根据有关的定义，定理，性质转化这些不等式为上述三类不等式。

在具体转化的过程中，特别应该注意每一步都应是同解变形。

像无理不等式中的开偶次方时的被开方数及对数不等式中的真数等，在去根号和去对数符号时，一定要使被开方数非负，真数大于零。

综上所述，不等式类型较多，解法各异，要根据具体题目，选择正确方法，就可达到迎刃而解的目的。